Równania kwadratowe z dwoma pierwiastkami. Rozwiązywanie równań kwadratowych: wzór na pierwiastek, przykłady

Rozwiązywanie równań w matematyce zajmuje szczególne miejsce. Proces ten poprzedzony jest wielogodzinną nauką teorii, podczas której student uczy się rozwiązywania równań, określania ich rodzaju oraz doprowadza umiejętność całkowitej automatyzacji. Jednak poszukiwanie korzeni nie zawsze ma sens, gdyż mogą one po prostu nie istnieć. Istnieją specjalne techniki wyszukiwania korzeni. W tym artykule przeanalizujemy główne funkcje, ich dziedziny definicji, a także przypadki, w których brakuje ich pierwiastków.

Które równanie nie ma pierwiastków?

Równanie nie ma pierwiastków, jeśli nie ma rzeczywistych argumentów x, dla których równanie jest identycznie prawdziwe. Dla niespecjalisty sformułowanie to, podobnie jak większość twierdzeń i wzorów matematycznych, wydaje się bardzo niejasne i abstrakcyjne, ale tak jest w teorii. W praktyce wszystko staje się niezwykle proste. Na przykład: równanie 0 * x = -53 nie ma rozwiązania, ponieważ nie ma liczby x, której iloczyn z zerem dałby coś innego niż zero.

Teraz przyjrzymy się najbardziej podstawowym typom równań.

1. Równanie liniowe

Równanie nazywa się liniowym, jeśli jego prawa i lewa strona są przedstawione w postaci funkcji liniowych: ax + b = cx + d lub w postaci uogólnionej kx + b = 0. Gdzie a, b, c, d są znanymi liczbami, a x jest nieznana ilość. Które równanie nie ma pierwiastków? Przykłady równań liniowych przedstawiono na poniższej ilustracji.

Zasadniczo równania liniowe rozwiązuje się po prostu przenosząc część liczbową do jednej części i zawartość x do drugiej. Wynikiem jest równanie w postaci mx = n, gdzie m i n są liczbami, a x jest niewiadomą. Aby znaleźć x, po prostu podziel obie strony przez m. Wtedy x = n/m. Większość równań liniowych ma tylko jeden pierwiastek, ale zdarzają się przypadki, gdy pierwiastków jest nieskończenie wiele lub nie ma ich wcale. Gdy m = 0 i n = 0, równanie przyjmuje postać 0 * x = 0. Rozwiązaniem takiego równania będzie absolutnie dowolna liczba.

Jednak które równanie nie ma pierwiastków?

Dla m = 0 i n = 0 równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - te równania nie mają pierwiastków.

2. Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0 dla a = 0. Najczęstszym rozwiązaniem jest dyskryminator. Wzór na znalezienie dyskryminatora równania kwadratowego jest następujący: D = b 2 - 4 * a * c. Dalej są dwa pierwiastki x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Dla D > 0 równanie ma dwa pierwiastki, a dla D = 0 jeden pierwiastek. Ale które równanie kwadratowe nie ma pierwiastków? Najłatwiejszym sposobem zaobserwowania liczby pierwiastków równania kwadratowego jest wykreślenie funkcji, którą jest parabola. Dla a > 0 gałęzie są skierowane w górę, dla a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Możesz także wizualnie określić liczbę pierwiastków bez obliczania dyskryminatora. Aby to zrobić, musisz znaleźć wierzchołek paraboli i określić, w którym kierunku skierowane są gałęzie. Współrzędną x wierzchołka można wyznaczyć ze wzoru: x 0 = -b / 2a. W tym przypadku współrzędną y wierzchołka można znaleźć po prostu podstawiając wartość x 0 do pierwotnego równania.

Równanie kwadratowe x 2 - 8x + 72 = 0 nie ma pierwiastków, ponieważ ma ujemny dyskryminator D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Oznacza to, że parabola nie dotyka osi x, a funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0, zatem równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

3. Równania trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne są rozpatrywane na okręgu trygonometrycznym, ale można je również przedstawić w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym artykule przyjrzymy się dwóm głównym funkcje trygonometryczne i ich równania: sinx i cosx. Ponieważ te funkcje tworzą okrąg trygonometryczny o promieniu 1, |sinx| i |cosx| nie może być większe niż 1. Które równanie sinx nie ma pierwiastków? Rozważmy wykres funkcji sinx pokazany na poniższym obrazku.

Widzimy, że funkcja jest symetryczna i ma okres powtarzania 2pi. Na tej podstawie możemy powiedzieć, że maksymalna wartość tej funkcji może wynosić 1, a minimalna -1. Na przykład wyrażenie cosx = 5 nie będzie miało pierwiastków, ponieważ jego wartość bezwzględna jest większa niż jeden.

To najprostszy przykład równań trygonometrycznych. Tak naprawdę ich rozwiązanie może zająć wiele stron, na końcu zorientujesz się, że użyłeś niewłaściwego wzoru i musisz zacząć wszystko od nowa. Czasami, nawet jeśli poprawnie znajdziesz pierwiastki, możesz zapomnieć o uwzględnieniu ograniczeń OD, dlatego w odpowiedzi pojawia się dodatkowy pierwiastek lub interwał, a cała odpowiedź zamienia się w błąd. Dlatego ściśle przestrzegaj wszystkich ograniczeń, ponieważ nie wszystkie korzenie mieszczą się w zakresie zadania.

4. Układy równań

Układ równań to zbiór równań połączonych nawiasami klamrowymi lub kwadratowymi. Nawiasy klamrowe wskazują, że wszystkie równania są wykonywane razem. Oznacza to, że jeśli przynajmniej jedno z równań nie ma pierwiastków lub jest sprzeczne z innym, cały układ nie ma rozwiązania. Nawiasy kwadratowe oznaczają słowo „lub”. Oznacza to, że jeśli przynajmniej jedno z równań układu ma rozwiązanie, to cały układ ma rozwiązanie.

Odpowiedzią układu c jest zbiór wszystkich pierwiastków poszczególnych równań. A systemy z nawiasami klamrowymi mają tylko wspólne korzenie. Układy równań mogą zawierać zupełnie różne funkcje, dlatego taka złożoność nie pozwala od razu stwierdzić, które równanie nie ma pierwiastków.

Znaleziono w książkach problemowych i podręcznikach różne typy równania: te, które mają pierwiastki i te, które ich nie mają. Po pierwsze, jeśli nie możesz znaleźć korzeni, nie myśl, że ich w ogóle nie ma. Być może gdzieś popełniłeś błąd, musisz po prostu dokładnie sprawdzić swoją decyzję.

Przyjrzeliśmy się najbardziej podstawowym równaniom i ich typom. Teraz możesz stwierdzić, które równanie nie ma pierwiastków. W większości przypadków nie jest to trudne. Osiągnięcie sukcesu w rozwiązywaniu równań wymaga jedynie uwagi i koncentracji. Ćwicz więcej, pomoże Ci to znacznie lepiej i szybciej poruszać się po materiale.

Zatem równanie nie ma pierwiastków, jeśli:

w równaniu liniowym mx = n wartość wynosi m = 0 i n = 0;
w równaniu kwadratowym, jeśli dyskryminator mniej niż zero;
w równaniu trygonometrycznym w postaci cosx = m / sinx = n, jeśli |m| > 0, |n| > 0;
w układzie równań z nawiasami klamrowymi, jeśli przynajmniej jedno równanie nie ma pierwiastków, i z nawiasami kwadratowymi, jeśli wszystkie równania nie mają pierwiastków.

", czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji przyjrzymy się tak zwane równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe?

Ważny!

Stopień równania zależy od najwyższego stopnia, w jakim stoi nieznana.

Jeśli maksymalna potęga, w której niewiadoma wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

5x 2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25 x = 0
x 2 - 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda następująco:

ZA x 2 + b x + do = 0

„a”, „b” i „c” są oznaczone liczbami.

„a” jest pierwszym lub najwyższym współczynnikiem;
„b” to drugi współczynnik;
„c” jest członkiem bezpłatnym.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c”, należy porównać swoje równanie z ogólną formą równania kwadratowego „ax 2 + bx + c = 0”.

Poćwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25 x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 - 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych, do rozwiązywania równań kwadratowych stosuje się specjalną metodę. przepis na znalezienie korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

sprowadź równanie kwadratowe do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0”.
Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;

użyj wzoru na pierwiastki:

Spójrzmy na przykład użycia wzoru do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0 Równanie „x 2 − 3x − 4 = 0” zostało już sprowadzone do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek.

wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego

Wyznaczmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.
Wyznaczmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.
Wyznaczmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.
Wyznaczmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1;2 =

Można go użyć do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.
We wzorze „x 1;2 =” często zastępowane jest wyrażenie radykalne

„b 2 − 4ac” dla litery „D” i nazywa się dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało omówione bardziej szczegółowo w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Spójrzmy na inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci dość trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0

x 2 - 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć wzoru na korzenie.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

x =
x = 3

Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy równania kwadratowe nie mają pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy formuła zawiera pod pierwiastkiem liczbę ujemną.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe. Przyjrzyjmy się wszystkiemu szczegółowo: istocie i zapisowi równania kwadratowego, zdefiniuj powiązane terminy, przeanalizuj schemat rozwiązywania niepełnych i pełne równania

, zapoznajmy się ze wzorem na pierwiastki i dyskryminator, ustalmy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1 Równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako za x 2 + b x + do = 0 , Gdzie X – zmienna, a, b i C – kilka liczb, podczas gdy A

Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.

Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja 2

Liczby a, b i – zmienna, a, b i są współczynnikami równania kwadratowego jest równaniem zapisanym jako, natomiast współczynnik A nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy , Gdzie, A – zmienna, a, b i nazywany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 współczynnik wiodący wynosi 6, drugi współczynnik − 2 , a wolny termin jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki B i/lub c są ujemne, wówczas użyj krótka forma zapisy jak 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: jeśli współczynniki A i/lub B równy 1 Lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwościami pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 = 0 współczynnik wiodący wynosi 1, a drugi współczynnik − 1 .

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

Ze względu na wartość pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i nieredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest nieredukowane.

Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 są redukowane, w każdym z nich współczynnik wiodący wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, od którego różni się pierwszy współczynnik 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie strony przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki co podane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało pierwiastków.

Namysł konkretny przykład pozwoli nam wyraźnie wykazać przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem obie strony pierwotnego równania dzielimy przez wiodący współczynnik 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, a to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne podanemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania jest równaniem zapisanym jako był dokładnie kwadratowy, gdyż o godz a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + do = 0.

W przypadku, gdy współczynniki B I – zmienna, a, b i są równe zeru (co jest możliwe zarówno indywidualnie, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.

Definicja 4

Niekompletne równanie kwadratowe- takie równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników B I – zmienna, a, b i(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe– równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zero.

Omówmy, dlaczego rodzaje równań kwadratowych mają dokładnie te nazwy.

Gdy b = 0, równanie kwadratowe przyjmuje postać za x 2 + 0 x + do = 0, czyli to samo co za x 2 + do = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe zapisuje się jako za x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne za x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przybierze postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Właściwie to właśnie ten fakt dał nazwę tego typu równaniom – niepełne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Definicja podana powyżej pozwala podkreślić następujące typy niekompletne równania kwadratowe:

a x 2 = 0, to równanie odpowiada współczynnikom b = 0 i c = 0;
a · x 2 + do = 0 przy b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 przy c = 0.

Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego rodzaju niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 =0

Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom B I – zmienna, a, b i, równy zeru. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę A, nierówny zero. Oczywistym faktem jest pierwiastek równania x2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nierówny zero, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pojedynczy pierwiastek x = 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to równoważne równaniu x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to pierwotne równanie ma jeden pierwiastek – zero.

W skrócie rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0

Następne w kolejce jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci za x 2 + do = 0. Przekształćmy to równanie, przesuwając wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę różną od zera:

przenosić – zmienna, a, b i V prawa strona, co daje równanie za x 2 = - do;
podziel obie strony równania przez A, kończymy na x = - c a .

Nasze przekształcenia są równoważne; zatem otrzymane równanie jest również równoważne pierwotnemu, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od jakich wartości A I – zmienna, a, b i wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład if a = 1 I c = 2, następnie - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład if za = - 2 I c = 6, następnie - do za = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0. Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad sytuacjami, gdy - ok< 0 и - c a > 0 .

W przypadku gdy - ok< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: pamiętaj o pierwiastku kwadratowym i stanie się oczywiste, że pierwiastkiem równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Nietrudno zrozumieć, że liczba - - c a jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzeczności. Na początek zdefiniujmy oznaczenia pierwiastków znalezione powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2, co różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy to podstawiając do równania , Gdzie pierwiastki, przekształcamy równanie w uczciwą równość liczbową.

Dla x 1 I − x 1 piszemy: x 1 2 = - c a , i dla x 2- x 2 2 = - do za . Bazując na własnościach równości liczbowych, odejmujemy jeden poprawny wyraz równości od drugiego, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0. Używamy właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero. Z powyższego wynika, że x 1 - x 2 = 0 i/lub x 1 + x 2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = - x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo uznano, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a.

Podsumujmy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niekompletne równanie kwadratowe za x 2 + do = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:

nie będzie miał korzeni w - ok< 0 ;
będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a > 0.

Podajmy przykłady rozwiązywania równań za x 2 + do = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przesuńmy wolny wyraz na prawą stronę równania, wówczas równanie przyjmie postać 9x2 = - 7.
Podzielmy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = - 7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: y dane równanieżadnych korzeni. Następnie oryginalne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie miał korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Trzeba rozwiązać równanie − x 2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przesuńmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części przez − 1 , otrzymujemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować x = 36 lub x = - 36 .
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 Lub x = - 6.

Odpowiedź: x=6 Lub x = - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci typ niepełnych równań kwadratowych, kiedy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego za x 2 + b x = 0, zastosujemy metodę faktoryzacji. Rozłóżmy wielomian znajdujący się po lewej stronie równania na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów , Gdzie. Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne zbiorowi równań x = 0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = - b za.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe za x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 I x = - b za.

Wzmocnijmy materiał przykładem.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rozwiązanie

Wyciągniemy to , Gdzie poza nawiasami otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz powinieneś rozwiązać powstałe równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Zapisz krótko rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązania równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:

Definicja 8

x = - b ± D 2 · a, gdzie re = b 2 - 4 za do– tzw. dyskryminator równania kwadratowego.

Zapisanie x = - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Przydatne byłoby zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono tę formułę i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego jest równaniem zapisanym jako. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

podziel obie strony równania przez liczbę – kilka liczb, podczas gdy, różny od zera, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Wybierzmy pełny kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
x 2 + b za · x + do a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + do a = = x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + ok
Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
b 2 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - 4 · za · do 4 · za 2 = b 2 - 4 · za · do 4 · za 2 .

W ten sposób dochodzimy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , równoważne pierwotnemu równaniu jest równaniem zapisanym jako.

Rozwiązanie takich równań sprawdziliśmy w poprzednich akapitach (rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte już doświadczenie pozwala wyciągnąć wniosek dotyczący pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
gdy b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, wtedy x + b 2 · a = 0.

Stąd oczywisty jest jedyny pierwiastek x = - b 2 · a;

dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 prawdziwe będzie: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 lub x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , co jest tym samym co x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 lub x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można stwierdzić, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a zatem pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 zapisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika (mianownik 4 za 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 za do. To wyrażenie b 2 - 4 za do podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Można tutaj zapisać istotę dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku można stwierdzić, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 . Przepiszmy to stosując notację dyskryminacyjną: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sformułujmy jeszcze raz nasze wnioski:

Definicja 9

Na D< 0 równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków;
Na D=0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x = - b 2 · a ;
Na D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 lub x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Bazując na własnościach rodników, pierwiastki te można zapisać w postaci: x = - b 2 · a + D 2 · a lub - b 2 · a - D 2 · a. A kiedy otworzymy moduły i doprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Zatem wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, dyskryminator D obliczone według wzoru re = b 2 - 4 za do.

Wzory te umożliwiają wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych, gdy dyskryminator jest większy od zera. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, jeśli spróbujemy skorzystać ze wzoru na pierwiastek kwadratowy, staniemy przed koniecznością obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza zakres liczb rzeczywistych. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określonych tymi samymi wzorami pierwiastkowymi, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego poprzez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zwykle robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków oznacza to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie jest przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala na sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako, niezbędny:

według formuły re = b 2 - 4 za do znajdź wartość dyskryminacyjną;
w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru x = - b 2 · a;
dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego korzystając ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a.

Spójrzmy na przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różne znaczenia dyskryminujący.

Przykład 6

Musimy znaleźć pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Zapiszmy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i do = - 6. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczać dyskryminator, za który podstawimy współczynniki a, b I – zmienna, a, b i do wzoru dyskryminacyjnego: re = b 2 - 4 · za · do = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Otrzymujemy więc D > 0, co oznacza, że pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy powstałe wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie redukując ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Przykład 7

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy dyskryminator: re = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odpowiedź: x = 3,5.

Przykład 8

Trzeba rozwiązać równanie 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości, aby znaleźć dyskryminator: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastek, wykonując działania na liczbach zespolonych:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 1 5 · ja.

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; pierwiastki zespolone są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

W programie szkolnym nie ma standardowego wymogu poszukiwania pierwiastków złożonych, dlatego jeśli w trakcie rozwiązywania dyskryminator okaże się ujemny, od razu zapisuje się odpowiedź, że pierwiastków rzeczywistych nie ma.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastek x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) pozwala otrzymać inny, bardziej zwarty wzór, pozwalający znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku dla x ( lub ze współczynnikiem postaci 2 · n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wyprowadzony jest ten wzór.

Stańmy przed zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

x = - 2 n ± re 2 za, x = - 2 n ± 4 n 2 - za do 2 za, x = - 2 n ± 2 n 2 - za do 2 za, x = - n ± n 2 - a · do za .

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczone jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 · n przyjmie postać:

x = - n ± re 1 a, gdzie re 1 = n 2 - a · do.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

znajdź re 1 = n 2 - a · do;
w D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania możemy przedstawić jako 2 · (− 3) . Następnie przepisujemy dane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdzie a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Wynikowa wartość jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczmy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Można by przeprowadzić obliczenia, stosując zwykły wzór na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu stron przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, otrzymaną poprzez podzielenie obu stron przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są wzajemnie liczby pierwsze. Następnie zwykle dzielimy obie strony równania przez największy wspólny dzielnik wartości bezwzględnych jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Określmy GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymamy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożą się przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jego współczynników. Na przykład, jeśli każdą część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoży się przez LCM (6, 3, 1) = 6, wówczas zostanie zapisane w więcej w prostej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego wyrazu równania, co osiąga się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu stron przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Zależność pierwiastków i współczynników

Znany nam już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki liczbowe. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość określenia innych zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie są wzory twierdzenia Viety:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = do a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego sumą pierwiastków jest drugi współczynnik o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład, patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, można od razu ustalić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Można także znaleźć wiele innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b za 2 - 2 do za = b 2 za 2 - 2 do za = b 2 - 2 za do 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zagadnienia równań kwadratowych są przedmiotem zajęć szkolnych i uniwersyteckich. Mam na myśli równania postaci a*x^2 + b*x + c = 0, gdzie X- zmienna, a, b, c – stałe; A<>0. Zadanie polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Znaczenie geometryczne równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe jest parabolą. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są punkty przecięcia paraboli z osią odciętej (x). Z tego wynika, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią odciętych. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z gałęziami skierowanymi do góry lub na dole z gałęziami opuszczonymi. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki zespolone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wołu. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a równanie kwadratowe w nim uzyskuje wartość minimalną lub maksymalną. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest bardziej interesujący w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że istnieją dwa rzeczywiste pierwiastki równania.

Na podstawie analizy współczynników potęg zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące położenia paraboli.

1) Jeżeli współczynnik a jest większy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w górę; jeżeli jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół.

2) Jeżeli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeżeli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b^2 po obu stronach i wykonaj transformację

Stąd znajdziemy

Wzór na dyskryminator i pierwiastki równania kwadratowego

Wyróżnikiem jest wartość wyrażenia radykalnego. Jeśli jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone ze wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa zbieżne pierwiastki), które można łatwo uzyskać z powyższego wzoru dla D=0. Gdy dyskryminator jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak rozwiązania równania kwadratowego znajdują się na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się za pomocą wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważmy dwa pierwiastki równania kwadratowego i na ich podstawie zbudujmy równanie kwadratowe. Samo twierdzenie Viety łatwo wynika z zapisu: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wówczas suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi swobodnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał następująco: Jeśli w klasycznym równaniu stała a jest różna od zera, to należy podzielić przez nią całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Viety.

Rozkład równań kwadratowych na czynniki

Niech zadanie będzie ustawione: rozłóż na czynniki równanie kwadratowe. Aby to zrobić, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego. To rozwiąże problem.

Zagadnienia równań kwadratowych

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i podstaw je do wzoru dyskryminacyjnego

Pierwiastkiem tej wartości jest 14, łatwo ją znaleźć za pomocą kalkulatora lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można spotkać w takie problemy.
Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastkowego

i otrzymujemy

Zadanie 2. Rozwiąż równanie

2x2 +x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, zapisujemy współczynniki i znajdujemy dyskryminator

Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiąż równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Wyznaczanie dyskryminatora

Mamy przypadek, w którym korzenie się pokrywają. Znajdź wartości pierwiastków za pomocą wzoru

Zadanie 4. Rozwiąż równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, gdy dla x występują małe współczynniki, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Viety. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku dowiadujemy się, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Mamy następującą parę możliwych rozwiązań (-3;2), (3;-2). Uwzględniając pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania są równe

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a pole 77 cm2.

Rozwiązanie: Połowa obwodu prostokąta jest równa sumie jego sąsiednich boków. Oznaczmy x jako większy bok, wtedy 18-x będzie jego mniejszym bokiem. Pole prostokąta jest równe iloczynowi tych długości:
x(18-x)=77;
Lub
x 2 -18x+77=0.
Znajdźmy dyskryminator równania

Obliczanie pierwiastków równania

Jeśli x=11, To 18 lat = 7, jest też odwrotnie (jeśli x=7, to 21-ki=9).

Zadanie 6. Rozłóż równanie kwadratowe na czynniki 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Obliczmy pierwiastki równania, w tym celu znajdziemy dyskryminator

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru na pierwiastek i obliczamy

Stosujemy wzór na rozkład równania kwadratowego przez pierwiastki

Otwierając nawiasy uzyskujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Przy jakich wartościach parametrów A , czy równanie (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma ona rozwiązania. Następnie skorzystamy z faktu, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Zapiszmy dyskryminator

Uprośćmy to i przyrównajmy do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie można łatwo uzyskać korzystając z twierdzenia Viety. Suma pierwiastków wynosi 7, a ich iloczyn wynosi 12. Za pomocą prostego wyszukiwania ustalamy, że liczby 3,4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a=4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Przy jakich wartościach parametrów A , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: spójrzmy najpierw pojedyncze punkty, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0 równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0.
Obliczmy dyskryminator

i znajdź wartość a, przy której jest ona dodatnia

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. W drugim przypadku znajdujemy dyskryminator i pierwiastki równania

Wyznaczmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Zatem poza przedziałem (-3;1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o tym a=0, które należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma jeden pierwiastek.
W efekcie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunki zadania

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, spróbuj samodzielnie rozwiązać zadania i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Dobrze przestudiuj wzory rozwiązywania równań kwadratowych; są one często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

Kontynuujemy studiowanie tematu „ rozwiązywanie równań" Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przyjrzymy się, czym jest równanie kwadratowe i jak się je zapisuje widok ogólny i podać powiązane definicje. Następnie użyjemy przykładów, aby szczegółowo zbadać, w jaki sposób rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe. Następnie przejdziemy do rozwiązywania pełnych równań, uzyskamy wzór na pierwiastek, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważymy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja strony.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także powiązanych definicji. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: równania zredukowane i nieredukowane, a także równania pełne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Definicja 1 jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Wynika to z faktu, że równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Podana definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Zatem 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja.

Takty muzyczne a, b i c nazywane są współczynniki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, lub współczynnikiem x 2, b jest drugim współczynnikiem, czyli współczynnikiem x, a c jest wyrazem wolnym .

Na przykład weźmy równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik jest równy −2, a wyraz wolny jest równy −3. Należy pamiętać, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, krótka postać równania kwadratowego to 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i/lub b są równe 1 lub -1, zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki zapisywania takich . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik y jest równy −1.

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 dane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe ma postać nietknięty.

Według tę definicję, równania kwadratowe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – biorąc pod uwagę, że w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich współczynniki wiodące są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie strony przez współczynnik wiodący, można przejść do równania zredukowanego. Działanie to jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne nieredukowane równanie kwadratowe, lub podobnie jak ono nie ma pierwiastków.

Spójrzmy na przykład, jak dokonuje się przejścia z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Musimy tylko podzielić obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on różny od zera, abyśmy mogli wykonać to działanie. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, czyli to samo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a następnie (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, skąd . W ten sposób otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 + b x + c = 0 było kwadratowe, ponieważ gdy a = 0, faktycznie staje się równaniem liniowym w postaci b x + c = 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno indywidualnie, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równaniem kwadratowym a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Takie nazwy nie zostały nadane przypadkowo. Stanie się to jasne po następujących dyskusjach.

Jeżeli współczynnik b wynosi zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a·x 2 +0·x+c=0 i jest równoważne równaniu a·x 2 +c=0. Jeżeli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a·x 2 +b·x+0=0, to można je przepisać jako a·x 2 +b·x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Powstałe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że tak trzy typy niepełnych równań kwadratowych:

a·x 2 =0, odpowiadają temu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
i a·x 2 +b·x=0, gdy c=0.

Przyjrzyjmy się po kolei, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 = 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań w postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 = 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 = 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co tłumaczy się faktem, że dla dowolnej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 > 0, co oznacza, że dla p ≠0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a·x 2 =0 ma pojedynczy pierwiastek x=0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4 x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 = 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x = 0, dlatego pierwotne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można zapisać w następujący sposób:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

ax2 +c=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c≠0, czyli równania w postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie strony przez a, otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2, to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6, wtedy ), to nie jest zero , ponieważ zgodnie z warunkiem c≠0. Przyjrzyjmy się przypadkom osobno.

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętamy o , pierwiastek równania od razu staje się oczywisty; Łatwo zgadnąć, że liczba ta jest w istocie także pierwiastkiem równania. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania właśnie ogłoszonego jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2, inny niż wskazane pierwiastki x 1 i −x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x powoduje, że równanie staje się poprawną równością liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Właściwości równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie poprawnych równości liczbowych, zatem odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 =0. Właściwości operacji na liczbach pozwalają nam zapisać otrzymaną równość jako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0, czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 =−x 1. Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + c=0 jest równoważne równaniu to

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i , jeśli .

Rozważmy przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0. Po przesunięciu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, otrzymujemy . Ponieważ prawa strona ma liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 +7 = 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy kolejne niekompletne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę: −x 2 = −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 = 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

ax2 +bx=0

Pozostaje znaleźć rozwiązanie ostatni typ niekompletne równania kwadratowe dla c=0. Niekompletne równania kwadratowe postaci a x 2 + b x = 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny współczynnik x z nawiasów. Pozwala nam to przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania w postaci x·(a·x+b)=0. Równanie to jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a·x+b=0, z których drugie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a.

Zatem niepełne równanie kwadratowe a·x 2 +b·x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na konkretnym przykładzie.

Przykład.

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie.

Usunięcie x z nawiasów daje równanie . Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , i dzielimy liczbę mieszaną przez ułamek wspólny, znajdujemy. Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po nabyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można w skrócie zapisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego: , Gdzie D=b 2 −4 za do- tzw dyskryminator równania kwadratowego. Wpis zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób wyprowadzono wzór na pierwiastek i jak można go wykorzystać do znalezienia pierwiastków równań kwadratowych. Rozwiążmy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Musimy rozwiązać równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0. Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, uzyskując następujące równanie kwadratowe.
Teraz wybierz cały kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich wyrazów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, mamy .
Przekształćmy także wyrażenie po prawej stronie: .

W efekcie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy to sprawdzaliśmy. Pozwala nam to wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

jeżeli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeżeli , to równanie ma zatem postać , z której widoczny jest jedyny jego pierwiastek;
jeśli , to lub , co jest tym samym co lub , to znaczy równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a zatem pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia wyznacza znak licznika, gdyż mianownik 4·a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4·a·c. To wyrażenie b 2 −4 a c zostało nazwane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczony literą D. Stąd jasna jest istota dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku wnioskują, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania i przepiszmy je stosując notację dyskryminacyjną: . I wyciągamy wnioski:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
wreszcie, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, co można zapisać w postaci lub, i po rozwinięciu i sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy.

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, wyglądają one jak , gdzie dyskryminator D oblicza się ze wzoru D=b 2 −4·a·c.

Za ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator wynosi zero, oba wzory dają tę samą wartość pierwiastka, co odpowiada jednoznacznemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A w przypadku ujemnego wyróżnika, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z ekstrakcją pierwiastek kwadratowy od liczby ujemnej, co prowadzi nas poza i program szkolny. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć przy użyciu tych samych wzorów na pierwiastki, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o zespolonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0, należy:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 −4·a·c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
obliczyć jedyny pierwiastek równania ze wzoru, jeśli D=0;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, korzystając ze wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

Tutaj po prostu zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, możesz również użyć wzoru, który da tę samą wartość co .

Można przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważmy rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Po zapoznaniu się z ich rozwiązaniem analogicznie możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zacznijmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2·x−6=0.

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, b=2 i c=−6. Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator; w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, który mamy D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru głównego, otrzymamy, tutaj możesz uprościć wynikowe wyrażenia, wykonując przesunięcie mnożnika poza znak pierwiastka a następnie redukcja ułamka:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia dyskryminatora: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5·y 2 +6·y+2=0.

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5, b=6 i c=2. Podstawiamy te wartości do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Jeśli chcesz określić złożone korzenie, użyj dobrze znana formuła pierwiastki równania kwadratowego i wykonaj operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Zauważmy jeszcze raz, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle od razu zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie znaleziono pierwiastków zespolonych.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D=b 2 −4·a·c pozwala otrzymać wzór w postaci bardziej zwartej, pozwalającej na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem dla x (lub po prostu z współczynnik mający na przykład postać 2·n lub 14·ln5=2,7·ln5 ). Wyciągnijmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe w postaci a x 2 +2 n x+c=0. Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanego nam wzoru. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a do), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −ac jako D 1 (czasami jest to oznaczone jako D „). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać , gdzie D 1 = n 2 −a·c.

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1, czyli D 1 =D/4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Zatem, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2·n, potrzebujesz

Oblicz D 1 = n 2 −a·c ;
Jeśli D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, to oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste, korzystając ze wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu, korzystając ze wzoru na pierwiastek uzyskanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać pierwotne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tutaj a=5, n=−3 i c=−32 i obliczyć czwartą część dyskryminujący: re 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdźmy je, korzystając z odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Należy zauważyć, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku konieczne byłoby wykonanie większej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania?” Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x−6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0.

Zazwyczaj uproszczenie postaci równania kwadratowego osiąga się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu stron przez określoną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie można było uprościć równanie 1100 x 2 −400 x −600=0 dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez wartości bezwzględne jego współczynników. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: NWD(12, 42, 48)= NWD(NWD(12, 42), 48)= NWD(6, 48)=6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się przez mianowniki jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6, wówczas przyjmiemy prostszą postać x 2 +4·x−18=0.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywają się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada mnożeniu (lub dzieleniu) obu stron przez -1. Na przykład zwykle przechodzi się od równania kwadratowego −2 x 2 −3 x+7=0 do rozwiązania 2 x 2 +3 x−7=0 .

Zależność pierwiastków i współczynników równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki. Na podstawie wzoru pierwiastkowego można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory z twierdzenia Viety mają postać i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład w postaci równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 = 0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków jest równy 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Można na przykład wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego poprzez jego współczynniki: .

Referencje.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Być może zainteresują Cię poniższe materiały