Het reduceren van de algemene vlakvergelijking naar de normale vorm. Normale vlakvergelijking. Parametrische vergelijkingen van een lijn in de ruimte
Normale vlakvergelijking.
De algemene vergelijking van een vlak van de vorm wordt genoemd normale vlakvergelijking, als de vectorlengte 
gelijk aan één, dat wil zeggen, 
, En .
Je kunt vaak zien dat de normaalvergelijking van een vlak wordt geschreven als . Hier zijn de richtingscosinussen van de normaalvector van een bepaald vlak met eenheidslengte, dat wil zeggen, en P– een niet-negatief getal dat gelijk is aan de afstand van de oorsprong tot het vlak.
Normaalvergelijking van een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz definieert een vlak dat over een afstand van de oorsprong verwijderd is P in de positieve richting van de normaalvector van dit vlak 
. Als p=0, dan passeert het vlak de oorsprong.
Laten we een voorbeeld geven van een normaalvlakvergelijking.
Laat het vlak gespecificeerd worden in een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz algemene vlakvergelijking van de vorm 
. Deze algemene vergelijking van het vlak is de normaalvergelijking van het vlak. De normaalvector van dit vlak is inderdaad 
heeft een lengte gelijk aan één, sindsdien 
.
Met de vergelijking van een vlak in normale vorm kunt u de afstand van een punt tot een vlak vinden.
Afstand van een punt tot een vlak.
De afstand van een punt tot een vlak is de kleinste afstand tussen dit punt en de punten van het vlak. Het is bekend dat afstand van een punt naar een vlak is gelijk aan de lengte van de loodlijn die van dit punt naar het vlak wordt getrokken.
Als en de oorsprong van coördinaten aan verschillende zijden van het vlak liggen, is het tegenovergestelde het geval. De afstand van een punt tot een vlak is
Onderlinge opstelling van vliegtuigen. Voorwaarden voor evenwijdigheid en loodrechtheid van vlakken.
Afstand tussen parallelle vlakken
Gerelateerde concepten
Vlakken zijn evenwijdig , Als
of 
(Vectorproduct)
Vlakken staan loodrecht, Als
Of 
. (Scalair product)
Recht in de ruimte. Verschillende soorten rechtelijnvergelijkingen.
Vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte - initiële informatie.
Vergelijking van een rechte lijn in een vlak Oxy is een lineaire vergelijking in twee variabelen X En j, waaraan wordt voldaan door de coördinaten van elk punt op een lijn en niet wordt voldaan door de coördinaten van andere punten. Bij een rechte lijn in de driedimensionale ruimte is de situatie iets anders: er bestaat geen lineaire vergelijking met drie variabelen X, j En z, waaraan alleen zou worden voldaan door de coördinaten van de punten van een lijn gespecificeerd in een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz. Inderdaad, een vergelijking van de vorm , waar X, j En z– variabelen, en A, B, C En D– enkele reële cijfers, en A, IN En MET zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul, vertegenwoordigt algemene vlakvergelijking. Dan rijst de vraag: “Hoe kan een rechte lijn worden beschreven in een rechthoekig coördinatensysteem? Oxyz»?
Het antwoord hierop vindt u in de volgende paragrafen van het artikel.
De vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte zijn de vergelijkingen van twee elkaar snijdende vlakken.
Laten we ons één axioma herinneren: als twee vlakken in de ruimte een gemeenschappelijk punt hebben, dan hebben ze een gemeenschappelijke rechte lijn waarop alle gemeenschappelijke punten van deze vlakken zich bevinden. Een rechte lijn in de ruimte kan dus worden gedefinieerd door twee vlakken te specificeren die elkaar langs deze rechte lijn snijden.
Laten we de laatste uitspraak vertalen in de taal van de algebra.
Laat een rechthoekig coördinatensysteem in de driedimensionale ruimte worden vastgelegd Oxyz en het is bekend dat de rechte lijn A is de snijlijn van twee vlakken en, die overeenkomen met de algemene vergelijkingen van het vlak van de vorm en, respectievelijk. Omdat het recht is A is de verzameling van alle gemeenschappelijke punten van de vlakken en dan zullen de coördinaten van elk punt op de lijn a tegelijkertijd aan zowel de vergelijking als de vergelijking voldoen, de coördinaten van geen enkel ander punt zullen tegelijkertijd aan beide vergelijkingen van de vlakken voldoen. Daarom de coördinaten van elk punt op de lijn A in een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz staan voor bijzondere oplossing voor een systeem van lineaire vergelijkingen vriendelijk 
, en de algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen 
bepaalt de coördinaten van elk punt op een lijn A, dat wil zeggen, definieert een rechte lijn A.
Dus een rechte lijn in de ruimte in een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz kan worden gegeven door een systeem van vergelijkingen van twee snijdende vlakken 
.
Hier is een voorbeeld van het definiëren van een rechte lijn in de ruimte met behulp van een systeem van twee vergelijkingen: 
.
Het beschrijven van een rechte lijn met de vergelijkingen van twee snijdende vlakken is uitstekend geschikt het vinden van de coördinaten van het snijpunt van een lijn en een vlak, en ook wanneer het vinden van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in de ruimte.
Wij raden verdere studie van dit onderwerp aan door naar het artikel te verwijzen vergelijkingen van een lijn in de ruimte - vergelijkingen van twee snijdende vlakken. Het biedt meer gedetailleerde informatie, bespreekt in detail oplossingen voor typische voorbeelden en problemen, en toont ook een methode voor de overgang naar vergelijkingen van een rechte lijn in een ruimte van een ander type.
Opgemerkt moet worden dat er verschillende zijn manieren om een lijn in de ruimte te definiëren, en in de praktijk wordt een rechte lijn vaak niet gedefinieerd door twee snijdende vlakken, maar door de richtvector van de rechte lijn en een punt dat op deze rechte lijn ligt. In deze gevallen is het gemakkelijker om canonieke en parametrische vergelijkingen van een lijn in de ruimte te verkrijgen. We zullen erover praten in de volgende paragrafen.
Parametrische vergelijkingen van een lijn in de ruimte.
Parametrische vergelijkingen van een lijn in de ruimte ziet eruit als 
,
Waar X 1 ,j 1 En z 1 – coördinaten van een bepaald punt op de lijn, A X , A j En A z (A X , A j En A z zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul) - overeenkomend coördinaten van de richtvector van de rechte lijn, a is een parameter die elke reële waarde kan aannemen.
Voor elke waarde van de parameter kunnen we, met behulp van de parametervergelijkingen van een lijn in de ruimte, een drietal getallen berekenen,
het komt overeen met een bepaald punt op de lijn (vandaar de naam van dit type lijnvergelijking). Wanneer bijvoorbeeld
uit de parametervergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte verkrijgen we de coördinaten X 1
, j 1
En z 1
: 
.
Beschouw als voorbeeld een rechte lijn die wordt gedefinieerd door parametervergelijkingen van de vorm 
. Deze lijn gaat door een punt en de richtingsvector van deze lijn heeft coördinaten.
We raden aan het onderwerp verder te bestuderen door het artikel te raadplegen parametervergelijkingen van een lijn in de ruimte. Het toont de afleiding van parametervergelijkingen van een lijn in de ruimte, onderzoekt speciale gevallen van parametervergelijkingen van een lijn in de ruimte, biedt grafische illustraties, biedt gedetailleerde oplossingen voor karakteristieke problemen, en geeft het verband aan tussen parametervergelijkingen van een lijn en andere soorten vergelijkingen. vergelijkingen van een lijn.
Canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte.
Na elk van de parametrische rechtelijnvergelijkingen van het formulier te hebben opgelost 
met betrekking tot de parameter is het gemakkelijk om naar toe te gaan canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte vriendelijk 
.
De canonieke vergelijkingen van een lijn in de ruimte bepalen een lijn die door een punt gaat 
, en de richtingsvector van de rechte lijn is de vector 
. Bijvoorbeeld de vergelijkingen van een rechte lijn in canonieke vorm 
corresponderen met een lijn die door een punt in de ruimte gaat met coördinaten, de richtingsvector van deze lijn heeft coördinaten.
Opgemerkt moet worden dat een of twee van de getallen in de canonieke vergelijkingen van een lijn gelijk kunnen zijn aan nul (alle drie de getallen kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, aangezien de richtingsvector van een lijn niet nul kan zijn). Dan een notatie van het formulier 
wordt als formeel beschouwd (aangezien de noemers van een of twee breuken nullen hebben) en moet worden opgevat als 
, Waar.
Als een van de getallen in de canonieke vergelijkingen van een lijn gelijk is aan nul, dan ligt de lijn in een van de coördinaatvlakken, of in een vlak evenwijdig daaraan. Als twee van de getallen nul zijn, valt de lijn samen met een van de coördinaatassen of is ze evenwijdig daaraan. Bijvoorbeeld een lijn die overeenkomt met de canonieke vergelijkingen van een lijn in de ruimte van de vorm 
, ligt in het vliegtuig z=-2, dat evenwijdig is aan het coördinatenvlak Oxy en de coördinatenas Oei wordt bepaald door canonieke vergelijkingen.
Voor grafische illustraties van deze gevallen, de afleiding van de canonieke vergelijkingen van een lijn in de ruimte, gedetailleerde oplossingen van typische voorbeelden en problemen, evenals de overgang van de canonieke vergelijkingen van een lijn naar andere vergelijkingen van een lijn in de ruimte, zie de artikel canonieke vergelijkingen van een lijn in de ruimte.
Algemene vergelijking van een rechte lijn. Overgang van de algemene naar de canonieke vergelijking.
| " |
In deze les zullen we bekijken hoe we de determinant kunnen gebruiken om te creëren vlakke vergelijking. Als je niet weet wat een determinant is, ga dan naar het eerste deel van de les - “Matrices en determinanten”. Anders loop je het risico dat je niets van het materiaal van vandaag begrijpt.
Vergelijking van een vlak met behulp van drie punten
Waarom hebben we überhaupt een vlakvergelijking nodig? Het is simpel: als we het weten, kunnen we gemakkelijk hoeken, afstanden en andere onzin berekenen in opgave C2. Over het algemeen kun je niet zonder deze vergelijking. Daarom formuleren we het probleem:
Taak. In de ruimte zijn drie punten gegeven die niet op dezelfde lijn liggen. Hun coördinaten:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Je moet een vergelijking maken voor het vlak dat door deze drie punten gaat. Bovendien zou de vergelijking er als volgt uit moeten zien:
Bijl + Door + Cz + D = 0
waarbij de getallen A, B, C en D de coëfficiënten zijn die in feite moeten worden gevonden.
Welnu, hoe krijg je de vergelijking van een vlak als alleen de coördinaten van de punten bekend zijn? De eenvoudigste manier is om de coördinaten in te vullen in de vergelijking Ax + By + Cz + D = 0. Je krijgt een systeem van drie vergelijkingen die gemakkelijk kunnen worden opgelost.
Veel studenten vinden deze oplossing uiterst vervelend en onbetrouwbaar. Uit het Unified State Examination in de wiskunde van vorig jaar bleek dat de kans op het maken van een rekenfout erg groot is.
Daarom gingen de meest gevorderde leraren op zoek naar eenvoudigere en elegantere oplossingen. En ze hebben het gevonden! Het is waar dat de verkregen techniek eerder betrekking heeft op hogere wiskunde. Persoonlijk moest ik de hele Federale Lijst van Leerboeken doorzoeken om er zeker van te zijn dat we het recht hebben om deze techniek te gebruiken zonder enige rechtvaardiging of bewijs.
Vergelijking van een vlak door een determinant
Genoeg teksten, laten we aan de slag gaan. Om te beginnen een stelling over hoe de determinant van een matrix en de vergelijking van het vlak met elkaar samenhangen.
Stelling. Geef de coördinaten van drie punten waar het vlak doorheen moet worden getrokken: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Vervolgens kan de vergelijking van dit vlak via de determinant worden geschreven:
Laten we als voorbeeld proberen een paar vlakken te vinden die daadwerkelijk voorkomen in opgave C2. Kijk hoe snel alles wordt berekend:
EEN 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
Cl = (1, 1, 1);
We stellen een determinant samen en stellen deze gelijk aan nul:
We breiden de determinant uit:
een = 1 1 (z − 1) + 0 0 X + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = een − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Zoals je kunt zien, heb ik bij het berekenen van het getal d de vergelijking een beetje "gekamd" zodat de variabelen x, y en z in de juiste volgorde stonden. Dat is alles! De vlakvergelijking is klaar!
Taak. Schrijf een vergelijking voor een vlak dat door de punten gaat:
EEN = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);
We vervangen onmiddellijk de coördinaten van de punten door de determinant:
We breiden de determinant opnieuw uit:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = een − b = z − (x + y ) = z − X − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
De vergelijking van het vlak wordt dus opnieuw verkregen! Nogmaals, bij de laatste stap moesten we de tekens erin veranderen om een “mooiere” formule te krijgen. Het is helemaal niet nodig om dit in deze oplossing te doen, maar het wordt toch aanbevolen - om de verdere oplossing van het probleem te vereenvoudigen.
Zoals u kunt zien, is het opstellen van de vergelijking van een vlak nu veel eenvoudiger. We vervangen de punten in de matrix, berekenen de determinant - en dat is alles, de vergelijking is klaar.
Dit zou de les kunnen beëindigen. Veel studenten vergeten echter voortdurend wat er in de determinant zit. Welke regel bevat bijvoorbeeld x 2 of x 3, en welke regel bevat alleen x. Om dit echt uit de weg te ruimen, gaan we kijken waar elk getal vandaan komt.
Waar komt de formule met de determinant vandaan?
Laten we dus eens kijken waar zo’n harde vergelijking met een determinant vandaan komt. Dit zal je helpen het te onthouden en het met succes toe te passen.
Alle vlakken die in Opgave C2 voorkomen, worden gedefinieerd door drie punten. Deze punten worden altijd op de tekening aangegeven, of zelfs direct in de tekst van de opgave aangegeven. Om een vergelijking te maken, moeten we in ieder geval hun coördinaten opschrijven:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Laten we een ander punt op ons vlak bekijken met willekeurige coördinaten:
T = (x, y, z)
Neem een willekeurig punt uit de eerste drie (bijvoorbeeld punt M) en teken hieruit vectoren naar elk van de drie overige punten. We krijgen drie vectoren:
MN = (X 2 − X 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x − X 1, y − y 1, z − z 1 ).
Laten we nu een vierkante matrix samenstellen uit deze vectoren en de determinant ervan gelijkstellen aan nul. De coördinaten van de vectoren worden rijen van de matrix - en we krijgen precies de determinant die in de stelling wordt aangegeven:
Deze formule betekent dat het volume van een parallellepipedum gebouwd op de vectoren MN, MK en MT gelijk is aan nul. Daarom liggen alle drie de vectoren in hetzelfde vlak. In het bijzonder is een willekeurig punt T = (x, y, z) precies wat we zochten.
Punten en lijnen van een determinant vervangen
Determinanten hebben een aantal geweldige eigenschappen die het nog eenvoudiger maken oplossing voor probleem C2. Het maakt voor ons bijvoorbeeld niet uit vanaf welk punt we de vectoren tekenen. Daarom geven de volgende determinanten dezelfde vlakvergelijking als die hierboven:
Je kunt ook de lijnen van de determinant verwisselen. De vergelijking blijft ongewijzigd. Veel mensen schrijven bijvoorbeeld graag een lijn met de coördinaten van het punt T = (x; y; z) helemaal bovenaan. Als het u uitkomt, alstublieft:
Sommige mensen zijn in de war door het feit dat een van de lijnen variabelen x, y en z bevat, die niet verdwijnen bij het vervangen van punten. Maar ze mogen niet verdwijnen! Als u de getallen in de determinant vervangt, krijgt u deze constructie:
Vervolgens wordt de determinant uitgebreid volgens het diagram aan het begin van de les, en wordt de standaardvergelijking van het vlak verkregen:
Bijl + Door + Cz + D = 0
Bekijk een voorbeeld. Het is de laatste van de les van vandaag. Ik zal opzettelijk de lijnen verwisselen om er zeker van te zijn dat het antwoord dezelfde vergelijking van het vlak oplevert.
Taak. Schrijf een vergelijking voor een vlak dat door de punten gaat:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
We overwegen dus 4 punten:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Laten we eerst een standaarddeterminant maken en deze gelijkstellen aan nul:
We breiden de determinant uit:
een = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = een − b = y − (2 − X − z ) = y − 2 + X + z = X + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Dat is alles, we hebben het antwoord: x + y + z − 2 = 0.
Laten we nu een paar regels in de determinant herschikken en kijken wat er gebeurt. Laten we bijvoorbeeld een regel schrijven met de variabelen x, y, z niet onderaan, maar bovenaan:
We breiden opnieuw de resulterende determinant uit:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = een − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
We hebben precies dezelfde vlakvergelijking: x + y + z − 2 = 0. Dit betekent dat het echt niet afhangt van de volgorde van de rijen. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.
We zijn er dus van overtuigd dat de vergelijking van het vlak niet afhankelijk is van de reeks lijnen. We kunnen soortgelijke berekeningen uitvoeren en bewijzen dat de vergelijking van het vlak niet afhangt van het punt waarvan we de coördinaten van andere punten aftrekken.
In het hierboven besproken probleem gebruikten we het punt B 1 = (1, 0, 1), maar het was heel goed mogelijk om C = (1, 1, 0) of D 1 = (0, 1, 1) te nemen. Over het algemeen elk punt met bekende coördinaten dat op het gewenste vlak ligt.
Kan op verschillende manieren worden gespecificeerd (één punt en een vector, twee punten en een vector, drie punten, enz.). Met dit in gedachten kan de vlakvergelijking verschillende vormen hebben. Onder bepaalde voorwaarden kunnen vlakken ook evenwijdig, loodrecht, snijdend, enz. zijn. We zullen hierover in dit artikel praten. We zullen leren hoe we een algemene vergelijking van een vlak kunnen maken en meer.
Normale vorm van vergelijking
Laten we zeggen dat er een ruimte R 3 is met een rechthoekig XYZ-coördinatensysteem. Laten we de vector α definiëren, die zal worden losgelaten vanaf het beginpunt O. Door het einde van de vector α tekenen we een vlak P, dat er loodrecht op zal staan.
Laten we een willekeurig punt op P aanduiden als Q = (x, y, z). Laten we de straalvector van punt Q ondertekenen met de letter p. In dit geval is de lengte van de vector α gelijk aan р=IαI en Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Dit is een eenheidsvector die naar de zijkant is gericht, zoals de vector α. α, β en γ zijn de hoeken die worden gevormd tussen respectievelijk de vector Ʋ en de positieve richtingen van de ruimteassen x, y, z. De projectie van een willekeurig punt QϵП op de vector Ʋ is een constante waarde die gelijk is aan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
De bovenstaande vergelijking is zinvol als p=0. Het enige is dat het vlak P in dit geval het punt O (α=0) zal snijden, wat de oorsprong is van de coördinaten, en dat de eenheidsvector Ʋ die vrijkomt uit het punt O loodrecht op P zal staan, ondanks zijn richting, die betekent dat de vector Ʋ nauwkeurig tot op het teken wordt bepaald. De vorige vergelijking is de vergelijking van ons vlak P, uitgedrukt in vectorvorm. Maar in coördinaten ziet het er zo uit:
P is hier groter dan of gelijk aan 0. We hebben de vergelijking van het vlak in de ruimte in normale vorm gevonden.
Algemene vergelijking
Als we de vergelijking in coördinaten vermenigvuldigen met een willekeurig getal dat niet gelijk is aan nul, krijgen we een vergelijking die gelijkwaardig is aan deze, en diezelfde vlak definieert. Het zal er als volgt uitzien:
Hier zijn A, B, C getallen die tegelijkertijd verschillend zijn van nul. Deze vergelijking wordt de algemene vlakvergelijking genoemd.
Vergelijkingen van vlakken. Speciale gevallen
De vergelijking in algemene vorm kan worden gewijzigd als er aanvullende voorwaarden zijn. Laten we er een paar bekijken.
Laten we aannemen dat de coëfficiënt A 0 is. Dit betekent dat dit vlak evenwijdig is aan de gegeven Ox-as. In dit geval verandert de vorm van de vergelijking: Ву+Cz+D=0.
Op dezelfde manier zal de vorm van de vergelijking veranderen onder de volgende omstandigheden:
- Ten eerste, als B = 0, verandert de vergelijking in Ax + Cz + D = 0, wat wijst op parallelliteit met de Oy-as.
- Ten tweede, als C=0, dan zal de vergelijking worden omgezet in Ax+By+D=0, wat parallelliteit met de gegeven Oz-as zal aangeven.
- Ten derde, als D=0, zal de vergelijking er uitzien als Ax+By+Cz=0, wat betekent dat het vlak O (de oorsprong) snijdt.
- Ten vierde, als A=B=0, dan zal de vergelijking veranderen in Cz+D=0, wat parallel zal blijken te zijn aan Oxy.
- Ten vijfde, als B=C=0, wordt de vergelijking Ax+D=0, wat betekent dat het vlak naar Oyz evenwijdig is.
- Ten zesde, als A=C=0, zal de vergelijking de vorm Ву+D=0 aannemen, dat wil zeggen, parallellisme aan Oxz rapporteren.
Type vergelijking in segmenten
In het geval dat de getallen A, B, C, D verschillend zijn van nul, kan de vorm van vergelijking (0) als volgt zijn:
x/a + y/b + z/c = 1,
waarin a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
We krijgen als resultaat. Het is vermeldenswaard dat dit vlak de Ox-as zal snijden op een punt met coördinaten (a,0,0), Oy - (0,b,0) en Oz - (0,0,c). ).
Rekening houdend met de vergelijking x/a + y/b + z/c = 1, is het niet moeilijk om de plaatsing van het vlak ten opzichte van een bepaald coördinatensysteem visueel voor te stellen.
Normale vectorcoördinaten
De normaalvector n naar het vlak P heeft coördinaten die coëfficiënten zijn van de algemene vergelijking van dit vlak, dat wil zeggen n (A, B, C).
Om de coördinaten van de normale n te bepalen, is het voldoende om de algemene vergelijking van een bepaald vlak te kennen.
Wanneer u een vergelijking in segmenten gebruikt, die de vorm x/a + y/b + z/c = 1 heeft, en ook wanneer u een algemene vergelijking gebruikt, kunt u de coördinaten van elke normaalvector van een bepaald vlak schrijven: (1 /a + 1/b + 1/ Met).
Het is vermeldenswaard dat de normaalvector een verscheidenheid aan problemen helpt oplossen. De meest voorkomende zijn onder meer problemen waarbij de loodrechtheid of evenwijdigheid van vlakken moet worden bewezen, problemen bij het vinden van hoeken tussen vlakken of hoeken tussen vlakken en rechte lijnen.
Type vlakvergelijking volgens de coördinaten van het punt en de normaalvector
Een vector n die niet nul is, loodrecht op een bepaald vlak, wordt normaal genoemd voor een bepaald vlak.
Laten we aannemen dat in de coördinatenruimte (rechthoekig coördinatensysteem) Oxyz gegeven is:
- punt Mₒ met coördinaten (xₒ,yₒ,zₒ);
- nulvector n=A*i+B*j+C*k.
Het is noodzakelijk om een vergelijking te maken voor een vlak dat door het punt Mₒ loodrecht op de normaal n gaat.
We kiezen een willekeurig punt in de ruimte en geven dit aan met M (x y, z). Laat de straalvector van elk punt M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k zijn, en de straalvector van het punt Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punt M zal tot een bepaald vlak behoren als de vector MₒM loodrecht staat op vector n. Laten we de orthogonaliteitsvoorwaarde schrijven met behulp van het scalaire product:
[MₒM, n] = 0.
Omdat MₒM = r-rₒ ziet de vectorvergelijking van het vlak er als volgt uit:
Deze vergelijking kan een andere vorm hebben. Om dit te doen, worden de eigenschappen van het scalaire product gebruikt en wordt de linkerkant van de vergelijking getransformeerd. = - . Als we het als c aanduiden, krijgen we de volgende vergelijking: - c = 0 of = c, die de constantheid uitdrukt van de projecties op de normaalvector van de straalvectoren van gegeven punten die tot het vlak behoren.
Nu kunnen we de coördinatenvorm krijgen door de vectorvergelijking van ons vlak = 0 te schrijven. Omdat r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, en n = A*i+B *j+С*k, we hebben:
Het blijkt dat we een vergelijking hebben voor een vlak dat door een punt loodrecht op de normaal n gaat:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Type vlakvergelijking volgens de coördinaten van twee punten en een vector die collineair is met het vlak
Laten we twee willekeurige punten M′ (x′,y′,z′) en M″ (x″,y″,z″) specificeren, evenals een vector a (a′,a″,a‴).
Nu kunnen we een vergelijking maken voor een gegeven vlak dat door de bestaande punten M′ en M″ gaat, evenals door elk punt M met coördinaten (x, y, z) evenwijdig aan de gegeven vector a.
In dit geval moeten de vectoren M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) en M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) in hetzelfde vlak liggen als de vector a=(a′,a″,a‴), wat betekent dat (M′M, M″M, a)=0.
Onze vlakvergelijking in de ruimte ziet er dus als volgt uit:
Type vergelijking van een vlak dat drie punten snijdt
Laten we zeggen dat we drie punten hebben: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), die niet tot dezelfde lijn behoren. Het is noodzakelijk om de vergelijking te schrijven van een vlak dat door gegeven drie punten gaat. De geometrietheorie beweert dat dit soort vlak echt bestaat, maar het is het enige en unieke. Aangezien dit vlak het punt (x′,y′,z′) snijdt, zal de vorm van de vergelijking als volgt zijn:
Hier zijn A, B en C tegelijkertijd verschillend van nul. Bovendien snijdt het gegeven vlak nog twee punten: (x″,y″,z″) en (x‴,y‴,z‴). In dit verband moet aan de volgende voorwaarden worden voldaan:
Nu kunnen we een homogeen systeem creëren met onbekenden u, v, w:
In ons geval is x, y of z een willekeurig punt dat aan vergelijking (1) voldoet. Gegeven vergelijking (1) en het stelsel van vergelijkingen (2) en (3), wordt aan het stelsel van vergelijkingen aangegeven in de bovenstaande figuur voldaan door de vector N (A,B,C), die niet-triviaal is. Daarom is de determinant van dit systeem gelijk aan nul.
Vergelijking (1) die we hebben verkregen is de vergelijking van het vlak. Het gaat precies door 3 punten, en dit is gemakkelijk te controleren. Om dit te doen, moeten we onze determinant uitbreiden naar de elementen in de eerste rij. Uit de bestaande eigenschappen van de determinant volgt dat ons vlak tegelijkertijd drie aanvankelijk gegeven punten snijdt (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Dat wil zeggen, we hebben de ons toegewezen taak opgelost.
Tweevlakshoek tussen vlakken
Een tweevlakshoek is een ruimtelijke geometrische figuur gevormd door twee halve vlakken die uit één rechte lijn voortkomen. Met andere woorden: dit is het deel van de ruimte dat wordt begrensd door deze halve vlakken.
Laten we zeggen dat we twee vlakken hebben met de volgende vergelijkingen:
We weten dat de vectoren N=(A,B,C) en N¹=(A¹,B¹,C¹) loodrecht staan volgens de gegeven vlakken. In dit opzicht is de hoek φ tussen de vectoren N en N¹ gelijk aan de hoek (tweevlakshoek) die zich tussen deze vlakken bevindt. Het scalaire product heeft de vorm:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
juist omdat
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Het is voldoende om rekening te houden met 0≤φ≤π.
In feite vormen twee vlakken die elkaar snijden twee hoeken (tweevlakshoek): φ 1 en φ 2. Hun som is gelijk aan π (φ 1 + φ 2 = π). Wat hun cosinus betreft, hun absolute waarden zijn gelijk, maar ze verschillen qua teken, dat wil zeggen cos φ 1 = -cos φ 2. Als we in vergelijking (0) A, B en C vervangen door respectievelijk de getallen -A, -B en -C, dan zal de vergelijking die we krijgen hetzelfde vlak bepalen, het enige, de hoek φ in de vergelijking cos φ= NN 1 /| N||N 1 | wordt vervangen door π-φ.
Vergelijking van een loodrecht vlak
Vlakken waartussen de hoek 90 graden is, worden loodrecht genoemd. Met behulp van het hierboven gepresenteerde materiaal kunnen we de vergelijking vinden van een vlak loodrecht op een ander. Laten we zeggen dat we twee vlakken hebben: Ax+By+Cz+D=0 en A¹x+B¹y+C¹z+D=0. We kunnen zeggen dat ze loodrecht zullen staan als cosφ=0. Dit betekent dat NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Vergelijking van parallelle vlakken
Twee vlakken die geen gemeenschappelijke punten bevatten, worden parallel genoemd.
De voorwaarde (hun vergelijkingen zijn dezelfde als in de vorige paragraaf) is dat de vectoren N en N¹, die er loodrecht op staan, collineair zijn. Dit betekent dat aan de volgende proportionaliteitsvoorwaarden is voldaan:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Als de evenredigheidsvoorwaarden worden uitgebreid - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
dit geeft aan dat deze vlakken samenvallen. Dit betekent dat de vergelijkingen Ax+By+Cz+D=0 en A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 één vlak beschrijven.
Afstand tot vlak vanaf punt
Laten we zeggen dat we een vlak P hebben, dat wordt gegeven door vergelijking (0). Het is noodzakelijk om de afstand ernaartoe te vinden vanaf een punt met coördinaten (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Om dit te doen, moet je de vergelijking van het vlak P in de normale vorm brengen:
(ρ,v)=р (р≥0).
In dit geval is ρ (x,y,z) de straalvector van ons punt Q op P, p is de lengte van de loodrechte P die werd losgelaten vanaf het nulpunt, v is de eenheidsvector, die zich bevindt in de richting a.
Het verschil ρ-ρº straalvector van een punt Q = (x, y, z), behorend tot P, evenals de straalvector van een gegeven punt Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) is zo'n vector, de absolute waarde van de projectie waarvan op v gelijk is aan de afstand d die gevonden moet worden vanaf Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) tot P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, maar
(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).
Zo blijkt
d=|(ρ 0,v)-р|.
We zullen dus de absolute waarde van de resulterende uitdrukking vinden, dat wil zeggen de gewenste d.
Met behulp van de parametertaal krijgen we het voor de hand liggende:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Als een gegeven punt Q 0 aan de andere kant van het vlak P ligt, zoals de oorsprong van coördinaten, dan ligt er tussen de vector ρ-ρ 0 en v dus:
d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ 0,v)-р>0.
In het geval dat het punt Q 0, samen met de oorsprong van de coördinaten, zich aan dezelfde kant van P bevindt, dan is de gecreëerde hoek acuut, dat wil zeggen:
d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.
Als resultaat blijkt dat in het eerste geval (ρ 0 ,v)>р, in het tweede (ρ 0 ,v)<р.
Raakvlak en zijn vergelijking
Het raakvlak aan het oppervlak op het contactpunt Mº is een vlak dat alle mogelijke raaklijnen bevat aan de curven die door dit punt op het oppervlak worden getrokken.
Met dit type oppervlaktevergelijking F(x,y,z)=0 zal de vergelijking van het raakvlak op het raakpunt Mº(xº,yº,zº) er als volgt uitzien:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Als u het oppervlak expliciet specificeert in de vorm z=f (x,y), dan wordt het raakvlak beschreven door de vergelijking:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Snijpunt van twee vlakken
In het coördinatensysteem (rechthoekig) dat Oxyz zich bevindt, zijn twee vlakken П′ en П″ gegeven, die elkaar snijden en niet samenvallen. Omdat elk vlak in een rechthoekig coördinatensysteem wordt bepaald door een algemene vergelijking, nemen we aan dat P′ en P″ worden gegeven door de vergelijkingen A′x+B′y+C′z+D′=0 en A″x +B″y+ С″z+D″=0. In dit geval hebben we de normale n′ (A′,B′,C′) van het vlak P′ en de normale n″ (A″,B″,C″) van het vlak P″. Omdat onze vlakken niet evenwijdig zijn en niet samenvallen, zijn deze vectoren niet collineair. Met behulp van de taal van de wiskunde kunnen we deze voorwaarde als volgt schrijven: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Laat de rechte lijn die op het snijpunt van P′ en P″ ligt, worden aangegeven met de letter a, in dit geval a = P′ ∩ P″.
a is een rechte lijn bestaande uit de verzameling van alle punten van de (gemeenschappelijke) vlakken P′ en P″. Dit betekent dat de coördinaten van elk punt dat tot lijn a behoort tegelijkertijd moeten voldoen aan de vergelijkingen A′x+B′y+C′z+D′=0 en A″x+B″y+C″z+D″=0 . Dit betekent dat de coördinaten van het punt een gedeeltelijke oplossing zullen zijn van het volgende stelsel vergelijkingen:
Als resultaat blijkt dat de (algemene) oplossing van dit stelsel vergelijkingen de coördinaten zal bepalen van elk van de punten van de lijn, die zal fungeren als het snijpunt van P′ en P″, en de rechte lijn zal bepalen a in het Oxyz (rechthoekige) coördinatensysteem in de ruimte.
Laten we het vlak Q in de ruimte bekijken. De positie ervan wordt volledig bepaald door de vector N loodrecht op dit vlak te specificeren en een vast punt dat in het Q-vlak ligt, wordt de normaalvector van dit vlak genoemd. Als we de projecties van de normaalvector N met A, B en C aangeven, dan
Laten we de vergelijking afleiden van het vlak Q dat door een bepaald punt gaat en een gegeven normaalvector heeft. Beschouw hiervoor een vector die een punt verbindt met een willekeurig punt op het Q-vlak (Fig. 81).
Voor elke positie van punt M op het vlak Q staat de vector MHM loodrecht op de normaalvector N van het vlak Q. Daarom het scalaire product Laten we het scalaire product schrijven in termen van projecties. Omdat , en dus een vector is
en daarom
We hebben aangetoond dat de coördinaten van elk punt in het Q-vlak voldoen aan vergelijking (4). Het is gemakkelijk in te zien dat de coördinaten van punten die niet op het Q-vlak liggen niet aan deze vergelijking voldoen (in het laatste geval). Bijgevolg hebben we de vereiste vergelijking van het vlak Q verkregen. Vergelijking (4) wordt de vergelijking genoemd van het vlak dat door een bepaald punt gaat. Het is van de eerste graad ten opzichte van de huidige coördinaten
We hebben dus aangetoond dat elk vlak overeenkomt met een vergelijking van de eerste graad met betrekking tot de huidige coördinaten.
Voorbeeld 1. Schrijf de vergelijking van een vlak dat door een punt loodrecht op de vector gaat.
Oplossing. Hier . Op basis van formule (4) verkrijgen we
of, na vereenvoudiging,
Door de coëfficiënten A, B en C van vergelijking (4) verschillende waarden te geven, kunnen we de vergelijking verkrijgen van elk vlak dat door het punt gaat. De verzameling vlakken die door een bepaald punt gaat, wordt een bundel vlakken genoemd. Vergelijking (4), waarin de coëfficiënten A, B en C elke waarde kunnen aannemen, wordt de vergelijking van een aantal vlakken genoemd.
Voorbeeld 2. Maak een vergelijking voor een vlak dat door drie punten gaat (Afb. 82).
Oplossing. Laten we de vergelijking schrijven voor een aantal vlakken die door het punt gaan
1. Algemene vlakvergelijking
Definitie. Een vlak is een oppervlak waarvan alle punten voldoen aan de algemene vergelijking: Ax + By + Cz + D = 0, waarbij A, B, C de coördinaten van de vector zijn
N = Ai + Bj + Ck is de normaalvector van het vlak. De volgende bijzondere gevallen zijn mogelijk:
A = 0 – vlak evenwijdig aan de Ox-as
B = 0 – vlak is evenwijdig aan de Oy-as C = 0 – vlak is evenwijdig aan de Oz-as
D = 0 – het vlak gaat door de oorsprong
A = B = 0 – vlak is evenwijdig aan het xOy-vlak A = C = 0 – vlak is evenwijdig aan het xOz-vlak B = C = 0 – vlak is evenwijdig aan het yOz-vlak A = D = 0 – vlak gaat door de Ox as
B = D = 0 – het vlak gaat door de Oy-as C = D = 0 – het vlak gaat door de Oz-as
A = B = D = 0 – het vlak valt samen met het xОу-vlak A = C = D = 0 – het vlak valt samen met het xOz-vlak B = C = D = 0 – het vlak valt samen met het yOz-vlak
2. Oppervlaktevergelijking in de ruimte
Definitie. Elke vergelijking die de x-, y- en z-coördinaten van een willekeurig punt op een oppervlak met elkaar in verband brengt, is een vergelijking van dat oppervlak.
3. Vergelijking van een vlak dat door drie punten gaat
Om één enkel vlak door drie willekeurige punten in de ruimte te kunnen trekken, is het noodzakelijk dat deze punten niet op dezelfde rechte lijn liggen.
Beschouw de punten M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) in het algemene cartesiaanse systeem
coördinaten |
||||||
Om een willekeurig punt M (x, y, z) te verkrijgen |
liggen in hetzelfde vlak als de punten |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 het is noodzakelijk dat de vectoren M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M coplanair zijn, d.w.z. |
||||||
M1 M = ( X − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
||||||
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Dus M 1 M 2 |
= ( x 2 − x 1 ; y 2 |
− y 1 ; z 2 − z 1) |
||||
M1M3 |
= ( X 3 − X 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1) |
|||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||
Vergelijking van een vlak dat door drie punten gaat: |
x 2 − x 1 |
j 2 − j 1 |
z2 − z1 |
|||
x3 − x1 |
j 3 − j 1 |
z3 − z1 |
||||
4. Vergelijking van een vlak gebaseerd op twee punten en een vector die collineair is met het vlak
Laat de punten M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) en vectoren = (a 1, a 2, a 3) gegeven worden.
Laten we een vergelijking maken voor een vlak dat door deze punten M1 en M2 gaat en een willekeurig vlak
punt M(x, y, z) evenwijdig aan vector a. |
||||||||||
Vectoren M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
en vector a = (a, a |
moet zijn |
||||||||
M 1M 2 = ( X 2 − X 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1) |
||||||||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||||||
coplanair, d.w.z. (M 1 M, M 1 M 2, a) = 0. Vlakvergelijking: |
x 2 − x 1 |
j 2 − j 1 |
z2 − z1 |
|||||||
5. Vergelijking van een vlak met behulp van één punt en twee vectoren die collineair zijn met het vlak
Laat twee vectoren a = (a 1, a 2, a 3) en b = (b 1,b 2,b 3), collineaire vlakken, gegeven worden. Voor een willekeurig punt M(x, y, z) dat tot het vlak behoort, moeten de vectoren a, b, MM 1 dan coplanair zijn.
6. Vergelijking van een vlak per punt en normaalvector
Stelling. Als een punt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) gegeven is in de ruimte, dan heeft de vergelijking van het vlak dat door het punt M 0 loodrecht op de normaalvector N (A , B , C ) gaat de vorm: A (x - X 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0 .
7. Vergelijking van een vlak in segmenten
Als we in de algemene vergelijking Ax + By + Cz + D = 0 beide zijden delen door (-D)
x− |
y − |
z − 1 = 0 , ter vervanging van − |
C , verkrijgen we de vergelijking van het vlak |
|||||||||||||||||||
in segmenten: |
1. De getallen a, b, c zijn respectievelijk de snijpunten van het vlak |
|||||||||||||||||||||
met assen x, y, z.
8. Vergelijking van een vlak in vectorvorm
r n = p, waarbij r = xi + yj + zk de straalvector is van het huidige punt M (x, y, z),
n = i cosα + j cos β + k cosγ - eenheidsvector waarvan de richting loodrecht is,
vanaf de oorsprong op het vlak neergelaten. α, β en γ zijn de hoeken die door deze vector worden gevormd met de x-, y-, z-assen. p is de lengte van deze loodlijn. In coördinaten ziet deze vergelijking er als volgt uit:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. Afstand van punt tot vlak
De afstand van een willekeurig punt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) tot het vlak Ax + By + Cz + D = 0 is:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C2
Voorbeeld. Bereken de vergelijking van het vlak dat door de punten A(2,-1,4) en B(3,2,-1) gaat, loodrecht op het vlak x + y + 2z − 3 = 0.
De vereiste vlakvergelijking heeft de vorm: Ax + By + Cz + D = 0, normaalvector voor dit vlak n 1 (A,B,C). Vector AB (1,3,-5) behoort tot het vlak. Het vliegtuig dat ons is gegeven,
loodrecht op de gewenste heeft een normaalvector n 2 (1,1,2). Omdat de punten A en B behoren tot beide vlakken, en de vlakken staan dus onderling loodrecht
n = AB × n |
− 5 |
− j |
− 5 |
11 ik − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
De normaalvector n is dus 1 (11,-7,-2). Omdat punt A behoort tot het gewenste vlak, dan moeten de coördinaten ervan voldoen aan de vergelijking van dit vlak, d.w.z.
11,2 + 7,1 − 2,4 + D = 0; D = − 21. In totaal verkrijgen we de vergelijking van het vlak: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. Vergelijking van een lijn in de ruimte
Zowel op het vlak als in de ruimte kan elke lijn worden gedefinieerd als een reeks punten waarvan de coördinaten in een in de ruimte gekozen coördinatensysteem voldoen aan de vergelijking:
F(x, y, z) = 0. Deze vergelijking wordt de vergelijking van een lijn in de ruimte genoemd.
Bovendien kan een lijn in de ruimte anders worden gedefinieerd. Het kan worden beschouwd als de snijlijn van twee oppervlakken, die elk door een bepaalde vergelijking worden gespecificeerd.
Stel F (x, y, z) = 0 en Ф (x, y, z) = 0 – vergelijkingen van oppervlakken die elkaar snijden langs de lijn L.
F(x, y, z) = 0
Dan wordt het paar vergelijkingen Ф (x, y, z) = 0 de vergelijking van een lijn in de ruimte genoemd.
11. Vergelijking van een rechte lijn in de ruimte gegeven een punt en een richtingsvector 0 = M 0 M .
Omdat vectoren M 0 M en S collineair zijn, dan is de relatie M 0 M = St waar, waarbij t een bepaalde parameter is. In totaal kunnen we schrijven: r = r 0 + St.
Omdat Als aan deze vergelijking wordt voldaan door de coördinaten van een willekeurig punt op de lijn, dan is de resulterende vergelijking een parametrische vergelijking van de lijn.
x = x0 + mt
Deze vectorvergelijking kan in coördinatenvorm worden weergegeven: y = y 0 + nt
z = z0 + pt
Door dit systeem te transformeren en de waarden van de parameter t gelijk te stellen, verkrijgen we de canonieke
vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte: |
x − x0 |
y−y0 |
z − z0 |
|||
Definitie. De richtingscosinus van een rechte lijn zijn de richtingscosinus van de vector S, die kan worden berekend met behulp van de formules:
cosa = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N2+p2 |
m2+n2+p2 |
|||||||
Vanaf hier krijgen we: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.
De getallen m, n, p worden de hellingen van de lijn genoemd. Omdat S is een vector die niet nul is, dus m, n en p kunnen niet tegelijkertijd nul zijn, maar een of twee van deze getallen kunnen wel nul zijn. In dit geval moeten in de vergelijking van de lijn de overeenkomstige tellers gelijk worden gesteld aan nul.
12. Vergelijking van een lijn in de ruimte die door twee punten gaat
Als we op een rechte lijn in de ruimte twee willekeurige punten M 1 (x 1, y 1, z 1) markeren en
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), dan moeten de coördinaten van deze punten voldoen aan de hierboven verkregen rechtelijnvergelijking:
x 2 − x 1 |
j 2 − j 1 |
z2 − z1 |
|||
