Поперечная проекция гаусса. Сущность проекции гаусса-крюгера и использование ее в геодезии. Сущность и виды геод. изм
Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята поперечная цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса-Крюгёра.
Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 4, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной в 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.
Рисунок 4. Вид зоны в проекции Гаусса-Крюгера на шаре и на плоскости
Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21°,.... Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:
L 0 = 6°N-3,
где N- номер данной зоны.
Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон.
Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно прямыми перпендикулярными линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис: б). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точка А имеет действительную ординату:
У А = +14 837,4 м.
Преобразованная ордината будет на 7 500 000 м больше, т. е. У А = 7 514837,4 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.
Для получения картографической сетки в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера Землю помещают в поперечно расположенный цилиндр. Центр проекции располагают в центре шара и прямыми лучами проектируют поверхность шара на образующую поверхность цилиндра. Проектируют поочередно каждую зону. При этом землю поворачивают внутри цилиндра так, чтобы образующая поверхность цилиндра совпадала (касалась) с осевым меридианом зоны, рис. 5.
В результате проектирования картографическая сетка имела следующий вид, рис. 6.
Проекция Гаусса-Крюгера является равноугольной, так как в ней не искажаются горизонтальные углы геометрических фигур земной поверхности. Поэтому бесконечно малые фигуры в этих проекциях подобны соответствующим фигурам на эллипсоиде.
Рисунок 5. Поперечно-цилиндрическая проекция
В проекции Гаусса-Крюгера, кроме того, не искажаются длины дуг осевых меридианов. Длины других линий и площади фигур в этой проекции получаются искаженными.
Рисунок 6. Вид картографической сетки в проекции Гаусса-Крюгера
Это поперечная цилиндрическая равноугольная картографическая проекция, разработанная немецкими учёными Гауссом и Крюгером. Применение этой проекции даёт возможность практически без существенных искажений изобразить довольно значительные участки земной поверхности и, что очень важно, построить на этой территории систему плоских прямоугольных координат.
В 1928 г. на III геодезическом совещании для всех геодезических и топографических работ в СССР была принята проекция Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Бесселя. В этой проекции начали создавать топографические карты масштабов крупнее 1:500 000, а с 1939 г. проекция Гаусса-Крюгера стала применяться и для карты масштаба 1:500 000. В апреле 1946 г. постановлением правительства были утверждены размеры референц эллипсоида Крассовского и новые исходные даты, характеризующие систему координат 1942 г.
В проекции Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридианным зонам, ширина которых равна 6° (для карт масштабов 1:500 000-1:10 000) и 3° (для карт масштабов 1:5 000- 1:2 000). Меридианы и параллели изображаются кривыми, симметричными относительно осевого меридиана зоны и экватора, однако их кривизна настолько мала, что западная и восточная рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с северной и южной рамками карт, изображаются прямыми на картах крупных масштабов (1:2 000-1:50 000), на картах мелких масштабов они изображаются кривыми. Начало прямоугольных координат каждой зоны находится в точке пересечения осевого меридиана зоны с экватором. В России стране принята нумерация зон, отличающаяся от нумерации колонн карты масштаба 1:1 000000 на тридцать единиц, то есть крайняя западная-зона с долготой осевого меридиана L=21 имеет номер 4, к востоку номера зон возрастают. Номер зоны N и долгота осевого меридиана L° в градусах связаны между собой равенством L° == 6N- 3.
Территория России находится в северном полушарии, поэтому координаты ^ Х всех точек имеют положительное значение. Координаты Y имеют отрицательные значения левее осевого меридиана и положительные правее его. Чтобы исключить из обращения отрицательные координаты и облегчить пользование прямоугольными координатами на топографических картах, ко всем координатам Y добавляют постоянное число 500 000 м. Для указания зоны, к которой относятся координаты, к значению Y слева приписывают номер зоны. Например, запись координаты Y" 30 786 543 м означает, что точка находится в 30-й зоне, ее реальная координата равна 786 000- 500 000 = 286 543 м, то есть она расположена правее осевого меридиана 30-й зоны. Запись координаты Y= 8 397 720 м означает, что точка находится в 8-й зоне, ее реальная координата равна 397 720- 500 000 = 102 280 м, она расположена левее осевого меридиана 8-й зоны.
Рисунок 29. Проекция Гаусса-Крюгера
При создании любых карт важное значение имеет вопрос о выборе картографической проекции, которая обеспечит возможность оптимального решения по этим картам различных задач. Какая проекция будет использована при работе в первую очередь зависит от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой проекции. Так же существуют методики по выбору проекций.
Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий- в равновеликих. При выборе проекций начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их.
Для изображения России удобны конические проекции, в которых воображаемый конус рассекает земной шар по параллелям 47 и 62° северной широты: на создаваемых подобным образом картах это так называемые линии нулевых искажений. Вблизи них сжатия и растяжения невелики, что удобно, поскольку между ними находятся самые густонаселённые области. Карты Северного Ледовитого океана или Антарктиды чаще всего составляются в азимутальной проекции, расположив воображаемую вспомогательную плоскость так, чтобы она касалась полюса. Тогда растяжения в полярных областях земли окажутся минимальными. В современной картографии достаточно большой набор проекций для любых карт (планета в целом, материки и океаны, страны и т. д.) и всевозможного назначения.
Для того, чтобы перейти из одной системы координат в другую используется набор параметров, которые определяют отличие эллипсоида на котором базируется одна СК от другого. Это так называемые линейные элементы трансформирования определяющие сдвиг центра масс эллипсоида относительно общеземного и угловые элементы трансформирования определяющие соответственно поворот эллипсоида относительно общеземного. Если видно, что какие то данные равномерно смещены относительно других слоев на одинаковую величину, то скорее всего используются данные находящиеся в разных системах координат.
Рассмотрим эту проекцию на шаре. Для этого введём систему сферических координат , как это показано на рис. 5.9.
За начало координат принимается точка А , лежащая в пересечении экватора с меридианом P 1 AP , принимаемого за начальный в данной системе. Будем называть его осевым меридианом.
В новой системе координат за условный экватор принимается осевой меридиан, а за условные полюса точки Q и Q 1 лежащие на экваторе и отстоящий от начала координат A на 90° по долготе. Положение точки M в этой системе координат определяется дугой осевого меридиана и дугой большого круга .
Зависимости между координатами , и координатами , выражается формулами сферической тригонометрии.
(5.25)
где - долгота осевого меридиана.
Возьмём теперь цилиндр, касательный к шару по осевому меридиану (рис.5.10) и перенесём на него условные меридианы Q 1 AA 1 A 2 Q, Q 1 aa 1 a 2 Q, Q 1 bb 1 b 2 Q… и условные параллели - дуги малых кругов, параллельных плоскости меридиана – A 1 a 1 b 1 c 1 , A 2 a 2 b 2 c 2 так как мы это делаем в нормальной равноугольной проекции Меркатора (см.5.4).
За ось x примем осевой меридиан . За ось у - экватор Q,AQ (рис.5.10). Уравнения прямоугольных координат в этой проекции получим, если в выражениях (5.11) и (5.12) заменим на , а координаты и на и соответственно. В результате имеем
(5.26)
Так как проекция равноугольная, увеличение по осям и будет
а эллипсы искажений - окружности радиусом .
Из (5.27) следует, что искажение расстояний и площадей возрастает по мере удаления точки от осевого меридиана.
Чтобы эти искажения как-то ограничить, применение данной проекции ограниченно шестиградусными зонами. В каждой зоне имеется своя система прямоугольных координат , . При этом долгота осевого меридиана в каждой зоне определяет формула
где n =1,2, 3,...60 - номер зоны.
В пределах зоны величина достаточно мала. Поэтому вместо сферической ординаты удобней использовать её линейное значение. Для этого разложим в (5.27) в ряд, ограничиваясь двумя членами
.
Заменив его линейным значением , получим известную формулу
. (5.28)
В Украине искажения длин линий на краю шестиградусной зоны достигает
в южной части 
или 72 см на 1 км;
в северной части 
или 52 см на 1 км.
Искажение площадей соответственно
или 14 м 2 на 1 га;
или 10 м 2 на 1 га.
При составлении топографических планов в масштабе 1:5000 и крупнее такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае применяют более узкие трёхградусные зоны, где долгота осевого меридиана вычисляется по формуле
Как это видно на рис.5.10 линии сферических координат в проекции Гаусса-Крюгера - прямые линии.
При обратном переходе от сферических координат к географическим осевой меридиан и экватор изобразятся перпендикулярными прямыми (рис.5.11). Остальные меридианы - кривые линии, обращенные вогнутостью к осевому меридиану, а параллели - кривые, обращённые вогнутостью к ближайшему полюсу.
До сих пор мы рассматривали эту проекцию на шаре. При переходе к эллипсоиду вращения общий характер проекции существенно не меняется.
Прямоугольные координаты на эллипсоиде вычисляют по формулам (2.15), а искажение длин линий по формуле (2.18).
В пеших путешествиях и велопоездках незаменимым спутником исследователя является топографическая карта. Одной из задач картографии (одной из дисциплин такой науки как геодезия ) является изображение криволинейной поверхности Земли (фигуры Земли) на плоской карте. Для решения этой задачи необходимо выбрать эллипсоид — форму трехмерного тела, приближенно соответствующего земной поверхности, датум — начальную точку системы координат (центр эллипсоида) и начальный меридиан (англ. prime meridian ) и проекцию — способ изображения поверхности этого тела на плоскости.
Эллипсоиды и датумы
В разное время для построения карт использовались различные варианты представления поверхности Земли в виде сферы или эллипсоида.
Представление Земли в виде сферы радиусом 6378137 метра (либо 6367600 метров) позволяет определить координаты любой точки на земной поверхности в виде двух чисел — широты $\phi$ и долготы $\lambda$:
Для земного эллипсоида
в качестве (географической) широты используется понятие геодезическая широта
(англ. geodetic latitude
) φ — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора,
причем нормаль не проходит через центр эллипсоида
за исключением экватора и полюсов:
Значение долготы (англ. longitude
) λ зависит от выбора начального (нулевого) меридиана для эллипсоида.
В качестве параметров эллипсоида обычно используются радиус большой (экваториальной) полуоси a
и сжатие f
.
Сжатие $f = {{a-b} \over a}$ определяет сплюснутость эллипсоида у полюсов.
Одним из первых эллипсоидов был эллипсоид Бесселя
(Bessel ellipsoid, Bessel 1841
), определенный из измерений в 1841 году Фридрихом Бесселем (Friedrich Wilhelm Bessel
), с длиной большой полуоси a
= 6377397,155 м
и сжатием f
=
1:299,152815
. В настоящее время он используется в Германии, Австрии, Чехии и некоторых азиатских и европейских странах.
датум
Potsdam (PD)
Ранее для построения карт в проекции UTM
использовался международный эллипсоид
(International ellipsoid 1924
, Hayford ellipsoid
) с длиной большой (экваториальной) полуоси a
= 6378388 м
и сжатием f
= 1:297,00
, предложенный американским геодезистом Джоном Филлмором Хейфордом ( в 1910 году.
Джон Филлмор Хейфорд
датум ED 50 (European Datum 1950 )
- эллипсоид — International ellipsoid 1924
- Greenwich prime meridian )
Для выполнения работ на всей территории СССР с 1946 года (постановление Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 г. № 760) использовалась геодезическая система координат СК-42 (Пулково 1942)
, основанная на эллипсоиде Красовского
с длиной большой (экваториальной) полуоси a
= 6378245 м
и сжатием f
= 1:298,3
. Этот референц-эллипсоид назван в честь советского астронома-геодезиста Феодосия Николаевича Красовского. Центр этого эллипсоида сдвинут по отношению у центру масс Земли примерно на 100 метров для максимального соответствия поверхности Земли на европейской территории СССР.
датум Пулково-1942 (Pulkovo 1942)
- эллипсоид — Красовского (Krassowsky 1940 )
- нулевой меридиан — гринвичский меридиан (Greenwich prime meridian )
В настоящее время (в том числе и в системе GPS ) широко используется эллипсоид WGS84 (World Geodetic System 1984) с длиной большой полуоси a = 6378137 м, сжатием f = 1:298,257223563 и эксцентрисетом e = 0,081819191 . Центр этого эллипсоида совпадает с центром масс Земли.
датум WGS84 (EPSG:4326)
- эллипсоид — WGS84
- нулевой меридиан — опорный меридиан (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian))
, проходящий в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. Именно от этого меридиана отсчитывается долгота в системе GPS
(англ. GPS longitude
)
Центр системы координат WGS84
совпадает с центром масс Земли, ось Z
системы координат направлена на опорный полюс
(англ. IERS Reference Pole (IRP))
и совпадает с осью вращения эллипсоида, ось X
проходит по линии пересечения нулевого меридиана и плоскости, проходящей через точку начала координат и перпендикулярную к оси Z
, ось Y
перпедикулярна оси X
.
Альтернативой эллипсоиду WGS84 является эллипсоид ПЗ-90 , используемый в системе ГЛОНАСС , с длиной большой полуоси a = 6378136 м и сжатием f = 1:298,25784 .
Преобразования датумов
При простейшем варианте перехода между датумами Пулково-1942
и WGS84
необходимо учитывать только смещение центра эллипсоида Красовского по отношению к центру эллипсоида WGS84
:
рекомендовано в ГОСТ 51794-2001
—
dX
= +00023,92 м; dY
= –00141,27 м; dZ
= –00080,91 м;
рекомендовано в World Geodetic System 1984
. NIMA, 2000
—
dX
= +00028 м; dY
= –00130 м; dZ
= –00095 м.
Следует отметить, что выше приведены усредненные значения коэффициентов, которые для более точного преобразования должны вычисляться для каждой точки земной поверхности индивидуально. Например, для соседней с Беларусью Польшей эти параметры таковы:
dX
= +00023 м; dY
= –00124 м; dZ
= –00082 м (по данным
)
Такое преобразование называется трехпараметрическим
.
При более точной трансформации (преобразовании Молоденского
) необходимо учитывать разницу между формами эллипсоидов, определяемую двумя параметрами:
da
— разница между длинами больших полуосей, df
— разница между коэффициентами сжатия (разница в уплощении). Их значения одинаковы для ГОСТ
и NIMA
:
da
= – 00108 м; df
= + 0,00480795 ⋅
10 -4 м.
При переходе между датумами ED 50
и WGS84
параметры преобразования таковы:
da
= – 00251 м; df
= — 0,14192702 ⋅
10 -4 м;
для Европы dX
= -87 м; dY
= –96 м; dZ
= –120 м (по данным User’s Handbook on Datum Transformations involving WGS-84, 3-е издание, 2003
).
Набор из указанных пяти параметров (dX , dY , dZ , da , df ) может вводиться в навигатор или навигационную программу в качестве характеристики используемого пользователем датума.
Проекции
Способ изображения трехмерной земной поверхности на двумерной карте определяется выбранной картографической проекцией
.
Наиболее популярны (нормальная
) цилиндрическая проекция Меркатора
и такая ее разновидность как поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора
(Transverse Mercator
).
В отличие от известной в течение веков нормальной проекции Меркатора, которая особенно хороша для изображения экваториальных областей, поперечная проекция отличается тем, что цилиндр, на который проецируется поверхность планеты, повернут на 90°:
Цилиндрическая проекция Меркатора
Сферическая проекция Меркатора
Для сферической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln { (\tan{ ({\phi \over 2} + {\pi \over 4} }) }) \cdot R$
(logarithmic tangent formula
) ,
где $R$ — радиус сферы, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ представляет собой отношения расстояния по сетке карты (англ. grid distance
) к локальному (геодезическому) расстоянию (англ. geodetic distance
):
$k = {1 \over {\cos \phi}}$.
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over R} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over R}) $ .
Важной для мореплавания особенностью проекции Меркатора является то, что линия румба
(англ. rhumb lines
) или локсодрома (англ. loxodrome
) на ней изображается прямой линией.
Локсодрома — это дуга, пересекающая меридианы под одним и тем же углом, т.е. путь с постоянным (локсодромическим
) путевым углом.
Путевой угол
, ПУ
(англ. heading
) - это угол между северным направлением меридиана в месте измерения и направлением линии пути, отсчитывается по часовой стрелке от направления на географический север (0° применяется для указания направления движения на север, 90° — на восток).
Локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам.
Следует отметить, что локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками — ортодромой,
дугой большого круга
, соединяющей эти точки.
Web Mercator
Вариант меркаторовской сферической проекции используется многими картографическими сервисами, например, OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.
В OpenStreetMap
карта мира представляет собой квадрат с координатами точек по осям x
и y
, лежащими между -20 037 508,34 и 20 037 508,34 м. Как следствие, на такой карте не показаны области, лежащие севернее 85,051129° северной широты и южнее 85,051129° южной широты. Это значение широты $\phi_{max}$ является решением уравнения:
$\phi_{max} = 2\arctan(e^\pi) — {\pi\over 2} $ .
Как и любой карте, составленной в проекции Меркатора, ей свойственны искажения площадей, наиболее ярко проявляющиеся при сравнении изображенных на карте Гренландии и Австралии:
При прорисовке карты в OpenStreetMap
координаты (широта и долгота) на эллипсоиде в системе WGS84
проецируются на плоскость карты так, как будто эти координаты определены на сфере радиусом R
= a
= 6 378 137 м
(перепроецирование) — сферическое представление эллипсоидальных координат («spherical development of ellipsoidal coordinates
«). Этой проекции, получившей название Web Mercator
) соответствует EPSG
(European Petroleum Survey Group
) код 3857 («WGS 84 / Pseudo-Mercator
«).
Перепроецирование из EPSG:4326
в EPSG:3857
($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) реализуется по вышеприведенным формулам для обычной сферической проекции Меркатора.
На такой карте направление на север всегда соответствуют направлению на верхнюю сторону карты, меридианы представляют собой равноотстоящие друг от друга вертикальные линии.
Но такая проекция в отличие от сферической или эллиптической проекции Меркатора не является равноугольной (конформной
), линии румба в ней не являются прямыми. Линия румба
(локсодром
) — это линия пересекающая меридианы под постоянным углом.
Преимуществом рассматриваемой проекции является простота вычислений.
В указанной проекции карта может быть расчерчена прямоугольной сеткой координат (по значениям долготы и широты).
Привязку карты (сопоставление прямоугольных координат на карте и географических координат на местности) можно осуществить по $N$ точкам с известными координатами. Для этого необходимо решить систему из $2 N$ уравнений вида
$X = \rho_{\lambda} \lambda — X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_{\phi} — Y_0 $ .
Для решения системы уравнений и определения значений параметров $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_{\lambda}$ , $\rho_{\phi}$ можно использовать, например, математический пакет Mathcad
.
Для проверки правильности привязки карты можно определить отношение длин сторон прямоугольника построенной сетки. Если горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника соответствуют одинаковой угловой длине по долготе и широте, то отношение длины горизонтальной стороны (дуги параллели — малого круга) к длине вертикальной стороны (дуги меридиана — большого круга) должно быть равно $\cos \phi$ , где $\phi$ — географическая широта места.
Эллиптическая проекция Меркатора
Эллиптическая проекция Меркатора (EPSG:3395
— WGS 84/World Mercator
) используется, например, сервисами Яндекс.Карты
, Космоснимки.
Для эллиптической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ({\pi \over 4} + {\phi \over 2}) ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ ,
где $a$ — длина большой полуоси эллипсоида, $e$ — эксцентриситет эллипсоида, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ определяется выражением:
$k = {{\sqrt {(1 — {e^2} {{(\sin \phi)}^2})}} \over {\cos \phi}} $ .
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over a} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over a} ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ .
Широта вычисляется по итерационной формуле, в качестве первого приближения следует использовать значение широты, вычисленной по формуле для сферической проекции Меркатора.
Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора
Чаще всего используются две разновидности поперечно-цилиндрической проекции Меркатора — проекция Гаусса-Крюгера (англ. Gauss — Krüger
) (получила распространение на территории бывшего СССР) и универсальная поперечная проекция Меркатора (англ. Universal Transverse Mercator
(UTM
)).
Для обеих проекций цилиндр, на который происходит проекция, охватывает земной эллипсоид по меридиану, называемому центральным (осевым) меридианом (англ. central meridian, longitude origin)
зоны. Зона
(англ. zone
) - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами с разностью долготы в 6°. Всего существует 60 зон. Зоны полностью покрывают поверхность Земли между широтами 80°S и 84°N.
Отличие двух проекций заключается в том, что проекция Гаусса-Крюгера — это проекция на касательный цилиндр, а универсальная поперечная проекция Меркатора — это проекция на секущий цилиндр (для избежания искажений на крайних меридианах):
Проекция Гаусса-Крюгера
Проекция Гаусса-Крюгера была разработана немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 0°. Например, зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°.
В советской системе разграфки и номенклатуры топографических карт зоны называются колоннами и нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Например, Гомель и окрестности относятся к зоне 6
(колонне 36
) с центральным меридианом 33°.
Зоны/колонны делятся параллелями на ряды (через 4°), которые обозначаются заглавными латинскими буквами от А
до V
, начиная от экватора к полюсам.
Например, Гомель и окрестности относятся к ряду N
. Таким образом, полное название листа карты масштаба 1:1 000 000 (10 км в 1 см), изображающей Гомель, выглядит как N-36
. Этот лист делится на листы карт более крупного масштаба:
Для Беларуси и соседних стран разграфка такова:
Для определения по топографической карте положения точки на карту наносят сетку прямоугольных координат X
и Y
, выраженных в километрах. Она образована системой линий, параллельных изображению осевого меридиана зоны (вертикальные линии сетки, оси X
) и перпендикулярных к нему (горизонтальные линии сетки, оси Y
).
На карте масштаба 1:200 000 расстояние между линиями сетки составляет 4 км; на карте масштаба 1:100 000 - 2 км.
Координата X
подписывается на вертикальных краях листа карты и выражает расстояние до экватора, а координата Y
подписывается на горизонтальных краях листа карты и состоит из номера зоны (первые одна или две цифры значения) и положения точки относительно центрального меридиана зоны (последние три цифры значения, причем центральному меридиану зоны присваивается значение 500 км).
фрагмент листа N36-123 советской топографической карты масштаба 1:100 000
Например, на вышеприведенном фрагменте карты надпись 6366 возле вертикальной линии сетки означает: 6 — 6-я зона, 366 — расстояние в километрах от осевого меридиана, условно перенесенного западнее на 500 км, а надпись 5804 возле горизонтальной линии сетки означает расстояние от экватора в километрах.
Универсальная поперечная проекция Меркатора
Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM
) была разработана инженерными войсками США (United States Army Corps of Engineers
) в 1940-х годах.
Для построения карт в проекции UTM
ранее использовался эллипсоид International 1924 —
сетка UTM (International)
, а в настоящее время — эллипсоид WGS84 —
сетка UTM (WGS84)
.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Эта система используется вооруженными силами США и НАТО (англ. United States and NATO armed forces
):
Каждая зона разделена на горизонтальные полосы через каждые 8° широты. Эти полосы обозначены буквами, с юга на север, начиная от буквы C
для широты 80° S
и заканчивая буквой X
для широты 84° N
. Буквы I
и O
пропущены для избежания путаницы с цифрами 1 и 0. Полоса, помеченная буквой X
, занимает 12° по широте.
Зона в этой проекции обозначается номером (англ. longitude zone
) и буквой (каналом широты, англ. latitude zone
):
На этом рисунке видны две нестандартные зоны долготы — зона 32V
расширена для покрытия всей южной Норвегии, а зона 31V сокращена для покрытия только водного пространства.
Для Гомеля и окрестностей зона обозначается как 36U
с центральным меридианом 33°:
Зона покрывается прямоугольной (километровой) сеткой (сеткой по универсальной поперечной проекции Меркатора, СУППМ):
Длина стороны квадрата сетки в вышеприведенном фрагменте карты составляет 10 км.
Точка начала системы координат для каждой зоны определяется пересечением экватора и центрального меридиана зоны.
Координата E
(Easting
) на такой сетке представляет собой расстояние на карте
от центрального меридиана в метрах (к востоку — положительное, к западу — отрицательное), к которому прибавлено + 500 000 метров (англ. False Easting
Координата N
(Northing
) на такой сетке представляет собой расстояние на карте
от экватора в метрах (к северу — положительное, к югу — отрицательное), причем в южном полушарии это расстояние вычитается из 10 000 000 метров (англ. False Northing
) для избежания появления отрицательных значений.
Например, для левого нижнего угла квадрата сетки на вышеприведенной карте координаты записываются как
36U
(либо 36+
) 380000 5810000
,
где 36
— longitude zone
, U
— latitude zone
, 380000
— easting
, 5810000
— northing
.
Преобразование широты и долготы в координаты UTM поясняется рисунком:
P
— рассматриваемая точка
F
— точка пересечения перпендикуляра, опущенного на центральный меридиан из точки P
, с центральным меридианом (точка на центральном меридиане с тем же самым northing
, что и рассматриваемая точка P
) . Широта точки F
(англ. footprint latitude
) обозначается как $\phi ‘ $ .
O
— экватор
OZ
— центральный меридиан
LP
— параллель точки P
ZP
— меридиан точки P
OL
= k 0 S
— дуга меридиана от экватора
OF
= N
— northing
FP
= E
— easting
GN
— направление на север сетки карты (англ. grid north
)
C
— угол схождения меридианов (англ. convergence of meridians
) — угол между направлением на истинный север (англ. true north
) и на север сетки карты
При преобразовании прямоугольных координат (X
, Y
) для проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде WGS84
в прямоугольные координаты (N
, E
) для универсальной поперечной проекции Меркатора на том же эллипсоиде WGS84
необходимо учитывать масштабный коэффициент (англ. scale factor
) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
где $ Y_0 = 500 000 $ метров.
Указанный масштабный коэффициент $k_0 = 0,9996 $ верен только для центрального меридиана зоны. При удалении от осевого меридиана масштабный коэффициент изменяется.
Примечание. Погрешность считывания координат с карты (georeferencing accuracy ) обычно принимается равной ±0,2 мм. Именно такую точность имеют устройства, применяемые при создании аналоговой карты.
Геоид
Следует отметить, что более точным приближением поверхности нашей планеты является геоид
(англ. geoid
) — эквипотенциальная поверхность земного поля тяжести, т. е. поверхность геоида везде перпендикулярна линии отвеса. Но сила тяжести определяется векторной суммой гравитационной силы со стороны Земли и центробежной силы, связанной с вращением Земли, поэтому потенциал силы тяжести не совпадает с чисто гравитационным потенциалом
.
Геоид совпадает со средним уровнем Мирового океана, относительно которого ведется отсчет высот над уровнем моря
.
Геоид имеет сложную форму, отражающую распределение масс внутри Земли, и поэтому для решения геодезических задач геоид заменяется эллипсоидом вращения. Наиболее современной математической моделью геоида является EGM2008
, пришедшая на смену популярной модели EGM96
.
Продолжение следует.
Для всех топографических карт в нашей стране применяется проекция Гаусса-Крюгера. Проекция равноугольная, средний меридиан изображается прямой линией без искажений, экватор изображается прямой, перпендикулярной к среднему меридиану. Все остальные меридианы криволинейны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора.
Полоса отображения в проекции представляет собой шестиградусную или трехградусную зону эллипсоида.
Координатными осями для каждой зоны являются прямолинейный средний меридиан – ось абсцисс и прямолинейный экватор – ось ординат. Счет координатных зон при разбиении земного эллипсоида ведется с запада на восток. Долгота осевого меридиана первой зоны равна 3° (т.к. он посередине зоны, а отсчет этой зоны идет от Гринвичского меридиана). Номер зоны N и долгота осевого меридиана L° связаны равенством
L° = 6° N – 3°
Номер зоны N в проекции Гаусса-Крюгера отличается от номера колонны карты масштаба 1:1 000 000 на 30.
Например, если номенклатура листа карты N-45, то это значит, что лист расположен в 15 зоне проекции Гаусса-Крюгера и его осевой меридиан имеет долготу
L° = 6°х15-3° = 90°-3° = 87°
Для построения топографических карт России прибегают к многополосному изображению земного эллипсоида, когда на плоскость переносят зоны эллипсоида, протяженностью 6° (рис.2.20).
Каждая зона строится на отдельном касательном поперечном цилиндре так, что ось касания проходит по среднему меридиану зоны PP΄, называемому осевым (рис.2.21). У каждой зоны свой осевой меридиан.
Рис. 2.20. Схема многополосного изображения земного эллипсоида
При развертывании цилиндра в плоскость осевой меридиан изображается без искажения прямой PP΄ (рис.2.22) и его принимают за ось xx . Экватор EE΄ также изображается прямой, перпендикулярной к осевому меридиану. Он соответствует оси yy . Началом координат в каждой зоне служит точка О – пересечение осевого меридиана и экватора. Таким образом, положение любой точки определяется прямоугольными координатами x и y .
Рис. 2.21. Схема развертывания поверхности эллипсоида
с помощью цилиндра
Рис. 2.22. Результат развертывания цилиндра на плоскости
Разграфка и номенклатура листов топографических карт и планов
Классификация карт и планов по масштабу осуществляется следующим образом:
Лист топографической карты любого масштаба по размерам должен быть удобным как при его создании, печатании тиража, так и при пользовании им. С учетом этого установлено, что размер одного листа не должен быть больше 50см х 50 см. Но на одном таком листе изображается незначительный участок местности, поэтому карты на значительную (обширную) территорию являются многолистными.
Определение 2.9. Система разделения карты или плана на отдельные листы называется разграфкой карты (плана).
Определение 2.10. Обозначение отдельных листов многолистных топографических карт и планов в единой системе есть номенклатура .
Система разграфки и номенклатура листов карт и планов отдельных масштабов дают возможность определять географические координаты углов рамки любого листа топографической карты всего масштабного ряда, а также по географическим координатам точки находить номенклатуру листа карты любого масштаба, на котором эта точка находится, а также находить прямоугольные координаты. Лист карты масштаба 1: 1 000 000 получается разбиением параллелями через 4°, а меридианами – через 6°.
Географические координаты углов рамки листа карты масштаба 1: 1 000 000 по его номенклатуре определяют следующим образом.
Порядковый номер в виде буквы латинского алфавита, которая принимает конкретное значение – числа натурального ряда и которой обозначен ряд, умножают на 4° и получают географическую (геодезическую) широту северной параллели. Для колонн с номерами 31-60 (к востоку от Гринвича) номер колонн уменьшают на 30. Тогда формула для расчета географической (геодезической) долготы восточного меридиана (правого угла листа) будет выглядеть
6°=М°
Соответствие масштабов и номенклатуры листов приведено в табл.1.
Таблица 1. Масштабы и номенклатура листов карты
Последние две строки для планов местности с площадью S > 20 км 2 .
Пример . Пусть N = 14 – порядковый номер ряда, тогда
СШ = 14 х 4° = 56°; ЮШ = 56° – 4° = 52° (учли, что отсчет угла идет от плоскости экватора)
ВД = 6° = 42°
ЗД = 42° – 6° = 36°
Переход от листа карты масштаба 1: 1 000 000 к листам карт других масштабов осуществляется по простейшему алгоритму, приведенному на рис. 2.23.
