Apa itu variabel? Besaran variabel dalam matematika. Variabel dan konstanta

Variabel dan konstanta

besaran yang diambil dalam soal yang sedang dipelajari arti yang berbeda atau, karenanya, mempertahankan nilai yang sama. Misalnya, ketika mempelajari jatuhnya suatu benda, jarak benda dari tanah dan kecepatan jatuhnya merupakan besaran yang berubah-ubah, sedangkan percepatannya (jika hambatan udara diabaikan) merupakan besaran yang konstan. Matematika dasar menganggap semua besaran yang dipelajarinya sebagai konstanta. Konsep besaran variabel muncul dalam matematika pada abad ke-17. di bawah pengaruh tuntutan ilmu pengetahuan alam, yang mengedepankan studi tentang proses - gerak, dan bukan hanya keadaan. Konsep ini tidak sesuai dengan bentuk-bentuk yang dikembangkan oleh matematika zaman kuno dan Abad Pertengahan, dan memerlukan bentuk-bentuk baru untuk ekspresinya. Bentuk baru tersebut adalah aljabar huruf dan geometri analitik oleh R. Descartes. Dalam huruf-huruf aljabar Cartesian, yang dapat mengambil nilai numerik sembarang, variabel menemukan ekspresi simbolisnya. “Titik balik dalam matematika adalah variabel Cartesian. Berkat ini, gerak dan dialektika memasuki matematika, dan berkat ini, kalkulus diferensial dan integral segera menjadi penting…” (F. Engels, lihat K. Marx and F. Engels, Soch., 2nd ed., vol. 20, hal.573). Selama periode ini dan hingga pertengahan abad ke-19. Pandangan mekanis terhadap variabel mendominasi. Hal-hal tersebut paling jelas diungkapkan oleh I. Newton, yang menyebut besaran variabel sebagai “lancar”, yaitu arus, dan menganggapnya “... tidak terdiri dari bagian-bagian yang sangat kecil, tetapi seperti yang dijelaskan oleh gerak yang terus menerus” (“Karya Matematika, ” M., 1937, hal.167). Pandangan ini ternyata sangat bermanfaat dan, khususnya, memungkinkan Newton mengambil pendekatan yang benar-benar baru dalam mencari luas bangun lengkung. Newton adalah orang pertama yang mempertimbangkan luas trapesium lengkung ( ABNM pada beras. ) bukan sebagai besaran konstan (dihitung dengan menjumlahkan bagian-bagiannya yang sangat kecil), tetapi sebagai besaran variabel yang dihasilkan oleh pergerakan ordinat kurva ( N.M.); setelah menetapkan bahwa laju perubahan luas yang dipertimbangkan sebanding dengan ordinat N.M. dengan demikian ia mereduksi masalah penghitungan luas menjadi masalah menentukan besaran variabel dari laju perubahannya yang diketahui. , Legalitas memperkenalkan konsep kecepatan ke dalam matematika dibenarkan pada awal abad ke-19. Batasi teori siapa yang memberi definisi yang tepat kecepatan sebagai turunan (Lihat Turunan). Namun, pada abad ke-19. Keterbatasan pandangan variabel yang dijelaskan di atas secara bertahap menjadi jelas. Analisis matematis menjadi semakin berkembang teori umum fungsi, yang tanpanya pengembangannya tidak mungkin dilakukan analisis yang akurat

esensi dan ruang lingkup konsep dasarnya. Ternyata konsep fungsi kontinu sebenarnya jauh lebih kompleks dibandingkan konsep visual yang mendasarinya. Ditemukan fungsi kontinu yang tidak mempunyai turunan di titik mana pun; memahami fungsi akibat gerak adalah dengan mengasumsikan suatu gerak yang tidak memiliki kecepatan pada suatu saat. Studi tentang fungsi diskontinyu, serta fungsi yang didefinisikan pada himpunan struktur yang jauh lebih kompleks daripada interval atau gabungan beberapa interval, menjadi semakin penting. Penafsiran Newton terhadap suatu variabel menjadi tidak memadai dan, dalam banyak kasus, tidak berguna.

Di sisi lain, matematika mulai mempertimbangkan variabel tidak hanya besaran, tetapi juga kelas objek lainnya yang semakin beragam dan luas. Atas dasar ini, pada paruh kedua abad ke-19. dan pada abad ke-20. teori himpunan, topologi dan logika matematika berkembang. Tentang seberapa besar perkembangannya di abad ke-20. Konsep besaran variabel dibuktikan dengan fakta bahwa dalam logika matematika tidak hanya variabel yang berjalan melalui kumpulan objek yang berubah-ubah yang dipertimbangkan, tetapi juga variabel yang nilainya berupa pernyataan, predikat (hubungan antar objek), dan lain-lain. (lihat Variabel). Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: . 1969-1978 .

Ensiklopedia Soviet

Lihat apa itu “Variabel dan konstanta” di kamus lain: Dalam matematika, besaran yang mempunyai nilai berbeda atau mempertahankan nilai yang sama dalam soal yang dipelajari. Perbedaan antara besaran variabel dan besaran tetap adalah relatif: besaran yang tetap dalam suatu benda dapat berubah dalam... Besar

Kamus Ensiklopedis - (matematika), besaran-besaran yang dalam materi yang dipelajari mempunyai nilai yang berbeda-beda atau tetap mempunyai nilai yang sama. Perbedaan antara besaran variabel dan besaran tetap adalah relatif: besaran yang tetap dalam suatu benda dapat berubah dalam... ...

Lihat Konstan, Variabel. Ensiklopedia Filsafat. Dalam 5 jilid M.: Ensiklopedia Soviet. Diedit oleh F.V. 1960 1970 … Ensiklopedia Filsafat

- (matematika), besaran yang pada pokok bahasan dipelajari berbeda-beda. nilai atau mempertahankan nilai yang sama. Perbedaan antara suatu besaran variabel dan besaran tetap adalah relatif: besaran yang tetap pada suatu hal dapat menjadi variabel pada hal lain... Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis

I Bintang variabel P.z. bintang yang kecerahan tampak berfluktuasi. Banyak P.z. adalah bintang yang tidak stasioner; Variabilitas kecerahan bintang-bintang tersebut dikaitkan dengan perubahan suhu dan radiusnya, aliran materi,... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Lihat Variabel dan Konstanta, Konstanta. * * * KUANTITAS KONSTAN KUANTITAS KONSTAN, lihat Besaran variabel dan konstan (lihat VARIABEL DAN KUANTITAS KONSTAN), Konstan (lihat KONSTAN) ... - (matematika), besaran-besaran yang dalam materi yang dipelajari mempunyai nilai yang berbeda-beda atau tetap mempunyai nilai yang sama. Perbedaan antara besaran variabel dan besaran tetap adalah relatif: besaran yang tetap dalam suatu benda dapat berubah dalam... ...

VARIABEL DAN KONSTAN

Sebagai hasil pengukuran besaran fisis(waktu, luas, volume, massa, kecepatan, dll.) nilai numeriknya ditentukan. Matematika berkaitan dengan kuantitas, mengabstraksi dari konten spesifiknya. Berikut ini, ketika berbicara tentang besaran, yang kami maksud adalah nilai numeriknya. Dalam berbagai fenomena, beberapa besaran berubah, sementara besaran lain tetap mempertahankan nilai numeriknya. Misalnya, ketika suatu titik bergerak beraturan, waktu dan jarak berubah, tetapi kecepatannya tetap.

Nilai variabel adalah besaran yang mempunyai nilai numerik berbeda. Besaran yang nilai numeriknya tidak berubah disebut konstan. Besaran variabel akan dilambangkan dengan huruf x, y, z,…, konstan – a,b,c,…

Perhatikan bahwa dalam matematika, nilai konstanta sering dianggap sebagai kasus khusus dari suatu variabel yang semua nilai numeriknya sama.

Ganti wilayah Variabel adalah himpunan semua nilai numerik yang diterimanya. Area perubahan dapat terdiri dari satu atau lebih interval, atau satu titik.

JUMLAH VARIABEL YANG DIPESAN. URUTAN NUMERIK

Kami akan mengatakan bahwa variabel X Ada variabel yang dipesan, jika luas perubahannya diketahui, dan untuk masing-masing dua nilainya, kita dapat menentukan mana nilai sebelumnya dan mana nilai berikutnya.

Kasus khusus besaran variabel terurut adalah besaran variabel yang nilainya terbentuk urutan nomor x 1 ,x 2 ,…,xn ,… Untuk nilai seperti itu di Saya< j, i, j Î N , arti x saya dianggap pendahulunya, dan xj– berikutnya terlepas dari nilai mana yang lebih besar. Jadi, barisan bilangan adalah suatu variabel yang nilai-nilai berturut-turutnya dapat dinomori ulang. Kami akan menyatakan barisan numerik dengan . Nomor-nomor individual dalam suatu barisan disebut nya elemen.

Misalnya barisan bilangan dibentuk oleh besaran-besaran berikut:

FUNGSI

Ketika mempelajari berbagai fenomena alam dan memecahkan masalah teknis, dan akibatnya, dalam matematika, perlu mempertimbangkan perubahan suatu besaran tergantung pada perubahan besaran lainnya. Misalnya, diketahui bahwa luas lingkaran dinyatakan dalam jari-jari dengan rumus S = r 2. Jika radius R mengambil nilai numerik yang berbeda, lalu luasnya S juga mengambil nilai numerik yang berbeda, mis. perubahan pada satu variabel menyebabkan perubahan pada variabel lain.

Jika setiap variabel bernilai X milik suatu area tertentu sesuai dengan satu nilai spesifik dari variabel lain kamu, Itu kamu ditelepon fungsi variabel x. Kami akan menulis secara simbolis kamu=f(x). Dalam hal ini, variabelnya X ditelepon variabel independen atau argumen.

Catatan kamu=C, Di mana C– konstan, menunjukkan fungsi yang nilainya pada nilai berapa pun X satu dan sama dan sederajat C.

Beragam arti X, yang nilai fungsinya dapat ditentukan kamu sesuai aturan f(x), ditelepon domain fungsi.

Kemudian hilangkan dengan menaikkan kedua ruas identitas sama dengan eksponen akar. Untuk contoh yang diberikan di atas, tindakan ini harus dinyatakan dalam transformasi ke bentuk berikut: 36*Y² = X. Terkadang lebih mudah untuk melakukan operasi pada langkah ini sebelum tindakan dari langkah sebelumnya.

Transformasikan ekspresi tersebut sehingga semua suku identitas mengandung yang diinginkan variabel, berakhir di sisi kiri persamaan. Misalnya, jika rumusnya adalah 36*Y-X*Y+5=X dan Anda tertarik pada variabel X, cukup dengan menukar bagian kiri dan kanan identitas. Dan jika Anda perlu menyatakan Y, maka rumus hasil tindakan ini akan berbentuk 36*Y-X*Y=X-5.

Sederhanakan ekspresi di sisi kiri rumus sehingga variabel yang diinginkan menjadi salah satu dari . Misalnya untuk rumus dari langkah sebelumnya bisa dilakukan seperti ini: Y*(36-X)=X-5.

Bagilah ekspresi yang menggunakan kedua tanda sama dengan dengan faktor variabel yang Anda minati. Akibatnya, hanya variabel ini yang harus tetap berada di sisi kiri identitas. Yang digunakan di atas akan terlihat seperti ini setelah langkah ini: Y = (X-5)/(36-X).

Jika variabel yang diinginkan hasil semua transformasi dipangkatkan, maka hilangkan pangkatnya dengan mengekstrak akar dari kedua bagian tersebut. rumus. Misalnya, rumus dari langkah kedua hingga tahap transformasi ini harus berbentuk Y²=X/36. Dan bentuk akhirnya akan seperti ini: Y=√X/6.

Variabel

Indikator utama suatu variabel adalah ditulis dengan huruf. Di bawah simbol paling sering makna tertentu disembunyikan. Variabel mendapatkan namanya karena nilainya berubah bergantung pada persamaan. Biasanya, apa pun dapat digunakan sebagai sebutan untuk elemen tersebut. Misalnya, jika Anda mengetahui bahwa Anda memiliki 5 rubel dan ingin membeli apel seharga 35 kopeck, jumlah terbatas apel yang dapat Anda beli adalah (misalnya, “C”).

Contoh penggunaan

Jika ada variabel yang dipilih sesuai kebijaksanaan Anda, Anda perlu membuat persamaan aljabar. Ini akan menghubungkan kuantitas yang diketahui dan tidak diketahui, dan juga menunjukkan hubungan di antara keduanya. Ekspresi ini akan mencakup angka, variabel, dan satu operasi aljabar. Penting untuk dicatat bahwa ekspresi tersebut akan mengandung tanda sama dengan.

Persamaan lengkap berisi nilai ekspresi secara keseluruhan. Ini dipisahkan dari persamaan lainnya dengan tanda sama dengan. Pada contoh sebelumnya dengan apel, ekspresi adalah 0,35 atau 35 kopeck dikalikan dengan "C". Untuk membuat persamaan lengkap, Anda perlu menuliskan yang berikut ini:

Ekspresi monomial

Ada dua klasifikasi utama ekspresi: monomial. Monomial adalah variabel satuan, suatu bilangan, atau hasil kali suatu variabel dan suatu bilangan. Selain itu, ekspresi beberapa variabel atau ekspresi dengan eksponen juga merupakan monomial. Misalnya bilangan 7, variabel x, dan hasil kali 7*x adalah monomial. Ekspresi dengan eksponen, termasuk x^2 atau 3x^2y^3 juga merupakan monomial.

Polinomial

Polinomial adalah ekspresi yang melibatkan kombinasi penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih. Semua jenis monomial, termasuk angka, variabel individual, atau ekspresi yang melibatkan angka dan bilangan tak diketahui, dapat dimasukkan ke dalam polinomial. Misalnya, ekspresi x+7 adalah polinomial yang dijumlahkan oleh monomial x dan monomial 7. 3x^2 juga merupakan polinomial. 10x+3xy-2y^2 adalah polinomial yang menggabungkan tiga monomial menggunakan penjumlahan dan pengurangan.

Variabel terikat dan bebas

Variabel independen adalah variabel yang tidak diketahui yang menentukan bagian lain dari persamaan. Mereka berdiri sendiri dalam ekspresi dan tidak berubah seiring dengan variabel lain.

Nilai variabel terikat ditentukan dengan menggunakan variabel bebas. Nilai-nilai mereka seringkali ditentukan secara empiris.

VARIABEL DAN KONSTAN

Sebagai hasil pengukuran besaran fisika (waktu, luas, volume, massa, kecepatan, dll.), nilai numeriknya ditentukan. Matematika berkaitan dengan kuantitas, mengabstraksi dari konten spesifiknya. Berikut ini, ketika berbicara tentang besaran, yang kami maksud adalah nilai numeriknya. Dalam berbagai fenomena, beberapa besaran berubah, sementara besaran lain tetap mempertahankan nilai numeriknya. Misalnya, ketika suatu titik bergerak beraturan, waktu dan jarak berubah, tetapi kecepatannya tetap.

Nilai variabel adalah besaran yang mempunyai nilai numerik berbeda. Besaran yang nilai numeriknya tidak berubah disebut konstan. Besaran variabel akan dilambangkan dengan huruf x, y, z,…, konstan – a,b,c,…

Perhatikan bahwa dalam matematika, nilai konstanta sering dianggap sebagai kasus khusus dari suatu variabel yang semua nilai numeriknya sama.

Ganti wilayah Variabel adalah himpunan semua nilai numerik yang diterimanya. Area perubahan dapat terdiri dari satu atau lebih interval, atau satu titik.

JUMLAH VARIABEL YANG DIPESAN. URUTAN NUMERIK

X Ada variabel yang dipesan, jika luas perubahannya diketahui, dan untuk masing-masing dua nilainya, kita dapat menentukan mana nilai sebelumnya dan mana nilai berikutnya.

Kasus khusus besaran variabel terurut adalah besaran variabel yang nilainya terbentuk urutan nomor X 1 ,X 2 ,…,X N ,… Untuk nilai seperti itu di Saya< j, i, j  N, arti X Saya dianggap pendahulunya, dan X J– berikutnya terlepas dari nilai mana yang lebih besar. Jadi, barisan bilangan adalah suatu variabel yang nilai-nilai berturut-turutnya dapat dinomori ulang. Kami akan menyatakan barisan numerik dengan . Nomor-nomor individual dalam suatu barisan disebut nya elemen.

Misalnya barisan bilangan dibentuk oleh besaran-besaran berikut:

FUNGSI

Ketika mempelajari berbagai fenomena alam dan memecahkan masalah teknis, dan akibatnya, dalam matematika, perlu mempertimbangkan perubahan suatu besaran tergantung pada perubahan besaran lainnya. Misalnya, diketahui bahwa luas lingkaran dinyatakan dalam jari-jari dengan rumus S = r 2 . Jika radius R mengambil nilai numerik yang berbeda, lalu luasnya S juga mengambil nilai numerik yang berbeda, mis. perubahan pada satu variabel menyebabkan perubahan pada variabel lain.

Jika setiap variabel bernilai X milik suatu area tertentu sesuai dengan satu nilai spesifik dari variabel lain kamu, Itu kamu ditelepon fungsi variabel x. Kami akan menulis secara simbolis kamu=f(x). Dalam hal ini, variabelnya X ditelepon variabel independen atau argumen.

Catatan kamu=C, Di mana C– konstan, menunjukkan fungsi yang nilainya pada nilai berapa pun X satu dan sama dan sederajat C.

Beragam arti X, yang nilai fungsinya dapat ditentukan kamu sesuai aturan f(x), ditelepon domain fungsi.

Perhatikan bahwa barisan bilangan juga merupakan fungsi yang domain definisinya berimpit dengan himpunan bilangan asli.

Fungsi dasar dasar mencakup semua fungsi yang dipelajari dalam mata pelajaran matematika sekolah:

Fungsi dasar adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan fungsi dasar dasar dan konstanta dengan menggunakan sejumlah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pengambilan suatu fungsi yang jumlahnya terbatas.

KONSEP BATAS URUTAN NUMERIK

Dalam pembelajaran matematika selanjutnya, konsep limit akan memegang peranan yang mendasar, karena konsep dasar analisis matematis berhubungan langsung dengannya - turunan, integral, dll.

Mari kita mulai dengan konsep limit urutan nomor.

Nomor A ditelepon membatasi urutan X = {X N), jika untuk bilangan positif kecil sembarang yang telah ditentukan sebelumnya ε terdapat bilangan asli tersebut N itu di depan semua orang n>N pertidaksamaan |x n - a|< ε.

Jika nomornya A ada batas urutannya X = {X N), lalu mereka mengatakan itu X N berjuang untuk A, dan menulis.

Untuk merumuskan definisi ini dalam istilah geometris, kami memperkenalkan konsep berikut.

Lingkungan titik x 0 disebut interval sembarang ( a, b), berisi titik ini di dalam dirinya sendiri. Lingkungan suatu titik sering kali dipertimbangkan X 0 , untuk itu X 0 kalau begitu, itu bagian tengahnya X 0 ditelepon tengah lingkungan, dan nilai ( B–A)/2 – radius lingkungan.

Nah, yuk kita cari tahu apa arti konsep limit suatu barisan bilangan secara geometris. Untuk melakukan ini, kami menulis pertidaksamaan terakhir dari definisi dalam bentuk

Pertidaksamaan ini berarti semua unsur barisan tersebut mempunyai bilangan n>N harus terletak pada interval (a – ε; a + ε).

Oleh karena itu, bilangan konstan A ada batasan pada barisan bilangan ( X N), jika untuk lingkungan kecil mana pun yang berpusat pada titik tersebut A radius ε (ε adalah lingkungan titik A) ada elemen barisan dengan angka N bahwa semua elemen berikutnya diberi nomor n>N akan berlokasi di sekitar ini.

Contoh.

Biarkan variabelnya X mengambil nilai secara berurutan

Mari kita buktikan bahwa limit barisan bilangan ini sama dengan 1. Ambil bilangan positif sembarang ε. Kita perlu mencari bilangan asli tersebut N itu di depan semua orang n>N ketimpangan berlaku | X N - 1| < ε. Действительно, т.к.

,

maka untuk memenuhi relasi |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N bilangan asli apa pun yang memenuhi pertidaksamaan, kita mendapatkan apa yang kita butuhkan. Jadi jika kita mengambil contoh, maka, puting tidak= 6, untuk semua orang N>6 yang akan kita miliki .

Ambil ε > 0 secara sembarang. Pertimbangkan

Lalu, jika atau, mis. . Oleh karena itu, kita memilih bilangan asli apa pun yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Mari kita beri beberapa komentar.

Catatan 1. Jelasnya, jika semua elemen barisan bilangan mempunyai nilai konstanta yang sama X N =c, maka limit barisan tersebut akan sama dengan limit yang paling konstan. Memang, untuk sembarang ε, pertidaksamaan | X N -C| = |c-c| = 0 < ε.

Catatan 2. Dari definisi limit dapat disimpulkan bahwa suatu barisan tidak dapat mempunyai dua limit. Memang benar, anggap saja demikian X N → A dan pada saat yang sama X N → B. Ambil apa saja dan tandai lingkungan titik-titik tersebut A Dan B radius ε (lihat gambar). Kemudian, menurut definisi limit, semua elemen barisan, dimulai dari suatu titik tertentu, harus terletak di lingkungan titik tersebut. A, dan di sekitar titik tersebut B, itu tidak mungkin.

Catatan 3. Anda tidak boleh berpikir bahwa setiap barisan angka memiliki batasnya. Misalnya, suatu variabel mengambil nilainya . Sangat mudah untuk melihat bahwa urutan ini cenderung tidak memiliki batasan apa pun.

KONSEP BATAS FUNGSI

PADA TITIK YANG SANGAT TERJAUH

Sejauh ini kita telah mempertimbangkan batasan untuk kasus ketika variabel X diupayakan untuk suatu jumlah tertentu yang konstan.

Kami akan mengatakan bahwa variabel x cenderung tak terhingga, jika untuk setiap bilangan positif yang telah ditentukan M(bisa sebesar yang Anda suka) Anda dapat menentukan nilai ini x=x 0 , mulai dari mana semua nilai variabel selanjutnya akan memenuhi pertidaksamaan |x|>M.

Misalnya, biarkan variabel . mengambil nilai X 1 = –1, X 2 = 2, X 3 = –3, …, X n =(–1) N N, ... Jelas bahwa ini adalah variabel yang sangat besar, karena untuk semua M> 0 semua nilai variabel, dimulai dari nilai tertentu, akan lebih besar nilai absolutnya M.

Nilai variabel X→ +∞ , jika untuk sewenang-wenang M> 0 semua nilai variabel berikutnya, dimulai dari nilai tertentu, memenuhi pertidaksamaan x > M.

Juga, X→ – ∞, jika ada M > 0 X< -M .

Kami akan mengatakan itu fungsinya f(x) cenderung pada batasnya B Fungsi X→ ∞, jika untuk bilangan positif kecil ε dapat ditentukan bilangan positif tersebut M, yang untuk semua nilai X |x|>M, pertidaksamaan | f(x) - b| < ε.

Tunjuk .

Contoh.

Perlu dibuktikan bahwa untuk ε sembarang, pertidaksamaan akan terpenuhi secepatnya |x|>M, dan nomornya M harus ditentukan oleh pilihan ε. Pertidaksamaan tertulis tersebut ekuivalen dengan persamaan berikut, yang berlaku jika |x|> 1/ε=M. Artinya (lihat gambar).

FITUR YANG SANGAT BESAR

Sebelumnya kita melihat kasus dimana fungsinya f(x) diupayakan untuk beberapa orang batas terbatas B Fungsi X→ A atau X → ∞.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus ketika fungsinya kamu=f(x) beberapa cara untuk mengubah argumen.

juga mendekati angka tertentu tanpa batas f(x) cenderung tak terhingga sebagai X→ A, yaitu adalah sangat besar besarnya jika untuk bilangan apa pun M, tidak peduli seberapa besarnya, adalah mungkin untuk menemukan δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua nilai .≠A, kondisi memuaskan | xa| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Jika f(x) cenderung tak terhingga sebagai X→ A, lalu mereka menulis atau f(x)→∞ di X→ A.

Merumuskan definisi serupa untuk kasus kapan X→∞.

Jika f(x) cenderung tak terhingga sebagai X→ A dan pada saat yang sama hanya mengambil nilai positif atau negatif saja, masing-masing mereka menulis atau .

Contoh.

FITUR TERBATAS

Biarkan fungsinya diberikan kamu=f(x), ditentukan pada beberapa set D nilai argumen.

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=f(x) ditelepon terbatas di satu set D, jika ada bilangan positif M sedemikian rupa untuk semua nilai X dari himpunan yang dipertimbangkan, ketimpangan tetap ada |f(x)|≤M. Jika nomor tersebut M tidak ada, maka fungsinya f(x) ditelepon tak terbatas di satu set D.

Contoh.

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=dosa X, didefinisikan pada -∞<X<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях X|dosa X|≤1 = M.

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=x 2 +2 terbatas, misalnya pada ruas, karena untuk semua X dari segmen ini |f(x)|(3) = 11.

≤f kamu Pertimbangkan fungsinya X Fungsi X=dalam X (0; 1). Fungsi ini tidak terbatas pada interval yang ditentukan, sejak kapan X→-∞.

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=f(x) ditelepon →0 catatan→ A terbatas pada x A, jika ada lingkungan yang berpusat pada titik tersebut

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=f(x) ditelepon →0 catatan→ ∞ , yang fungsinya terbatas. , jika ada nomor seperti itu T> . 0, yang untuk semua nilai , memuaskan ketimpangan|x|>N f(x), fungsi

terbatas.

Mari kita buat hubungan antara fungsi yang dibatasi dan fungsi yang mempunyai limit. Teorema 1. B Jika dan f(x) adalah bilangan berhingga, maka fungsinya X→ A.

terbatas kapan Bukti . 0, yang untuk semua nilai . Karena , maka untuk ε>0 apa pun terdapat angka δ>0 sehingga untuk semua nilai< |xa| δ, ketimpangan tetap berlaku< |f(x) –b| ε. Menggunakan properti modul|f(x) – b|≥|f(x)| - |b| , pertidaksamaan terakhir kita tuliskan dalam bentuk<|b|+ |f(x)| ε. Jadi, jika kita menaruh M=|b|+ X→ ε, lalu kapan

sebuah |f(x)| Komentar.

Dari definisi fungsi berbatas dapat disimpulkan bahwa jika , maka fungsi tersebut tidak dibatasi. Namun, hal sebaliknya tidak benar: fungsi tak terbatas mungkin tidak terlalu besar. Berikan sebuah contoh. Teorema 2. Jika , maka fungsinya adalah bilangan berhingga, maka fungsinya X→ A.

terbatas kapan kamu=1/f(x) A. Dari kondisi teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang ε>0 di beberapa lingkungan titik kita punya< |f(x) – b| ε. Karena, Itu |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|< |b| - |f(x)| ε. Karena itu, |f(x)|>|b| - .

>0. Karena itu

juga mendekati angka tertentu tanpa batas kamu=f(x) ditelepon FUNGSI KECIL INFINITE DAN SIFAT DASARNYA Fungsi X→ A kecil sekali X atau kapan

Contoh.

→∞, jika atau , mis. fungsi yang sangat kecil adalah fungsi yang limit pada suatu titik tertentu adalah nol.

Mari kita jalin hubungan penting berikut ini: Dalil. kamu=f(x) Jika fungsinya X→ A dapat diwakili dengan B sebagai jumlah dari suatu bilangan konstan dan besarnya sangat kecilα(x): f (x)=b+ α(x)

Itu . Sebaliknya jika , maka, Di mana f (x)=b+α(x) kapak) X→ – sangat kecil di

terbatas kapan.

A.

Mari kita buat hubungan antara fungsi yang dibatasi dan fungsi yang mempunyai limit. Mari kita perhatikan sifat-sifat dasar fungsi yang sangat kecil.

terbatas kapan Jumlah aljabar dari dua, tiga, dan secara umum bilangan berhingga dari bilangan yang sangat kecil adalah suatu fungsi yang sangat kecil. . Mari kita berikan bukti untuk dua istilah. Membiarkan f(x)=α(x)+β(x) > , dimana dan . Kita perlu membuktikan bahwa untuk ε kecil sembarang δ> 0 ditemukan X 0, yang untuk semua nilai 0, sehingga untuk<δ |x – sebuah| , pertidaksamaan terakhir kita tuliskan dalam bentuk< ε.

, dijalankan > Jadi, mari kita perbaiki bilangan sembarang ε 0. Karena menurut kondisi teorema(x) > adalah fungsi yang sangat kecil, maka ada δ 1 0, sehingga untuk< 0, yaitu δ 1 yang kita punya< ε / 2. |α(x)| Demikian pula sejak(x) > adalah fungsi yang sangat kecil, maka ada δ 1 0, sehingga untuk< sangat kecil, maka ada δ 2 δ 2 kita punya< ε / 2.

| (x)| Mari kita ambil δ=menit( , δ 1 } δ2 A radius δ setiap ketidaksetaraan akan terpenuhi δ 1 yang kita punya< ε / 2 dan δ 2 kita punya< ε / 2. Oleh karena itu, di lingkungan ini akan ada

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | (x)|< ε /2 + ε /2= ε,

itu. , pertidaksamaan terakhir kita tuliskan dalam bentuk< ε, yang perlu dibuktikan.

Dari definisi fungsi berbatas dapat disimpulkan bahwa jika , maka fungsi tersebut tidak dibatasi. Namun, hal sebaliknya tidak benar: fungsi tak terbatas mungkin tidak terlalu besar. Berikan sebuah contoh. Produk dari fungsi yang sangat kecil f (x)=b+α(x) untuk fungsi terbatas f(x) Fungsi X→ A(atau kapan X→ ∞ ) adalah fungsi yang sangat kecil.

terbatas kapan. Sejak fungsinya f(x) terbatas, maka ada nomornya M sedemikian rupa untuk semua nilai X dari suatu lingkungan di suatu titik a|f(x)|≤M. Apalagi sejak itu f (x)=b+α(x) adalah fungsi yang sangat kecil di X→ A, lalu untuk ε sembarang > 0 ada lingkungan intinya A, di mana ketimpangan akan terus terjadi δ 1 yang kita punya< ε /M. Kemudian di lingkungan yang lebih kecil yang kita miliki | f|< ε /M= ε. Dan ini berarti itu af– sangat kecil. Untuk kesempatan ini X→ ∞ pembuktiannya dilakukan dengan cara yang sama.

Dari teorema yang terbukti berikut ini:

Akibat wajar 1. Jika dan, maka.

Akibat wajar 2. Teorema 1. c= konstanta, lalu.

Teorema 3. Rasio fungsi yang sangat kecil 0. Karena menurut kondisi teorema per fungsi f(x), yang limitnya bukan nol, merupakan fungsi yang sangat kecil.

terbatas kapan. Membiarkan . Lalu 1 /f(x) ada fungsi yang terbatas. Oleh karena itu, pecahan adalah hasil kali fungsi yang sangat kecil dan fungsi terbatas, yaitu. fungsinya sangat kecil.

HUBUNGAN ANTARA KECIL INFINITE

DAN FUNGSI YANG SANGAT BESAR

Mari kita buat hubungan antara fungsi yang dibatasi dan fungsi yang mempunyai limit. Dalil. f(x) sangat besar di X→ A, lalu fungsi 1 /f(x) sangat kecil di X→ A.

Bukti. Mari kita ambil bilangan sembarang ε >0 dan tunjukkan itu pada beberapa orang δ>0 (tergantung pada ε) untuk semua X, untuk itu 0, sehingga untuk<δ , ketimpangan terpenuhi, dan ini berarti demikian 1/f(x) adalah fungsi yang sangat kecil. Memang sejak itu f(x) adalah fungsi yang sangat besar di X→ A, maka akan ada δ>0 seperti itu secepatnya 0, sehingga untuk<δ , jadi | f(x)|> 1/ ε. Tapi untuk hal yang sama X.

Contoh.

Teorema kebalikannya juga dapat dibuktikan.

Dari definisi fungsi berbatas dapat disimpulkan bahwa jika , maka fungsi tersebut tidak dibatasi. Namun, hal sebaliknya tidak benar: fungsi tak terbatas mungkin tidak terlalu besar. Berikan sebuah contoh. Dalil. f(x)- sangat kecil di X→ A(atau X→ ∞) dan tidak hilang, kalau begitu kamu= 1/f(x) adalah fungsi yang sangat besar.

Lakukan sendiri pembuktian teorema tersebut.

FUNGSI DAN BATAS IX

§ 201. Besaran tetap dan besaran variabel. Konsep fungsi

Konsep fungsi telah kita jumpai berkali-kali. Pada Bagian I kita melihat linear, kuadrat, pangkat dan fungsi trigonometri. Bab sebelumnya dikhususkan untuk mempelajari fungsi eksponensial dan logaritma. Sekarang kita harus memberikan gambaran umum tentang apa yang telah kita ketahui tentang fungsi dan mempertimbangkan beberapa pertanyaan baru.

Mengamati berbagai proses, kita dapat melihat bahwa besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berperilaku berbeda: ada yang berubah, ada yang tetap konstan. Jika misalnya pada segitiga ABC, titik sudut B dipindahkan sepanjang garis lurus MN sejajar alas AC (Gbr. 263), maka nilai sudut A, B, dan C akan terus berubah, dan jumlahnya, tinggi H dan luas segitiga tidak akan berubah.

Contoh lain. Jika suatu gas dikompresi pada suhu tetap, maka volumenya ( V) dan tekanan ( R) akan berubah: volume akan berkurang dan tekanan akan meningkat. Hasil kali besaran-besaran ini, sebagaimana ditetapkan oleh hukum Boyle-Mariotte, akan tetap:

Vp = c ,

Di mana Dengan - beberapa konstan.

Semua besaran dapat dibagi menjadi konstanta dan variabel.

Variabel-variabel yang terlibat dalam suatu proses biasanya tidak berubah secara independen satu sama lain, namun berhubungan erat satu sama lain. Misalnya, kompresi suatu gas (pada suhu konstan) menyebabkan perubahan volumenya, dan hal ini selanjutnya menyebabkan perubahan tekanan gas. Perubahan jari-jari alas silinder menyebabkan perubahan luas alas tersebut; yang terakhir menyebabkan perubahan volume silinder, dll. Salah satu tugas kelancaran studi matematika dari suatu proses tertentu adalah menetapkan bagaimana perubahan pada beberapa variabel mempengaruhi perubahan pada variabel lain.

Mari kita lihat beberapa contoh. Hukum Boyle-Mariotte yang disebutkan di atas menyatakan bahwa pada suhu konstan volume gas V bervariasi berbanding terbalik dengan tekanan R : V = C / P . Jika tekanannya diketahui, maka volume gas dapat dihitung menggunakan rumus ini. Begitu pula dengan rumusnya S = π R 2 memungkinkan Anda menentukan luas lingkaran S jika jari-jarinya diketahui R . Menurut rumusnya β = π / 2 - α Anda dapat menemukan sudut lancip dari segitiga siku-siku jika diketahui sudut lancip lain dari segitiga tersebut, dan seterusnya.

Saat membandingkan dua variabel, akan lebih mudah untuk menganggap salah satunya sebagai mandiri variabel dan yang lainnya sebagai bergantung nilai variabel. Misalnya jari-jari lingkaran R wajar untuk mempertimbangkan variabel bebas dan luas lingkaran S = π R 2 - variabel terikat. Sama seperti tekanan gas R dapat dianggap sebagai variabel independen; lalu volumenya V = C / P akan menjadi variabel terikat.

Manakah dari dua variabel yang harus dipilih sebagai variabel dependen dan mana yang independen? Masalah ini diselesaikan secara berbeda tergantung pada tujuannya. Jika, misalnya, kita tertarik pada apa yang menyebabkan perubahan tekanan gas pada suhu konstan, maka wajar jika kita menganggap penggergajian sebagai variabel bebas, dan volume sebagai variabel terikat. Dalam hal ini variabel terikat V akan dinyatakan melalui variabel bebas R sesuai dengan rumus: V = C / P . Jika kita ingin mengetahui akibat dari kompresi gas, maka sebaiknya kita menganggap volume sebagai variabel bebas, dan tekanan sebagai variabel terikat. Kemudian variabel dependen R akan dinyatakan melalui variabel bebas V sesuai rumus R = C / V . Dalam setiap kasus ini, dua besaran berhubungan satu sama lain sedemikian rupa sehingga masing-masing besaran arti yang mungkin salah satunya sesuai dengan nilai yang sangat pasti dari yang lain.

Jika setiap nilai satu variabel . nilai kuantitas lain yang terdefinisi dengan baik dalam beberapa hal berkorelasi pada, lalu mereka mengatakan bahwa suatu fungsi ditentukan.

Ukuran pada mereka menyebutnya bergantung variabel atau fungsi, dan nilainya . - mandiri variabel atau argumen.

Untuk mengungkapkan hal itu pada ada fungsi argumen . , notasi yang biasanya digunakan: pada = F (. ), kamu = g (X ) , pada = φ (. ) dst (baca: yrek sama dengan ef dari x, yrek sama dengan ef dari x, yrek sama dengan phi dari x, dan seterusnya). Memilih huruf untuk mewakili suatu fungsi ( f, g, φ ) tentu saja tidak penting. Satu-satunya hal yang penting adalah seperti apa hubungan antar besaran tersebut . Dan pada surat ini mengungkapkan.

Nilai yang diambil fungsi tersebut F (. ) pada x = sebuah , dilambangkan F (A ). Jika, misalnya, F (. ) = X 2 + 1, lalu

F (1) = 1 2 + 1 = 2;

F (2) = 2 2 + 1 = 5;

F (A + 1) = (A + 1) 2 + 1 = A 2 + 2A + 2;

F (2A ) = (2A ) 2 + 1 = 4A 2 + 1

Latihan

1515. Sebuah gas dikompresi pada tekanan 2 atmosfer. Bagaimana perubahannya: a) berat gas; b) volumenya; c) tekanannya?

1516. Arus mengalir melalui suatu rangkaian listrik. Dengan menggunakan rheostat kita mengubah resistansi rangkaian. Apakah ini mengubah: a) arus dalam rangkaian; b) tegangan?

1517. Titik sudut B segitiga ABC bergerak sepanjang lingkaran yang diameternya berimpit dengan alas AC segitiga tersebut. Besaran manakah yang tetap dalam proses ini dan besaran manakah yang berubah?

1518.

Temukan: a) F (0); B) F (A 2); V) F ( 1 / A ); G) F (dosa A ).

1519. Ekspres F (2A ) melalui F (A ) untuk fungsi:

A) F (. ) = dosa . ; B) F (. ) = tg . ;