Turunan dari pecahan. Temukan turunannya: algoritma dan contoh solusi

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	F(X) = C, C ∈ R	0 (ya, nol!)
Kekuatan dengan eksponen rasional	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = dosa X	karena X
Kosinus	F(X) = karena X	−dosa X(dikurangi sinus)
Garis singgung	F(X) = tg X	1/karena 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/dosa 2 X
Logaritma natural	F(X) = catatan X	1/X
Logaritma sewenang-wenang	F(X) = catatan A X	1/(X dalam A)
Fungsi eksponensial	F(X) = e X	e X(Tidak ada yang berubah)

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) faktor pertama sedikit lebih rumit, tapi skema umum ini tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Perlu diketahui bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu yang paling banyak rumus yang rumit- Kamu tidak bisa mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti ini, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik juga menjelaskannya dengan contoh spesifik, dengan Detil Deskripsi setiap langkah.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran tersebut N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu tes oh dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar:

Asal usul kalkulus diferensial disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah fisika tertentu. Diasumsikan bahwa seseorang dengan kalkulus diferensial dapat mengambil turunan dari berbagai fungsi. Apakah Anda tahu cara mengambil turunan dari fungsi yang dinyatakan sebagai pecahan?

instruksi

1. Pecahan apa pun mempunyai pembilang dan penyebut. Dalam proses mencari turunan dari pecahan perlu ditemukan secara terpisah turunan pembilang dan turunan penyebut.

2. Untuk menemukan turunan dari pecahan , turunan kalikan pembilangnya dengan penyebutnya. Kurangi dari ekspresi yang dihasilkan turunan penyebutnya dikalikan dengan pembilangnya. Bagilah totalnya dengan penyebut kuadrat.

3. Contoh 1' = /cos? (x) = /cos? (x) = /cos? (x) = 1/cos? (X).

4. Hasil yang dihasilkan tidak lebih dari nilai tabel turunan fungsi tangen. Jelaslah, perbandingan sinus dan kosinus, menurut definisi, adalah garis singgung. Ternyata tg(x) = ’ = 1 / cos? (X).

5. Contoh 2[(x? - 1) / 6x]’ = [(2x 6x - 6 x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Kasus khusus pecahan adalah pecahan yang penyebutnya satu. Menemukan turunan dari jenis ini pecahan Sederhananya: bayangkan saja sebagai penyebut dengan derajat (-1).

7. Contoh(1 / x)’ = ’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Catatan!
Suatu pecahan dapat berisi beberapa pecahan lagi. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk mencari terlebih dahulu turunan dari pecahan “primer” secara terpisah.

Saran yang bermanfaat
Saat mencari turunan penyebut dan pembilang, terapkan aturan diferensiasi: jumlah, hasil kali, fungsi sulit. Penting untuk mengingat turunan dari fungsi tabel paling sederhana: linier, eksponensial, pangkat, logaritma, trigonometri, dll.

Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Derivatif adalah salah satunya konsep yang paling penting analisis matematis. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.

Arti fisik turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . kecepatan rata-rata untuk jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Di belakang jangka pendek Kami akan membantu Anda menyelesaikan tes tersulit dan memecahkan masalah, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.

Mari kita buktikan aturan diferensiasi hasil bagi dua fungsi (pecahan). Perlu disebutkan hal itu g(x) tidak hilang dalam kondisi apa pun X dari antara X.

Menurut definisi turunan

Contoh.

Melakukan diferensiasi fungsi.

Larutan.

Fungsi aslinya adalah rasio dua ekspresi dosa Dan 2x+1. Mari kita terapkan aturan diferensiasi pecahan:

Seseorang tidak dapat melakukannya tanpa aturan untuk membedakan suatu jumlah dan menempatkan konstanta sembarang di luar tanda turunannya:

Terakhir, mari kita rangkum semua aturan dalam satu contoh.

Contoh.

Temukan turunan suatu fungsi , Di mana A adalah bilangan real positif.

Larutan.

Dan sekarang, secara berurutan.

Istilah pertama .

Istilah kedua

Istilah ketiga

Menyatukan semuanya:

4. Soal: Turunan Fungsi Dasar Dasar.

Latihan. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami menggunakan aturan diferensiasi dan tabel turunan:

Menjawab.

5.Pertanyaan: Contoh turunan dari fungsi kompleks

Seluruh contoh pada bagian ini didasarkan pada tabel turunan dan teorema turunan fungsi kompleks yang rumusannya sebagai berikut:

Misalkan 1) fungsi u=φ(x) mempunyai turunan u′x=φ′(x0) di suatu titik x0, 2) fungsi y=f(u) mempunyai turunan y′u= di titik yang bersesuaian u0 =φ(x0) f′(u). Maka fungsi kompleks y=f(φ(x)) pada titik tersebut juga akan mempunyai turunan, sama dengan produknya turunan dari fungsi f(u) dan φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

atau, dalam notasi yang lebih pendek: y′x=y′u⋅u′x.

Pada contoh di bagian ini, semua fungsi memiliki bentuk y=f(x) (yaitu, kita hanya mempertimbangkan fungsi dari satu variabel x). Oleh karena itu, dalam semua contoh, turunan dari y′ diambil terhadap variabel x. Untuk menekankan bahwa turunan diambil terhadap variabel x, sering kali y′x ditulis sebagai pengganti y′.

Contoh No.1, No.2 dan No.3 secara garis besar proses rinci menemukan turunan fungsi kompleks. Contoh No. 4 dimaksudkan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang tabel turunan dan masuk akal untuk membiasakan diri Anda dengannya.

Disarankan setelah mempelajari materi pada contoh No. 1-3 untuk melanjutkan ke keputusan independen contoh no.5, no.6 dan no.7. Contoh #5, #6 dan #7 berisi solusi singkat sehingga pembaca dapat memeriksa kebenaran hasilnya.

Contoh No.1

Temukan turunan dari fungsi y=ecosx.

Larutan

Kita perlu mencari turunan dari fungsi kompleks y′. Karena y=ecosx, maka y′=(ecosx)′. Untuk mencari turunan (ecosx)′ kita menggunakan rumus no. 6 dari tabel turunan. Untuk menggunakan rumus No. 6, Anda perlu memperhitungkan bahwa dalam kasus kita u=cosx. Solusi selanjutnya adalah dengan mengganti ekspresi cosx dan bukan u ke dalam rumus No. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Sekarang kita perlu mencari nilai ekspresi (cosx)′. Kita kembali ke tabel turunan, memilih rumus No. 10 darinya. Substitusikan u=x ke rumus No. 10, kita peroleh: (cosx)′=−sinx⋅x′. Sekarang mari kita lanjutkan persamaan (1.1), lengkapi dengan hasil yang ditemukan:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Karena x′=1, kita lanjutkan persamaan (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Jadi, dari persamaan (1.3) kita mendapatkan: y′=−sinx⋅ecosx. Tentu saja, penjelasan dan persamaan perantara biasanya dilewati, menuliskan temuan turunannya dalam satu baris, seperti pada persamaan (1.3). Jadi, turunan fungsi kompleks sudah ditemukan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: y′=−sinx⋅ecosx.

Contoh No.2

Cari turunan dari fungsi y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Larutan

Kita perlu menghitung turunan y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Pertama-tama, kita perhatikan bahwa konstanta (yaitu angka 9) dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Sekarang mari kita beralih ke ekspresi (arctg12(4⋅lnx))′. Untuk memudahkan dalam memilih rumus yang diinginkan dari tabel turunan, saya akan menyajikan ekspresi yang dimaksud dalam bentuk ini: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Sekarang jelas bahwa perlu menggunakan rumus No. 2, yaitu. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Mari kita substitusikan u=arctg(4⋅lnx) dan α=12 ke dalam rumus ini:

Melengkapi persamaan (2.1) dengan hasil yang diperoleh, kita mendapatkan:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2 )

Catatan: tampilkan\sembunyikan

Sekarang kita perlu mencari (arctg(4⋅lnx))′. Kita menggunakan rumus No. 19 dari tabel turunan, dengan mensubstitusikan u=4⋅lnx ke dalamnya:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Mari kita sederhanakan sedikit ekspresi yang dihasilkan, dengan memperhitungkan (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Kesetaraan (2.2) sekarang akan menjadi:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Masih mencari (4⋅lnx)′. Mari kita keluarkan konstanta (yaitu 4) dari tanda turunannya: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Untuk mencari (lnx)′ kita menggunakan rumus No. 8, dengan mensubstitusikan u=x ke dalamnya: (lnx)′=1x⋅x′. Karena x′=1, maka (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus (2.3), kita memperoleh:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅ arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa turunan suatu fungsi kompleks paling sering ditemukan dalam satu baris, seperti yang ditulis pada persamaan terakhir. Oleh karena itu, ketika menyiapkan perhitungan standar atau pekerjaan pengendalian, sama sekali tidak perlu menjelaskan solusinya secara rinci.

Menjawab: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Contoh No.3

Carilah y′ dari fungsi y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Larutan

Pertama, mari kita transformasikan sedikit fungsi y, dengan menyatakan akar (akar) sebagai pangkat: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Sekarang mari kita mulai mencari turunannya. Karena y=(sin(5⋅9x))37, maka:

y′=((dosa(5⋅9x))37)′(3.1)

Kita menggunakan rumus No. 2 dari tabel turunan, dengan mensubstitusikan u=sin(5⋅9x) dan α=37 ke dalamnya:

((dosa(5⋅9x))37)′=37⋅(dosa(5⋅9x))37−1(dosa(5⋅9x))′=37⋅(dosa(5⋅9x))−47(dosa (5⋅9x))′

Mari kita lanjutkan persamaan (3.1) dengan menggunakan hasil yang diperoleh:

y′=((dosa(5⋅9x))37)′=37⋅(dosa(5⋅9x))−47(dosa(5⋅9x))′(3.2)

Sekarang kita perlu mencari (sin(5⋅9x))′. Untuk ini kita menggunakan rumus No. 9 dari tabel turunan, substitusikan u=5⋅9x ke dalamnya:

(dosa(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Dengan menambahkan persamaan (3.2) dengan hasil yang diperoleh, kita mendapatkan:

y′=((dosa(5⋅9x))37)′=37⋅(dosa(5⋅9x))−47(dosa(5⋅9x))′==37⋅(dosa(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Yang tersisa hanyalah mencari (5⋅9x)′. Untuk memulainya, mari kita keluarkan konstanta (angka 5) dari tanda turunannya, yaitu. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Untuk mencari turunan (9x)′, terapkan rumus No. 5 dari tabel turunan, substitusikan a=9 dan u=x ke dalamnya: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Karena x′=1, maka (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Sekarang kita dapat melanjutkan persamaan (3.3):

y′=((dosa(5⋅9x))37)′=37⋅(dosa(5⋅9x))−47(dosa(5⋅9x))′==37⋅(dosa(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Anda dapat kembali dari pangkat ke radikal (yaitu akar), menulis (sin(5⋅9x))−47 dalam bentuk 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− − −−−√7. Maka turunannya akan dituliskan dalam bentuk berikut:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Menjawab: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Contoh No.4

Tunjukkan bahwa rumus No. 3 dan No. 4 pada tabel turunan merupakan kasus khusus dari rumus No. 2 pada tabel ini.

Larutan

Rumus No. 2 tabel turunan memuat turunan dari fungsi uα. Mengganti α=−1 ke dalam rumus No. 2, kita mendapatkan:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Karena u−1=1u dan u−2=1u2, persamaan (4.1) dapat ditulis ulang sebagai berikut: (1u)′=−1u2⋅u′. Ini adalah rumus No. 3 dari tabel turunan.

Mari kita kembali ke rumus No. 2 dari tabel turunan. Mari kita substitusikan α=12 ke dalamnya:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Karena u12=u−−√ dan u−12=1u12=1u−−√, persamaan (4.2) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Persamaan yang dihasilkan (u−−√)′=12u−−√⋅u′ adalah rumus No. 4 dari tabel turunan. Seperti yang Anda lihat, rumus No. 3 dan No. 4 dari tabel turunan diperoleh dari rumus No. 2 dengan mensubstitusi nilai α yang sesuai.

Contoh No.5

Carilah y′ jika y=arcsin2x.

Larutan

Pada contoh ini, kita akan menuliskan penentuan turunan suatu fungsi kompleks tanpa penjelasan rinci yang telah diberikan pada soal sebelumnya.

Menjawab: y′=2xln21−22x−−−−−√.

Contoh No.6

Carilah y′ jika y=7⋅lnsin3x.

Larutan

Seperti pada contoh sebelumnya, kami akan menunjukkan cara mencari turunan fungsi kompleks tanpa detail. Disarankan untuk menulis turunannya sendiri, hanya dengan memeriksa solusi di bawah ini.

Menjawab: y′=21⋅ctgx.

Contoh No.7

Carilah y′ jika y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Larutan