Bagaimana cara menghitung limit barisan? Menentukan limit akhir suatu barisan
Hari ini di kelas kita akan melihat urutan yang ketat Dan definisi ketat dari limit suatu fungsi, dan juga belajar memecahkan masalah relevan yang bersifat teoritis. Artikel ini ditujukan terutama untuk mahasiswa tahun pertama ilmu alam dan spesialisasi teknik yang mulai mempelajari teori analisis matematika dan mengalami kesulitan dalam memahami bagian matematika yang lebih tinggi ini. Selain itu, materinya cukup mudah diakses oleh siswa SMA.
Selama bertahun-tahun keberadaan situs ini, saya telah menerima selusin surat dengan isi kira-kira sebagai berikut: “Saya kurang memahami analisis matematika, apa yang harus saya lakukan?”, “Saya tidak memahami matematika sama sekali, saya berpikir untuk berhenti studi,” dll. Dan memang matanlah yang kerap menipiskan kelompok siswa setelah sesi pertama. Mengapa hal ini terjadi? Karena subjeknya sangat rumit? Sama sekali tidak! Teori analisis matematis tidak sesulit dan aneh. Dan kamu harus menerima dan mencintainya apa adanya =)
Mari kita mulai dengan kasus tersulit. Hal pertama dan terpenting adalah Anda tidak harus berhenti belajar. Pahami dengan benar, Anda selalu bisa berhenti ;-) Tentu saja, jika setelah satu atau dua tahun Anda merasa sakit karena spesialisasi pilihan Anda, maka ya, Anda harus memikirkannya (dan jangan marah!) tentang perubahan aktivitas. Namun untuk saat ini, hal ini layak untuk dilanjutkan. Dan tolong lupakan kalimat "Saya tidak mengerti apa-apa" - bukan berarti Anda tidak mengerti apa-apa.
Apa yang harus dilakukan jika teorinya buruk? Omong-omong, ini tidak hanya berlaku untuk analisis matematis. Jika teorinya buruk, pertama-tama Anda harus SERIUS fokus pada praktiknya. Dalam hal ini, dua tugas strategis diselesaikan sekaligus:
– Pertama, sebagian besar pengetahuan teoretis muncul melalui praktik. Dan itulah mengapa banyak orang memahami teori ini melalui... – benar! Tidak, tidak, kamu tidak memikirkan hal itu =)
– Dan, kedua, keterampilan praktis kemungkinan besar akan “menarik” Anda melewati ujian, meskipun... tapi jangan terlalu bersemangat! Semuanya nyata dan semuanya bisa “diangkat” dengan cukup jangka pendek. Analisis matematika adalah bagian favorit saya dalam matematika tingkat tinggi, dan oleh karena itu saya tidak bisa tidak memberikan bantuan kepada Anda:
Pada awal semester 1 biasanya dibahas limit barisan dan limit fungsi. Tidak mengerti apa itu dan tidak tahu cara mengatasinya? Mulailah dengan artikel Batasan fungsi, di mana konsep itu sendiri diperiksa “dengan jari” dan contoh-contoh paling sederhana dianalisis. Berikutnya, kerjakan pelajaran lain mengenai topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan, yang sebenarnya sudah saya rumuskan definisi tegasnya.
Simbol apa saja selain tanda pertidaksamaan dan modulus yang anda ketahui?
– tongkat vertikal panjang berbunyi seperti ini: “sehingga”, “sehingga”, “sehingga” atau “sehingga”, dalam kasus kami, tentu saja, kami berbicara tentang angka - oleh karena itu “sedemikian rupa”;
– untuk semua “en” yang lebih besar dari ;
– tanda modulus berarti jarak, yaitu entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antar nilai lebih kecil dari epsilon.
Nah, apakah ini sangat sulit? =)
Setelah menguasai latihan, saya berharap dapat bertemu Anda di paragraf berikutnya:
Dan sebenarnya, mari kita berpikir sedikit - bagaimana merumuskan definisi barisan yang ketat? ...Hal pertama yang terlintas dalam pikiran di dunia pelajaran praktis: “limit suatu barisan adalah bilangan yang mendekati tak terhingga anggota barisan tersebut.”
Oke, mari kita tuliskan selanjutnya :
Tidak sulit untuk memahami hal itu selanjutnya 
pendekatannya sangat dekat dengan angka –1, dan suku-suku genap 
– menjadi “satu”.
Atau mungkin ada dua batasan? Tapi mengapa tidak ada urutan yang memiliki sepuluh atau dua puluh? Anda bisa melangkah jauh dengan cara ini. Dalam hal ini, masuk akal untuk berasumsi demikian jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut merupakan satu-satunya.
Catatan : barisan tersebut tidak mempunyai limit, tetapi dua barisan dapat dibedakan dari barisan tersebut (lihat di atas), yang masing-masing mempunyai limitnya sendiri.
Dengan demikian, definisi di atas tidak dapat dipertahankan. Ya, ini berfungsi untuk kasus-kasus seperti (yang tidak saya gunakan dengan benar dalam penjelasan contoh praktis yang disederhanakan), tapi sekarang kita perlu menemukan definisi yang tegas.
Percobaan kedua: “limit suatu barisan adalah bilangan yang didekati SEMUA anggota barisan, kecuali mungkin anggotanya terakhir jumlah." Hal ini lebih mendekati kebenaran, namun masih belum sepenuhnya akurat. Jadi, misalnya urutannya 
setengah dari suku-sukunya tidak mendekati nol sama sekali - mereka sama saja =) Omong-omong, "lampu berkedip" biasanya mengambil dua nilai tetap.
Rumusannya tidak sulit untuk dijelaskan, namun kemudian muncul pertanyaan lain: bagaimana cara menuliskan definisi tersebut dalam simbol matematika? Dunia ilmiah telah lama bergumul dengan masalah ini hingga situasinya terselesaikan maestro terkenal, yang, pada intinya, memformalkan analisis matematika klasik dengan segala ketelitiannya. Cauchy menyarankan operasi lingkungan , yang secara signifikan memajukan teori tersebut.
Pertimbangkan beberapa hal dan itu sewenang-wenang-lingkungan:
Nilai "epsilon" selalu positif, dan terlebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri. Mari kita asumsikan bahwa di lingkungan ini terdapat banyak anggota (belum tentu semua) beberapa urutan. Bagaimana cara menuliskan fakta bahwa, misalnya, suku kesepuluh ada di lingkungan tersebut? Biarkan itu berada di sisi kanannya. Maka jarak antar titik dan harus kurang dari “epsilon”: . Namun jika “x persepuluh” terletak di sebelah kiri titik “a”, maka selisihnya negatif, sehingga harus ditambah tandanya. modul: .
Definisi: suatu bilangan disebut limit suatu barisan jika untuk apa pun lingkungannya (dipilih sebelumnya) ada bilangan asli SEPERTI itu SEMUA anggota barisan dengan angka lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan:
Atau singkatnya: jika
Dengan kata lain, sekecil apa pun nilai “epsilon” yang kita ambil, cepat atau lambat “ekor tak terbatas” dari barisan tersebut akan SEPENUHNYA berada di lingkungan ini.
Misalnya, “ekor tak terbatas” dari rangkaian tersebut akan SEPENUHNYA memasuki lingkungan kecil mana pun pada titik tersebut. Jadi nilai ini adalah limit barisan menurut definisi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa barisan yang limitnya nol disebut kecil sekali.
Perlu dicatat bahwa untuk suatu sequence tidak mungkin lagi dikatakan “ekor tak berujung” akan masuk“- anggota yang bilangan ganjil sebenarnya sama dengan nol dan “tidak kemana-mana” =) Itulah sebabnya kata kerja “akan muncul” digunakan dalam definisi tersebut. Dan, tentu saja, anggota rangkaian seperti ini juga “tidak kemana-mana”. Ngomong-ngomong, periksa apakah angka tersebut merupakan batasnya.
Sekarang kita akan menunjukkan bahwa barisan tersebut tidak mempunyai limit. Misalkan saja lingkungan suatu titik. Sangat jelas bahwa tidak ada angka yang setelahnya SEMUA suku akan berakhir di lingkungan tertentu - suku ganjil akan selalu “melompat” ke “minus satu”. Untuk alasan serupa, tidak ada batasan pada saat itu.
Mari kita konsolidasikan materi dengan latihan:
Contoh 1
Buktikan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Tentukan nomor setelah semua anggota barisan dijamin berada di dalam lingkungan kecil mana pun dari titik tersebut.
Catatan : Untuk banyak barisan, bilangan asli yang diperlukan bergantung pada nilainya - oleh karena itu notasinya .
Larutan: mempertimbangkan sewenang-wenang Apakah ada nomor – sehingga SEMUA anggota dengan nomor lebih tinggi akan berada dalam lingkungan ini:
Untuk menunjukkan keberadaan bilangan yang diperlukan, kita nyatakan melalui .
Karena untuk setiap nilai “en”, tanda modulusnya dapat dihilangkan:
Kami menggunakan tindakan “sekolah” dengan ketidaksetaraan yang saya ulangi di kelas Ketimpangan linier Dan Domain Fungsi. Dalam hal ini, keadaan penting adalah bahwa “epsilon” dan “en” adalah positif:
Karena di sebelah kiri kita berbicara tentang bilangan asli, dan sisi kanan pada umumnya pecahan, maka perlu dibulatkan:
Catatan : terkadang satu unit ditambahkan ke kanan agar aman, namun kenyataannya hal ini berlebihan. Secara relatif, jika kita melemahkan hasilnya dengan membulatkan ke bawah, maka bilangan terdekat (“tiga”) akan tetap memenuhi pertidaksamaan awal.
Sekarang kita melihat kesenjangan dan mengingat apa yang kita pertimbangkan pada awalnya sewenang-wenang-lingkungan, mis. "epsilon" bisa sama dengan siapa pun angka positif.
Kesimpulan: untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari suatu titik, nilainya ditemukan 
. Jadi, suatu bilangan adalah limit suatu barisan menurut definisi. Q.E.D.
Ngomong-ngomong, dari hasil yang didapat 
pola alami terlihat jelas: semakin kecil lingkungannya, semakin besar jumlahnya, setelah itu SEMUA anggota barisan akan berada di lingkungan tersebut. Tapi tidak peduli seberapa kecil “epsilon” itu, akan selalu ada “ekor tak terbatas” di dalam dan di luar – bahkan jika itu besar, namun terakhir jumlah anggota.
Bagaimana kesan Anda? =) Saya setuju bahwa ini agak aneh. Tapi tegasnya! Silakan baca kembali dan pikirkan semuanya lagi.
Mari kita lihat contoh serupa dan berkenalan dengan teknik teknis lainnya:
Contoh 2
Larutan: menurut definisi suatu barisan, hal itu perlu dibuktikan (ucapkan dengan lantang!!!).
Mari kita pertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan titik dan periksa, apakah itu ada bilangan asli – sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar berlaku pertidaksamaan berikut: 
Untuk menunjukkan adanya , Anda perlu menyatakan “en” melalui “epsilon”. Kami menyederhanakan ekspresi di bawah tanda modulus: 
Modul ini menghancurkan tanda minus: 
Penyebutnya positif untuk sembarang “en”, oleh karena itu, tongkatnya dapat dihilangkan:
Acak: 
Sekarang kita perlu mengekstraknya akar kuadrat, namun yang menarik adalah untuk beberapa “epsilon” sisi kanannya akan menjadi negatif. Untuk menghindari masalah ini mari kita perkuat pertidaksamaan berdasarkan modulus: 
Mengapa hal ini bisa dilakukan? Jika secara relatif ternyata , maka kondisinya juga akan terpenuhi. Modulnya bisa hanya meningkat nomor yang diinginkan, dan itu cocok untuk kita juga! Secara kasar, jika yang keseratus cocok, maka yang ke dua ratus juga cocok! Menurut definisi, Anda perlu menunjukkannya fakta keberadaan nomor tersebut(setidaknya beberapa), setelah itu semua anggota urutan akan berada di lingkungan -. Ngomong-ngomong, inilah mengapa kita tidak takut dengan pembulatan terakhir dari sisi kanan ke atas.
Mengekstrak akarnya: 
Dan bulatkan hasilnya: 
Kesimpulan: Karena nilai “epsilon” dipilih secara sewenang-wenang, kemudian untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari titik tersebut, nilai tersebut ditemukan 
, sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, ketimpangan tetap berlaku 
. Dengan demikian, 
menurut definisi. Q.E.D.
saya menyarankan khususnya memahami penguatan dan pelemahan ketidaksetaraan adalah teknik yang khas dan sangat umum dalam analisis matematis. Satu-satunya hal yang perlu Anda pantau adalah kebenaran tindakan ini atau itu. Misalnya saja ketimpangan 
dalam keadaan apa pun hal itu tidak mungkin terjadi melonggarkan, mengurangi, katakanlah, satu: 
Sekali lagi, dengan syarat: jika nomornya pas, maka nomor sebelumnya mungkin tidak muat lagi.
Contoh berikut untuk keputusan independen:
Contoh 3
Dengan menggunakan definisi barisan, buktikan bahwa 
Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.
Jika urutannya sangat besar, maka definisi limit dirumuskan dengan cara yang sama: suatu titik disebut limit suatu barisan jika untuk sembarang, sebesar yang kamu suka suatu bilangan terdapat suatu bilangan sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar pertidaksamaannya terpenuhi. Nomor tersebut dipanggil sekitar titik “plus tak terhingga”:
Dengan kata lain, terserah nilai yang besar Apa pun yang terjadi, “ekor tak terhingga” dari barisan tersebut pasti akan masuk ke lingkungan titik, hanya menyisakan sejumlah suku terbatas di sebelah kiri.
Contoh standar:
Dan singkatannya: , jika
Untuk kasusnya, tuliskan sendiri definisinya. Versi yang benar ada di akhir pelajaran.
Setelah Anda mendapatkan tangan Anda contoh praktis dan telah mengetahui definisi limit suatu barisan, Anda dapat membuka literatur analisis matematika dan/atau buku catatan kuliah Anda. Saya sarankan mengunduh Bohan volume 1 (lebih sederhana - untuk siswa korespondensi) dan Fichtenholtz (lebih detail dan detail). Di antara penulis lain, saya merekomendasikan Piskunov, yang kursusnya ditujukan untuk universitas teknik.
Cobalah untuk mempelajari dengan cermat teorema-teorema yang berkaitan dengan limit suatu barisan, bukti-buktinya, akibat-akibatnya. Pada awalnya, teorinya mungkin tampak “mendung”, tetapi ini normal - Anda hanya perlu membiasakan diri. Dan banyak orang bahkan akan mencicipinya!
Definisi yang ketat tentang limit suatu fungsi
Mari kita mulai dengan hal yang sama - bagaimana merumuskannya konsep ini? Definisi verbal limit suatu fungsi dirumuskan lebih sederhana: “suatu bilangan adalah limit suatu fungsi jika “x” cenderung (kiri dan kanan), nilai fungsi yang bersangkutan cenderung » (lihat gambar). Segalanya tampak normal, tetapi kata tetaplah kata, makna tetaplah makna, ikon tetaplah ikon, dan notasi matematika yang ketat saja tidak cukup. Dan di paragraf kedua kita akan mengenal dua pendekatan untuk memecahkan masalah ini.
Biarkan fungsi tersebut terdefinisi pada interval tertentu, dengan kemungkinan pengecualian pada titik. DI DALAM literatur pendidikan secara umum diterima bahwa fungsinya ada Bukan didefinisikan: 
Pilihan ini menekankan inti dari limit suatu fungsi: "X" sangat dekat pendekatan , dan nilai fungsi yang sesuai adalah sangat dekat Ke . Dengan kata lain, konsep limit tidak berarti “pendekatan eksak” terhadap suatu titik, melainkan perkiraan yang sangat dekat, tidak masalah apakah fungsinya terdefinisi pada titik tersebut atau tidak.
Definisi pertama limit suatu fungsi, tidak mengherankan, dirumuskan dengan menggunakan dua barisan. Pertama, konsep-konsepnya saling berhubungan, dan kedua, limit fungsi biasanya dipelajari setelah limit barisan.
Pertimbangkan urutannya 
poin (tidak pada gambar), termasuk dalam interval dan berbeda dari, yang menyatu Ke . Kemudian nilai fungsi yang sesuai juga terbentuk urutan nomor, suku-sukunya terletak pada sumbu ordinat.
Batas suatu fungsi menurut Heine untuk apa pun urutan poin 
(milik dan berbeda dari), yang konvergen ke titik , barisan nilai fungsi yang bersesuaian konvergen ke .
Eduard Heine adalah seorang matematikawan Jerman. ...Dan tidak perlu memikirkan hal seperti itu, hanya ada satu gay di Eropa - Gay-Lussac =)
Definisi limit yang kedua telah dibuat... ya, ya, Anda benar. Tapi pertama-tama, mari kita pahami desainnya. Pertimbangkan -lingkungan titik yang berubah-ubah (lingkungan (lingkungan "hitam"). Berdasarkan paragraf sebelumnya, entri berarti demikian beberapa nilai fungsi terletak di dalam lingkungan "epsilon".
Sekarang kita menemukan -lingkungan yang sesuai dengan -lingkungan yang diberikan (secara mental gambar garis putus-putus hitam dari kiri ke kanan lalu dari atas ke bawah). Perhatikan bahwa nilainya dipilih sepanjang segmen yang lebih kecil, dalam hal ini - sepanjang segmen kiri yang lebih pendek. Selain itu, lingkungan “raspberry” suatu titik bahkan dapat dikurangi, seperti pada definisi berikut fakta keberadaan itu penting lingkungan ini. Demikian pula, notasi tersebut berarti bahwa beberapa nilai berada dalam lingkungan “delta”.
Batas fungsi Cauchy: suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk apa pun telah dipilih sebelumnya lingkungan (sekecil yang Anda suka), ada-lingkungan titik, SEPERTI, itu: SEBAGAI nilai HANYA (milik) termasuk dalam bidang ini: (panah merah)– JADI SEGERA nilai fungsi yang bersangkutan dijamin masuk ke -neighborhood: (panah biru).
Saya harus memperingatkan Anda bahwa demi kejelasan, saya melakukan sedikit improvisasi, jadi jangan berlebihan =)
Entri singkat: , jika
Apa inti dari definisi tersebut? Secara kiasan, dengan mengurangi -neighborhood secara tak terhingga, kita “menemani” nilai-nilai fungsi hingga batasnya, sehingga tidak ada alternatif lain untuk mendekatinya di tempat lain. Sangat tidak biasa, tapi sekali lagi ketat! Untuk memahami sepenuhnya gagasan tersebut, baca kembali kata-katanya.
! Perhatian: jika Anda hanya perlu merumuskan Definisi Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupakan penting komentar awal: "Pertimbangkan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertentu, dengan kemungkinan pengecualian suatu titik". Saya menyatakan ini sekali di awal dan tidak mengulanginya setiap saat.
Menurut teorema analisis matematis yang sesuai, definisi Heine dan Cauchy adalah setara, tetapi opsi kedua adalah yang paling terkenal. (Tentu saja!), yang juga disebut "batas bahasa":
Contoh 4
Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa 
Larutan: fungsi terdefinisi pada seluruh garis bilangan kecuali titik. Dengan menggunakan definisi tersebut, kita membuktikan adanya limit pada suatu titik tertentu.
Catatan : nilai lingkungan “delta” bergantung pada “epsilon”, oleh karena itu dinamakan demikian
Mari kita pertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan. Tugasnya adalah menggunakan nilai ini untuk memeriksa apakah apakah itu ada-lingkungan, SEPERTI, yang mana dari pertidaksamaan 
ketimpangan menyusul 
.
Dengan asumsi , kita mentransformasikan pertidaksamaan terakhir: 
(memperluas trinomial kuadrat)
Anggota urutan.
Suatu bilangan a disebut limit barisan (xn) jika untuk sembarang ε>0 terdapat bilangan n=n(ε), dimulai dari |xn-a |
Contoh 2. Buktikan bahwa pada contoh 1 bilangan a=1 bukan limit barisan contoh sebelumnya. Larutan. Sederhanakan kembali suku umum barisan tersebut. Ambil ε=1 (ini adalah bilangan apa saja >
Tugas perhitungan langsung barisan limitnya cukup monoton. Semuanya berisi relasi polinomial terhadap n atau ekspresi terhadap polinomial tersebut. Saat mulai menyelesaikan, keluarkan dari tanda kurung (tanda radikal) komponen yang terletak paling atas. Biarkan hal ini menyebabkan munculnya pengali a^p untuk pembilang ekspresi asli, dan b^q untuk penyebutnya. Jelasnya, semua suku yang tersisa berbentuk C/(n-k) dan cenderung nol karena n>
Cara menghitung limit suatu barisan yang pertama adalah berdasarkan definisinya. Benar, harus diingat bahwa ini tidak memberikan cara untuk mencari limit secara langsung, tetapi hanya memungkinkan Anda membuktikan bahwa bilangan apa pun a adalah (atau bukan) suatu limit. (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) mempunyai limit a=3.Solusi. Lanjutkan dengan menerapkan definisi dalam urutan terbalik. Artinya, dari kanan ke kiri. Periksa terlebih dahulu apakah mungkin untuk menyederhanakan rumus xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(( n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Pertimbangkan pertidaksamaan |(3n+1)/(n+2)-3|0 yang dapat Anda temukan bilangan asli nε lebih besar dari -2+5/ε.
Contoh 2. Buktikan bahwa pada contoh 1 bilangan a=1 bukan limit barisan contoh sebelumnya. Larutan. Sederhanakan kembali suku umum barisan tersebut. Ambil ε=1 (bilangan apa saja >0). Tuliskan pertidaksamaan kesimpulannya definisi umum|(3n+1)/(n+2)-1|
Permasalahan penghitungan limit suatu barisan secara langsung cukup monoton. Semuanya berisi relasi polinomial terhadap n atau ekspresi terhadap polinomial tersebut. Saat mulai menyelesaikan, keluarkan dari tanda kurung (tanda radikal) komponen yang terletak paling atas. Biarkan hal ini menyebabkan munculnya pengali a^p untuk pembilang ekspresi asli, dan b^q untuk penyebutnya. Jelasnya, semua suku yang tersisa berbentuk C/(n-k) dan cenderung nol karena n>k (n cenderung tak terhingga). Setelah itu, tuliskan jawabannya: 0 jika pq.
Kami tidak akan menunjukkannya cara tradisional mencari limit suatu barisan dan jumlah yang tak terhingga. Kita akan menggunakan barisan fungsional (suku fungsinya ditentukan pada suatu interval (a,b)). Contoh 3. Tentukan jumlah yang berbentuk 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Solusi. Bilangan apa pun a^0=1. Tetapkan 1=exp(0) dan perhatikan barisan fungsinya (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}
Tip 2: Dalam urutan apa saya sebaiknya menonton film Marvel tentang Avengers?
Marvel Universe didasarkan pada buku komik dari Marvel, namun tidak semua adaptasi buku komik merupakan bagian dari jagat sinematik. Hanya mencakup film yang diproduksi atau berkolaborasi dengan Marvel Studios. Marvel Cinematic Universe dibagi menjadi beberapa fase, setiap film memiliki tempatnya masing-masing. Namun, serial dan film pendek, sebagai bagian dari alam semesta, dapat berada di antara fase-fase dalam kronologi. Itu. mungkin bukan milik bagian tertentu dari dunia sinematik.
Serial Netflix dan ABC berbeda dengan alam semesta Marvel. Alam semesta sinematik memiliki dua fitur:
- setiap film memiliki ceritanya sendiri;
- Plot global berpindah dari satu film ke film lainnya, dan pada akhirnya masing-masing film memajukan plot ini.
Serial saluran ABC terkait dengan alur global dunia sinematik, namun tidak mempromosikannya, namun hanya melengkapinya. Serial Netflix adalah cerita yang sepenuhnya independen, dengan plotnya sendiri dan dunia globalnya sendiri.
Selama bertahun-tahun, dunia Marvel telah berkembang dan terus berkembang. Oleh karena itu, sulit bagi orang yang tidak siap untuk memahami kronologi filmnya, karena tidak semua orang memahami bahwa Anda tidak dapat menonton “Iron Man 3” segera setelah “Iron Man 2”. Dan untuk memahaminya, Anda perlu mempelajari kronologinya, yang meliputi tiga fase.
Fase pertama:
- Film " manusia besi", 2008. Gambar ini meletakkan dasar dan nada umum untuk adaptasi film berikut ini;
- Film Hulk yang Luar Biasa, 2008. Dalam adaptasi film ini, pemirsa memahami bahwa kisah dua pahlawan berbeda terjadi di alam semesta yang sama, karena “Iron Man” dan “The Incredible Hulk” menyebutkan S.H.I.E.L.D., program “prajurit super”, logo StarkIndusries ditemukan, dll. . Film ini mengambil latar pada tahun 2011. Film tersebut tidak meneruskan cerita film Hulk tahun 2003.
- Film "Iron Man 2", 2010. Kisah ini menjadi benih bagi Avengers, memperkenalkan Black Widow ke dalam plot, memberikan banyak latar belakang untuk proyek masa depan dan berbicara tentang masalah baru yang dihadapi Tony Stark setahun setelah bagian pertama Iron Man.
- Film "Thor", 2011. Ini juga merupakan persiapan untuk Avengers, dan tujuan utama film ini adalah untuk memperkenalkan Thor dan Loki kepada penonton. Plotnya berlangsung paralel dengan kisah The Incredible Hulk dan Iron Man 2.
- Film "Pembalas Pertama", 2011. Ini menceritakan kisah Kapten Amerika, pahlawan super pertama di Bumi, yang, seperti Hulk, muncul karena serum “prajurit super”. Adegan pertama dan terakhir film ini berlangsung pada tahun 2011, dan aksi utamanya berlangsung antara tahun 1943 dan 1945. Tesseract, salah satu dari enam Batu Keabadian, muncul di film tersebut, dan ternyata “bapak” S.H.I.E.L.D. adalah organisasi SSR (Strategic Scientific Reserve).
- Film pendek “Konsultan”, 2011. Adegan terakhir The Incredible Hulk dijelaskan di sini.
- Film pendek “Insiden lucu dalam perjalanan menuju palu Thor”, 2011.
- Film "The Avengers", 2012. Ceritanya terjadi pada tahun 2012, ketika S.H.I.E.L.D. Demi menyelamatkan dunia, dia mengumumkan “pertemuan umum”.
Fase kedua:
- Film "Iron Man 3", 2013. Aksi tersebut terjadi pada musim dingin 2012, ketika Tony Stark kembali ke rumah setelah Pertempuran New York, namun tersiksa oleh mimpi buruk. Dia tidak bisa tidur, dan mencurahkan waktunya untuk membuat kostum baru.
- Serial “Agen S.H.I.E.L.D.,” 2013.
- Film "Thor 2: Dunia Gelap", 2013. Film ini menceritakan bagaimana Thor kembali ke rumah dan menemukan bahwa kesembilan dunia berada dalam kekacauan. Dan tentang bagaimana Thor memulihkan ketertiban.
- Film pendek “Hidup Sang Raja”, 2014. Ini adalah kisah Trevor Slattery yang terjadi setelah peristiwa Iron Man 3.
- Film "Captain America: Prajurit Musim Dingin", 2014. Ini adalah kisah Captain America yang tidak bisa pulang ke rumah, sehingga ia mencari pekerjaan baru dan menjadi agen S.H.I.E.L.D., bekerja satu tim dengan Black Widow. Film ini paling baik ditonton antara episode 16 dan 17 Agents of S.H.I.E.L.D.
- Film "Penjaga Galaksi", 2014. Harus ditonton setelah season 1 Agents of S.H.I.E.L.D. Ini adalah kisah penjahat luar bumi yang membentuk tim untuk menghentikan penjahat yang lebih berbahaya, Ronan, untuk mendapatkan Batu Infinity.
- Serial “Agents of S.H.I.E.L.D.,” musim kedua, 2014.
- Serial TV "Agen Carter", 2016. Ini adalah kisah tentang bagaimana Peggy Carter dan kepala pelayan Edwin Jarvis membantu Howard Stark mendapatkan kembali nama baiknya.
- Film "Avengers: Age of Ultron", 2015. Dalam film ini, para Avengers berkumpul kembali untuk menyelamatkan dunia, namun kali ini mereka menjadi satu tim yang utuh. Yang terbaik adalah menonton antara episode 19 dan 20 musim kedua Agents of S.H.I.E.L.D.
- Film "Ant-Man", 2015. Tonton setelah Musim 2 Agen S.H.I.E.L.D.
Fase ketiga:
- Film "Captain America: Perang Saudara", 2016. Setelah Perjanjian Sokovia, para Avengers diwajibkan untuk mematuhi pemerintah, tetapi hal ini membagi mereka menjadi dua kubu: kubu yang ingin mendaftar dan kubu yang menentangnya.
Ini semua adalah film yang sudah dirilis. Tapi itu bukan keseluruhan cerita. Ada 14 film lagi yang direncanakan pada tahap ketiga, disusul tahap keempat.
Artikel terkait
Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n ), jika untuk bilangan positif kecil sembarangε > 0 ada angka N yang memiliki semua nilai xn, yang n>N, memenuhi pertidaksamaan
|xn - sebuah|< ε. (6.1)
Tuliskan sebagai berikut: atau x n → A.
Ketimpangan (6.1) setara dengan ketimpangan ganda
sebuah- ε< x n < a + ε, (6.2)
yang berarti poinnya xn, dimulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-ε, a+ ε ), yaitu jatuh ke dalam hal kecil apa punε -lingkungan suatu titik A.
Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, jika tidak - berbeda.
Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit suatu fungsi x n = f(n) dari argumen bilangan bulat N.
Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), yaitu titik tersebut, setiap lingkungannya memuat titik-titik himpunan D(f) selain A. Dot A mungkin termasuk dalam himpunan D(f) atau tidak.
Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika untuk sembarang barisan (x n ) nilai argumen cenderung A, barisan-barisan yang bersesuaian (f(x n)) mempunyai limit A yang sama.
Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.
Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika, dengan menentukan bilangan positif kecil ε yang sembarang, seseorang dapat menemukan δ seperti itu>0 (tergantung pada ε), yang diperuntukkan bagi semua orang X, berbaringε-lingkungan dari nomor tersebut A, yaitu Untuk X, memuaskan ketimpangan
0 <
xa< ε
, nilai fungsi f(x) akan terletak diε-lingkungan dari bilangan A, mis.|f(x)-A|<
ε.
Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ “.
Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsinya f(x) sebagai x →a memiliki membatasi, sama dengan A, ditulis dalam bentuk
. (6.3)
Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode pendekatan apa pun X sampai batasmu A, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi tersebut f(x) miliki batas tak terbatas, dan tuliskan dalam bentuk:
Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.
Variabel yang limitnya sama dengan tak terhingga disebut sangat besar.
Untuk mencari limit dalam prakteknya digunakan teorema berikut.
Teorema 1 . Jika setiap batasan ada
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya perbandingan dua besaran yang sangat kecil atau besar yang tidak terhingga, dan menemukan limit jenis ini disebut “mengungkap ketidakpastian”.
Teorema 2. (6.7)
itu. seseorang dapat mencapai batas berdasarkan pangkat dengan eksponen konstan, khususnya, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorema 3.
(6.10)
(6.11)
Di mana e » 2.7 - basis logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.
Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
khususnya batasnya,
Jika x → a dan sekaligus x > a, lalu tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 tulislah +0. Demikian pula jika x→a dan sekaligus x 
dan dipanggil sesuai dengan itu batas yang tepat Dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya A. Agar ada limit dari fungsi f(x) sebagai x→a diperlukan dan cukup untuk itu 
. Fungsi f(x) dipanggil kontinu pada intinya x 0 jika batas
. (6.15)
Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang menjadi:
,
yaitu, perjalanan menuju limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika fungsi tersebut kontinu pada suatu titik tertentu.
Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kami katakan demikian pada x = x o fungsi f(x) memiliki celah Perhatikan fungsi y = 1/x. Daerah definisi fungsi ini adalah himpunan R, kecuali x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit himpunan D(f), karena di lingkungan mana pun, mis. dalam setiap interval terbuka yang memuat titik 0, terdapat titik-titik dari D(f), tetapi titik itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga pada titik x o = 0 fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas.
Fungsi f(x) dipanggil kontinu di sebelah kanan pada titik tersebut x o jika batasnya
,
Dan kontinu di sebelah kiri pada titik tersebut x o, jika batasnya
.
Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik xo setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik ke kanan maupun ke kiri.
Agar fungsinya kontinu di suatu titik xo, misalnya, di sebelah kanan, pertama, harus ada limit yang berhingga, dan kedua, limit tersebut harus sama dengan f(xo). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari kedua kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami diskontinuitas.
1. Jika limitnya ada dan tidak sama dengan f(xo), maka dikatakan demikian fungsi f(x) pada intinya x o punya pecahnya jenis pertama, atau melompat.
2. Jika batasnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, lalu dikatakan demikian titik xo fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis kedua.
Misalnya fungsi y = cot x di x→ +0 memiliki limit yang sama dengan +∞, artinya pada titik x=0 terdapat diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari X) pada titik-titik yang absisnya utuh mempunyai diskontinuitas jenis pertama, atau lompatan.
Suatu fungsi yang kontinu pada setiap titik dalam interval disebut kontinu V . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.
Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan kuantitas tertentu yang terus-menerus mengarah pada batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan simpanan menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi suatu negara, peluruhan zat radioaktif, perkembangbiakan bakteri, dll.
Mari kita pertimbangkan contoh Ya.I.Perelman, memberikan interpretasi nomor tersebut e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya 
. Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahunnya. Jika aksesi dilakukan lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan 100 penyangkal disetorkan ke bank. unit berdasarkan 100% per tahun. Jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada periode ini 100 den. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat apa jadinya 100 penolakan. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah enam bulan, 100 sarang. unit akan bertambah menjadi 100×
1,5 = 150, dan setelah enam bulan berikutnya - pada 150×
1,5 = 225 (satuan ruang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 " 237 (ruang kerja satuan). Kami akan menambah ketentuan penambahan uang bunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 ruang kerja. unit setelah satu tahun akan menjadi:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (satuan ruang),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (satuan ruang),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (satuan ruang).
Dengan pengurangan yang tidak terbatas dalam syarat penambahan bunga, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang setara dengan sekitar 271. Modal yang disetorkan sebesar 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali lipat, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya
Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit sama dengan 1.
Larutan.Kita perlu membuktikannya, apa pun yang terjadiε > 0, apa pun yang kita ambil, karena bilangan tersebut terdapat bilangan asli N sehingga untuk semua n N pertidaksamaannya berlaku|x n -1|< ε.
Mari kita ambil e > 0. Karena ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.
Contoh 3.2
. Temukan limit suatu barisan yang diberikan oleh suku yang sama 
.
Larutan.Mari kita terapkan limit teorema penjumlahan dan temukan limit setiap suku. Ketika n→ ∞ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak terhingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, pertama-tama kita bertransformasi xn, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua aktif N. Kemudian, dengan menerapkan limit hasil bagi dan limit teorema penjumlahan, kita peroleh:
.
Contoh 3.3. 
. Menemukan .
Larutan. 
.
Di sini kita menggunakan teorema limit derajat: limit suatu derajat sama dengan derajat limit alasnya.
Contoh 3.4
. Menemukan ( 
).
Larutan.Tidak mungkin menerapkan teorema limit selisih, karena kita mempunyai ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus suku umum:
.
Contoh 3.5 . Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.
Larutan.Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi melalui suatu barisan. Mari kita ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, yaitu. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, itulah batasnya 
Sekarang mari kita pilih sebagai xn barisan yang sukunya sama x n = -1/n, juga cenderung nol. 
Oleh karena itu tidak ada batasan.
Contoh 3.6 . Buktikan bahwa tidak ada batasan.
Larutan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana perilaku barisan (f(x n)) = (sin x n) untuk x n → ∞ yang berbeda
Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua N dan batas Jika
xn =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua N dan karena itu batasnya. Jadi itu tidak ada.
Widget untuk menghitung batas secara online
Di jendela atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang ingin Anda cari limitnya. Di jendela bawah, masukkan angka kecenderungan x dan klik tombol Kalkuler, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di pojok kanan atas, Anda akan mendapatkan solusi detail.
Aturan untuk memasukkan fungsi: kuadrat(x) - akar kuadrat, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - kotangen, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangen. Tanda: *perkalian, /pembagian,^pangkat, sebagai gantinya ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsinya dimasukkan sebagai sqrt(tan(x/2)).
Bagi yang ingin mempelajari cara mencari batasan, pada artikel kali ini kami akan menceritakannya kepada Anda. Kami tidak akan mempelajari teorinya; guru biasanya memberikannya di perkuliahan. Jadi “teori membosankan” harus dicatat di buku catatan Anda. Jika tidak demikian, Anda dapat membaca buku teks yang diambil dari perpustakaan lembaga pendidikan atau dari sumber Internet lainnya.
Jadi, konsep limit cukup penting dalam mempelajari mata kuliah matematika tingkat tinggi, terutama ketika Anda mengenal kalkulus integral dan memahami hubungan antara limit dan integral. Materi kali ini akan membahas contoh-contoh sederhana, serta cara penyelesaiannya.
Contoh solusi
| Contoh 1 |
| Hitung a) $ \lim_(x \ke 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \ke \infty) \frac(1)(x) $ |
| Larutan |
|
a) $$ \lim \limits_(x \ke 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \ke \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Orang sering kali mengirimkan batasan ini kepada kami dengan permintaan untuk membantu menyelesaikannya. Kami memutuskan untuk menyorotinya sebagai contoh terpisah dan menjelaskan bahwa batasan ini hanya perlu diingat, sebagai suatu peraturan. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan menyediakan solusi terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan perhitungan dan mendapatkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan nilai dari guru Anda tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Apa yang harus dilakukan dengan ketidakpastian bentuk: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Contoh 3 |
| Selesaikan $ \lim \limits_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Larutan |
|
Seperti biasa, kita mulai dengan mensubstitusi nilai $x$ ke dalam ekspresi di bawah tanda limit. $$ \lim \limits_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Apa selanjutnya sekarang? Apa yang harus terjadi pada akhirnya? Karena ini ketidakpastian, ini belum menjadi jawaban dan kami melanjutkan penghitungan. Karena kita memiliki polinomial pada pembilangnya, kita akan memfaktorkannya menggunakan rumus yang familiar bagi semua orang di sekolah $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Apakah kamu ingat? Besar! Sekarang lanjutkan dan gunakan dengan lagu :) Kami menemukan bahwa pembilang $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Kami terus menyelesaikannya dengan mempertimbangkan transformasi di atas: $$ \lim \limits_(x \ke -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \ke -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \batas_(x \ke -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Menjawab |
| $$ \lim \batas_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Mari kita dorong limit pada dua contoh terakhir hingga tak terhingga dan pertimbangkan ketidakpastiannya: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Contoh 5 |
| Hitung $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Larutan |
|
$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Apa yang harus dilakukan? Apa yang harus saya lakukan? Jangan panik, karena hal yang tidak mungkin menjadi mungkin. Kita perlu menghilangkan x pada pembilang dan penyebutnya, lalu menguranginya. Setelah ini coba hitung limitnya. Mari kita coba... $$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Menggunakan definisi dari Contoh 2 dan mengganti x dengan tak terhingga, kita memperoleh: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Menjawab |
| $$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritma untuk menghitung batas
Jadi, mari kita rangkum secara singkat contoh-contoh tersebut dan buatlah algoritma untuk menyelesaikan limitnya:
- Substitusikan titik x ke dalam ekspresi yang mengikuti tanda limit. Jika diperoleh bilangan tertentu atau tak terhingga, maka limitnya terpecahkan seluruhnya. Jika tidak, kita memiliki ketidakpastian: “nol dibagi nol” atau “tak terhingga dibagi tak terhingga” dan lanjutkan ke langkah instruksi berikutnya.
- Untuk menghilangkan ketidakpastian “nol dibagi nol”, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Kurangi yang serupa. Substitusikan titik x ke dalam ekspresi di bawah tanda batas.
- Jika ketidakpastiannya adalah “tak terhingga dibagi tak terhingga”, maka kita keluarkan pembilang dan penyebutnya x hingga pangkat terbesar. Kami mempersingkat X. Kami mengganti nilai x dari bawah batas ke dalam ekspresi yang tersisa.
Pada artikel ini, Anda mempelajari dasar-dasar penyelesaian limit, yang sering digunakan dalam mata kuliah Kalkulus. Tentu saja, ini tidak semua jenis soal yang ditawarkan oleh penguji, tetapi hanya batasan yang paling sederhana. Kita akan membicarakan jenis tugas lainnya di artikel mendatang, namun pertama-tama Anda perlu mempelajari pelajaran ini agar dapat melanjutkan. Mari kita bahas apa yang harus dilakukan jika ada akar, derajat, pelajari fungsi ekuivalen yang sangat kecil, limit yang luar biasa, aturan L'Hopital.
Jika Anda sendiri tidak dapat mengetahui batasannya, jangan panik. Kami selalu dengan senang hati membantu!
Konsep limit barisan dan fungsi. Jika ingin mencari limit suatu barisan, dituliskan sebagai berikut: lim xn=a. Dalam barisan barisan seperti itu, xn cenderung ke a dan n cenderung tak terhingga. Barisan tersebut biasanya direpresentasikan sebagai suatu rangkaian, misalnya:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Urutan dibagi menjadi meningkat dan menurun. Misalnya:
xn=n^2 - urutan meningkat
yn=1/n - urutan
Jadi, misalnya limit barisan xn=1/n^ :
batas 1/n^2=0
x→∞
Batas ini sama dengan nol, karena n→∞, dan barisan 1/n^2 cenderung nol.
Biasanya kuantitas variabel x cenderung ke batas berhingga a, dan x terus-menerus mendekati a, dan nilai a konstan. Hal ini ditulis sebagai berikut: limx =a, sedangkan n juga dapat cenderung ke nol atau tak terhingga. Ada fungsi tak terhingga yang limitnya cenderung tak terhingga. Dalam kasus lain, ketika, misalnya, fungsi tersebut memperlambat kereta api, kemungkinan batasnya cenderung nol.
Batas memiliki sejumlah properti. Biasanya, fungsi apa pun hanya memiliki satu batasan. Ini adalah properti utama dari limit. Lainnya tercantum di bawah ini:
* Batas jumlah sama dengan jumlah batas:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Batas produk sama dengan produknya batas:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limit hasil bagi sama dengan hasil bagi limit:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Faktor konstanta diambil di luar tanda limit:
lim(Cx)=C lim x
Diberikan suatu fungsi 1 /x yang x →∞, limitnya adalah nol. Jika x→0, limit fungsi tersebut adalah ∞.
Untuk fungsi trigonometri berasal dari peraturan ini. Karena fungsi sin x selalu cenderung kesatuan ketika mendekati nol, maka identitasnya berlaku:
lim dosa x/x=1
Dalam sejumlah fungsi terdapat fungsi yang ketika menghitung limitnya timbul ketidakpastian - situasi di mana limitnya tidak dapat dihitung. Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini adalah L'Hopital. Ada dua jenis ketidakpastian:
* ketidakpastian bentuk 0/0
* ketidakpastian bentuk ∞/∞
Misalnya diberi batasan tipe berikut: lim f(x)/l(x), dan f(x0)=l(x0)=0. Dalam hal ini timbul ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, kedua fungsi tersebut dibedakan, setelah itu dicari limit hasilnya. Untuk ketidakpastian tipe 0/0, limitnya adalah:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pada x→0)
Aturan yang sama juga berlaku untuk ketidakpastian tipe ∞/∞. Namun dalam kasus ini persamaan berikut ini benar: f(x)=l(x)=∞
Dengan menggunakan aturan L'Hopital, Anda dapat menemukan nilai batas apa pun yang menimbulkan ketidakpastian. Sebuah prasyarat untuk
volume - tidak ada kesalahan saat mencari turunan. Jadi, misalnya turunan dari fungsi (x^2)" sama dengan 2x. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa:
f"(x)=nx^(n-1)
