Cosinus kąta między prostymi w danych równaniach kanonicznych. Kąt pomiędzy liniami prostymi

Niech w przestrzeni zostaną podane linie proste l I M. Przez jakiś punkt A przestrzeni rysujemy linie proste l 1 || l I M 1 || M(ryc. 138).

Należy pamiętać, że punkt A może być wybrany dowolnie, w szczególności może leżeć na jednej z tych prostych. Jeśli prosto l I M przecinają się, to A można przyjąć jako punkt przecięcia tych prostych ( l 1 = l I M 1 = m).

Kąt między liniami nierównoległymi l I M jest wartością najmniejszego z sąsiednich kątów utworzonych przez przecinające się linie l 1 I M 1 (l 1 || l, M 1 || M). Kąt między równoległymi liniami uważa się za równy zeru.

Kąt pomiędzy liniami prostymi l I M oznaczone przez $\widehat((l;m))$. Z definicji wynika, że jeśli mierzy się ją w stopniach, to 0° < $\szeroki kapelusz((l;m)) $ < 90°, a jeśli w radianach, to 0 < $\szeroki kapelusz((l;m)) $ < π / 2 .

Zadanie. Biorąc pod uwagę sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 139).

Znajdź kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1.

Proste AB i DC 1 przecinają się. Ponieważ prosta DC jest równoległa do prostej AB, to kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1, zgodnie z definicją, jest równy $\widehat(C_(1)DC)$.

Dlatego $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°.

Bezpośredni l I M są nazywane prostopadły, if $\widehat((l;m)) $ = π / 2. Na przykład w sześcianie

Obliczanie kąta między prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie. Oznaczmy przez φ wielkość kąta między liniami l 1 I l 2, a przez ψ - wielkość kąta między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.

Wtedy, jeśli

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (ryc. 206.6), wówczas φ = 180° - ψ. Oczywiście w obu przypadkach prawdziwa jest równość cos φ = |cos ψ|. Zgodnie ze wzorem (cosinus kąta pomiędzy wektory niezerowe aib są równe iloczynowi skalarnemu tych wektorów podzielonemu przez iloczyn ich długości) mamy

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

stąd,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Następnie kąt φ między liniami wyznacza się ze wzoru

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest dana równaniami niekanonicznymi, to aby obliczyć kąt, należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie skorzystać ze wzoru (1).

Zadanie 1. Oblicz kąt między liniami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Wektory kierunkowe prostych mają współrzędne:

za = (-√2; √2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 60°.

Zadanie 2. Oblicz kąt między liniami

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) i \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(przypadki) $$

Za wektorem prowadzącym A W pierwszej linii bierzemy iloczyn wektorowy wektorów normalnych N 1 = (3; 0; -12) i N 2 = (1; 1; -3) płaszczyzny definiujące tę linię. Korzystając ze wzoru $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ otrzymujemy

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobnie znajdujemy wektor kierunkowy drugiej prostej:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ale korzystając ze wzoru (1) obliczamy cosinus żądanego kąta:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 90°.

Zadanie 3. W piramidzie trójkątnej MABC krawędzie MA, MB i MC są wzajemnie prostopadłe (ryc. 207);

ich długości wynoszą odpowiednio 4, 3, 6. Punkt D jest środkiem [MA]. Znajdź kąt φ pomiędzy liniami CA i DB.

Niech CA i DB będą wektorami kierunkowymi linii prostych CA i DB.

Przyjmijmy punkt M jako początek współrzędnych. Z warunku równania mamy A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Zatem $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Skorzystajmy ze wzoru (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Korzystając z tabeli cosinusów, stwierdzamy, że kąt pomiędzy prostymi CA i DB wynosi około 72°.

KĄT MIĘDZY PŁASZCZYZNAMI

Rozważmy dwie płaszczyzny α 1 i α 2, określone odpowiednio równaniami:

Pod kąt między dwiema płaszczyznami zrozumiemy jeden z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny. Oczywiste jest, że kąt między wektorami normalnymi a płaszczyznami α 1 i α 2 jest równy jednemu ze wskazanych sąsiednich kątów dwuściennych lub . Dlatego . Ponieważ I , To

Przykład. Określ kąt między płaszczyznami X+2y-3z+4=0 i 2 X+3y+z+8=0.

Warunek równoległości dwóch płaszczyzn.

Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są równoległe, a zatem .

Zatem dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:

Lub

Warunek prostopadłości płaszczyzn.

Jest oczywiste, że dwie płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są prostopadłe, a zatem, lub .

Zatem, .

Przykłady.

PROSTO W PRZESTRZENI.

RÓWNANIE WEKTOROWE DLA LINII.

PARAMETRYCZNE RÓWNANIA BEZPOŚREDNIE

Położenie linii w przestrzeni jest całkowicie określane poprzez określenie dowolnego z jej punktów stałych M 1 i wektor równoległy do tej prostej.

Nazywa się wektor równoległy do prostej przewodniki wektor tej linii.

Więc niech linia prosta l przechodzi przez punkt M 1 (X 1 , y 1 , z 1), leżącego na prostej równoległej do wektora .

Rozważ dowolny punkt M(x,y,z) na linii prostej. Z rysunku wynika, że .

Wektory i są współliniowe, więc istnieje taka liczba T, co , gdzie jest mnożnik T może przyjmować dowolną wartość liczbową w zależności od położenia punktu M na linii prostej. Czynnik T zwany parametrem. Po wyznaczeniu wektorów promieni punktów M 1 i M odpowiednio poprzez i , otrzymujemy . To równanie nazywa się wektor równanie prostej. Pokazuje to dla każdej wartości parametru T odpowiada wektorowi promienia pewnego punktu M, leżąc na linii prostej.

Zapiszmy to równanie w postaci współrzędnych. Zauważ, że i stąd

Powstałe równania nazywane są parametryczny równania prostej.

Podczas zmiany parametru T współrzędne się zmieniają X, y I z i okres M porusza się po linii prostej.

RÓWNANIA KANONICZNE BEZPOŚREDNIEJ

Pozwalać M 1 (X 1 , y 1 , z 1) – punkt leżący na prostej l, I jest jego wektorem kierunkowym. Weźmy jeszcze raz dowolny punkt na prostej M(x,y,z) i rozważ wektor .

Oczywiste jest, że wektory są również współliniowe, więc odpowiadające im współrzędne muszą być proporcjonalne, dlatego

– kanoniczny równania prostej.

Uwaga 1. Należy zauważyć, że równania kanoniczne prostej można uzyskać z równań parametrycznych, eliminując parametr T. Rzeczywiście, z równań parametrycznych otrzymujemy Lub .

Przykład. Zapisz równanie prostej w formie parametrycznej.

Oznaczmy , stąd X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Uwaga 2. Niech prosta będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład osi Wół. Wtedy wektor kierunkowy linii jest prostopadły Wół, stąd, M=0. W rezultacie równania parametryczne linii przyjmą postać

Wyłączenie parametru z równań T, otrzymujemy równania prostej w postaci

Jednak i w tym przypadku zgadzamy się formalnie zapisać równania kanoniczne prostej w postaci . Zatem jeśli mianownik jednego z ułamków wynosi zero, oznacza to, że linia prosta jest prostopadła do odpowiedniej osi współrzędnych.

Podobnie jak w równaniach kanonicznych odpowiada linii prostej prostopadłej do osi Wół I Oj lub równolegle do osi Oz.

Przykłady.

RÓWNANIA OGÓLNE PROSTEJ JAKO LINIE PRZECIĘCIA DWÓCH PŁASZCZYZN

Przez każdą linię prostą w przestrzeni przechodzi niezliczona ilość płaszczyzn. Dowolne dwa z nich, przecinające się, definiują to w przestrzeni. W konsekwencji równania dowolnych dwóch takich płaszczyzn, rozpatrywane łącznie, reprezentują równania tej prostej.

Ogólnie rzecz biorąc, dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny określone przez równania ogólne

wyznacz linię prostą ich przecięcia. Równania te nazywane są równania ogólne bezpośredni.

Przykłady.

Skonstruuj prostą określoną równaniami

Aby zbudować linię prostą, wystarczy znaleźć dowolne dwa jej punkty. Najłatwiej jest wybrać punkty przecięcia prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOj otrzymujemy z równań prostej, zakładając z= 0:

Po rozwiązaniu tego systemu znajdujemy sedno M 1 (1;2;0).

Podobnie, zakładając y= 0, otrzymujemy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną xOz:

Z ogólnych równań linii można przejść do jej kanonicznego lub równania parametryczne. Aby to zrobić, musisz znaleźć jakiś punkt M 1 na linii prostej i wektor kierunkowy linii prostej.

Współrzędne punktu M 1 otrzymujemy z tego układu równań, nadając jednej ze współrzędnych dowolną wartość. Aby znaleźć wektor kierunku, należy pamiętać, że wektor ten musi być prostopadły do obu wektorów normalnych I . Dlatego poza wektorem kierunkowym linii prostej l możesz wziąć iloczyn wektorowy normalnych wektorów:

Przykład. Podaj ogólne równania prostej do postaci kanonicznej.

Znajdźmy punkt leżący na prostej. W tym celu wybieramy dowolnie jedną ze współrzędnych, np. y= 0 i rozwiąż układ równań:

Wektory normalne płaszczyzn wyznaczających linię mają współrzędne Dlatego wektor kierunku będzie prosty

. Stąd, l: .

KĄT MIĘDZY PROSTYMI

Kąt pomiędzy liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do danych.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwie proste:

Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi i . Ponieważ , to korzystając ze wzoru na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy

Jeśli na prostej w przestrzeni zaznaczymy dwa dowolne punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie prostej otrzymane powyżej:

Dodatkowo dla punktu M 1 możemy napisać:

Rozwiązując te równania razem, otrzymujemy:

Jest to równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni.

Ogólne równania prostej w przestrzeni.

Równanie linii prostej można uznać za równanie linii przecięcia dwóch płaszczyzn.

Ogólne równania prostej w postaci współrzędnych:

Praktycznym zadaniem jest często redukcja równań linii prostych do widok ogólny do postaci kanonicznej.

Aby to zrobić, musisz znaleźć dowolny punkt na linii i liczby m, n, p.

W tym przypadku wektor kierunkowy prostej można znaleźć jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych do danych płaszczyzn.

Przykład. Znajdź równanie kanoniczne, jeśli prosta jest dana w postaci:

Aby znaleźć dowolny punkt na prostej, bierzemy jego współrzędną x = 0 i następnie podstawiamy tę wartość do zadanego układu równań.

Te. A(0, 2, 1).

Znajdź składowe wektora kierującego linii prostej.

Następnie równania kanoniczne prostej:

Przykład. Doprowadź do postaci kanonicznej równanie prostej podane w postaci:

Aby znaleźć dowolny punkt na prostej, będący linią przecięcia powyższych płaszczyzn, przyjmujemy z = 0. Następnie:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Otrzymujemy: A(-1; 3; 0).

Wektor bezpośredni: .

Kąt między płaszczyznami.

Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami w przestrzeni  jest powiązany z kątem pomiędzy normalnymi do tych płaszczyzn  1 zależnością:  =  1 lub  = 180 0 -  1, tj.

cos = cos 1 .

Określmy kąt  1. Wiadomo, że płaszczyzny można określić za pomocą relacji:

, Gdzie

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Znajdujemy kąt między wektorami normalnymi z ich iloczynu skalarnego:

Zatem kąt między płaszczyznami oblicza się ze wzoru:

Wybór znaku cosinusa zależy od tego, jaki kąt między płaszczyznami należy znaleźć - ostry lub sąsiadujący z nim rozwarty.

Warunki równoległości i prostopadłości płaszczyzn.

Na podstawie otrzymanego powyżej wzoru na znalezienie kąta między płaszczyznami można znaleźć warunki równoległości i prostopadłości płaszczyzn.

Aby płaszczyzny były prostopadłe, konieczne i wystarczające jest, aby cosinus kąta między płaszczyznami był równy zero. Warunek ten jest spełniony, jeżeli:

Płaszczyzny są równoległe, wektory normalne są współliniowe:  .Warunek ten jest spełniony jeśli: .

Kąt między liniami prostymi w przestrzeni.

Niech w przestrzeni będą dane dwie proste. Ich równania parametryczne to:

Kąt między prostymi  i kąt między wektorami kierunkowymi  tych prostych są powiązane zależnością:  =  1 lub  = 180 0 -  1. Kąt między wektorami kierunkowymi oblicza się z iloczynu skalarnego. Zatem:

Warunki równoległości i prostopadłości prostych w przestrzeni.

Aby dwie linie były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych linii były współliniowe, tj. odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Każdemu uczniowi przygotowującemu się do egzaminu państwowego z matematyki przydatne będzie powtórzenie tematu „Znajdowanie kąta między liniami prostymi”. Jak pokazują statystyki, przy zdaniu egzaminu certyfikacyjnego zadania z tej części stereometrii sprawiają trudności duża ilość studenci. Jednocześnie zadania wymagające znalezienia kąta między prostymi znajdują się na egzaminie Unified State Exam zarówno na poziomie podstawowym, jak i specjalistycznym. Oznacza to, że każdy powinien być w stanie je rozwiązać.

Przegląd najważniejszych wydarzeń

Istnieją 4 rodzaje względnych pozycji linii w przestrzeni. Mogą się pokrywać, przecinać, być równoległe lub przecinać się. Kąt między nimi może być ostry lub prosty.

Aby znaleźć kąt między liniami w ujednoliconym egzaminie państwowym lub na przykład podczas rozwiązywania, uczniowie w Moskwie i innych miastach mogą skorzystać z kilku sposobów rozwiązywania problemów w tej części stereometrii. Zadanie możesz wykonać korzystając z klasycznych konstrukcji. Aby to zrobić, warto poznać podstawowe aksjomaty i twierdzenia stereometrii. Uczeń musi umieć logicznie rozumować i tworzyć rysunki, aby sprowadzić zadanie do zagadnienia planimetrycznego.

Metodę wektorów współrzędnych można również zastosować, korzystając z prostych formuł, reguł i algorytmów. Najważniejsze w tym przypadku jest prawidłowe wykonanie wszystkich obliczeń. Projekt edukacyjny Shkolkovo pomoże Ci udoskonalić umiejętności rozwiązywania problemów w zakresie stereometrii i innych części kursu szkolnego.

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Dowiadywać się położenie względne bezpośredni:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne i .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, zatem:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu oferowania czegokolwiek niezależna decyzja, lepiej położyć kolejną ważną cegłę w geometrycznym fundamencie:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Z niewiedzy o tym najprostsze zadanie Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Przykładowa geometria wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci znany program szkolny:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo geometryczne znaczenie układu dwóch równania liniowe z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej; powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie skupiał.

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Linie prostopadłe. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważne zadanie. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana Grecka litera„ro”, np.: – odległość punktu „em” od prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znajdujemy.

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży bardzo pomocny jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:

W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważ dwie linie proste, dane równaniami zazwyczaj:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt kropkowy wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi wskazujemy dokładna wartość, a także przybliżoną wartość (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć ujemną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .