Rumus probabilitas total. rumus Bayes. Contoh pemecahan masalah. Rumus Probabilitas Total dan Rumus Bayes

Misalkan peristiwa A terjadi dengan syarat terjadinya salah satu peristiwa yang tidak sesuai B 1, B 2, B 3, ..., B n, yang membentuk kelompok lengkap. Biarkan probabilitas kejadian-kejadian ini dan probabilitas bersyarat diketahuiP(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n) kejadian A. Anda perlu mencari peluang kejadian A.

Dalil:Peluang kejadian A, yang hanya dapat terjadi jika salah satu kejadian yang tidak sesuai terjadi B 1, B 2, B 3, ..., B n , membentuk grup lengkap, sama dengan jumlah produk dari probabilitas masing-masing kejadian ini dengan probabilitas bersyarat yang sesuai dari kejadian A:

– Rumus probabilitas total.

Bukti:

Sesuai dengan kondisinya, kejadian A dapat terjadi jika salah satu kejadian yang tidak sejalan terjadiB 1, B 2, B 3, ..., B n. Dengan kata lain, terjadinya peristiwa A berarti terjadinya salah satu (tidak peduli yang mana) peristiwa yang tidak sesuai:B 1 *A, B 2*A, B 3*A, ..., B n*A. Dengan menggunakan teorema penjumlahan, kita peroleh:

Menurut teorema perkalian peluang kejadian-kejadian tak bebas, kita peroleh:

dll.

Contoh: Ada 2 set bagian. Peluang terambilnya suatu bagian dari himpunan pertama adalah standar adalah 0,8, dan untuk himpunan kedua adalah 0,9. Tentukan peluang terambilnya suatu bagian secara acak (dari suatu himpunan yang diambil secara acak) adalah baku.

Larutan: Peristiwa A - “Bagian yang diekstraksi adalah standar.” Peristiwa - “Mereka menghapus bagian yang diproduksi oleh 1 pabrik.” Peristiwa - “Bagian yang diproduksi oleh pabrik kedua telah dilepas.” P( B 1 )=P(B 2)= 1/2.P(A / B 1 ) = 0,8 - probabilitas bahwa suku cadang yang diproduksi di pabrik pertama adalah suku cadang standar. P(A / B 2 )=0,9 - probabilitas bahwa suku cadang yang diproduksi di pabrik kedua adalah suku cadang standar.

Kemudian, berdasarkan rumus probabilitas total, kita mendapatkan:

Contoh: Perakit menerima 3 kotak suku cadang yang diproduksi oleh pabrik No. 1 dan 2 kotak suku cadang yang diproduksi oleh pabrik No. 2. Peluang suatu suku cadang yang diproduksi oleh pabrik No. 1 adalah standar adalah 0,8. Untuk pabrik No. 2 probabilitas ini adalah 0,9. Assembler secara acak mengeluarkan bagian dari kotak yang dipilih secara acak. Temukan probabilitas bahwa bagian standar dihilangkan.

Larutan: Peristiwa A - “Bagian standar dihapus.” Peristiwa B 1 - “Bagian tersebut dikeluarkan dari kotak pabrik No. 1.” Peristiwa B 2 - “Bagian tersebut telah dikeluarkan dari kotak pabrik No. 2.” P( B 1)= 3/5. P(B 2 )= 2/5.

P(A / B 1) = 0,8 - probabilitas bahwa suku cadang yang diproduksi di pabrik pertama adalah suku cadang standar. P(A /B 2) = 0,9 - probabilitas bahwa suku cadang yang diproduksi di pabrik kedua adalah standar.

Contoh:Kotak pertama berisi 20 tabung radio, 18 di antaranya standar. Kotak kedua berisi 10 tabung radio, 9 di antaranya standar. Satu tabung radio dipindahkan secara acak dari kotak kedua ke kotak pertama. Tentukan peluang terambilnya lampu secara acak dari kotak pertama adalah lampu standar.

Larutan:Peristiwa A - “Sebuah lampu standar dikeluarkan dari 1 kotak.” PeristiwaB 1 - “Sebuah lampu standar dipindahkan dari kotak kedua ke kotak pertama.” PeristiwaB 2 - “Lampu non-standar dipindahkan dari kotak kedua ke kotak pertama.” P( B 1 )= 9/10. P(B 2)= 1/10.P(A / B 1)= 19/21 - kemungkinan mengeluarkan suku cadang standar dari kotak pertama, asalkan suku cadang standar yang sama dimasukkan ke dalamnya.

P(A / B 2 )= 18/21 - kemungkinan mengeluarkan bagian standar dari kotak pertama, asalkan bagian non-standar ditempatkan di dalamnya.

2. Rumus hipotesis Thomas Bayes.

Misalkan peristiwa A terjadi dengan syarat terjadinya salah satu peristiwa yang tidak sesuai B 1, B 2, B 3, ..., B n, membentuk gugus utuh. Karena tidak diketahui sebelumnya peristiwa mana yang akan terjadi, maka peristiwa tersebut disebut hipotesis. Peluang terjadinya kejadian A ditentukan oleh rumus peluang total yang telah dibahas sebelumnya.

Mari kita asumsikan bahwa suatu pengujian telah dilakukan, sebagai akibat dari terjadinya peristiwa A. Mari kita menetapkan tugas kita untuk menentukan bagaimana probabilitas hipotesis telah berubah (karena fakta bahwa peristiwa A telah terjadi). Dengan kata lain, kita akan mencari probabilitas bersyaratP(B 1 /A), P(B 2 /A), ..., P(B n /A)

Mari kita cari probabilitas bersyarat P(B 1/A) . Dengan teorema perkalian kita mempunyai:

Ini mengikuti dari ini:

Demikian pula, rumus diturunkan yang menentukan probabilitas bersyarat dari hipotesis yang tersisa, yaitu. probabilitas bersyarat hipotesis apa pun B k (saya =1, 2, …, n ) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Rumus hipotesis Thomas Bayes.

Thomas Bayes (ahli matematika Inggris) menerbitkan rumus tersebut pada tahun 1764.

Rumus ini memungkinkan untuk memperkirakan kembali probabilitas hipotesis setelah hasil pengujian yang mengakibatkan kejadian A diketahui.

Contoh: Suku cadang yang diproduksi oleh bengkel pabrik dikirim ke salah satu dari dua inspektur untuk memeriksa standarnya. Peluang bahwa suatu bagian akan sampai ke pemeriksa pertama adalah 0,6, dan pemeriksa kedua adalah 0,4. Peluang bahwa suatu suku cadang yang sesuai akan diakui sebagai standar oleh pemeriksa pertama adalah 0,94, untuk pemeriksa kedua probabilitas ini adalah 0,98. Selama pemeriksaan, suku cadang yang dapat diterima diakui sebagai standar. Temukan probabilitas bahwa pemeriksa pertama memeriksa bagian ini.

Larutan: Peristiwa A - “Bagian yang baik diakui sebagai standar.” Peristiwa B 1 - “Bagian tersebut diperiksa oleh inspektur pertama.” PeristiwaB 2 - “Bagian tersebut diperiksa oleh pemeriksa kedua.” P( B 1 )=0,6. P(B 2 )=0,4.

P(A / B 1) = 0,94 - probabilitas bahwa bagian yang diperiksa oleh pemeriksa pertama diakui sebagai standar.

P(A / B 2) = 0,98 - probabilitas bahwa bagian yang diperiksa oleh pemeriksa kedua diakui sebagai standar.

Kemudian:

Contoh:Untuk mengikuti perlombaan olah raga kualifikasi pelajar, dialokasikan 4 orang dari kelompok pertama mata kuliah, 6 orang dari kelompok kedua, dan 5 orang dari kelompok ketiga. Peluang siswa kelompok pertama untuk dimasukkan dalam tim nasional adalah 0,9; untuk siswa kelompok kedua dan ketiga, peluangnya masing-masing adalah 0,7 dan 0,8. Sebagai hasil dari kompetisi tersebut, seorang siswa yang dipilih secara acak masuk ke tim nasional.

Larutan: Acara A - “Seorang siswa yang dipilih secara acak masuk ke tim institut.” Peristiwa B 1 - “Seorang siswa dari kelompok pertama dipilih secara acak.” Peristiwa B 2 - “Seorang siswa dari kelompok kedua dipilih secara acak.” Peristiwa B 3 - “Seorang siswa dari kelompok ketiga dipilih secara acak.” P( B 1)= 4/15 . P(B 2) = 6/15. P(B 3)= 5/15.

P(A / B 1)=0,9 adalah peluang siswa dari kelompok pertama lolos ke tim nasional.

P(A / B 2) = 0,7 adalah peluang siswa kelompok kedua lolos ke tim nasional.

P(A/B 3 )=0,8 adalah peluang siswa dari kelompok ketiga lolos ke tim nasional.

Kemudian:

Peluang seorang siswa dari kelompok pertama berhasil masuk ke dalam tim.

Peluang seorang siswa dari kelompok kedua berhasil masuk ke dalam tim.

Peluang seorang siswa dari kelompok ketiga berhasil masuk ke dalam tim.

Kemungkinan besar, siswa dari kelompok kedua akan masuk ke dalam tim.

Contoh:Jika mesin menyimpang dari mode operasi normal, alarm C 1 akan berbunyi dengan probabilitas 0,8, dan alarm C 2 akan berbunyi dengan probabilitas 1. Probabilitas mesin dilengkapi dengan C 1 atau C 2 alarm masing-masing adalah 0,6 dan 0,4. Sinyal telah diterima untuk memotong senapan mesin. Mana yang lebih mungkin: mesin tersebut dilengkapi dengan alat pemberi sinyal C 1 atau C 2?

Larutan:Peristiwa A - “Sinyal untuk memotong senapan mesin telah diterima.” Peristiwa B1 - “Mesin ini dilengkapi dengan perangkat pemberi sinyal C1. PeristiwaB 2 - “Mesin ini dilengkapi dengan perangkat sinyal C2. P( B 1 )= 0,6. P(B 2) = 0,8.

P(A / B 1) = 0,8 adalah peluang diterimanya sinyal, asalkan mesin dilengkapi dengan alat pemberi sinyal C1.

P(A/B 2 )=1 - kemungkinan sinyal akan diterima, asalkan mesin dilengkapi dengan perangkat sinyal C2.

Kemudian:

Ada kemungkinan setelah menerima sinyal untuk mematikan mesin, alarm C1 berbunyi.

Ada kemungkinan setelah menerima sinyal untuk mematikan mesin, alarm C2 berbunyi.

Itu. Kemungkinan besar ketika mesin dipotong, sinyal akan diterima dari perangkat pemberi sinyal C1.

Rumus probabilitas total.

Konsekuensi dari kedua teorema utama—teorema penjumlahan probabilitas dan teorema perkalian probabilitas—adalah apa yang disebut rumus probabilitas total.

Misalkan kita perlu menentukan peluang suatu kejadian A yang dapat terjadi pada salah satu kejadian tersebut
, membentuk kelompok lengkap peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai. Kita akan menyebut peristiwa-peristiwa ini sebagai hipotesis.

Mari kita buktikan dalam kasus ini

Probabilitas peristiwa A dihitung sebagai jumlah produk dari probabilitas setiap hipotesis dan probabilitas bersyarat dari peristiwa ketika hipotesis ini direalisasikan.

Rumus ini disebut rumus probabilitas total.

Bukti

Karena hipotesis H1, H2..., Hn, membentuk grup lengkap, kejadian A dapat muncul dalam kombinasi dengan salah satu hipotesis berikut

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Karena hipotesis H1, H2,…,Hn tidak sesuai, maka kombinasi H1A, H2A,…,HnA juga tidak sesuai; Menerapkan teorema penjumlahan padanya, kita mendapatkan:

Menerapkan teorema perkalian pada kejadian HiA, kita peroleh

Q.E.D.

Ada tiga guci yang tampak identik: guci pertama berisi dua bola putih dan satu bola hitam; di bola kedua ada tiga bola putih dan satu bola hitam; di bola ketiga ada dua bola putih dan dua bola hitam.

Seseorang memilih salah satu guci secara acak dan mengambil bola darinya. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna putih.

Mari kita pertimbangkan tiga hipotesis:

H1-pemilihan guci pertama,

H2-pemilihan guci kedua,

H3-pilihan guci ketiga

Dan kejadian A adalah munculnya bola putih.

Karena hipotesis menurut kondisi permasalahan sama-sama mungkin, maka

Probabilitas bersyarat dari kejadian A berdasarkan hipotesis ini masing-masing adalah sama

Soal 3.5.

Pabrik menghasilkan produk yang masing-masing memiliki cacat dengan probabilitas p.

Ada tiga pengawas di bengkel; dipertimbangkan hanya oleh satu pemeriksa, dengan probabilitas yang sama dengan pemeriksa pertama, kedua atau ketiga. Peluang terdeteksinya cacat (jika ada) untuk pemeriksa ke-i sama dengan Pi (i = 1,2,3). Jika produk tidak ditolak di bengkel, maka produk tersebut dikirim ke departemen kendali mutu pabrik, di mana cacat, jika ada, terdeteksi dengan probabilitas P0.

Tentukan peluang produk tersebut ditolak.

A - produk akan ditolak

B - produk akan ditolak di bengkel

C- produk akan ditolak oleh departemen kendali mutu pabrik.

Karena kejadian B dan C tidak sejalan dan

P(A)=P(B)+P(C)

Kita temukan P(B). Agar suatu produk dapat ditolak di bengkel, pertama-tama perlu adanya cacat, dan kedua, cacat tersebut dapat terdeteksi.

Kemungkinan ditemukannya cacat di bengkel adalah sama dengan

Benar-benar,

Merumuskan hipotesis

Cacat H1 terdeteksi oleh inspektur pertama

Cacat H2 terdeteksi oleh inspektur ke-2

Cacat H3 terdeteksi oleh inspektur ke-3

Dari sini

Juga

Teorema hipotesis (rumus Bayes)

Konsekuensi dari teorema perkalian dan rumus probabilitas total disebut teorema hipotesis atau rumus Bayes.

Mari kita ajukan masalah berikut.

Ada sekelompok lengkap hipotesis yang tidak konsisten H1,H2,…Hn. Probabilitas hipotesis ini diketahui sebelum percobaan dan masing-masing sama dengan P(H1),P(H2),…,P(Hn). pengalaman, sebagai hasilnya dimana terjadinya suatu peristiwa A diamati. Pertanyaannya adalah, bagaimana probabilitas hipotesis diubah sehubungan dengan terjadinya peristiwa tersebut?

Di sini, pada dasarnya, kita berbicara tentang mencari probabilitas bersyarat P (Hi/A) untuk setiap hipotesis.

Dari teorema perkalian kita mendapatkan:

P(AHi)=P(A)*P(Hai/A)=P(Hai)*H(A/Hai),

Atau buang sisi kirinya

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n dari mana

Atau menyatakan P(A) menggunakan rumus probabilitas total yang kita miliki

Rumus ini disebut rumus Bayes atau teorema hipotesis.

Perangkat dapat dirakit dari suku cadang berkualitas tinggi dan dari suku cadang dengan kualitas biasa; secara umum, sekitar 40% perangkat dirakit dari suku cadang berkualitas tinggi. Jika perangkat dirakit dari suku cadang berkualitas tinggi, keandalannya (probabilitas operasi bebas kegagalan) dari waktu ke waktu adalah 0,05; jika suku cadangnya berkualitas biasa, keandalannya 0,7. Perangkat tersebut diuji pada waktu t dan bekerja dengan sempurna. Temukan kemungkinan bahwa perangkat tersebut dirakit dari suku cadang berkualitas tinggi.

Ada dua hipotesis yang mungkin:

Perangkat H1 dirakit dari suku cadang berkualitas tinggi,

Perangkat H2 dirakit dari bagian-bagian dengan kualitas biasa.

Kemungkinan hipotesis ini sebelum percobaan

P(H1)=0,4; P(H2)=0,6.

Sebagai hasil percobaan, peristiwa A diamati - perangkat bebas dari kesalahan

Bekerja untuk waktu t. Probabilitas bersyarat dari kejadian ini di

Hipotesis H1 dan H2 adalah sama:

P(A/H1) = 0,95; P(A/H2) = 0,7.

Dengan menggunakan rumus Weiss, kita mencari probabilitas hipotesis H1 setelahnya

Masalah kombinatorik.

Dalam banyak studi statistik terdapat masalah kombinatorial, yang keunikannya berguna untuk ditunjukkan dengan contoh:

Dalam berapa cara 10 buku yang berbeda dapat disusun dalam satu rak?

8 tim ambil bagian dalam turnamen. Berapa banyak ide berbeda yang dapat dibuat mengenai tiga tempat pertama (berdasarkan hasil kompetisi)?

Berapa banyak kata berbeda yang terdiri dari tiga huruf yang dapat dibentuk dari 32 huruf alfabet, terlepas dari apakah kata yang terdiri dari huruf tersebut masuk akal atau tidak?

Dalam berapa cara r elemen dapat dipilih dari himpunan k elemen (berbeda)?

Berapakah banyaknya selisih hasil pelemparan dua buah dadu?

Contoh yang diberikan menunjukkan bahwa dalam permasalahan kombinatorik seseorang umumnya tertarik pada jumlah sampel yang berbeda dari objek tertentu, dan, bergantung pada jenis persyaratan tambahannya, seseorang harus membedakan sampel mana yang dianggap sama dan mana yang berbeda.

Dalam teori probabilitas dan statistik matematika Mereka terutama menggunakan tiga konsep kombinatorik:

Penempatan

Penataan ulang

Kombinasi

Susunan n unsur dengan m adalah hubungan yang berbeda satu sama lain berdasarkan unsur itu sendiri atau urutannya. Contoh: penempatan 3 unsur a, b, c sebanyak 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Banyaknya penempatan n unsur yang berbeda menurut m A

Contoh: penempatan 3 elemen a, b, c sebanyak 2: ab,ac,bc, ba, ca,cb. Banyaknya penempatan n elemen berbeda sebanyak m A

Pengganda total m

Permutasi dari n elemen adalah koneksi yang berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen yang termasuk di dalamnya elemen a,b dan c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Banyaknya semua permutasi dari n elemen berbeda Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

Dalam berapa cara 10 buku dapat disusun dalam satu rak?

P10=10!=3628800.

Gabungan n unsur m disebut senyawa, yang berbeda satu sama lain hanya pada unsur itu sendiri. Contoh: kombinasi tiga unsur a, b dan c, masing-masing dua: ab, ac, bc. Banyaknya semua kombinasi n unsur berbeda dengan m dilambangkan dengan Cn

Kita bisa menuliskannya

Eksperimen berulang

Dalam penerapan praktis teori probabilitas, sering kali kita menemui masalah di mana eksperimen yang sama atau eksperimen serupa diulangi berulang kali. Sebagai hasil dari setiap percobaan, beberapa peristiwa A mungkin muncul atau tidak sebagai hasil dari serangkaian percobaan.

Masalah seperti itu sangat mudah dipecahkan jika eksperimennya independen.

Beberapa percobaan disebut bebas jika peluang suatu hasil dari setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan yang lain. Beberapa pengambilan kartu secara berturut-turut dari tumpukan kartu merupakan percobaan independen, dengan ketentuan bahwa kartu yang dikeluarkan dikembalikan ke tumpukan kartu setiap kali dan kartu-kartu tersebut dikocok; jika tidak, eksperimen bergantung.

Eksperimen independen dapat dilakukan dalam kondisi yang sama atau berbeda.

Teorema umum tentang pengulangan percobaan.

Teorema khusus tentang pengulangan eksperimen berkaitan dengan kasus ketika probabilitas kejadian A sama di semua eksperimen. Dalam praktiknya, sering kali kita menjumpai kasus yang lebih kompleks, ketika eksperimen dilakukan dalam kondisi berbeda, dan probabilitas suatu peristiwa berubah dari eksperimen ke eksperimen. Metode untuk menghitung probabilitas sejumlah kejadian tertentu dalam kondisi seperti itu diberikan oleh teorema umum tentang pengulangan eksperimen.

Misalkan banyaknya percobaan u=2, maka kelompok kejadian lengkapnya:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Misalkan banyaknya percobaan u=3, maka kelompok kejadian lengkapnya:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

Demikian pula, untuk jumlah percobaan n, kelompok kejadian lengkapnya adalah:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, dan pada setiap karya kejadian A muncul m kali, dan kejadian A muncul n-m kali kombinasi masih

atau lebih pendek

di mana z adalah parameter arbitrer.

Fungsi jn(z), yang perluasan pangkat parameter z menghasilkan pm,n sebagai koefisien probabilitas, disebut fungsi pembangkitan probabilitas pm,n atau sekadar fungsi pembangkit.

Dengan menggunakan konsep pembangkitan fungsi, kita dapat merumuskan teorema umum tentang percobaan berulang bentuk berikut:

Peluang munculnya kejadian A tepat m kali dalam n percobaan bebas sama dengan koefisien zm dalam ekspresi fungsi pembangkit

jn(z)=(qi+piz) dimana pi adalah peluang terjadinya kejadian A pada percobaan ke-i

Rumusan teorema umum pengulangan percobaan di atas, berbeda dengan teorema khusus, tidak memberikan ekspresi eksplisit untuk probabilitas pm,n.

Pada prinsipnya, ungkapan seperti itu dapat ditulis, tetapi terlalu rumit, dan kami tidak akan menyajikannya.

Namun, tanpa menggunakan ekspresi eksplisit seperti itu, teorema umum tentang pengulangan percobaan masih dapat dituliskan dalam bentuk rumus tunggal.

variabel acak.

Salah satu konsep dasar terpenting dalam teori probabilitas adalah konsep variabel acak.

Variabel acak adalah suatu besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya namanya.

Contoh variabel acak:

Jumlah panggilan yang diterima di sentral telepon per hari;

Jumlah anak laki-laki yang lahir di rumah sakit bersalin per bulan;

Jumlah anak perempuan yang lahir di rumah sakit bersalin per bulan;

Dalam ketiga contoh tersebut, variabel acak dapat mengambil nilai individual dan terisolasi yang dapat dihitung sebelumnya.

Dalam contoh 1;

Variabel acak yang hanya mengambil nilai individual yang terpisah satu sama lain disebut variabel diskrit.

Ada jenis variabel acak lainnya.

Misalnya suhu udara, kelembaban udara, tegangan pada jaringan arus listrik.

Fungsi distribusi.

Deret distribusi, poligon distribusi bukan

adalah karakteristik universal dari variabel acak: karakteristik tersebut hanya ada untuk variabel acak diskrit. Sangat mudah untuk melihat bahwa karakteristik seperti itu tidak dapat dibuat untuk variabel acak kontinu. Memang benar, variabel acak kontinu mempunyai jumlah tak terhingga nilai yang mungkin, ???? menempati interval tertentu (yang disebut “himpunan tak terhitung”). Tidak mungkin membuat tabel yang mencantumkan semua kemungkinan nilai dari variabel acak tersebut. Akibatnya, untuk variabel acak kontinu tidak ada deret distribusi seperti yang ada pada variabel diskontinu. Namun, wilayah nilai yang mungkin berbeda dari suatu variabel acak masih belum memiliki kemungkinan yang sama, dan untuk variabel kontinu terdapat distribusi probabilitas, meskipun tidak dalam arti yang sama dengan variabel diskontinyu (atau diskrit).

Untuk karakteristik kuantitatif dari distribusi probabilitas ini akan lebih mudah untuk menggunakan bukan probabilitas kejadian x=x, tetapi probabilitas kejadian x

Fungsi distribusi F(x) kadang juga disebut fungsi distribusi kumulatif atau hukum distribusi kumulatif.

Fungsi distribusi adalah karakteristik universal dari variabel acak. Fungsi ini ada untuk semua variabel acak: baik fungsi distribusi diskrit maupun kontinu

Sepenuhnya mencirikan variabel acak dari sudut pandang kemungkinan, mis. merupakan salah satu bentuk distribusi.

Mari kita rumuskan beberapa sifat umum fungsi distribusi:

Fungsi distribusi F(x) adalah fungsi argumennya yang tidak menurun, yaitu. untuk x2>x1 F(x2)>F(x1).

Pada minus tak terhingga fungsi distribusinya adalah nol

3. Pada plus tak terhingga, fungsi distribusinya sama dengan 1.

Fungsi distribusi khas dari variabel acak kontinu memiliki bentuk

Probabilitas membaca variabel acak untuk area tertentu.

Saat memecahkan masalah praktis yang melibatkan variabel acak, sering kali perlu menghitung probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dalam batas tertentu, misalnya dari a ke b.

Agar lebih pasti, mari kita sepakat untuk memasukkan ujung kiri a pada bagian (a,b), dan tidak memasukkan ujung kanan. Maka kemunculan variabel acak x pada bagian (a,b) ekuivalen dengan pertidaksamaan berikut :

Mari kita nyatakan peluang kejadian tersebut melalui fungsi distribusi nilai x. Untuk melakukan ini, pertimbangkan tiga peristiwa:

peristiwa A, terdiri dari fakta bahwa C

peristiwa B, terdiri dari fakta bahwa C

peristiwa C, terdiri dari fakta bahwa a

Mengingat A=B+C, dengan teorema penjumlahan probabilitas yang kita miliki

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P(sebuah £C

Itu. probabilitas munculnya variabel acak pada batas tertentu sama dengan pertambahan fungsi distribusi pada daerah tersebut.

Kepadatan distribusi.

Misalkan ada variabel acak kontinu x dengan fungsi distribusi F(x), yang akan kita usulkan sebagai variabel kontinu dan terdiferensiasi.

Mari kita hitung probabilitas nilai ini jatuh pada luas dari x ke x+DC:

R(C£C

yaitu kenaikan fungsi di area ini. Mari kita perhatikan rasio probabilitas ini dengan panjang bagian, yaitu. probabilitas rata-rata per satuan panjang di bagian ini, dan kita akan mendekatkan DC ke 0. Di lorong kita akan mendapatkan turunan dari fungsi distribusi.

Mari kita perkenalkan notasinya:

Fungsi f (x) - turunan dari fungsi distribusi - seolah-olah mencirikan kepadatan nilai-nilai variabel acak yang didistribusikan pada titik tertentu. Fungsi ini disebut kepadatan distribusi

(atau dikenal sebagai “kerapatan probabilitas”) dari variabel acak kontinu X. Kadang-kadang fungsi f (x) disebut “fungsi distribusi diferensial” atau “hukum distribusi diferensial” dari variabel X.

Kurva yang menggambarkan kepadatan distribusi suatu variabel acak disebut kurva distribusi.

Kepadatan distribusi, seperti halnya fungsi distribusi, merupakan salah satu bentuk hukum distribusi. Berbeda dengan fungsi distribusi, bentuk ini bersifat universal: hanya ada untuk variabel acak kontinu.

Mari kita perhatikan nilai kontinu X dengan kepadatan distribusi f (x) dan bagian dasar DX,

berdekatan dengan titik X.

Peluang menemukan variabel acak X pada bagian dasar ini (dengan ketelitian hingga sangat kecil pada orde tinggi) sama dengan f(x)dx. Besaran f(x)dx disebut unsur probabilitas. Secara geometris, ini adalah luas persegi panjang dasar yang bertumpu pada ruas dx.

Mari kita nyatakan peluang jatuhnya nilai X pada ruas dari a ke b melalui kerapatan distribusi:

Jelasnya, ini sama dengan jumlah elemen probabilitas di seluruh bagian ini, yaitu integral:

Secara geometris, peluang masuknya nilai X pada bagian (a, b) sama dengan luas kurva distribusi berdasarkan bagian tersebut.

menyatakan kepadatan distribusi melalui fungsi distribusi. Mari kita tentukan sendiri masalah kebalikannya: untuk menyatakan fungsi distribusi dalam bentuk kepadatan

F(x)=P(X

Dari mana, menurut rumus (3), kita memperoleh:

F(x)=

Secara geometris, F(x) tidak lain adalah luas kurva distribusi yang terletak di sebelah kiri titik: X

Mari kita tunjukkan sifat-sifat utama kepadatan distribusi:

1. Kepadatan distribusi merupakan fungsi non-negatif

Sifat ini secara langsung mengikuti fakta bahwa fungsi distribusi F(x) adalah fungsi tak menurun.

2. Integral pada batas kerapatan distribusi yang tak terhingga adalah 1

Ini mengikuti fakta bahwa F(+¥)=1

Secara geometris, sifat dasar kerapatan distribusi berarti:

1. Seluruh kurva distribusi tidak terletak di bawah sumbu x.

2. Luas total yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x sama dengan 1.

KARAKTERISTIK NUMERIK VARIABEL ACAK. PERAN DAN TUJUANNYA.

Kami berkenalan dengan sejumlah karakteristik lengkap dari variabel acak - yang disebut hukum distribusi.

Untuk variabel acak diskrit

a) fungsi distribusi;

b) deret distribusi (secara grafis – kurva distribusi).

Setiap hukum distribusi mewakili fungsi tertentu, dan indikasi fungsi ini sepenuhnya

Menjelaskan variabel acak dari sudut pandang probabilistik.

Namun, dalam banyak pertanyaan praktis tidak perlu mengkarakterisasi variabel acak berdasarkan kepadatan secara mendalam.

Seringkali cukup untuk menunjukkan hanya parameter numerik individual yang sampai batas tertentu mencirikan fitur-fitur penting dari distribusi

nilai teh: misalnya, beberapa nilai rata-rata, di mana nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dikelompokkan; beberapa angka yang mencirikan tingkat hamburan nilai-nilai ini relatif terhadap rata-rata, dll.

Dengan menggunakan karakteristik tersebut, kita dapat mengungkapkan semua informasi penting tentang variabel acak yang kita miliki dengan cara yang paling ringkas menggunakan parameter numerik. Parameter ini, yang menyatakan fitur paling signifikan dari distribusi dalam bentuk numerik terkompresi, disebut karakteristik numerik variabel acak.

Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, sejumlah besar karakteristik numerik berbeda digunakan, yang memiliki tujuan berbeda dan area penerapan berbeda, namun semuanya dibagi menjadi dua kelas:

1. Karakteristik posisi.

2. Karakteristik hamburan.

Karakteristik posisi.

Harapan matematis. median. Mode. Momen awal.

Di antara ciri-ciri numerik variabel acak, pertama-tama kita harus memperhatikan ciri-ciri yang mencirikan posisi variabel acak pada sumbu bilangan, yaitu. e.Mereka menunjukkan beberapa rata-rata, nilai perkiraan di mana semua kemungkinan nilai variabel acak dikelompokkan.

Dari ciri-ciri suatu posisi dalam teori probabilitas, peran terpenting dimainkan oleh ekspektasi matematis suatu variabel acak, yang kadang-kadang disebut nilai rata-rata suatu variabel acak.

Mari kita perhatikan variabel diskrit acak X yang memiliki kemungkinan nilai X1,X2,…Xn dengan probabilitas P1, P2,…Pn.

Kita perlu mengkarakterisasi dengan suatu bilangan posisi nilai-nilai suatu variabel acak pada sumbu absis. Untuk tujuan ini, wajar untuk menggunakan apa yang disebut “rata-rata tertimbang” dari nilai Xi, dengan setiap nilai Xi di ?????????? harus diperhitungkan dengan “bobot” yang sebanding dengan probabilitas nilai ini. Itu. Kita akan menghitung nilai rata-rata dari variabel acak x, yang akan kita nyatakan dengan M[x]

Atau mempertimbangkan itu

Rata-rata tertimbang ini disebut ekspektasi matematis dari variabel acak.

Ekspektasi matematis dari variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai c yang mungkin. V. pada probabilitas nilai-nilai ini.

Perhatikan bahwa dalam rumusan di atas, definisi ekspektasi matematis hanya berlaku untuk variabel acak diskrit.

Untuk nilai kontinu x, ekspektasi matematis secara alami dinyatakan bukan sebagai jumlah, tetapi sebagai integral:

Dimana f(x) adalah kepadatan distribusi variabel acak X.

Elemen probabilitas F(x)dx.

Selain ciri-ciri posisi yang paling penting - ekspektasi matematis - dalam praktiknya, ciri-ciri posisi lain kadang-kadang digunakan, khususnya modus dan median.

Modus suatu variabel acak adalah nilai yang paling mungkin; sebenarnya, kita hanya menerapkan x pada variabel diskrit

Untuk peubah acak kontinu, modus adalah nilai dimana kepadatan probabilitasnya maksimum

median s. V. X disebut nilainya Me, yaitu kemungkinan yang sama apakah variabel acak tersebut ternyata lebih kecil atau lebih besar dari Me

Secara geometris, median adalah absis titik di mana luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dibagi menjadi beberapa bagian.

‘ PSeperti apa grafik fungsi distribusinya

Soal 5.50

Ada lampu lalu lintas otomatis di persimpangan, di mana

Lampu hijau menyala 1 menit, lampu merah menyala 0,5 menit, lalu lampu hijau menyala 1 menit, lampu merah menyala 0,5 menit, dan seterusnya.

seseorang mendekati persimpangan dengan mobil secara acak yang tidak berhubungan dengan pekerjaan

lampu lalu lintas

a) tentukan peluang dia akan melewati persimpangan tersebut tanpa berhenti

b) tentukan waktu tunggu rata-rata pada persimpangan tersebut

Momen yang dilalui mobil melalui persimpangan didistribusikan secara merata dalam selang waktu yang sama

Periode perubahan warna pada lampu lalu lintas

Periode ini adalah 1+0,5=1,5 menit

Agar mobil dapat melewati suatu persimpangan tanpa berhenti, cukuplah itu

Momen melewati persimpangan terjadi dalam selang waktu (0,1)

Untuk nilai acak, tunduk pada hukum kepadatan konstan dalam interval (0,1,5)

Probabilitas jatuh pada interval (0,1) sama dengan Waktu tunggu adalah variabel acak campuran, dengan probabilitas sama dengan 0, dan dengan Probabilitas dibutuhkan nilai apa pun antara 0 dan 0,5 menit dengan kepadatan probabilitas yang sama

Rata-rata waktu tunggu di suatu persimpangan

hukum distribusi Poisson

Dalam banyak permasalahan praktis, kita harus berhadapan dengan variabel acak yang terdistribusi menurut hukum khusus yang disebut hukum Poisson. Mari kita pertimbangkan

Besaran diskrit yang hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat non-negatif

0,1,2,...,m,...,

dan urutan nilai-nilai ini praktis tidak terbatas.

Suatu variabel acak X dikatakan terdistribusi menurut hukum Racun jika peluangnya adalah

Dibutuhkan nilai m tertentu yang dinyatakan dengan rumus

dimana a adalah suatu nilai positif yang disebut parameter Poisson. Deret distribusi variabel acak X, yang didistribusikan menurut hukum Poisson, berbentuk;

Xm				...	M	...
Pm

Varians nilai X adalah sama dengan

Peluang suatu variabel acak yang tunduk pada hukum normal jatuh ke suatu daerah tertentu.

Dalam banyak masalah yang berkaitan dengan variabel acak berdistribusi normal, perlu untuk menentukan probabilitas kemunculan variabel acak X, sesuai dengan hukum normal dengan parameter

m, s, ke luas dari a ke b.

Untuk menghitung probabilitas ini, kami menggunakan rumus umum.

R(sebuah< C< b) = F(b) – F(a) (1)

dimana F(b) adalah fungsi distribusi nilai X di titik b

F(a)-fungsi distribusi nilai X di titik a

Mari kita cari fungsi distribusi F(x) dari variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter m, s. Kepadatan

distribusi nilai X sama dengan:

Dari sini kita menemukan fungsi distribusi:

Mari kita ubah variabel pada integral:

Dan mari kita letakkan dalam bentuk ini:

Integral ini tidak dinyatakan dalam fungsi dasar, tetapi untuk itu

tabel telah dikompilasi.

Fungsi distribusi tabular (yang disebut tabel integral probabilitas) dilambangkan dengan:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi ini tidak lebih dari fungsi distribusi untuk acak yang terdistribusi normal

besaran dengan parameter m=0; s=1

Fungsi distribusi Ф*(х) disebut juga fungsi distribusi normal.

Mari kita nyatakan fungsi distribusi nilai X dengan parameter m, s melalui fungsi distribusi normal:

Sekarang mari kita cari peluang munculnya variabel acak X pada bagian dari a ke b.

Menurut rumus (1):

Jadi, kita nyatakan peluang mengenai area dari a sampai

B dari variabel acak yang terdistribusi menurut hukum distribusi normal dengan parameter apa pun, melalui fungsi distribusi standar Ф*(x), sesuai dengan hukum distribusi normal dengan parameter m=0 dan s=1. Perhatikan bahwa argumen fungsi * pada rumus terakhir memiliki arti sederhana:

Terdapat jarak dari ujung kanan bagian b ke pusat hamburan, yang dinyatakan dalam simpangan baku;

Terdapat jarak yang sama untuk ujung kiri bagian, dan jarak tersebut dianggap positif jika ujungnya terletak di sebelah kanan pusat hamburan, dan negatif jika berada di sebelah kiri.

Seperti fungsi distribusi lainnya, fungsi Ф*(х) memiliki sifat berikut:

3.Ф*(х) - fungsi tidak menurun.

Selain itu, dari kesimetrian distribusi normal dengan parameter m=0 dan s=1 relatif terhadap titik asal, maka

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Perhatikan contoh berikut.

Variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum normal, mewakili kesalahan dalam mengukur jarak tertentu.

Saat mengukur, kesalahan sistematis diperbolehkan menuju perkiraan yang terlalu tinggi sebesar 1,2 (m); Simpangan baku kesalahan pengukuran adalah 0,8(m).

Tentukan peluang bahwa penyimpangan nilai terukur dari nilai sebenarnya tidak akan melebihi 1,6(m) dalam nilai absolut.

Kesalahan pengukuran adalah variabel acak X, tunduk pada hukum normal dengan parameter m=12, s=0,8.

Kita perlu mencari peluang jatuhnya besaran tersebut pada luas daerah tersebut

a=--1, b sampai b= +1,6.

Menurut rumus yang kita miliki:

Menggunakan tabel fungsi Ф*(0.5)=0.6915 dan Ф*(-3.5)=0.0002

P(-1.6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Soal 5.48.

Penolakan bola untuk bantalan dilakukan sebagai berikut:

jika bola tidak melewati lubang dengan diameter d2>d1, maka ukurannya dianggap dapat diterima. Jika salah satu kondisi ini tidak terpenuhi, bola ditolak. Diketahui diameter bola D merupakan peubah acak berdistribusi normal dengan ciri-cirinya

Tentukan peluang q bola ditolak.

q= 1- p(d1< d < d2);

Diketahui ukuran D bola untuk suatu bantalan merupakan variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal. Bola ditolak dengan cara yang sama seperti yang ditunjukkan pada soal sebelumnya. Diketahui rata-rata ukuran bola adalah sama dengan

Dan cacat berjumlah 10% dari total keluaran. Tentukan simpangan baku diameter bola sd.

Mirip dengan masalah sebelumnya, kemungkinan menikah

Di mana

Soal 5-54

Variabel acak x tunduk pada hukum normal dengan matematika mx = 0. Peluang terbacanya variabel acak ini pada bagian -1 sampai 1 adalah 0,5.

Temukan simpangan baku dan tulis persamaan hukum normalnya

Dari mana datangnya keseimbangan distribusi?

Mari kita gambarkan fungsi paritas distribusi

X	-5	-4	-3	-2	-1

	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Seharusnya ada grafik di sini

Soal 5-58.

Ada variabel acak x, tunduk pada hukum normal e dengan ekspektasi matematika mx, dan dengan standar deviasi sigma dari x. Diperlukan kira-kira

Gantikan hukum normal dengan hukum kerapatan konstan pada interval alfa, beta; batas alfa dan beta harus dipilih sedemikian rupa sehingga karakteristik utama variabel acak x tidak berubah: ekspektasi matematis dan dispersi.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Pilihan 2

Variabel acak X tunduk pada hukum normal dengan ekspektasi matematis Mx=6. Peluang variabel acak ini masuk ke dalam area 4 sampai 8 adalah 0,6. Temukan simpangan baku dan tuliskan persamaan hukum normalnya. Buatlah grafik kepadatan distribusi.

Dari manakah kepadatan distribusi itu berasal?

Mari kita gambarkan kepadatan distribusinya.

X	-1

	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08	-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

ATURAN TIGA s

Biarkan nilai normal X terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter M dan s. Kita akan menunjukkan bahwa, dengan ketelitian 03%, suatu besaran yang tunduk pada hukum mengambil nilai yang mungkin tidak menyimpang dari pusat hamburan ± 3s.

Kami ingin menemukan sesuatu

Tidak akan melebihi 0003

Aturan 3s dalam statistik sangatlah penting.

Salah satu aturan 3s yang paling umum adalah eksperimen penyaringan. Dalam percobaan penyaringan, outlier disaring.

Masalah utama statistik matematika

Formulir acara kelompok penuh, jika setidaknya salah satu dari mereka pasti muncul sebagai hasil percobaan dan tidak kompatibel secara berpasangan.

Mari kita asumsikan peristiwa itu A dapat terjadi hanya bersama-sama dengan salah satu dari beberapa peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel yang membentuk kelompok yang lengkap. Kami akan memanggil acara ( Saya= 1, 2,…, N) hipotesis pengalaman tambahan (apriori). Peluang terjadinya kejadian A ditentukan oleh rumus kemungkinan penuh :

Contoh 16. Ada tiga guci. Guci pertama berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua berisi 4 bola putih dan 4 bola hitam, dan guci ketiga berisi 8 bola putih. Salah satu guci dipilih secara acak (ini bisa berarti, misalnya, pilihan dibuat dari guci tambahan yang berisi tiga bola bernomor 1, 2, dan 3). Sebuah bola diambil secara acak dari guci ini. Berapa peluang terambilnya warna hitam?

Larutan. Peristiwa A– bola hitam dikeluarkan. Jika diketahui dari guci mana bola diambil, maka peluang yang diinginkan dapat dihitung dengan menggunakan definisi klasik tentang peluang. Mari kita perkenalkan asumsi (hipotesis) mengenai guci mana yang dipilih untuk mengambil bola.

Bola dapat diambil dari guci pertama (dugaan), atau dari guci kedua (dugaan), atau dari guci ketiga (dugaan). Karena peluangnya sama untuk memilih salah satu guci, maka .

Oleh karena itu

Contoh 17. Lampu listrik diproduksi di tiga pabrik. Pabrik pertama memproduksi 30% dari total jumlah lampu listrik, pabrik kedua - 25%,
dan yang ketiga - sisanya. Produk dari pabrik pertama mengandung 1% lampu listrik yang rusak, pabrik kedua - 1,5%, dan pabrik ketiga - 2%. Toko tersebut menerima produk dari ketiga pabrik. Berapa peluang lampu yang dibeli di toko rusak?

Larutan. Asumsi harus dibuat mengenai di pabrik mana bola lampu itu diproduksi. Mengetahui hal ini, kita dapat mengetahui kemungkinan bahwa produk tersebut cacat. Mari kita perkenalkan notasi untuk kejadian: A– lampu listrik yang dibeli ternyata rusak, – lampu diproduksi oleh pabrik pertama, – lampu diproduksi oleh pabrik kedua,
– lampu diproduksi oleh pabrik ketiga.

Kami menemukan probabilitas yang diinginkan menggunakan rumus probabilitas total:

rumus Bayes. Misalkan ada sekelompok peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel (hipotesis). A– peristiwa acak. Kemudian,

Rumus terakhir yang memungkinkan seseorang untuk memperkirakan kembali probabilitas suatu hipotesis setelah hasil pengujian yang mengakibatkan kejadian A diketahui disebut rumus Bayes .

Contoh 18. Rata-rata, 50% pasien penyakit ini dirawat di rumah sakit khusus KE, 30% – dengan penyakit L, 20 % –
dengan penyakit M. Kemungkinan kesembuhan total penyakit ini K sama dengan 0,7 untuk penyakit L Dan M probabilitas ini masing-masing adalah 0,8 dan 0,9. Pasien yang dirawat di rumah sakit dipulangkan dalam keadaan sehat. Temukan kemungkinan pasien tersebut menderita penyakit tersebut K.

Larutan. Mari kita perkenalkan hipotesis: – pasien menderita suatu penyakit KE L, – pasien menderita suatu penyakit M.

Kemudian, sesuai dengan kondisi masalahnya, kita punya. Mari kita perkenalkan sebuah acara A– pasien yang dirawat di rumah sakit dipulangkan dalam keadaan sehat. Dengan syarat

Dengan menggunakan rumus probabilitas total kita memperoleh:

Menurut rumus Bayes.

Contoh 19. Misalkan ada lima bola di dalam guci dan semua tebakan tentang jumlah bola putih memiliki kemungkinan yang sama. Sebuah bola diambil secara acak dari guci dan ternyata berwarna putih. Asumsi apa yang paling mungkin tentang komposisi awal guci?

Larutan. Misalkan ada hipotesis bahwa ada bola putih di dalam guci , yaitu, enam asumsi dapat dibuat. Kemudian, sesuai dengan kondisi masalahnya, kita punya.

Mari kita perkenalkan sebuah acara A– sebuah bola putih diambil secara acak. Mari kita hitung. Karena , maka menurut rumus Bayes kita mempunyai:

Jadi hipotesis yang paling mungkin adalah karena .

Contoh 20. Dua dari tiga elemen perangkat komputasi yang beroperasi secara independen telah gagal. Tentukan peluang kegagalan elemen pertama dan kedua jika peluang kegagalan elemen pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah 0,2; 0,4 dan 0,3.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan A acara – dua elemen telah gagal. Hipotesis berikut dapat dibuat:

– elemen pertama dan kedua gagal, namun elemen ketiga tetap beroperasi. Karena elemen beroperasi secara independen, berlaku teorema perkalian:

Tampilan Detail: 2154

Rumus Probabilitas Total dan Rumus Bayes

Dalam pelajaran ini kita akan melihat akibat wajar yang penting teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas dan pelajari cara memecahkan masalah umum pada topik tersebut. Pembaca yang telah membaca artikel tentang peristiwa yang bergantung, akan lebih sederhana, karena di dalamnya kita sebenarnya sudah mulai menggunakan rumus probabilitas total. Jika Anda berasal dari mesin pencari dan/atau tidak mengerti teori probabilitas (tautan ke pelajaran pertama kursus), maka saya sarankan untuk mengunjungi halaman ini terlebih dahulu.

Sebenarnya, mari kita lanjutkan. Mari kita pertimbangkan acara bergantung, yang hanya dapat terjadi sebagai akibat dari penerapan salah satu hal yang tidak kompatibel hipotesis , bentuk apa kelompok penuh. Biarkan probabilitasnya dan probabilitas bersyarat yang terkait diketahui. Maka peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah:

Rumus ini disebut rumus probabilitas total. Dalam buku teks dirumuskan sebagai teorema yang pembuktiannya mendasar: menurut aljabar peristiwa, (suatu peristiwa terjadi Dan atau suatu peristiwa terjadi Dan setelah itu datanglah sebuah acara atau suatu peristiwa terjadi Dan setelah itu datanglah sebuah acara atau …. atau suatu peristiwa terjadi Dan setelah itu datanglah sebuah acara). Sejak hipotesis tidak kompatibel, dan acaranya bergantung, maka menurut teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai (langkah pertama) Dan teorema perkalian probabilitas kejadian dependen (langkah kedua):

Banyak orang mungkin mengantisipasi isi contoh pertama =)

Di mana pun Anda meludah, di situ ada guci:

Masalah 1

Ada tiga guci yang identik. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, guci kedua hanya berisi bola putih dan guci ketiga hanya berisi bola hitam. Satu guci dipilih secara acak dan sebuah bola diambil darinya secara acak. Berapa peluang terambilnya bola berwarna hitam?

Larutan: pertimbangkan kejadian tersebut - sebuah bola hitam akan diambil dari guci yang dipilih secara acak. Peristiwa ini dapat terjadi sebagai akibat dari salah satu hipotesis berikut:
- guci pertama akan dipilih;
- guci ke-2 akan dipilih;
- guci ke 3 akan dipilih.

Karena guci dipilih secara acak, pilihan salah satu dari tiga guci sama mungkinnya, karena itu:

Harap dicatat bahwa hipotesis di atas terbentuk kumpulan acara lengkap Artinya, menurut syaratnya, bola hitam hanya bisa muncul dari guci-guci tersebut, dan misalnya tidak bisa keluar dari meja billiard. Mari kita lakukan pemeriksaan perantara sederhana:
, oke, mari kita lanjutkan:

Guci pertama berisi 4 bola putih + 7 hitam = masing-masing 11 bola definisi klasik:
- kemungkinan terambilnya bola hitam mengingat bahwa, bahwa guci pertama akan dipilih.

Guci kedua hanya berisi bola-bola putih saja, jadi jika dipilih penampakan bola hitam menjadi mustahil: .

Dan terakhir, guci ketiga hanya berisi bola-bola hitam yang artinya sesuai probabilitas bersyarat mengekstraksi bola hitam akan menjadi (acara ini dapat diandalkan).

- peluang terambilnya bola hitam dari guci yang dipilih secara acak.

Menjawab:

Contoh yang dianalisis sekali lagi menunjukkan betapa pentingnya mempelajari KONDISI. Mari kita ambil masalah yang sama dengan guci dan bola - meskipun memiliki kemiripan luar, metode penyelesaiannya bisa sangat berbeda: di suatu tempat Anda hanya perlu menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, di suatu tempat acara mandiri, di suatu tempat bergantung, dan di suatu tempat kita berbicara tentang hipotesis. Pada saat yang sama, tidak ada kriteria formal yang jelas untuk memilih solusi - Anda hampir selalu perlu memikirkannya. Bagaimana cara meningkatkan keterampilan Anda? Kami memutuskan, kami memutuskan dan kami memutuskan lagi!

Masalah 2

Jarak tembaknya memiliki 5 senapan dengan akurasi yang berbeda-beda. Probabilitas mengenai sasaran untuk penembak tertentu adalah sama dan 0,4. Berapa peluang mengenai sasaran jika penembak melepaskan satu tembakan dari senapan yang dipilih secara acak?

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam sebagian besar masalah tematik, hipotesisnya tentu saja tidak memiliki kemungkinan yang sama:

Masalah 3

Ada 5 senapan di dalam piramida, tiga di antaranya dilengkapi dengan penglihatan optik. Peluang seorang penembak mengenai sasaran ketika menembakkan senapan dengan penglihatan teleskopik adalah 0,95; untuk senapan tanpa penglihatan optik, probabilitasnya adalah 0,7. Tentukan peluang sasaran mengenai sasaran jika penembak melepaskan satu tembakan dari senapan yang diambil secara acak.

Larutan: pada soal ini jumlah senapannya sama persis dengan soal sebelumnya, namun hanya ada dua hipotesis:
- penembak akan memilih senapan dengan penglihatan optik;
- penembak akan memilih senapan tanpa penglihatan optik.
Oleh definisi klasik tentang probabilitas: .
Kontrol:

Perhatikan kejadian berikut: - Seorang penembak mengenai sasaran dengan senapan yang diambil secara acak.
Sesuai dengan kondisi : .

Menurut rumus probabilitas total:

Menjawab: 0,85

Dalam praktiknya, cara singkat untuk memformat tugas, yang juga Anda kenal, cukup dapat diterima:

Larutan: menurut definisi klasik: - kemungkinan memilih senapan dengan penglihatan optik dan tanpa penglihatan optik.

Sesuai dengan kondisinya, - kemungkinan mengenai sasaran dari jenis senapan yang sesuai.

Menurut rumus probabilitas total:
- kemungkinan penembak akan mengenai sasaran dengan senapan yang dipilih secara acak.

Menjawab: 0,85

Tugas berikut ini harus Anda selesaikan sendiri:

Masalah 4

Mesin beroperasi dalam tiga mode: normal, paksa, dan idle. Dalam mode siaga, kemungkinan kegagalannya adalah 0,05, dalam mode operasi normal - 0,1, dan dalam mode paksa - 0,7. 70% dari waktu mesin beroperasi dalam mode normal, dan 20% dalam mode paksa. Berapa kemungkinan kegagalan mesin selama pengoperasian?

Untuk berjaga-jaga, izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk mendapatkan nilai probabilitas, persentasenya harus dibagi 100. Berhati-hatilah! Menurut pengamatan saya, orang sering kali mencoba mengacaukan kondisi permasalahan yang melibatkan rumus probabilitas total; dan saya secara khusus memilih contoh ini. Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya hampir bingung =)

Solusi di akhir pelajaran (diformat secara singkat)

Soal menggunakan rumus Bayes

Materinya erat kaitannya dengan isi paragraf sebelumnya. Biarkan peristiwa tersebut terjadi sebagai akibat dari penerapan salah satu hipotesis . Bagaimana cara menentukan kemungkinan terjadinya hipotesis tertentu?

Mengingat bahwa acara itu sudah terjadi, probabilitas hipotesis dinilai terlalu tinggi menurut rumus yang mendapat nama pendeta Inggris Thomas Bayes:

- kemungkinan hipotesis itu terjadi;
- kemungkinan hipotesis itu terjadi;
…
- kemungkinan hipotesis itu terjadi.

Sepintas, hal ini tampak sangat tidak masuk akal - mengapa menghitung ulang probabilitas hipotesis jika sudah diketahui? Namun nyatanya ada perbedaan:

Ini secara apriori(perkiraan ke tes) probabilitas.

Ini sebuah posteriori(perkiraan setelah tes) probabilitas hipotesis yang sama, dihitung ulang sehubungan dengan "keadaan yang baru ditemukan" - dengan mempertimbangkan fakta bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi.

Mari kita lihat perbedaan ini dengan contoh spesifik:

Masalah 5

2 batch produk tiba di gudang: yang pertama - 4000 buah, yang kedua - 6000 buah. Persentase rata-rata produk non-standar pada batch pertama adalah 20%, dan pada batch kedua - 10%. Produk yang diambil dari gudang secara acak ternyata standar. Tentukan peluang terambilnya: a) dari kelompok pertama, b) dari kelompok kedua.

Bagian pertama solusi terdiri dari penggunaan rumus probabilitas total. Dengan kata lain, perhitungan dilakukan berdasarkan asumsi pengujian belum diproduksi dan acara “produknya ternyata standar” Belum.

Mari kita pertimbangkan dua hipotesis:
- produk yang diambil secara acak akan berasal dari batch pertama;
- Produk yang diambil secara acak akan berasal dari batch ke-2.

Total: 4000 + 6000 = 10.000 item dalam stok. Menurut definisi klasik:
.

Kontrol:

Mari kita pertimbangkan kejadian dependen: - produk yang diambil secara acak dari gudang akan menjadi produk standar.

Pada batch pertama 100% - 20% = 80% produk standar, oleh karena itu: mengingat bahwa bahwa itu milik pihak pertama.

Begitu pula pada batch kedua 100% - 10% = 90% produk standar dan - kemungkinan produk yang diambil secara acak dari gudang adalah produk standar mengingat bahwa bahwa itu milik pihak ke-2.

Menurut rumus probabilitas total:
- kemungkinan produk yang diambil secara acak dari gudang adalah produk standar.

Bagian kedua. Biarlah produk yang diambil sembarangan dari gudang ternyata standar. Frasa ini secara langsung dinyatakan dalam kondisi, dan menyatakan fakta peristiwa itu telah terjadi.

Menurut rumus Bayes:

a) - probabilitas bahwa produk standar yang dipilih termasuk dalam batch pertama;

b) - probabilitas bahwa produk standar yang dipilih termasuk dalam batch ke-2.

Setelah revaluasi hipotesis, tentu saja, masih terbentuk kelompok penuh:
(penyelidikan;-))

Menjawab:

Ivan Vasilyevich, yang kembali mengubah profesinya dan menjadi direktur pabrik, akan membantu kita memahami arti revaluasi hipotesis. Dia mengetahui bahwa hari ini bengkel pertama mengirimkan 4.000 produk ke gudang, dan bengkel ke-2 - 6.000 produk, dan datang untuk memastikan hal ini. Anggaplah semua produk memiliki jenis yang sama dan berada dalam wadah yang sama. Tentu saja, Ivan Vasilyevich sebelumnya menghitung bahwa produk yang sekarang akan dia keluarkan untuk diperiksa kemungkinan besar akan diproduksi oleh bengkel pertama dan kemungkinan besar oleh bengkel kedua. Namun setelah produk yang dipilih ternyata standar, ia berseru: “Baut yang keren! “Itu agaknya dirilis pada lokakarya ke-2.” Jadi, probabilitas hipotesis kedua ditaksir terlalu tinggi menjadi lebih baik, dan probabilitas hipotesis pertama diremehkan: . Dan penilaian ulang ini bukannya tidak berdasar - lagi pula, bengkel ke-2 tidak hanya menghasilkan lebih banyak produk, tetapi juga bekerja 2 kali lebih baik!

Subjektivisme murni, katamu? Sebagian - ya, apalagi Bayes sendiri yang menafsirkannya sebuah posteriori probabilitas sebagai tingkat kepercayaan. Namun, tidak semuanya sesederhana itu - ada juga butir objektif dalam pendekatan Bayesian. Lagi pula, kemungkinan besar produk tersebut akan menjadi standar (0,8 dan 0,9 masing-masing untuk lokakarya pertama dan kedua) Ini pendahuluan(apriori) dan rata-rata penilaian. Tapi, secara filosofis, semuanya mengalir, semuanya berubah, termasuk probabilitas. Hal ini sangat mungkin terjadi pada saat penelitian lokakarya ke-2 yang lebih sukses meningkatkan persentase produk standar yang dihasilkan (dan/atau lokakarya pertama dikurangi), dan jika Anda memeriksa jumlah yang lebih besar atau seluruh 10 ribu produk di gudang, maka nilai yang terlalu tinggi akan menjadi lebih mendekati kebenaran.

Ngomong-ngomong, jika Ivan Vasilyevich mengekstrak bagian yang tidak standar, maka sebaliknya - dia akan lebih "mencurigai" pada bengkel pertama dan kurang pada bengkel kedua. Saya sarankan Anda memeriksanya sendiri:

Masalah 6

2 batch produk tiba di gudang: yang pertama - 4000 buah, yang kedua - 6000 buah. Persentase rata-rata produk non-standar pada batch pertama adalah 20%, pada batch kedua - 10%. Produk yang diambil dari gudang secara acak ternyata Bukan standar. Tentukan peluang terambilnya: a) dari kelompok pertama, b) dari kelompok kedua.

Syaratnya dibedakan dengan dua huruf yang saya tandai tebal. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dari awal, atau menggunakan hasil perhitungan sebelumnya. Dalam sampel, saya melakukan solusi lengkap, tetapi untuk menghindari tumpang tindih formal dengan Soal No. 5, acara “produk yang diambil secara acak dari gudang akan menjadi non-standar” ditunjukkan oleh .

Skema Bayesian untuk memperkirakan ulang probabilitas ditemukan di mana-mana, dan juga dieksploitasi secara aktif oleh berbagai jenis penipu. Mari kita pertimbangkan sebuah perusahaan saham gabungan tiga huruf yang telah menjadi nama rumah tangga, yang menarik simpanan dari masyarakat, diduga menginvestasikannya di suatu tempat, secara teratur membayar dividen, dll. Apa yang terjadi? Hari demi hari, bulan demi bulan berlalu, dan semakin banyak fakta baru yang disampaikan melalui iklan dan promosi dari mulut ke mulut hanya meningkatkan tingkat kepercayaan terhadap piramida keuangan. (estimasi ulang Bayesian posteriori karena peristiwa masa lalu!). Artinya, di mata investor, ada kemungkinan yang terus meningkat “ini adalah kantor yang serius”; sedangkan probabilitas hipotesis sebaliknya (“ini hanya penipu lagi”), tentu saja, menurun dan menurun. Berikut ini, menurut saya, sudah jelas. Patut dicatat bahwa reputasi yang diperoleh memberi waktu kepada penyelenggara untuk berhasil bersembunyi dari Ivan Vasilyevich, yang tidak hanya dibiarkan tanpa baut, tetapi juga tanpa celana.

Kita akan kembali ke contoh yang sama menariknya nanti, tetapi untuk saat ini langkah selanjutnya mungkin merupakan kasus paling umum dengan tiga hipotesis:

Masalah 7

Lampu listrik diproduksi di tiga pabrik. Pabrik pertama memproduksi 30% dari total jumlah lampu, pabrik kedua - 55%, dan pabrik ketiga - sisanya. Produk dari pabrik pertama mengandung 1% lampu cacat, pabrik kedua - 1,5%, dan pabrik ketiga - 2%. Toko tersebut menerima produk dari ketiga pabrik. Lampu yang dibeli ternyata rusak. Berapa peluang dihasilkan oleh pabrik 2?

Perhatikan bahwa dalam soal pada rumus Bayes dalam kondisi Perlu ada yang pasti Apa yang terjadi acara, dalam hal ini pembelian lampu.

Acara telah meningkat, dan larutan Lebih mudah untuk mengaturnya dengan gaya "cepat".

Algoritmenya persis sama: pada langkah pertama kita mencari kemungkinan lampu yang dibeli rusak.

Dengan menggunakan data awal, kami mengubah persentase menjadi probabilitas:
- probabilitas bahwa lampu tersebut masing-masing diproduksi oleh pabrik ke-1, ke-2, dan ke-3.
Kontrol:

Demikian pula: - kemungkinan memproduksi lampu yang rusak untuk pabrik terkait.

Menurut rumus probabilitas total:

- kemungkinan lampu yang dibeli rusak.

Langkah kedua. Biarkan lampu yang dibeli ternyata rusak (peristiwa itu terjadi)

Menurut rumus Bayes:
- kemungkinan bahwa lampu cacat yang dibeli diproduksi oleh pabrik kedua

Menjawab:

Mengapa probabilitas awal hipotesis ke-2 meningkat setelah revaluasi? Lagi pula, pabrik kedua menghasilkan lampu dengan kualitas rata-rata (pabrik pertama lebih baik, pabrik ketiga lebih buruk). Lalu kenapa bisa meningkat sebuah posteriori Mungkinkah lampu yang rusak itu dari pabrik ke 2? Hal ini tidak lagi dijelaskan oleh “reputasi”, tetapi oleh ukuran. Karena pabrik No. 2 memproduksi lampu dalam jumlah terbesar (lebih dari setengahnya), sifat subjektif dari perkiraan yang berlebihan setidaknya logis (“kemungkinan besar, lampu rusak ini berasal dari sana”).

Menarik untuk dicatat bahwa probabilitas hipotesis pertama dan ketiga ditaksir terlalu tinggi dalam arah yang diharapkan dan menjadi sama:

Kontrol: , itulah yang perlu diperiksa.

Omong-omong, tentang perkiraan yang terlalu rendah dan terlalu tinggi:

Masalah 8

Pada kelompok pelajar terdapat 3 orang yang tingkat kelatihannya tinggi, 19 orang yang tingkat pelatihannya sedang, dan 3 orang yang tingkat pelatihannya rendah. Peluang berhasil lulus ujian bagi siswa tersebut masing-masing adalah sebesar: 0,95; 0,7 dan 0,4. Diketahui ada beberapa siswa yang lulus ujian. Berapa probabilitasnya:

a) dia mempersiapkan diri dengan sangat baik;
b) cukup siap;
c) kurang siap.

Melakukan perhitungan dan menganalisis hasil evaluasi kembali hipotesis.

Tugas tersebut mendekati kenyataan dan sangat masuk akal bagi sekelompok siswa paruh waktu, di mana gurunya hampir tidak memiliki pengetahuan tentang kemampuan siswa tertentu. Dalam hal ini, akibatnya dapat menimbulkan akibat yang sangat tidak terduga. (khusus untuk ujian semester 1). Jika seorang siswa dengan persiapan yang buruk cukup beruntung untuk mendapatkan tiket, kemungkinan besar guru tersebut akan menganggapnya sebagai siswa yang baik atau bahkan siswa yang kuat, yang akan membawa keuntungan yang baik di masa depan. (tentu saja, Anda perlu “menaikkan standar” dan mempertahankan citra Anda). Jika seorang siswa belajar, belajar, dan mengulang selama 7 hari 7 malam, tetapi tidak beruntung, kejadian selanjutnya dapat berkembang dengan cara yang paling buruk - dengan banyak pengulangan dan keseimbangan di ambang eliminasi.

Tentu saja, reputasi adalah modal yang paling penting; bukan suatu kebetulan jika banyak perusahaan menyandang nama pendirinya, yang memimpin bisnis ini 100-200 tahun yang lalu dan menjadi terkenal karena reputasinya yang sempurna.

Ya, pendekatan Bayesian sampai batas tertentu subjektif, tapi... begitulah cara hidup bekerja!

Mari kita gabungkan materi dengan contoh industri terakhir, di mana saya akan berbicara tentang seluk-beluk teknis solusi yang sampai sekarang tidak diketahui:

Masalah 9

Tiga bengkel di pabrik memproduksi suku cadang dengan jenis yang sama, yang dikirim ke wadah umum untuk perakitan. Diketahui bengkel pertama memproduksi suku cadang 2 kali lebih banyak dibandingkan bengkel kedua, dan 4 kali lebih banyak dibandingkan bengkel ketiga. Di bengkel pertama tingkat cacatnya 12%, di bengkel kedua - 8%, di bengkel ketiga - 4%. Untuk pengendaliannya diambil satu bagian dari wadahnya. Berapa kemungkinan barang tersebut cacat? Berapa probabilitas bahwa bagian cacat yang diekstraksi diproduksi oleh bengkel ke-3?

Ivan Vasilyevich menunggang kuda lagi =) Filmnya pasti berakhir bahagia =)

Larutan: tidak seperti Soal No. 5-8, di sini pertanyaan diajukan secara eksplisit, yang diselesaikan dengan menggunakan rumus probabilitas total. Namun di sisi lain, kondisinya sedikit “terenkripsi”, dan keterampilan sekolah dalam menyusun persamaan sederhana akan membantu kita memecahkan teka-teki ini. Lebih mudah untuk mengambil nilai terkecil sebagai “x”:

Biarlah menjadi bagian suku cadang yang diproduksi oleh bengkel ketiga.

Berdasarkan kondisi bengkel pertama menghasilkan produksi 4 kali lebih banyak dibandingkan bengkel ketiga, maka pangsa bengkel pertama adalah .

Selain itu, bengkel pertama menghasilkan produk 2 kali lebih banyak dibandingkan bengkel kedua, yang berarti bagian bengkel kedua: .

Mari buat dan selesaikan persamaannya:

Jadi: - probabilitas bahwa bagian yang dikeluarkan dari wadah masing-masing diproduksi oleh bengkel ke-1, ke-2, dan ke-3.

Kontrol: . Selain itu, tidak ada salahnya untuk melihat kembali ungkapan tersebut “Diketahui bengkel pertama menghasilkan produk 2 kali lebih banyak dibandingkan bengkel kedua dan 4 kali lebih banyak dari bengkel ketiga.” dan pastikan nilai probabilitas yang diperoleh benar-benar sesuai dengan kondisi ini.

Awalnya, seseorang dapat mengambil bagian lokakarya pertama atau kedua sebagai “X” – probabilitasnya akan sama. Namun, dengan satu atau lain cara, bagian tersulit telah dilewati, dan solusinya sudah tepat sasaran:

Dari kondisi tersebut kita peroleh:
- kemungkinan pembuatan suku cadang yang rusak untuk bengkel terkait.

Menurut rumus probabilitas total:
- kemungkinan suatu bagian yang diambil secara acak dari wadah akan menjadi tidak standar.

Pertanyaan kedua: berapa probabilitas bahwa bagian cacat yang diekstraksi diproduksi oleh bengkel ke-3? Pertanyaan ini mengasumsikan bahwa bagian tersebut telah dilepas dan ternyata rusak. Kami mengevaluasi kembali hipotesis menggunakan rumus Bayes:
- probabilitas yang diinginkan. Sangat diharapkan - lagipula, bengkel ketiga tidak hanya memproduksi suku cadang dengan proporsi terkecil, tetapi juga memimpin dalam kualitas!

Teori singkat

Jika suatu peristiwa terjadi hanya dengan syarat terjadinya salah satu peristiwa yang membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel, maka peristiwa tersebut sama dengan jumlah produk probabilitas masing-masing peristiwa dengan dompet probabilitas bersyarat yang sesuai.

Dalam hal ini, peristiwa disebut hipotesis, dan probabilitas disebut apriori. Rumus ini disebut rumus probabilitas total.

Rumus Bayes digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah praktis ketika suatu peristiwa muncul bersama-sama dengan salah satu peristiwa yang membentuk kelompok peristiwa lengkap telah terjadi dan perlu dilakukan estimasi ulang kuantitatif terhadap probabilitas hipotesis. Probabilitas apriori (sebelum eksperimen) diketahui. Diperlukan untuk menghitung probabilitas posterior (setelah percobaan), yaitu. pada dasarnya Anda perlu menemukan probabilitas bersyarat. Rumus Bayes terlihat seperti ini:

Contoh penyelesaian masalah

Kondisi tugas 1

Di sebuah pabrik, mesin 1, 2 dan 3 memproduksi masing-masing 20%, 35% dan 45% dari seluruh komponen. Pada produknya, cacat masing-masing sebesar 6%, 4%, 2%. Berapa peluang suatu produk yang dipilih secara acak cacat? Berapa peluang dihasilkannya: a) dengan mesin 1; b) mesin 2; c) mesin 3?

Solusi untuk masalah 1

Mari kita nyatakan dengan peristiwa bahwa produk standar ternyata cacat.

Suatu peristiwa hanya dapat terjadi jika salah satu dari tiga peristiwa tersebut terjadi:

Produk diproduksi pada mesin 1;

Produk diproduksi pada mesin 2;

Produk diproduksi pada mesin 3;

Mari kita tuliskan probabilitas bersyarat:

Rumus Probabilitas Total

Jika suatu peristiwa hanya dapat terjadi jika salah satu peristiwa yang membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak sesuai terjadi, maka peluang peristiwa tersebut dihitung dengan rumus

Dengan menggunakan rumus peluang total, kita mencari peluang suatu kejadian:

rumus Bayes

Rumus Bayes memungkinkan Anda untuk “mengatur ulang sebab dan akibat”: dengan mempertimbangkan fakta yang diketahui tentang suatu peristiwa, hitung kemungkinan bahwa hal itu disebabkan oleh sebab tertentu.

Peluang produk cacat dibuat pada mesin 1:

Kemungkinan produk cacat diproduksi pada mesin 2:

Peluang produk cacat dibuat pada mesin 3:

Kondisi masalah 2

Kelompok tersebut terdiri dari 1 siswa berprestasi, 5 siswa berprestasi, dan 14 siswa berprestasi biasa-biasa saja. Siswa yang sangat baik menjawab 5 dan 4 dengan probabilitas yang sama, siswa yang sangat baik menjawab 5, 4, dan 3 dengan probabilitas yang sama, dan siswa yang biasa-biasa saja menjawab 4,3 dan 2 dengan probabilitas yang sama. Seorang siswa yang dipilih secara acak menjawab 4. Berapa peluang terambilnya siswa yang berprestasi biasa-biasa saja?