Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Нормальное уравнение плоскости. Параметрические уравнения прямой в пространстве
Нормальное уравнение плоскости.
Общее
уравнение плоскости вида называют нормальным
уравнением плоскости
,
если длина
вектора 
равна
единице, то есть, 
,
и .
Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.
Нормальное
уравнение плоскости в прямоугольной
системе координат Oxyz
определяет
плоскость, которая удалена от начала
координат на расстояние p
в
положительном направлении нормального
вектора этой плоскости 
.
Если p=0
,
то плоскость проходит через начало
координат.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть
плоскость задана в прямоугольной системе
координат Oxyz
общим
уравнение плоскости вида 
.
Это общее уравнение плоскости является
нормальным уравнением плоскости.
Действительно, и
нормальный вектор этой плоскости 
имеет
длину равную единице, так как 
.
Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае. Расстояние от точки до плоскости равно
Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Расстояние между параллельными плоскостями
Связанные понятия
Плоскости параллельны , если
или 
(Векторное
произведение)
Плоскости перпендикулярны , если
Или 
.
(Скалярное произведение)
Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой.
Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.
Уравнение прямой на плоскости Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x , y и z , которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz . Действительно, уравнение вида , гдеx , y и z – переменные, а A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости . Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz »?
Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.
Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Переведем последнее утверждение на язык алгебры.
Пусть
в трехмерном пространстве зафиксирована
прямоугольная система координат Oxyz
и
известно, что прямая a
является
линией пересечения двух плоскостей и,
которым отвечают общие уравнения
плоскости видаисоответственно.
Так как прямаяa
представляет
собой множество всех общих точек
плоскостей и,
то координаты любой точки прямой a будут
удовлетворять одновременно и уравнениюи
уравнению,
координаты никаких других точек не
будут удовлетворять одновременно обоим
уравнениям плоскостей. Следовательно,
координаты любой точки прямойa
в
прямоугольной системе координат Oxyz
представляют
собой частное
решение системы линейных уравнений
вида 
,
а общее решение системы уравнений
определяет
координаты каждой точки прямойa
,
то есть, определяет прямую a
.
Итак,
прямая в пространстве в прямоугольной
системе координат Oxyz
может
быть задана системой из уравнений двух
пересекающихся плоскостей 
.
Вот
пример задания прямой линии в пространстве
с помощью системы двух уравнений - 
.
Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит принахождении координат точки пересечения прямой и плоскости , а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве .
Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей . В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.
Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве , и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.
Параметрические уравнения прямой в пространстве.
Параметрические
уравнения прямой в пространстве
имеют
вид 
,
где x 1 ,y 1 и z 1 – координаты некоторой точки прямой, a x , a y и a z (a x , a y и a z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой , а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.
При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел,
она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при
из
параметрических уравнений прямой в
пространстве получаем координаты x
1
, y
1
и z
1
: 
.
В
качестве примера рассмотрим прямую,
которую задают параметрические уравнения
вида 
.
Эта прямая проходит через точку,
а направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.
Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве . В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.
Канонические уравнения прямой в пространстве.
Разрешив
каждое из параметрических уравнений
прямой вида 
относительно
параметра,
легко перейти кканоническим
уравнениям прямой в пространстве
вида 
.
Канонические
уравнения прямой в пространстве
определяют прямую, проходящую через
точку
,
а направляющим вектором прямой является
вектор
.
К примеру, уравнения прямой в каноническом
виде
соответствуют
прямой, проходящей через точку пространства
с координатами,
направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.
Следует
отметить, что одно или два из чисел в
канонических уравнениях прямой могут
быть равны нулю (все три числаодновременно
не могут быть равны нулю, так как
направляющий вектор прямой не может
быть нулевым). Тогда запись вида
считается
формальной (так как в знаменателях одной
или двух дробей будут нули) и ее следует
понимать как
,
где.
Если
одно из чисел в
канонических уравнениях прямой равно
нулю, то прямая лежит в одной из
координатных плоскостей, либо в плоскости
ей параллельной. Если два из чиселравны
нулю, то прямая либо совпадает с одной
из координатных осей, либо параллельна
ей. Например прямая, соответствующая
каноническим уравнениям прямой в
пространстве вида
,
лежит в плоскостиz=-2
,
которая параллельна координатной
плоскости Oxy
,
а координатная ось Oy
определяется
каноническими уравнениями .
Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве .
Общее уравнение прямой. Переход от общего к каноническому уравнению.
| " |
В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.
Уравнение плоскости по трем точкам
Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:
Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:
M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:
Ax + By + Cz + D = 0
где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.
Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.
Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.
Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.
Уравнение плоскости через определитель
Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.
Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:
Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Составляем определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · (z
− 1) + 0 · 0 · x
+ (−1) · 1 · y
= z
− 1 − y;
b
= (−1) · 1 · x
+ 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · y
= −x;
d
= a
− b
= z
− 1 − y
− (−x
) = z
− 1 − y
+ x
= x
− y
+ z
− 1;
d
= 0 ⇒ x
− y
+ z
− 1 = 0;
Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Сразу подставляем координаты точек в определитель:
Снова раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · z
+ 0 · 1 · x
+ 1 · 0 · y
= z;
b
= 1 · 1 · x
+ 0 · 0 · z
+ 1 · 1 · y
= x
+ y;
d
= a
− b
= z
− (x
+ y
) = z
− x
− y;
d
= 0 ⇒ z
− x
− y
= 0 ⇒ x
+ y
− z
= 0;
Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.
Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.
На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.
Откуда берется формула с определителем?
Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.
Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:
M
= (x
1 , y
1 , z
1);
N
= (x
2 , y
2 , z
2);
K
= (x
3 , y
3 , z
3).
Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:
T = (x , y , z )
Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:
MN
= (x
2 − x
1 , y
2 − y
1 , z
2 − z
1);
MK
= (x
3 − x
1 , y
3 − y
1 , z
3 − z
1);
MT
= (x
− x
1 , y
− y
1 , z
− z
1).
Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:
Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.
Замена точек и строк определителя
У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:
Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:
Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:
Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
Итак, рассматриваем 4 точки:
B
1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D
1 = (0, 1, 1);
T
= (x
, y
, z
).
Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · (x
− 1) + (−1) · (−1) · y
= 0 + 0 + y;
b
= (−1) · 1 · (x
− 1) + 1 · (−1) · (z
− 1) + 0 · 0 · y
= 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
d
= a
− b
= y
− (2 − x
− z
) = y
− 2 + x
+ z
= x
+ y
+ z
− 2;
d
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .
Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:
Вновь раскрываем полученный определитель:
a
= (x
− 1) · 1 · (−1) + (z
− 1) · (−1) · 1 + y
· 0 · 0 = 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
b
= (z
− 1) · 1 · 0 + y
· (−1) · (−1) + (x
− 1) · 1 · 0 = y;
d
= a
− b
= 2 − x
− z
− y;
d
= 0 ⇒ 2 − x
− y
− z
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.
Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.
В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.
Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.
Нормальный вид уравнения
Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.
Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).
Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:
Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.
Общее уравнение
Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:
Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.
Уравнения плоскостей. Частные случаи
Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.
Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.
Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:
- Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
- Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
- В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
- В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
- В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
- В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.
Вид уравнения в отрезках
В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:
х/а + у/b + z/с = 1,
в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.
Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).
С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.
Координаты нормального вектора
Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).
Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.
При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).
Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.
Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора
Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.
Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:
- точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
- нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.
Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.
В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:
[МₒМ, n] = 0.
Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:
Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.
Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:
Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:
А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.
Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости
Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).
Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.
При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.
Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:
Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки
Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:
Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:
Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:
В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.
Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.
Двухгранный угол между плоскостями
Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.
Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:
Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
именно потому
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).
Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.
На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.
Уравнение перпендикулярной плоскости
Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.
Уравнение параллельной плоскости
Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.
Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:
А/А¹=В/В¹=С/С¹.
Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,
это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.
Расстояние до плоскости от точки
Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:
(ρ,v)=р (р≥0).
В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.
Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Вот и получается,
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.
Используя язык параметров, получаем очевидное:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.
Касательная плоскость и ее уравнение
Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.
При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:
F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.
Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:
z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).
Пересечение двух плоскостей
В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.
а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:
В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.
Рассмотрим в пространстве плоскость Q. Положение ее вполне определяется заданием вектора N, перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки лежащей в плоскости Q. Вектор N, перпендикулярный плоскости Q, называется нормальным вектором этой плоскости. Если обозначить через А, В и С проекции нормального вектора N, то
Выведем уравнение плоскости Q, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор . Для этого рассмотрим вектор соединяющий точку с произвольной точкой плоскости Q (рис. 81).
При любом положении точки М на плоскости Q вектор МХМ перпендикулярен нормальному вектору N плоскости Q. Поэтому скалярное произведение Запишем скалярное произведение через проекции. Так как , а вектор , то
и, следовательно,
Мы показали, что координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (4). Нетрудно заметить, что координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (в последнем случае ). Следовательно, нами получено искомое уравнение плоскости Q. Уравнение (4) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат
Итак, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.
Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение. Здесь . На основании формулы (4) получим
или, после упрощения,
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (4) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей. Уравнение (4), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать любые значения, называются уравнением связки плоскостей.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , (рис. 82).
Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку
1. Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0 , где А, В, С – координаты вектора
N = Ai + Bj + Ck -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:
A = 0 – плоскость параллельна оси Ох
B = 0 – плоскость параллельна оси Оу C = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
A = B = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу A = C = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz B = C = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz A = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
B = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу C = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
A = B = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу A = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz B = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
2. Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какиелибо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) в общей декартовой системе
координат. |
||||||
Для того, чтобы произвольная точка M (x , y , z ) |
лежала в одной плоскости с точками |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны, т.е |
||||||
M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 } |
||||||
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Таким образом, M 1 M 2 |
= { x 2 − x 1 ; y 2 |
− y 1 ; z 2 − z 1} |
||||
M1 M 3 |
= { x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1} |
|||||
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
x 3 − x 1 |
y 3 − y 1 |
z 3 − z 1 |
||||
4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и векторa = (a 1 , a 2 , a 3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную
точку М(х, у, z) параллельно вектору a . |
||||||||||
Векторы M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 } |
и вектор a = (a , a |
должны быть |
||||||||
M 1M 2 = { x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1} |
||||||||||
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||||||
компланарны, т.е. (M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0.Уравнение плоскости: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||||||
5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора a = (a 1 , a 2 , a 3 ) и b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a ,b , MM 1 должны быть компланарны.
6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору нормали N (A , B ,C ) имеет вид: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. Уравнение плоскости в отрезках
Если в общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0 поделить обе части на (-D)
x − |
y − |
z − 1 = 0 , заменив − |
C , получим уравнение плоскости |
|||||||||||||||||||
в отрезках: |
1 . Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно |
|||||||||||||||||||||
с осями х, у, z.
8. Уравнение плоскости в векторной форме
r n = p , где r = xi + yj + zk - радиусвектор текущей точки M (x , y , z ) ,
n = i cosα + j cos β + k cosγ - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,
опущенного на плоскость из начала координат. α , β и γ - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n 1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,
перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n 2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
n = AB × n |
− 5 |
− j |
− 5 |
11 i − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
Таким образом, вектор нормали n 1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.
11.2 + 7.1− 2.4 + D = 0; D = − 21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. Уравнение линии в пространстве
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F (x , y , z ) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.
Пусть F (x , y , z ) = 0 и Ф (x , y , z ) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
F (x , y , z ) = 0
Тогда пару уравнений Ф (x , y , z ) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.
11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему векторуr 0 = M 0 M .
Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = St , где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: r = r 0 + St .
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
x = x0 + mt
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: y = y 0 + nt
z = z0 + pt
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические
уравнения прямой в пространстве: |
x − x0 |
y − y0 |
z − z0 |
|||
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
cosα = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N 2 + p 2 |
m 2 + n 2 + p 2 |
|||||||
Отсюда получим: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .
Числа m , n , p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
