Dasar aritmatika dan logika komputer. Fondasi aritmatika dan logis dari konstruksi komputer. Dasar-dasar aritmatika komputer
Segala kemungkinan luar biasa dari teknologi komputer (CT) diwujudkan dengan menciptakan berbagai kombinasi teknologi tinggi dan tingkat rendah, yang kami sepakati untuk menyebutnya “satu” dan “nol”. Oleh karena itu, kami, tidak seperti penyair V. Mayakovsky, tidak cenderung meremehkan peran satu dan juga nol. Terutama jika menyangkut sistem bilangan biner.
Di bawah sistem bilangan(CC) mengacu pada cara merepresentasikan angka apa pun menggunakan alfabet simbol yang disebut digit.
disebut SS posisional, jika angka yang sama mempunyai arti yang berbeda, yang ditentukan oleh tempatnya dalam angka tersebut.
SS desimal bersifat posisional. Pada gambar sebelah kiri, arti angka 9 berubah-ubah tergantung posisinya dalam angka tersebut. Sembilan yang pertama dari kiri menyumbang 900 unit terhadap total nilai desimal, yang kedua menyumbang 90 unit, dan yang ketiga menyumbang 9 unit.
SS Romawi adalah non-posisional. Nilai bilangan X pada bilangan XXI tetap tidak berubah apabila posisinya dalam bilangan tersebut berubah.
Banyaknya digit berbeda yang digunakan dalam SS posisi disebut dasar SS. SS desimal menggunakan sepuluh digit: 0, 1, 2, ..., 9; dalam biner SS - dua: 0 dan 1; dalam oktal SS - delapan: 0, 1, 2, ..., 7. Dalam SS dengan radix Q angka dari 0 hingga Q - 1.
Secara umum, dalam posisi SS dengan basis Q nomor berapa pun X dapat direpresentasikan sebagai polinomial:
|
x = sebuah N Q N +a n-1 Q n-1 + … + sebuah 1 Q 1 +a 0 Q 0 +a -1 Q -1 +a -2 Q -2 + …+ sebuah -M Q -M |
dimana sebagai koefisien A Saya Nomor apa pun yang digunakan dalam SS ini dapat digunakan.
Merupakan kebiasaan untuk menyatakan bilangan sebagai barisan digit (koefisien) yang bersesuaian yang termasuk dalam polinomial:
x = sebuah N A n-1 ... A 1 A 0 , A -1 A -2 ... A -M
Koma memisahkan bagian bilangan bulat suatu bilangan dari bagian pecahan. Di VT, paling sering, untuk memisahkan bagian bilangan bulat dari suatu bilangan dari bagian pecahan, mereka menggunakan titik. Letak angka-angka yang dihitung dari suatu titik disebut angka. Dalam SS posisional, bobot setiap digit berbeda dari bobot (kontribusi) digit yang berdekatan beberapa kali sama dengan basis SS. Dalam SS desimal, angka ke-1 adalah satuan, angka ke-2 adalah puluhan, angka ke-3 adalah ratusan, dan seterusnya.
Dalam VT, SS posisional dengan basis non-desimal digunakan: sistem biner, oktal, heksadesimal, dll. Untuk menunjukkan SS yang digunakan, angka diapit tanda kurung dan indeks menunjukkan basis SS:
(15) 10 ; (1011) 2 ; (735) 8 ; (1EA9F) 16 .
Terkadang tanda kurung dihilangkan dan hanya indeks yang tersisa:
15 10 ; 1011 2; 735 8; 1EA9F 16.
Ada cara lain untuk menunjuk SS: menggunakan huruf latin, ditambahkan setelah nomor tersebut. Misalnya,
15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH.
Telah ditetapkan bahwa semakin besar basis SS, semakin kompak angka yang ditulis. Jadi gambaran biner suatu bilangan membutuhkan kurang lebih 3,3 kali lagi digit daripada representasi desimalnya. Perhatikan dua angka: 97D = 1100001B. Representasi biner suatu bilangan memiliki jumlah digit yang jauh lebih besar.
Terlepas dari kenyataan bahwa SS desimal tersebar luas, komputer digital dibangun di atas elemen biner (digital), karena sulit untuk mengimplementasikan elemen dengan sepuluh keadaan yang dapat dibedakan dengan jelas. Perangkat dekatron dan trochotron dapat beroperasi dalam sistem bilangan yang berbeda. Dekatron - lampu penghitung pelepasan gas - perangkat pelepasan gas multi-elektroda dengan pelepasan cahaya untuk menunjukkan jumlah pulsa dalam SS desimal.
Perangkat ini belum menemukan aplikasi untuk pembangunan peralatan VT. Sejarah perkembangan teknologi komputer telah berkembang sedemikian rupa sehingga komputer digital dibangun berdasarkan perangkat digital biner (flip-flop, register, counter, elemen logika, dll).
Perhatikan bahwa komputer domestik "Setun" (penulis - N.P. Brusentsov) bekerja menggunakan sistem bilangan terner.
SS heksadesimal dan oktal digunakan saat membuat program dalam bahasa kode mesin untuk perekaman kode biner yang lebih pendek dan nyaman - perintah, data, alamat, dan operan. Mengonversi SS biner ke SS heksadesimal dan oktal (dan sebaliknya) cukup sederhana.
Masalah konversi dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya sering dijumpai dalam pemrograman dan terutama ketika pemrograman dalam bahasa Majelis. Misalnya, saat menentukan alamat sel memori, untuk mendapatkan bilangan biner atau heksadesimal yang setara dengan bilangan desimal. Prosedur standar tertentu dari bahasa pemrograman Pascal, BASIC, HTML dan C memerlukan pengaturan parameter dalam sistem bilangan heksadesimal. Untuk langsung mengedit data yang ditulis ke hard drive, Anda juga harus bisa bekerja dengan angka heksadesimal. Menemukan kesalahan pada komputer hampir tidak mungkin dilakukan tanpa memahami sistem bilangan biner. Tanpa pengetahuan tentang CC biner, mustahil untuk memahami prinsip pengarsipan, kriptografi, dan steganografi. Tanpa pengetahuan tentang biner SS dan aljabar Boolean, mustahil membayangkan bagaimana objek digabungkan dalam editor grafis vektor yang menggunakan operasi logika OR, AND, AND-NOT.
Dalam tabel 1 menunjukkan beberapa angka yang disajikan dalam berbagai SS.
Tabel 1
|
Sistem bilangan |
|||
|
Desimal |
Biner |
Oktal |
Heksadesimal |
Mari kita pertimbangkan aturan transisi dari SS oktal ke SS biner.
Aturan lain untuk mengonversi angka:
Contoh 1. Konversikan bilangan 305.4Q dari SS oktal ke SS biner.
Larutan.
Angka nol terluar yang ditandai harus dibuang.
Mari kita lihat aturan lainnya:
Contoh 3. Konversikan bilangan 111001100.001B dari SS biner ke SS oktal.
Larutan.
Contoh 5. Ubah bilangan 11011.11B dari SS biner menjadi SS desimal.
1. BENTUK REPRESENTASI ANGKA.. 6
2. SISTEM ANGKA BINER... 13
3. SISTEM ANGKA OKTAL... 15
4. SISTEM ANGKA HEXADESIMAL... 17
5. Bilangan Desimal Biner... 19
6. ARITMETIK BINER.. 20
7. ARITMETIK KODE TERBALIK DAN KOMPLEMEN 22
8. LOGIKA MATEMATIKA.. 25
JAWABAN LATIHAN... 35
KATA PENGANTAR
Penguasaan pengetahuan dasar di daerah teknologi komputer sangat tugas penting untuk programmer. Pemahaman mendalam tentang dasar aritmatika dan logika komputer memungkinkan Anda membuat perangkat lunak berkualitas tinggi.
Manual ini membahas cara merepresentasikan data dalam memori komputer, strukturnya, dan aturan konversinya. Masing-masing dari delapan bagian manual ini dikhususkan untuk topik tertentu, berisi informasi teoretis, contoh melakukan operasi aritmatika dan logika, serta latihan untuk praktik dan pekerjaan mandiri siswa.
Panduan ini ditujukan untuk siswa penuh waktu dan paruh waktu dalam spesialisasi “Perangkat Lunak Komputer dan Sistem Otomatis.”
Skema berikut untuk bekerja dengan manual ini direkomendasikan. Setelah belajar bahan yang dibutuhkan Selama pembelajaran praktek, contoh melakukan operasi aritmatika dan logika pada komputer diperiksa. Setiap bagian berisi sejumlah informasi teoritis dan rumusan masalah yang diperlukan. Siswa kemudian mungkin diminta untuk menyelesaikan latihan di akhir bagian. Latihan memiliki kompleksitas yang bervariasi, yang meningkat seiring bertambahnya nomor seri latihan.
Untuk dengan cepat mengkonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya, selain kemampuan menggunakan algoritma penerjemahan standar, siswa harus mengingat nilai pangkat bilangan bulat 2 dari 0 sampai 10, representasi bilangan dari 0 sampai 16 dalam sistem bilangan dengan basis 2, 8, 10 dan 16 , serta mengetahui sifat-sifat sistem bilangan yang basisnya habis dibagi 2.
Saat mengeksekusi operasi aritmatika Disarankan untuk menetapkan semua pinjaman dan transfer dari satu kategori ke kategori lainnya, sehingga mensimulasikan pengoperasian register atribut. Saat bekerja dengan kode langsung, komplemen, dan terbalik, disarankan untuk menggunakan 8 bit.
Saat melakukan latihan dari bagian “Logika Matematika”, Anda harus memahami dengan kuat simbolisme dan definisi (tabel kebenaran) dari tiga operasi logika dasar. Saat menghitung nilai ekspresi logika, Anda harus mengingat prioritas operasi logika.
Pada akhirnya alat bantu pengajaran jawaban latihan diberikan.
PERKENALAN
Penerapan teknologi komputer secara luas di segala bidang aktivitas manusia, efektivitas proses ini terkait erat dengan perkembangan berbagai perkembangan teknis yang kompleks dan dengan tingkat pelatihan di bidang ini dari para spesialis itu sendiri. profil yang berbeda. Korespondensi antara fungsionalitas sistem komputer dan tujuan teknologi dari objek yang terkait dengannya memerlukan pelatihan pemrogram yang sesuai.
Pemecahan masalah ini terkait dengan pengorganisasian proses pendidikan di semua tingkatan, termasuk sistem pelatihan lanjutan bagi para spesialis, dan dengan dukungan pendidikan dan metodologisnya. Pakar modern di bidangnya perangkat lunak harus memiliki pengetahuan tentang bagian perangkat keras dan perangkat lunak dari teknologi komputer.
Ilmu Komputer berkembang begitu pesat sehingga sekarang menjadi kebiasaan untuk membicarakan generasi komputer, berbeda dalam basis elemen, karakteristik dan tujuan. Namun, hampir semua perangkat komputasi memiliki basis aritmatika dan logika yang sama, bentuk representasi bilangan, serta aturan untuk melakukan operasi aritmatika dan logika. Ini adalah pertanyaan yang dibahas dalam tutorial ini.
BENTUK REPRESENTASI ANGKA
Setiap informasi disajikan dalam komputer menggunakan tanda-tanda digital. Cara representasi tersebut ditentukan oleh sistem bilangan yang dianut dalam komputer. Sistem bilangan adalah seperangkat teknik dan aturan untuk memberi nama dan menunjuk bilangan, yang dengannya seseorang dapat membuat korespondensi satu-satu antara bilangan apa pun dan representasinya sebagai himpunan sejumlah simbol yang terbatas. Setiap sistem bilangan menggunakan beberapa alfabet berhingga yang terdiri dari bilangan a 1, a 2, .... dan n . Dalam hal ini, setiap digit a i dalam catatan bilangan berhubungan dengan ekuivalen kuantitatif tertentu (“bobotnya”).
Mari kita menganalisis "teknologi" untuk memecahkan masalah sederhana - menghitung benda-benda homogen. Katakanlah ada pertandingan di atas meja. Penting untuk menentukan nomornya dan menuliskannya: satu kecocokan - 1; pertandingan lain - 1; dll. Mari kita dapatkan entri: 111111, di mana setiap pertandingan ditandai dengan simbol 1. Mari kita hitung jumlah unit (simbol pertandingan) dan tulis nomor ini dalam bentuk yang biasa (familiar) bagi kita - 6 atau dengan cara lain - VI. Jadi, 6 = VI = 111111, yaitu jumlah pertandingan ditulis berbagai bentuk. Formulir pencatatan 111111 sangat rumit; Bentuk penulisan angka 6 paling mudah dan familiar bagi kita.
Dalam periode sejarah perkembangan manusia yang berbeda, sistem bilangan tertentu digunakan untuk perhitungan dan perhitungan. Misalnya, sistem duodesimal cukup luas. Banyak barang (pisau, garpu, piring, saputangan, dll) yang masih terhitung puluhan. Jumlah bulan dalam satu tahun adalah dua belas.
Sistem bilangan duodesimal dipertahankan dalam sistem ukuran Inggris (misalnya, 1 kaki = 12 inci) dan dalam sistem moneter (1 shilling = 12 pence).
Di Babilonia kuno terdapat sistem seksagesimal yang sangat kompleks. Seperti halnya sistem duodesimal, hingga saat ini masih dipertahankan (misalnya, dalam sistem pengukuran waktu: 1 jam = 60 menit, 1 menit = 60 detik, demikian pula dalam sistem pengukuran sudut: 1° = 60 menit , 1 menit = 60 detik).
Beberapa suku Afrika memiliki sistem bilangan kuiner; suku Aztec dan Maya, yang mendiami wilayah luas di benua Amerika selama berabad-abad, memiliki sistem bilangan desimal. Beberapa suku di Australia dan Polinesia menggunakan sistem bilangan biner.
Sistem pengukuran desimal berasal dari India. Selanjutnya mulai disebut Arab karena dibawa ke Eropa oleh orang Arab. Nomor yang sekarang kami gunakan adalah angka Arab.
DI DALAM waktu yang berbeda Ada catatan angka-angka lain, yang kini hampir terlupakan. Namun, terkadang kita masih menjumpai angka-angka yang ditulis dengan huruf alfabet Latin, misalnya pada pelat jam, pada buku untuk menunjukkan bab atau bagian, pada kertas bisnis untuk menunjukkan bulan, dan sebagainya.
Sistem bilangan yang besar kecilnya suatu angka ditentukan oleh letak (posisi)nya disebut posisional. Jadi, sistem bilangan desimal bersifat posisional. Sistem bilangan Romawi tidak bersifat posisional, mis. kedudukan angka-angka tersebut tidak berubah maknanya. Misalnya kita menulis angka 9 sebagai IX, dan angka 11 sebagai XI. Selain itu, tanda I dalam kedua kasus memiliki arti yang sama - satu, hanya dalam satu kasus dikurangi sepuluh (X), dan dalam kasus lain ditambahkan. Komputer hanya menggunakan sistem penentuan posisi Perhitungan. Banyaknya angka-angka yang berbeda dalam suatu sistem bilangan disebut basisnya S.
Sistem bilangan desimal yang berlaku umum menggunakan sepuluh digit berbeda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Posisi digit-digit dalam suatu bilangan disebut digit. Dalam sistem bilangan desimal, kita berurusan dengan angka satuan, puluhan, ratusan, dst., serta angka persepuluh, perseratus, seperseribu, dst. Dengan kata lain, dalam sistem bilangan desimal, “bobot” setiap digit adalah 10 kali lebih besar dari “bobot” digit sebelumnya. Akibatnya, bilangan apa pun dalam sistem bilangan desimal dibentuk sebagai jumlah dari berbagai pangkat bilangan bulat sepuluh dengan koefisien yang sesuai a i (0, 1, .... 9), diambil dari alfabet sistem bilangan yang diberikan. Jadi, kita menulis angka desimalnya pandangan umum:
A = a 0 ×10 n +a 1 ×10 n –1 +a 2 ×10 n –2 +…+an –1 ×10 1 +an ×10 0 = a 0 a 1 …an –1 an .
Nilai bilangan A ditentukan oleh koefisien pangkat 10. Dari sini jelas bahwa bilangan 10 merupakan basis dari sistem bilangan, yang dalam hal ini disebut desimal. Misalnya, notasi desimal 245.83 dapat direpresentasikan sebagai:
245,83 = 2×10 2 + 4×10 1 + 5×10 0 + 8×10 –1 + 3×10 –2.
Dengan menghilangkan berbagai pangkat sepuluh, tuliskan hanya koefisien pada pangkat tersebut, yaitu 245,83. Juga:
531 = 5×10 2 + 3×10 1 + 1×10 0 = 531;
3527 = 3×10 3 + 5×10 2 + 2×10 1 + 7×10 0 = 3527;
28395 = 2×10 4 + 8×10 3 + 3×10 2 + 9×10 1 + 5×10 0 = 28395.
Untuk representasi fisik angka-angka di komputer, diperlukan elemen yang dapat berada dalam salah satu dari beberapa keadaan stabil. Jumlah negara bagian tersebut harus sama dengan basis sistem bilangan yang dianut. Kemudian setiap negara bagian akan mewakili digit yang sesuai dari alfabet sistem bilangan tertentu. Yang paling sederhana dari sudut pandang implementasi teknis adalah apa yang disebut elemen dua posisi, yang mampu berada di salah satu dari dua keadaan stabil - “on” atau “off”. Misalnya, relai elektromagnetik tertutup atau terbuka, bahan magnetis termagnetisasi atau mengalami demagnetisasi, saklar transistor dalam keadaan konduktif atau terkunci, dll. Salah satu keadaan stabil ini dapat dilambangkan dengan angka 0, dan keadaan lainnya dengan angka 1.
Kesederhanaan implementasi teknis elemen dua posisi telah memastikan bahwa sistem bilangan biner paling banyak digunakan di komputer. Basis sistem ini adalah S = 2. Ia hanya menggunakan dua digit: 0 dan 1. Setiap bilangan dalam sistem bilangan biner direpresentasikan sebagai jumlah pangkat bilangan bulat dari basisnya S = 2, dikalikan dengan koefisien; 0 atau 1. Misalnya bilangan biner
11011,01 2 = 1×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 +
1×2 0 + 0×2 –1 + 1×2 - 2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25 10,
sebagai berikut dari perluasan di atas, sesuai dengan angka desimal 27,25 10. Juga:
12 10 = 1×2 3 + 1×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 = 1100 2 ;
42 10 = 1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 + 0×2 0 = 101010 2.
Selain biner, komputer juga menggunakan sistem bilangan oktal dan heksadesimal, yang digunakan untuk pencatatan kode biner yang lebih pendek dan nyaman. Basis sistem ini sesuai dengan pangkat bilangan bulat 2 (8 = 2 3; 16 = 2 4), sehingga aturan untuk mengonversi ke sistem bilangan biner dan sebaliknya sangat sederhana bagi sistem tersebut.
Kode desimal biner banyak digunakan pada perangkat tampilan. Tabel tersebut menunjukkan kode-kode sistem bilangan, yang terlihat bahwa kode desimal biner berbeda dengan kode desimal karena di dalamnya setiap angka desimal ditulis dalam kode biner.
Dalam sistem notasi internasional, kode-kode yang diberikan pada Tabel 1 ditetapkan sebagai berikut: desimal - DEC (desimal), biner - BIN (biner), oktal - OCT (oktal), heksadesimal - HEX (heksadesimal), biner-desimal - BDC (kode desimal biner).
Komputer menggunakan dua bentuk representasi angka: titik tetap (titik) dan titik mengambang (titik). Jika tidak, bentuk-bentuk ini masing-masing disebut natural dan semilogaritmik. Untuk bentuk representasi angka ini, sejumlah n-bit dialokasikan, membentuk grid bit komputer. Dengan bertambahnya n, rentang angka yang diwakili dan keakuratan penghitungan meningkat.
Dalam bentuk aslinya, suatu bilangan direpresentasikan sebagai bagian bilangan bulat dari suatu bilangan dan bagian pecahan yang dipisahkan oleh sebuah titik. Jika, misalnya, tiga tempat desimal dialokasikan untuk bagian bilangan bulat dan pecahan suatu bilangan, maka bilangan 245,6 akan disajikan sebagai: 245.600. Di sini titik yang memisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan ditetapkan setelah angka ketiga.
Tabel 1
Representasi bilangan dalam sistem bilangan yang berbeda
| Desimal | Biner | Oktal | Heksadesimal | BCD |
| A | 0001 0000 | |||
| DI DALAM | 0001 0001 | |||
| DENGAN | 0001 0010 | |||
| D | 0001 0011 | |||
| E | 0001 0100 | |||
| F | 0001 0101 | |||
| 0001 0110 | ||||
| 0001 0111 | ||||
| 0001 1000 | ||||
| 0001 1001 | ||||
| 0010 0000 |
Biasanya, titik ditetapkan di sebelah kanan digit terkecil, dan oleh karena itu hanya bilangan bulat yang dapat direpresentasikan dalam bentuk ini. Ada dua pilihan untuk mewakili bilangan bulat: unsigned dan ditandatangani. Dalam kasus pertama, semua digit berfungsi untuk mewakili modulus suatu bilangan. Dalam kasus kedua, untuk mewakili tanda suatu bilangan, digit paling kiri dialokasikan, di mana 0 ditulis untuk bilangan positif dan 1 untuk bilangan negatif.
Kisaran angka yang direpresentasikan dengan titik tetap terbatas. Jadi, dalam grid n-bit, bilangan tak bertanda x dapat direpresentasikan dalam rentang 0 £ x £ 2 n -1. Untuk mewakili angka-angka yang tidak sesuai dengan kisaran ini, faktor skala yang sesuai diperkenalkan selama proses pemrograman. Kebutuhan untuk menskalakan data merupakan kelemahan signifikan dari representasi titik tetap. Kerugian lainnya adalah dengan bentuk representasi angka ini, keakuratan relatif perhitungan yang dilakukan bergantung pada nilai angka dan mencapai maksimum ketika melakukan operasi dengan angka sebesar mungkin.
Dalam hal ini, representasi angka titik tetap adalah hal yang mendasar dan satu-satunya bentuk hanya untuk mesin yang relatif kecil dalam hal kemampuan komputasinya, misalnya pada pengontrol kontrol. Komputer yang dirancang untuk memecahkan berbagai masalah terutama menggunakan bilangan floating point. Namun, bahkan di komputer seperti itu, bentuk representasi titik tetap digunakan untuk bilangan bulat, karena operasi dengan bilangan bulat dilakukan dalam bentuk ini dengan lebih mudah dan dalam waktu yang lebih singkat.
Dalam bentuk floating-point, bilangan apa pun N direpresentasikan sebagai hasil kali dua faktor: N = m×S p, dengan m adalah mantissa dari bilangan tersebut (|m|)<1); р - urutan nomor (bilangan bulat); S - basis sistem bilangan (integer).
Misalnya bilangan desimal 6,15 dalam bentuk floating point (koma) dapat dituliskan sebagai berikut:
6,15 = 0,615×10 1;
6,15 = 0,0615×10 2 ;
6,15 = 0,00615×10 3, dst.
Ketika urutannya berubah ke satu arah atau lainnya, titik (koma) seolah-olah “mengambang” pada gambar bilangan tersebut. Jadi, ketika merepresentasikan bilangan floating-point dalam grid bit komputer, mantissa ±m dan orde ±р perlu dituliskan dengan tandanya sendiri. Tanda bilangan tersebut bertepatan dengan tanda mantissa.
Untuk kedalaman bit mantissa tertentu, keakuratan penghitungan menjadi paling besar jika mantissa disajikan dalam bentuk yang dinormalisasi. Modulus mantissa yang dinormalisasi harus memenuhi kondisi (1/S) £ |m| < 1, di mana digit paling signifikan dari mantissa dalam sistem bilangan S-ary tidak boleh sama dengan nol. Dalam proses perhitungan, normalisasi ke kanan mungkin dilanggar ketika |m|< (1/S), или влево, когда |m| ³ 1. В первом случае мантисса сдвигается влево до появления в старшем разряде ближайшей единицы. При этом в освобождающиеся младшие разряды мантиссы записываются нули и проводится соответствующее уменьшение порядка числа. При нарушении нормализации мантиссы влево производится ее сдвиг вправо с соответствующим увеличением порядка числа. Младшие разряды мантиссы, выходящие при этом за пределы разрядной сетки, отбрасываются.
Komputer tidak hanya memproses numerik, tetapi juga berbagai informasi alfanumerik, selain angka, berisi alfabet, sintaksis, matematika, berbagai kontrol, dan karakter khusus lainnya. Informasi tersebut direpresentasikan dalam komputer dengan kode biner (kata biner) dengan kedalaman bit yang sesuai.
SISTEM ANGKA BINER
Seperti yang telah disebutkan, sebagian besar komputer menggunakan sistem bilangan biner untuk merepresentasikan dan menyimpan berbagai informasi, serta saat melakukan operasi aritmatika dan logika. Dalam sistem bilangan biner, bilangan pokoknya adalah 2. Dalam hal ini, dua digit digunakan untuk menulis bilangan: 0 dan 1.
Pengubahan suatu bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan biner dilakukan dengan membagi bilangan tersebut secara berurutan dengan 2 hingga hasil bagi pembagian menjadi sama dengan 1. Suatu bilangan dalam sistem bilangan biner dituliskan sebagai sisa pembagian, dimulai dari hasil bagi terakhir, dari kanan ke kiri:
8 10 = 1×2 3 + 0×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 ;
8 10 = 8 + 0 + 0 + 0.
Konversi bilangan pecahan desimal ke sistem biner dilakukan dalam dua tahap: pertama, bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut diubah (lihat di atas), kemudian bagian pecahan. Bagian pecahan diterjemahkan dengan mengalikan bagian pecahan dengan dua secara berurutan. Bilangan biner ditulis sebagai seluruh bagian bilangan yang diperoleh dengan mengalikan bagian pecahannya saja, dimulai dari atas setelah koma. Ini menentukan ketepatan ekspresi. Misalnya, angka 0,41 10 dalam sistem desimal diubah menjadi angka 0,011 2 dalam sistem biner:
Menurut aturan yang dibahas, bilangan dapat diubah menjadi sistem bilangan lain yang banyak digunakan - oktal, heksadesimal, biner-desimal. Dalam semua kasus, perkalian atau pembagian bilangan yang diterjemahkan dilakukan berdasarkan sistem bilangan yang baru.
Latihan
1. Ubahlah bilangan biner berikut menjadi kode desimal:
a) 0001; b) 0101; c) 1000; d) 1011; e) 1111; f) 0111; g) 1.000.000; h) 00010000; saya) 00110011; j) 01100100; aku) 00011111; m) 11111111.
2. Ubahlah bilangan desimal berikut ke biner:
a) 23; b) 39; c) 55; d) 48.
3. Ubah bilangan desimal ke kode biner: 204;
4. Ubah bilangan biner menjadi kode desimal: 11101110.
Saat ini, dalam kehidupan sehari-hari, untuk menyandikan informasi numerik, digunakan sistem bilangan desimal dengan basis 10, yang menggunakan 10 elemen notasi: angka 0,1,2,...8,9. Digit pertama (kecil) menunjukkan jumlah satuan, digit kedua menunjukkan puluhan, digit ketiga menunjukkan ratusan, dst.; dengan kata lain, pada setiap digit berikutnya bobot koefisien digit bertambah 10 kali lipat.
Perangkat pengolah informasi digital menggunakan sistem bilangan biner basis 2 yang menggunakan dua elemen notasi: 0 dan 1.
Misalnya, bilangan biner 101011 setara dengan bilangan desimal 43:
Dalam perangkat digital, istilah khusus digunakan untuk menunjukkan satuan informasi dengan berbagai ukuran: bit, byte, kilobyte, megabyte, dll. Bit atau digit biner menentukan nilai satu karakter dalam bilangan biner. Misalnya bilangan biner 101 memiliki tiga bit atau tiga digit. Angka di sebelah kanan yang bobotnya paling kecil disebut junior, dan angka di sebelah kiri yang bobotnya paling tinggi disebut senior.
Satu byte mendefinisikan unit informasi 8-bit, 1 byte = 23 bit, misalnya 10110011 atau 01010111, dll.,
Untuk merepresentasikan bilangan multi-digit dalam sistem bilangan biner, diperlukan sejumlah digit biner. Pencatatannya lebih mudah jika menggunakan sistem bilangan heksadesimal.
Sistem bilangan heksadesimal didasarkan pada bilangan 16= yang menggunakan 16 unsur notasi: bilangan 0 sampai 9 dan huruf A, B, C, D, E, F. Untuk mengubah bilangan biner menjadi heksadesimal, cukup dengan membagi bilangan biner menjadi empat kelompok bit: bagian bilangan bulat dari kanan ke kiri, bagian pecahan dari kiri ke kanan dari koma desimal. Kelompok luar mungkin tidak lengkap.
Setiap grup biner diwakili oleh karakter heksadesimal yang sesuai (Tabel 1). Misalnya, bilangan biner 0101110000111001 dalam heksadesimal dinyatakan sebagai 5C39.
Sistem bilangan desimal paling nyaman bagi pengguna. Oleh karena itu, banyak perangkat digital, yang bekerja dengan bilangan biner, menerima dan mengeluarkan bilangan desimal kepada pengguna. Dalam hal ini, kode desimal biner digunakan.
Kode desimal biner dibentuk dengan mengganti setiap digit desimal suatu bilangan dengan representasi biner empat digit dari digit tersebut dalam kode biner. Misalnya, angka 15 direpresentasikan sebagai 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). Dalam hal ini, setiap byte berisi dua angka desimal. Perhatikan bahwa kode BCD dalam konversi ini bukanlah bilangan biner yang setara dengan bilangan desimal.
Cabang logika matematika yang mempelajari hubungan antar variabel logika yang hanya mempunyai dua nilai disebut aljabar logika. Aljabar logika dikembangkan oleh matematikawan Inggris J. Boole dan sering disebut aljabar Boolean. Aljabar logika merupakan landasan teori untuk membangun sistem pemrosesan informasi digital. Pertama, berdasarkan hukum aljabar logika, persamaan logis perangkat dikembangkan, yang memungkinkan Anda menghubungkan elemen logis sedemikian rupa sehingga rangkaian menjalankan fungsi logis tertentu.
-
Hitung Dan logis dasar-dasar konstruksi komputer. Saat ini, dalam kehidupan sehari-hari, untuk menyandikan informasi numerik, digunakan sistem bilangan desimal dengan basis 10, yang menggunakan 10 elemen notasi: angka 0,1,2,...8,9. Di bagian pertama... -
Hitung Dan logis dasar-dasar konstruksi komputer. Saat ini, dalam kehidupan sehari-hari, desimal s digunakan untuk mengkodekan informasi numerik. Prinsip pengendalian program komputer. -
Nama " elektronik komputasi mobil» sesuai dengan aplikasi aslinya komputer- kamu... baca lebih lanjut ». Hitung Dan logis dasar-dasar konstruksi komputer. -
1642 - Pascal mengembangkan modelnya komputasi mobil untuk mengeksekusi hitung tindakan ( dibuat pada tahun 1845 dan disebut “Roda Pascal”).
Penelitian sedang dilakukan di bidang optoelektronik dan bangunan atas dasar itu komputer... -
Prinsip dasarnya konstruksi semuanya modern komputer adalah kontrol perangkat lunak. Dasar-dasar ajaran tentang arsitektur komputasi mobil
Struktur nyata komputer jauh lebih rumit daripada yang dibahas di atas (bisa disebut logis struktur). -
Cukup unduh lembar contekan logis pemrograman - dan tidak ada ujian yang menakutkan bagi Anda!
Dasar-dasar pemrograman di Turbo-Prolog: hitung operasi perhitungan dan perbandingan. -
Pemodelan komputer - melengkung representasi pengetahuan di komputer (konstruksi berbagai basis pengetahuan).
6) Pengujian dan debugging: - debugging sintaksis. - debugging semantik (debugging logis struktur). - perhitungan tes, analisis hasil tes... -
Metode adalah cara, cara untuk mencapai suatu tujuan, Konstruksi pohon kesalahan.
3. mendefinisikan hubungan antara penyebab dan peristiwa utama dalam istilah logis Operasi "DAN" dan "ATAU". -
Mereka sangat penting bagi ilmu pengetahuan, mereka adalah pilar logika, karena tanpa undang-undang ini logika tidak terpikirkan. Logis hukum adalah aturan yang ada secara obyektif dan perlu diterapkan konstruksi logis pemikiran. -
Model informasi adalah titik awal untuk konstruksi model basis data datalogis dan berfungsi sebagai model perantara untuk spesialis materi pelajaran (untuk
Lalu padanya dasar konseptual ( logis), model internal (fisik) dan eksternal.
Halaman serupa ditemukan:10
Kuliah 1. Pendahuluan Dasar-dasar Aritmatika dan Logika Komputer. Dasar-dasar aritmatika komputer. Fondasi logis komputer. Prinsip dasar aljabar logika. Elemen logis. Hukum dan identitas aljabar logika.
Komputer elektronik melakukan operasi aritmatika dan logika menggunakan dua kelas variabel: angka dan variabel logika. Angka membawa informasi tentang karakteristik kuantitatif sistem; operasi aritmatika dilakukan padanya. Variabel Boolean menentukan keadaan sistem atau apakah sistem tersebut termasuk dalam kelas keadaan tertentu (pergantian saluran, kontrol operasi komputer sesuai dengan program, dll.). Variabel logis hanya dapat mengambil dua nilai: BENAR Dan berbohong. Dalam perangkat pemrosesan informasi digital, kedua nilai variabel ini dikaitkan dengan dua level tegangan: tinggi - ( logis "1")dan rendah- (logis0"). Namun nilai-nilai tersebut tidak menyampaikan arti kuantitas. Elemen yang melakukan operasi sederhana pada sinyal biner tersebut disebut logis. Berdasarkan elemen logika, perangkat dikembangkan yang melakukan operasi aritmatika dan logika.
Saat ini, elemen logika (LE) diimplementasikan menggunakan berbagai teknologi yang menentukan nilai numerik dari parameter utama LE dan, sebagai konsekuensinya, indikator kualitas perangkat pemrosesan informasi digital yang dikembangkan berdasarkan mereka. Oleh karena itu, dalam manual ini, perhatian diberikan pada desain sirkuit dan parameter LE dari berbagai teknologi.
Dasar-dasar aritmatika komputer
Saat ini, dalam kehidupan sehari-hari, untuk menyandikan informasi numerik, digunakan sistem bilangan desimal dengan basis 10, yang menggunakan 10 elemen sebutan: angka 0, 1, 2, ... 8, 9. Digit pertama (minor) menunjukkan angka tersebut satuan, yang kedua - puluhan, yang ketiga - ratusan, dst.; dengan kata lain, pada setiap digit berikutnya bobot koefisien digit bertambah 10 kali lipat.
Perangkat pengolah informasi digital menggunakan sistem bilangan biner dengan basis 2, yang menggunakan dua elemen penunjukan: 0 dan 1. Bobot bit dari kiri ke kanan dari yang paling tidak signifikan hingga yang paling signifikan bertambah 2 kali lipat, yaitu mempunyai urutan sebagai berikut: 8421. Secara umum, urutannya seperti ini:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
dan digunakan untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan desimal. Misalnya, bilangan biner 101011 setara dengan bilangan desimal 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
Dalam perangkat digital, istilah khusus digunakan untuk menunjukkan satuan informasi dengan berbagai ukuran: bit, byte, kilobyte, megabyte, dll.
Sedikit atau angka biner menentukan nilai satu karakter dalam bilangan biner. Misalnya bilangan biner 101 memiliki tiga bit atau tiga digit. Digit paling kanan yang bobotnya paling kecil disebut lebih muda, dan yang paling kiri, dengan bobot paling besar, adalah senior.
Byte mendefinisikan 8-bit satuan informasi, 1 byte = 23 bit, misalnya 10110011 atau 01010111, dst., 1 kbyte = 2 10 byte, 1 MB = 2 10 kbytes = 2 20 byte.
Untuk merepresentasikan bilangan multi-digit dalam sistem bilangan biner, diperlukan sejumlah digit biner. Pencatatannya lebih mudah jika menggunakan sistem bilangan heksadesimal.
Dasarnya sistem heksadesimal notasinya adalah bilangan 16 = 2 4 yang menggunakan 16 unsur notasi: bilangan 0 sampai 9 dan huruf A, B, C, D, E, F. Untuk mengubah bilangan biner menjadi heksadesimal cukup dengan membagi binernya nomor menjadi kelompok empat bit: bagian bilangan bulat dari kanan ke kiri, pecahan - dari kiri ke kanan koma desimal. Kelompok luar mungkin tidak lengkap.
Setiap grup biner diwakili oleh karakter heksadesimal yang sesuai (Tabel 1). Misalnya, bilangan biner 0101110000111001 dalam heksadesimal dinyatakan sebagai 5C39.
Sistem bilangan desimal paling nyaman bagi pengguna. Oleh karena itu, banyak perangkat digital, yang bekerja dengan bilangan biner, menerima dan mengeluarkan bilangan desimal kepada pengguna. Dalam hal ini, kode desimal biner digunakan.
kode BCD dibentuk dengan mengganti setiap digit desimal suatu bilangan dengan representasi biner empat bit dari digit tersebut dalam kode biner (Lihat Tabel 1). Misalnya, angka 15 direpresentasikan sebagai 00010101 BCD (BinaryCodedDecimal). Dalam hal ini, setiap byte berisi dua angka desimal. Perhatikan bahwa kode BCD dalam konversi ini bukanlah bilangan biner yang setara dengan bilangan desimal.
Semua komputer modern memiliki sistem perintah yang cukup berkembang, yang mencakup puluhan dan ratusan operasi mesin. Namun, pelaksanaan operasi apa pun didasarkan pada penggunaan operasi mikro sederhana seperti penambahan dan pergeseran. Hal ini memungkinkan Anda memiliki satu perangkat logika aritmatika untuk melakukan operasi apa pun yang terkait dengan pemrosesan informasi. Aturan penjumlahan angka biner dua bilangan A dan B disajikan pada tabel. 2.2.
Tabel 2.2 Aturan untuk menambahkan digit biner
Di sini diperlihatkan aturan penjumlahan digit biner a i, b i, digit dengan nama yang sama, dengan mempertimbangkan kemungkinan transfer dari digit sebelumnya p i -1.
Tabel serupa dapat dibuat untuk operasi aritmatika atau logika lainnya (pengurangan, perkalian, dll.), tetapi data dari tabel inilah yang menjadi dasar untuk melakukan operasi komputer apa pun. Digit tanda khusus dialokasikan untuk tanda angka. Tanda “+” dikodekan sebagai nol biner, dan tanda “-” dikodekan sebagai satu. Tindakan pada kode langsung bilangan biner saat melakukan operasi menimbulkan kesulitan besar terkait dengan kebutuhan untuk memperhitungkan nilai bit tanda:
Pertama, Anda harus memperlakukan angka penting dan angka tanda secara terpisah;
Kedua, nilai bit tanda mempengaruhi algoritma operasi (penjumlahan dapat diganti dengan pengurangan dan sebaliknya). Di semua komputer, tanpa kecuali, semua operasi dilakukan pada angka yang diwakili oleh kode mesin khusus. Penggunaannya memungkinkan Anda untuk memperlakukan digit angka yang ditandatangani dengan cara yang sama seperti digit penting, dan juga mengganti operasi pengurangan dengan operasi penjumlahan.
Ada kode langsung (P), kode terbalik (OK) dan kode komplementer (DC) dari bilangan biner.
Kode mesin
Kode langsung suatu bilangan biner dibentuk dari nilai mutlak bilangan tersebut dan kode tanda (nol atau satu) sebelum angka bilangan terpentingnya.
Contoh 2.5.
Garis vertikal putus-putus di sini menandai batas konvensional yang memisahkan angka tanda dari angka penting.
Kode pengembalian bilangan biner dibentuk menurut aturan berikut. Kode kebalikan dari bilangan positif sama dengan kode penerusannya. Kode kebalikan dari suatu bilangan negatif memuat satu pada digit tanda bilangan tersebut, dan digit-digit penting dari bilangan tersebut diganti dengan bilangan invers, yaitu. nol diganti dengan satu, dan satu diganti dengan nol.
Contoh 2.6.
Kode kebalikan dari angka mendapat namanya karena kode angka-angka dari bilangan negatif diganti dengan yang terbalik. Mari kita tunjukkan properti paling penting dari kode angka terbalik:
Penjumlahan bilangan positif C dengan nilai negatifnya dalam kode terbalik menghasilkan apa yang disebut satuan mesin MEok = 1¦ 11...111, terdiri dari satuan tanda dan angka penting dari bilangan tersebut;
Angka nol pada kode terbalik mempunyai arti ganda. Bisa berupa bilangan positif - 0¦ 00...0, atau bilangan negatif - 1 ¦ 11...11. Nilai nol negatif sama dengan MEok. Representasi ganda dari nol adalah alasan mengapa dalam komputer modern semua bilangan direpresentasikan bukan oleh kebalikannya, namun oleh kode komplementernya.
Kode tambahan bilangan positif bertepatan dengan kode langsungnya. Kode komplemen suatu bilangan negatif merupakan hasil penjumlahan kode kebalikan dari bilangan tersebut dengan satuan terkecil (2 0 - untuk bilangan bulat, 2 - k - untuk pecahan).
Contoh 2.7.
Mari kita tunjukkan properti utama dari kode tambahan:
Menambahkan kode komplementer dari bilangan positif C dengan nilai negatifnya menghasilkan apa yang disebut unit mesin kode komplementer:
MEdk=MEok+2 0 =10¦ 00...00,
itu. angka 10 (dua) pada angka tanda nomor;
Kode pelengkap mendapat nama ini karena representasi bilangan negatif merupakan penambahan kode bilangan langsung pada unit mesin MEdk.
Kebalikan yang dimodifikasi dan kode tambahan bilangan biner berbeda dari kode timbal balik dan komplementer, masing-masing, dengan menggandakan nilai bit tanda. Tanda “+” pada kode-kode ini dikodekan dengan dua angka tanda nol, dan tanda “-” dengan dua angka satuan.
Contoh 2.8.
Tujuan dari pengenalan kode yang dimodifikasi adalah untuk memperbaiki dan mendeteksi kasus memperoleh hasil yang salah ketika nilai hasil melebihi hasil maksimum yang mungkin dalam grid bit yang dialokasikan pada mesin. Dalam hal ini, carry dari bit signifikan dapat mendistorsi nilai bit tanda paling tidak signifikan. Nilai bit tanda “01” menunjukkan luapan positif dari kisi bit, dan “10” menunjukkan luapan negatif. Saat ini, di hampir semua model komputer, peran dua digit untuk memperbaiki luapan grid bit dimainkan dengan transfer ke dan dari digit tanda.
