Proyeksi Gaussian melintang. Inti dari proyeksi Gauss-Kruger dan penggunaannya dalam geodesi. Esensi dan jenis geod. mengubah

Menyusun peta topografi di wilayah b. Sejak 1928, Uni Soviet telah mengadopsi proyeksi konformal Gauss-Kruger berbentuk silinder melintang.

Dengan menggunakan proyeksi Gauss-Kruger, seluruh permukaan bumi dibagi oleh meridian menjadi zona enam atau tiga derajat (Gbr. 4, a). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa ketika titik meridian aksial terletak jauh, distorsi besar terjadi pada titik tersebut pada peta. Pemilihan zona dengan lebar 3 atau 6° bujur tergantung pada skala peta yang disusun. Saat menyusun peta dengan skala 1:10.000 atau lebih kecil, digunakan zona enam derajat, dan saat menyusun peta dengan skala 1:5000 atau lebih besar, digunakan zona tiga derajat.

Gambar 4. Tampilan zona dalam proyeksi Gauss-Kruger pada bola dan bidang

Zona enam derajat diberi nomor dengan angka Arab, dimulai dari meridian Greenwich, dari barat hingga timur. Karena batas barat zona pertama bertepatan dengan meridian Greenwich (utama), maka garis bujur dari meridian aksial zona tersebut adalah: 3, 9, 15, 21°,.... Garis bujur dari meridian aksial dapat berupa ditentukan dengan rumus:

L 0 = 6°LU-3,

di mana N adalah nomor zona ini.

Zona tiga derajat terletak di permukaan bumi sehingga semua meridian aksial dan batas zona enam derajat merupakan meridian aksial zona tiga derajat.

Sistem koordinat di setiap zona proyeksi Gauss-Kruger persis sama: koordinat persegi panjang datar x dan y, dihitung dari koordinat geodetik (geografis) B dan L di setiap zona koordinat, memiliki nilai yang sama. Dalam proyeksi Gauss-Kruger, meridian aksial, yang mewakili sumbu absis (x), dan ekuator, sumbu ordinat (y), digambarkan dengan garis lurus yang saling tegak lurus, dan meridian lainnya berupa kurva yang menyatu di kutub (Gbr. : B). Semua titik absis di bagian utara zona (utara khatulistiwa) adalah positif. Untuk memastikan semua ordinat positif, maka ditambahkan 500 km pada semua ordinat (negatif dan positif). Selain itu, untuk mengetahui secara lengkap posisi suatu titik di permukaan bumi, nomor zona dituliskan di depan ordinat yang diubah. Misalnya, di zona 7, titik A memiliki ordinat nyata:

U A = +14.837,4 m.

Ordinat yang ditransformasikan akan menjadi 7.500.000 m lebih besar, yaitu U A = 7.514.837,4 m. Absis titik-titik di seluruh Rusia adalah positif dan dibiarkan tidak berubah.

Untuk mendapatkan grid pemetaan dalam proyeksi Gauss-Kruger silinder transversal, Bumi ditempatkan dalam silinder transversal. Pusat proyeksi terletak di tengah bola dan permukaan bola diproyeksikan dengan sinar langsung ke permukaan pembangkit silinder. Setiap zona dirancang secara bergantian. Dalam hal ini, bumi diputar di dalam silinder sehingga permukaan pembentuk silinder bertepatan (bersentuhan) dengan meridian aksial zona tersebut, Gambar. 5.

Sebagai hasil dari desain tersebut, muncullah kisi-kisi kartografi tampilan selanjutnya, beras. 6.

Proyeksi Gauss-Kruger berbentuk ekuivalen karena tidak mendistorsi sudut horizontal bentuk geometris permukaan bumi. Oleh karena itu, angka-angka yang sangat kecil dalam proyeksi ini serupa dengan angka-angka yang bersesuaian pada ellipsoid.

Gambar 5. Proyeksi silinder melintang

Selain itu, proyeksi Gauss-Kruger tidak mendistorsi panjang busur meridian aksial. Panjang garis lain dan luas gambar dalam proyeksi ini terdistorsi.

Gambar 6. Tampilan grid peta pada proyeksi Gauss-Kruger

Ini adalah proyeksi peta berbentuk silinder melintang yang dikembangkan oleh ilmuwan Jerman Gauss dan Kruger.

Penggunaan proyeksi ini memungkinkan untuk menggambarkan area permukaan bumi yang cukup luas secara praktis tanpa distorsi yang berarti dan, yang sangat penting, untuk membangun sistem koordinat persegi panjang datar di wilayah tersebut.

Dalam proyeksi Gauss-Kruger, permukaan ellipsoid pada bidang ditampilkan sepanjang zona meridian, yang lebarnya adalah 6° (untuk peta skala 1:500.000-1:10.000) dan 3° (untuk peta skala 1 :5.000-1:2.000) . Meridian dan paralel digambarkan sebagai kurva, simetris terhadap meridian aksial zona dan ekuator, tetapi kelengkungannya sangat kecil sehingga bingkai barat dan timur peta digambarkan sebagai garis lurus. Paralel yang bertepatan dengan bingkai utara dan selatan peta digambarkan lurus pada peta skala besar (1:2.000-1:50.000); pada peta skala kecil digambarkan melengkung. Titik asal koordinat persegi panjang masing-masing zona terletak pada titik perpotongan meridian aksial zona tersebut dengan garis khatulistiwa. Di Rusia, negara tersebut telah mengadopsi penomoran zona yang berbeda dari penomoran kolom peta skala 1:1.000.000 sebanyak tiga puluh unit, yaitu zona paling barat dengan bujur meridian aksial L = 21 diberi nomor 4, untuk di timur jumlah zona meningkat. Nomor zona N dan garis bujur meridian aksial L° dalam derajat dihubungkan satu sama lain dengan persamaan L° == 6N- 3.

Wilayah Rusia terletak di belahan bumi utara, sehingga koordinat ^X semua titik bernilai positif. Koordinat Y mempunyai nilai negatif di sebelah kiri meridian aksial dan nilai positif di sebelah kanannya. Untuk menghilangkan koordinat negatif dari sirkulasi dan memfasilitasi penggunaan koordinat persegi panjang pada peta topografi, angka konstan 500.000 m ditambahkan ke semua koordinat Y. Untuk menunjukkan zona di mana koordinat tersebut berada, nomor zona ditambahkan ke nilai Y pada kiri. Misal pencatatan koordinat Y" 30.786.543 m berarti titik tersebut berada pada zona ke-30, koordinat sebenarnya 786.000-500.000 = 286.543 m yaitu terletak di sebelah kanan meridian aksial zona ke-30. Pencatatan koordinat Y = 8.397.720 m berarti titik tersebut berada pada zona ke-8, koordinat sebenarnya 397.720-500.000 = 102.280 m, terletak di sebelah kiri meridian aksial zona ke-8.

Gambar 29. Proyeksi Gauss-Kruger

Saat membuat peta apa pun penting memiliki pertanyaan tentang pilihan proyeksi peta, yang akan memberikan peluang solusi optimal menurut peta berbagai tugas ini. Proyeksi mana yang akan digunakan dalam pekerjaan terutama bergantung pada tujuan peta dan skalanya, yang sering kali menentukan sifat distorsi yang diizinkan dalam proyeksi yang dipilih.

Peta skala besar dan menengah, yang dimaksudkan untuk memecahkan masalah metrik, biasanya dibuat dalam proyeksi ekuivalen, dan peta skala kecil, yang digunakan untuk gambaran umum dan menentukan rasio luas suatu wilayah, dibuat dalam proyeksi yang sama luasnya. . Saat memilih proyeksi, mereka memulai dengan yang paling sederhana, kemudian beralih ke proyeksi yang lebih kompleks, bahkan mungkin memodifikasinya.

Cocok untuk menggambarkan Rusia proyeksi berbentuk kerucut, di mana kerucut imajiner dipotong bola dunia sepanjang paralel 47 dan 62° lintang utara: pada peta yang dibuat dengan cara ini, inilah yang disebut garis distorsi nol. Di dekat mereka, kompresi dan ekspansi kecil, yang nyaman, karena daerah terpadat penduduknya terletak di antara mereka. Peta Samudra Arktik atau Antartika paling sering digambar dalam proyeksi azimut, menempatkan bidang bantu imajiner sehingga menyentuh kutub. Maka bentangan di daerah kutub bumi akan minimal. Kartografi modern memiliki serangkaian proyeksi yang cukup besar untuk peta apa pun (planet secara keseluruhan, benua dan lautan, negara, dll.) dan untuk segala macam tujuan.

Untuk berpindah dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, digunakan sekumpulan parameter yang menentukan perbedaan antara ellipsoid yang menjadi dasar sistem koordinat yang satu dengan sistem koordinat lainnya. Inilah yang disebut elemen transformasi linier yang menentukan pergeseran pusat massa ellipsoid relatif terhadap bumi secara umum dan elemen sudut transformasi yang masing-masing menentukan rotasi ellipsoid relatif terhadap bumi secara umum. Jika jelas bahwa beberapa data digeser secara seragam relatif terhadap lapisan lain dengan jumlah yang sama, maka kemungkinan besar data tersebut berada di dalamnya sistem yang berbeda koordinat

Mari kita pertimbangkan proyeksi ini pada sebuah bola. Untuk melakukan hal ini, kami memperkenalkan sistem koordinat bola, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5.9.

Titik tersebut diambil sebagai titik asal koordinat A, terletak di persimpangan garis khatulistiwa dengan meridian P 1 AP, diambil sebagai inisial dalam sistem ini. Kami akan menyebutnya meridian aksial.

Dalam sistem koordinat baru, meridian aksial diambil sebagai ekuator bersyarat, dan titik-titiknya diambil sebagai kutub bersyarat Q Dan Pertanyaan 1 terletak di garis khatulistiwa dan jauh dari titik asal A pada garis bujur 90°. Posisi titik M dalam sistem koordinat ini ditentukan oleh busur meridian aksial dan busur lingkaran besar .

Hubungan antara koordinat , dan koordinat , dinyatakan dengan rumus trigonometri bola.

(5.25)

dimana adalah garis bujur meridian aksial.

Sekarang mari kita ambil sebuah silinder yang bersinggungan dengan bola di sepanjang meridian aksial (Gbr. 5.10) dan pindahkan meridian bersyarat ke sana Q 1 AA 1 A 2 Q, Q 1 aa 1 a 2 Q, Q 1 bb 1 b 2 Q… dan paralel bersyarat - busur lingkaran kecil yang sejajar dengan bidang meridian - A 1 a 1 b 1 c 1 , A 2 a 2 b 2 c 2 karena kita melakukan ini dalam proyeksi Mercator konformal normal (lihat 5.4).

Di belakang poros X Mari kita ambil meridian aksial. Di belakang poros pada- khatulistiwa T,AQ(Gbr. 5.10). Kita memperoleh persamaan koordinat persegi panjang dalam proyeksi ini jika kita mengganti ekspresi (5.11) dan (5.12) dengan , dan masing-masing koordinat dan dengan dan . Sebagai hasilnya, kita punya

(5.26)

Karena proyeksinya berbentuk ekuivalen, maka perbesaran sepanjang sumbunya adalah sama

dan elips distorsi adalah lingkaran dengan jari-jari.

Dari (5.27) dapat disimpulkan bahwa distorsi jarak dan luas meningkat seiring dengan menjauhnya titik dari meridian aksial.

Untuk membatasi distorsi ini, penggunaan proyeksi ini dibatasi pada zona enam derajat. Setiap zona memiliki sistem koordinat persegi panjang masing-masing. Dalam hal ini, garis bujur meridian aksial di setiap zona ditentukan oleh rumus

Di mana N=1,2, 3,...60 - nomor zona.

Di dalam zona tersebut nilainya cukup kecil. Oleh karena itu, daripada ordinat bola, akan lebih mudah menggunakan nilai liniernya. Untuk melakukan ini, mari kita kembangkan (5.27) menjadi sebuah deret, batasi diri kita pada dua suku

Menggantinya nilai linier, kita dapatkan rumus terkenal

. (5.28)

Di Ukraina, distorsi panjang garis di tepi zona enam derajat mencapai

di bagian selatan atau 72 cm per 1 km;

di bagian utara atau 52 cm per 1 km.

Distorsi area yang sesuai

atau 14 m2 per 1 hektar;

atau 10 m2 per 1 hektar.

Ketika menyusun rencana topografi pada skala 1:5000 dan lebih besar, distorsi seperti itu tidak dapat diabaikan. Dalam hal ini, zona tiga derajat yang lebih sempit digunakan, di mana garis bujur meridian aksial dihitung menggunakan rumus

Seperti dapat dilihat pada Gambar 5.10, garis koordinat bola pada proyeksi Gauss-Kruger adalah garis lurus.

Saat berpindah kembali dari koordinat bola ke koordinat geografis, meridian aksial dan ekuator akan digambarkan sebagai garis lurus tegak lurus (Gbr. 5.11). Meridian yang tersisa berupa garis lengkung yang cekungnya menghadap meridian aksial, dan garis sejajarnya berupa kurva yang cekungnya menghadap kutub terdekat.

Sejauh ini kita telah membahas proyeksi pada sebuah bola. Ketika berpindah ke ellipsoid revolusi, sifat umum proyeksi tidak berubah secara signifikan.

Koordinat persegi panjang pada ellipsoid dihitung menggunakan rumus (2.15), dan distorsi panjang garis menggunakan rumus (2.18).

Saat bepergian dengan berjalan kaki atau bersepeda, peta topografi merupakan pendamping yang sangat diperlukan bagi seorang peneliti. Salah satu tugasnya pemetaan(salah satu disiplin ilmu seperti geodesi) adalah gambaran permukaan bumi yang melengkung (figure of the Earth) pada peta datar. Untuk mengatasi masalah ini, Anda harus memilih elipsoid- bentuk benda tiga dimensi yang kira-kira sesuai dengan permukaan bumi, data— titik awal sistem koordinat (pusat ellipsoid) dan meridian utama (eng. meridian utama) Dan proyeksi- metode menggambarkan permukaan benda tertentu pada bidang datar.

Ellipsoid dan datum

DI DALAM waktu yang berbeda untuk membuat peta, berbagai pilihan digunakan untuk merepresentasikan permukaan bumi dalam bentuk bola atau ellipsoid .

Merepresentasikan Bumi sebagai bola dengan radius 6378137 meter (atau 6367600 meter) memungkinkan Anda menentukan koordinat titik mana pun di permukaan bumi dalam bentuk dua angka - garis lintang $\phi$ dan garis bujur $\lambda$:

Untuk ellipsoid bumi konsep yang digunakan sebagai garis lintang (geografis). garis lintang geodetik(Bahasa inggris) garis lintang geodetik) φ - sudut yang dibentuk oleh garis normal permukaan ellipsoid bumi pada suatu titik tertentu dan bidang ekuatornya , Dan garis normal tidak melewati pusat ellipsoid tidak termasuk khatulistiwa dan kutub:

Nilai garis bujur garis bujur) λ bergantung pada pilihan meridian awal (nol) untuk ellipsoid.
Jari-jari sumbu semi mayor (khatulistiwa) biasanya digunakan sebagai parameter ellipsoid A dan kompresi F .
Kompresi $f = ((a-b) \over a)$ menentukan kerataan ellipsoid di kutub.

Salah satu ellipsoid pertama adalah Elipsoid Bessel(Elipsoid Bessel, Bessel 1841), ditentukan dari pengukuran pada tahun 1841 oleh Friedrich Bessel ( Friedrich Wilhelm Bessel), dengan panjang sumbu semi mayor A= 6377397,155 m dan kompresi F = 1:299,152815 . Saat ini digunakan di Jerman, Austria, Republik Ceko dan beberapa negara Asia dan Eropa.

data Potsdam (PD)

Sebelumnya, untuk membuat peta dalam proyeksi UTM digunakan ellipsoid internasional (Elipsoid internasional 1924, Elipsoid Hayford) dengan panjang sumbu semi mayor (khatulistiwa). A= 6378388 m dan kompresi F = 1:297,00 , diusulkan oleh surveyor Amerika John Fillmore Hayford ( pada tahun 1910.

John Fillmore Hayford

data ED 50 (Data Eropa 1950)

elipsoid - Elipsoid internasional 1924
Meridian utama Greenwich)

Untuk melaksanakan pekerjaan di seluruh wilayah Uni Soviet sejak 1946 (Resolusi Dewan Menteri Uni Soviet tanggal 7 April 1946 No. 760), digunakan sistem koordinat geodetik SK-42 (Pulkovo 1942), berdasarkan Elipsoid Krasovsky dengan panjang sumbu semi mayor (khatulistiwa). A= 6378245 m dan kompresi F= 1:298,3 . Ellipsoid referensi ini dinamai astronom-ahli geodesi Soviet Feodosius Nikolaevich Krasovsky. Pusat ellipsoid ini digeser relatif terhadap pusat massa bumi sekitar 100 meter agar sesuai dengan permukaan bumi di wilayah Uni Soviet di Eropa.

data Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

elipsoid - Krasovsky ( Krassowsky 1940)
meridian utama - meridian Greenwich ( Meridian utama Greenwich)

Saat ini (termasuk dalam sistem GPS) ellipsoid banyak digunakan WGS84 (Sistem Geodesi Dunia 1984) dengan panjang poros utama A= 6378137 m, kompresi F = 1:298,257223563 dan eksentrisitas e = 0,081819191 . Pusat ellipsoid ini berimpit dengan pusat massa bumi.

data WGS84 (EPSG:4326)

elipsoid - WGS84
meridian utama - meridian referensi (Meridian Referensi IERS (Meridian Referensi Internasional)), melewati 5,31″ timur meridian Greenwich. Dari meridian inilah garis bujur dalam sistem diukur GPS(Bahasa inggris) garis bujur GPS)

Pusat sistem koordinat WGS84 bertepatan dengan pusat massa bumi, sumbu Z sistem koordinat yang dituju tiang penyangga (Bahasa inggris) Tiang Referensi IERS (IRP) dan berimpit dengan sumbu rotasi ellipsoid, yaitu sumbu X melewati garis perpotongan meridian utama dan bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus sumbu Z, sumbu Y tegak lurus terhadap sumbu X.

Alternatif untuk ellipsoid WGS84 adalah ellipsoid PZ-90, digunakan dalam sistem GLONASS, dengan panjang semi-sumbu utama A= 6378136 m dan kompresi F = 1:298,25784 .

Konversi data

Dengan opsi transisi paling sederhana antar datum Pulkovo-1942 Dan WGS84 hanya perlu memperhitungkan perpindahan pusat ellipsoid Krasovsky relatif terhadap pusat ellipsoid WGS84:
direkomendasikan di Gost 51794-2001 —
dX= +00023,92m; dY= –00141,27 m; dZ= –00080,91 m;
direkomendasikan di Sistem Geodesi Dunia 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028m; dY= –00130 m; dZ= –00095m.
Perlu dicatat bahwa di atas adalah nilai rata-rata koefisien, yang untuk konversi yang lebih akurat harus dihitung untuk setiap titik di permukaan bumi secara individual. Misalnya, untuk Polandia, negara tetangga Belarus, parameternya adalah sebagai berikut:
dX= +00023m; dY= –00124 m; dZ= –00082 m (menurut data )
Transformasi ini disebut tiga parameter.
Dengan transformasi yang lebih akurat ( transformasi Molodensky) perlu memperhitungkan perbedaan antara bentuk ellipsoid, yang ditentukan oleh dua parameter:
ya- perbedaan antara panjang sumbu semi utama, df— perbedaan antara rasio kompresi (perbedaan perataan). Nilai-nilai mereka sama gost Dan NIMA:
ya= – 00108m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Saat bertransisi antar data ED 50 Dan WGS84 Parameter konversinya adalah:
ya= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
untuk Eropa dX= -87 m; dY= –96 m; dZ= –120 m (menurut Buku Pegangan Pengguna tentang Transformasi Datum yang melibatkan WGS-84, edisi ke-3, 2003 ).

Satu set lima parameter yang ditentukan ( dX, dY, dZ, ya, df) dapat dimasukkan ke dalam program navigator atau navigasi sebagai ciri datum yang digunakan oleh pengguna.

Proyeksi

Cara penggambaran permukaan bumi tiga dimensi pada peta dua dimensi ditentukan oleh yang dipilih proyeksi peta.
Paling populer ( normal) proyeksi Mercator berbentuk silinder dan berbagai seperti proyeksi Mercator silinder melintang (Mercator melintang).

Berbeda dengan proyeksi Mercator biasa, yang dikenal selama berabad-abad, yang sangat baik untuk menggambarkan wilayah khatulistiwa, perbedaan proyeksi transversal adalah silinder tempat permukaan planet diproyeksikan diputar 90°:

Proyeksi Mercator Silinder

Proyeksi Mercator Bulat

Untuk proyeksi bola, rumus berikut berlaku untuk mengubah garis lintang $\phi$ dan garis bujur $\lambda$ suatu titik di permukaan bola bumi (dalam radian) menjadi koordinat persegi panjang $x$ dan $y$ pada peta (dalam meter):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ( (\tan( ((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )) )) \cdot R$
(rumus tangen logaritma) ,
dimana $R$ adalah jari-jari bola, $(\lambda)_0$ adalah garis bujur meridian utama.
Faktor skala $k$ mewakili rasio jarak sepanjang grid peta. jarak jaringan) ke jarak lokal (geodesik) (eng. jarak geodetik):
$k = (1 \lebih (\cos \phi))$.
Terjemahan terbalik diimplementasikan menggunakan rumus berikut:
$\lambda = (x \di atas R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) - 2 \arctan(e^(-y \over R)) $ .
Fitur penting dari proyeksi Mercator untuk navigasi adalah garis rumba(Bahasa inggris) garis belah ketupat) atau rhoxodrome (eng. loxodrome) digambarkan sebagai garis lurus.
Loxodrome adalah busur yang memotong meridian pada sudut yang sama, yaitu. jalur dengan konstan ( loxodromic) sudut jalur.
Sudut lintasan, PU(Bahasa inggris) menuju) adalah sudut antara arah utara meridian pada lokasi pengukuran dan arah garis lintasan, diukur searah jarum jam dari arah utara geografis (0° digunakan untuk menunjukkan arah pergerakan ke utara, 90° hingga timur).
Loxodrome adalah spiral yang membuat jumlah putaran tak terbatas saat mendekati kutub.

Perlu dicatat bahwa loxodrome bukanlah jalur terpendek antara dua titik − ortodrom, busur lingkaran besar menghubungkan titik-titik ini .

Mercator Web

Varian dari proyeksi bola Mercator digunakan oleh banyak layanan peta, misalnya. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

DI DALAM OpenStreetMap peta dunia berbentuk persegi dengan koordinat titik-titik di sepanjang sumbunya X Dan kamu, terletak antara -20.037.508,34 dan 20.037.508,34 m. Akibatnya, peta tersebut tidak menunjukkan wilayah yang terletak di utara 85.051129° LU dan selatan 85.051129° LU. Nilai garis lintang $\phi_(max)$ ini adalah solusi persamaan:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\over 2) $ .
Seperti peta mana pun yang disusun dalam proyeksi Mercator, peta ini dicirikan oleh distorsi wilayah, yang paling jelas terlihat ketika membandingkan Greenland dan Australia yang digambarkan pada peta:

Saat menggambar peta OpenStreetMap koordinat (lintang dan bujur) pada ellipsoid dalam sistem WGS84 diproyeksikan ke bidang peta seolah-olah koordinat ini ditentukan pada bola berjari-jari R = A= 6.378.137 m(proyeksi ulang) - representasi bola dari koordinat ellipsoidal (" pengembangan bola koordinat ellipsoidal"). Proyeksi ini, disebut Mercator Web) sesuai EPSG (Kelompok Survei Minyak Bumi Eropa) kode 3857 (" WGS 84/Pseudo-Mercator«).
Memproyeksikan ulang dari EPSG:4326 V EPSG:3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) diimplementasikan sesuai dengan rumus di atas untuk proyeksi Mercator bola biasa.
Pada peta seperti itu, arah ke utara selalu sesuai dengan arah ke sisi atas peta; meridian adalah garis vertikal yang berjarak sama satu sama lain.
Namun proyeksi seperti itu, tidak seperti proyeksi Mercator berbentuk bola atau elips, bukanlah p bersudut tunggal ( konformal), garis rumba di dalamnya tidak lurus. Garis Rumba (loxodrome) adalah garis yang memotong meridian dengan sudut tetap.
Keuntungan dari proyeksi yang dipertimbangkan adalah kemudahan perhitungannya.

Dalam proyeksi yang ditentukan, peta dapat digambar dengan kotak koordinat persegi panjang (sesuai dengan nilai garis bujur dan garis lintang).
Referensi peta (perbandingan koordinat persegi panjang di peta dan koordinat geografis di lapangan) dapat dilakukan dengan menggunakan titik $N$ yang koordinatnya diketahui. Untuk melakukan ini, perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan bentuk $2 N$
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $ .
Untuk menyelesaikan sistem persamaan dan menentukan nilai parameter $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_(\lambda)$ , $\rho_(\phi)$ Anda dapat menggunakan, misalnya, paket matematika matematika.
Untuk memeriksa kebenaran pengikatan peta, Anda dapat menentukan rasio panjang sisi persegi panjang dari kisi-kisi yang dibuat. Jika sisi horizontal dan vertikal suatu persegi panjang mempunyai panjang sudut yang sama dalam garis bujur dan lintang, maka perbandingan panjang sisi horizontal (busur sejajar - lingkaran kecil) dengan panjang sisi vertikal (busur meridian - lingkaran besar) ) harus sama dengan $\cos \phi$ , dengan $ \phi$ adalah garis lintang geografis tempat tersebut.

Proyeksi Mercator Elips

Proyeksi Mercator Elips ( EPSG:3395 — WGS 84/Mercator Dunia) digunakan, misalnya, oleh layanan Yandex.Peta,Foto luar angkasa.
Untuk proyeksi elips, rumus berikut berlaku untuk mengubah garis lintang $\phi$ dan garis bujur $\lambda$ suatu titik di permukaan bola bumi (dalam radian) menjadi koordinat persegi panjang $x$ dan $y$ pada peta (dalam meter):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \over 4) + (\phi \over 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi ))))^(e \lebih dari 2)) $ ,
dimana $a$ adalah panjang sumbu semi-mayor ellipsoid, $e$ adalah eksentrisitas ellipsoid, $(\lambda)_0$ adalah bujur meridian utama.
Faktor skala $k$ diberikan oleh:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \over (\cos \phi)) $ .
Terjemahan terbalik diimplementasikan menggunakan rumus berikut:
$\lambda = (x \di atas a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) — 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 — e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \lebih dari 2)) $ .
Lintang dihitung menggunakan rumus berulang; sebagai perkiraan pertama, nilai garis lintang yang dihitung menggunakan rumus proyeksi Mercator bola harus digunakan.

Proyeksi Mercator silinder melintang

Dua jenis proyeksi Mercator transversal yang paling umum digunakan adalah proyeksi Gauss-Kruger. Gauss-Krüger) (menyebar luas di wilayah bekas Uni Soviet) dan proyeksi Mercator melintang universal (eng. Mercator Transversal Universal (UTM)).
Untuk kedua proyeksi tersebut, silinder tempat proyeksi terjadi menutupi ellipsoid bumi sepanjang meridian yang disebut meridian pusat (aksial) ( Bahasa inggris meridian pusat, asal bujur) zona. Daerah(Bahasa inggris) daerah) adalah bagian permukaan bumi yang dibatasi oleh dua meridian yang mempunyai perbedaan garis bujur 6°. Total ada 60 zona. Zona tersebut menutupi seluruh permukaan bumi antara garis lintang 80°S dan 84°LU.
Perbedaan antara kedua proyeksi tersebut adalah bahwa proyeksi Gauss-Kruger adalah proyeksi ke silinder singgung, dan proyeksi Mercator transversal universal adalah proyeksi ke silinder garis potong (untuk menghindari distorsi pada meridian ekstrem):

Proyeksi Gauss-Kruger

Proyeksi Gauss-Kruger dikembangkan oleh ilmuwan Jerman Carl Gauss dan Louis Kruger.
Dalam proyeksi ini, zona diberi nomor dari barat ke timur, dimulai dari meridian 0°. Misalnya zona 1 terbentang dari meridian 0° hingga meridian 6°, meridian tengahnya adalah 3°.
Dalam sistem tata letak dan tata nama peta topografi Soviet, zona disebut kolom dan diberi nomor dari barat ke timur, dimulai dari meridian 180°.
Misalnya, Gomel dan sekitarnya termasuk dalam zona tersebut 6 (kolom 36 ) dengan meridian pusat 33°.
Zona/kolom dibagi secara paralel menjadi baris-baris (setiap 4°), yang ditandai dengan huruf latin kapital dari A ke V, mulai dari garis khatulistiwa hingga kutub.
Misalnya, Gomel dan sekitarnya termasuk dalam serial tersebut N. Jadi, nama lengkap lembaran peta skala 1: 1.000.000 (10 km dalam 1 cm), yang menggambarkan Gomel, tampak seperti N-36. Lembar ini dibagi menjadi lembaran-lembaran peta dengan skala yang lebih besar:

Untuk Belarusia dan negara-negara tetangga Tata letaknya seperti ini:

Untuk menentukan posisi suatu titik dengan menggunakan peta topografi, diterapkan kisi-kisi koordinat persegi panjang pada peta X Dan Y, dinyatakan dalam kilometer. Ini dibentuk oleh sistem garis yang sejajar dengan gambar meridian aksial zona (garis kisi vertikal, sumbu X) dan tegak lurus terhadapnya (garis grid horizontal, sumbu Y).
Pada peta skala 1:200.000, jarak antar garis grid adalah 4 km; pada peta skala 1:100.000 - 2 km.
Koordinat X ditandatangani pada tepi vertikal lembar peta dan menyatakan jarak ke ekuator, dan koordinatnya Y ditandatangani pada tepi horizontal lembar peta dan terdiri dari nomor zona (satu atau dua digit pertama nilai) dan posisi titik relatif terhadap meridian pusat zona (tiga digit terakhir nilai, dengan meridian tengah zona tersebut diberi nilai 500 km).

pecahan lembar N36-123 Soviet peta topografi skala 1:100.000

Misalnya pada potongan peta di atas terdapat tulisan 6366 dekat garis grid vertikal berarti: 6 — zona ke-6, 366 adalah jarak dalam kilometer dari meridian aksial, dipindahkan secara kondisional ke barat sejauh 500 km, dan prasasti 5804 dekat garis grid horizontal menunjukkan jarak dari ekuator dalam kilometer.

Proyeksi Mercator Transversal Universal

Mercator Transversal Universal ( UTM) dikembangkan oleh Korps Insinyur Angkatan Darat AS ( Korps Insinyur Angkatan Darat Amerika Serikat) pada tahun 1940-an.

Untuk membuat peta dalam proyeksi UTM sebelumnya ellipsoid digunakan Internasional 1924— bersih UTM (Internasional), dan saat ini - ellipsoid WGS84— bersih UTM (WGS84).
Dalam proyeksi ini, zona diberi nomor dari barat ke timur, dimulai dari meridian 180°.
Sistem ini digunakan oleh angkatan bersenjata AS dan NATO. angkatan bersenjata Amerika dan NATO):

Setiap zona dibagi menjadi garis-garis horizontal setiap garis lintang 8°. Garis-garis ini ditandai dengan huruf, dari selatan ke utara, dimulai dari huruf C untuk garis lintang 80° S dan diakhiri dengan surat X untuk garis lintang 84° N. Surat SAYA Dan HAI dihilangkan untuk menghindari kebingungan dengan angka 1 dan 0. Bilah ditandai dengan huruf X, menempati garis lintang 12°.
Zona dalam proyeksi ini ditandai dengan angka. zona bujur) dan surat (saluran lintang, bahasa Inggris. zona lintang):

Gambar ini menunjukkan dua zona bujur non-standar - zona 32V diperluas hingga mencakup seluruh Norwegia bagian selatan, dan area 31V dipersingkat hingga mencakup perairan saja.
Untuk Gomel dan sekitarnya, zona tersebut ditetapkan sebagai 36U dengan meridian pusat 33°:

Zona tersebut ditutupi dengan grid persegi panjang (kilometer) (grid menurut Universal Transverse Mercator Projection, UPPM):

Panjang sisi persegi pada potongan peta di atas adalah 10 km.

Asal usul sistem koordinat setiap zona ditentukan oleh perpotongan garis khatulistiwa dan meridian tengah zona tersebut.
Koordinat E (Arah timur) pada kisi seperti itu mewakili jarak pada peta dari meridian pusat dalam meter (ke timur - positif, ke barat - negatif), yang ditambahkan + 500.000 meter (eng. Timur Palsu
Koordinat N (Utara) pada kisi-kisi tersebut mewakili jarak pada peta dari ekuator dalam meter (ke utara - positif, ke selatan - negatif), dan dalam belahan bumi selatan jarak ini dikurangi dari 10.000.000 meter. Utara yang Salah) untuk menghindari munculnya nilai-nilai negatif.
Misalnya, untuk pojok kiri bawah kotak kotak pada peta di atas, koordinatnya ditulis sebagai
36U(atau 36+ ) 380000 5810000 ,
Di mana 36 — zona bujur, kamu — zona lintang, 380000 — arah timur, 5810000 — utara.

Ubah lintang dan bujur menjadi koordinat UTM diilustrasikan oleh gambar:

P— poin yang sedang dipertimbangkan
F- titik potong garis tegak lurus turun ke meridian pusat dari titik tersebut P, dengan meridian pusat (suatu titik pada meridian pusat dengan titik yang sama utara, sebagai poin yang sedang dipertimbangkan P) . Titik lintang F(Bahasa inggris) garis lintang jejak kaki) dilambangkan sebagai $\phi ‘ $ .
HAI- khatulistiwa
ONS- meridian pusat
LP- titik paralel P
ZP— meridian suatu titik P
OL = k 0 S- busur meridian dari garis khatulistiwa
DARI = N — utara
FP = E — arah timur
GN— arah ke utara kisi peta (eng. jaringan utara)
C- sudut konvergensi meridian (eng. konvergensi meridian) - sudut antara arah utara sebenarnya (eng. utara yang sebenarnya) dan di sebelah utara petak peta

Saat mengubah koordinat persegi panjang ( X, Y) untuk proyeksi Gauss-Kruger pada ellipsoid WGS84 ke koordinat persegi panjang ( N, E) untuk proyeksi Mercator transversal universal pada ellipsoid yang sama WGS84 faktor skala perlu diperhitungkan faktor skala) $k_0 = 0,9996 $ :
$N = X \cdot k_0 $ ;
$E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
dimana $Y_0 = 500.000 $ meter.

Faktor skala yang ditentukan $k_0 = 0,9996 $ hanya berlaku untuk meridian pusat zona tersebut. Saat Anda menjauh dari meridian aksial, faktor skala berubah.

Catatan. Kesalahan dalam membaca koordinat dari peta ( akurasi georeferensi) biasanya diambil ±0,2 mm. Inilah keakuratan perangkat yang digunakan untuk membuat peta analog.

Geoid

Perlu dicatat bahwa perkiraan permukaan planet kita lebih akurat geoid(Bahasa inggris) geoid) adalah permukaan ekuipotensial medan gravitasi bumi, yaitu permukaan geoid di mana pun tegak lurus terhadap garis tegak lurus. Tetapi gaya gravitasi ditentukan oleh jumlah vektor gaya gravitasi bumi dan gaya sentrifugal, terkait dengan rotasi bumi, sehingga potensi gravitasi tidak sesuai dengan potensi gravitasi murni.
Geoid tersebut bertepatan dengan tingkat rata-rata Samudra Dunia, relatif terhadap pengukurannya ketinggian di atas permukaan laut.
Geoid memiliki bentuk kompleks yang mencerminkan sebaran massa di dalam bumi, oleh karena itu untuk menyelesaikan masalah geodetik, geoid diganti dengan ellipsoid revolusi. Model matematika geoid yang paling modern adalah RUPSLB 2008, yang menggantikan model populer RUPSLB96.

Untuk dilanjutkan.

Untuk semua peta topografi di negara kita, proyeksi Gauss-Kruger digunakan. Proyeksinya berbentuk persegi panjang, meridian tengah digambarkan sebagai garis lurus tanpa distorsi, ekuator digambarkan sebagai garis lurus yang tegak lurus meridian tengah. Semua meridian lainnya berbentuk lengkung dan simetris terhadap meridian tengah dan ekuator.

Bilah tampilan dalam proyeksi mewakili zona ellipsoid enam derajat atau tiga derajat.

Sumbu koordinat setiap zona adalah meridian tengah bujursangkar - sumbu absis dan ekuator bujursangkar - sumbu ordinat. Saat membagi ellipsoid bumi, zona koordinat dihitung dari barat ke timur. Bujur meridian aksial zona pertama adalah 3° (karena berada di tengah-tengah zona, dan penghitungan zona ini berasal dari meridian Greenwich). Nomor zona N dan bujur aksial meridian L ° terikat oleh kesetaraan

L ° = 6° N – 3 °

Nomor zona N pada proyeksi Gauss-Kruger berbeda dengan nomor kolom peta skala 1:1.000.000 kali 30.

Misalnya, jika nomenklatur suatu lembar peta adalah N-45, berarti lembaran tersebut terletak pada zona 15 proyeksi Gauss-Kruger dan meridian aksialnya memiliki garis bujur.

L ° = 6°x15-3° = 90°-3° = 87°

Untuk membangun peta topografi Rusia menggunakan gambar multi-band ellipsoid bumi, ketika zona ellipsoid dengan panjang 6° dipindahkan ke bidang (Gbr. 2.20).

Setiap zona dibangun pada silinder melintang singgung yang terpisah sehingga sumbu singgung melewati meridian tengah zona PP΄, yang disebut aksial (Gbr. 2.21). Setiap zona memiliki meridian aksialnya sendiri.

Beras. 2.20. Skema gambar multi-band ellipsoid bumi

Ketika silinder dibuka menjadi bidang, meridian aksial digambarkan tanpa distorsi garis lurus PP΄ (Gbr. 2.22) dan diambil sebagai sumbu xx. Garis khatulistiwa EE΄ juga digambarkan sebagai garis lurus yang tegak lurus terhadap meridian aksial. Ini sesuai dengan sumbu Y y. Titik asal koordinat pada setiap zona adalah titik O - perpotongan meridian aksial dan ekuator. Jadi, posisi suatu titik ditentukan oleh koordinat persegi panjang X Dan kamu.

Beras. 2.21. Skema pembukaan permukaan ellipsoid
menggunakan silinder

Beras. 2.22. Hasil pembukaan silinder di pesawat

Tata letak dan tata nama lembaran peta topografi dan denahnya

Klasifikasi peta dan denah berdasarkan skalanya adalah sebagai berikut:

Selembar peta topografi dengan skala dan ukuran apa pun harus nyaman saat membuatnya, mencetak salinannya, dan saat menggunakannya. Dengan mempertimbangkan hal ini, ditetapkan bahwa ukuran satu lembar tidak boleh lebih dari 50 cm x 50 cm. Tetapi pada satu lembar tersebut digambarkan area kecil, sehingga dipetakan untuk wilayah yang signifikan (luas). adalah multi-lembar.

Definisi 2.9. Sistem pembagian peta atau denah menjadi lembaran-lembaran tersendiri disebut tata letak peta (rencana).

Definisi 2.10. Penunjukan masing-masing lembar peta dan rencana topografi multi-lembar dalam satu sistem adalah tata nama .

Sistem tata letak dan nomenklatur lembaran peta dan rencana skala individu memungkinkan untuk menentukan koordinat geografis sudut bingkai setiap lembar peta topografi dari seluruh rangkaian skala, serta menggunakan koordinat geografis suatu titik, untuk mencari nomenklatur lembar peta dengan skala berapa pun di mana titik tersebut berada, serta untuk mencari koordinat persegi panjang. Lembaran peta skala 1:1.000.000 diperoleh dengan cara membaginya dengan garis sejajar dengan interval 4° dan meridian dengan interval 6°.

Koordinat geografis sudut-sudut bingkai lembaran peta skala 1:1.000.000 menurut nomenklaturnya ditentukan sebagai berikut.

Nomor seri berupa surat Alfabet Latin, yang mengambil nilai tertentu - jumlah deret alami dan yang digunakan untuk menentukan deret tersebut, dikalikan dengan 4° dan garis lintang geografis (geodesik) dari paralel utara diperoleh. Untuk kolom bernomor 31-60 (timur Greenwich), nomor kolomnya dikurangi 30. Maka rumus menghitung bujur geografis (geodetik) meridian timur (sudut kanan lembaran) akan terlihat seperti

6°=M°

Kesesuaian skala dan nomenklatur lembaran disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Skala dan nomenklatur lembar peta

Dua baris terakhir adalah untuk denah kawasan dengan luas S > 20 km 2 .

Contoh. Misalkan N = 14 adalah nomor urut baris tersebut

SN = 14 x 4° = 56°; S = 56° – 4° = 52° (perhatikan sudut diukur dari bidang ekuator)

ID = 6° = 42°

WH = 42° – 6° = 36°

Peralihan dari lembar peta skala 1:1.000.000 ke lembar peta skala lain dilakukan menurut algoritma paling sederhana yang ditunjukkan pada Gambar. 2.23.