Persamaan garis sejajar. Persamaan garis yang melalui suatu titik pada arah tertentu
Persamaan garis lurus yang melalui t.u A (ha; wa) dan memiliki kemiringan k, ditulis dalam formulir
kamu – ua=k (x – xa).(5)
Persamaan garis yang melalui dua titik T. SEBUAH (x 1; kamu 1) dll. B (x 2; kamu 2), memiliki formulir
Jika poin A Dan DI DALAM menentukan garis lurus sejajar dengan sumbu Sapi (y 1 = y 2) atau Sumbu Oy (x 1 = x 2), maka persamaan garis lurus tersebut dituliskan dalam bentuk:
kamu = kamu 1 atau x = x 1(7)
Persamaan garis normal
Misalkan diberikan garis lurus C yang melalui suatu titik tertentu Mo(Ho;Vo) dan tegak lurus terhadap vektor (A;B). Setiap vektor yang tegak lurus terhadap suatu garis disebut vektornya vektor biasa. Mari kita pilih titik sembarang pada garis lurus M (x;y). Lalu , dan karenanya produk skalarnya. Persamaan ini dapat ditulis dalam koordinat
A(x-x o)+B(y-y o)=0 (8)
Persamaan (8) disebut persamaan biasa langsung .
Persamaan garis parametrik dan kanonik
Biarlah lurus aku diberikan oleh titik awal M 0 (x 0; kamu 0) dan vektor arah ( sebuah 1;sebuah 2),. Biarkan t. L(x;y)– setiap titik yang terletak pada garis lurus aku. Maka vektor tersebut segaris terhadap vektor tersebut. Oleh karena itu, = . Menulis persamaan ini dalam koordinat, kita memperoleh persamaan parametrik garis lurus
Mari kita kecualikan parameter t dari persamaan (9). Hal ini dimungkinkan karena vektornya adalah , dan oleh karena itu setidaknya salah satu koordinatnya berbeda dari nol.
Misalkan dan , maka , dan, oleh karena itu,
Persamaan (10) disebut persamaan garis kanonik dengan vektor panduan
=(sebuah 1; sebuah 2). Jika dan 1 =0 dan , maka persamaan (9) berbentuk
Persamaan ini menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, Oh dan melewati titik tersebut
M 0 (x 0; kamu 0).
x=x 0(11)
Jika , , maka persamaan (9) berbentuk
Persamaan ini menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu O X dan melewati titik tersebut
M 0 (x 0; kamu 0). Persamaan kanonik dari garis tersebut memiliki bentuk
kamu=kamu 0(12)
Sudut antar garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua
Langsung
Misalkan diberikan dua garis yang ditentukan oleh persamaan umum:
Dan 
Lalu sudutnya φ diantara keduanya ditentukan dengan rumus:
(13)
Kondisi paralel 2 langsung: (14)
Kondisi tegak lurus 2 langsung: 
(15)
Kondisi paralel dalam hal ini berbentuk: (17)
Kondisi tegak lurus lurus: (18)
Jika dua garis diberikan oleh persamaan kanonik:
Dan 
maka sudut φ antara garis-garis tersebut ditentukan dengan rumus:
(19)
Kondisi paralel lurus: (20)
Kondisi tegak lurus langsung: 
(21)
Jarak dari titik ke garis
Jarak D dari titik M(x 1; kamu 1) ke garis lurus Kapak+Oleh+C=0 dihitung dengan rumus
(22)
Contoh implementasi kerja praktek
Contoh 1. Bangun jalur 3 X- 2pada+6=0.
Penyelesaian: Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik mana saja, misalnya titik potongnya dengan sumbu koordinat. Titik A perpotongan garis lurus dengan sumbu Ox dapat diperoleh jika y = 0 diambil dalam persamaan garis lurus tersebut X+6=0, yaitu X=-2. Dengan demikian, A(–2;0).
Kemudian DI DALAM perpotongan garis dengan sumbu Oh memiliki absis X=0; oleh karena itu, ordinat titik tersebut DI DALAM ditemukan dari persamaan –2 kamu+ 6=0, yaitu kamu=3. Dengan demikian, DI DALAM(0;3).
Contoh 2. Tuliskan persamaan garis lurus yang memotong setengah bidang negatif Oh ruas sama dengan 2 satuan dan terbentuk dengan sumbu Oh sudut φ =30˚.
Penyelesaian: Garis lurus memotong sumbu Oh pada intinya DI DALAM(0;–2) dan memiliki kemiringan k=tg φ= = . Dengan asumsi dalam persamaan (2) k= dan B= –2, kita memperoleh persamaan yang diperlukan
Atau 
.
Contoh 3. A(–1; 2) dan
DI DALAM(0;–3). (y kesaksian: kemiringan garis lurus dicari dengan rumus (3))
Larutan: 
.Dari sini kita punya. Mengganti koordinat ke dalam persamaan ini televisi, kita mendapatkan: 
, yaitu. ordinat awal B= –3. Lalu kita mendapatkan persamaannya.
Contoh 4. Persamaan umum garis 2 X – 3pada– 6 = 0 menghasilkan persamaan dalam segmen.
Solusi: tulis persamaan ini dalam bentuk 2 X– 3pada=6 dan bagi kedua ruas dengan suku bebas: . Ini adalah persamaan garis ini dalam segmen-segmen.
Contoh 5. Melalui intinya A(1;2) tariklah garis lurus yang memotong segmen-segmen yang sama besar pada sumbu-sumbu koordinat positif.
Penyelesaian: Misalkan persamaan garis yang diinginkan berbentuk By condition A=B. Oleh karena itu, persamaannya mengambil bentuk X+ pada= A. Karena titik A (1; 2) termasuk dalam garis ini, maka koordinatnya memenuhi persamaan X + pada= A; itu. 1 + 2 = A, Di mana A= 3. Jadi, persamaan yang diperlukan ditulis sebagai berikut: x + kamu = 3, atau x + kamu – 3 = 0.
Contoh 6. Untuk lurus tulis persamaan dalam segmen. Hitung luas segitiga yang dibentuk oleh garis ini dan sumbu koordinatnya.
Solusi: Mari kita ubah persamaan ini menjadi berikut: , atau .
Hasilnya, kita mendapatkan persamaannya , yang merupakan persamaan garis ini dalam segmen. Segitiga yang dibentuk oleh garis dan sumbu koordinat yang diberikan adalah segitiga siku-siku yang kaki-kakinya sama dengan 4 dan 3, sehingga luasnya sama dengan S= (satuan persegi)
Contoh 7. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik (–2; 5) dan matriks generatrik yang mempunyai sumbu Oh sudut 45º.
Solusi: Koefisien sudut garis lurus yang diinginkan k= tan 45º = 1. Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan (5), kita peroleh kamu – 5 = X– (–2), atau x – kamu + 7 = 0.
Contoh 8. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut A(–3; 5)dan DI DALAM( 7; –2).
Solusi: Mari kita gunakan persamaan (6):
, atau , dari mana 7 X + 10pada – 29 = 0.
Contoh 9. Periksa apakah poinnya bohong A(5; 2), DI DALAM(3; 1) dan DENGAN(–1; –1) pada satu garis lurus.
Penyelesaian: Mari kita buat persamaan garis lurus yang melalui titik-titik tersebut A Dan DENGAN:
, atau
Mengganti koordinat titik ke dalam persamaan ini DI DALAM (xB= 3 dan kamu B = 1), kita memperoleh (3–5) / (–6) = = (1–2) / (–3), mis. kita mendapatkan persamaan yang benar. Jadi, koordinat titiknya DI DALAM memenuhi persamaan garis lurus ( AC), yaitu .
Contoh 10: Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(2;-3).
Tegak Lurus =(-1;5)
Solusi: Dengan menggunakan rumus (8), kita mencari persamaan garis ini -1(x-2)+5(y+3)=0,
atau akhirnya, x – 5 tahun - 17=0.
Contoh 11: Poin diberikan M 1(2;-1) dan M 2(4; 5). Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik M 1 tegak lurus vektor Penyelesaian: Vektor normal garis yang diinginkan mempunyai koordinat (2;6), oleh karena itu dengan menggunakan rumus (8) kita memperoleh persamaan 2(x-2)+6(y+1)=0 atau x+3kamu +1=0.
Contoh 12:
Dan 
.
Solusi: ; .
Contoh 13:
Solusi: a) ;
Contoh 14: Hitung sudut antar garis 
Larutan: 
Contoh 15: Mengetahui posisi relatif langsung:
Larutan:
Contoh 16: tentukan sudut antara garis dan .
Solusi: .
Contoh 17: cari tahu posisi relatif garis:
Solusi:a )
- garis lurus sejajar;
b) - ini berarti garis-garisnya tegak lurus.
Contoh 18: Hitung jarak dari titik M(6; 8) ke garis lurus 
Penyelesaian: dengan menggunakan rumus (22) kita peroleh: 
.
Tugas untuk pelajaran praktek:
Pilihan 1
1. Memimpin persamaan umum garis lurus 2x+3y-6=0 ke persamaan dalam segmen-segmen dan hitung luas segitiga yang dipotong oleh garis lurus ini dari sudut koordinat yang sesuai;
2. Pada ∆ABC, titik-titik sudutnya mempunyai koordinat titik A (-3;4), titik B (-4;-3), titik C (8;1). Membuat persamaan sisi (AB), tinggi (VK) dan median (CM);
3. Hitung kemiringan garis lurus yang melalui titik M 0 (-2;4) dan sejajar dengan vektor (6;-1);
4. Hitung sudut antar garis
4. Hitung sudut antar garis:
a) 2x - 3y + 7 = 0 dan 3x - y + 5 = 0; b) dan y = 2x – 4;
5. Tentukan kedudukan relatif 2 garis lurus dan ;
, jika koordinat ujung-ujung ruas t.A(18;8) dan t.B(-2;-6) diketahui.
Pilihan 3
1. Kurangi persamaan umum garis 4x-5y+20=0 menjadi persamaan segmen dan hitung luas segitiga yang dipotong oleh garis ini dari sudut koordinat yang sesuai;
2. Pada ∆ABC titik sudut mempunyai koordinat titik A (3;-2), titik B (7;3), titik
C (0;8). Membuat persamaan sisi (AB), tinggi (VK) dan median (CM);
3. Hitung kemiringan garis lurus yang melalui titik M 0 (-1;-2) dan
sejajar dengan vektor (3;-5);
4. Hitung sudut antar garis
a) 3x + y - 7 = 0 dan x - y + 4 = 0; b) dan ;
5. Tentukan kedudukan relatif 2 garis lurus dan y = 5x + 3;
6. Hitung jarak titik tengah ruas AB ke garis lurus 
, jika koordinat ujung-ujung ruas t.A(4;-3) dan t.B(-6;5) diketahui.
Pilihan 4
1. Kurangi persamaan umum garis 12x-5y+60=0 menjadi persamaan segmen dan hitung panjang segmen yang dipotong dari garis tersebut dengan sudut koordinat yang sesuai;
2. Pada ∆ABC, titik-titik sudutnya mempunyai koordinat titik A (0;-2), titik B (3;6), titik C (1;-4). Membuat persamaan sisi (AB), tinggi (VK) dan median (CM);
3. Hitung kemiringan garis yang melalui titik M 0 (4;4) dan sejajar dengan vektor (-2;7);
4.Hitung sudut antar garis
a) x +4 y + 8 = 0 dan 7x - 3y + 5 = 0; b) dan ;
5. Tentukan kedudukan relatif 2 garis lurus dan ;
6. Hitung jarak titik tengah ruas AB ke garis lurus 
, jika koordinat ujung-ujung ruas t.A(-4; 8) dan t.B(0; 4) diketahui.
1. Sebutkan persamaan garis lurus pada suatu bidang jika titik yang dilaluinya dan vektor arahnya diketahui;
2. Bagaimana bentuk persamaan umum normal garis lurus pada bidang;
3. Sebutkan persamaan garis yang melalui dua titik, persamaan garis dalam ruas-ruas, persamaan garis dengan koefisien sudut;
4. Sebutkan rumus menghitung sudut antar garis yang diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut. Merumuskan syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus.
5. Bagaimana cara mencari jarak suatu titik ke garis?
Biarkan garis melewati titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)
Di mana k - koefisien masih belum diketahui.
Karena garis lurus melalui titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Dari sini kita menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k
ke persamaan (10.6), kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2: 
Diasumsikan dalam persamaan ini x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Jika x 1 = x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1,y I) dan M 2 (x 2,y 2) sejajar dengan sumbu ordinat. Persamaannya adalah x = x 1 .
Jika y 2 = y I, maka persamaan garisnya dapat ditulis y = y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar sumbu absis.
Persamaan garis dalam segmen
Misalkan garis lurus tersebut memotong sumbu Ox di titik M 1 (a;0), dan sumbu Oy di titik M 2 (0;b). Persamaannya akan berbentuk: 
itu. 
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam ruas-ruas, karena angka a dan b menunjukkan ruas mana yang terpotong oleh garis pada sumbu koordinat.
Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu
Mari kita cari persamaan garis yang melaluinya titik tertentu Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan nol yang diberikan n = (A; B).
Mari kita ambil titik sembarang M(x; y) pada garis dan perhatikan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, hasil kali skalarnya sama dengan nol: yaitu
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .
Vektor n= (A; B), tegak lurus garis, disebut normal vektor normal garis ini .
Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang menjadi Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
dimana A dan B adalah koordinat vektor normal, C = -Ax o - Vu o adalah suku bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis(lihat Gambar 2).
Gambar.1 Gambar.2
Persamaan garis kanonik
,
Di mana 
- koordinat titik yang dilalui garis, dan 
- vektor arah.
Kurva orde kedua Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut pusat.
Persamaan kanonik radius lingkaran
R terpusat pada suatu titik 
:
Khususnya, jika pusat tiang berimpit dengan titik asal koordinat, maka persamaannya akan terlihat seperti: 
Elips
Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang jumlah jarak masing-masing titik ke dua titik tertentu
Dan 
, yang disebut fokus, adalah besaran konstan 
, lebih besar dari jarak antar fokus 
.
Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox, dan titik asal koordinat di tengah-tengah antara fokus tersebut berbentuk 
G 
de A panjang sumbu semi-mayor; B – panjang sumbu semi-minor (Gbr. 2).
Pada artikel ini kita akan mempelajari cara membuat persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu pada bidang yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita pelajari informasi teoritis dan presentasikan contoh ilustratif, di mana persamaan seperti itu perlu ditulis.
Yandex.RTB RA-339285-1
Sebelum mencari persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus suatu garis tertentu. Teorema dibahas dalam sekolah menengah atas. Melalui suatu titik tertentu yang terletak pada suatu bidang, seseorang dapat menggambar satu garis lurus yang tegak lurus terhadap titik tersebut. Jika ada ruang tiga dimensi, maka jumlah garis tersebut akan bertambah hingga tak terhingga.
Definisi 1
Jika bidang α melalui suatu titik tertentu M 1 tegak lurus terhadap suatu garis b, maka garis-garis yang terletak pada bidang tersebut, termasuk yang melalui M 1, tegak lurus terhadap garis lurus tertentu b.
Dari sini kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa menyusun persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus tertentu hanya dapat diterapkan untuk kasus pada bidang.
Soal ruang tiga dimensi melibatkan pencarian persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu.
Jika pada bidang dengan sistem koordinat O x y z terdapat garis lurus b, maka persamaan tersebut sesuai dengan persamaan garis lurus pada bidang tersebut, ditentukan suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), dan adalah diperlukan untuk membuat persamaan garis lurus a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus garis b.
Dengan syarat kita mempunyai koordinat titik M 1. Untuk menulis persamaan garis lurus, Anda harus mempunyai koordinat vektor pengarah garis lurus a, atau koordinat vektor normal garis lurus a, atau koefisien sudut garis lurus a.
Perlu mendapatkan data dari persamaan yang diberikan lurus b . Dengan syarat garis a dan b tegak lurus, artinya vektor arah garis b dianggap sebagai vektor normal garis a. Dari sini kita mendapatkan bahwa koefisien sudut dilambangkan sebagai k b dan k a. Mereka direlasikan menggunakan relasi k b · k a = - 1 .
Diketahui vektor arah garis lurus b berbentuk b → = (b x, b y), maka vektor normalnya adalah n a → = (A 2, B 2), dimana nilainya A 2 = b x, B 2 = oleh kamu. Kemudian kita tuliskan persamaan umum garis yang melalui suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1 , y 1), mempunyai vektor normal n a → = (A 2 , B 2), berbentuk A 2 (x - x 1 ) + B 2 (kamu - kamu 1) = 0 .
Vektor normal garis b terdefinisi dan berbentuk n b → = (A 1 , B 1), maka vektor arah garis a adalah vektor a → = (ax, a y), dimana nilainya a x = A 1, ay = B 1. Artinya tetap menyusun persamaan kanonik atau parametrik garis lurus a yang melalui suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dengan vektor arah a → = (ax, a y), berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y atau x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ masing-masing.
Setelah mencari kemiringan k b garis lurus b, Anda dapat menghitung kemiringan garis lurus a. Ini akan sama dengan - 1 k b . Maka kita dapat menuliskan persamaan garis lurus a yang melalui M 1 (x 1 , y 1) dengan koefisien sudut - 1 k b dalam bentuk y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) .
Persamaan yang dihasilkan dari garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang yang tegak lurus terhadap titik tertentu. Jika keadaan memerlukannya, Anda dapat beralih ke bentuk lain dari persamaan ini.
Contoh Penyelesaian
Mari kita pertimbangkan untuk membuat persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang dan tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Contoh 1
Tuliskan persamaan garis a yang melalui titik dengan koordinat M 1 (7, - 9) dan tegak lurus garis b, yang diberikan oleh persamaan kanonik garis x - 2 3 = y + 4 1.
Larutan
Dari syarat diperoleh b → = (3, 1) adalah vektor arah garis lurus x - 2 3 = y + 4 1. Koordinat vektor b → = 3, 1 adalah koordinat vektor normal garis a, karena garis a dan b saling tegak lurus. Artinya kita mendapatkan n a → = (3, 1) . Sekarang kita perlu menuliskan persamaan garis yang melalui titik M 1 (7, - 9), yang mempunyai vektor normal dengan koordinat n a → = (3, 1).
Kita peroleh persamaan bentuk: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0
Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan yang diinginkan.
Jawaban: 3 x + y - 12 = 0.
Contoh 2
Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik asal sistem koordinat O x y z, tegak lurus garis lurus 2 x - y + 1 = 0.
Larutan
Kita mempunyai n b → = (2, - 1) adalah vektor normal dari garis tertentu. Jadi a → = (2, - 1) adalah koordinat vektor pengarah garis lurus yang diinginkan.
Mari kita perbaiki persamaan garis lurus yang melalui titik asal koordinat dengan vektor arah a → = (2, - 1) . Kita peroleh bahwa x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan garis yang melalui titik asal koordinat tegak lurus garis 2 x - y + 1 = 0.
Jawaban: x 2 = y - 1.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik dengan koordinat M 1 (5, - 3) tegak lurus garis y = - 5 2 x + 6.
Larutan
Dari persamaan y = - 5 2 x + 6 kemiringannya bernilai - 5 2 . Koefisien sudut suatu garis lurus yang tegak lurus bernilai - 1 - 5 2 = 2 5. Dari sini kita simpulkan bahwa garis yang melalui titik dengan koordinat M 1 (5, - 3) tegak lurus garis y = - 5 2 x + 6 sama dengan y - (- 3) = 2 5 x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .
Jawaban: y = 2 5 x - 5 .
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dan arah tertentu. Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis lurus. Menentukan titik potong dua garis
1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(X 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringannya k,
kamu - kamu 1 = k(X - X 1). (1)
Persamaan ini mendefinisikan pensil garis yang melalui suatu titik A(X 1 , kamu 1), yang disebut pusat berkas.
2. Persamaan garis yang melalui dua titik: A(X 1 , kamu 1) dan B(X 2 , kamu 2), ditulis seperti ini:
Koefisien sudut suatu garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus
3. Sudut antar garis lurus A Dan B adalah sudut dimana garis lurus pertama harus diputar A mengelilingi titik potong garis-garis tersebut berlawanan arah jarum jam hingga berhimpitan dengan garis kedua B. Jika dua garis lurus diberikan persamaan dengan kemiringan
kamu = k 1 X + B 1 ,
