Sungguh sistem persamaan linear. Bagaimana mencari solusi umum dan khusus suatu sistem persamaan linear

Mempelajari sistem persamaan linear agebraic (SLAEs) untuk konsistensi berarti mengetahui apakah sistem ini mempunyai solusi atau tidak. Nah, jika ada solusinya, tunjukkan berapa jumlahnya.

Kita memerlukan informasi dari topik "Sistem persamaan aljabar linier. Istilah-istilah dasar. Bentuk notasi matriks". Secara khusus, konsep seperti matriks sistem dan matriks sistem yang diperluas diperlukan, karena perumusan teorema Kronecker-Capelli didasarkan pada konsep tersebut. Seperti biasa, matriks sistem akan dilambangkan dengan huruf $A$, dan matriks perluasan sistem dengan huruf $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem sama dengan pangkat matriks diperluas sistem, yaitu. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa suatu sistem disebut gabungan jika memiliki setidaknya satu solusi. Teorema Kronecker-Capelli mengatakan ini: jika $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka ada solusinya; jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE ini tidak memiliki solusi (tidak konsisten). Jawaban atas pertanyaan tentang jumlah solusi ini diberikan oleh akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli. Dalam rumusan akibat wajarnya digunakan huruf $n$ yang sama dengan banyaknya variabel SLAE yang diberikan.

Akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli

Jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE tidak konsisten (tidak memiliki solusi).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, maka SLAE pasti (memiliki tepat satu solusi).

Harap dicatat bahwa teorema yang dirumuskan dan akibat wajarnya tidak menunjukkan bagaimana menemukan solusi untuk SLAE. Dengan bantuan mereka, Anda hanya dapat mengetahui apakah solusi ini ada atau tidak, dan jika ada, berapa banyak.

Contoh No.1

Jelajahi SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42.\end(aligned) )\right.$ untuk kompatibilitas. Jika SLAE kompatibel, tunjukkan jumlah solusi.

Untuk mengetahui keberadaan solusi pada SLAE tertentu, kita menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Kita memerlukan matriks sistem $A$ dan matriks perluasan sistem $\widetilde(A)$, kita akan menuliskannya:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \kanan);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array) \kanan). $$

Kita perlu menemukan $\rang A$ dan $\rang\widetilde(A)$. Ada banyak cara untuk melakukan hal ini, beberapa di antaranya tercantum di bagian Matrix Rank. Biasanya, dua metode digunakan untuk mempelajari sistem seperti itu: "Menghitung pangkat suatu matriks menurut definisi" atau "Menghitung pangkat suatu matriks dengan metode transformasi dasar".

Metode nomor 1. Menghitung peringkat berdasarkan definisi.

Menurut definisinya, rank adalah orde tertinggi dari minor-minor suatu matriks, yang di antaranya paling sedikit ada satu yang bukan nol. Biasanya, penelitian dimulai dengan minor orde pertama, tetapi di sini akan lebih mudah jika segera mulai menghitung minor orde ketiga dari matriks $A$. Unsur minor orde ketiga terletak pada perpotongan tiga baris dan tiga kolom matriks yang bersangkutan. Karena matriks $A$ hanya berisi 3 baris dan 3 kolom, minor orde ketiga dari matriks $A$ adalah determinan matriks $A$, yaitu. $\Delta A$. Untuk menghitung determinan, kami menerapkan rumus No. 2 dari topik “Rumus menghitung determinan orde kedua dan ketiga”:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \kanan|=-21. $$

Jadi, ada minor orde ketiga dari matriks $A$, yang tidak sama dengan nol. Tidak mungkin membuat minor orde keempat, karena memerlukan 4 baris dan 4 kolom, dan matriks $A$ hanya memiliki 3 baris dan 3 kolom. Jadi, orde tertinggi dari minor matriks $A$, yang di antaranya paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, adalah 3. Oleh karena itu, $\rang A=3$.

Kita juga perlu menemukan $\rang\widetilde(A)$. Mari kita lihat struktur matriks $\widetilde(A)$. Sampai ke baris dalam matriks $\widetilde(A)$ terdapat elemen matriks $A$, dan kita menemukan bahwa $\Delta A\neq 0$. Akibatnya, matriks $\widetilde(A)$ mempunyai minor orde ketiga, yang tidak sama dengan nol. Kita tidak dapat membuat minor orde keempat dari matriks $\widetilde(A)$, jadi kita menyimpulkan: $\rang\widetilde(A)=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistemnya konsisten, yaitu memiliki solusi (setidaknya satu). Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 hal yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita menyimpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistem tersebut pasti, yaitu. mempunyai solusi unik.

Masalahnya terpecahkan. Apa kekurangan dan kelebihan metode ini? Pertama, mari kita bicara tentang kelebihannya. Pertama, kita hanya perlu mencari satu determinan. Setelah ini, kami langsung membuat kesimpulan tentang banyaknya solusi. Biasanya, perhitungan standar standar memberikan sistem persamaan yang berisi tiga hal yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Untuk sistem seperti itu, metode ini sangat mudah, karena kita mengetahui sebelumnya bahwa ada solusinya (jika tidak, contohnya tidak akan ada dalam perhitungan standar). Itu. yang harus kita lakukan hanyalah menunjukkan adanya solusi secara maksimal dengan cara yang cepat. Kedua, nilai determinan matriks sistem yang dihitung (yaitu $\Delta A$) akan berguna nanti: ketika kita mulai menyelesaikan sistem tertentu menggunakan metode Cramer atau menggunakan matriks invers.

Namun, metode penghitungan peringkat menurut definisi tidak diinginkan untuk digunakan jika matriks sistem $A$ berbentuk persegi panjang. Dalam hal ini, lebih baik menggunakan cara kedua, yang akan dibahas di bawah. Selain itu, jika $\Delta A=0$, maka kita tidak dapat mengatakan apa pun tentang jumlah solusi dari SLAE tak homogen tertentu. Mungkin SLAE mempunyai solusi yang jumlahnya tidak terbatas, atau mungkin tidak ada sama sekali. Jika $\Delta A=0$, maka diperlukan penelitian tambahan, yang seringkali rumit.

Untuk meringkas apa yang telah dikatakan, saya perhatikan bahwa metode pertama baik untuk SLAE yang matriks sistemnya berbentuk persegi. Selain itu, SLAE sendiri berisi tiga atau empat hal yang tidak diketahui dan diambil dari perhitungan atau pengujian standar standar.

Metode nomor 2. Perhitungan pangkat dengan metode transformasi dasar.

Metode ini dijelaskan secara rinci dalam topik terkait. Kita akan mulai menghitung rank matriks $\widetilde(A)$. Mengapa matriks $\widetilde(A)$ dan bukan $A$? Faktanya matriks $A$ merupakan bagian dari matriks $\widetilde(A)$, oleh karena itu dengan menghitung rank matriks $\widetilde(A)$ kita sekaligus mencari rank matriks $A$ .

\begin(sejajar) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \kanan) \rightarrow \left|\text(menukar baris pertama dan kedua)\right| \panah kanan \\ &\panah kanan \kiri(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \kanan) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \kanan) \end(rata)

Kami telah mereduksi matriks $\widetilde(A)$ menjadi bentuk trapesium. Pada diagonal utama dari matriks yang dihasilkan $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ berisi tiga elemen bukan nol: -1, 3, dan -7. Kesimpulan: rank matriks $\widetilde(A)$ adalah 3, yaitu $\rang\widetilde(A)=3$. Saat melakukan transformasi dengan elemen matriks $\widetilde(A)$, kami secara bersamaan mentransformasikan elemen matriks $A$ yang terletak sebelum garis. Matriks $A$ juga direduksi menjadi bentuk trapesium: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \benar )$. Kesimpulan: rank matriks $A$ juga 3, yaitu $\rang A=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistemnya konsisten, yaitu punya solusi. Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 hal yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita menyimpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistem tersebut didefinisikan, yaitu. mempunyai solusi unik.

Apa kelebihan cara kedua? Keuntungan utamanya adalah keserbagunaannya. Tidak menjadi masalah bagi kita apakah matriks sistem itu persegi atau tidak. Selain itu, kami sebenarnya melakukan transformasi maju dari metode Gaussian. Tinggal beberapa langkah lagi, dan kita bisa mendapatkan solusi untuk SLAE ini. Sejujurnya, saya lebih menyukai cara kedua daripada cara pertama, tetapi pilihannya adalah masalah selera.

Menjawab: SLAE yang diberikan konsisten dan terdefinisi.

Contoh No.2

Jelajahi SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.

Kita akan mencari pangkat matriks sistem dan matriks sistem yang diperluas menggunakan metode transformasi dasar. Matriks sistem yang diperluas: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \kanan)$. Mari kita cari peringkat yang diperlukan dengan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:

Matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap. Jika suatu matriks direduksi menjadi bentuk eselon, maka pangkatnya sama dengan banyaknya baris bukan nol. Oleh karena itu, $\rang A=3$. Matriks $A$ (sampai garis) direduksi menjadi bentuk trapesium dan ranknya adalah 2, $\rang A=2$.

Karena $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistem tersebut tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki solusi).

Menjawab: Sistem tidak konsisten.

Contoh No.3

Jelajahi SLAE $ \kiri\( \begin(rata) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(sejajar) \kanan.$ untuk kompatibilitas.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \kanan)$. Mari kita tukar baris pertama dan kedua matriks ini sehingga elemen pertama baris pertama menjadi satu: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \kanan)$.

Kami telah mereduksi matriks perluasan sistem dan matriks sistem itu sendiri menjadi bentuk trapesium. Pangkat matriks yang diperluas sistem sama dengan tiga, pangkat matriks sistem juga sama dengan tiga. Karena sistem berisi $n=5$ yang tidak diketahui, mis. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Menjawab: Sistem tidak pasti.

Pada bagian kedua kita akan melihat contoh-contoh yang sering dimasukkan dalam perhitungan standar atau tes dalam matematika tingkat tinggi: studi tentang konsistensi dan solusi SLAE tergantung pada nilai parameter yang termasuk di dalamnya.

Contoh 1. Temukan solusi umum dan solusi khusus dari sistem tersebut

Larutan Kami melakukannya menggunakan kalkulator. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dan matriks utama:

Matriks utama A dipisahkan oleh garis putus-putus. Kami menulis sistem yang tidak diketahui di bagian atas, dengan mengingat kemungkinan penataan ulang suku-suku dalam persamaan sistem. Dengan menentukan rank matriks yang diperluas, kita sekaligus mencari rank matriks utama. Pada matriks B, kolom pertama dan kedua proporsional. Dari dua kolom proporsional, hanya satu yang dapat masuk ke dalam minor dasar, jadi mari kita pindahkan, misalnya, kolom pertama melewati garis putus-putus dengan tanda berlawanan. Untuk sistem, ini berarti memindahkan suku dari x 1 ke sisi kanan persamaan.

Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem. Kami mengerjakan baris pertama: kalikan baris pertama matriks dengan (-3) dan tambahkan ke baris kedua dan ketiga secara bergantian. Kemudian kalikan baris pertama dengan (-2) dan tambahkan ke baris keempat.

Garis kedua dan ketiga sebanding, sehingga salah satunya, misalnya garis kedua, dapat dicoret. Ini setara dengan mencoret persamaan kedua dari sistem, karena merupakan konsekuensi dari persamaan ketiga.

Sekarang kita bekerja dengan baris kedua: kalikan dengan (-1) dan tambahkan ke baris ketiga.

Minor bertitik memiliki urutan tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (it sama dengan produknya elemen pada diagonal utama), dan minor ini termasuk dalam matriks utama dan matriks diperluas, oleh karena itu rangA = rangB = 3.
Kecil adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 2 , x 3 , x 4 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 2 , x 3 , x 4 bergantung, dan x 1 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, sisakan hanya basis minor di sebelah kiri (yang sesuai dengan poin 4 dari algoritma solusi di atas).

Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk

Dengan menggunakan metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui, kami menemukan:
, ,

Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 2, x 3, x 4 melalui variabel bebas x 1 dan x 5, yaitu, kami menemukan solusi umum:

Dengan menetapkan nilai apa pun pada hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh sejumlah solusi tertentu. Mari temukan dua solusi khusus:
1) misalkan x 1 = x 5 = 0, maka x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) masukkan x 1 = 1, x 5 = -1, maka x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Jadi, ditemukan dua solusi: (0,1,-3,3,0) – satu solusi, (1,4,-7,7,-1) – solusi lain.

Contoh 2. Jelajahi kompatibilitas, temukan solusi umum dan satu solusi khusus dari sistem

Larutan. Mari kita susun ulang persamaan pertama dan kedua menjadi satu pada persamaan pertama dan tuliskan matriks B.

Kita mendapatkan angka nol pada kolom keempat dengan mengoperasikan baris pertama:

Sekarang kita mendapatkan angka nol di kolom ketiga menggunakan baris kedua:

Garis ketiga dan keempat proporsional, sehingga salah satunya dapat dicoret tanpa mengubah pangkatnya:
Kalikan baris ketiga dengan (–2) dan tambahkan ke baris keempat:

Kita melihat bahwa pangkat dari matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan 4, dan pangkat tersebut bertepatan dengan jumlah matriks yang tidak diketahui, oleh karena itu, sistem memiliki solusi unik:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Contoh 3. Periksa kompatibilitas sistem dan temukan solusi jika ada.

Larutan. Kami menyusun matriks yang diperluas dari sistem.

Kita susun ulang dua persamaan pertama sehingga ada 1 di pojok kiri atas:
Mengalikan baris pertama dengan (-1), menambahkannya ke baris ketiga:

Kalikan baris kedua dengan (-2) dan tambahkan ke baris ketiga:

Sistemnya tidak konsisten, karena pada matriks utama kita mendapat baris yang terdiri dari nol, yang dicoret ketika pangkatnya ditemukan, tetapi pada matriks yang diperluas, baris terakhir tetap ada, yaitu r B > r A .

Latihan. Selidiki kompatibilitas sistem persamaan ini dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks.
Larutan

Contoh. Buktikan kesesuaian sistem persamaan linear dan selesaikan dengan dua cara: 1) dengan metode Gauss; 2) Metode Cramer. (masukkan jawabannya dalam bentuk: x1,x2,x3)
Solusi :dok :dok :xls
Menjawab: 2,-1,3.

Contoh. Sebuah sistem persamaan linear diberikan. Buktikan kompatibilitasnya. Temukan solusi umum dari sistem dan satu solusi khusus.
Larutan
Menjawab: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Latihan. Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Kami mempelajari sistem ini menggunakan teorema Kronecker-Capelli.
Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dan matriks utama:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Di sini matriks A disorot dalam huruf tebal.
Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem.
Mari kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Mari kalikan baris ke-2 dengan (2). Kalikan baris ke-3 dengan (-3). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Minor yang dipilih memiliki orde tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal terbalik), dan minor ini termasuk dalam matriks utama dan matriks yang diperluas, oleh karena itu rang( A) = rang(B) = 3 Karena rank matriks utama sama dengan rank matriks yang diperluas, maka sistemnya bersifat kolaboratif.
Anak di bawah umur ini adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , x 3 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 1 , x 2 , x 3 bergantung (dasar), dan x 4 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, hanya menyisakan basis minor di sebelah kiri.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui, kami menemukan:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 , x 3 melalui variabel bebas x 4 , x 5 , yaitu, kami menemukan solusi umum:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
tidak pasti, Karena memiliki lebih dari satu solusi.

Latihan. Selesaikan sistem persamaan.
Menjawab:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dengan menetapkan nilai apa pun pada hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh sejumlah solusi tertentu. Sistemnya adalah tidak pasti

Sistem persamaan linier adalah gabungan dari n persamaan linier yang masing-masing berisi k variabel. Ada tertulis seperti ini:

Banyak orang, ketika pertama kali menemukan aljabar yang lebih tinggi, secara keliru percaya bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel. Dalam aljabar sekolah hal ini biasanya terjadi, tetapi untuk aljabar yang lebih tinggi hal ini umumnya tidak benar.

Penyelesaian suatu sistem persamaan adalah barisan bilangan (k 1, k 2, ..., k n) yang merupakan penyelesaian setiap persamaan sistem tersebut, yaitu. ketika mensubstitusikan ke persamaan ini sebagai ganti variabel x 1, x 2, ..., x n memberikan persamaan numerik yang benar.

Oleh karena itu, menyelesaikan suatu sistem persamaan berarti menemukan himpunan semua solusinya atau membuktikan bahwa himpunan tersebut kosong. Karena jumlah persamaan dan jumlah persamaan yang tidak diketahui mungkin tidak sama, ada tiga kasus yang mungkin terjadi:

Sistemnya tidak konsisten, mis. himpunan semua solusi kosong. Kasus yang agak jarang terjadi yang mudah dideteksi tidak peduli metode apa yang digunakan untuk menyelesaikan sistem.
Sistemnya konsisten dan ditentukan, yaitu. memiliki tepat satu solusi. Versi klasik, terkenal sejak masa sekolah.
Sistem ini konsisten dan tidak terdefinisi, mis. memiliki banyak sekali solusi. Ini adalah pilihan tersulit. Tidaklah cukup untuk menunjukkan bahwa “sistem memiliki himpunan solusi yang tak terbatas” - kita perlu menjelaskan bagaimana himpunan ini disusun.

Suatu variabel x i disebut diperbolehkan jika hanya dimasukkan dalam satu persamaan sistem, dan dengan koefisien 1. Dengan kata lain, pada persamaan lain koefisien variabel x i harus sama dengan nol.

Jika kita memilih satu variabel yang diperbolehkan dalam setiap persamaan, kita memperoleh sekumpulan variabel yang diperbolehkan untuk keseluruhan sistem persamaan. Sistem itu sendiri, yang ditulis dalam bentuk ini, juga akan disebut terselesaikan. Secara umum, satu sistem asli yang sama dapat direduksi menjadi sistem berbeda yang diizinkan, tetapi untuk saat ini kami tidak mempermasalahkan hal ini. Berikut adalah contoh sistem yang diizinkan:

Kedua sistem diselesaikan terhadap variabel x 1 , x 3 dan x 4 . Namun, dengan keberhasilan yang sama dapat dikatakan bahwa sistem kedua diselesaikan terhadap x 1, x 3 dan x 5. Cukup dengan menulis ulang persamaan terakhir dalam bentuk x 5 = x 4.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum. Misalkan kita mempunyai total k variabel, yang mana r diperbolehkan. Maka ada dua kasus yang mungkin terjadi:

Banyaknya variabel yang diperbolehkan r sama dengan jumlah total variabel k: r = k. Kami memperoleh sistem persamaan k di mana r = k variabel yang diperbolehkan. Sistem seperti itu bersifat bersama dan pasti, karena x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., xk = bk;
Banyaknya variabel yang diperbolehkan r lebih kecil dari jumlah total variabel k:r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Jadi, pada sistem di atas, variabel x 2, x 5, x 6 (untuk sistem pertama) dan x 2, x 5 (untuk sistem kedua) adalah bebas. Kasus ketika ada variabel bebas lebih baik dirumuskan sebagai teorema:

Harap diperhatikan: ini sangat poin penting! Bergantung pada cara Anda menulis sistem yang dihasilkan, variabel yang sama dapat diizinkan atau bebas. Kebanyakan tutor matematika tingkat tinggi merekomendasikan untuk menuliskan variabel dalam urutan leksikografis, yaitu. indeks menaik. Namun, Anda tidak berkewajiban untuk mengikuti saran ini.

Dalil. Jika dalam sistem n persamaan variabel x 1, x 2, ..., x r diperbolehkan, dan x r + 1, x r + 2, ..., x k bebas, maka:

Jika kita menetapkan nilai variabel bebas (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), lalu mencari nilai x 1, x 2, ..., x r, kita mendapatkan salah satu keputusan.

Jika dalam dua penyelesaian nilai variabel bebasnya sama, maka nilai variabel yang diperbolehkan juga sama, yaitu. penyelesaiannya sama.

Apa arti dari teorema ini? Untuk mendapatkan semua solusi sistem persamaan terselesaikan, cukup dengan mengisolasi variabel bebas. Kemudian, menugaskan ke variabel bebas arti yang berbeda, kami akan menerima solusi siap pakai. Itu saja - dengan cara ini Anda bisa mendapatkan semua solusi sistem. Tidak ada solusi lain.

Kesimpulan: sistem persamaan yang diselesaikan selalu konsisten. Jika jumlah persamaan dalam suatu sistem yang terselesaikan sama dengan jumlah variabelnya, maka sistem tersebut pasti; jika lebih kecil, maka sistem tersebut tidak tentu.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi muncul pertanyaan: bagaimana cara mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan asli? Untuk ini ada

Sistem M persamaan linier dengan N tidak dikenal.
Memecahkan sistem persamaan linear- ini adalah kumpulan angka ( x 1 , x 2 , …, xn), bila disubstitusikan ke dalam setiap persamaan sistem, diperoleh persamaan yang benar.
Di mana a ij , saya = 1, …, m; j = 1, …, n— koefisien sistem;
b saya , saya = 1, …, m- anggota gratis;
x j , j = 1, …, n- tidak dikenal.
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: SEBUAH X = B,

Di mana ( A|B) adalah matriks utama sistem;
A— matriks sistem yang diperluas;
X— kolom yang tidak diketahui;
B— kolom anggota gratis.
Jika matriks B bukan matriks nol ∅, maka sistem persamaan linier ini disebut tidak homogen.
Jika matriks B= ∅, maka sistem persamaan linear ini disebut homogen. Sistem homogen selalu mempunyai solusi nol (trivial): x 1 = x 2 = …, xn = 0.
Sistem gabungan persamaan linear adalah sistem persamaan linear yang mempunyai solusi.
Sistem persamaan linear yang tidak konsisten adalah sistem persamaan linear yang tidak dapat diselesaikan.
Sistem persamaan linear tertentu adalah sistem persamaan linear yang mempunyai solusi unik.
Sistem persamaan linear tak tentu adalah sistem persamaan linear dengan jumlah solusi yang tak terhingga.
Sistem n persamaan linear dengan n yang tidak diketahui
Jika banyaknya persamaan yang tidak diketahui sama dengan banyaknya persamaan, maka matriksnya berbentuk persegi. Penentu suatu matriks disebut determinan utama suatu sistem persamaan linier dan dilambangkan dengan simbol Δ.
Metode Cramer untuk memecahkan sistem N persamaan linier dengan N tidak dikenal.
aturan Cramer.
Jika determinan utama suatu sistem persamaan linier tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut konsisten dan terdefinisi, dan satu-satunya solusi dihitung menggunakan rumus Cramer:
dimana Δ i adalah determinan yang diperoleh dari determinan utama sistem Δ dengan cara mengganti Saya kolom ke kolom anggota bebas. .
Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui
Teorema Kronecker – Capelli.

Agar suatu sistem persamaan linier tertentu konsisten, pangkat matriks sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut, berbunyi(Α) = berbunyi(Α|B).
Jika berbunyi(Α) ≠ berbunyi(Α|B), maka sistem jelas tidak memiliki solusi.
Jika berbunyi(Α) = berbunyi(Α|B), maka dua kasus mungkin terjadi:
1) pangkat(Α) = n(jumlah yang tidak diketahui) - solusinya unik dan dapat diperoleh dengan menggunakan rumus Cramer;
2) pangkat(Α)< n - ada banyak sekali solusi.
metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Mari kita buat matriks yang diperluas ( A|B) dari sistem tertentu dari koefisien yang tidak diketahui dan ruas kanan.
Metode Gaussian atau metode menghilangkan yang tidak diketahui terdiri dari mereduksi matriks yang diperluas ( A|B) menggunakan transformasi dasar pada barisnya menjadi tampilan diagonal(ke tampilan segitiga atas). Kembali ke sistem persamaan, semua hal yang tidak diketahui ditentukan.
Transformasi dasar pada string mencakup hal berikut:
1) menukar dua baris;
2) mengalikan suatu string dengan angka selain 0;
3) menambahkan string lain ke string, dikalikan dengan angka sembarang;
4) membuang garis nol.
Matriks yang diperluas direduksi menjadi bentuk diagonal sesuai dengan sistem linier, setara dengan yang ini, solusinya tidak menimbulkan kesulitan. .
Sistem persamaan linear homogen.
Sistem homogen berbentuk:

itu sesuai dengan persamaan matriks SEBUAH X = 0.
1) Sistem homogen selalu konsisten, karena r(A) = r(A|B), selalu ada solusi nol (0, 0, …, 0).
2) Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup r = r(A)< n , yang setara dengan Δ = 0.
3) Jika R< n , maka jelas Δ = 0, maka timbul hal-hal yang tidak diketahui bebas c 1 , c 2 , …, c n-r, sistem memiliki solusi non-trivial, dan jumlahnya tak terhingga banyaknya.
4) Solusi umum X pada R< n dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
dimana solusinya X 1 , X 2 , …, X n-r membentuk sistem solusi yang mendasar.
5) Sistem dasar penyelesaian dapat diperoleh dari solusi umum sistem homogen:

,
jika kita secara berurutan mengatur nilai parameter menjadi (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Perluasan solusi umum dalam hal sistem solusi fundamental adalah catatan penyelesaian umum yang berupa kombinasi linier dari penyelesaian-penyelesaian yang termasuk dalam sistem fundamental.
Dalil. Agar suatu sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup bahwa Δ ≠ 0.
Jadi, jika determinannya Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.
Jika Δ ≠ 0, maka sistem persamaan linier homogen mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga.
Dalil. Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, maka diperlukan dan cukup bahwa r(A)< n .
Bukti:
1) R tidak mungkin ada lagi N(pangkat matriks tidak melebihi jumlah kolom atau baris);
2) R< n , Karena Jika r = n, maka determinan utama sistem Δ ≠ 0, dan, menurut rumus Cramer, terdapat solusi sepele yang unik x 1 = x 2 = … = xn = 0, yang bertentangan dengan kondisi tersebut. Cara, r(A)< n .
Konsekuensi. Agar sistemnya homogen N persamaan linier dengan N yang tidak diketahui memiliki solusi bukan nol, maka Δ = 0 harus dan cukup.

Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui disebut sistem bentuk

Di mana sebuah ij Dan b saya (Saya=1,…,M; B=1,…,N) adalah beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…,xn- tidak dikenal. Dalam penunjukan koefisien sebuah ij indeks pertama Saya menunjukkan nomor persamaan, dan yang kedua J– bilangan yang tidak diketahui dimana koefisien ini berada.

Kita akan menuliskan koefisien-koefisien yang tidak diketahui dalam bentuk matriks , yang akan kami panggil matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan adalah b 1 ,…,bm dipanggil anggota gratis.

Keseluruhan N angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan suatu sistem tertentu, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah mensubstitusikan bilangan ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih hal-hal yang tidak diketahui terkait x 1 ,…,xn.

Tugas kita adalah menemukan solusi terhadap sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin timbul:

Sistem persamaan linear yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, mis. jika sistem tidak memiliki solusi, maka disebut non-bersama.

Mari kita pertimbangkan cara untuk menemukan solusi terhadap sistem.

METODE MATRIKS UNTUK SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Matriks memungkinkan untuk menuliskan secara singkat sistem persamaan linier. Misalkan diberikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Pertimbangkan matriks sistem dan kolom matriks yang sukunya tidak diketahui dan bebas

Ayo cari pekerjaannya

itu. sebagai hasil perkalian, kita memperoleh ruas kiri persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis dalam bentuk

atau lebih pendek A∙X=B.

Berikut adalah matriksnya A Dan B diketahui, dan matriksnya X tidak dikenal. Hal ini perlu untuk menemukannya, karena... elemen-elemennya adalah solusi untuk sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Misalkan determinan matriks tersebut berbeda dari nol | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, kebalikan dari matriks A: . Sejak SEBUAH -1 SEBUAH = E Dan E∙X = X, maka kita memperoleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = SEBUAH -1B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem yang memiliki matriks persegi jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, pencatatan matriks sistem juga dimungkinkan jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, maka matriksnya A tidak akan berbentuk persegi dan oleh karena itu tidak mungkin menemukan solusi sistem dalam bentuk X = SEBUAH -1B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Penentu orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien untuk hal yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Mari kita buat tiga determinan lagi sebagai berikut: ganti kolom 1, 2 dan 3 secara berurutan pada determinan D dengan kolom suku bebas

Maka kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem yang ditinjau mempunyai satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, mari kita perhatikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Mari kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar SEBUAH 11 elemen sebuah 11, persamaan ke-2 – aktif Sebuah 21 dan ke-3 – aktif Sebuah 31:

Mari tambahkan persamaan ini:

Mari kita lihat masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema perluasan determinan pada elemen kolom 1

Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk menyadarinya

Jadi, kita memperoleh persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, yang darinya pernyataan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak memiliki solusi, yaitu. tidak kompatibel.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang telah dibahas sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan sistemnya harus berbeda dari nol. Metode Gauss lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan secara konsisten hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan kembali sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami akan membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami akan mengecualikan suku-suku yang mengandungnya x 1. Untuk melakukannya, bagi persamaan kedua dengan A 21 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan ke persamaan pertama. Demikian pula, kita membagi persamaan ketiga dengan A 31 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan dengan yang pertama. Hasilnya, sistem aslinya akan berbentuk:

Sekarang dari persamaan terakhir kita menghilangkan istilah yang mengandung x 2. Caranya, bagi persamaan ketiga dengan, kalikan dengan, dan tambahkan dengan persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan: