Temat lekcji: „Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)
Poziom wejścia
Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)
Sekwencja numerów
Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:
Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:
Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
W naszym przypadku: 
Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład: 
itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.
Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.
Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:
A)
B)
C)
D)
Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
nie jest postęp arytmetyczny - a, d.
Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego th wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.
1. Metoda
Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:
Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.
2. Metoda
Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, w jaki nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:
Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego: 
Innymi słowy:
Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.
Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:
Zwróć uwagę, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy kolejno wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę - sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:
|
Równanie postępu arytmetycznego. |
Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.
Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:
Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:
Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujące liczby: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:
Od tego czasu:
Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Porównajmy wyniki:
Właściwość postępu arytmetycznego
Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:
Niech więc:
Absolutna prawda. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co, jeśli w warunku podane są liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.
Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:
- poprzedni termin progresji to:
- kolejny wyraz progresji to:
Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:
Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.
Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.
Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował dla siebie jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Carl Gauss...
Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, zadał w klasie następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczby naturalne od do (według innych źródeł do) włącznie.” Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…
Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?
Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się uważnie podświetlonym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne. 
Czy próbowałeś? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe
A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?
Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.
Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?
W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraź sobie na przykład Starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowa piramidy... Na zdjęciu jedna jej strona. 
Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy. 
Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?
W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).
Metoda 1.
Metoda 2.
A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:
Szkolenie
Zadania:
- Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
- Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
- Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?
Odpowiedzi:
- Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
- Pierwszy nieparzysta liczba, ostatni numer.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
- Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.
Podsumujmy to
- - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
- Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
- Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
- Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
, gdzie jest liczbą wartości.
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. POZIOM ŚREDNI
Sekwencja numerów
Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.
Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.
Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.
Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła
ustawia kolejność:
A formuła jest następującą sekwencją:
Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).
formuła n-tego terminu
Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:
Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:
Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?
W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Jaki? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:
Teraz znacznie wygodniej, prawda? Sprawdzamy:
Zdecyduj sam:
W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.
Rozwiązanie:
Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:
(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).
Zatem formuła:
Wtedy setny wyraz jest równy:
Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?
Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,
Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.
Rozwiązanie:
Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.
Formuła wyrazu VII dla tej progresji:
Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?
Bardzo łatwe: .
Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:
Odpowiedź: .
Teraz zdecyduj sam:
- Każdego dnia zawodnik przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
- Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
- Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.
Odpowiedzi:
- Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź: - Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź: - Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().
Na przykład:
Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego
jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w postępie.
Własność członków ciągu arytmetycznego
Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego
Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:
Gdzie jest liczba wartości.
Gdzie jest liczba wartości.
Co główny punkt formuły?
Ta formuła pozwala znaleźć każdy PRZEZ JEGO NUMER” N" .
Oczywiście trzeba znać także pierwszy termin 1 i różnica w progresji D no cóż, bez tych parametrów nie da się zapisać konkretnej progresji.
Zapamiętywanie (lub powtarzanie) tej formuły nie wystarczy. Musisz zrozumieć jego istotę i zastosować formułę w różnych problemach. I żeby nie zapomnieć w odpowiednim momencie, tak...) Jak nie zapomnij- Nie wiem. Ale jak pamiętać W razie potrzeby na pewno Ci doradzę. Dla tych, którzy ukończą lekcję do końca.)
Przyjrzyjmy się zatem wzorowi na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Czym ogólnie jest formuła? Swoją drogą, spójrz, jeśli nie czytałeś. Wszystko jest tam proste. Pozostaje dowiedzieć się, co to jest n-ty termin.
Postęp w widok ogólny można zapisać jako ciąg liczb:
1, 2, 3, 4, 5,.....
1- oznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, 3- trzeci członek, 4- czwarty i tak dalej. Jeśli jesteśmy zainteresowani piątą kadencją, powiedzmy, że współpracujemy 5, jeśli sto dwudziesty - s 120.
Jak możemy to ogólnie zdefiniować? każdy wyraz postępu arytmetycznego, z każdy numer? Bardzo proste! Tak:
jakiś
To jest to n-ty wyraz postępu arytmetycznego. Litera n ukrywa wszystkie numery elementów jednocześnie: 1, 2, 3, 4 i tak dalej.
A co nam daje taki zapis? Pomyśl tylko, zamiast numeru napisali list...
Notacja ta daje nam potężne narzędzie do pracy z postępem arytmetycznym. Używając notacji jakiś, możemy szybko znaleźć każdy członek każdy postęp arytmetyczny. I rozwiąż kilka innych problemów z postępem. Zobaczysz sam dalej.
We wzorze na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
| za n = za 1 + (n-1)d |
1- pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego;
N- numer członkowski.
Formuła łączy kluczowe parametry każdej progresji: jakiś ; 1; D I N. Wszystkie problemy z progresją skupiają się wokół tych parametrów.
Formuły na n-ty wyraz można również użyć do zapisania określonej progresji. Na przykład problem może mówić, że postęp jest określony przez warunek:
za n = 5 + (n-1) 2.
Taki problem może być ślepym zaułkiem... Nie ma tu ani serii, ani różnicy... Ale porównując warunek ze wzorem, łatwo zrozumieć, że w tym przebiegu a 1 = 5 i d = 2.
A może być jeszcze gorzej!) Jeśli przyjmiemy ten sam warunek: za n = 5 + (n-1) 2, Tak, otwórz nawiasy i przynieś podobne? Otrzymujemy nową formułę:
zan = 3 + 2n.
Ten Tylko nie ogólnie, ale dla konkretnego postępu. Tu właśnie czai się pułapka. Niektórzy uważają, że pierwszym wyrazem jest trójka. Chociaż w rzeczywistości pierwszy wyraz to pięć... Nieco niżej będziemy pracować z tak zmodyfikowaną formułą.
W problemach progresji istnieje inny zapis - n+1. Jest to, jak się domyślacie, termin „n plus pierwszy” w progresji. Jego znaczenie jest proste i nieszkodliwe.) Jest to element postępu, którego liczba jest większa niż liczba n o jeden. Na przykład, jeśli w jakimś problemie podejmiemy jakiś zatem piąta kadencja n+1 będzie szóstym członkiem. I tym podobne.
Najczęściej oznaczenie n+1 można znaleźć we wzorach powtarzania. Nie bój się tego strasznego słowa!) To tylko sposób wyrażenia elementu ciągu arytmetycznego przez poprzedni. Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny w tej formie, korzystając ze wzoru rekurencyjnego:
za n+1 = za n +3
za 2 = za 1 + 3 = 5+3 = 8
za 3 = za 2 + 3 = 8+3 = 11
Czwarty - przez trzeci, piąty - przez czwarty i tak dalej. Jak możemy od razu policzyć, powiedzmy, dwudziesty termin? 20? Ale nie ma mowy!) Dopóki nie poznamy 19-tego członu, nie możemy policzyć 20-tego. To jest to zasadnicza różnica wzór powtarzalny ze wzoru na n-ty wyraz. Powtarzanie działa tylko poprzez poprzedni termin i formuła n-tego wyrazu jest skończona Pierwszy i pozwala od razu znajdź dowolnego członka według jego numeru. Bez obliczania całej serii liczb w kolejności.
W postępie arytmetycznym łatwo jest zamienić powtarzającą się formułę na zwykłą. Policz parę kolejnych wyrazów, oblicz różnicę D, znajdź, jeśli to konieczne, pierwszy wyraz 1, napisz formułę w jej zwykłej formie i pracuj z nią. Z takimi zadaniami w Państwowej Akademii Nauk często się spotykamy.
Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Najpierw spójrzmy bezpośrednie zastosowanie formuły. Pod koniec poprzedniej lekcji pojawił się problem:
Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.
Problem ten można rozwiązać bez żadnych wzorów, po prostu w oparciu o znaczenie ciągu arytmetycznego. Dodawaj i dodawaj... Godzinę lub dwie.)
Zgodnie ze wzorem rozwiązanie zajmie mniej niż minutę. Możesz to ustalić w czasie.) Zdecydujmy.
Warunki dostarczają wszystkich danych pozwalających na użycie wzoru: a1 =3, d=1/6. Pozostaje dowiedzieć się, co jest równe N. Nie ma pytania! Musimy znaleźć 121. Więc piszemy:
Proszę zwrócić uwagę! Zamiast indeksu N pojawiła się konkretna liczba: 121. Co jest całkiem logiczne.) Nas interesuje człon ciągu arytmetycznego numer sto dwadzieścia jeden. To będzie nasze N. Takie jest znaczenie N= 121 podstawimy w dalszej części wzoru, w nawiasach. Podstawiamy wszystkie liczby do wzoru i obliczamy:
za 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To wszystko. Równie szybko można było znaleźć pięćset dziesiąty wyraz i tysiąc trzeci dowolny. Umieściliśmy zamiast tego Nżądany numer w indeksie litery „ A" i w nawiasach, i liczymy.
Przypomnę ci o co chodzi: ta formuła pozwala ci znaleźć każdy wyraz postępu arytmetycznego PRZEZ JEGO NUMER” N" .
Rozwiążmy problem w bardziej przebiegły sposób. Natkniemy się na następujący problem:
Znajdź pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 17 =-2; d=-0,5.
Jeśli będziesz miał jakieś trudności, powiem ci pierwszy krok. Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Tak, tak. Zapisz rękami bezpośrednio w zeszycie:
| za n = za 1 + (n-1)d |
A teraz, patrząc na litery wzoru, rozumiemy, jakie dane mamy, a jakich brakuje? Dostępny d=-0,5, jest siedemnasty członek... To wszystko? Jeśli myślisz, że to wszystko, to nie rozwiążesz problemu, tak…
Nadal mamy numer N! W stanie a 17 = -2 ukryty dwa parametry. Jest to zarówno wartość siedemnastego wyrazu (-2), jak i jego liczba (17). Te. n=17. Często ten „błahostka” prześlizguje się przez głowę i bez niej (bez „drobiazgu”, a nie głowy!) problemu nie da się rozwiązać. Chociaż... i też bez głowy.)
Teraz możemy po prostu głupio podstawić nasze dane do wzoru:
za 17 = za 1 + (17-1)·(-0,5)
O tak, 17 wiemy, że jest -2. OK, zamieńmy:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
To w zasadzie wszystko. Pozostaje wyrazić pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego ze wzoru i go obliczyć. Odpowiedź będzie brzmiała: 1 = 6.
Technika ta – zapisanie wzoru i po prostu podstawienie znanych danych – jest bardzo pomocna w prostych zadaniach. No cóż, oczywiście trzeba umieć wyrazić zmienną ze wzoru, ale co zrobić!? Bez tej umiejętności matematyka może w ogóle nie być studiowana...
Kolejna popularna łamigłówka:
Znajdź różnicę postępu arytmetycznego (an), jeśli a 1 =2; 15 = 12.
Co robimy? Będziesz zaskoczony, piszemy formułę!)
| za n = za 1 + (n-1)d |
Zastanówmy się, co wiemy: a1 =2; a15=12; i (szczególnie podkreślę!) n=15. Zapraszam do podstawienia tego do wzoru:
12=2 + (15-1)d
Wykonujemy arytmetykę.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
To jest poprawna odpowiedź.
A więc zadania dla n, 1 I D zdecydowany. Pozostaje tylko dowiedzieć się, jak znaleźć liczbę:
Liczba 99 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 12; d=3. Znajdź numer tego członka.
Podstawiamy znane nam wielkości do wzoru na n-ty wyraz:
za n = 12 + (n-1) 3
Na pierwszy rzut oka są tu dwie nieznane wielkości: i n. Ale jakiś- to jest jakiś element progresji z liczbą N...I znamy tego członka progresji! Jest 99. Nie znamy jego numeru. N, Więc ten numer jest tym, co musisz znaleźć. Podstawiamy wyraz progresji 99 do wzoru:
99 = 12 + (n-1) 3
Wyrażamy ze wzoru N, myślimy. Otrzymujemy odpowiedź: n=30.
A teraz problem na ten sam temat, ale bardziej kreatywny):
Ustal, czy liczba 117 należy do ciągu arytmetycznego (an):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Napiszmy formułę jeszcze raz. Co, nie ma parametrów? Hm... Po co nam oczy?) Czy widzimy pierwszy człon progresji? Widzimy. To jest -3,6. Możesz spokojnie napisać: a 1 = -3,6. Różnica D Czy potrafisz to rozpoznać po serialu? To proste, jeśli wiesz, jaka jest różnica w ciągu arytmetycznym:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Zrobiliśmy więc najprostszą rzecz. Pozostaje uporać się z nieznanym numerem N i niezrozumiałą liczbę 117. W poprzednim zadaniu przynajmniej było wiadomo, że podano wyraz ciągu progresji. Ale tutaj nawet nie wiemy... Co robić!? Cóż, jak być, jak być... Włącz swoje zdolności twórcze!)
My przypuszczaćże numer 117 jest przecież członkiem naszego postępu. Z nieznanym numerem N. I tak jak w poprzednim zadaniu spróbujmy znaleźć tę liczbę. Te. piszemy wzór (tak, tak!)) i podstawiamy nasze liczby:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ponownie wyrażamy ze wzoruN, liczymy i otrzymujemy:
Ups! Okazało się, że jest to numer frakcyjny! Sto jeden i pół. Oraz liczby ułamkowe w progresji nie zdarza się. Jaki wniosek możemy wyciągnąć? Tak! Numer 117 nie jest członek naszego postępu. Jest gdzieś pomiędzy sto pierwszym a sto drugim terminem. Jeśli liczba okazała się naturalna, tj. jest dodatnią liczbą całkowitą, wówczas liczba ta będzie częścią progresji ze znalezioną liczbą. W naszym przypadku odpowiedzią na problem będzie: NIE.
Oparte na zadaniach realna opcja GIA:
Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:
zan = -4 + 6,8n
Znajdź pierwszy i dziesiąty wyraz progresji.
Tutaj progresja jest osadzona w niecodzienny sposób. Jakaś formuła... Zdarza się.) Jednak ta formuła (jak pisałem powyżej) - także wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Ona też pozwala znajdź dowolnego członka progresji według jego numeru.
Poszukujemy pierwszego członka. Ten, który myśli. że pierwszym wyrazem jest minus cztery, jest to fatalny błąd!) Ponieważ formuła w zadaniu została zmodyfikowana. Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego w nim ukryty. W porządku, teraz go znajdziemy.)
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, podstawiamy n=1 w tę formułę:
za 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Tutaj! Pierwszy wyraz to 2,8, a nie -4!
W ten sam sposób szukamy dziesiątego wyrazu:
za 10 = -4 + 6,8 10 = 64
To wszystko.
A teraz dla tych, którzy przeczytali te linijki, obiecany bonus.)
Załóżmy, że w trudnej sytuacji bojowej zapomniałeś o egzaminie państwowym lub jednolitym egzaminie państwowym przydatna formuła n-ty wyraz postępu arytmetycznego. Coś pamiętam, ale jakoś niepewnie... Or N tam, lub n+1 lub n-1... Jak być!?
Spokój! Wzór ten jest łatwy do wyprowadzenia. Niezbyt ściśle, ale dla pewności i słuszna decyzja zdecydowanie wystarczy!) Aby wyciągnąć wnioski, wystarczy przypomnieć sobie elementarne znaczenie ciągu arytmetycznego i poświęcić kilka minut. Musisz tylko narysować obraz. Dla jasności.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej pierwszą z nich. drugi, trzeci itd. członkowie. I zauważamy różnicę D pomiędzy członkami. Tak:
Patrzymy na zdjęcie i myślimy: co oznacza drugi wyraz? Drugi jeden D:
A 2 = 1 + 1 D
Jaki jest trzeci termin? Trzeci wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus dwa D.
A 3 = 1 + 2 D
Czy rozumiesz? Nie bez powodu podkreślam niektóre słowa pogrubione. OK, jeszcze jeden krok).
Jaki jest czwarty termin? Czwarty wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus trzy D.
A 4 = 1 + 3 D
Czas zdać sobie sprawę, że ilość luk, tj. D, Zawsze o jeden mniej niż liczba szukanego członka N. To znaczy do numeru n, liczba spacji będzie n-1. Zatem formuła będzie (bez zmian!):
| za n = za 1 + (n-1)d |
Ogólnie rzecz biorąc, obrazy wizualne są bardzo pomocne w rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych. Nie zaniedbuj zdjęć. Ale jeśli trudno jest narysować obraz, to... tylko formuła!) Ponadto formuła n-tego członu pozwala połączyć z rozwiązaniem cały potężny arsenał matematyki - równania, nierówności, układy itp. Nie możesz wstawić obrazu do równania...
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
Aby się rozgrzać:
1. W postępie arytmetycznym (an) a 2 =3; a 5 = 5,1. Znajdź 3.
Wskazówka: według obrazka problem można rozwiązać w 20 sekund... Według wzoru okazuje się to trudniejsze. Ale do opanowania formuły jest to bardziej przydatne.) W sekcji 555 problem ten został rozwiązany zarówno za pomocą obrazu, jak i wzoru. Poczuj różnicę!)
I to już nie jest rozgrzewka.)
2. W postępie arytmetycznym (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Znajdź 3 .
Co, nie chcesz rysować?) Oczywiście! Lepiej według wzoru, tak...
3. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:a1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sto dwudziesty piąty wyraz tego postępu.
W tym zadaniu progresja jest określona w sposób powtarzalny. Ale licząc do stu dwudziestego piątego wyrazu... Nie każdy jest w stanie dokonać takiego wyczynu.) Ale formuła n-tego wyrazu jest w mocy każdego!
4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Znajdź numer najmniejszego dodatniego wyrazu progresji.
5. Zgodnie z warunkami zadania 4 znajdź sumę najmniejszych dodatnich i największych ujemnych wyrazów progresji.
6. Iloczyn piątego i dwunastego wyrazu rosnącego postępu arytmetycznego wynosi -2,5, a suma trzeciego i jedenastego wyrazu wynosi zero. Znajdź 14.
Nie jest to najłatwiejsze zadanie, tak...) Metoda „na palca” nie sprawdzi się tutaj. Będziesz musiał pisać formuły i rozwiązywać równania.
Odpowiedzi (w nieładzie):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Czy to zadziałało? To miłe!)
Nie wszystko się układa? Dzieje się. Nawiasem mówiąc, w ostatnim zadaniu jest jeden subtelny punkt. Podczas czytania problemu należy zachować ostrożność. I logika.
Rozwiązanie wszystkich tych problemów zostało szczegółowo omówione w rozdziale 555. A element fantazji dla czwartego i subtelny punkt dla szóstego oraz ogólne podejścia do rozwiązywania wszelkich problemów związanych z formułą n-tego członu - wszystko jest opisane. Polecam to.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Instrukcje
Postęp arytmetyczny jest ciągiem postaci a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Krok numer d postęp.Jest oczywiste, że generał dowolnego n-tego wyrazu arytmetyki postęp ma postać: An = A1+(n-1)d. Następnie poznanie jednego z członków postęp, członek postęp i krok postęp, możesz, czyli numer członka postępu. Oczywiście będzie to określone wzorem n = (An-A1+d)/d.
Niech teraz będzie znany m-ty termin postęp i inny członek postęp- n-te, ale n, jak w poprzednim przypadku, ale wiadomo, że n i m nie pokrywają się. Krok postęp można obliczyć ze wzoru: d = (An-Am)/(n-m). Wtedy n = (An-Am+md)/d.
Jeśli znana jest suma kilku elementów równania arytmetycznego postęp, a także jego pierwszy i ostatni, wówczas można również określić liczbę tych elementów jako sumę arytmetyczną postęp będzie równa: S = ((A1+An)/2)n. Wtedy n = 2S/(A1+An) - chdenov postęp. Wykorzystując fakt, że An = A1+(n-1)d, wzór ten można przepisać jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z tego możemy wyrazić n rozwiązując równanie kwadratowe.
Ciąg arytmetyczny to uporządkowany zbiór liczb, którego każdy element, z wyjątkiem pierwszego, różni się od poprzedniego o tę samą kwotę. Ta stała wartość nazywana jest różnicą postępu lub jego kroku i można ją obliczyć ze znanych wyrazów postępu arytmetycznego.
Instrukcje
Jeśli z warunków zadania znane są wartości pierwszego i drugiego lub dowolnej innej pary sąsiednich wyrazów, aby obliczyć różnicę (d), wystarczy odjąć poprzednią od kolejnego wyrazu. Wynikowa wartość może być liczbą dodatnią lub ujemną – zależy to od tego, czy progresja rośnie. W formie ogólnej rozwiązanie dowolnej pary (aᵢ i aᵢ₊₁) sąsiadujących wyrazów ciągu zapisz następująco: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Dla pary wyrazów takiego ciągu, z których jeden jest pierwszym (a₁), a drugi dowolnym, dowolnie wybranym, można także utworzyć wzór na znalezienie różnicy (d). Jednakże w tym przypadku musi być znany numer seryjny (i) dowolnie wybranego elementu sekwencji. Aby obliczyć różnicę, dodaj obie liczby i uzyskany wynik podziel przez liczbę porządkową dowolnego wyrazu pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz ten wzór w następujący sposób: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Jeżeli oprócz dowolnego członka ciągu arytmetycznego o liczbie porządkowej i znany jest jeszcze inny członek o liczbie porządkowej u, należy odpowiednio zmienić wzór z poprzedniego kroku. W tym przypadku różnicą (d) postępu będzie suma tych dwóch wyrazów podzielona przez różnicę ich liczb porządkowych: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Wzór na obliczenie różnicy (d) staje się nieco bardziej skomplikowany, jeśli warunki problemu podają wartość jej pierwszego wyrazu (a₁) oraz sumę (Sᵢ) danej liczby (i) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Aby otrzymać żądaną wartość, należy podzielić sumę przez liczbę tworzących ją wyrazów, odjąć wartość pierwszej liczby w ciągu i podwoić wynik. Otrzymaną wartość podziel przez liczbę składników tworzących sumę, pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz wzór na obliczenie dyskryminatora w następujący sposób: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Ucząc się algebry w szkole średniej (klasa 9) jeden z ważne tematy jest badanie ciągi liczbowe, które obejmują progresje - geometryczną i arytmetyczną. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.
Co to jest postęp arytmetyczny?
Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.
Arytmetyczny lub jest zbiorem uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy element różni się od poprzedniego pewną stałą wartością. Wielkość ta nazywana jest różnicą. Oznacza to, że znając dowolnego członka uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz przywrócić cały postęp arytmetyczny.
Podajmy przykład. Następujący ciąg liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać rozważanemu rodzajowi progresji, ponieważ różnica w tym nie jest stała wartość (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Ważne formuły
Przedstawmy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem postępu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem n n-ty człon ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Oznaczamy różnicę Litera łacińska D. Wówczas obowiązują następujące wyrażenia:
- Do określenia wartości n-tego wyrazu odpowiedni jest wzór: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.
Aby zrozumieć przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniami w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy tego typu opierają się na ich zastosowaniu. Należy także pamiętać, że różnicę progresji wyznacza wzór: d = a n - a n-1.
Przykład nr 1: znalezienie nieznanego członka
Podajmy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzorów, których należy użyć, aby go rozwiązać.
Niech zostanie podana sekwencja 10, 8, 6, 4, ..., musisz znaleźć w niej pięć terminów.
Z warunków zadania wynika już, że znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:
- Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie możesz wziąć dowolnych dwóch innych członków stojących obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d = a n - a n-1, to d = a 5 - a 4, z czego otrzymujemy: a 5 = a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda również wymaga znajomości różnicy w rozpatrywanej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Jak widać oba rozwiązania dały ten sam rezultat. Należy zauważyć, że w tym przykładzie różnica progresji d jest wartością ujemną. Takie ciągi nazywane są malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.
Przykład nr 2: różnica w progresji
Teraz trochę skomplikujmy zadanie, podamy przykład, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego.
Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.
Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.
Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W rezultacie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.
Przykład nr 3: sporządzenie progresji
Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.
Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (za 5 - za 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale tak jest liczba wymierna, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.
Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.
Przykład nr 4: pierwszy okres progresji
Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.
Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.
Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).
Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.
Przykład nr 5: kwota
Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.
Niech będzie podany postęp numeryczny następujący typ: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?
Dzięki rozwojowi technologia komputerowa możesz rozwiązać ten problem, to znaczy dodać po kolei wszystkie liczby, które komputer zrobi to natychmiast po naciśnięciu klawisza Enter. Problem można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę na fakt, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * ( za 1 + za n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.
Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m
Jeszcze jedno typowy przykład suma ciągu arytmetycznego jest następująca: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14.
Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.
Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach zapisujemy dwa wyrażenia na sumę:
- S m = m * (za m + za 1) / 2.
- S n = n * (za n + za 1) / 2.
Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku włączenia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.
Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.
Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz przerwa wspólne zadanie na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się jego sprawdzenie, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.
