Намаляване на общото уравнение на равнината до нормална форма. Уравнение на нормална равнина. Параметрични уравнения на права в пространството
Уравнение на нормална равнина.
Общото уравнение на равнината на формата се нарича уравнение на нормална равнина, ако дължината на вектора 
равно на едно, т.е. 
, И .
Често можете да видите, че нормалното уравнение на равнина е написано като . Ето насочващите косинуси на нормалния вектор на дадена равнина с единица дължина, тоест и стр– неотрицателно число, равно на разстоянието от началото до равнината.
Нормално уравнение на равнина в правоъгълна координатна система Oxyzдефинира равнина, която е отдалечена от началото на разстояние стрв положителната посока на нормалния вектор на тази равнина 
. Ако р=0, тогава равнината преминава през началото.
Нека дадем пример за уравнение на нормална равнина.
Нека равнината е зададена в правоъгълна координатна система Oxyzобщо уравнение на равнината на формата 
. Това общо уравнение на равнината е нормалното уравнение на равнината. Наистина нормалният вектор на тази равнина е 
има дължина, равна на единица, тъй като 
.
Уравнението на равнина в нормална форма ви позволява да намерите разстоянието от точка до равнина.
Разстояние от точка до равнина.
Разстоянието от точка до равнина е най-малкото от разстоянията между тази точка и точките на равнината. Известно е, че разстояниеот точка към равнина е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към равнината.
Ако и началото на координатите лежат от различни страни на равнината, в обратния случай. Разстоянието от точка до равнина е
Взаимно разположение на равнините. Условия за успоредност и перпендикулярност на равнините.
Разстояние между успоредни равнини
Свързани понятия
Равнините са успоредни , Ако
или 
(Векторен продукт)
Равнините са перпендикулярни, Ако
Или 
. (Скаларен продукт)
Направо в космоса. Различни видове уравнения с права линия.
Уравнения на права линия в пространството – начална информация.
Уравнение на права на равнина Оксие линейно уравнение с две променливи хИ г, което се удовлетворява от координатите на която и да е точка от линия и не се удовлетворява от координатите на други точки. С правата линия в триизмерното пространство ситуацията е малко по-различна - няма линейно уравнение с три променливи х, гИ z, което би било удовлетворено само от координатите на точките на линия, зададена в правоъгълна координатна система Oxyz. Наистина, уравнение от формата , където х, гИ zса променливи и А, б, ° СИ д– някои реални числа и А, INИ СЪСне са равни на нула едновременно, представлява общо уравнение на равнината. Тогава възниква въпросът: „Как може да се опише права линия в правоъгълна координатна система? Oxyz»?
Отговорът на този въпрос се съдържа в следващите параграфи на статията.
Уравненията на права линия в пространството са уравнения на две пресичащи се равнини.
Нека си припомним една аксиома: ако две равнини в пространството имат обща точка, то те имат обща права линия, на която са разположени всички общи точки на тези равнини. По този начин права линия в пространството може да бъде дефинирана чрез определяне на две равнини, пресичащи се по тази права линия.
Нека преведем последното твърдение на езика на алгебрата.
Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в тримерното пространство Oxyzа е известно, че правата линия ае линията на пресичане на две равнини и, които съответстват на общите уравнения на равнината на формата и, съответно. Тъй като е прав ае множеството от всички общи точки на равнините и тогава координатите на всяка точка от правата a ще удовлетворяват едновременно и уравнението, и уравнението, координатите на никакви други точки няма да удовлетворяват едновременно и двете уравнения на равнините. Следователно координатите на всяка точка от линията ав правоъгълна координатна система Oxyzпредставлявам конкретно решение на система от линейни уравнениямил 
, и общото решение на системата от уравнения 
определя координатите на всяка точка от правата а, тоест определя права линия а.
И така, права линия в пространството в правоъгълна координатна система Oxyzможе да се даде чрез система от уравнения на две пресичащи се равнини 
.
Ето пример за дефиниране на права линия в пространството с помощта на система от две уравнения - 
.
Описването на права линия с уравненията на две пресичащи се равнини е отлично за намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина, а също и когато намиране на координатите на пресечната точка на две прави в пространството.
Препоръчваме допълнително проучване на тази тема, като се позовавате на статията уравнения на права в пространството - уравнения на две пресичащи се равнини. Той предоставя по-подробна информация, разглежда подробно решения на типични примери и задачи, а също така показва метод за преход към уравнения на права линия в пространство от различен тип.
Трябва да се отбележи, че има различни начини за определяне на линия в пространството, а на практика правата линия често се определя не от две пресичащи се равнини, а от насочващия вектор на правата линия и точка, лежаща на тази права линия. В тези случаи е по-лесно да се получат канонични и параметрични уравнения на линия в пространството. Ще говорим за тях в следващите параграфи.
Параметрични уравнения на права в пространството.
Параметрични уравнения на права в пространствотоизглежда като 
,
Където х 1 ,г 1 И z 1 – координати на някаква точка от линията, а х , а гИ а z (а х , а гИ а zне са едновременно равни на нула) - съответстващи координати на насочващия вектор на правата, a е някакъв параметър, който може да приеме произволна реална стойност.
За всяка стойност на параметъра, използвайки параметричните уравнения на линия в пространството, можем да изчислим тройка числа,
то ще съответства на някаква точка от правата (оттук и името на този тип уравнение на правата). Например, когато
от параметричните уравнения на права линия в пространството получаваме координатите х 1
, г 1
И z 1
: 
.
Като пример, разгледайте права линия, дефинирана от параметрични уравнения на формата 
. Тази права минава през точка и векторът на посоката на тази линия има координати.
Препоръчваме да продължите да изучавате темата, като се позовавате на статията параметрични уравнения на линия в пространството. Той показва извеждането на параметрични уравнения на права в пространството, разглежда специални случаи на параметрични уравнения на права в пространството, осигурява графични илюстрации, предоставя подробни решения на характерни проблеми и посочва връзката между параметричните уравнения на права и други видове уравнения на права.
Канонични уравнения на права линия в пространството.
След разрешаване на всяко от параметричните уравнения на права линия на формата 
по отношение на параметъра, лесно е да отидете канонични уравнения на права линия в пространствотомил 
.
Каноничните уравнения на права в пространството определят права, минаваща през точка 
, а векторът на посоката на правата е векторът 
. Например уравненията на права линия в канонична форма 
съответстват на права, минаваща през точка в пространството с координати, векторът на посоката на тази линия има координати.
Трябва да се отбележи, че едно или две от числата в каноничните уравнения на линия могат да бъдат равни на нула (и трите числа не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като векторът на посоката на правата не може да бъде нула). След това запис на формата 
се счита за формално (тъй като знаменателите на една или две дроби ще имат нули) и трябва да се разбира като 
, Където.
Ако едно от числата в каноничните уравнения на права е равно на нула, тогава правата лежи в една от координатните равнини или в равнина, успоредна на нея. Ако две от числата са нула, тогава правата или съвпада с една от координатните оси, или е успоредна на нея. Например линия, съответстваща на каноничните уравнения на линия в пространството на формата 
, лежи в самолета z=-2, която е успоредна на координатната равнина Окси, и координатната ос Ойсе определя от канонични уравнения.
За графични илюстрации на тези случаи, извеждането на каноничните уравнения на права в пространството, подробни решения на типични примери и задачи, както и прехода от каноничните уравнения на права към други уравнения на права в пространството, вижте статия канонични уравнения на права в пространството.
Общо уравнение на права линия. Преход от общото към каноничното уравнение.
| " |
В този урок ще разгледаме как да използваме детерминантата за създаване уравнение на равнината. Ако не знаете какво е детерминанта, преминете към първата част на урока - „Матрици и детерминанти“. В противен случай рискувате да не разберете нищо от днешния материал.
Уравнение на равнина с помощта на три точки
Защо изобщо се нуждаем от уравнение на равнина? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло не можете без това уравнение. Затова формулираме проблема:
Задача. В пространството са дадени три точки, които не лежат на една права. Техните координати:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Трябва да създадете уравнение за равнината, минаваща през тези три точки. Освен това уравнението трябва да изглежда така:
Ax + By + Cz + D = 0
където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност трябва да бъдат намерени.
Е, как да получа уравнението на равнина, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, които могат лесно да бъдат решени.
Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният Единен държавен изпит по математика показа, че вероятността да направите изчислителна грешка е наистина висока.
Ето защо най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и по-елегантни решения. И го намериха! Вярно е, че получената техника е по-скоро свързана с висшата математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък на учебниците, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка или доказателство.
Уравнение на равнина чрез детерминанта
Стига с текстовете, да се заемем с работата. Като начало, теорема за това как са свързани детерминантата на матрица и уравнението на равнината.
Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се прекара равнината: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да бъде написано чрез детерминантата:
Като пример, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат в задачи C2. Вижте колко бързо се изчислява всичко:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Съставяме детерминанта и я приравняваме към нула:
Разширяваме детерминантата:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Както можете да видите, когато пресмятах числото d, „сресах“ малко уравнението, така че променливите x, y и z да бяха в правилната последователност. Това е всичко! Уравнението на равнината е готово!
Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Незабавно заместваме координатите на точките в определителя:
Отново разширяваме детерминантата:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
И така, отново се получава уравнението на равнината! Отново, на последната стъпка трябваше да променим знаците в него, за да получим по-„красива“ формула. Изобщо не е необходимо да правите това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решение на проблема.
Както можете да видите, съставянето на уравнение на равнина вече е много по-лесно. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминантата - и това е, уравнението е готово.
Това може да сложи край на урока. Много ученици обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминантата. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред съдържа само x. За да премахнем това наистина от пътя, нека да видим откъде идва всяко число.
Откъде идва формулата с определителя?
И така, нека разберем откъде идва такова грубо уравнение с детерминанта. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.
Всички равнини, които се появяват в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са отбелязани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да създадем уравнение, ще трябва да запишем техните координати:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Нека разгледаме друга точка от нашата равнина с произволни координати:
T = (x, y, z)
Вземете произволна точка от първите три (например точка М) и начертайте вектори от нея към всяка от останалите три точки. Получаваме три вектора:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1).
Сега нека съставим квадратна матрица от тези вектори и да приравним нейния детерминант на нула. Координатите на векторите ще станат редове на матрицата - и ще получим самата детерминанта, посочена в теоремата:
Тази формула означава, че обемът на паралелепипед, изграден върху векторите MN, MK и MT, е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.
Замяна на точки и прави на детерминанта
Детерминантите имат няколко страхотни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка рисуваме векторите. Следователно следните детерминанти дават същото уравнение на равнината като горното:
Можете също така да размените редовете на определителя. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако Ви е удобно:
Някои хора са объркани от факта, че една от линиите съдържа променливи x, y и z, които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Замествайки числата в детерминантата, трябва да получите тази конструкция:
След това детерминантата се разширява според диаграмата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:
Ax + By + Cz + D = 0
Разгледайте един пример. Това е последното в днешния урок. Съзнателно ще разменя редовете, за да съм сигурен, че отговорът ще даде същото уравнение на равнината.
Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
И така, разглеждаме 4 точки:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Първо, нека създадем стандартна детерминанта и да я приравним към нула:
Разширяваме детерминантата:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0.
Сега нека пренаредим няколко реда в детерминантата и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливите x, y, z не отдолу, а отгоре:
Отново разширяваме получената детерминанта:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Получихме точно същото уравнение на равнината: x + y + z − 2 = 0. Това означава, че то наистина не зависи от реда на редовете. Остава само да напиша отговора.
И така, убедени сме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на правите. Можем да извършим подобни изчисления и да докажем, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от други точки.
В проблема, разгледан по-горе, използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Като цяло, всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.
Може да се задава по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни форми. Освен това при определени условия равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще научим как да създадем общо уравнение на равнината и много повече.
Нормална форма на уравнение
Да кажем, че има пространство R 3, което има правоъгълна XYZ координатна система. Нека дефинираме вектора α, който ще се освободи от началната точка O. През края на вектора α прекарваме равнина P, която ще бъде перпендикулярна на него.
Нека означим произволна точка на P като Q = (x, y, z). Нека подпишем радиус вектора на точка Q с буквата p. В този случай дължината на вектора α е равна на р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Това е единичен вектор, който е насочен настрани, като вектора α. α, β и γ са ъглите, които се образуват съответно между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z. Проекцията на всяка точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, равна на p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Горното уравнение има смисъл, когато p=0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α=0), която е началото на координатите, а единичният вектор Ʋ, освободен от точката O, ще бъде перпендикулярен на P, независимо от посоката си, което означава, че векторът Ʋ е определен с точност до знака. Предишното уравнение е уравнението на нашата равнина P, изразено във векторна форма. Но в координати ще изглежда така:
P тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнината в пространството в нормална форма.
Общо уравнение
Ако умножим уравнението в координати по произволно число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на това, определящо същата тази равнина. Ще изглежда така:
Тук A, B, C са числа, които едновременно са различни от нула. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.
Уравнения на равнини. Особени случаи
Уравнението в общ вид може да бъде модифицирано при наличие на допълнителни условия. Нека разгледаме някои от тях.
Да приемем, че коефициентът A е 0. Това означава, че тази равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Ву+Cz+D=0.
По същия начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:
- Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще покаже успоредност на оста Oy.
- Второ, ако C=0, тогава уравнението ще се трансформира в Ax+By+D=0, което ще покаже успоредност на дадената ос Oz.
- Трето, ако D=0, уравнението ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което ще означава, че равнината пресича O (началото).
- Четвърто, ако A=B=0, тогава уравнението ще се промени на Cz+D=0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
- Пето, ако B=C=0, тогава уравнението става Ax+D=0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
- Шесто, ако A=C=0, тогава уравнението ще приеме формата Ву+D=0, тоест ще отчете паралелност на Oxz.
Вид уравнение в сегменти
В случай, че числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:
x/a + y/b + z/c = 1,
в която a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Получаваме като резултат Струва си да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c). ).
Като вземем предвид уравнението x/a + y/b + z/c = 1, не е трудно визуално да си представим разположението на равнината спрямо дадена координатна система.
Нормални векторни координати
Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициенти на общото уравнение на тази равнина, тоест n (A, B, C).
За да се определят координатите на нормалата n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.
Когато използвате уравнение в сегменти, което има формата x/a + y/b + z/c = 1, както и когато използвате общо уравнение, можете да запишете координатите на всеки нормален вектор на дадена равнина: (1 /a + 1/b + 1/ С).
Струва си да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните включват задачи, които включват доказване на перпендикулярността или успоредността на равнините, задачи за намиране на ъгли между равнини или ъгли между равнини и прави.
Вид уравнение на равнината според координатите на точката и нормален вектор
Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален за дадена равнина.
Да приемем, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) са дадени Oxyz:
- точка Mₒ с координати (xₒ,yₒ,zₒ);
- нулев вектор n=A*i+B*j+C*k.
Необходимо е да се създаде уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ перпендикулярно на нормалата n.
Избираме произволна точка в пространството и я обозначаваме с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x,y,z) е r=x*i+y*j+z*k, а радиус векторът на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точка M ще принадлежи на дадена равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектор n. Нека напишем условието за ортогоналност, като използваме скаларното произведение:
[MₒM, n] = 0.
Тъй като MₒM = r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:
Това уравнение може да има друга форма. За да направите това, се използват свойствата на скаларното произведение и лявата страна на уравнението се трансформира. = - . Ако го означим като c, получаваме следното уравнение: - c = 0 или = c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус-векторите на дадени точки, които принадлежат на равнината.
Сега можем да получим координатната форма на запис на векторното уравнение на нашата равнина = 0. Тъй като r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k и n = A*i+B *j+С*k, имаме:
Оказва се, че имаме уравнение за равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормалата n:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Вид уравнение на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеарен на равнината
Нека дефинираме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), както и вектор a (a′,a″,a‴).
Сега можем да създадем уравнение за дадена равнина, която ще минава през съществуващите точки M′ и M″, както и всяка точка M с координати (x, y, z), успоредни на дадения вектор a.
В този случай векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) трябва да са копланарни с вектора a=(a′,a″,a‴), което означава, че (M′M, M″M, a)=0.
И така, нашето уравнение на равнината в пространството ще изглежда така:
Вид уравнение на равнина, пресичаща три точки
Да кажем, че имаме три точки: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), които не принадлежат на една и съща права. Необходимо е да се напише уравнението на равнина, минаваща през дадени три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, но е единствената и уникална. Тъй като тази равнина пресича точката (x′,y′,z′), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:
Тук A, B, C са различни от нула едновременно. Освен това дадената равнина пресича още две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:
Сега можем да създадем хомогенна система с неизвестни u, v, w:
В нашия случай x, y или z е произволна точка, която удовлетворява уравнение (1). Като се има предвид уравнение (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, посочена на фигурата по-горе, се удовлетворява от вектора N (A,B,C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.
Уравнение (1), което получихме, е уравнението на равнината. Минава точно през 3 точки и това лесно се проверява. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта в елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминантата следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално дадени точки (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Тоест, ние сме решили поставената ни задача.
Двустенен ъгъл между равнините
Двустенният ъгъл е пространствена геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които излизат от една права линия. С други думи, това е частта от пространството, която е ограничена от тези полуравнини.
Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:
Знаем, че векторите N=(A,B¹,C) и N¹=(A¹,B¹,C¹) са перпендикулярни спрямо дадените равнини. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (двустен), който се намира между тези равнини. Точковият продукт има формата:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
именно защото
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≤φ≤π.
Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два ъгъла (двустен): φ 1 и φ 2. Тяхната сума е равна на π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знак, т.е. cos φ 1 = -cos φ 2. Ако в уравнение (0) заместим A, B и C съответно с числата -A, -B и -C, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единствената, ъгълът φ в уравнението cos φ= NN 1 /|. N||N 1 | ще бъде заменен с π-φ.
Уравнение на перпендикулярна равнина
Равнините, между които ъгълът е 90 градуса, се наричат перпендикулярни. Използвайки материала, представен по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да кажем, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ=0. Това означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Уравнение на паралелна равнина
Две равнини, които нямат общи точки, се наричат успоредни.
Условието (техните уравнения са същите като в предходния параграф) е векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, да са колинеарни. Това означава, че са изпълнени следните условия за пропорционалност:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Ако условията за пропорционалност са разширени - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
това показва, че тези равнини съвпадат. Това означава, че уравненията Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.
Разстояние до равнината от точката
Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието до него от точка с координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:
(ρ,v)=р (р≥0).
В този случай ρ (x,y,z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра P, който е освободен от нулевата точка, v е единичният вектор, който се намира в посоката а.
Разликата ρ-ρº радиус вектор на някаква точка Q = (x, y, z), принадлежаща на P, както и радиус векторът на дадена точка Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) е такъв вектор, абсолютната стойност на чиято проекция върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) до P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Така се оказва
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Така ще намерим абсолютната стойност на получения израз, тоест желаното d.
Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Ако дадена точка Q 0 е от другата страна на равнината P, като началото на координатите, тогава между вектора ρ-ρ 0 и v има следователно:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
В случай, че точката Q 0, заедно с началото на координатите, се намира от една и съща страна на P, тогава създаденият ъгъл е остър, т.е.
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0 ,v)>р, във втория (ρ 0 ,v)<р.
Допирателна равнина и нейното уравнение
Допирателната равнина към повърхността в точката на контакт Mº е равнина, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.
С този тип повърхностно уравнение F(x,y,z)=0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº(xº,yº,zº) ще изглежда така:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Ако зададете повърхността в изрична форма z=f (x,y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Пресечна точка на две равнини
В координатната система (правоъгълна) се намира Oxyz, дадени са две равнини П′ и П″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, разположена в правоъгълна координатна система, се определя от общо уравнение, ще приемем, че P′ и P″ са дадени от уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. В този случай имаме нормалата n′ (A′,B′,C′) на равнината P′ и нормалата n″ (A″,B″,C″) на равнината P″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие по следния начин: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека правата линия, която лежи в пресечната точка на P′ и P″, бъде означена с буквата a, в този случай a = P′ ∩ P″.
a е права линия, състояща се от набор от всички точки на (общите) равнини P′ и P″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на права a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″=0 . Това означава, че координатите на точката ще бъдат частично решение на следната система от уравнения:
В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата, която ще действа като пресечна точка на P′ и P″, и ще определи правата линия a в Oxyz (правоъгълна) координатна система в пространството.
Нека разгледаме равнината Q в пространството, като определяме вектора N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q, перпендикулярна на равнината Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава
Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).
За всяко положение на точка M в равнината Q, векторът MHM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Записваме скаларното произведение чрез проекции. Тъй като , и е вектор, тогава
и следователно
Показахме, че координатите на всяка точка в равнината Q отговарят на уравнение (4). Лесно е да се види, че координатите на точките, които не лежат на равнината Q, не отговарят на това уравнение (в последния случай). Следователно получихме търсеното уравнение на равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадена точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати
И така, ние показахме, че всяка равнина съответства на уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.
Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.
Решение. Тук . Въз основа на формула (4) получаваме
или след опростяване,
Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича сноп от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на куп равнини.
Пример 2. Съставете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).
Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точката
1. Общо уравнение на равнината
Определение. Равнината е повърхност, всички точки на която отговарят на общото уравнение: Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C са координатите на вектора
N = Ai + Bj + Ck е нормалният вектор към равнината. Възможни са следните специални случаи:
A = 0 – равнина, успоредна на оста Ox
B = 0 – равнина, успоредна на оста Oy C = 0 – равнина, успоредна на оста Oz
D = 0 – равнината минава през началото
A = B = 0 – равнината е успоредна на равнината xOy A = C = 0 – равнината е успоредна на равнината xOz B = C = 0 – равнината е успоредна на равнината yOz A = D = 0 – равнината минава през Ox ос
B = D = 0 – равнината минава през оста Oy C = D = 0 – равнината минава през оста Oz
A = B = D = 0 – равнината съвпада с равнината xOу A = C = D = 0 – равнината съвпада с равнината xOz B = C = D = 0 – равнината съвпада с равнината yOz
2. Уравнение на повърхността в пространството
Определение. Всяко уравнение, което свързва координатите x, y, z на всяка точка от повърхността, е уравнение на тази повърхност.
3. Уравнение на равнина, минаваща през три точки
За да бъде начертана една равнина през всеки три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една и съща права линия.
Да разгледаме точките M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) в общата декартова система
координати |
||||||
За да може произволна точка M (x, y, z) |
лежи в една равнина с точките |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 е необходимо векторите M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M да са копланарни, т.е. |
||||||
M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
||||||
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Следователно M 1 M 2 |
= ( x 2 − x 1 ; y 2 |
− y 1 ; z 2 − z 1) |
||||
M1 M 3 |
= ( x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1) |
|||||
x−x1 |
y−y1 |
z−z1 |
||||
Уравнение на равнина, минаваща през три точки: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
x 3 − x 1 |
y 3 − y 1 |
z 3 − z 1 |
||||
4. Уравнение на равнина с две точки и вектор, колинеарен на равнината
Нека са дадени точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектори = (a 1, a 2, a 3).
Нека създадем уравнение за равнина, минаваща през тези точки M1 и M2 и произволна
точка M(x, y, z), успоредна на вектор a. |
||||||||||
Вектори M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
и вектор a = (a, a |
трябва да е |
||||||||
M 1M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1) |
||||||||||
x−x1 |
y−y1 |
z−z1 |
||||||||
копланарен, т.е. (M 1 M, M 1 M 2, a) = 0. Уравнение на равнината: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||||||
5. Уравнение на равнина с помощта на една точка и два вектора, колинеарни на равнината
Нека са дадени два вектора a = (a 1, a 2, a 3) и b = (b 1,b 2,b 3), колинеарни равнини. Тогава за произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, векторите a, b, MM 1 трябва да са копланарни.
6. Уравнение на равнина чрез точка и нормален вектор
Теорема. Ако в пространството е дадена точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ), тогава уравнението на равнината, минаваща през точката M 0 перпендикулярно на нормалния вектор N (A , B , C ), има формата: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. Уравнение на равнина в отсечки
Ако в общото уравнение Ax + By + Cz + D = 0 разделим двете страни на (-D)
x− |
y − |
z − 1 = 0 , замествайки − |
C , получаваме уравнението на равнината |
|||||||||||||||||||
на сегменти: |
1 . Числата a, b, c са съответно пресечните точки на равнината |
|||||||||||||||||||||
с оси x, y, z.
8. Уравнение на равнина във векторен вид
r n = p, където r = xi + yj + zk е радиус векторът на текущата точка M (x, y, z),
n = i cosα + j cos β + k cosγ - единичен вектор с перпендикулярна посока,
спуснат върху равнината от началото. α, β и γ са ъглите, образувани от този вектор с осите x, y, z. p е дължината на този перпендикуляр. В координати това уравнение изглежда така:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. Разстояние от точка до равнина
Разстоянието от произволна точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) до равнината Ax + By + Cz + D = 0 е:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
Пример. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точки A(2,-1,4) и B(3,2,-1), перпендикулярни на равнината x + y + 2z − 3 = 0.
Уравнението на необходимата равнина има формата: Ax + By + Cz + D = 0, нормален вектор към тази равнина n 1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежи на равнината. Самолетът, даден ни,
перпендикулярно на желания има нормален вектор n 2 (1,1,2). защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава
n = AB × n |
− 5 |
− j |
− 5 |
11 i − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
Така нормалният вектор n е 1 (11,-7,-2). защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на тази равнина, т.е.
11,2 + 7,1− 2,4 + D = 0; D = − 21. Общо получаваме уравнението на равнината: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. Уравнение на права в пространството
Както в равнината, така и в пространството, всяка линия може да се дефинира като набор от точки, чиито координати в някаква координатна система, избрана в пространството, удовлетворяват уравнението:
F(x, y, z) = 0. Това уравнение се нарича уравнение на линия в пространството.
Освен това една линия в пространството може да бъде дефинирана по различен начин. Може да се разглежда като линия на пресичане на две повърхности, всяка от които е зададена от някакво уравнение.
Нека F (x, y, z) = 0 и Ф (x, y, z) = 0 – уравнения на повърхнини, пресичащи се по правата L.
F(x, y, z) = 0
Тогава двойката уравнения Ф (x, y, z) = 0 ще наричаме уравнение на права в пространството.
11. Уравнение на права линия в пространството по дадена точка и насочващ вектор 0 = M 0 M .
защото векторите М 0 М и S са колинеарни, тогава връзката М 0 М = St е вярна, където t е определен параметър. Общо можем да запишем: r = r 0 + St.
защото Ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка от правата, тогава полученото уравнение е параметрично уравнение на правата.
x = x0 + mt
Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма: y = y 0 + nt
z = z0 + точка
Преобразувайки тази система и приравнявайки стойностите на параметъра t, получаваме каноничното
уравнения на права линия в пространството: |
x−x0 |
y−y0 |
z − z0 |
|||
Определение. Насочващите косинуси на права линия са насочващите косинуси на вектора S, които могат да бъдат изчислени с помощта на формулите:
cosα = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N2+p2 |
m 2 + n 2 + p 2 |
|||||||
От тук получаваме: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.
Числата m, n, p се наричат наклони на правата. защото S е ненулев вектор, тогава m, n и p не могат да бъдат равни на нула едновременно, но едно или две от тези числа могат да бъдат равни на нула. В този случай в уравнението на правата съответните числители трябва да бъдат равни на нула.
12. Уравнение на права в пространството, минаваща през две точки
Ако на една права линия в пространството маркираме две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), тогава координатите на тези точки трябва да отговарят на уравнението на правата линия, получено по-горе:
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
