Wzór na znalezienie kąta pomiędzy wektorami. Cosinus kąta pomiędzy niezerowymi wektorami

„Iloczyn skalarny wektora” - Iloczyn skalarny wektorów. W trójkącie równobocznym ABC o boku 1 narysowana jest wysokość BD. Z definicji opisz kąt? pomiędzy wektorami oraz, jeżeli: a) b) c) d). Przy jakiej wartości t wektor jest prostopadły do wektora, jeśli (2, -1), (4, 3). Iloczyn skalarny wektorów jest oznaczony przez.

„Geometria 9. klasa „Wektory”” - Odległość między dwoma punktami. Najprostsze problemy we współrzędnych. Sprawdź się! Współrzędne wektora. W 1903 roku O. Henrici zaproponował oznaczenie iloczynu skalarnego symbolem (a, b). Wektor jest segmentem skierowanym. Rozkład wektora na wektory współrzędnych. Koncepcja wektora. Rozkład wektora na płaszczyźnie na dwa wektory niewspółliniowe.

„Rozwiązywanie problemów wektorowych” - Wyraź wektory AM, DA, CA, MB, CD za pomocą wektora a i wektora b. Nr 2 Wyraź wektory DP, DM, AC za pomocą wektorów a i b. CP:PD = 2:3; AK: KD = 1: 2. Wyraź wektory SK, RK poprzez wektory aib. BE: EC = 3: 1. K jest środkiem DC. BK: KS = 3: 4. Wyraź wektory AK, DK poprzez wektory a i b. Zastosowanie wektorów do rozwiązywania problemów (część 1).

„Zagadnienia wektorowe” – twierdzenie. Znajdź współrzędne. Przyznawane są trzy punkty. Wierzchołki trójkąta. Znajdź współrzędne wektorów. Znajdź współrzędne punktu. Znajdź współrzędne i długość wektora. Wyraź długość wektora. Współrzędne wektora. Współrzędne wektora. Znajdź współrzędne wektora. Podano wektory. Nazwij współrzędne wektorów. Wektor ma współrzędne.

„Metoda współrzędnych płaskich” - rysowany jest okrąg. Prostopadłe. Oś współrzędnych. Wartość sinusa. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Znajdź współrzędne wierzchołka. Spójrzmy na przykład. Rozwiązanie tego problemu. Punkty są przyznawane na płaszczyźnie. Wierzchołki równoległoboku. Rozłóż wektory. Obliczać. Dużo punktów. Rozwiązać układ równań graficznie.

„Dodawanie i odejmowanie wektorów” - 1. Cele lekcji. 2. Część główna. Twoje bardzo, najbardziej najlepszy przyjaciel Lunatyk! Naucz się sposobów odejmowania wektorów. 2. Określ wektor sumy wektorów a i b. Mój przyjacielu!! Zobaczmy, co tu mamy. Nasze cele: Podsumowanie. 3. Informacje zwrotne od menadżera. 4. Lista referencji. Podróżowanie z Lunatykiem. Wykreślmy oba wektory z punktu A.

W sumie odbyło się 29 prezentacji

Iloczyn skalarny wektorów

Nadal zajmujemy się wektorami. Na pierwszej lekcji Wektory dla manekinów Przyjrzeliśmy się pojęciu wektora, działaniom z wektorami, współrzędnym wektorowym i najprostszym problemom z wektorami. Jeśli trafiłeś na tę stronę po raz pierwszy z wyszukiwarki, gorąco polecam zapoznanie się z powyższym artykułem wprowadzającym, gdyż aby opanować materiał trzeba zapoznać się z używanymi przeze mnie terminami i oznaczeniami, podstawowa wiedza o wektorach i potrafi rozwiązywać elementarne problemy. Ta lekcja jest logiczną kontynuacją tematu i na nim szczegółowo przeanalizuję typowe zadania wykorzystujące iloczyn skalarny wektorów. To BARDZO WAŻNA czynność.. Staraj się nie pomijać przykładów; mają one przydatną zaletę – praktyka pomoże ci utrwalić przerobiony materiał i lepiej rozwiązywać typowe problemy z geometrii analitycznej.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę.... Naiwnością byłoby sądzić, że matematycy nie wymyślili czegoś innego. Oprócz omówionych już działań istnieje szereg innych operacji na wektorach, a mianowicie: iloczyn skalarny wektorów, iloczyn wektorowy wektorów I mieszany produkt wektorów. Iloczyn skalarny wektorów jest nam znany ze szkoły; pozostałe dwa iloczyny tradycyjnie należą do przedmiotu matematyki wyższej. Tematyka jest prosta, algorytm rozwiązywania wielu problemów prosty i zrozumiały. Jedyna rzecz. Jest przyzwoita ilość informacji, więc niepożądane jest próbowanie opanowania i rozwiązania WSZYSTKIEGO na raz. Dotyczy to zwłaszcza manekinów; wierzcie mi, autor absolutnie nie chce się czuć jak Chikatilo z matematyki. Cóż, oczywiście nie z matematyki =) Lepiej przygotowani uczniowie mogą korzystać z materiałów selektywnie, w pewnym sensie „zdobyć” brakującą wiedzę; dla ciebie będę nieszkodliwym hrabią Draculą =)

Otwórzmy wreszcie drzwi i z entuzjazmem przyjrzyjmy się, co się stanie, gdy spotkają się dwa wektory...

Definicja iloczynu skalarnego wektorów.
Właściwości iloczynu skalarnego. Typowe zadania

Koncepcja iloczynu skalarnego

Najpierw o kąt między wektorami. Myślę, że każdy intuicyjnie rozumie, jaki jest kąt między wektorami, ale na wszelki wypadek trochę więcej szczegółów. Rozważmy swobodne niezerowe wektory i . Jeśli narysujesz te wektory z dowolnego punktu, otrzymasz obraz, który wielu już sobie wyobrażało:

Przyznam, że tutaj opisałem sytuację jedynie na poziomie zrozumienia. Jeśli potrzebujesz ścisłej definicji kąta między wektorami, zapoznaj się z podręcznikiem; w przypadku problemów praktycznych w zasadzie nie jest to dla nas przydatne. Również TUTAJ I TUTAJ będę ignorował wektory zerowe miejscami ze względu na ich małe znaczenie praktyczne. Zrobiłem rezerwację specjalnie dla zaawansowanych odwiedzających witrynę, którzy mogą mi zarzucić teoretyczną niekompletność niektórych kolejnych stwierdzeń.

może przyjmować wartości od 0 do 180 stopni (0 do radianów) włącznie. Analitycznie fakt ten zapisuje się w postaci podwójnej nierówności:

Lub

(w radianach).

W literaturze symbol kąta jest często pomijany i zapisywany po prostu.

Definicja: Iloczyn skalarny dwóch wektorów nazywa się LICZBĄ, równy produktowi długości tych wektorów przez cosinus kąta między nimi:

To jest dość ścisła definicja.

Skupiamy się na istotnych informacjach:

Oznaczenie: iloczyn skalarny jest oznaczony przez lub po prostu.

Wynikiem operacji jest LICZBA: Wektor jest mnożony przez wektor i wynikiem jest liczba. Rzeczywiście, jeśli długości wektorów są liczbami, cosinus kąta jest liczbą, a następnie ich iloczynem będzie również liczbą.

Kilka przykładów rozgrzewki:

Przykład 1

Rozwiązanie: Używamy wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Wartości cosinusa można znaleźć w tablica trygonometryczna. Polecam wydrukować - będzie potrzebny w niemal wszystkich sekcjach wieży i będzie potrzebny wielokrotnie.

Z czysto matematycznego punktu widzenia iloczyn skalarny jest bezwymiarowy, czyli wynik w tym przypadku jest po prostu liczbą i tyle. Z punktu widzenia problemów fizycznych iloczyn skalarny zawsze ma pewną wartość znaczenie fizyczne, to znaczy po wyniku należy wskazać jedną lub drugą jednostkę fizyczną. Kanoniczny przykład obliczenia pracy siły można znaleźć w każdym podręczniku (wzór jest dokładnie iloczynem skalarnym). Pracę siły mierzy się w dżulach, dlatego odpowiedź zostanie zapisana dość konkretnie, np. .

Przykład 2

Znajdź jeśli , a kąt między wektorami jest równy .

To jest przykład dla niezależna decyzja, odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

Kąt między wektorami a wartością iloczynu skalarnego

W przykładzie 1 iloczyn skalarny okazał się dodatni, a w przykładzie 2 ujemny. Dowiedzmy się, od czego zależy znak iloczynu skalarnego. Spójrzmy na naszą formułę: . Długości niezerowych wektorów są zawsze dodatnie: , więc znak może zależeć tylko od wartości cosinusa.

Notatka: Aby lepiej zrozumieć poniższe informacje, lepiej przestudiować wykres cosinus w instrukcji Wykresy i właściwości funkcji. Zobacz, jak cosinus zachowuje się na segmencie.

Jak już wspomniano, kąt między wektorami może się zmieniać w obrębie , a możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli narożnik pomiędzy wektorami pikantny: (od 0 do 90 stopni), następnie , I iloczyn skalarny będzie dodatni współreżyserowany, wówczas kąt między nimi uważa się za zero, a iloczyn skalarny również będzie dodatni. Ponieważ , wzór upraszcza: .

2) Jeśli narożnik pomiędzy wektorami tępy: (od 90 do 180 stopni), następnie i w związku z tym iloczyn kropkowy jest ujemny: . Przypadek szczególny: jeśli wektory przeciwne kierunki, następnie uwzględniany jest kąt między nimi rozszerzony: (180 stopni). Iloczyn skalarny jest również ujemny, ponieważ

Prawdziwe są także stwierdzenia odwrotne:

1) Jeżeli , to kąt pomiędzy tymi wektorami jest ostry. Alternatywnie, wektory są współkierunkowe.

2) Jeżeli , to kąt pomiędzy tymi wektorami jest rozwarty. Alternatywnie, wektory są w przeciwnych kierunkach.

Ale trzeci przypadek jest szczególnie interesujący:

3) Jeśli narożnik pomiędzy wektorami bezpośredni: (90 stopni), następnie iloczyn skalarny wynosi zero: . Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli , to . Stwierdzenie to można sformułować zwięźle w następujący sposób: Iloczyn skalarny dwóch wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są ortogonalne. Krótki zapis matematyczny:

! Notatka : Powtórzmy podstawy logiki matematycznej: Dwustronna ikona konsekwencji logicznej jest zwykle czytana jako „wtedy i tylko wtedy”, „wtedy i tylko wtedy”. Jak widać strzałki są skierowane w obie strony - „z tego wynika to i odwrotnie - z tamtego wynika”. Swoją drogą, czym różni się ikona śledzenia w jedną stronę? Ikona wskazuje tylko to, że „z tego wynika to” i nie jest faktem, że jest odwrotnie. Na przykład: , ale nie każde zwierzę jest panterą, więc w tym przypadku nie można użyć ikony. Jednocześnie zamiast ikony Móc użyj ikony jednostronnej. Przykładowo rozwiązując zadanie dowiedzieliśmy się, że wektory są ortogonalne: - taki wpis będzie poprawny, a nawet bardziej odpowiedni niż .

Przypadek trzeci ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala sprawdzić, czy wektory są ortogonalne, czy nie. Rozwiążemy ten problem w drugiej części lekcji.

Właściwości iloczynu skalarnego

Wróćmy do sytuacji, gdy dwa wektory współreżyserowany. W tym przypadku kąt między nimi wynosi zero, a wzór na iloczyn skalarny przyjmuje postać: .

Co się stanie, jeśli wektor zostanie pomnożony przez siebie? Oczywiste jest, że wektor jest wyrównany sam ze sobą, dlatego używamy powyższego uproszczonego wzoru:

Numer jest wywoływany kwadrat skalarny wektor i są oznaczone jako .

Zatem, kwadrat skalarny wektora jest równy kwadratowi długości danego wektora:

Z tej równości możemy otrzymać wzór na obliczenie długości wektora:

Jak dotąd wydaje się to niejasne, ale cele lekcji postawią wszystko na swoim miejscu. Aby rozwiązać problemy, których również potrzebujemy właściwości iloczynu skalarnego.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) – przemienne lub przemienne prawo produktu skalarnego.

2) – dystrybucja lub dystrybucyjny prawo produktu skalarnego. Po prostu możesz otworzyć nawiasy.

3) – skojarzone lub asocjacyjny prawo produktu skalarnego. Stałą można wyprowadzić z iloczynu skalarnego.

Często wszelkiego rodzaju właściwości (które też trzeba udowodnić!) odbierane są przez studentów jako niepotrzebne śmieci, które trzeba jedynie zapamiętać i bezpiecznie zapomnieć zaraz po egzaminie. Wydawać by się mogło, że co tu jest istotne, wszyscy już od pierwszej klasy wiedzą, że przestawianie czynników nie zmienia iloczynu: . Muszę cię ostrzec, że w wyższej matematyce łatwo jest coś zepsuć takim podejściem. Na przykład właściwość przemienności nie jest prawdziwa dla macierze algebraiczne. Nie jest to również prawdą iloczyn wektorowy wektorów. Dlatego lepiej przynajmniej zagłębić się we wszelkie właściwości, na które natkniesz się na wyższym kursie matematyki, aby zrozumieć, co możesz zrobić, a czego nie.

Przykład 3

Rozwiązanie: Najpierw wyjaśnijmy sytuację z wektorem. Co to w ogóle jest? Suma wektorów jest dobrze zdefiniowanym wektorem, który jest oznaczony przez . W artykule można znaleźć geometryczną interpretację działań z wektorami Wektory dla manekinów. Ta sama pietruszka z wektorem jest sumą wektorów i .

Zatem zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie iloczynu skalarnego. Teoretycznie musisz zastosować działającą formułę , ale problem w tym, że nie znamy długości wektorów i kąta między nimi. Ale warunek daje podobne parametry dla wektorów, więc pójdziemy inną drogą:

(1) Zastąp wyrażenia wektorów.

(2) Nawiasy otwieramy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów, którą można znaleźć w artykule Liczby zespolone Lub Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej. Nie będę się powtarzał =) Swoją drogą, rozdzielność iloczynu skalarnego pozwala nam otworzyć nawiasy. Mamy prawo.

(3) W pierwszym i ostatnim wyrazie zwięźle zapisujemy kwadraty skalarne wektorów: . W drugim członie korzystamy z przemienności iloczynu skalarnego: .

(4) Przedstawiamy terminy podobne: .

(5) W pierwszym członie używamy wzoru na kwadrat skalarny, o którym była mowa nie tak dawno temu. Odpowiednio w ostatnim terminie to samo działa: . Drugi wyraz rozszerzamy zgodnie ze standardową formułą .

(6) Zastąp te warunki i DOKŁADNIE wykonaj końcowe obliczenia.

Odpowiedź:

Ujemna wartość iloczynu skalarnego oznacza, że kąt pomiędzy wektorami jest rozwarty.

Problem jest typowy, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 4

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i jeśli to wiadomo .

Teraz kolejne typowe zadanie, tylko dla nowego wzoru na długość wektora. Zapis tutaj będzie się trochę pokrywał, więc dla przejrzystości przepiszę go inną literą:

Przykład 5

Znajdź długość wektora jeśli .

Rozwiązanie będzie następująco:

(1) Podajemy wyrażenie na wektor .

(2) Korzystamy ze wzoru na długość: , a całe wyrażenie ve pełni rolę wektora „ve”.

(3) Korzystamy ze wzoru szkolnego na kwadrat sumy. Zwróćcie uwagę, jak to tutaj w ciekawy sposób działa: – faktycznie jest to kwadrat różnicy i faktycznie tak jest. Kto chce, może zmienić układ wektorów: - dzieje się to samo, aż do przestawienia wyrazów.

(4) To, co następuje, jest już znane z dwóch poprzednich problemów.

Odpowiedź:

Ponieważ mówimy o długości, nie zapomnij podać wymiaru - „jednostek”.

Przykład 6

Znajdź długość wektora jeśli .

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Nadal wyciskamy przydatne rzeczy z iloczynu skalarnego. Spójrzmy jeszcze raz na naszą formułę . Korzystając z zasady proporcji, przywracamy długości wektorów do mianownika lewej strony:

Zamieńmy części:

Jakie jest znaczenie tej formuły? Jeśli znane są długości dwóch wektorów i ich iloczyn skalarny, możemy obliczyć cosinus kąta między tymi wektorami, a co za tym idzie, sam kąt.

Czy iloczyn skalarny jest liczbą? Numer. Czy długości wektorów są liczbami? Takty muzyczne. Oznacza to, że ułamek jest również liczbą. A jeśli znany jest cosinus kąta: , to korzystając z funkcji odwrotnej łatwo jest znaleźć sam kąt: .

Przykład 7

Znajdź kąt między wektorami i jeśli wiadomo, że .

Rozwiązanie: Używamy wzoru:

NA końcowy etap obliczeniach zastosowano technikę techniczną - eliminując irracjonalność w mianowniku. Aby wyeliminować irracjonalność, pomnożyłem licznik i mianownik przez .

Więc jeśli , To:

Wartości odwrotne funkcje trygonometryczne można znaleźć przez tablica trygonometryczna. Chociaż zdarza się to rzadko. W zagadnieniach geometrii analitycznej znacznie częściej zdarza się jakiś niezdarny niedźwiedź, a wartość kąta trzeba w przybliżeniu wyznaczyć za pomocą kalkulatora. Właściwie taki obraz zobaczymy jeszcze nie raz.

Odpowiedź:

Ponownie nie zapomnij podać wymiarów - radianów i stopni. Osobiście, żeby w sposób oczywisty „rozwiązać wszystkie pytania”, wolę wskazać jedno i drugie (chyba, że warunek wymaga przedstawienia odpowiedzi tylko w radianach lub tylko w stopniach).

Teraz możesz samodzielnie poradzić sobie z bardziej złożonym zadaniem:

Przykład 7*

Podane są długości wektorów i kąt między nimi. Znajdź kąt między wektorami , .

Zadanie jest nie tyle trudne, co wieloetapowe.
Spójrzmy na algorytm rozwiązania:

1) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć kąt między wektorami i , więc musisz skorzystać ze wzoru .

2) Znajdź iloczyn skalarny (patrz przykłady nr 3, 4).

3) Znajdź długość wektora i długość wektora (patrz przykłady nr 5, 6).

4) Zakończenie rozwiązania pokrywa się z przykładem nr 7 - znamy liczbę, co oznacza, że łatwo jest znaleźć sam kąt:

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Druga część lekcji poświęcona jest temu samemu iloczynowi skalarnemu. Współrzędne. Będzie jeszcze łatwiej niż w pierwszej części.

Iloczyn skalarny wektorów,
dane przez współrzędne w bazie ortonormalnej

Odpowiedź:

Nie trzeba dodawać, że radzenie sobie ze współrzędnymi jest znacznie przyjemniejsze.

Przykład 14

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i if

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Tutaj możesz skorzystać z łączności operacji, to znaczy nie liczyć, ale natychmiast wyjąć potrójną poza iloczyn skalarny i pomnożyć ją przez nią na końcu. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Na koniec akapitu prowokacyjny przykład obliczania długości wektora:

Przykład 15

Znajdź długości wektorów , Jeśli

Rozwiązanie: Metoda opisana w poprzedniej sekcji ponownie nasuwa się sama, ale jest inny sposób:

Znajdźmy wektor:

I jego długość według trywialnego wzoru :

Iloczyn skalarny nie ma tutaj żadnego znaczenia!

Nie jest to również przydatne przy obliczaniu długości wektora:
Zatrzymywać się. Czy nie powinniśmy skorzystać z oczywistej właściwości długości wektora? Co możesz powiedzieć o długości wektora? Ten wektor jest 5 razy dłuższy niż wektor. Kierunek jest przeciwny, ale to nie ma znaczenia, ponieważ mówimy o długości. Oczywiście długość wektora jest równa iloczynowi moduł liczby na długość wektora:
– znak modułu „zjada” możliwy minus liczby.

Zatem:

Odpowiedź:

Wzór na cosinus kąta pomiędzy wektorami określonymi przez współrzędne

Mamy teraz komplet informacji, aby skorzystać z wcześniej wyprowadzonego wzoru na cosinus kąta pomiędzy wektorami wyrazić poprzez współrzędne wektorowe:

Cosinus kąta między wektorami płaskimi i , określone w bazie ortonormalnej, wyrażone wzorem:
.

Cosinus kąta między wektorami przestrzennymi, określone w bazie ortonormalnej, wyrażone wzorem:

Przykład 16

Dane trzy wierzchołki trójkąta. Znajdź (kąt wierzchołkowy).

Rozwiązanie: Zgodnie z warunkami rysunek nie jest wymagany, ale nadal:

Wymagany kąt jest oznaczony zielonym łukiem. Przypomnijmy sobie od razu szkolne oznaczenie kąta: – szczególna uwaga przeciętny litera - jest to wierzchołek kąta, którego potrzebujemy. Dla zwięzłości możesz także napisać po prostu .

Z rysunku jest całkiem oczywiste, że kąt trójkąta pokrywa się z kątem między wektorami i innymi słowy: .

Wskazane jest, aby nauczyć się przeprowadzać analizę mentalnie.

Znajdźmy wektory:

Obliczmy iloczyn skalarny:

Oraz długości wektorów:

Cosinus kąta:

Dokładnie taką kolejność wykonywania zadania polecam manekinom. Bardziej zaawansowani czytelnicy mogą zapisać obliczenia „w jednej linijce”:

Oto przykład „złej” wartości cosinusa. Wynikowa wartość nie jest ostateczna, więc pozbywanie się irracjonalności w mianowniku nie ma większego sensu.

Znajdźmy sam kąt:

Jeśli spojrzysz na rysunek, wynik jest całkiem prawdopodobny. Aby to sprawdzić, kąt można również zmierzyć za pomocą kątomierza. Nie uszkadzaj osłony monitora =)

Odpowiedź:

W odpowiedzi nie zapominamy o tym zapytał o kąt trójkąta(a nie o kącie między wektorami), nie zapomnij podać dokładnej odpowiedzi: i przybliżonej wartości kąta: , znalezione za pomocą kalkulatora.

Ci, którym podobał się ten proces, mogą obliczyć kąty i zweryfikować ważność równości kanonicznej

Przykład 17

Trójkąt jest zdefiniowany w przestrzeni przez współrzędne jego wierzchołków. Znajdź kąt między bokami i

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji

Krótka ostatnia część zostanie poświęcona prognozom, które obejmują również iloczyn skalarny:

Rzut wektora na wektor. Rzut wektora na osie współrzędnych.
Cosinusy kierunku wektora

Rozważ wektory i:

Rzutujmy wektor na wektor; w tym celu zaczynamy od początku i końca wektora, który pomijamy prostopadłe do wektora (zielone linie przerywane). Wyobraź sobie, że promienie światła padają prostopadle na wektor. Wtedy odcinek (czerwona linia) będzie „cieniem” wektora. W tym przypadku rzut wektora na wektor to DŁUGOŚĆ odcinka. Oznacza to, że Rzut jest liczbą.

LICZBA ta jest oznaczona w następujący sposób: „duży wektor” oznacza wektor KTÓRY projektu, „mały wektor indeksu dolnego” oznacza wektor NA który jest przewidywany.

Sam zapis brzmi następująco: „rzut wektora „a” na wektor „be”.”

Co się stanie, jeśli wektor „be” będzie „za krótki”? Rysujemy linię prostą zawierającą wektor „be”. A wektor „a” zostanie już wyświetlony do kierunku wektora „być”, po prostu - do prostej zawierającej wektor „być”. To samo stanie się, jeśli wektor „a” zostanie przesunięty w trzydziestym królestwie - nadal będzie można go łatwo rzutować na prostą zawierającą wektor „być”.

Jeśli kąt pomiędzy wektorami pikantny(jak na zdjęciu), następnie

Jeśli wektory prostokątny, to (rzut jest punktem, którego wymiary są uważane za zero).

Jeśli kąt pomiędzy wektorami tępy(na rysunku przestaw w myślach strzałkę wektora), a następnie (ta sama długość, ale ze znakiem minus).

Wykreślmy te wektory z jednego punktu:

Oczywiście, gdy wektor się porusza, jego rzut nie zmienia się

Studiując geometrię, pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Szczególne trudności student napotyka, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe terminy

Zanim przyjrzymy się kątom między wektorami, należy zapoznać się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek posiadający kierunek, czyli odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie mającej ogólny początek, nazywany jest mniejszym z kątów, o ile jeden z wektorów należy przesunąć wokół wspólnego punktu, do położenia, w którym ich kierunki pokrywają się.

Formuła rozwiązania

Kiedy już zrozumiesz, czym jest wektor i jak wyznaczany jest jego kąt, możesz obliczyć kąt między wektorami. Wzór rozwiązania tego jest dość prosty, a wynikiem jego zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Zgodnie z definicją jest on równy ilorazowi iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów oblicza się jako sumę odpowiednich współrzędnych wektorów czynnikowych pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego moduł oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta możesz obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Kiedy już nauczysz się obliczać kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu stanie się proste i jasne. Jako przykład warto rozważyć prosty problem znalezienia wartości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędne do rozwiązania. Korzystając z przedstawionego powyżej opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa żądanego kąta:

Liczba ta nie należy do pięciu powszechnych wartości cosinusa, dlatego aby obliczyć wartość kąta, będziesz musiał skorzystać z kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale przed uzyskaniem kąta między wektorami wzór można uprościć, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Aby zachować dokładność, ostateczną odpowiedź można pozostawić bez zmian lub można obliczyć wartość kąta w stopniach. Według tabeli Bradisa jej wartość wyniesie około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator wskaże wartość 116,57 stopnia.

Obliczanie kąta w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej, znacznie trudniej jest zrozumieć, o którym kącie mówimy, jeśli nie leżą one w tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą między sobą najmniejszy kąt; będzie to pożądany. Mimo że wektor zawiera trzecią współrzędną, proces obliczania kątów między wektorami nie ulegnie zmianie. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów, odpowiedzią na to zadanie będzie łuk cosinus ich ilorazu.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które je posiadają więcej niż trzy pomiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z częstych błędów przy pisaniu odpowiedzi na zadanie mające na celu obliczenie kąta między wektorami jest decyzja o napisaniu, że wektory są równoległe, czyli pożądany kąt jest równy 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest błędna.

Otrzymawszy w wyniku rozwiązania wartość kąta 0 stopni, poprawną odpowiedzią byłoby oznaczenie wektorów jako współkierunkowe, czyli wektory będą miały ten sam kierunek. Jeżeli uzyskamy 180 stopni, wektory będą skierowane przeciwnie.

Określone wektory

Po znalezieniu kątów między wektorami możesz znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej typów współkierunkowych i przeciwnych.

Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się współpłaszczyznowymi.
Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, wówczas nazywa się go zerem, a jeśli wynosi jeden, to jednostką.

Kąt między dwoma wektorami , :

Jeżeli kąt między dwoma wektorami jest ostry, to ich iloczyn skalarny jest dodatni; jeśli kąt między wektorami jest rozwarty, to iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są ortogonalne.

Ćwiczenia. Znajdź kąt między wektorami i

Rozwiązanie. Cosinus żądanego kąta

16. Obliczanie kąta pomiędzy liniami prostymi, prostą i płaszczyzną

Kąt między linią prostą a płaszczyzną, przecinający tę linię i nie prostopadły do niej, jest kątem między linią a jej rzutem na tę płaszczyznę.

Wyznaczenie kąta między prostą a płaszczyzną pozwala stwierdzić, że kąt między prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami: samą prostą i jej rzutem na płaszczyznę. Dlatego kąt między prostą a płaszczyzną jest kątem ostrym.

Kąt między prostą prostopadłą a płaszczyzną uważa się za równy , a kąt między prostą równoległą a płaszczyzną albo w ogóle nie wyznacza się, albo uważa się za równy .

§ 69. Obliczanie kąta między prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak na płaszczyźnie (§ 32). Oznaczmy przez φ wielkość kąta między liniami l 1 i l 2, a przez ψ - wielkość kąta między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.

Wtedy, jeśli

ψ 90° (ryc. 206.6), następnie φ = 180° - ψ. Oczywiście w obu przypadkach prawdziwa jest równość cos φ = |cos ψ|. Według wzoru (1) § 20 mamy

stąd,

Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne

Następnie kąt φ między liniami wyznacza się ze wzoru

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest dana równaniami niekanonicznymi, to aby obliczyć kąt, należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie skorzystać ze wzoru (1).

17. Proste równoległe. Twierdzenia o prostych równoległych

Definicja. Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej równoległy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Kąt między dwoma wektorami.

Z definicji iloczynu skalarnego:

Warunek ortogonalności dwóch wektorów:

Warunek współliniowości dwóch wektorów:

Wynika z definicji 5 - . Rzeczywiście, z definicji iloczynu wektora i liczby wynika. Dlatego w oparciu o zasadę równości wektorów piszemy , , , co implikuje . Ale wektor powstały w wyniku pomnożenia wektora przez liczbę jest współliniowy z wektorem.

Rzut wektora na wektor:

Przykład 4. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź iloczyn skalarny.

Rozwiązanie. znajdujemy, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów określonych przez ich współrzędne. Od

, ,

Przykład 5. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź projekcję.

Rozwiązanie. Od

, ,

Na podstawie wzoru projekcji mamy

Przykład 6. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź kąt między wektorami i .

Rozwiązanie. Zauważ, że wektory

, ,

nie są współliniowe, ponieważ ich współrzędne nie są proporcjonalne:

Wektory te również nie są prostopadłe, ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi .

Znajdźmy

Narożnik znajdujemy ze wzoru:

Przykład 7. Określ, przy jakich wektorach i współliniowy.

Rozwiązanie. W przypadku kolinearności odpowiednie współrzędne wektorów i musi być proporcjonalny, czyli:

Stąd i.

Przykład 8. Określ, przy jakiej wartości wektora I prostopadły.

Rozwiązanie. Wektor i są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Z tego warunku otrzymujemy: . Dlatego, .

Przykład 9. Znajdować , Jeśli , , .

Rozwiązanie. Ze względu na właściwości iloczynu skalarnego mamy:

Przykład 10. Znajdź kąt między wektorami i , gdzie i - wektory jednostkowe i kąt między wektorami i wynosi 120°.

Rozwiązanie. Mamy: , ,

Wreszcie mamy: .

5.b. Grafika wektorowa.

Definicja 21.Grafika wektorowa wektor po wektorze nazywany jest wektorem lub zdefiniowany przez następujące trzy warunki:

1) Moduł wektora jest równy , gdzie jest kątem między wektorami i , tj. .

Wynika z tego, że moduł iloczynu wektorowego jest liczbowo równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach i obu stronach.

2) Wektor jest prostopadły do każdego z wektorów i ( ; ), tj. prostopadle do płaszczyzny równoległoboku zbudowanego na wektorach i .

3) Wektor jest skierowany w taki sposób, że patrząc od jego końca, najkrótszy obrót od wektora do wektora będzie przebiegał w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (wektory , , tworzą prawoskrętną trójkę).

Jak obliczyć kąty między wektorami?

Studiując geometrię, pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Szczególne trudności student napotyka, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe terminy

Zanim przyjrzymy się kątom między wektorami, należy zapoznać się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek posiadający kierunek, czyli odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, jest mniejszym z kątów o wartość, o jaką jeden z wektorów należy przesunąć wokół wspólnego punktu, aż ich kierunki się zbiegną.

Formuła rozwiązania

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta możesz obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Kiedy już nauczysz się obliczać kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu stanie się proste i jasne. Jako przykład warto rozważyć prosty problem znalezienia wartości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędne do rozwiązania. Korzystając z przedstawionego powyżej opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa żądanego kąta:

Obliczanie kąta w przestrzeni n-wymiarowej

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Określone wektory

Po znalezieniu kątów między wektorami możesz znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej typów współkierunkowych i przeciwnych.

Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się współpłaszczyznowymi.
Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, wówczas nazywa się go zerem, a jeśli wynosi jeden, to jednostką.

Jak znaleźć kąt między wektorami?

proszę o pomoc! Znam wzór, ale nie potrafię go obliczyć ((
wektor a (8; 10; 4) wektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titow

Kąt między wektorami określonymi przez ich współrzędne wyznacza się za pomocą standardowego algorytmu. Najpierw musisz znaleźć iloczyn skalarny wektorów a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Podstawiamy tutaj współrzędne tych wektorów i obliczamy:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Następnie określamy długości każdego wektora. Długość lub moduł wektora to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:
|a| = pierwiastek z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = pierwiastek z (8^2 + 10^2 + 4^2) = pierwiastek z (64 + 100 + 16) = pierwiastek z 180 = 6 pierwiastków 5
|b| = pierwiastek z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = pierwiastek z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = pierwiastek z (25 + 400 + 100) = pierwiastek z 525 = 5 pierwiastków z 21.
Mnożymy te długości. Otrzymujemy 30 pierwiastków ze 105.
Na koniec dzielimy iloczyn skalarny wektorów przez iloczyn długości tych wektorów. Otrzymujemy -200/(30 pierwiastków ze 105) lub
- (4 pierwiastki z 105) / 63. Jest to cosinus kąta między wektorami. A sam kąt jest równy łukowi cosinusowi tej liczby
f = arccos(-4 pierwiastki ze 105) / 63.
Jeśli wszystko dobrze policzyłem.

Jak obliczyć sinus kąta między wektorami za pomocą współrzędnych wektorów

Michaił Tkaczow

Pomnóżmy te wektory. Ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi.
Kąt nie jest nam znany, ale współrzędne są znane.
Zapiszmy to matematycznie w ten sposób.
Niech zostaną dane wektory a(x1;y1) i b(x2;y2).
Następnie

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Porozmawiajmy.
a*b-iloczyn skalarny wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych współrzędnych tych wektorów, czyli równy x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-iloczyn długości wektorów jest równy √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Oznacza to, że cosinus kąta między wektorami jest równy:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Znając cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus. Omówmy, jak to zrobić:

Jeśli cosinus kąta jest dodatni, to kąt ten leży w 1 lub 4 ćwiartkach, co oznacza, że jego sinus jest albo dodatni, albo ujemny. Ale ponieważ kąt między wektorami jest mniejszy lub równy 180 stopni, wówczas jego sinus jest dodatni. Rozumujemy podobnie, jeśli cosinus jest ujemny.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To tyle)))) powodzenia w rozwiązywaniu tego problemu)))

Dmitrij Lewiszczew

To, że nie można bezpośrednio sinusować, nie jest prawdą.
Oprócz formuły:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Jest też ten:
||=|a|*|b|*grzech A
Oznacza to, że zamiast iloczynu skalarnego można wziąć moduł iloczynu wektorowego.

Instrukcje

Niech na płaszczyźnie będą dane dwa niezerowe wektory wykreślone z jednego punktu: wektor A o współrzędnych (x1, y1) B o współrzędnych (x2, y2). Narożnik między nimi jest oznaczone jako θ. Aby znaleźć miarę kąta θ, należy skorzystać z definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi, czyli (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Teraz musisz wyrazić cosinus kąta z tego: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Iloczyn skalarny można także obliczyć korzystając ze wzoru (A,B)=x1*x2+y1*y2, ponieważ iloczyn dwóch niezerowych wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiadających im wektorów. Jeżeli iloczyn skalarny niezerowych wektorów jest równy zero, to wektory są prostopadłe (kąt między nimi wynosi 90 stopni) i można pominąć dalsze obliczenia. Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni, to kąt między nimi wektory ostry, a jeśli ujemny, to kąt jest rozwarty.

Obliczmy teraz długości wektorów A i B korzystając ze wzorów: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Długość wektora oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Podstaw znalezione wartości iloczynu skalarnego i długości wektorów do wzoru na kąt uzyskany w kroku 2, czyli cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Teraz, znając wartość, znajdź miarę stopnia kąta pomiędzy wektory musisz skorzystać z tabeli Bradisa lub wziąć z tego: θ=arccos(cos(θ)).

Jeżeli wektory A i B są dane w przestrzeni trójwymiarowej i mają współrzędne odpowiednio (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2), to przy wyznaczaniu cosinusa kąta dodawana jest jeszcze jedna współrzędna. W tym przypadku cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Przydatne rady

Jeśli dwa wektory nie są wykreślone z tego samego punktu, to aby znaleźć kąt między nimi poprzez tłumaczenie równoległe, należy połączyć początki tych wektorów.
Kąt pomiędzy dwoma wektorami nie może być większy niż 180 stopni.

Źródła:

jak obliczyć kąt między wektorami
Kąt między linią prostą a płaszczyzną

Aby rozwiązać wiele problemów, zarówno stosowanych, jak i teoretycznych, w fizyce i algebrze liniowej, konieczne jest obliczenie kąta między wektorami. To pozornie proste zadanie może przysporzyć wielu trudności, jeśli nie zrozumiemy do końca istoty iloczynu skalarnego i tego, jaka wartość pojawia się w wyniku tego iloczynu.

Instrukcje

Kąt między wektorami w wektorowej przestrzeni liniowej jest minimalnym kątem, przy którym osiąga się współkierunek wektorów. Rysuje jeden z wektorów wokół punktu początkowego. Z definicji wynika, że wartość kąta nie może przekraczać 180 stopni (patrz krok).

W tym przypadku całkiem słusznie zakłada się, że w przestrzeni liniowej, podczas równoległego przenoszenia wektorów, kąt między nimi nie zmienia się. Dlatego dla analitycznego obliczenia kąta orientacja przestrzenna wektorów nie ma znaczenia.

Wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba, w przeciwnym razie skalar. Pamiętaj (warto to wiedzieć), aby uniknąć błędów w dalszych obliczeniach. Wzór na iloczyn skalarny znajdujący się na płaszczyźnie lub w przestrzeni wektorów ma postać (patrz krok na rysunku).

Jeżeli wektory znajdują się w przestrzeni, wykonaj obliczenia w podobny sposób. Jedynym wystąpieniem terminu w dywidendzie będzie termin aplikacyjny, tj. trzeci składnik wektora. Odpowiednio, przy obliczaniu modułu wektorów należy również wziąć pod uwagę składową z, wówczas dla wektorów znajdujących się w przestrzeni ostatnie wyrażenie przekształca się w następujący sposób (patrz krok na rysunku 6).

Wektor to odcinek o zadanym kierunku. Kąt między wektorami ma znaczenie fizyczne, np. przy obliczaniu długości rzutu wektora na oś.

Instrukcje

Kąt między dwoma niezerowymi wektorami poprzez obliczenie iloczynu skalarnego. Z definicji iloczyn jest równy iloczynowi długości i kąta między nimi. Natomiast iloczyn skalarny dla dwóch wektorów a o współrzędnych (x1; y1) i b o współrzędnych (x2; y2) oblicza się: ab = x1x2 + y1y2. Z tych dwóch metod iloczyn skalarny jest z łatwością kątem między wektorami.

Znajdź długości lub wielkości wektorów. Dla naszych wektorów aib: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów, mnożąc ich współrzędne parami: ab = x1x2 + y1y2. Z definicji iloczynu skalarnego ab = |a|*|b|*cos α, gdzie α jest kątem pomiędzy wektorami. Wtedy otrzymujemy, że x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Wtedy cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Znajdź kąt α, korzystając z tablic Bradisa.

Wideo na ten temat

Uwaga

Iloczyn skalarny jest skalarną cechą długości wektorów i kąta między nimi.

Płaszczyzna jest jednym z podstawowych pojęć geometrii. Płaszczyzna to powierzchnia, dla której prawdziwe jest stwierdzenie: każda linia prosta łącząca dwa jej punkty należy w całości do tej powierzchni. Zwykle wyznacza się samoloty Litery greckieα, β, γ itp. Dwie płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż linii prostej należącej do obu płaszczyzn.

Instrukcje

Rozważmy półpłaszczyzny α i β utworzone przez przecięcie . Kąt utworzony przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny α i β przez kąt dwuścienny. W tym przypadku półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny swoimi ścianami, linia prosta a, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego.

Kąt dwuścienny, jak kąt płaski, w stopniach. Aby utworzyć kąt dwuścienny, musisz wybrać dowolny punkt O na jego powierzchni. W obu przypadkach przez punkt O przechodzą dwa promienie a. Utworzony kąt AOB nazywany jest liniowym kątem dwuściennym a.

Niech więc będzie dany wektor V = (a, b, c) i płaszczyzna A x + B y + C z = 0, gdzie A, B i C są współrzędnymi normalnej N. Następnie cosinus kąta α między wektorami V i N jest równe: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Aby obliczyć kąt w stopniach lub radianach, należy z otrzymanego wyrażenia obliczyć funkcję odwrotną do cosinus, tj. arccosinus:α = arsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Przykład: znajdź narożnik między wektor(5, -3, 8) i samolot, dany równanie ogólne 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rozwiązanie: zapisz współrzędne wektora normalnego płaszczyzny N = (2, -5, 3). Podstaw wszystkie znane wartości do podanego wzoru: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Wideo na ten temat

Utwórz równość i wyodrębnij z niej cosinus. Według jednego wzoru iloczyn skalarny wektorów jest równy ich długościom pomnożonym przez siebie i przez cosinus kąt, a z drugiej - suma iloczynów współrzędnych wzdłuż każdej z osi. Zrównując oba wzory, możemy stwierdzić, że cosinus kąt musi być równy stosunkowi sumy iloczynów współrzędnych do iloczynu długości wektorów.

Zapisz otrzymaną równość. Aby to zrobić, musisz wyznaczyć oba wektory. Załóżmy, że są one podane w trójwymiarowym układzie kartezjańskim, a ich punkty początkowe znajdują się w siatce współrzędnych. Kierunek i wielkość pierwszego wektora będzie określona przez punkt (X₁,Y₁,Z₁), drugiego - (X₂,Y₂,Z₂), a kąt zostanie oznaczony literą γ. Wtedy długości każdego z wektorów można wyznaczyć np. z twierdzenia Pitagorasa dla , utworzone przez ich rzuty na każdą z osi współrzędnych: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) i √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Podstaw te wyrażenia do wzoru z poprzedniego kroku, a otrzymasz równość: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y₂² + Z₂² )).

Wykorzystaj fakt, że suma kwadratów sinus i spółka sinus z kąt tej samej ilości zawsze daje jeden. Oznacza to, że podnosząc to, co uzyskano w poprzednim kroku za sinus podniesione do kwadratu i odjęte od jedności, a następnie

Być może zainteresują Cię poniższe materiały