Urutan angka. Metode untuk mengaturnya. Urutan nomor dan metode untuk menentukannya

Vida kamu= F(X), X TENTANG N, Di mana N– himpunan bilangan asli (atau fungsi dari argumen alami), dilambangkan kamu=F(N) atau kamu 1 ,kamu 2 ,…, kamu n,…. Nilai-nilai kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3 ,… masing-masing disebut anggota barisan pertama, kedua, ketiga, ....

Misalnya saja untuk fungsinya kamu= N 2 dapat ditulis:

kamu 1 = 1 2 = 1;

kamu 2 = 2 2 = 4;

kamu 3 = 3 2 = 9;…kamu n = n 2 ;…

Metode untuk menentukan urutan. Urutan dapat ditentukan dalam berbagai cara, di antaranya tiga yang sangat penting: analitis, deskriptif, dan berulang.

1. Suatu barisan diberikan secara analitis jika rumusnya diberikan N anggota ke:

kamu n=F(N).

Contoh. kamu n= 2N - 1 – barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Deskriptif Cara menentukan suatu barisan numerik adalah dengan menjelaskan dari elemen mana barisan tersebut dibangun.

Contoh 1. “Semua suku barisan tersebut sama dengan 1.” Artinya kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1,…, 1,….

Contoh 2. “Suatu barisan terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik." Jadi barisan yang diberikan adalah 2, 3, 5, 7, 11,…. Dengan metode menentukan barisan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari barisan tersebut.

3. Metode berulang untuk menentukan suatu barisan adalah dengan menentukan aturan yang memungkinkan Anda menghitung N-Anggota barisan jika anggota sebelumnya diketahui. Nama metode berulang berasal dari kata latin berulang- kembali. Paling sering, dalam kasus seperti itu, rumus ditunjukkan yang memungkinkan seseorang untuk berekspresi N anggota barisan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1-2 anggota awal barisan.

Contoh 1. kamu 1 = 3; kamu n = kamu n–1 + 4 jika N = 2, 3, 4,….

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

Anda dapat melihat bahwa barisan yang diperoleh dalam contoh ini juga dapat ditentukan secara analitis: kamu n= 4N - 1.

Contoh 2. kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu n = kamu n –2 + kamu n–1 jika N = 3, 4,….

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Barisan dalam contoh ini khususnya dipelajari dalam matematika karena mempunyai sejumlah sifat dan penerapan yang menarik. Deret ini disebut deret Fibonacci, diambil dari nama ahli matematika Italia abad ke-13. Sangat mudah untuk mendefinisikan deret Fibonacci secara berulang, namun sangat sulit secara analitis. N Angka Fibonacci ke-th dinyatakan melalui nomor urutnya dengan rumus berikut.

Sekilas rumus untuk N bilangan Fibonacci ke-th tampaknya tidak masuk akal, karena hanya ada rumus yang menentukan barisan bilangan asli akar kuadrat, tetapi Anda dapat memeriksa validitas rumus ini secara “manual” untuk beberapa rumus pertama N.

Sifat-sifat barisan bilangan.

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, oleh karena itu sejumlah sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk barisan.

Definisi . Selanjutnya ( kamu n} disebut meningkat jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih besar dari suku sebelumnya:

kamu 1 kamu 2 kamu 3 kamu n kamu n +1

Definisi.Urutan ( kamu n} disebut menurun jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya:

kamu 1 > kamu 2 > kamu 3 > … > kamu n> kamu n +1 > … .

Barisan naik dan turun digabungkan dalam istilah umum - barisan monotonik.

Contoh 1. kamu 1 = 1; kamu n= N 2 – urutan meningkat.

Jadi, teorema berikut ini benar (sifat karakteristik barisan aritmatika). Suatu barisan bilangan dikatakan aritmatika jika dan hanya jika setiap sukunya kecuali suku pertama (dan suku terakhir). urutan terbatas), sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya.

Contoh. Berapa nilainya X nomor 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 membentuk barisan aritmatika berhingga?

Menurut sifat karakteristiknya, ekspresi yang diberikan harus memenuhi relasinya

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Memecahkan persamaan ini memberi X= –5,5. Pada nilai ini X ekspresi yang diberikan 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 masing-masing mengambil nilai –14,5, –31,5, –48,5. Ini - perkembangan aritmatika, selisihnya adalah –17.

Kemajuan geometris.

Suatu barisan bilangan yang semua sukunya bukan nol dan masing-masing sukunya, dimulai dari suku kedua, diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikannya dengan bilangan yang sama. Q, disebut barisan geometri, dan bilangan Q- penyebut suatu barisan geometri.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan ( bn), didefinisikan secara rekursif oleh relasi

B 1 = B, bn = bn –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B Dan Q - nomor yang diberikan, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... – barisan geometri bertambah B = 2, Q = 3.

Contoh 2. 2, –2, 2, –2, … – perkembangan geometri B= 2,Q= –1.

Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … – perkembangan geometri B= 8, Q= 1.

Barisan geometri adalah barisan menaik jika B 1 > 0, Q> 1, dan menurun jika B 1 > 0, 0 q

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah jika barisan tersebut merupakan barisan geometri, maka barisan persegi juga demikian, yaitu.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, bn 2,... adalah suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan B 1 2 , dan penyebutnya adalah Q 2 .

Rumus N- suku ke-th barisan geometri mempunyai bentuk

bn= B 1 qn– 1 .

Anda dapat memperoleh rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga.

Biarkan perkembangan geometris yang terbatas diberikan

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, bn

membiarkan S n – jumlah anggotanya, yaitu

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +bn.

Hal ini diterima bahwa Q No 1. Untuk menentukan S n teknik buatan digunakan: beberapa transformasi geometris dari ekspresi dilakukan S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + bn –1 + bn)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ bn+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Dengan demikian, S n q= S n +b n q – b 1 dan karena itu

Ini rumusnya dengan umma n suku barisan geometri untuk kasus kapan Q≠ 1.

Pada Q= 1 rumusnya tidak perlu diturunkan secara terpisah; S n= A 1 N.

Perkembangan tersebut disebut geometri karena setiap suku di dalamnya, kecuali suku pertama, sama dengan rata-rata geometri suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Memang sejak itu

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

karena itu, bn 2=bn– 1 bn+ 1 dan teorema berikut ini benar (sifat karakteristik suatu barisan geometri):

suatu barisan bilangan adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali suku pertama (dan suku terakhir dalam barisan berhingga), sama dengan produknya anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Batas konsistensi.

Biarkan ada urutan ( c n} = {1/N}. Barisan ini disebut harmonik, karena setiap sukunya, mulai dari suku kedua, merupakan mean harmonik antara suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Rata-rata angka geometris A Dan B ada nomor

Jika tidak, barisan tersebut disebut divergen.

Berdasarkan definisi ini, misalnya, seseorang dapat membuktikan adanya suatu limit SEBUAH=0 untuk barisan harmonik ( c n} = {1/N). Misalkan ε adalah bilangan positif yang kecil. Perbedaannya dipertimbangkan

Apakah hal seperti itu ada? N itu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /N ? Jika kita menganggapnya sebagai N setiap bilangan asli, melebihi 1/ε , lalu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Membuktikan adanya limit untuk barisan tertentu terkadang sangat sulit. Urutan yang paling sering muncul telah dipelajari dengan baik dan tercantum dalam buku referensi. Ada teorema penting yang memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa suatu barisan tertentu memiliki limit (dan bahkan menghitungnya), berdasarkan barisan yang telah dipelajari.

Teorema 1. Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dibatasi.

Teorema 2. Jika suatu barisan monotonik dan berbatas, maka barisan tersebut mempunyai limit.

Teorema 3. Jika barisan ( sebuah} memiliki batas A, lalu barisan ( Bisa}, {sebuah+c) dan (| sebuah|} mempunyai batasan ca, A +C, |A| sesuai (di sini C– nomor sewenang-wenang).

Teorema 4. Jika barisan ( sebuah} Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B panci + qbn) mempunyai batas hal+ qB.

Teorema 5. Jika barisan ( sebuah) Dan ( bn)memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, maka urutannya ( a n b n) mempunyai batas AB.

Teorema 6. Jika barisan ( sebuah} Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, dan, sebagai tambahan, b n ≠ 0 dan B≠ 0, maka barisan ( sebuah n / b n) mempunyai batas A/B.

Anna Chugainova

2. Tentukan operasi aritmatika yang menghasilkan rata-rata dari dua bilangan ekstrim, dan sebagai ganti tanda *, masukkan bilangan yang hilang: ,3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0, 8

3. Siswa menyelesaikan tugas yang mengharuskan mereka menemukan bilangan yang hilang. Mereka mendapat jawaban berbeda. Temukan aturan yang digunakan orang-orang untuk mengisi sel. Jawaban Tugas 1 Jawaban

Definisi barisan numerik Mereka mengatakan bahwa barisan numerik diberikan jika, menurut hukum tertentu, setiap bilangan asli (bilangan tempat) secara unik dikaitkan dengan bilangan tertentu (anggota barisan). DI DALAM pandangan umum korespondensi yang ditunjukkan dapat digambarkan sebagai berikut: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., yn, ... ... n ... Bilangan n adalah suku ke-n barisan tersebut . Keseluruhan barisan biasanya dilambangkan (y n).

Metode analitik dalam menentukan barisan numerik Suatu barisan ditentukan secara analitis jika rumus suku ke-n ditentukan. Misalnya, 1) yn= n 2 – tugas analisis barisan 1, 4, 9, 16, … 2) yn= С – barisan konstan (stasioner) 2) yn= 2 n – tugas analisis barisan 2, 4 , 8, 16, ... Selesaikan 585

Metode berulang untuk menentukan barisan numerik Metode berulang untuk menentukan barisan adalah dengan menunjukkan aturan yang memungkinkan Anda menghitung suku ke-n jika anggota sebelumnya diketahui 1) perkembangan aritmatika diberikan oleh hubungan berulang a 1 =a, a n +1 =an + d 2 ) barisan geometri – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Pengikat 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Dibatasi dari atas Suatu barisan (y n) dikatakan dibatasi dari atas jika semua sukunya tidak lebih besar dari suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, barisan (y n) berbatas atas jika terdapat bilangan M sehingga untuk sembarang n pertidaksamaan y n M berlaku M adalah batas atas barisan tersebut. Misalnya, -1, -4, -9, - 16, ..., -n 2, ...

Dibatasi dari bawah Suatu barisan (y n) disebut dibatasi dari bawah jika semua sukunya tidak kurang dari suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, barisan (y n) dibatasi dari atas jika terdapat bilangan m sedemikian rupa sehingga untuk sembarang n terdapat pertidaksamaan y n m. m – batas bawah barisan Misalnya, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Keterbatasan suatu barisan Suatu barisan (y n) disebut berbatas jika dapat ditentukan dua bilangan A dan B yang di antara semua anggota barisan itu terletak. Pertidaksamaan Ay n B A adalah batas bawah, B adalah batas atas. Misalnya 1 adalah batas atas, 0 adalah batas bawah

Barisan menurun Suatu barisan disebut menurun jika setiap sukunya lebih kecil dari suku sebelumnya: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Misalnya, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Misal,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Misal,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Misalnya," title="Deret menurun Suatu barisan dikatakan menurun jika setiap anggotanya lebih kecil dari barisan sebelumnya: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > kamu 5 > … > kamu n >...Misalnya,"> title="Barisan menurun Suatu barisan disebut menurun jika setiap sukunya lebih kecil dari suku sebelumnya: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Misalnya,"> !} 23

Uji kerja Opsi 1Opsi 2 1. Barisan bilangan diberikan oleh rumus a) Hitung empat suku pertama barisan ini b) Apakah suatu bilangan termasuk anggota barisan tersebut? b) Apakah bilangan 12,25 termasuk anggota barisan tersebut? 2. Buatlah rumus suku ke-th barisan 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Dalam pelajaran ini kita akan mulai mempelajari perkembangan. Disini kita akan mengenal barisan angka dan cara mengaturnya.

Pertama, mari kita mengingat kembali definisi dan properti fungsi argumen numerik dan mempertimbangkan kasus khusus suatu fungsi ketika x termasuk dalam himpunan bilangan asli. Mari kita definisikan barisan bilangan dan berikan beberapa contoh. Kami akan menunjukkan cara analitis untuk menentukan suatu barisan melalui rumus suku ke-nnya dan mempertimbangkan beberapa contoh menentukan dan menentukan barisan tersebut. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan tugas urutan verbal dan berulang.

Topik: Kemajuan

Pelajaran: Urutan angka dan cara mengaturnya

1. Pengulangan

Urutan nomor, seperti yang akan kita lihat, ini adalah kasus khusus dari suatu fungsi, jadi mari kita ingat definisi suatu fungsi.

Fungsi adalah hukum yang menyatakan bahwa setiap nilai argumen yang valid dikaitkan dengan satu nilai fungsi.

Berikut adalah contoh fungsi yang diketahui.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Semua nilai valid kecuali 0. Grafik fungsi ini adalah hiperbola (lihat Gambar 1).

2.. Semua nilai diperbolehkan, .

Beras. 2. Grafik suatu fungsi

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola, titik-titik karakteristik juga ditandai (lihat Gambar 2).

3..

Beras. 3. Grafik suatu fungsi

Semua nilai x valid. Grafik fungsi linier berupa garis lurus (lihat Gambar 3).

2. Menentukan barisan bilangan

Jika x hanya mengambil nilai natural (), maka kita mempunyai kasus khusus yaitu barisan numerik.

Ingatlah bahwa bilangan asli adalah 1, 2, 3,…, n, …

Fungsi , di mana , disebut fungsi argumen natural, atau barisan numerik, dan dilambangkan sebagai berikut: atau , atau .

Mari kita jelaskan apa, misalnya, arti entri tersebut.

Ini adalah nilai fungsi ketika n=1, yaitu.

Ini adalah nilai fungsi ketika n=2, yaitu dst...

Ini adalah nilai fungsi ketika argumennya adalah n, yaitu.

3. Contoh barisan

1. adalah rumus istilah umum. Kami mengatur arti yang berbeda n, kita memperoleh nilai suku y barisan yang berbeda.

Ketika n=1; , ketika n=2, dst., .

Bilangan-bilangan tersebut adalah anggota suatu barisan tertentu, dan titik-titiknya terletak pada hiperbola - grafik fungsi (lihat Gambar 4).

Beras. 4. Grafik fungsi

Jika n=1, maka ; jika n=2, maka ; jika n=3, maka dst.

Bilangan-bilangan tersebut merupakan anggota suatu barisan tertentu, dan titik-titiknya terletak pada parabola - grafik fungsi (lihat Gambar 5).

Beras. 5. Grafik suatu fungsi

Beras. 6. Grafik suatu fungsi

Jika n=1, maka ; jika n=2 maka ; jika n=3 maka dll.

Angka adalah anggota barisan tertentu, dan titik-titiknya terletak pada garis lurus - grafik fungsi (lihat Gambar 6).

4. Metode analitis dalam mengkonkretkan barisan

Ada tiga cara untuk mendefinisikan urutan: analitis, verbal, dan berulang. Mari kita lihat masing-masing secara detail.

Suatu barisan dinyatakan secara analitis jika rumus suku ke-nnya ditentukan.

Mari kita lihat beberapa contoh.

1. Temukan beberapa suku barisan, yang diberikan oleh rumus suku ke-n: (metode analitik untuk menentukan barisan).

Larutan. Jika n=1, maka ; jika n=2, maka ; jika n=3 maka dll.

Untuk barisan tertentu, kita mencari dan .

2. Perhatikan barisan yang diberikan oleh rumus suku ke-n: (metode analitis untuk menentukan barisan tersebut).

Mari kita cari beberapa suku barisan ini.

Jika n=1, maka ; jika n=2 maka ; jika n=3 maka dll.

Secara umum tidak sulit untuk memahami bahwa anggota barisan ini adalah bilangan-bilangan yang bila dibagi 4 akan menyisakan sisa 1.

A. Untuk barisan tertentu, carilah .

Larutan: . Menjawab: .

B. Diberikan dua bilangan: 821, 1282. Apakah bilangan-bilangan tersebut termasuk dalam barisan tertentu?

Agar bilangan 821 menjadi anggota barisan tersebut, persamaan harus dipenuhi: atau . Persamaan terakhir adalah persamaan untuk n. Jika penyelesaian persamaan ini adalah bilangan asli, maka jawabannya adalah ya.

Dalam hal ini memang benar. .

Jawaban: ya, 821 adalah anggota barisan tertentu, .

Mari kita beralih ke nomor kedua. Alasan serupa mengarahkan kita untuk memecahkan persamaan: .

Jawaban: Karena n bukan bilangan asli, maka 1282 bukan anggota barisan tertentu.

Rumus yang mendefinisikan suatu barisan secara analitis bisa sangat berbeda: sederhana, kompleks, dll. Hanya ada satu persyaratan untuk rumus tersebut: setiap nilai n harus sesuai dengan satu bilangan.

3. Diberikan: barisan tersebut diberikan dengan rumus berikut.

Temukan tiga suku pertama barisan tersebut.

, , .

Menjawab: , , .

4. Apakah bilangan termasuk dalam barisan?

A. , yaitu. Memecahkan persamaan ini, kami menemukan bahwa . Ini adalah bilangan asli.

Jawaban: bilangan yang diberikan pertama merupakan anggota barisan ini, yaitu anggota kelima.

B. , yaitu. Memecahkan persamaan ini, kita menemukan bahwa . Ini adalah bilangan asli.

Jawaban: bilangan kedua yang diberikan juga merupakan anggota barisan ini, yaitu anggotanya yang kesembilan puluh sembilan.

5. Metode verbal untuk menentukan suatu urutan

Kami melihat cara analitis untuk menentukan urutan numerik. Memang nyaman, umum, tetapi bukan satu-satunya.

Metode selanjutnya adalah tugas urutan verbal.

Urutannya, masing-masing anggotanya, kemungkinan menghitung masing-masing anggotanya dapat dinyatakan dengan kata-kata, tidak harus dengan rumus.

Contoh 1. Barisan bilangan prima.

Ingatlah bahwa bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua pembagi berbeda: 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dst.

Jumlahnya tak terhitung jumlahnya. Euclid juga membuktikan bahwa barisan bilangan-bilangan tersebut tidak terhingga, yaitu tidak ada bilangan prima terbesar. Urutannya diberikan, setiap suku bisa dihitung, membosankan, tapi bisa dihitung. Urutan ini diberikan secara lisan. Sayangnya rumus tersebut tidak dapat ditemukan.

Contoh 2. Misalkan bilangan =1.41421…

Ini adalah bilangan irasional; notasi desimalnya menghasilkan jumlah digit yang tidak terbatas. Perhatikan barisan perkiraan desimal suatu bilangan menurut kerugiannya: 1; 1.4; 1,41; 1.414; 1,4142; dll.

Anggota barisan ini jumlahnya tak terhingga, masing-masing dapat dihitung. Tidak mungkin mendefinisikan urutan ini dengan rumus, jadi kami menjelaskannya secara lisan.

6. Metode berulang untuk menentukan suatu urutan

Kami melihat dua cara untuk menentukan urutan nomor:

1. Metode analitik, bila rumus suku ke-n ditentukan.

2. Tugas urutan verbal.

Dan terakhir, terdapat penetapan barisan berulang, ketika aturan untuk menghitung suku ke-n berdasarkan suku sebelumnya ditentukan.

Mari kita pertimbangkan

Contoh 1. Deret Fibonacci (abad ke-13).

Informasi sejarah:

Leonardo dari Pisa (sekitar tahun 1170, Pisa - sekitar tahun 1250) adalah ahli matematika besar pertama di Eropa abad pertengahan. Ia paling dikenal dengan julukan Fibonacci.

Dia menguraikan sebagian besar pengetahuan yang diperolehnya dalam “Kitab Sempoa” yang luar biasa (Liber abaci, 1202; hanya manuskrip tambahan tahun 1228 yang bertahan hingga hari ini). Buku ini memuat hampir semua informasi aritmatika dan aljabar pada masa itu, disajikan dengan kelengkapan dan kedalaman yang luar biasa. “Kitab Sempoa” naik tajam di atas literatur aritmatika-aljabar Eropa abad ke-12-14. variasi dan kekuatan metode, kekayaan tugas, bukti presentasi. Para matematikawan selanjutnya banyak mengambil manfaat dari masalah dan metode penyelesaiannya. Berdasarkan buku pertama, banyak generasi matematikawan Eropa mempelajari matematika India. sistem posisi Perhitungan.

Dua suku pertama ditentukan dan setiap suku berikutnya merupakan jumlah dari dua suku sebelumnya

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ... - beberapa suku pertama deret Fibonacci.

Urutan ini diberikan secara berulang, istilah ke-n tergantung pada dua sebelumnya.

Contoh 2.

Pada barisan ini, tiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya sebanyak 2. Barisan ini disebut barisan aritmatika.

Angka 1, 3, 5, 7... adalah beberapa suku pertama barisan ini.

Mari kita berikan contoh lain dari penetapan urutan berulang.

Contoh 3.

Urutannya diberikan sebagai berikut:

Setiap suku berikutnya pada barisan ini diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan yang sama q. Barisan ini memiliki nama khusus - barisan geometri. Perkembangan aritmatika dan geometri akan menjadi objek pembelajaran kita pada pembelajaran berikut.

Mari kita cari beberapa suku barisan tertentu untuk b=2 dan q=3.

Nomor 2; 6; 18; 54; 162 ... adalah beberapa suku pertama barisan ini.

Menariknya, barisan ini juga dapat ditentukan secara analitis, yaitu Anda dapat memilih rumus. Dalam hal ini rumusnya adalah sebagai berikut.

Memang: jika n=1, maka ; jika n=2, maka ; jika n=3 maka dll.

Jadi, kami nyatakan: barisan yang sama dapat ditentukan baik secara analitis maupun berulang.

7. Ringkasan pelajaran

Jadi, kita melihat apa itu barisan bilangan dan bagaimana cara mengaturnya.

Pada pelajaran selanjutnya kita akan mengenal sifat-sifat barisan bilangan.

1. Makarychev Yu.N. dkk. Aljabar kelas 9 (buku teks untuk sekolah menengah).

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N.G., Neshkov, K. I. Aljabar untuk kelas 9 dengan lanjutan. dipelajari Matematika.-M.: Mnemosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Bab tambahan untuk buku teks sekolah aljabar kelas 9. - M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L. I. Kumpulan soal aljabar untuk kelas 8-9 ( panduan pelatihan untuk siswa sekolah dan kelas lanjutan. dipelajari matematika).-M.: Pendidikan, 1996.

5. Mordkovich A.G. Aljabar kelas 9, buku teks untuk lembaga pendidikan umum. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A.G., Mishutina T.N., Tulchinskaya E. E. Aljabar kelas 9, buku soal untuk lembaga pendidikan. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G.I.Sejarah matematika di sekolah. Kelas 7-8 (buku pedoman guru).

1. Bagian perguruan tinggi. ru dalam matematika.

2. Portal Ilmu Pengetahuan Alam.

3. Eksponen. ru Situs matematika pendidikan.

1. No.331, 335, 338 (Makarychev Yu.N. dkk. Aljabar kelas 9).

2. No.12.4 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Kumpulan soal aljabar untuk kelas 8-9).

Pelajaran No.32 ALJABAR	Guru matematika, kategori pertama Olga Viktorovna Gaun. Wilayah Kazakhstan Timur Distrik Glubokovsky KSU "Cheremshanskaya" sekolah menengah atas»
Subjek: Urutan nomor dan metode untuk menentukannya
Maksud dan tujuan utama pelajaran	Pendidikan: Menjelaskan kepada siswa pengertian konsep “barisan”, “anggota barisan ke-n”; memperkenalkan metode pengaturan urutan. Pembangunan I: pengembangan keterampilan berpikir logis; pengembangan keterampilan komputasi; pengembangan budaya tutur lisan, pengembangan komunikasi dan kerjasama.Pendidikan : pendidikan observasi, penanaman kecintaan dan minat terhadap mata pelajaran.
Hasil yang diharapkan dari penguasaan topik	Selama pembelajaran, mereka akan memperoleh pengetahuan baru tentang barisan bilangan dan cara menetapkannya. Mereka akan belajar menemukan solusi yang tepat, membuat algoritma solusi dan menggunakannya saat memecahkan masalah. Melalui penelitian, beberapa khasiatnya akan ditemukan. Semua pekerjaan disertai dengan slide. Pemanfaatan TIK akan memungkinkan terselenggaranya pembelajaran yang hidup, menyelesaikan banyak pekerjaan, dan anak-anak akan mampu menyelesaikannya minat yang tulus dan persepsi emosional. Siswa berbakat akan memberikan presentasi tentang bilangan Fibonacci dan rasio emas. Kegiatan pendidikan universal yang tujuan pembentukannya proses pendidikan: kemampuan bekerja berpasangan, berkembang berpikir logis, kemampuan menganalisis, meneliti, menarik kesimpulan, mempertahankan sudut pandang. Ajarkan keterampilan komunikasi dan kolaborasi. Penggunaan teknologi ini memberikan kontribusi terhadap perkembangan siswa metode universal aktivitas, pengalaman kreatif, kompetensi, keterampilan komunikasi.
Ide Kunci Pelajaran	Pendekatan baru dalam pengajaran dan pembelajaran Pelatihan dialog Belajar bagaimana belajar Mengajar Berpikir Kritis Pendidikan anak berbakat dan berbakat
Jenis pelajaran	Mempelajari topik baru
Metode pengajaran	Visual (presentasi), verbal (percakapan, penjelasan, dialog), praktis.
Bentuk organisasi kegiatan pendidikan mempelajari	frontal; ruang uap; individu.

KEMAJUAN PELAJARAN

Momen organisasi

(Menyambut siswa, mengidentifikasi siswa yang absen, memeriksa kesiapan siswa mengikuti pelajaran, mengatur perhatian).

Motivasi pelajaran.

“Angka menguasai dunia,” kata para ilmuwan Yunani kuno. “Semuanya adalah angka.” Menurut mereka pandangan dunia filosofis, angka tidak hanya mengontrol ukuran dan berat, tetapi juga fenomena yang terjadi di alam, dan merupakan inti dari keharmonisan yang berkuasa di dunia. Hari ini di kelas kita akan terus bekerja dengan angka.

Pengenalan topik, mempelajari materi baru.

Mari kita uji kemampuan logika Anda. Saya menyebutkan beberapa kata, dan Anda harus melanjutkan:

–Senin, Selasa,…..

– Januari, Februari, Maret...;

– Aliev, Gordeeva, Gribacheva... (daftar kelas);

–10,11,12,…99;

Kesimpulan: Ini adalah urutan, yaitu serangkaian angka atau konsep yang terurut, ketika setiap angka atau konsep berdiri kokoh pada tempatnya. Jadi topik pelajarannya adalah konsistensi.

Hari ini kita akan melakukannyamembahas tentang jenis dan komponen barisan bilangan, serta cara penetapannya.Urutannya akan kita nyatakan sebagai berikut: (аn), (bn), (сn), dst.

Dan sekarang saya menawarkan Anda tugas pertama: di depan Anda ada beberapa barisan numerik dan deskripsi verbal dari barisan tersebut. Anda perlu menemukan pola setiap baris dan menghubungkannya dengan deskripsinya. (tunjukkan dengan panah)(Saling memeriksa)

Seri yang telah kami pertimbangkan adalah contohnyaurutan angka .

Unsur-unsur yang membentuk suatu barisan disebutanggota barisan Dandipanggil berturut-turut pertama, kedua, ketiga,...N- anggota numerik dari urutan. Anggota barisan tersebut ditetapkan sebagai berikut:A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; … A N ; Di mana N - nomor , di mana nomor tertentu berada dalam urutan.
Urutan berikut direkam di layar:
( Dengan menggunakan barisan yang terdaftar, bentuk notasi anggota barisan a dikerjakan N , dan konsep istilah sebelumnya dan selanjutnya ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Nama a 1 untuk setiap urutan, dan 3 dll. Bisakah Anda melanjutkan setiap baris ini? Apa yang perlu Anda ketahui untuk ini?

Mari kita lihat beberapa konsep lagi sepertiberikutnya dan sebelumnya .

(misalnya, untuk a 5…, dan untuk a N ?) - rekaman di slideA N +1, A N -1

Jenis urutan
( Dengan menggunakan urutan yang tercantum di atas, keterampilan mengidentifikasi jenis urutan dikembangkan. )
1) Meningkat - jika setiap suku lebih kecil dari suku berikutnya, mis.A N < A N +1.
2) Menurun – jika setiap suku lebih besar dari suku berikutnya, yaitu.A N > A N +1 .
3) Tak terbatas
4) Terakhir
5) Bergantian
6) Konstan (stasioner)

Cobalah untuk mendefinisikansetiap spesies dan mengkarakterisasi setiap urutan yang diusulkan.

tugas lisan

Nama dalam urutan 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) suku a 1 ; A 4 ; A 10 ; A N ;

Apakah barisan bilangan empat angka berhingga? (Ya)

Sebutkan anggota pertama dan terakhirnya. (Jawaban: 1000; 9999)

Merupakan urutan penulisan angka 2; 4; 7; 1; -21; -15; ...? (tidak, karena tidak mungkin mendeteksi pola apa pun dari enam suku pertama)

Jeda fisik (juga terkait dengan topik pelajaran hari ini: langit berbintang, planet-planet tata surya... apa hubungannya?)

Metode untuk menentukan urutan
1) verbal – menetapkan urutan berdasarkan deskripsi;
2) analitis - rumusN -anggota;
3) grafik – menggunakan grafik;
4) berulang - setiap anggota barisan, mulai dari titik tertentu, dinyatakan dalam suku sebelumnya
Hari ini dalam pelajaran kita akan melihat dua metode pertama. Jadi,lisan jalan. Mungkin salah satu dari Anda akan mencoba mengatur beberapa urutan?

(Misalnya:Buatlah barisan bilangan asli ganjil . Jelaskan urutan ini: meningkat, tak terbatas)
Analitis metode: menggunakan rumus suku ke-n barisan tersebut.

Rumus suku umum memungkinkan Anda menghitung suku suatu barisan dengan bilangan tertentu. Misalnya, jika x N =3n+2, maka

X 1 =3*1+2=5;

X 2 =3*2+2=8

X 5 =3 . 5+2=17;

X 45 =3 . 45+2=137, dst. Lalu apa keuntungannyaanalitis jauh sebelumnyalisan ?

Dan saya menawarkan Anda tugas berikut: rumus untuk menentukan barisan tertentu dan barisan itu sendiri yang dibentuk menurut rumus ini diberikan. Urutan ini kehilangan beberapa istilah. Tugas Andabekerja berpasangan , isi bagian yang kosong.

Tes mandiri (jawaban yang benar muncul di slide)

Pertunjukan proyek kreatif"Angka Fibonacci" (tugas sebelumnya )

Hari ini kita akan berkenalan dengan urutan terkenal:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Slide) Setiap bilangan, mulai dari bilangan ketiga, sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya. Deret bilangan asli yang memiliki nama sejarah tersendiri - deret Fibonacci ini memiliki logika dan keindahan tersendiri. Leonardo Fibonacci (1180-1240). Matematikawan Italia terkemuka, penulis The Book of Abacus. Buku ini tetap menjadi gudang utama informasi tentang aritmatika dan aljabar selama beberapa abad. Melalui karya-karya L. Fibonacci-lah seluruh Eropa dikuasai Angka Arab, sistem penghitungan, serta geometri praktis. Mereka tetap menjadi buku teks desktop hampir sampai era Descartes (dan ini sudah abad ke-17!).

Menonton video.

Anda mungkin belum begitu paham apa hubungan antara spiral dan deret Fibonacci. Jadi saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana hasilnya .

Jika kita membangun dua persegi yang berdampingan dengan sisi 1, maka pada sisi yang lebih besar sama dengan 2 yang lain, kemudian pada sisi yang lebih besar sama dengan 3 persegi lainnya ad infinitum... Kemudian di setiap persegi, dimulai dari yang lebih kecil, kita membangun seperempat busur, kita akan mendapatkan spiral yang kita bicarakan di film.

Faktanya, penerapan praktis dari pengetahuan yang diperoleh dalam pelajaran ini kehidupan nyata cukup besar. Sebelum Anda menghadapi beberapa tugas dari berbagai bidang ilmu.

(Pekerjaan individu)

Tugas 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Tugas 2.

(Jawaban siswa ditulis di papan tulis: 500, 530, 560, 590, 620).

Tugas 3.

Tugas 4. Setiap harinya, setiap penderita flu dapat menulari 4 orang di sekitarnya. Dalam berapa hari seluruh siswa di sekolah kita (300 orang) akan sakit? (Setelah 4 hari).

Masalah 5 . Berapa banyak bakteri kolera ayam yang akan muncul dalam 10 jam jika satu bakteri membelah menjadi dua setiap jam?
Masalah 6 . Dengan baik pemandian udara mulailah dengan 15 menit pada hari pertama dan tambah waktu prosedur ini pada setiap hari berikutnya sebanyak 10 menit. Berapa hari yang harus Anda ambil pemandian udara dalam mode yang ditentukan untuk mencapai durasi maksimum 1 jam 45 menit? ( 10)

Masalah 7 . Pada jatuh bebas benda bergerak 4,8 m pada detik pertama, dan 9,8 m lebih pada setiap detik berikutnya. Tentukan kedalaman poros jika benda yang jatuh bebas mencapai dasarnya 5 s setelah mulai jatuh.

Masalah 8 . Warga K. meninggalkan surat wasiat. Dia membelanjakan $1.000 di bulan pertama, dan setiap bulan berikutnya dia membelanjakan $500 lebih banyak. Berapa uang yang diwariskan kepada warga K. jika cukup untuk 1 tahun hidup nyaman? (45000)

Mempelajari topik-topik berikut dalam bab “Kemajuan” ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah tersebut dengan cepat dan tanpa kesalahan.

Pekerjaan rumah: halaman 66 No.151, 156, 157

tugas kreatif: pesan tentang segitiga Pascal

Kesimpulannya. Cerminan. (penilaian “peningkatan” pengetahuan dan pencapaian tujuan)

Apa tujuan pelajaran hari ini?

Apakah tujuannya telah tercapai?

Lanjutkan pernyataannya

Saya tidak tahu...

Sekarang aku tahu...

Soal penerapan praktis sifat-sifat barisan (progresi)

Tugas 1. Lanjutkan urutan angkanya:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Tugas 2. Ada 500 ton batubara di gudang, setiap hari dikirim 30 ton. Berapa banyak batubara yang ada di gudang dalam 1 hari? hari ke 2? hari ke 3? hari ke 4? hari ke 5?

Tugas 3. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 1 m/s, berubah kecepatannya sebesar 0,6 m/s pada setiap sekon berikutnya. Berapa kecepatannya setelah 10 detik?

Masalah 4 . Setiap harinya, setiap penderita flu dapat menulari 4 orang di sekitarnya. Dalam berapa hari seluruh siswa di sekolah kita (300 orang) akan sakit?

Tugas 5. Berapa banyak bakteri kolera ayam yang akan muncul dalam 10 jam jika satu bakteri membelah menjadi dua setiap jam?

Tugas 6. Kursus pemandian udara dimulai dengan 15 menit pada hari pertama dan menambah waktu prosedur ini pada setiap hari berikutnya sebanyak 10 menit. Berapa hari Anda harus mandi udara dalam mode yang ditunjukkan untuk mencapai durasi maksimum 1 jam 45 menit?

Tugas 7. Pada saat jatuh bebas, sebuah benda bergerak sejauh 4,8 m pada detik pertama, dan bertambah 9,8 m pada detik berikutnya. Tentukan kedalaman poros jika benda yang jatuh bebas mencapai dasarnya 5 s setelah mulai jatuh.

Tugas 8. Warga K. meninggalkan surat wasiat. Dia membelanjakan $1.000 pada bulan pertama, dan setiap bulan berikutnya dia membelanjakan $500 lebih banyak. Berapa uang yang diwariskan kepada warga K. jika cukup untuk 1 tahun hidup nyaman?

Misalnya saja untuk fungsinya kamu= N 2 dapat ditulis:

kamu 1 = 1 2 = 1;

kamu 2 = 2 2 = 4;

kamu 3 = 3 2 = 9;…kamu n = n 2 ;…

Metode untuk menentukan urutan. Urutan dapat dispesifikasikan dengan berbagai cara, tiga di antaranya sangat penting: analitis, deskriptif, dan berulang.

1. Suatu barisan diberikan secara analitis jika rumusnya diberikan N anggota ke:

kamu n=F(N).

Contoh. kamu n= 2N - 1 – barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Deskriptif Cara menentukan suatu barisan numerik adalah dengan menjelaskan dari elemen mana barisan tersebut dibangun.

Contoh 1. “Semua suku barisan tersebut sama dengan 1.” Artinya kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1,…, 1,….

Contoh 2: “Deret tersebut terdiri dari semua bilangan prima yang berurutan menaik.” Jadi barisan yang diberikan adalah 2, 3, 5, 7, 11,…. Dengan metode menentukan barisan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari barisan tersebut.

Contoh 1. kamu 1 = 3; kamu n = kamu n–1 + 4 jika N = 2, 3, 4,….

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

Anda dapat melihat bahwa barisan yang diperoleh dalam contoh ini juga dapat ditentukan secara analitis: kamu n= 4N - 1.

Contoh 2. kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu n = kamu n –2 + kamu n–1 jika N = 3, 4,….

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Sekilas rumus untuk N Angka Fibonacci tampaknya tidak masuk akal, karena rumus yang menentukan barisan bilangan asli hanya berisi akar kuadrat, tetapi Anda dapat memeriksa validitas rumus ini secara “manual” untuk beberapa bilangan pertama. N.

Sifat-sifat barisan bilangan.

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, oleh karena itu sejumlah sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk barisan.

Definisi . Selanjutnya ( kamu n} disebut meningkat jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih besar dari suku sebelumnya:

kamu 1 kamu 2 kamu 3 kamu n kamu n +1

Definisi.Urutan ( kamu n} disebut menurun jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya:

kamu 1 > kamu 2 > kamu 3 > … > kamu n> kamu n +1 > … .

Barisan naik dan turun digabungkan dalam istilah umum - barisan monotonik.

Contoh 1. kamu 1 = 1; kamu n= N 2 – urutan meningkat.

Jadi, teorema berikut ini benar (sifat karakteristik barisan aritmatika). Suatu barisan bilangan dikatakan aritmatika jika dan hanya jika masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kasus barisan berhingga), sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan berikutnya.

Contoh. Berapa nilainya X nomor 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 membentuk barisan aritmatika berhingga?

Menurut sifat karakteristiknya, ekspresi yang diberikan harus memenuhi relasinya

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Memecahkan persamaan ini memberi X= –5,5. Pada nilai ini X ekspresi yang diberikan 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 masing-masing mengambil nilai –14,5, –31,5, –48,5. Ini adalah barisan aritmatika, selisihnya –17.

Kemajuan geometris.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan ( bn), didefinisikan secara rekursif oleh relasi

B 1 = B, bn = bn –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B Dan Q - nomor yang diberikan, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... – barisan geometri bertambah B = 2, Q = 3.

Contoh 2. 2, –2, 2, –2, … – perkembangan geometri B= 2,Q= –1.

Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … – perkembangan geometri B= 8, Q= 1.

Barisan geometri adalah barisan menaik jika B 1 > 0, Q> 1, dan menurun jika B 1 > 0, 0 q

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah jika barisan tersebut merupakan barisan geometri, maka barisan persegi juga demikian, yaitu.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, bn 2,... adalah suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan B 1 2 , dan penyebutnya adalah Q 2 .

Rumus N- suku ke-th barisan geometri mempunyai bentuk

bn= B 1 qn– 1 .

Anda dapat memperoleh rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga.

Biarkan perkembangan geometris yang terbatas diberikan

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, bn

membiarkan S n – jumlah anggotanya, yaitu

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +bn.

Hal ini diterima bahwa Q No 1. Untuk menentukan S n teknik buatan digunakan: beberapa transformasi geometris dari ekspresi dilakukan S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + bn –1 + bn)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ bn+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Dengan demikian, S n q= S n +b n q – b 1 dan karena itu

Ini rumusnya dengan umma n suku barisan geometri untuk kasus kapan Q≠ 1.

Pada Q= 1 rumusnya tidak perlu diturunkan secara terpisah; S n= A 1 N.

Perkembangan tersebut disebut geometri karena setiap suku di dalamnya, kecuali suku pertama, sama dengan rata-rata geometri suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Memang sejak itu

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

karena itu, bn 2=bn– 1 bn+ 1 dan teorema berikut ini benar (sifat karakteristik suatu barisan geometri):

suatu barisan bilangan disebut barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat setiap sukunya, kecuali suku pertama (dan suku terakhir dalam barisan berhingga), sama dengan hasil kali suku-suku sebelumnya dan suku-suku selanjutnya.

Batas konsistensi.

Jika tidak, barisan tersebut disebut divergen.

Apakah hal seperti itu ada? N itu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /N ? Jika kita menganggapnya sebagai N bilangan asli apa pun yang lebih besar dari 1/ε , lalu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Teorema 1. Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dibatasi.

Teorema 2. Jika suatu barisan monotonik dan berbatas, maka barisan tersebut mempunyai limit.

Teorema 3. Jika barisan ( sebuah} memiliki batas A, lalu barisan ( Bisa}, {sebuah+c) dan (| sebuah|} mempunyai batasan ca, A +C, |A| sesuai (di sini C– nomor sewenang-wenang).

Teorema 4. Jika barisan ( sebuah} Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B panci + qbn) mempunyai batas hal+ qB.

Teorema 5. Jika barisan ( sebuah) Dan ( bn)memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, maka urutannya ( a n b n) mempunyai batas AB.

Teorema 6. Jika barisan ( sebuah} Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, dan, sebagai tambahan, b n ≠ 0 dan B≠ 0, maka barisan ( sebuah n / b n) mempunyai batas A/B.

Anna Chugainova

Anda mungkin tertarik dengan materi berikut