Proyeksi area yang sama tidak terdistorsi. Kartu panjang, dek berbentuk kerucut. Sifat-sifat proyeksi Ptolemeus

Penggunaan hasil pekerjaan topografi dan geodesi disederhanakan secara signifikan jika hasil ini dikaitkan dengan yang paling sederhana - sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Dalam sistem koordinat seperti itu, banyak masalah geodesi pada area kecil dan peta diselesaikan dengan menerapkan rumus sederhana geometri analitik pada bidang. Hukum bayangan suatu permukaan pada permukaan lain disebut proyeksi. Proyeksi kartografi didasarkan pada pembentukan pemetaan spesifik paralel garis lintang dan garis bujur ellipsoid ke permukaan yang rata atau tidak rata. Dalam geometri, seperti diketahui, permukaan paling sederhana yang dapat dikembangkan adalah bidang, silinder, dan kerucut. Ini menentukan tiga kelompok proyeksi peta: azimut, silindris, dan kerucut . Terlepas dari jenis transformasi yang dipilih, setiap pemetaan permukaan lengkung ke bidang memerlukan kesalahan dan distorsi. Untuk proyeksi geodesi, mereka lebih memilih proyeksi yang memberikan peningkatan perlahan dalam distorsi elemen konstruksi geodesi dengan peningkatan bertahap pada luas wilayah yang diproyeksikan. Yang paling penting adalah persyaratan bahwa proyeksi tersebut menjamin keakuratan yang tinggi dan kemudahan dalam memperhitungkan distorsi ini, dengan menggunakan rumus yang paling sederhana. Kesalahan dalam transformasi proyeksi muncul berdasarkan keakuratan empat karakteristik:

equiangularity - kebenaran bentuk benda apa pun;

persamaan luas – persamaan luas;

equidistance – kebenaran pengukuran jarak;

kebenaran petunjuk.

Tak satu pun dari proyeksi peta dapat memberikan tampilan yang akurat pada bidang untuk semua karakteristik yang tercantum.

Berdasarkan sifat distorsi proyeksi kartografi dibagi menjadi sama sudut, sama luasnya, dan sewenang-wenang (dalam kasus tertentu berjarak sama).

Sama sisi (konformal) ) proyeksi adalah proyeksi yang tidak terdapat distorsi pada sudut dan azimuth elemen linier. Proyeksi ini mempertahankan sudut tanpa distorsi (misalnya, sudut antara utara dan timur harus selalu lurus) dan bentuk benda kecil, namun panjang dan luasnya mengalami deformasi tajam. Perlu dicatat bahwa mempertahankan sudut untuk area yang luas sulit dicapai dan hanya dapat dicapai di area yang kecil.

Ukurannya sama (luas yang sama) proyeksi adalah proyeksi yang luas daerah-daerah yang bersesuaian pada permukaan ellipsoid dan bidang datar sama besarnya (sebanding). Dalam proyeksi ini, sudut dan bentuk objek terdistorsi.

bebas proyeksi memiliki distorsi sudut, luas, dan panjang, tetapi distorsi ini tersebar di seluruh peta sedemikian rupa sehingga minimal di bagian tengah dan meningkat di bagian pinggiran. Kasus khusus dari proyeksi sewenang-wenang adalah berjarak sama (equidistant), di mana tidak ada distorsi panjang di salah satu arah: sepanjang meridian atau sepanjang paralel.

Sama jauh disebut proyeksi yang mempertahankan panjang sepanjang salah satu arah utama. Biasanya, ini adalah proyeksi dengan kisi peta ortogonal. Dalam kasus ini, arah utama berada di sepanjang meridman dan paralel. Oleh karena itu, proyeksi jarak yang sama sepanjang salah satu arah ditentukan. Cara kedua untuk menyusun proyeksi tersebut adalah dengan mempertahankan faktor skala satuan di segala arah dari satu atau dua titik. Jarak yang diukur dari titik-titik tersebut akan sama persis dengan jarak sebenarnya, tetapi untuk titik-titik lainnya aturan ini tidak berlaku. Saat memilih jenis proyeksi ini, pemilihan titik sangatlah penting. Biasanya, preferensi diberikan pada titik-titik di mana jumlah pengukuran terbanyak dilakukan.

a) berbentuk kerucut

b) berbentuk silinder

c) azimut

Gambar 11. Kelas proyeksi menurut metode konstruksi

Azimuth yang sama proyeksi paling sering digunakan dalam navigasi, mis. ketika kepentingan terbesar adalah mempertahankan arah. Mirip dengan proyeksi luas yang sama, arah sebenarnya hanya dapat dipertahankan untuk satu atau dua titik tertentu. Garis lurus yang ditarik hanya dari titik-titik ini akan sesuai dengan arah sebenarnya.

Dengan metode konstruksi(membuka permukaan ke bidang) ada tiga kelas besar proyeksi: berbentuk kerucut (a), silinder (b) dan azimut (c).

Proyeksi berbentuk kerucut dibentuk berdasarkan desain permukaan bumi pada permukaan lateral kerucut, berorientasi dengan cara tertentu relatif terhadap ellipsoid. Dalam proyeksi kerucut langsung, sumbu bola dunia dan kerucut bertepatan, dan kerucut garis potong atau singgung dipilih. Setelah desain, permukaan samping kerucut dipotong sepanjang salah satu generatrice dan dibuka menjadi bidang. Bergantung pada ukuran area yang digambarkan, satu atau dua paralel diadopsi dalam proyeksi kerucut, yang panjangnya dipertahankan tanpa distorsi. Satu paralel (garis singgung) diambil untuk garis lintang pendek; dua garis potong (garis potong) untuk garis lintang yang besar untuk mengurangi penyimpangan skala dari kesatuan. Paralel seperti itu disebut standar. Ciri khusus proyeksi kerucut adalah garis tengahnya bertepatan dengan garis tengahnya. Oleh karena itu, proyeksi berbentuk kerucut cocok untuk menggambarkan wilayah yang terletak di garis lintang tengah dan memanjang secara signifikan di garis bujur. Itulah sebabnya banyak peta bekas Uni Soviet dibuat dalam proyeksi ini.

Proyeksi silinder dibentuk atas dasar proyeksi permukaan bumi ke permukaan samping silinder, yang diorientasikan dengan cara tertentu relatif terhadap ellipsoid bumi. Dalam proyeksi silinder lurus, garis sejajar dan meridian digambarkan oleh dua kelompok garis lurus sejajar yang saling tegak lurus. Dengan demikian, kisi-kisi persegi panjang dengan proyeksi silinder ditentukan. Proyeksi silinder dapat dianggap sebagai kasus khusus proyeksi kerucut, jika titik puncak kerucut berada pada tak terhingga ( = 0). Ada cara yang berbeda pembentukan proyeksi silinder. Silinder dapat bersinggungan atau memotong ellipsoid. Dalam hal menggunakan silinder singgung, keakuratan pengukuran panjang di sepanjang ekuator tetap terjaga. Jika silinder potong digunakan - sepanjang dua paralel standar, simetris terhadap ekuator. Proyeksi silinder lurus, miring, dan melintang digunakan, bergantung pada lokasi area yang dicitrakan. Proyeksi silinder digunakan saat menyusun peta skala kecil dan besar.

Proyeksi azimut dibentuk dengan memproyeksikan permukaan bumi pada bidang tertentu, dengan orientasi tertentu relatif terhadap ellipsoid. Di dalamnya, paralel digambarkan sebagai lingkaran konsentris, dan meridian sebagai sekumpulan garis lurus yang berasal dari pusat lingkaran. Sudut antara meridian proyeksi sama dengan perbedaan garis bujur yang sesuai. Jarak antara paralel ditentukan oleh sifat gambar yang diterima (equiangular atau lainnya). Grid proyeksi normal adalah ortogonal. Proyeksi azimut dapat dianggap sebagai kasus khusus proyeksi kerucut, dimana =1.

Proyeksi azimut langsung, miring dan melintang digunakan, yang ditentukan oleh garis lintang titik pusat proyeksi, pilihannya, pada gilirannya, tergantung pada lokasi wilayah. Bergantung pada distorsinya, proyeksi azimut dibagi menjadi sama sudut, luas sama, dan dengan sifat perantara.

Ada berbagai macam proyeksi: pseudocylindrical, polyconical, pseudoazimuthal dan lain-lain. Kemungkinan penyelesaian masalah yang optimal bergantung pada pilihan proyeksi peta yang tepat. Pilihan proyeksi ditentukan oleh banyak faktor, yang secara kasar dapat dikelompokkan menjadi tiga kelompok.

Kelompok faktor pertama mencirikan objek pemetaan ditinjau dari letak geografis wilayah yang diteliti, ukurannya, konfigurasinya, dan pentingnya bagian-bagiannya.

Kelompok kedua mencakup faktor-faktor yang menjadi ciri peta yang dibuat. Kelompok ini mencakup isi dan tujuan peta secara keseluruhan, metode dan kondisi penggunaannya dalam memecahkan masalah GIS, dan persyaratan keakuratan penyelesaiannya.

Kelompok ketiga mencakup faktor-faktor yang menjadi ciri proyeksi peta yang dihasilkan. Ini adalah kondisi untuk memastikan distorsi minimum, nilai distorsi maksimum yang diizinkan, sifat distribusinya, kelengkungan gambar meridian dan paralel.

Pemilihan proyeksi peta diusulkan dilakukan dalam dua tahap.

Pada tahap pertama, serangkaian proyeksi dibuat dengan mempertimbangkan faktor-faktor kelompok pertama dan kedua. Dalam hal ini, garis pusat atau titik proyeksi, yang di dekatnya skalanya sedikit berubah, harus ditempatkan di tengah wilayah yang diteliti, dan garis tengah tersebut, jika mungkin, bertepatan dengan arah sebaran terbesar. wilayah-wilayah ini. Pada tahap kedua ditentukan proyeksi yang diinginkan.

Mari kita pertimbangkan pilihan proyeksi yang berbeda tergantung pada lokasi area studi. Proyeksi azimut biasanya dipilih untuk menggambarkan wilayah wilayah kutub. Proyeksi silinder lebih disukai untuk area yang terletak dekat dan simetris terhadap garis khatulistiwa dan memanjang dalam garis bujur. Proyeksi berbentuk kerucut harus digunakan untuk area yang sama, tetapi tidak simetris terhadap ekuator atau terletak di garis lintang tengah.

Untuk semua proyeksi populasi yang dipilih, skala parsial dan distorsi dihitung menggunakan rumus kartografi matematika. Tentu saja, preferensi harus diberikan pada proyeksi yang memiliki distorsi paling sedikit, bentuk kisi kartografi yang lebih sederhana, dan, dalam kondisi yang sama, peralatan proyeksi matematika yang lebih sederhana. Saat mempertimbangkan untuk menggunakan proyeksi luas yang sama, Anda harus mempertimbangkan ukuran area yang diinginkan dan jumlah serta distribusi distorsi sudut. Area kecil muncul dengan distorsi sudut yang jauh lebih kecil saat menggunakan proyeksi luas yang sama, yang dapat berguna ketika luas dan bentuk benda itu penting. Jika masalah penentuan jarak terpendek terpecahkan, lebih baik menggunakan proyeksi yang tidak merusak arah. Memilih proyeksi adalah salah satu proses utama dalam membuat GIS.

Saat memecahkan masalah pemetaan penggunaan lapisan tanah di Rusia, dua proyeksi yang dijelaskan di bawah ini paling sering digunakan.

Proyeksi polikonik sederhana yang dimodifikasi digunakan sebagai multifaset, mis. Setiap lembar ditentukan dalam versi proyeksinya sendiri.

Gambar 12. Tata nama trapesium lembaran skala 1:200000 dalam proyeksi polikonik

Ciri-ciri proyeksi polikonik sederhana yang dimodifikasi dan distribusi distorsi dalam lembaran skala jutaan adalah sebagai berikut:

semua meridian digambarkan garis lurus, tidak terdapat distorsi panjang pada garis paralel terluar dan pada meridian yang terletak ±2º dari rata-rata,

paralel ekstrim setiap lembar (utara dan selatan) adalah busur lingkaran, pusat paralel ini berada di meridian tengah, panjangnya tidak terdistorsi, paralel tengah ditentukan oleh pembagian proporsional garis lintang sepanjang meridian lurus,

Permukaan bumi, yang dianggap sebagai permukaan ellipsoid, dibagi oleh garis meridian dan sejajar menjadi trapesium. Trapesium digambarkan pada lembaran terpisah dalam proyeksi yang sama (untuk peta skala 1: 1.000.000 dalam polikonik sederhana yang dimodifikasi). Lembaran Peta Dunia Internasional, skala 1: 1.000.000, memiliki dimensi trapesium tertentu - 4 derajat sepanjang meridian, 6 derajat sepanjang paralel; pada garis lintang 60 hingga 76 derajat, lembarannya berlipat ganda, memiliki dimensi paralel 12; di atas 76 derajat empat lembar digabungkan dan ukuran paralelnya adalah 24 derajat.

Penggunaan proyeksi sebagai multifaset mau tidak mau dikaitkan dengan pengenalan tata nama, yaitu. sistem untuk menunjuk masing-masing lembar. Untuk peta skala jutaan, penunjukan trapesium sepanjang zona lintang diterima, dimana arah dari khatulistiwa ke kutub penunjukannya dilakukan dengan huruf alfabet Latin (A, B, C, dll) dan sepanjang kolom dalam angka arab, yang dihitung dari meridian dengan garis bujur 180 (menurut Greenwich) berlawanan arah jarum jam. Lembaran tempat kota Yekaterinburg berada, misalnya, memiliki nomenklatur O-41.

Gambar 13. Pembagian tata nama wilayah Rusia

Keuntungan dari proyeksi polikonik sederhana yang dimodifikasi, diterapkan sebagai proyeksi polihedral, adalah jumlah distorsi yang kecil. Analisis pada lembar peta menunjukkan bahwa distorsi panjangnya tidak melebihi 0,10%, luas 0,15%, sudut 5´ dan praktis tidak terlihat. Kerugian dari proyeksi ini adalah munculnya celah saat menghubungkan lembaran sepanjang meridian dan paralel.

Proyeksi Gauss-Kruger pseudosilindris konformal (konformal). Untuk menerapkan proyeksi seperti itu, permukaannya ellipsoid bumi dibagi menjadi zona-zona yang tertutup antara dua meridian dengan perbedaan garis bujur 6 atau 3 derajat. Meridian dan paralel digambarkan sebagai kurva yang simetris terhadap meridian aksial zona dan ekuator. Meridian aksial zona enam derajat bertepatan dengan meridian tengah lembaran peta pada skala 1: 1.000.000 Nomor urut ditentukan dengan rumus

dimana N adalah nomor kolom lembar peta skala 1 : 1.000.000.

D Nilai meridian aksial zona enam derajat ditentukan oleh rumus

L 0 = 6n – 3, dimana n adalah nomor zona.

Koordinat persegi panjang x dan y dalam zona dihitung relatif terhadap ekuator dan meridian pusat, yang digambarkan sebagai garis lurus

Gambar 14. Proyeksi Gauss-Kruger pseudosilindris konformal

Di wilayah bekas Uni Soviet, absis koordinat Gauss-Kruger adalah positif; ordinatnya positif di timur, negatif di barat meridian aksial. Untuk menghindari nilai ordinat negatif, titik-titik meridian aksial secara konvensional diberi nilai y = 500.000 m dengan indikasi wajib di depan nomor zona yang bersangkutan. Misalnya suatu titik terletak pada zona nomor 11, 25.075 m sebelah timur meridian aksial, maka nilai ordinatnya ditulis sebagai berikut: y = 11.525.075 m: jika titik tersebut terletak di sebelah barat meridian aksial zona tersebut pada jarak yang sama, maka y = 11.474.925 m.

Dalam proyeksi konformal, sudut-sudut segitiga triangulasi tidak terdistorsi, yaitu. tetap sama seperti pada permukaan ellipsoid bumi. Skala bayangan elemen linier pada bidang adalah konstan pada suatu titik tertentu dan tidak bergantung pada azimuth elemen tersebut: distorsi linier pada meridian aksial adalah nol dan secara bertahap meningkat seiring dengan jarak darinya: di tepi enam -zona derajat mereka mencapai nilai maksimumnya.

Di negara-negara Belahan Bumi Barat, proyeksi Universal Transverse Mercator (UTM) di zona enam derajat digunakan untuk menyusun peta topografi. Proyeksi ini memiliki sifat dan distribusi distorsi yang mirip dengan proyeksi Gauss-Kruger, tetapi pada meridian aksial setiap zona skalanya adalah m=0,9996, bukan kesatuan. Proyeksi UTM diperoleh dengan proyeksi ganda - ellipsoid pada bola, dan kemudian bola pada bidang dalam proyeksi Mercator.

Gambar 15. Konversi koordinat dalam sistem informasi geografis

Kehadiran software pada GIS yang melakukan transformasi proyeksi memudahkan pemindahan data dari satu proyeksi ke proyeksi lainnya. Ini mungkin diperlukan jika data awal yang diterima ada dalam proyeksi yang tidak sesuai dengan yang dipilih dalam proyek Anda, atau jika Anda perlu mengubah proyeksi data proyek untuk memecahkan masalah tertentu. Peralihan dari satu proyeksi ke proyeksi lainnya disebut transformasi proyeksi. Dimungkinkan untuk menerjemahkan koordinat data digital yang awalnya dimasukkan ke dalam koordinat konvensional digitizer atau substrat raster menggunakan transformasi bidang.

Setiap objek spasial, selain referensi spasial, memiliki esensi makna tertentu, dan pada bab berikutnya kita akan membahas kemungkinan untuk mendeskripsikannya.

Proyeksi kerucut - permukaan bola (ellipsoid) diproyeksikan ke permukaan kerucut singgung atau garis potong, setelah itu seolah-olah dipotong sepanjang generatrix dan dibuka menjadi bidang. Seperti pada kasus sebelumnya, perbedaan dibuat antara proyeksi kerucut normal (langsung), ketika sumbu kerucut bertepatan dengan sumbu rotasi bumi, kerucut melintang - sumbu kerucut terletak pada bidang ekuator, dan miring berbentuk kerucut - sumbu kerucut condong ke bidang ekuator.

Kerucut adalah proyeksi yang paralel dari kisi-kisi normal digambarkan sebagai busur lingkaran konsentris, dan meridian adalah jari-jarinya, yang sudut-sudutnya pada peta sebanding dengan perbedaan garis bujur yang sesuai di alam.

Secara geometris, kisi-kisi kartografi dalam proyeksi ini dapat diperoleh dengan memproyeksikan meridian dan paralel ke permukaan lateral kerucut dan kemudian memperluas permukaan ini menjadi sebuah bidang.

Mari kita bayangkan sebuah kerucut menyentuh bola dunia di sepanjang AoBoCo paralel (Gbr. 4). Mari kita lanjutkan bidang meridian geografis dan paralel globe hingga berpotongan dengan permukaan kerucut. Kami akan mengambil garis perpotongan bidang yang ditunjukkan dengan permukaan kerucut, masing-masing, sebagai gambar meridian dan paralel bola dunia. Mari kita potong permukaan kerucut di sepanjang generatrix dan buka lipatannya menjadi bidang; kemudian kita akan mendapatkan kotak kartografi pada bidang di salah satu proyeksi berbentuk kerucut (Gbr. 5).

Kesejajaran bola bumi dengan permukaan kerucut dapat dipindahkan dengan cara lain, yaitu: dengan memproyeksikan sinar-sinar yang memancar dari pusat bola bumi atau dari suatu titik tertentu yang terletak pada sumbu kerucut, dengan meletakkan proyeksi pada meridian di kedua arah dari paralel singgung busur lurus meridian bumi, tertutup di antara paralel, dan selanjutnya menggambar melalui titik pengendapan lingkaran konsentris dari titik S (Gbr. 5), seperti dari pusat. Dalam kasus terakhir, kesejajaran pada bidang akan ditempatkan pada jarak yang sama satu sama lain seperti pada globe.

Dengan metode di atas untuk memindahkan kisi-kisi geografis dari bola dunia ke permukaan kerucut, maka akan diperoleh kesejajaran pada bidang tersebut

Gbr.4 Sebuah kerucut menyentuh Globe secara paralel.

Beras. 5 Deposito lingkaran konsentris.

Kisi kartografi dalam proyeksi kerucut digambarkan oleh busur lingkaran konsentris, dan meridian akan berupa garis lurus yang berasal dari satu titik dan membentuk sudut di antara mereka, sebanding dengan perbedaan garis bujur yang sesuai.

Properti proyeksi kerucut Ptolemy, Krasovsky, Kavraisky

Proyeksi Krasovsky

Tidak ada distorsi pada peta: panjang sejajar dengan garis lintang +49,4 dan +67,8 derajat; wilayah yang sejajar dengan garis lintang +48°.2 dan +68°.4; sudut sejajar dengan garis lintang +50°.6 dan +66°.8. Proyeksi dihitung dengan ketentuan sebagai berikut: mempertahankan luas sabuk, dibatasi oleh garis lintang +39°28"42" dan +73°28"42"; kesetaraan skala di sepanjang garis ekstrim sabuk ini; jumlah minimum distorsi kuadrat panjang sepanjang paralel.

Proyeksi harus digunakan untuk peta Federasi Rusia, padahal penting bahwa tidak hanya itu daratan, tetapi wilayah cekungan kutub yang berdekatan juga ditransmisikan dengan distorsi sesedikit mungkin. Peta hanya dapat dibuat tanpa menyertakan tiang dalam bingkainya, yang digambarkan sebagai busur kutub.

proyeksi Ptolemy

Proyeksi kerucut Ptolemeus dibangun pada kerucut singgung lurus. Bayangkan sebuah gambar spasial posisi relatif angka, mari kita beralih ke membuat kotak proyeksi.

1. Data awal pembuatan grid ditentukan, yaitu skala peta, jarak dalam derajat antara garis sejajar (n°) dan garis meridian (m°), garis lintang garis singgung garis singgung (φ0).

2. Jari-jari garis singgung sejajar dihitung (dalam mm) menggunakan rumus

3. Jarak antara paralel dihitung (a - segmen meridian - busur lingkaran besar) menggunakan rumus

4. Jarak antar meridian (b - ruas sejajar) ditentukan pada garis singgung sejajar. Dari tabel, nilai 1° busur suatu paralel tertentu diketahui (dalam km), dikalikan dengan perbedaan garis bujur antara meridian yang berdekatan (t°) dan dikonversi ke milimeter, dengan mengetahui skala peta ini.

Setelah perhitungan ini, mereka mulai membuat proyeksi pada selembar kertas.

1. Gambarkan garis meridian simetri. Bagi Rusia, merupakan kebiasaan untuk menganggap meridian 100° timur sebagai hal yang demikian. D.

2. Dengan menggunakan jari-jari yang dihitung dari titik puncak kerucut, yang diambil secara sembarang pada meridian simetri, dibuat garis singgung yang sejajar. Biasanya garis lintang dipilih sedemikian rupa sehingga garis paralelnya berada di tengah-tengah peta. Untuk Rusia, suhunya bisa mencapai 55° LU. w.

3. Di kedua sisi paralel singgung pada meridian simetri, segmen diletakkan - jarak antara paralel. Busur paralel itu sendiri ditarik dari bagian atas kerucut.

4. Pada garis singgung paralel (yang tidak memiliki distorsi pada peta), segmen b diletakkan - jarak antara meridian.

Bingkai internal digunakan untuk membatasi gambar kartografi wilayah Rusia atau negara lain, kemudian bingkai derajat dan bingkai eksternal dibuat, dan konstruksi kisi kartografi dalam proyeksi selesai.

Sifat-sifat proyeksi Ptolemeus:

1. Skala utama dipertahankan di sepanjang garis meridian dan garis singgung paralel.

2. Skala parsial menurut kesejajaran lainnya lebih besar dari skala utama.

3. Sifat konformal dan luas yang sama dipertahankan sepanjang garis singgung paralel - garis distorsi nol.

4 Distorsi kontur dan luas bertambah pada kedua sisi garis singgung paralel. Selain itu, pada pita 15° di kedua sisinya jumlahnya kecil, lebih jauh ke utara jumlahnya meningkat lebih signifikan daripada di selatan.

Pada tahun 1931, proyeksi kerucut normal V.V. Kavraisky dikembangkan untuk peta Uni Soviet. Itu digunakan untuk Atlas Uni Soviet (kelas 7), dan Atlas Besar Dunia Soviet. Proyeksi ini dikembangkan oleh Kavraisky dengan perhitungan distorsi terkecil sepanjang meridian dan paralel untuk wilayah Uni Soviet di selatan Lingkaran Arktik. Di bagian utara, kualitas gambar tidak diperhitungkan (Gbr. 60).

Proyeksi tersebut dibangun di atas kerucut potong dan mempunyai dua garis singgung sejajar yaitu 47° LU. w. dan 62° LU. w., distorsi sudut terbesar adalah sekitar 0,5°. Proyeksi ini memiliki semua jenis garis distorsi nol. Untuk semua meridian, skalanya adalah yang utama, dan untuk garis singgung paralel juga. Saat anak sekolah atau siswa bekerja dengan peta dalam proyeksi ini, Anda dapat menggunakan busur derajat untuk mengukur sudut.

Beras. 60. Grid dalam proyeksi Kavraisky

Dalam proyeksi Kavraisky, peta Hypsometric Uni Soviet diterbitkan pada tahun 1949 dalam skala 1 2.500.000

Sejak tahun 50-an, proyeksi jarak sama normal FN Krasovsky telah digunakan untuk peta Uni Soviet. Prinsip konstruksinya mirip dengan konstruksi proyeksi Kavraisky; kerucut garis potong yang sama digunakan untuk perhitungan, tetapi kondisinya tetap sama luas sabuk tertentu dan persamaan skala panjang sepanjang paralel ekstrimnya diperkenalkan -39°48′ dengan garis lintang dan 73°30′ dengan garis lintang, yaitu, garis antara garis singgung paralel telah diperluas, di mana kartometri pekerjaan dapat dilakukan tanpa melakukan koreksi terhadap distorsi (Gbr. 61)

Kerugian dari proyeksi kerucut normal adalah bahwa pada kerucut singgung, skala utama hanya dipertahankan sepanjang garis paralel

sentuh, ada distorsi di tempat lain. Pada kerucut garis potong, wilayah timur dan barat diputar kuat; kutub berada di luar gambar

Untuk mempertahankan skala pada semua paralel, perlu dibuat grid derajat dengan menggunakan banyak kerucut, yaitu masing-masing paralel - sendiri-sendiri. Kemudian setiap paralel akan menjadi paralel singgung (jari-jarinya dihitung menggunakan rumus Ptolemy p = r ctg φ0) dan akan digambarkan tanpa distorsi. Selanjutnya, temukan pada paralel , menggunakan tabel panjang busur di G, titik-titik lintasan meridian dan gambarkan sebagai kurva kompleks, yang menghubungkan titik-titik lintasan meridian pada yang berdekatan. paralel. Ini adalah prinsip konstruksi kisi kartografi dalam proyeksi polikonik.

41. Proyeksi polikonik. Properti proyeksi TsNIIGAiK: versi TSB, versi 1951.

Proyeksi polikonik TsNIIGAiK (Opsi TSNIIGAiK) dikembangkan untuk peta dunia Bolshoy Ensiklopedia Soviet. Distorsi sudut dan luas kira-kira memiliki urutan yang sama, tetapi berdasarkan sifat distorsinya, distorsi tersebut masih lebih condong ke arah proyeksi konformal. Saat menampilkan Eropa, Afrika, bagian penting Asia, Selatan dan Amerika Utara, Australia dan bahkan sebagian Antartika, distorsi sudut tidak melebihi 20 derajat. Distorsi terbesar terjadi di sudut bingkai (lebih dari 50 derajat). Skala wilayah bervariasi dari 0,833 (di tengah proyeksi) hingga 2 (di tepi utara benua) dan hingga 3 atau lebih (di wilayah kutub). Skala panjang di sepanjang garis khatulistiwa adalah 0,833. Tidak ada distorsi panjang sepanjang paralel +-45 derajat. Tidak terdapat distorsi sudut pada meridian tengah di dua titik dengan garis lintang +-52,7 derajat.

Proyeksi digunakan untuk banyak peta pendidikan, dinding referensi, dan desktop dunia.

Klasifikasi proyeksi peta

Peta dan proyeksi peta

Peta adalah gambaran permukaan bumi yang diperkecil pada suatu bidang dengan skala tertentu dengan kisi-kisi koordinat dan simbol-simbol yang menggambarkan benda-benda bumi.

Peta penerbangan merupakan panduan utama navigasi pesawat. Tidak ada penerbangan yang dapat dilakukan tanpa kartu.

Peta di darat diperlukan untuk meletakkan dan mendigitalkan rute, mempelajari lapangan terbang utama dan alternatif, melakukan pengukuran dan perhitungan yang diperlukan dalam persiapan penerbangan, dan dalam penerbangan - untuk mempertahankan orientasi visual, memantau jalur, dan menentukan lokasi. dari pesawat.

Kartu penerbangan harus memenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Menampilkan keadaan area dengan andal dan akurat:

2. Jelas, mudah dibaca dan mudah digunakan.

3. Kartu harus memiliki distorsi sudut dan linier minimal,

nyaman untuk pengukuran dan konstruksi grafis.

Proyeksi peta adalah suatu metode yang menggambarkan permukaan bumi pada suatu bidang datar. Semua proyeksi peta bervariasi tanda-tanda berikut:

1. Berdasarkan sifat distorsinya;

2. Menurut metode pembuatan kisi koordinat:

Tergantung pada sifat distorsi proyeksi, dapat terjadi:

1. Konformal– Kesetaraan sudut antara landmark dan bentuk gambar dipertahankan. Peta proyeksi konformal banyak digunakan dalam penerbangan.

2. Ukurannya sama– perbandingan luas bayangan suatu bangun pada peta dengan luas bangun yang sama di permukaan bumi tetap. Dalam proyeksi ini tidak ada persamaan sudut dan persamaan bangun-bangun.

3. Jarak yang sama– skala dipertahankan pada salah satu arah utama (meridian dan paralel).

4. Gratis– persamaan sudut dan luas tidak dipertahankan.

Menurut metode pembuatan kisi koordinat (meridian dan paralel), proyeksi kartografi dibagi menjadi silinder, kerucut, polikonis, dan azimut.

Proyeksi silinder (proyeksi Mercator)

Untuk membuat peta dalam proyeksi silinder, diperlukan model bumi yang dibuat bahan transparan. Sumber cahaya ditempatkan di tengah model. Model bumi ditempatkan dalam sebuah silinder sehingga ekuatornya menyentuh dinding silinder. Kemudian lampu latar dihasilkan. Sinar cahaya merambat dalam garis lurus dan semua titik serta garis pada model diproyeksikan ke permukaan silinder. Kemudian silinder dipotong dan dibalik. Meridian dan paralel pada peta dalam proyeksi ini terlihat seperti garis yang saling tegak lurus. Proyeksinya berbentuk persegi panjang, skalanya tidak sama - membesar ke arah kutub. Peta bahari dihasilkan dalam proyeksi ini.

Dalam proyeksi kerucut, permukaan bumi diproyeksikan ke permukaan lateral kerucut yang menyentuh salah satu garis sejajar. Kemudian kerucut dipotong dan dibuka pada bidang datar. Meridian dalam proyeksi ini digambarkan sebagai garis lurus yang menyatu dengan kutub, dan paralel - sebagai busur yang sejajar dengan ekuator. Proyeksinya ekuivalen, distorsi skalanya tidak terlalu besar. Jika sumbu kerucut berimpit dengan sumbu rotasi bumi, maka proyeksi tersebut disebut normal. Peta on-board skala 1 dihasilkan dalam proyeksi kerucut normal : 4000000 (1 cm = 40 km), dan 1 : 2500.000 (1 cm = 25 km).

Kartu panjang, dek berbentuk kerucut

Teknik-teknik ini ditujukan untuk pesulap pemula; master sejati mengembangkan ketangkasan jari mereka. Kartu panjang adalah kartu yang lebih panjang dan lebar dari semua kartu lain di tumpukan, sekitar 1 mm. Kartu ini menonjol melampaui tepi dek, sehingga sangat memudahkan pesulap untuk mengeluarkan dek pada kartu ini. Untuk membuat kartu panjang Anda perlu membeli dua deck yang identik . Satu dek perlu dipangkas sedikit bagian tepinya. Hal ini dapat dilakukan di bengkel mana pun yang menjilid buku. Jika tidak ada bengkel di dekatnya, Anda dapat mengambil pisau tajam dan penggaris logam
dan rapikan pinggirannya. Kartu apa pun dari tumpukan standar akan menjadi panjang untuk tumpukan seperti itu. Akan lebih baik jika membuat setumpuk kartu berbentuk kerucut, dalam hal ini setiap kartu terbalik akan menjadi panjang untuk tumpukan ini. Dalam dek berbentuk kerucut, salah satu ujung kartu harus lebih lebar 2 mm dari ujung lainnya. Dan jika Anda menumpuk kartu-kartu tersebut dalam satu tumpukan sehingga semua ujung potongannya berada di satu sisi, maka kartu yang diputar ke arah lain akan menonjol dari ujung tumpukan yang sempit dan dapat berfungsi sebagai kartu yang panjang.
Teknik kartu panjang ini dapat digunakan dalam banyak trik. Misalnya, Anda melipat dek seperti itu ke satu arah, lalu mengundang salah satu penonton untuk mengeluarkan satu kartu dan mengingatnya, lalu memasukkannya kembali ke dalam dek. Namun sebelum Anda memasukkannya ke dalam dek, Anda membaliknya relatif terhadap seluruh dek. Kini tidak akan sulit bagi Anda untuk menemukan kartu ini. Anda dapat memotong bagian tepi sempit kartu merah, lalu melipat tumpukan kartu sehingga tepi kartu merah menghadap ke satu arah, dan tepi kartu hitam menghadap ke arah lain. Jika Anda mengambil dek di bagian tepinya dengan besar dan jari telunjuk , maka Anda dapat dengan mudah memisahkan setelan merah dari setelan hitam atau kartu sederhana dari kartu berpola
, asalkan dek tersebut dipersiapkan sebelumnya.

Dek berbentuk kerucut memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan kartu panjang. Dalam dek berbentuk kerucut, kartu apa pun bisa menjadi panjang. Dan bila menggunakan kartu panjang dalam satu dek, hanya ada satu kartu panjang.
Proyeksi peta adalah cara khusus untuk menampilkan permukaan ellipsoid pada bidang.
Permukaan bumi ditampilkan di pesawat dalam berbagai cara. Yang paling sederhana adalah perspektif . Esensinya adalah memproyeksikan bayangan dari permukaan model bumi (globe, ellipsoid) ke permukaan silinder atau kerucut, diikuti dengan belokan menjadi bidang (silinder, kerucut) atau langsung memproyeksikan bayangan bola ke a bidang (azimut).
Salah satu cara sederhana Kunci untuk memahami bagaimana proyeksi peta mengubah sifat spasial adalah dengan memvisualisasikan proyeksi cahaya melalui bumi ke permukaan yang disebut permukaan proyeksi.
Bayangkan permukaan bumi transparan dan petak peta diterapkan padanya. Bungkus selembar kertas di sekitar Bumi. Sumber cahaya di pusat bumi akan menghasilkan bayangan dari kisi koordinat ke selembar kertas. Anda sekarang dapat membuka lipatan kertas dan meletakkannya rata. Bentuk kotak koordinat pada permukaan datar kertas sangat berbeda dengan bentuknya di permukaan bumi (Gbr. 5.1).

Beras. 5.1. Peta kisi sistem koordinat geografis yang diproyeksikan ke permukaan silinder

Proyeksi peta mendistorsi grid peta; benda yang letaknya dekat tiang berbentuk memanjang.
Membangun secara prospektif tidak memerlukan penggunaan hukum matematika. Harap dicatat bahwa dalam kartografi modern, kisi-kisi peta dibuat analitis (secara matematis) cara. Esensinya terletak pada perhitungan posisi titik-titik nodal (titik perpotongan meridian dan paralel) dari grid kartografi. Perhitungan dilakukan berdasarkan penyelesaian sistem persamaan yang menghubungkan garis lintang geografis dan garis bujur geografis titik-titik nodal ( φ, λ ) dengan koordinat persegi panjang ( x, kamu) di pesawat. Ketergantungan ini dapat dinyatakan dengan dua persamaan berbentuk:

x = f 1 (φ, λ); (5.1)
kamu = f 2 (φ, λ), (5.2)

disebut persamaan proyeksi peta. Mereka memungkinkan Anda menghitung koordinat persegi panjang x, kamu digambarkan titik berdasarkan koordinat geografis φ Dan λ . Jumlah kemungkinan ketergantungan fungsional dan, oleh karena itu, proyeksi tidak terbatas. Hal ini hanya diperlukan untuk setiap poin φ , λ ellipsoid direpresentasikan pada bidang dengan titik unik yang bersesuaian x, kamu dan gambar tersebut kontinu.

5.2. Distorsi

Meratakan bentuk bulat tidak lebih mudah daripada meratakan sepotong kulit semangka. Saat berpindah ke bidang, biasanya sudut, luas, bentuk, dan panjang garis terdistorsi, sehingga untuk tujuan tertentu dimungkinkan untuk membuat proyeksi yang secara signifikan mengurangi salah satu jenis distorsi, misalnya area. Distorsi kartografi adalah pelanggaran terhadap sifat-sifat geometris suatu permukaan bumi dan benda-benda yang terletak di atasnya ketika digambarkan pada suatu bidang. .
Semua jenis distorsi terkait erat satu sama lain. Mereka berada dalam hubungan sedemikian rupa sehingga penurunan satu jenis distorsi segera menyebabkan peningkatan jenis distorsi lainnya. Ketika distorsi area berkurang, distorsi sudut meningkat, dll. Beras. Gambar 5.2 menunjukkan bagaimana benda tiga dimensi dikompresi sehingga dapat diletakkan pada permukaan datar.

Beras. 5.2. Memproyeksikan permukaan bola ke permukaan proyeksi

Pada peta yang berbeda, distorsi dapat memiliki ukuran yang berbeda: pada peta skala besar hampir tidak terlihat, tetapi pada peta skala kecil distorsi bisa sangat besar.
Pada pertengahan abad ke-19, ilmuwan Perancis Nicolas August Tissot diberikan teori umum distorsi. Dalam karyanya, ia mengusulkan penggunaan khusus elips distorsi, yaitu elips yang sangat kecil di titik mana pun pada peta, yang merupakan refleksi dari lingkaran yang sangat kecil pada titik yang bersangkutan di permukaan ellipsoid atau bola bumi. Elips menjadi lingkaran pada titik distorsi nol. Perubahan bentuk elips mencerminkan derajat distorsi sudut dan jarak, dan ukurannya mencerminkan derajat distorsi area.

Beras. 5.3. Elips pada peta ( A) dan lingkaran yang sesuai pada globe ( B)

Distorsi elips pada peta dapat terjadi posisi yang berbeda relatif terhadap meridian yang melewati pusatnya. Orientasi distorsi elips pada peta biasanya ditentukan azimuth dari sumbu semimayornya . Sudut antara arah utara meridian yang melalui pusat elips distorsi dan sumbu semimayor terdekatnya disebut sudut orientasi elips distorsi. Pada Gambar. 5.3, A sudut ini ditunjukkan dengan huruf A 0 , dan sudut yang sesuai pada globe α 0 (Gbr. 5.3, B).
Azimuth segala arah pada peta dan globe selalu diukur dari arah utara meridian searah jarum jam dan dapat memiliki nilai dari 0 hingga 360°.
Arah sewenang-wenang ( OKE) pada peta atau globe ( TENTANG 0 KE 0 ) dapat ditentukan baik dengan azimuth dari arah tertentu ( A- di peta, α - di globe) atau sudut antara sumbu semimayor yang paling dekat dengan arah utara meridian dan arah ini ( ay- di peta, kamu- di dunia).

5.2.1. Distorsi Panjang

Distorsi panjang adalah distorsi dasar. Distorsi yang tersisa mengikuti secara logis. Distorsi panjang berarti ketidakkekalan skala suatu gambar datar, yang diwujudkan dalam perubahan skala dari titik ke titik, dan bahkan pada titik yang sama, bergantung pada arahnya.
Artinya ada 2 jenis skala pada peta:

skala utama (M);
skala swasta .

Skala utama peta disebut derajat reduksi umum bola bumi ke dimensi tertentu bola bumi, yang darinya permukaan bumi dipindahkan ke bidang datar. Hal ini memungkinkan kita untuk menilai penurunan panjang segmen saat memindahkannya dari globe ke globe. Skala utama ditulis di bawah bingkai selatan peta, tetapi ini tidak berarti bahwa segmen yang diukur di mana pun pada peta akan sesuai dengan jarak di permukaan bumi.
Skalakan pada titik tertentu pada peta menurut arah ini ditelepon pribadi . Ini didefinisikan sebagai rasio segmen yang sangat kecil pada peta dl KE ke segmen yang sesuai pada permukaan ellipsoid dl Z . Perbandingan skala privat dengan skala utama, dilambangkan dengan μ , mencirikan distorsi panjang

(5.3)

Untuk menilai penyimpangan suatu skala tertentu dari skala utama digunakan konsep memperbesar (DENGAN), ditentukan oleh rasio

(5.4)

Dari rumus (5.4) berikut ini:

pada DENGAN= 1 skala privat sama dengan skala utama ( µ = M), yaitu tidak ada distorsi panjang pada suatu titik tertentu pada peta dalam arah tertentu;
pada DENGAN> 1 skala pribadi lebih besar dari skala utama ( μ > M);
pada DENGAN < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Misal skala peta utama 1:1.000.000 maka dilakukan zoom DENGAN sama dengan 1,2, maka µ = 1,2/1.000.000 = 1/833.333, yaitu satu sentimeter di peta sama dengan sekitar 8,3 km di tanah. Skala parsial lebih besar dari skala utama (ukuran pecahan lebih besar).
Saat menggambarkan permukaan bola dunia pada bidang datar, skala parsial akan lebih besar atau lebih kecil secara numerik dari skala utama. Jika kita mengambil skala utama sama dengan kesatuan ( M= 1), maka skala parsial akan lebih besar atau lebih kecil dari kesatuan. Dalam hal ini dengan skala tertentu, yang secara numerik sama dengan peningkatan skala, seseorang harus memahami rasio segmen yang sangat kecil pada suatu titik tertentu di peta dalam arah tertentu dengan segmen yang sangat kecil di dunia:

(5.5)

Penyimpangan skala swasta (µ )dari satu menentukan distorsi panjang pada titik tertentu di peta dalam arah tertentu ( V):

V = - 1 (5.6)

Distorsi panjang sering dinyatakan sebagai persentase kesatuan, yaitu skala utama, dan disebut distorsi panjang relatif :

q = 100(µ - 1) = V×100(5.7)

Misalnya kapan µ = 1,2 distorsi panjang V= +0,2 atau distorsi panjang relatif V= +20%. Artinya suatu ruas yang panjangnya 1 cm, diambil pada globe, akan digambarkan pada peta sebagai segmen dengan panjang 1.2 cm.
Keberadaan distorsi panjang pada peta dapat dengan mudah dinilai dengan membandingkan ukuran segmen meridian antara paralel yang berdekatan. Jika semuanya sama, maka tidak ada distorsi panjang sepanjang meridian, jika tidak ada persamaan seperti itu (Gbr. 5.5 segmen AB Dan CD), maka terjadi distorsi panjang garis.

Beras. 5.4. Bagian dari peta belahan bumi timur yang menunjukkan distorsi kartografi

Jika suatu peta menampilkan area yang begitu luas sehingga menunjukkan garis khatulistiwa 0º dan garis lintang 60°, maka tidak sulit untuk menentukan apakah terdapat distorsi panjang di sepanjang garis paralel tersebut. Untuk melakukan ini, cukup membandingkan panjang segmen ekuator dan paralel dengan garis lintang 60° antara meridian yang berdekatan. Diketahui bahwa garis lintang 60° adalah setengah panjang garis khatulistiwa. Jika perbandingan segmen-segmen yang ditunjukkan pada peta adalah sama, maka tidak ada distorsi panjang sepanjang paralel; jika tidak maka tersedia.
Indikator distorsi panjang terbesar pada titik tertentu (sumbu semimayor dari elips distorsi) ditunjukkan huruf latin A, dan yang terkecil (sumbu semi-minor dari elips distorsi) - B. Arah yang saling tegak lurus di mana berlaku tingkat distorsi panjang terbesar dan terkecil, disebut petunjuk utama .
Untuk mengevaluasi berbagai distorsi pada peta dari semua skala parsial nilai tertinggi memiliki skala parsial dalam dua arah: sepanjang meridian dan paralel. Skala swasta sepanjang meridian biasanya dilambangkan dengan huruf M , dan skala swasta sepanjang paralel - surat N.
Dalam peta skala kecil di wilayah yang relatif kecil (misalnya, Ukraina), penyimpangan skala panjang dari skala yang ditunjukkan pada peta adalah kecil. Kesalahan pengukuran panjang dalam hal ini tidak melebihi 2 - 2,5% dari panjang yang diukur, dan dapat diabaikan saat mengerjakan peta sekolah. Beberapa peta menyertakan skala pengukuran dan teks penjelasan untuk perkiraan pengukuran.
Pada peta laut , dibangun dalam proyeksi Mercator dan loxodrome digambarkan sebagai garis lurus, tidak ada skala linier khusus yang diberikan. Perannya dimainkan oleh bingkai timur dan barat peta, yang merupakan garis meridian yang dibagi menjadi beberapa bagian setiap 1′ garis lintang.
Dalam navigasi maritim, jarak biasanya diukur dalam mil laut. mil laut - ini adalah panjang rata-rata busur meridian 1′ pada garis lintang. Ini berisi tahun 1852 M. Dengan demikian, kerangka peta laut sebenarnya dibagi menjadi segmen-segmen yang sama dengan satu mil laut. Dengan menentukan jarak garis lurus antara dua titik pada peta dalam menit meridian, kita memperoleh jarak sebenarnya dalam mil laut sepanjang loxodrome.

Gambar 5.5. Mengukur jarak dengan peta laut.

5.2.2. Distorsi sudut

Distorsi sudut secara logis mengikuti distorsi panjang. Perbedaan sudut antara arah pada peta dan arah yang bersesuaian pada permukaan ellipsoid dianggap sebagai ciri distorsi sudut pada peta.
Untuk indikator distorsi sudut di antara garis-garis kisi kartografi, besarnya deviasinya dari 90° diambil dan ditetapkan surat Yunani ε (epsilon).
ε = - 90°, (5.8)
di mana Ө (theta) - sudut yang diukur pada peta antara meridian dan paralel.

Gambar 5.4 menunjukkan bahwa sudut Ө sama dengan 115°, maka ε = 25°.
Pada titik di mana sudut perpotongan meridian dan garis sejajar tetap lurus pada peta, sudut antara arah lain dapat diubah pada peta, karena pada titik tertentu jumlah distorsi sudut dapat berubah seiring dengan perubahan dalam arah.
Indikator umum distorsi sudut ω (omega) dianggap sebagai distorsi sudut terbesar pada suatu titik tertentu, sama dengan selisih antara nilainya di peta dan di permukaan ellipsoid (bola) bumi. Ketika diketahui x indikator A Dan B ukuran ω ditentukan dengan rumus:

(5.9)

5.2.3. Distorsi wilayah

Distorsi area secara logis mengikuti distorsi panjang. Penyimpangan luas daerah elips distorsi dari luas semula pada ellipsoid diambil sebagai ciri distorsi luas.
Cara sederhana untuk mengidentifikasi distorsi jenis ini adalah dengan membandingkan luas sel kisi kartografi, dibatasi oleh paralel dengan nama yang sama: jika luas sel sama, tidak ada distorsi. Hal ini terjadi, khususnya, pada peta belahan bumi (Gbr. 4.4), di mana sel-sel yang diarsir berbeda bentuknya, tetapi memiliki luas yang sama.
Indikator distorsi area (R) dihitung sebagai produk dari indikator distorsi panjang terbesar dan terkecil di lokasi tertentu pada peta
p = a×b (5.10)
Arah utama pada titik tertentu pada peta mungkin bertepatan dengan garis kisi kartografi, tetapi mungkin tidak bertepatan dengan garis tersebut. Lalu indikatornya A Dan B menurut diketahui M Dan N dihitung menggunakan rumus:

(5.11)
(5.12)

Faktor distorsi termasuk dalam persamaan R dalam hal ini mereka akan mengenali dari pekerjaannya:

p = m×n×cos ε, (5.13)

Di mana ε (epsilon) - nilai deviasi sudut perpotongan kisi kartografi dari 9 0°.

5.2.4. Distorsi bentuk

Distorsi bentuk terdiri dari kenyataan bahwa bentuk suatu situs atau wilayah yang ditempati suatu benda pada peta berbeda dengan bentuknya pada permukaan bumi yang rata. Adanya distorsi jenis ini pada peta dapat ditentukan dengan membandingkan bentuk sel-sel kisi kartografi yang terletak pada garis lintang yang sama: jika sama, maka tidak ada distorsi. Pada Gambar 5.4, dua sel yang diarsir dengan perbedaan bentuk menunjukkan adanya distorsi jenis ini. Anda juga dapat mengidentifikasi distorsi bentuk suatu benda (benua, pulau, laut) berdasarkan perbandingan lebar dan panjangnya pada peta yang dianalisis dan pada globe.
Indeks distorsi bentuk (k) tergantung pada selisih yang terbesar ( A) dan yang terkecil ( B) indikator distorsi panjang pada suatu lokasi tertentu pada peta dan dinyatakan dengan rumus:

(5.14)

Saat meneliti dan memilih proyeksi peta, gunakan isokol - garis distorsi yang sama. Mereka dapat diplot pada peta sebagai garis putus-putus untuk menunjukkan besarnya distorsi.

Beras. 5.6. Isocol dengan distorsi sudut terbesar

5.3. KLASIFIKASI PROYEKSI MENURUT SIFAT Distorsi

Untuk tujuan berbeda, proyeksi dengan jenis distorsi berbeda dibuat. Sifat distorsi proyeksi ditentukan oleh tidak adanya distorsi tertentu di dalamnya (sudut, panjang, luas). Tergantung pada ini, semua proyeksi kartografi dibagi menjadi empat kelompok sesuai dengan sifat distorsinya:
— sama sudut (konformal);
- berjarak sama (equidistant);
— berukuran sama (setara);
- sewenang-wenang.

5.3.1. Proyeksi konformal

Pigura yg sudutnya sama Ini disebut proyeksi yang arah dan sudutnya digambarkan tanpa distorsi. Sudut yang diukur pada peta proyeksi konformal sama dengan sudut yang bersesuaian di permukaan bumi. Lingkaran yang sangat kecil dalam proyeksi ini selalu berupa lingkaran.
Pada proyeksi ekuivalen, skala panjang pada setiap titik di segala arah adalah sama, sehingga tidak terdapat distorsi bentuk bangun yang sangat kecil dan tidak ada distorsi sudut (Gbr. 5.7, B). Ini milik umum proyeksi konformal dinyatakan dengan rumus ω = 0°. Namun bentuk objek geografis nyata (terbatas) yang menempati seluruh wilayah pada peta terdistorsi (Gbr. 5.8, a). Proyeksi konformal menunjukkan distorsi area yang sangat luas (seperti yang ditunjukkan dengan jelas oleh elips distorsi).

Beras. 5.7. Tampilan elips distorsi dalam proyeksi area yang sama —- A, sama sisi - B, sewenang-wenang - DI DALAM, termasuk berjarak sama sepanjang meridian - G dan berjarak sama sepanjang paralel - D. Diagram menunjukkan distorsi sudut 45°.

Proyeksi ini digunakan untuk menentukan arah dan merencanakan rute sepanjang azimuth tertentu, itulah sebabnya proyeksi ini selalu digunakan pada peta topografi dan navigasi. Kerugian dari proyeksi konformal adalah areanya sangat terdistorsi (Gbr. 5.7, a).

Beras. 5.8. Distorsi pada proyeksi silinder:
a - sama kaki; b - berjarak sama; c - ukurannya sama

5.6.2. Proyeksi yang berjarak sama

Sama jauh proyeksi adalah proyeksi di mana skala panjang salah satu arah utama dipertahankan (tetap tidak berubah) (Gambar 5.7, D. Gambar 5.7, E). Proyeksi ini digunakan terutama untuk membuat peta referensi skala kecil dan peta bintang.

5.6.3. Proyeksi Area yang Sama

Ukurannya sama disebut proyeksi yang tidak terdapat distorsi luas, yaitu luas suatu bangun yang diukur pada peta sama dengan luas bangun yang sama di permukaan bumi. Dalam proyeksi peta wilayah yang sama, skala wilayah mempunyai ukuran yang sama di semua tempat. Sifat proyeksi luas yang sama ini dapat dinyatakan dengan rumus:

P = a× b = Konstanta = 1 (5.15)

Konsekuensi yang tak terhindarkan dari ukuran proyeksi yang sama adalah distorsi yang kuat pada sudut dan bentuknya, yang dijelaskan dengan baik oleh distorsi elips (Gbr. 5.7, A).

5.6.4. Proyeksi sewenang-wenang

Secara sewenang-wenang Ini termasuk proyeksi yang memiliki distorsi panjang, sudut, dan luas. Kebutuhan untuk menggunakan proyeksi sewenang-wenang dijelaskan oleh fakta bahwa ketika memecahkan beberapa masalah ada kebutuhan untuk mengukur sudut, panjang dan luas pada satu peta. Namun tidak ada proyeksi yang dapat berbentuk sama sudut, berjarak sama, dan luasnya sama pada saat yang bersamaan. Telah dikatakan sebelumnya bahwa semakin berkurang luas permukaan bumi yang dicitrakan pada bidang tersebut, maka distorsi gambar juga semakin berkurang. Saat menggambarkan area kecil di permukaan bumi dalam proyeksi sewenang-wenang, besarnya distorsi sudut, panjang, dan luas tidak signifikan, dan ketika menyelesaikan banyak masalah, hal tersebut dapat diabaikan.

5.4. KLASIFIKASI PROYEKSI MENURUT JENIS KARTOGRAFIS NORMAL

Dalam praktik kartografi, klasifikasi umum proyeksi didasarkan pada jenis permukaan geometris bantu yang dapat digunakan dalam konstruksinya. Dari sudut pandang ini, proyeksi dibedakan: berbentuk silinder ketika permukaan lateral silinder berfungsi sebagai permukaan bantu; berbentuk kerucut, bila bidang bantu adalah permukaan lateral kerucut; azimut, bila permukaan bantunya berupa bidang (bidang gambar).
Permukaan di mana bola dunia diproyeksikan dapat bersinggungan atau dipotong dengannya. Mereka dapat diorientasikan secara berbeda.
Proyeksi, yang selama konstruksinya sumbu silinder dan kerucut disejajarkan dengan sumbu kutub bola bumi, dan bidang gambar tempat gambar diproyeksikan ditempatkan secara tangensial pada titik kutub, disebut normal.
Konstruksi geometris dari proyeksi ini sangat jelas.

5.4.1. Proyeksi silinder

Untuk menyederhanakan penalaran, kita akan menggunakan bola sebagai pengganti ellipsoid. Mari kita lampirkan bola dalam silinder yang bersinggungan dengan ekuator (Gbr. 5.9, a).

Beras. 5.9. Konstruksi kisi peta dalam proyeksi silinder dengan luas yang sama

Mari kita lanjutkan bidang meridian PA, PB, PV, ... dan ambil perpotongan bidang tersebut dengan permukaan lateral silinder sebagai gambaran meridian di atasnya. Jika kita memotong permukaan samping silinder sepanjang generatrix aAa 1 dan membuka lipatannya pada bidang datar, maka meridian akan digambarkan sebagai garis lurus sejajar dengan jarak yang sama aAa 1 , bBBb 1 , ayv 1 ..., tegak lurus terhadap ekuator ABC.
Gambaran kesejajaran dapat diperoleh dengan berbagai cara. Salah satunya adalah kelanjutan bidang sejajar hingga berpotongan dengan permukaan silinder, yang dalam perkembangannya akan menghasilkan kelompok kedua garis lurus sejajar yang tegak lurus meridian.
Proyeksi silinder yang dihasilkan (Gbr. 5.9, b) adalah ukurannya sama, karena permukaan lateral sabuk bola AGED, sama dengan 2πRh (di mana h adalah jarak antara bidang AG dan ED), sesuai dengan luas gambar sabuk ini dalam pemindaian. Skala utama dipertahankan di sepanjang garis khatulistiwa; skala parsial meningkat secara paralel, dan menurun di sepanjang meridian dengan jarak dari ekuator.
Cara lain untuk menentukan posisi paralel adalah dengan mempertahankan panjang meridian, yaitu dengan mempertahankan skala utama di sepanjang meridian. Dalam hal ini, proyeksi silinder akan menjadi berjarak sama sepanjang meridian(Gbr. 5.8, b).
Untuk pigura yg sudutnya sama Proyeksi silinder memerlukan keteguhan skala ke segala arah di titik mana pun, yang memerlukan peningkatan skala di sepanjang meridian ketika seseorang menjauh dari ekuator sesuai dengan peningkatan skala sepanjang paralel pada garis lintang yang sesuai (lihat Gambar 5.8, a ).
Seringkali, alih-alih silinder singgung, silinder digunakan yang memotong bola sepanjang dua paralel (Gbr. 5.10), di mana skala utama dipertahankan selama pengembangan. Dalam hal ini, skala parsial di sepanjang semua paralel antara paralel bagian tersebut akan lebih kecil, dan pada paralel lainnya akan lebih besar dari skala utama.

Beras. 5.10. Sebuah silinder memotong bola sepanjang dua garis sejajar

5.4.2. Proyeksi berbentuk kerucut

Untuk membuat proyeksi kerucut, kita memasukkan bola ke dalam kerucut yang bersinggungan dengan bola sepanjang garis paralel ABCD (Gbr. 5.11, a).

Beras. 5.11. Konstruksi kisi peta dalam proyeksi kerucut yang berjarak sama

Mirip dengan konstruksi sebelumnya, kita akan melanjutkan bidang meridian PA, PB, PV, ... dan mengambil perpotongannya dengan permukaan lateral kerucut sebagai gambar meridian di atasnya. Setelah permukaan lateral kerucut dibuka pada bidang (Gbr. 5.11, b), meridian akan digambarkan sebagai garis lurus radial TA, TB, TV,..., yang berasal dari titik T. Perhatikan bahwa sudut di antara mereka (konvergensi meridian) akan sebanding (tetapi tidak sama) dengan perbedaan garis bujur. Sepanjang garis singgung ABC (busur lingkaran berjari-jari TA), skala utama dipertahankan.
Posisi paralel lainnya, yang digambarkan oleh busur lingkaran konsentris, dapat ditentukan dari kondisi tertentu, salah satunya - mempertahankan skala utama di sepanjang meridian (AE = Ae) - mengarah pada proyeksi kerucut yang berjarak sama.

5.4.3. Proyeksi azimut

Untuk membuat proyeksi azimut, kita akan menggunakan bidang yang bersinggungan dengan bola di titik kutub P (Gbr. 5.12). Perpotongan bidang meridian dengan bidang singgung memberikan gambaran meridian Pa, Pe, Pv,... berupa garis lurus yang sudut-sudutnya sama dengan selisih garis bujur. Paralel, yaitu lingkaran konsentris, dapat ditentukan dengan berbagai cara, misalnya dengan menggambar jari-jari yang sama dengan busur lurus meridian dari kutub ke paralel yang bersesuaian PA = Pa. Proyeksi ini akan terjadi sama jauh Oleh meridian dan mempertahankan skala utama di sepanjang mereka.

Beras. 5.12. Konstruksi grid peta dalam proyeksi azimut

Kasus khusus dari proyeksi azimut adalah menjanjikan proyeksi yang dibangun menurut hukum perspektif geometris. Dalam proyeksi ini, setiap titik di permukaan bumi dipindahkan ke bidang gambar sepanjang sinar yang memancar dari satu titik DENGAN, disebut sudut pandang. Berdasarkan posisi sudut pandang terhadap pusat bumi, proyeksi dibagi menjadi:

pusat - sudut pandangnya bertepatan dengan pusat dunia;
stereografik - sudut pandang terletak di permukaan bumi pada suatu titik yang berlawanan secara diametris dengan titik kontak bidang gambar dengan permukaan bumi;
luar - sudut pandang diambil di luar dunia;
ortografis - sudut pandang diambil hingga tak terhingga, yaitu desain dilakukan oleh sinar sejajar.

Beras. 5.13. Jenis proyeksi perspektif: a - sentral;
b - stereografik; c - eksternal; g - ortografis.

5.4.4. Proyeksi bersyarat

Proyeksi bersyarat adalah proyeksi yang analogi geometri sederhananya tidak dapat ditemukan. Mereka dibangun berdasarkan kondisi tertentu, misalnya, jenis grid geografis yang diinginkan, distribusi distorsi tertentu pada peta, jenis grid tertentu, dll. Khususnya, pseudo-silinder, pseudo-kerucut, pseudo-azimut dan proyeksi lain yang diperoleh dengan mentransformasikan satu atau beberapa proyeksi awal.
kamu pseudosilindris proyeksi, ekuator dan paralel adalah garis lurus yang sejajar satu sama lain (yang membuatnya mirip dengan proyeksi silinder), dan meridian adalah kurva yang simetris terhadap meridian bujursangkar rata-rata (Gbr. 5.14)

Beras. 5.14. Tampilan kisi peta dalam proyeksi pseudosilindris.

kamu pseudokonis proyeksi paralel adalah busur lingkaran konsentris, dan meridian adalah kurva yang simetris terhadap meridian bujursangkar rata-rata (Gbr. 5.15);

Beras. 5.15. Petakan kisi-kisi di salah satu proyeksi pseudokonik

Membangun jaring di dalamnya proyeksi polikonikal dapat direpresentasikan dengan memproyeksikan bagian grid derajat bumi ke permukaan beberapa garis singgung kerucut dan perkembangan selanjutnya menjadi bidang garis-garis yang terbentuk pada permukaan kerucut. Prinsip umum desain seperti itu ditunjukkan pada Gambar 5.16.

Beras. 5.16. Prinsip membangun proyeksi polikonik:
a - posisi kerucut; b - garis-garis; c - pindai

Surat S Titik puncak kerucut ditunjukkan pada gambar. Untuk setiap kerucut, bagian lintang permukaan bumi diproyeksikan berdekatan dengan garis singgung paralel kerucut yang bersangkutan.
Untuk penampilan kisi-kisi kartografi dalam proyeksi polikonik dicirikan oleh fakta bahwa meridian berbentuk garis lengkung (kecuali garis tengah - lurus), dan paralelnya adalah busur lingkaran eksentrik.
Dalam proyeksi polikonik yang digunakan untuk membuat peta dunia, bagian ekuator diproyeksikan ke silinder singgung, sehingga pada grid yang dihasilkan, ekuator berbentuk garis lurus yang tegak lurus dengan meridian tengah.
Setelah memindai kerucut, diperoleh gambar area tersebut dalam bentuk garis-garis pada bidang; garis-garis tersebut bersentuhan di sepanjang meridian tengah peta. Tampilan akhir jaring diperoleh setelah celah di antara strip dihilangkan dengan cara meregangkan (Gbr. 5.17).

Beras. 5.17. Petakan grid di salah satu polikonik

Proyeksi polihedral - proyeksi diperoleh dengan memproyeksikan ke permukaan polihedron (Gbr. 5.18), bersinggungan atau memotong bola (ellipsoid). Paling sering, setiap sisi adalah trapesium sama sisi, meskipun opsi lain juga dimungkinkan (misalnya, segi enam, bujur sangkar, belah ketupat). Berbagai macam polihedral adalah proyeksi multi-jalur, Selain itu, garis-garis tersebut dapat “dipotong” di sepanjang meridian dan paralel. Proyeksi seperti ini menguntungkan karena distorsi pada tiap muka atau garis sangat kecil, sehingga selalu digunakan untuk peta multi-lembar. Topografi dan survei-topografi dibuat secara eksklusif dalam proyeksi multifaset, dan kerangka setiap lembar adalah trapesium yang terdiri dari garis meridian dan paralel. Anda harus "membayarnya" - satu blok lembar peta tidak dapat digabungkan menjadi bingkai umum tanpa jeda.

Beras. 5.18. Skema proyeksi polihedral dan susunan lembar peta

Perlu dicatat bahwa saat ini permukaan bantu tidak digunakan untuk memperoleh proyeksi peta. Tidak ada orang yang memasukkan bola ke dalam silinder dan meletakkan kerucut di atasnya. Ini hanyalah analogi geometris yang memungkinkan kita memahami esensi geometris dari proyeksi. Pencarian proyeksi dilakukan secara analitis. Pemodelan komputer memungkinkan Anda menghitung dengan cepat proyeksi apa pun dengan parameter tertentu, dan plotter otomatis dengan mudah menggambar kisi meridian dan paralel yang sesuai, dan, jika perlu, peta isokol.
Ada atlas proyeksi khusus yang memungkinkan Anda memilih proyeksi yang tepat untuk wilayah mana pun. DI DALAM akhir-akhir ini Atlas proyeksi elektronik telah dibuat, yang dengannya mudah untuk menemukan mesh yang sesuai, segera mengevaluasi propertinya, dan, jika perlu, melakukan modifikasi atau transformasi tertentu secara interaktif.

5.5. KLASIFIKASI PROYEKSI TERGANTUNG ORIENTASI PERMUKAAN KARTOGRAFI BANTU

Proyeksi normal - bidang proyeksi menyentuh bola bumi pada titik kutub atau sumbu silinder (kerucut) berimpit dengan sumbu rotasi bumi (Gbr. 5.19).

Beras. 5.19. Proyeksi normal (langsung).

Proyeksi melintang - bidang desain menyentuh ekuator pada titik mana pun atau sumbu silinder (kerucut) bertepatan dengan bidang ekuator (Gbr. 5.20).

Beras. 5.20. Proyeksi melintang

Proyeksi miring - bidang proyeksi menyentuh bola bumi kapan saja titik tertentu(Gbr. 5.21).

Beras. 5.21. Proyeksi miring

Dari miring dan proyeksi melintang yang paling umum digunakan adalah proyeksi silinder miring dan melintang, azimut (perspektif) dan pseudo-azimut. Azimut melintang digunakan untuk peta belahan bumi, yang miring - untuk wilayah yang berbentuk bulat. Peta benua sering kali dibuat dalam proyeksi azimut melintang dan miring. Proyeksi Gauss-Kruger silinder melintang digunakan untuk peta topografi negara bagian.

5.6. PEMILIHAN PROYEKSI

Pemilihan proyeksi dipengaruhi oleh banyak faktor, yang dapat dikelompokkan sebagai berikut:

fitur geografis wilayah yang dipetakan, posisinya di dunia, ukuran dan konfigurasinya;
tujuan, skala dan subjek peta, jangkauan konsumen yang diharapkan;
kondisi dan cara penggunaan peta, tugas yang akan diselesaikan dengan menggunakan peta, persyaratan keakuratan hasil pengukuran;
ciri-ciri proyeksi itu sendiri - besarnya distorsi panjang, luas, sudut dan distribusinya di seluruh wilayah, bentuk meridian dan paralel, simetrinya, gambaran kutub, kelengkungan garis jarak terpendek.

Tiga kelompok faktor pertama ditentukan pada awalnya, kelompok keempat bergantung padanya. Jika peta sedang disusun untuk tujuan navigasi, proyeksi Mercator berbentuk silinder ekuivalen harus digunakan. Jika Antartika dipetakan, proyeksi azimut normal (kutub), dll. hampir pasti akan diadopsi.
Pentingnya faktor-faktor ini bisa berbeda: dalam satu kasus, visibilitas didahulukan (misalnya, untuk peta dinding sekolah), di kasus lain - fitur penggunaan peta (navigasi), di kasus ketiga - posisi wilayah di bola dunia(wilayah kutub). Kombinasi apa pun dimungkinkan, dan karenanya pilihan yang berbeda proyeksi. Apalagi pilihannya sangat besar. Namun masih mungkin untuk menunjukkan beberapa proyeksi yang disukai dan paling tradisional.
Peta dunia biasanya dibuat dalam proyeksi silinder, pseudosilindris, dan polikonis. Untuk mengurangi distorsi, silinder garis potong sering digunakan, dan proyeksi silinder semu terkadang dihasilkan dengan diskontinuitas di lautan.
Peta belahan bumi selalu dibangun dalam proyeksi azimut. Untuk belahan bumi barat dan timur wajar jika mengambil belahan bumi yang melintang (khatulistiwa), untuk belahan bumi utara dan belahan bumi selatan- normal (kutub), dan dalam kasus lain (misalnya, untuk belahan bumi kontinental dan samudera) - proyeksi azimut miring.
Peta benua Eropa, Asia, Amerika Utara, Amerika Selatan, Australia dan Oseania paling sering dibangun dalam proyeksi azimut miring dengan luas yang sama, untuk Afrika mereka mengambil proyeksi melintang, dan untuk Antartika - proyeksi azimut normal.
Peta masing-masing negara , wilayah administratif, provinsi, negara bagian dilakukan dalam proyeksi kerucut atau azimut berbentuk sudut sama sisi dan luas yang sama, tetapi banyak bergantung pada konfigurasi wilayah dan posisinya di dunia. Untuk area kecil, masalah pemilihan proyeksi kehilangan relevansinya; Anda dapat menggunakan proyeksi konformal yang berbeda, dengan mengingat bahwa distorsi area di area kecil hampir tidak terlihat.
Peta topografi Ukraina dibuat dalam proyeksi Gaussian silinder melintang, dan Amerika Serikat dan banyak lainnya negara-negara Barat- dalam proyeksi Mercator silinder melintang universal (disingkat UTM). Kedua proyeksi tersebut memiliki sifat yang serupa; Pada dasarnya, keduanya memiliki banyak rongga.
Peta bahari dan penerbangan selalu diberikan secara eksklusif dalam proyeksi silinder Mercator, dan peta tematik laut dan samudera dibuat dalam berbagai macam proyeksi, terkadang cukup rumit. Misalnya, untuk menampilkan samudra Atlantik dan Arktik secara bersamaan, digunakan proyeksi khusus dengan isokol oval, dan untuk menggambarkan seluruh Samudra Dunia, digunakan proyeksi luas yang sama dengan jeda di benua.
Bagaimanapun, ketika memilih proyeksi, terutama untuk peta tematik, harus diingat bahwa biasanya distorsi pada peta minimal di bagian tengah dan dengan cepat meningkat ke arah tepi. Selain itu, semakin kecil skala peta dan semakin luas cakupan spasialnya, semakin banyak perhatian yang harus diberikan pada faktor “matematis” dalam memilih proyeksi, dan sebaliknya - untuk wilayah kecil dan skala besar, faktor “geografis” menjadi lebih signifikan.

5.7. PENGENALAN PROYEKSI

Mengenali proyeksi di mana peta disusun berarti menetapkan namanya, menentukan apakah peta tersebut termasuk dalam tipe atau kelas tertentu. Hal ini diperlukan untuk mendapatkan gambaran tentang sifat-sifat proyeksi, sifat, distribusi dan besarnya distorsi - dengan kata lain, untuk mengetahui cara menggunakan peta dan apa yang dapat diharapkan darinya.
Beberapa proyeksi normal sekaligus dikenali dari penampakan meridian dan paralelnya. Misalnya, proyeksi silinder normal, silinder semu, kerucut, dan azimut mudah dikenali. Tetapi bahkan seorang kartografer berpengalaman tidak langsung mengenali banyak proyeksi sewenang-wenang; diperlukan pengukuran khusus pada peta untuk mengidentifikasi persamaan sudut, persamaan sisi, atau jarak yang sama di salah satu arah. Ada teknik khusus untuk ini: pertama, mereka menentukan bentuk bingkai (persegi panjang, lingkaran, elips), menentukan bagaimana kutub digambarkan, kemudian mengukur jarak antara paralel yang berdekatan sepanjang meridian, luas sel jaringan yang berdekatan, dan sudut perpotongan meridian dan paralel, sifat kelengkungannya, dll. .p.
Ada yang spesial tabel definisi proyeksi untuk peta dunia, belahan bumi, benua dan lautan. Setelah melakukan pengukuran yang diperlukan pada grid, Anda dapat menemukan nama proyeksi di tabel tersebut. Ini akan memberikan gambaran tentang sifat-sifatnya, memungkinkan Anda mengevaluasi kemungkinan penentuan kuantitatif pada peta ini, dan memilih peta yang sesuai dengan isokol untuk melakukan koreksi.

Video
Jenis proyeksi menurut sifat distorsinya

Pertanyaan untuk pengendalian diri:

Elemen apa saja yang menjadi dasar matematika sebuah peta?
Berapa skala peta geografis?
Berapa skala peta utama?
Apa itu skala peta pribadi?
Apa yang menyebabkan penyimpangan skala tertentu dari skala utama pada peta geografis?
Bagaimana cara mengukur jarak antar titik pada peta laut?
Apa itu elips distorsi dan kegunaannya?
Bagaimana cara menentukan skala terbesar dan terkecil dari elips distorsi?
Metode apa yang ada untuk memindahkan permukaan ellipsoid bumi ke bidang, apa esensinya?
Apa yang mereka sebut proyeksi peta?
Bagaimana proyeksi diklasifikasikan menurut sifat distorsinya?
Proyeksi apa yang disebut konformal, bagaimana cara menggambarkan elips distorsi pada proyeksi tersebut?
Proyeksi apa yang disebut jarak yang sama, bagaimana cara menggambarkan elips distorsi pada proyeksi ini?
Proyeksi apa yang disebut luas yang sama, bagaimana cara menggambarkan distorsi elips pada proyeksi tersebut?
Proyeksi apa yang disebut sewenang-wenang?