VA Kruteckiego. Zdolności matematyczne i osobowość. Zdolności matematyczne dziecka
Kalkulatory mogą być niezwykle przydatne, ale nie zawsze są łatwo dostępne. Poza tym nie każdy czuje się komfortowo, biorąc kalkulatory czy telefony, aby obliczyć, ile zapłacić w restauracji lub obliczyć wysokość napiwku. Oto dziesięć wskazówek, które pomogą Ci wykonać wszystkie te obliczenia mentalne. Tak naprawdę nie jest to wcale trudne, zwłaszcza jeśli pamięta się o kilku prostych zasadach.
Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej
Pamiętasz, jak w szkole uczono nas dodawania i odejmowania w kolumnie od prawej do lewej? To dodawanie i odejmowanie jest wygodne, gdy masz pod ręką ołówek i kartkę papieru, ale w głowie te operacje matematyczne łatwiej jest wykonać, licząc od lewej do prawej. W liczbie po lewej stronie znajduje się cyfra określająca duże wartości, na przykład setki i dziesiątki, a po prawej mniejsze, czyli jednostki. Bardziej intuicyjne jest liczenie od lewej do prawej. Zatem dodając 58 i 26, zacznij od pierwszych cyfr, najpierw 50 + 20 = 70, następnie 8 + 6 = 14, następnie dodaj oba wyniki - i uzyskaj 84. Łatwe i proste.
Ułatw sobie to
Jeśli masz do czynienia ze złożonym przykładem lub problemem, spróbuj znaleźć sposób na jego uproszczenie, na przykład dodanie lub odjęcie określonej liczby, aby ułatwić ogólne obliczenia. Jeśli na przykład chcesz obliczyć, ile to 593 + 680, najpierw dodaj 7 do 593, aby otrzymać wygodniejszą liczbę 600. Oblicz, ile to 600 + 680, a następnie odejmij te same 7 od wyniku 1280, aby otrzymać prawidłowa odpowiedź - 1273.
To samo możesz zrobić z mnożeniem. Aby pomnożyć 89 x 6, oblicz, ile wynosi 90 x 6, a następnie odejmij pozostałe 1 x 6. Zatem 540 - 6 = 534.
Pamiętaj o elementach konstrukcyjnych
Zapamiętywanie tabliczki mnożenia to ważna i niezbędna część matematyki, która świetnie sprawdza się przy rozwiązywaniu przykładów w głowie.
Zapamiętując podstawowe elementy matematyki, takie jak tabliczka mnożenia, pierwiastki kwadratowe, procenty dziesiętne i zwykłe ułamki, możemy uzyskać odpowiedzi natychmiast proste zadania, ukryte w trudniejszych.
Pamiętaj o przydatnych trikach
Aby szybciej opanować mnożenie, warto pamiętać o kilku prostych trikach. Jedną z najbardziej oczywistych zasad jest mnożenie przez 10, które polega po prostu na dodaniu zera do mnożonej liczby lub przesunięciu przecinka o jedno miejsce po przecinku. Po pomnożeniu przez 5 odpowiedź zawsze będzie kończyć się na 0 lub 5.
Ponadto mnożąc liczbę przez 12, najpierw pomnóż ją przez 10, następnie przez 2, a następnie dodaj wyniki. Na przykład, obliczając 12 x 4, najpierw pomnóż 4 x 10 = 40, następnie 4 x 2 = 8 i dodaj 40 + 8 = 48. Przy mnożeniu przez 15 po prostu pomnóż liczbę przez 10, a następnie dodaj połowę wyniku , np. 4 x 15 = 4 x 10 = 40 plus kolejna połowa (20) równa się 60.
Istnieje również fajny sposób na pomnożenie przez 16. Najpierw pomnóż daną liczbę przez 10, a następnie pomnóż połowę liczby przez 10. Następnie dodaj oba wyniki do liczby, aby uzyskać ostateczną odpowiedź. Aby więc obliczyć 16 x 24, najpierw oblicz 10 x 24 = 240, następnie połowę 24, czyli 12, pomnóż przez 10 i otrzymaj 120. Ostatni krok: 240 + 120 + 24 = 384.
Kwadraty i ich pierwiastki są bardzo przydatne
Prawie jak tabliczka mnożenia. Mogą też pomóc w mnożeniu większych liczb. Kwadrat uzyskuje się poprzez pomnożenie liczby przez nią samą. Oto jak działa mnożenie za pomocą kwadratów.
Załóżmy na chwilę, że nie znamy odpowiedzi na 10 x 4. Najpierw znajdujemy średnią między tymi dwiema liczbami, która wynosi 7 (tj. 10 - 3 = 7 i 4 + 3 = 7, z różnicą między średnią liczba wynosi 3 - to ważne).
Następnie wyznaczamy kwadrat liczby 7, który wynosi 49. Mamy teraz liczbę bliską ostatecznej odpowiedzi, ale nie jest ona wystarczająco bliska. Aby uzyskać poprawną odpowiedź, wracamy do różnicy między liczbą środkową (w tym przypadku 3), jej kwadrat daje nam 9. Ostatni krok polega na prostym odjęciu, 49 - 9 = 40, teraz masz poprawną odpowiedź.
Wydaje się to przebiegłe i przesadzone. trudna droga oblicz, ile to jest 10 x 4, ale ta sama technika działa świetnie w przypadku większych liczb. Weźmy na przykład 15 x 11. Najpierw musimy znaleźć średnią liczbę pomiędzy tymi dwoma (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Kwadrat 13 równa się 169. Kwadrat różnicy średniej liczby 2 wynosi 4. Otrzymujemy 169 - 4 = 165, to jest poprawna odpowiedź.
Czasami wystarczy przybliżona odpowiedź
Jeśli próbujesz rozwiązać w swojej głowie złożone problemy, nic dziwnego, że zajmuje to dużo czasu i wysiłku. Jeśli nie potrzebujesz absolutnie dokładnej odpowiedzi, wystarczy przybliżona liczba.
To samo dotyczy zadań, w których nie znasz wszystkich dokładnych danych. Na przykład podczas Projektu Manhattan fizyk Enrico Fermi chciał z grubsza obliczyć siłę eksplozji atomowej, zanim naukowcy uzyskali dokładne dane. W tym celu rzucał na podłogę skrawki papieru i obserwował je z bezpiecznej odległości, w momencie, gdy fala uderzeniowa dotarła do skrawków papieru. Mierząc odległość, na jaką przemieściły się kawałki, zasugerował, że siła eksplozji wynosiła około 10 kiloton trotylu. Oszacowanie to okazało się dość dokładne, jak na przypadkowe przypuszczenie.
Na szczęście nie musimy regularnie szacować przybliżonej siły wybuchów atomowych, ale przybliżone oszacowanie nie zaszkodzi, jeśli na przykład trzeba zgadnąć, ilu stroicieli fortepianów jest w mieście. Najłatwiej to zrobić, operując liczbami, które można łatwo dzielić i mnożyć. Zatem najpierw szacujesz populację swojego miasta (powiedzmy sto tysięcy osób), następnie szacujesz szacunkową liczbę fortepianów (powiedzmy dziesięć tysięcy), a następnie liczbę stroicieli fortepianów (powiedzmy 100). Nie otrzymasz dokładnej odpowiedzi, ale będziesz mógł szybko odgadnąć przybliżoną liczbę.
Zmień kolejność przykładów
Podstawowe zasady matematyki pomagają przekształcać złożone przykłady w prostsze. Na przykład obliczenie w głowie przykładu 5 x (14 + 43) wydaje się ogromnym, a nawet przytłaczającym zadaniem, ale przykład można „rozbić” na trzy dość proste obliczenia. Na przykład ten przytłaczający problem można uporządkować w następujący sposób: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Nie takie trudne, prawda?
Uprość zadania
Jeśli zadanie wydaje się trudne, uprość je. Zawsze łatwiej jest poradzić sobie z kilkoma prostymi zadaniami niż z jednym złożonym. Rozwiązanie wielu skomplikowanych przykładów w umyśle polega na umiejętności prawidłowego podzielenia ich na więcej proste przykłady, którego rozwiązanie nie jest trudne.
Na przykład najłatwiejszym sposobem pomnożenia przez 8 jest trzykrotne podwojenie liczby. Zamiast więc próbować zdecydować, ile to jest 12 x 8 tradycyjny sposób, wystarczy podwoić 12 trzy razy: 12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48, 48 x 2 = 96.
Lub mnożąc przez 5, najpierw pomnóż przez 10, ponieważ jest to łatwe, a następnie podziel wynik przez 2, ponieważ jest to również całkiem łatwe. Na przykład, aby rozwiązać 5 x 18, oblicz 10 x 18 i podziel przez 2, gdzie 180: 2 = 90.
Użyj potęgowania
Obliczenie duże ilości w głowie pamiętaj, że możesz je przeliczyć na mniejsze liczby pomnożone przez 10 do żądanej potęgi. Na przykład, ile otrzymasz, jeśli podzielisz 44 miliardy przez 400 tysięcy? Prostym sposobem rozwiązania tego problemu jest przeliczenie 44 miliardów na następny numer- 44 x 10 9, a z 400 tysięcy zrób 4 x 10 5. Teraz możemy przekształcić problem w następujący sposób: 44:4 i 10 9:10 5. Zgodnie z regułami matematycznymi wszystko wygląda tak: 44:4 x 10(9-5), więc otrzymujemy 11 x 10 4 = 110 000.
Najłatwiejszy sposób obliczenia wymaganej końcówki
Matematyka jest niezbędna nawet podczas kolacji w restauracji, a raczej po niej. W zależności od lokalu napiwek może wynosić od 10% do 20% wartości rachunku. Na przykład w USA zwyczajem jest dawanie kelnerom 15% napiwku. I tam, jak w wielu Kraje europejskie, wymagane są wskazówki.
Jeśli obliczenie 10% całkowitej kwoty jest stosunkowo łatwe (wystarczy podzielić kwotę przez 10), to przy 15 i 20% sytuacja wydaje się bardziej skomplikowana. Ale tak naprawdę wszystko jest równie proste i bardzo logiczne.
Obliczając 10-procentowy napiwek za kolację, która kosztuje 112,23 dolara, wystarczy przesunąć przecinek o jedną cyfrę w lewo, aby otrzymać 11,22 dolara. Obliczając 20% napiwku, zrób to samo i po prostu podwoj kwotę (20% to tylko dwa razy 10%), w takim przypadku napiwek wyniesie 22,44 USD.
W przypadku napiwku 15-procentowego należy najpierw ustalić 10% kwoty, a następnie dodać połowę otrzymanej kwoty (dodatkowe 5% to połowa kwoty 10-procentowej). Nie martw się, jeśli nie uda Ci się uzyskać dokładnej odpowiedzi co do centa. Nie zawracając sobie zbytnio głowy ułamkami dziesiętnymi, możemy szybko ustalić, że 15-procentowy napiwek wynoszący 112,23 USD wynosi 11 USD + 5,50 USD, co daje nam 16,50 USD. Wystarczająco dokładny. Jeśli nie chcesz urazić kelnera utratą kilku centów, zaokrąglij kwotę do liczby całkowitej i zapłać 17 dolarów.
Aby wyjaśnić, gdzie jest to możliwe operacje matematyczne– sugerują eksperci dwie hipotezy. Jednym z nich była zdolność do matematyki efekt uboczny pojawienie się języka i mowy. Inny sugerował, że powodem była umiejętność korzystania z intuicyjnego rozumienia przestrzeni i czasu, która ma znacznie starsze korzenie ewolucyjne.
Aby odpowiedzieć na pytanie, która hipoteza jest poprawna, psychologowie stawiali eksperyment z udziałem 15 zawodowych matematyków i 15 zwykli ludzie z równym poziomem wykształcenia. Każdej grupie przedstawiono złożone stwierdzenia matematyczne i niematematyczne, które należało ocenić jako prawdziwe, fałszywe lub pozbawione znaczenia. Podczas eksperymentu mózgi uczestników skanowano za pomocą tomografii funkcjonalnej.
Wyniki badania wykazały, że stwierdzenia dotyczyły rachunku różniczkowego, algebry, geometrii i topologii aktywowane obszary w korze ciemieniowej, dolno-skroniowej i przedczołowej mózgu u matematyków, ale nie w grupie kontrolnej. Strefy te różniły się od tych, które ekscytowały wszystkich uczestników eksperymentu podczas zwykłych wypowiedzi. Obszary „matematyczne” aktywowały się u zwykłych ludzi tylko wtedy, gdy badani zostali poproszeni o wykonanie prostych operacji arytmetycznych.
Naukowcy tłumaczą ten wynik faktem, że myślenie matematyczne wysokiego poziomu obejmuje sieć neuronową odpowiedzialną za postrzeganie liczb, przestrzeni i czasu i różni się ona od sieci związanej z językiem. Zdaniem ekspertów, na podstawie badania można przewidzieć, czy dziecko rozwinie zdolności matematyczne, jeśli je ocenimy umiejętności myślenia przestrzennego.
Zatem, aby zostać matematykiem, trzeba rozwinąć myślenie przestrzenne.
Czym jest myślenie przestrzenne?
Aby rozwiązać ogromną liczbę problemów, jakie stawia przed nami nasza cywilizacja, jest to konieczne specjalny rodzaj aktywność umysłowa - myślenie przestrzenne. Termin wyobraźnia przestrzenna odnosi się do ludzkiej zdolności do jasnego wyobrażania sobie trójwymiarowych obiektów pod względem szczegółów i kolorów.
Za pomocą myślenia przestrzennego można manipulować strukturami przestrzennymi - rzeczywistymi lub wyimaginowanymi, analizować właściwości i zależności przestrzenne, przekształcać oryginalne struktury i tworzyć nowe. W psychologii percepcji od dawna wiadomo, że początkowo zaledwie kilka procent populacji posiada podstawy myślenia przestrzennego.
Myślenie przestrzenne to specyficzny rodzaj aktywności umysłowej, który ma miejsce przy rozwiązywaniu problemów wymagających orientacji w przestrzeni praktycznej i teoretycznej (zarówno widzialnej, jak i wyobrażeniowej). W najbardziej rozwiniętych formach jest to myślenie wzorami, w których zapisywane są właściwości i relacje przestrzenne.
Jak rozwijać myślenie przestrzenne
Ćwiczenia rozwijające myślenie przestrzenne są bardzo przydatne w każdym wieku. Na początku wiele osób ma trudności z ich ukończeniem, jednak z biegiem czasu zyskują umiejętność rozwiązywania coraz bardziej złożonych problemów. Takie ćwiczenia zapewniają prawidłowe funkcjonowanie mózgu i pozwalają uniknąć wielu chorób spowodowanych niedostateczną pracą neuronów w korze mózgowej.
Dzieci z rozwiniętym myśleniem przestrzennym często odnoszą sukcesy nie tylko w geometrii, rysunku, chemii i fizyce, ale także w literaturze! Myślenie przestrzenne pozwala na tworzenie w głowie całych, dynamicznych obrazów, swego rodzaju filmu, na podstawie przeczytanego fragmentu tekstu. Ta umiejętność znacznie ułatwia analizę fikcja i sprawia, że proces czytania jest o wiele bardziej interesujący. I oczywiście myślenie przestrzenne jest niezbędne na lekcjach rysunku i pracy.
Dzięki rozwiniętemu myśleniu przestrzennemu staje się to znacznie więcej Łatwiej jest czytać rysunki i mapy, określać lokalizacje i wizualizować drogę do celu. Jest to pozycja obowiązkowa dla entuzjastów biegów na orientację i bardzo pomoże wszystkim innym. zwyczajne życie w środowisku miejskim.
Myślenie przestrzenne rozwija się już od wczesnego dzieciństwa, kiedy dziecko zaczyna wykonywać pierwsze ruchy. Jego powstawanie przebiega przez kilka etapów i kończy się około r adolescencja. Jednak w ciągu życia możliwy jest jego dalszy rozwój i transformacja. Poziom rozwoju myślenia przestrzennego możesz sprawdzić za pomocą małego interaktywnego testu.
Istnieją trzy rodzaje takich operacji:
- Zmiana położenia przestrzennego obrazu. Osoba może mentalnie poruszyć obiekt bez zmiany jego wyglądu. Na przykład poruszanie się po mapie, mentalne przestawianie obiektów w pokoju, przerysowywanie itp.
- Zmiana struktury obrazu. Osoba może w jakiś sposób zmienić mentalnie obiekt, ale jednocześnie pozostaje on nieruchomy. Na przykład mentalne dodawanie jednego kształtu do drugiego i łączenie ich, wyobrażanie sobie, jak będzie wyglądał obiekt, jeśli dodasz do niego szczegół itp.
- Jednoczesna zmiana zarówno położenia, jak i struktury obrazu. Człowiek jest w stanie jednocześnie wyobrazić sobie zmiany w wygląd i przestrzenne położenie obiektu. Na przykład rotacja mentalna trójwymiarowej figury o różnych stronach, wyobrażenie o tym, jak taka figura będzie wyglądać z jednej lub drugiej strony itp.
Trzeci typ jest najbardziej zaawansowany i zapewnia więcej możliwości. Aby jednak to osiągnąć trzeba najpierw dobrze opanować dwa pierwsze rodzaje operacji. Zaprezentowane poniżej ćwiczenia i wskazówki będą miały na celu rozwój myślenia przestrzennego w ogóle i wszystkich trzech rodzajów działań.
Puzzle 3D i origami
Składanie trójwymiarowych puzzli i papierowych figurek pozwala na tworzenie obrazów w głowie różne przedmioty. Przecież przed rozpoczęciem pracy należy przedstawić gotową figurę, aby określić jakość i kolejność działań. Składanie może odbywać się w kilku etapach:
- Powtarzanie czynności za kimś
- Pracuj zgodnie z instrukcją
- Składanie figury z częściowym podparciem zgodnie z instrukcją
- Niezależna praca bez polegania na materiale (można to przeprowadzić nie od razu, ale po kilku powtórzeniach poprzednich etapów)
Ważne jest, aby uczeń wyraźnie prześledził każde działanie i zapamiętał je. Zamiast puzzli możesz także skorzystać ze zwykłego zestawu konstrukcyjnego.
Podzielony na dwa typy:
- Korzystanie z materiału wizualnego. Aby to zrobić, musisz mieć kilka półfabrykatów o różnych wolumetrycznych kształtach geometrycznych: stożek, cylinder, sześcian, piramida itp. Zadanie: przestudiuj kształty; dowiedz się, jak wyglądają z różnych perspektyw; postaw figury jedna na drugiej i zobacz, co się stanie itp.
- Bez użycia materiału wizualnego. Jeśli uczeń jest dobrze zaznajomiony z różnymi trójwymiarowymi kształtami geometrycznymi i ma dobre pojęcie o tym, jak wyglądają, wówczas zadania przenoszone są na płaszczyznę mentalną. Zadanie: opisz, jak wygląda ta lub inna figura; nazwij każdą jego stronę; wyobraź sobie, co się stanie, gdy jedna figura zostanie nałożona na drugą; powiedz, jaką czynność należy wykonać z figurą, aby zamienić ją w inną (na przykład, jak zamienić równoległościan w sześcian) itp.
Przerysowywanie (kopiowanie)
Zadania tego typu przebiegają z rosnącą złożonością:
- Proste przerysowanie figury. Uczeń staje przed modelem/próbką figury, którą musi przenieść na papier bez zmian (wymiary i wygląd musi pasować). Każda strona figury jest rysowana osobno.
- Kopiowanie z dodawaniem. Zadanie: przerysuj figurę bez zmian i dodaj do niej: 5 cm długości, dodatkową krawędź, kolejną figurę itp.
- Skalowalne przerysowywanie. Zadanie: skopiuj kształt zmieniając jego rozmiar, tj. narysuj 2 razy większy od modelu, 5 razy mniejszy od próbki, zmniejszając każdy bok o 3 cm itd.
- Skopiuj z widoku. Zadanie: wyobraź sobie trójwymiarową figurę i narysuj ją z różnych stron.
Zgłoszenia
Obiektami reprezentacji będą segmenty i linie. Zadania mogą być bardzo zróżnicowane, na przykład:
- Wyobraź sobie trzy różnie skierowane segmenty, połącz je mentalnie i narysuj powstałą figurę.
- Wyobraź sobie, że trójkąt jest nałożony na dwa segmenty. Co się stało?
- Wyobraź sobie dwie linie zbliżające się do siebie. Gdzie się przetną?
Sporządzanie rysunków i diagramów
Można je realizować w oparciu o materiał wizualny lub w oparciu o reprezentowane obiekty. Można wykonać rysunki, diagramy i plany na dowolny temat. Na przykład plan pokoju pokazujący położenie każdej znajdującej się w nim rzeczy, schematyczna ilustracja kwiat, rysunek budynku itp.
Gra „Zgadnij dotykiem”
Dziecko zamyka oczy i otrzymuje przedmiot, którego może dotknąć. Obiekt musi mieć takie wymiary, aby student miał możliwość zapoznania się z nim w całości. Przeznacza się na to określoną ilość czasu, w zależności od wieku ucznia i objętości tematu (15-90 sekund). Po tym czasie dziecko musi powiedzieć, co dokładnie to było i dlaczego tak zdecydowało.
Można go także wykorzystać w grze różne typy tkaniny, owoce o podobnym kształcie (jabłka, nektarynki, pomarańcze, brzoskwinie), niestandardowe geometryczne kształty i więcej.
Gra „Latnij w klatce”
Ta gra wymaga co najmniej trzech osób. Dwóch bezpośrednio uczestniczy w grze, a trzeci monitoruje jej przebieg i sprawdza ostateczną odpowiedź.
Zasady: dwóch uczestników reprezentuje siatkę kwadratów 9 na 9 (użyj reprezentacja graficzna jest to zabronione!). W prawym górnym rogu znajduje się mucha. Na zmianę wykonując ruchy, gracze przesuwają muchę po kwadratach. Możesz używać symboli ruchu (w prawo, w lewo, w górę, w dół) i liczby komórek. Na przykład mucha porusza się o trzy pola w górę. Trzeci uczestnik ma schemat graficzny hash oznacza każdy ruch (każdy ruch muchy). Następnie mówi „Stop”, a pozostali gracze muszą powiedzieć, gdzie według nich znajduje się w tej chwili mucha. Zwycięzcą zostaje ten, kto poprawnie nazwał kwadrat, na którym zatrzymała się mucha (sprawdzono zgodnie ze schematem sporządzonym przez trzeciego uczestnika).
Grę można uczynić bardziej złożoną poprzez dodanie liczby komórek w siatce lub parametru takiego jak głębokość (nadanie siatce trójwymiarowości).
Ćwiczenia graficzne
Wykonuje się je na oko, bez użycia jakichkolwiek pomocniczych przedmiotów (linijka, długopis, kompas itp.).
1. Na jaki poziom powinien się podnieść człowiek, aby spadające drzewo go nie uderzyło?
2. Która z figurek będzie mogła przejść pomiędzy obiektem A i obiektem B?
Zdjęcie z książki Postalovsky'ego I.Z. „Trening kreatywnego myślenia”
3. Wyobraź sobie, że owale na obrazku to samochody. Który z nich jako pierwszy dotrze do skrzyżowania, jeśli prędkości samochodów będą równe?
Zdjęcie z książki Postalovsky'ego I.Z. „Trening kreatywnego myślenia”
4. Przywróć część figury zakrytą przez linijkę.
Zdjęcie z książki Postalovsky'ego I.Z. „Trening kreatywnego myślenia”
5. Określ, gdzie spadnie piłka.
Zdjęcie z książki Postalovsky'ego I.Z. „Trening kreatywnego myślenia”
Poglądy psychologów zagranicznych na zdolności matematyczne
Do badania zdolności matematycznych wnieśli także tak wybitni przedstawiciele niektórych nurtów psychologii, jak A. Binet, E. Trondike i G. Reves oraz tak wybitni matematycy, jak A. Poincaré i J. Hadamard.
Wyznaczono szeroką gamę kierunków i wielka różnorodność w podejściu do badania zdolności matematycznych, w narzędziach metodologicznych i uogólnieniach teoretycznych.
Jedyną rzeczą, co do której zgadzają się wszyscy badacze, jest być może opinia, że należy odróżnić zwykłe, „szkolne” umiejętności przyswajania wiedzy matematycznej, jej reprodukowania i samodzielnego stosowania od twórczych zdolności matematycznych związanych z niezależna twórczość produkt oryginalny i wartościowy społecznie.
Zagraniczni badacze wykazują dużą jedność poglądów w kwestii wrodzonych lub nabytych zdolności matematycznych. Jeżeli wyróżnimy tu dwa różne aspekty tych zdolności – „szkolne” i zdolności twórcze, to w odniesieniu do tych ostatnich istnieje zupełna jedność – zdolności twórcze matematyka są wrodzonym wykształceniem, sprzyjające środowisko niezbędne jedynie do ich manifestacji i rozwoju. Jeśli chodzi o zdolności „szkolne” (uczące się), zagraniczni psychologowie nie są tak jednomyślni. Być może dominującą teorią jest tutaj równoległe działanie dwóch czynników - potencjału biologicznego i środowiska.
Głównym pytaniem w badaniu zdolności matematycznych (zarówno edukacyjnych, jak i twórczych) za granicą było i pozostaje pytanie o istotę tej złożonej edukacji psychologicznej. W tym kontekście można wyróżnić trzy istotne problemy.
1. Problem specyfiki zdolności matematycznych. Czy zdolności matematyczne faktycznie istnieją jako specyficzne wykształcenie, odmienne od kategorii inteligencji ogólnej? Czy też zdolności matematyczne są jakościową specjalizacją ogółu procesy mentalne i cechy osobowości, czyli ogólne zdolności intelektualne rozwijane w związku z działalnością matematyczną? Innymi słowy, czy można powiedzieć, że uzdolnienia matematyczne to nic innego jak ogólna inteligencja plus zainteresowanie matematyką i skłonność do jej uprawiania?
2. Problem struktury zdolności matematycznych. Czy talent matematyczny jest własnością jednolitą (pojedynczą, nierozkładalną) czy integralną (złożoną)? W tym drugim przypadku można postawić pytanie o strukturę zdolności matematycznych, o składniki tej złożonej formacji umysłowej.
3. Problem różnic typologicznych w zdolnościach matematycznych. Czy są jakieś różne typy talent matematyczny, czy też, biorąc to samo pod uwagę, różnice dotyczą jedynie zainteresowań i skłonności do określonych dziedzin matematyki?
Widoki B.M. Teplov o zdolnościach matematycznych
Choć zdolności matematyczne nie były przedmiotem szczególnego zainteresowania w pracach B.M. Tepłow jednak odpowiedzi na wiele pytań związanych z ich badaniami można znaleźć w jego pracach poświęconych problematyce zdolności. Wśród nich szczególne miejsce zajmują dwie prace monograficzne: „Psychologia zdolności muzycznych” i „Umysł dowódcy”, które stały się klasycznymi przykładami psychologicznego badania zdolności i zawierają uniwersalne zasady podejścia do tego zagadnienia, które można i należy stosować podczas badania wszelkich rodzajów zdolności.
W obu dziełach B. M. Teplov daje nie tylko genialny efekt analiza psychologiczna specyficznych rodzajów działalności, ale także poprzez przykłady wybitnych przedstawicieli sztuk muzycznych i militarnych, odkrywa niezbędne składniki, które składają się na błyskotliwe talenty w tych dziedzinach. B. M. Teplov zwrócił szczególną uwagę na kwestię związku między zdolnościami ogólnymi i specjalnymi, udowadniając, że sukces w każdym rodzaju działalności, w tym w muzyce i sprawach wojskowych, zależy nie tylko od specjalnych elementów (na przykład w muzyce - słuch, poczucie rytmu ), ale także z cechy wspólne uwaga, pamięć, inteligencja. Jednocześnie ogólne zdolności umysłowe są nierozerwalnie związane ze zdolnościami specjalnymi i znacząco wpływają na poziom rozwoju tych ostatnich.
Rolę zdolności ogólnych najwyraźniej widać w pracy „Umysł dowódcy”. Zastanówmy się nad rozważeniem głównych postanowień tej pracy, ponieważ można je wykorzystać w badaniu innych rodzajów zdolności związanych z aktywnością umysłową, w tym zdolności matematycznych. Po wnikliwym przestudiowaniu działalności dowódcy B.M. Tepłow pokazał, jakie miejsce zajmują w nim funkcje intelektualne. Zapewniają analizę złożonych sytuacji militarnych, identyfikując poszczególne istotne szczegóły, które mogą mieć wpływ na wynik nadchodzących bitew. Pierwszą z nich jest umiejętność analizowania niezbędny etap w podjęciu właściwej decyzji, w sporządzeniu planu bitwy. Po pracach analitycznych następuje etap syntezy, który pozwala połączyć różnorodne detale w jedną całość. Według B.M. Tepłowa działalność dowódcy wymaga zrównoważenia procesów analizy i syntezy z tym, co obowiązkowe wysoki poziom ich rozwój.
Pamięć zajmuje ważne miejsce w działalności intelektualnej dowódcy. Jest bardzo selektywna, to znaczy zachowuje przede wszystkim niezbędne, istotne szczegóły. Jak klasyczny przykład taka pamięć B.M. Tepłow przytacza wypowiedzi dotyczące pamięci Napoleona, który pamiętał dosłownie wszystko, co bezpośrednio wiązało się z jego działalnością wojskową, od numerów jednostek po twarze żołnierzy. Jednocześnie Napoleon nie był w stanie zapamiętać bezsensownego materiału, ale tak ważna cecha natychmiast przyswajają coś, co podlegało klasyfikacji, pewne prawo logiczne.
B.M. Teplov dochodzi do wniosku, że „umiejętność znalezienia i podkreślenia istotnej i stałej systematyzacji materiału najważniejsze warunki, zapewniając jedność analizy i syntezy, równowagę między tymi aspektami aktywności umysłowej, które wyróżniają pracę umysłu dobrego dowódcy” (B.M. Teplov 1985, s. 249). Oprócz wybitnego umysłu dowódca musi posiadać pewne cechy osobiste. To przede wszystkim odwaga, determinacja, energia, czyli to, co w odniesieniu do przywództwa wojskowego zwykle określa się pojęciem „woli”. Nie mniej ważne jakość osobista jest odporność na stres. Emocjonalność utalentowanego dowódcy objawia się w połączeniu emocji bojowego podniecenia ze zdolnością do skupienia się i koncentracji.
Szczególne miejsce w działalności intelektualnej dowódcy B.M. Tepłow przypisał obecność takiej cechy jak intuicja. Analizował tę cechę umysłu dowódcy, porównując ją z intuicją naukowca. Jest między nimi wiele wspólnego. Zasadnicza różnica, zdaniem B. M. Tepłowa, polega na tym, że dowódca musi pilnie podjąć decyzję, od której może zależeć powodzenie operacji, a naukowiec nie jest ograniczony ramami czasowymi. Ale w obu przypadkach „wgląd” musi być poprzedzony ciężką pracą, na podstawie której można znaleźć jedyne prawidłowe rozwiązanie problemu.
Potwierdzenie analizowanych i podsumowanych przez B.M. Tepłowa z psychologicznego punktu widzenia można odnaleźć w pracach wielu wybitnych naukowców, w tym matematyków. Tak więc w studium psychologicznym „Twórczość matematyczna” Henri Poincaré szczegółowo opisuje sytuację, w której udało mu się dokonać jednego ze swoich odkryć. Było to poprzedzone długim prace przygotowawcze, duży środek ciężkości co zdaniem naukowca było procesem nieświadomym. Po etapie „wglądu” koniecznie nastąpił etap drugi – uważna, świadoma praca nad uporządkowaniem materiału dowodowego i jego weryfikacją. A. Poincare doszedł do wniosku, że najważniejsze miejsce Umiejętności matematyczne obejmują umiejętność logicznego budowania łańcucha operacji, które doprowadzą do rozwiązania problemu. Wydawałoby się, że powinno to być dostępne dla każdej osoby zdolnej do logicznego myślenia. Jednak nie każdy jest w stanie posługiwać się symbolami matematycznymi z taką samą łatwością, jak przy rozwiązywaniu problemów logicznych.
Matematykowi nie wystarczy mieć dobra pamięć i uwaga. Według Poincarégo osoby znające się na matematyce wyróżniają się umiejętnością uchwycenia porządku, w jakim powinny być ułożone elementy niezbędne do dowodu matematycznego. Obecność tego rodzaju intuicji jest głównym elementem twórczości matematycznej. Niektórzy ludzie nie mają tego subtelnego zmysłu, nie mają mocnej pamięci i uwagi, dlatego nie są w stanie zrozumieć matematyki. Inni mają słabą intuicję, ale są obdarzeni dobrą pamięcią i zdolnością skupiania uwagi, dzięki czemu mogą rozumieć i stosować matematykę. Jeszcze inni mają tak szczególną intuicję i nawet przy braku doskonałej pamięci potrafią nie tylko rozumieć matematykę, ale także dokonywać odkryć matematycznych.
Mówimy tu o kreatywności matematycznej, dostępnej dla nielicznych. Ale, jak pisał J. Hadamard, „między pracą ucznia, rozwiązanie problemu w algebrze lub geometrii oraz praca twórcza Różnica polega jedynie na poziomie i jakości, gdyż oba dzieła mają podobny charakter.” Aby zrozumieć, jakie cechy są jeszcze potrzebne do osiągnięcia sukcesu w matematyce, badacze przeanalizowali działalność matematyczną: proces rozwiązywania problemów, metody dowodzenia, logiczne rozumowanie, cechy pamięci matematycznej. Ta analiza doprowadziła do powstania różne opcje struktury zdolności matematycznych, złożone w swoim składzie składowym. Jednocześnie opinie większości badaczy były zgodne co do jednego - że nie ma i nie może być jednej jasno wyrażonej zdolności matematycznej - jest to skumulowana cecha, która odzwierciedla cechy różnych procesów umysłowych: percepcji, myślenia, pamięci, wyobraźni .
Do najważniejszych składników zdolności matematycznych zalicza się specyficzną zdolność do uogólniania materiału matematycznego, zdolność do reprezentacji przestrzennych i zdolność do abstrakcyjnego myślenia. Niektórzy badacze utożsamiają także pamięć matematyczną ze wzorami rozumowania i dowodzenia, metodami rozwiązywania problemów i zasadami podejścia do nich jako niezależnym składnikiem zdolności matematycznych. Radziecki psycholog, który badał zdolności matematyczne u dzieci w wieku szkolnym, V.A. Krutetsky podaje następującą definicję zdolności matematycznych: „Przez zdolność do studiowania matematyki rozumiemy indywidualne cechy psychologiczne (przede wszystkim cechy aktywności umysłowej), które spełniają wymogi edukacyjnej aktywności matematycznej i determinują, przy innych czynnikach, powodzenie twórczego opanowania matematyki jako przedmiotu akademickiego, w szczególności stosunkowo szybkie, łatwe i głębokie opanowanie wiedzy, umiejętności i zdolności z zakresu matematyki.”
Badanie zdolności matematycznych obejmuje także rozwiązywanie jednego z zagadek najważniejsze problemy- szukać naturalnych przesłanek lub skłonności do tego typu zdolności. Skłonności obejmują wrodzone cechy anatomiczne i fizjologiczne jednostki, które uważa się za sprzyjające warunki rozwoju zdolności. Przez długi czas skłonności uważano za czynnik, który w sposób fatalny determinuje poziom i kierunek rozwoju umiejętności. Klasyka rosyjskiej psychologii B.M. Tepłow i S.L. Rubinstein naukowo udowodnił nielegalność takiego rozumienia skłonności i wykazał, że źródłem rozwoju zdolności jest ścisłe oddziaływanie czynników zewnętrznych i warunki wewnętrzne. Nasilenie tej lub innej cechy fizjologicznej w żaden sposób nie wskazuje na obowiązkowy rozwój określonego rodzaju zdolności. Tylko tak może być korzystny stan dla tego rozwoju. Właściwości typologiczne, które są częścią skłonności i są ich ważnym składnikiem, odzwierciedlają takie indywidualne cechy funkcjonowania organizmu, jak granica wydajności, charakterystyka szybkości reakcji nerwowej, zdolność do zmiany reakcji w odpowiedzi na zmiany w wpływach zewnętrznych.
Właściwości układ nerwowy, ściśle związane z właściwościami temperamentu, z kolei wpływają na manifestację cech charakterologicznych jednostki (V.S. Merlin, 1986). B. G. Ananyev, rozwijający pomysły na temat generała podstawa naturalna rozwój charakteru i zdolności, wskazywał na powstawanie w procesie działania powiązań między zdolnościami a charakterem, prowadzących do nowych formacji umysłowych, określanych terminami „talent” i „powołanie” (Ananyev B.G., 1980). Zatem temperament, zdolności i charakter tworzą jakby łańcuch wzajemnie powiązanych podstruktur w strukturze osobowości i indywidualności, mający jedną naturalną podstawę
Ogólny schemat struktury zdolności matematycznych w wiek szkolny według V.A. Kruteckiego
Materiał zebrany przez V. A. Kruteckiego pozwolił mu budować ogólny schemat Struktury zdolności matematycznych w wieku szkolnym.
1. Uzyskiwanie informacji matematycznej.
Umiejętność formalnego postrzegania materiału matematycznego i uchwycenia formalnej struktury problemu.
2. Przetwarzanie informacji matematycznej.
1) Możliwość logiczne myślenie w zakresie relacji ilościowych i przestrzennych, symboliki numerycznej i symbolicznej. Umiejętność myślenia symbolami matematycznymi.
2) Umiejętność szybkiego i szerokiego uogólniania obiektów matematycznych, zależności i działań.
3) Możliwość ograniczenia procesu rozumowania matematycznego i systemu odpowiednich działań. Umiejętność myślenia w zawalonych strukturach.
4) Elastyczność procesów myślowych w działalności matematycznej.
5) Dążenie do przejrzystości, prostoty, oszczędności i racjonalności decyzji.
6) Umiejętność szybkiej i swobodnej zmiany kierunku procesu myślowego, przejścia z toku myślenia bezpośredniego na odwrotny (odwracalność procesu myślowego w rozumowaniu matematycznym).
3. Przechowywanie informacji matematycznej.
1) Pamięć matematyczna (pamięć uogólniona zależności matematycznych, typowe cechy, wzorce rozumowania i dowodu, metody rozwiązywania problemów i zasady podejścia do nich).
4. Ogólny składnik syntetyczny.
1) Matematyczna orientacja umysłu. Wybrane komponenty są ze sobą ściśle powiązane, wpływają na siebie i tworzą w całości jeden system, integralną strukturę, unikalny syndrom uzdolnień matematycznych, matematycznego sposobu myślenia.
Struktura uzdolnień matematycznych nie obejmuje tych składników, których obecność w tym systemie nie jest konieczna (choć przydatna). W tym sensie są neutralni w stosunku do uzdolnień matematycznych. Jednak ich obecność lub brak w strukturze (dokładniej stopień ich rozwoju) determinuje typ myślenia matematycznego. W strukturze uzdolnień matematycznych następujące elementy nie są obowiązkowe:
1. Szybkość procesów myślowych jako cecha tymczasowa.
2. Zdolności obliczeniowe (umiejętność dokonywania szybkich i dokładnych obliczeń, często w umyśle).
3. Pamięć liczb, liczb, formuł.
4. Umiejętność reprezentacji przestrzennych.
5. Umiejętność wizualizacji abstrakcyjnych zależności i zależności matematycznych.
Na pewno spotkałeś ludzi, którzy wydają się urodzić z suwakiem logarytmicznym w rękach. W jakim stopniu zdolności matematyczne są z góry określone przez naturę?
Wszyscy mamy wrodzony zmysł matematyczny - to on pozwala nam z grubsza oszacować i porównać liczbę obiektów bez uciekania się do dokładnego liczenia. To właśnie dzięki temu przeczuciu automatycznie wybieramy najkrótszą kolejkę przy kasie w supermarkecie, nie licząc ilości osób.
Ale niektórzy ludzie mają lepsze wyczucie matematyki niż inni. Z szeregu badań opublikowanych w 2013 r. wynika, że tę wrodzoną zdolność, która stanowi podstawę późniejszej pomyślnej nauki matematyki, można znacząco rozwinąć poprzez praktykę i szkolenie.
Naukowcy odkryli cechy strukturalne w mózgach dzieci, które najlepiej radziły sobie z problemami matematycznymi. Według psycholog Elizabeth Brannon z Duke University te nowe odkrycia mogą ostatecznie pomóc w znalezieniu jak najwięcej skuteczne sposoby nauczanie matematyki.
Jak przeprowadzono badanie?
Czy można rozwinąć zmysł matematyczny?
Ale wrodzone zdolności wcale nie nakładają na nas ograniczeń. Brannon i jej koleżanka Junku Park zrekrutowały 52 dorosłych ochotników do udziału w małym eksperymencie. Podczas eksperymentu uczestnicy musieli rozwiązać kilka problemów arytmetycznych obejmujących liczby dwucyfrowe. Następnie połowa grupy przeszła 10 sesji treningowych, podczas których w myślach oszacowała liczbę kropek na kartach. Grupa kontrolna nie została poddana takiej serii badań. Następnie obie grupy poproszono o ponowne podjęcie decyzji przykłady arytmetyczne. Stwierdzono, że wyniki uczestników, którzy ukończyli treningi, były istotnie lepsze od wyników grupy kontrolnej.
Te dwa małe badania pokazują, że wrodzony zmysł matematyczny i nabyte umiejętności matematyczne są ze sobą nierozerwalnie powiązane; praca nad jedną jakością nieuchronnie doprowadzi do poprawy innej. Gry dla dzieci mające na celu ćwiczenie zdolności matematycznych naprawdę odgrywają dużą rolę w późniejszej nauce matematyki.
Inne opublikowane badanie pomaga wyjaśnić, dlaczego niektóre dzieci uczą się lepiej niż inne. Naukowcy z Uniwersytetu Stanforda przez 8 tygodni uczyli nauczania specjalnego 24 uczniów klas trzecich. program z matematycznym nastawieniem. Poziom poprawy umiejętności matematycznych tej grupy dzieci wahał się od 8% do 198% i był niezależny od wyników testów rozwoju intelektualnego, pamięci i zdolności poznawczych.
Pupsena i Vupsena 23 października 2013 o 21:42Czym są zdolności matematyczne i jak je rozwijać?
Ostatnio, po kolejnej porażce z matematyką, zastanawiałem się: czym właściwie są zdolności matematyczne? O jakich właściwościach ludzkiego myślenia dokładnie mówimy? I jak je rozwijać? Następnie postanowiłem uogólnić to pytanie i sformułować je w następujący sposób: jaka jest zdolność do nauk ścisłych? Co je łączy i jakie są różnice? Czym różni się myślenie matematyka od myślenia fizyka, chemika, inżyniera, programisty itp. W Internecie nie znaleziono prawie żadnych zrozumiałych materiałów. Jedyne, co mi się spodobało, to ten artykuł o tym, czy istnieją jakieś szczególne zdolności w chemii i czy są one powiązane ze zdolnościami w fizyce i matematyce.
Chciałbym zapytać o opinię czytelników. A poniżej nakreślę moją subiektywną wizję problemu.
Na początek spróbuję sformułować, co moim zdaniem jest przeszkodą w opanowywaniu matematyki.
Wydaje mi się, że problem leży właśnie w dowodach. Rygorystyczne i formalne dowody są z natury bardzo specyficzne i można je znaleźć głównie w matematyce i filozofii (popraw mnie, jeśli się mylę). To nie przypadek, że wiele wielkich umysłów było jednocześnie matematykami i filozofami: Bertrand Russell, Leibniz, Whitehead, Kartezjusz, lista nie jest kompletna. W szkołach prawie nie uczą dowodów; spotyka się tam głównie geometrię. Spotkałem całkiem sporo ludzi uzdolnionych technicznie, którzy są specjalistami w swoich dziedzinach, a jednocześnie wpadają w osłupienie na widok teorii matematycznej i. kiedy muszą przeprowadzić najprostszy dowód.
Następny punkt jest ściśle powiązany z poprzednim. Krytyczne myślenie matematyków osiąga absolutnie niewyobrażalne wyżyny. i zawsze istnieje chęć udowodnienia i sprawdzenia pozornie oczywistych faktów. Pamiętam moje doświadczenie w studiowaniu algebry i teorii grup, pewnie nie jest to godne myślącej osoby, ale zawsze nudziło mnie wyciąganie pewnych znanych faktów z algebry liniowej i nie mogłem się zmusić do zrobienia 20 dowodów na własności przestrzenie liniowe i jestem gotowy uwierzyć mi na słowo, warunek twierdzenia, pod warunkiem, że dadzą mi spokój.
W moim rozumieniu, aby skutecznie opanować matematykę, osoba musi posiadać następujące umiejętności:
1.Zdolności indukcyjne.
2. Zdolności dedukcyjne.
3. Umiejętność operowania dużą ilością informacji w umyśle. Dobry test może służyć jako problem Einsteina
Można przypomnieć sobie radzieckiego matematyka Pontriagina, który oślepł w wieku 14 lat.
4. Wytrwałość, umiejętność szybkiego myślenia i zainteresowanie mogą umilić wysiłki, które trzeba będzie podjąć, ale które nie zostaną podjęte niezbędne warunki a tym bardziej wystarczające.
5. Miłość do absolutnie abstrakcyjnych gier umysłowych i abstrakcyjnych pojęć
Tutaj możemy podać przykłady topologii i teorii liczb. Inną zabawną sytuację można zaobserwować wśród tych, którzy badają równania różniczkowe cząstkowe z czysto matematycznego punktu widzenia i prawie całkowicie ignorują interpretację fizyczną
6. W przypadku geometrii pożądane jest myślenie przestrzenne.
Jeśli chodzi o mnie, określiłem swoje słabe punkty. Chcę zacząć od teorii dowodu, logiki matematycznej i matematyki dyskretnej, a także zwiększyć ilość informacji, z którymi jestem w stanie sobie poradzić. Na szczególną uwagę zasługują książki D. Poyi „Matematyka i wiarygodne rozumowanie”, „Jak rozwiązać problem”
Co według Ciebie jest kluczem do skutecznego opanowania matematyki i innych nauk ścisłych? A jak rozwijać te zdolności?
Tagi: Matematyka, fizyka
