Pochodna iloczynu funkcji jest równa iloczynowi pochodnych. Jak oblicza się pochodną iloczynu i pochodną ilorazu?
W tej lekcji będziemy kontynuować naukę pochodnych funkcji i przejdziemy do dalszych zagadnień złożony temat, mianowicie do pochodnych iloczynu i ilorazu. Jeśli obejrzałeś poprzednią lekcję, prawdopodobnie zdałeś sobie sprawę, że rozważaliśmy tylko najwięcej proste projekty czyli pochodna funkcja mocy, sumy i różnice. W szczególności dowiedzieliśmy się, że pochodna sumy jest równa ich sumie, a pochodna różnicy jest równa odpowiednio ich różnicy. Niestety w przypadku pochodnych ilorazowych i iloczynowych wzory będą znacznie bardziej skomplikowane. Zaczniemy od wzoru na pochodną iloczynu funkcji.
Pochodne funkcji trygonometrycznych
Na początek pozwolę sobie na małe dygresja. Faktem jest, że oprócz standardowej funkcji potęgowej - $y=((x)^(n))$, w tej lekcji spotkamy także inne funkcje, a mianowicie $y=\sin x$, a także $ y=\ cos x$ i inna trygonometria - $y=tgx$ i oczywiście $y=ctgx$.
Jeśli wszyscy doskonale znamy pochodną funkcji potęgowej, czyli $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, to co do funkcje trygonometryczne, należy wspomnieć osobno. Zapiszmy to:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Ale znasz te formuły bardzo dobrze, przejdźmy dalej.
Jaka jest pochodna produktu?
Na początek najważniejsze: jeśli funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji, np. $f\cdot g$, to pochodna tej konstrukcji będzie równa wyrażeniu:
Jak widać, formuła ta znacznie się różni i jest bardziej złożona niż formuły, które omawialiśmy wcześniej. Na przykład za elementarną uważa się pochodną sumy - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, czyli pochodną różnicy, co również jest obliczane elementarnie - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Spróbujmy zastosować pierwszy wzór do obliczenia pochodnych dwóch funkcji podanych nam w zadaniu. Zacznijmy od pierwszego przykładu:
Oczywiście następująca konstrukcja pełni rolę iloczynu, a dokładniej mnożnika: $((x)^(3))$, możemy to uznać za $f$ i $\left(x-5 \right) $ możemy uznać za $g$. Wtedy ich produkt będzie właśnie produktem dwóch funkcji. Decydujemy:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ prawo))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
Przyjrzyjmy się teraz bliżej każdemu z naszych terminów. Widzimy, że zarówno pierwszy, jak i drugi wyraz zawierają stopień $x$: w pierwszym przypadku jest to $((x)^(2))$, a w drugim $((x)^(3)) $. Weźmy najmniejszy stopień z nawiasów, pozostawiając w nawiasach:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]
To wszystko, znaleźliśmy odpowiedź.
Wróćmy do naszych problemów i spróbujmy rozwiązać:
Zatem przepiszemy:
Ponownie zauważamy, że mówimy o iloczynie iloczynu dwóch funkcji: $x$, który można oznaczyć przez $f$ oraz $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, który może być oznaczone przez $g$.
Zatem ponownie mamy iloczyn dwóch funkcji. Aby znaleźć pochodną funkcji $f\left(x \right)$ ponownie skorzystamy z naszego wzoru. Otrzymujemy:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Odpowiedź została znaleziona.
Dlaczego pochodne czynnikowe?
Właśnie wykorzystaliśmy kilka bardzo ważnych fakty matematyczne, które same w sobie nie są związane z instrumentami pochodnymi, jednak bez ich wiedzy wszelkie dalsze studiowanie tego tematu po prostu nie ma sensu.
Po pierwsze, rozwiązując już pierwszy problem i pozbywając się już wszystkich znaków pochodnych, z jakiegoś powodu zaczęliśmy rozkładać to wyrażenie na czynniki.
Po drugie, rozwiązując poniższe zadanie, kilka razy przechodziliśmy od pierwiastka do potęgi z wykładnikiem wymiernym i z powrotem, korzystając ze wzoru klasy 8-9, który warto byłoby powtórzyć osobno.
Jeśli chodzi o faktoryzację – dlaczego potrzebne są te wszystkie dodatkowe wysiłki i transformacje? W rzeczywistości, jeśli problem polega po prostu na „znajdź pochodną funkcji”, wówczas te dodatkowe kroki nie są wymagane. Jednak w przypadku prawdziwych problemów, które czekają na Ciebie na wszelkiego rodzaju egzaminach i testach, samo znalezienie pochodnej często nie wystarczy. Faktem jest, że pochodna jest tylko narzędziem, za pomocą którego można znaleźć na przykład wzrost lub spadek funkcji, a do tego trzeba rozwiązać równanie i rozłożyć je na czynniki. I tutaj ta technika będzie bardzo odpowiednia. Ogólnie rzecz biorąc, znacznie wygodniej i przyjemniej jest pracować z funkcją rozłożoną na czynniki w przyszłości, jeśli wymagane są jakiekolwiek przekształcenia. Dlatego zasada nr 1: jeśli pochodną można rozłożyć na czynniki, to właśnie to należy zrobić. I od razu zasada nr 2 (w rzeczywistości jest to materiał dla klas 8-9): jeśli problem zawiera korzeń N-tego stopnia, a pierwiastek jest wyraźnie większy od dwóch, wówczas pierwiastek ten można zastąpić stopniem zwykłym z wykładnikiem wymiernym, a w wykładniku pojawi się ułamek, gdzie N- ten sam stopień - będzie w mianowniku tego ułamka.
Oczywiście, jeśli pod korzeniem jest jakiś stopień (w naszym przypadku jest to stopień k), to nigdzie nie idzie, ale po prostu kończy się w liczniku tego właśnie stopnia.
Teraz, gdy już to wszystko rozumiesz, wróćmy do pochodnych iloczynu i obliczmy jeszcze kilka równań.
Zanim jednak przejdę bezpośrednio do obliczeń, chciałbym przypomnieć następujące wzorce:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Rozważmy pierwszy przykład:
Znów mamy iloczyn dwóch funkcji: pierwsza to $f$, druga to $g$. Przypomnę Ci formułę:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Zdecydujmy:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
Przejdźmy do drugiej funkcji:
Ponownie, $\left(3x-2 \right)$ jest funkcją $f$, $\cos x$ jest funkcją $g$. W sumie pochodna iloczynu dwóch funkcji będzie równa:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime))\]
Zapiszmy to osobno:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Nie rozkładamy tego wyrażenia na czynniki, ponieważ nie jest to jeszcze ostateczna odpowiedź. Teraz musimy rozwiązać drugą część. Napiszmy to:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Wróćmy teraz do naszego pierwotnego zadania i złóżmy wszystko w jedną strukturę:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
To wszystko, to jest ostateczna odpowiedź.
Przejdźmy do ostatniego przykładu - będzie on najbardziej złożony i obszerny pod względem obliczeń. A więc przykład:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Każdą część liczymy osobno:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Wracając do pierwotnej funkcji, obliczmy jej pochodną jako całość:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
To właściwie wszystko, co chciałem wam powiedzieć na temat dzieł pochodnych. Jak widać, główny problem formuły nie polega na jej zapamiętywaniu, ale na tym, że wiąże się ona z dość dużą ilością obliczeń. Ale to w porządku, ponieważ teraz przechodzimy do pochodnej ilorazowej, nad którą będziemy musieli naprawdę ciężko popracować.
Jaka jest pochodna ilorazu?
Zatem wzór na pochodną ilorazu. Jest to chyba najbardziej złożona formuła w szkolnym kursie dotyczącym instrumentów pochodnych. Powiedzmy, że mamy funkcję w postaci $\frac(f)(g)$, gdzie $f$ i $g$ są także funkcjami, z których możemy również usunąć liczbę pierwszą. Następnie zostanie ona obliczona według następującego wzoru:
Licznik przypomina nieco wzór na pochodną iloczynu, ale pomiędzy wyrazami znajduje się znak minus, a do mianownika dodano również kwadrat pierwotnego mianownika. Zobaczmy jak to działa w praktyce:
Spróbujmy rozwiązać:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Proponuję rozpisać każdą część osobno i zapisać:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ prawo))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(wyrównaj)\]
Przepiszmy nasze wyrażenie:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\lewo(x+2 \prawo))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\lewy(x+2 \prawy))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\lewy(x+2 \prawy ))^(2))) \\\end(align)\]
Znaleźliśmy odpowiedź. Przejdźmy do drugiej funkcji:
Sądząc po tym, że jego licznik wynosi po prostu jeden, obliczenia tutaj będą nieco prostsze. Napiszmy zatem:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\lewo(((x)^(2))+4 \prawo))^(2)))\]
Obliczmy każdą część przykładu osobno:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Przepiszmy nasze wyrażenie:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \prawo))^(2)))=-\frac(2x)(((\lewo(((x)^(2))+4 \prawo))^(2)))\]
Znaleźliśmy odpowiedź. Zgodnie z oczekiwaniami ilość obliczeń okazała się znacznie mniejsza niż w przypadku pierwszej funkcji.
Jaka jest różnica między oznaczeniami?
Uważni uczniowie zapewne mają już pytanie: dlaczego w niektórych przypadkach funkcję oznaczamy jako $f\left(x \right)$, a w innych po prostu $y$? Tak naprawdę z punktu widzenia matematyki nie ma absolutnie żadnej różnicy - masz prawo używać zarówno pierwszego, jak i drugiego oznaczenia, a na egzaminach i testach nie będą stosowane żadne kary. Dla zainteresowanych wyjaśnię dlaczego autorzy podręczników i zadań w niektórych przypadkach piszą $f\left(x \right)$, a w innych (znacznie częściej) - po prostu $y$. Faktem jest, że pisząc funkcję w postaci \, w sposób dorozumiany podpowiadamy tym, którzy czytają nasze obliczenia, że mówimy konkretnie o algebraicznej interpretacji zależności funkcyjnej. Oznacza to, że istnieje pewna zmienna $x$, rozważamy zależność od tej zmiennej i oznaczamy ją $f\left(x \right)$. Jednocześnie, widząc takie oznaczenie, ten, kto czyta twoje obliczenia, na przykład inspektor, podświadomie spodziewa się, że w przyszłości czekają go tylko przekształcenia algebraiczne - żadnych wykresów i żadnej geometrii.
Natomiast stosując oznaczenia postaci \, czyli oznaczając zmienną jedną pojedynczą literą, od razu dajemy do zrozumienia, że w przyszłości interesuje nas interpretacja geometryczna funkcji, czyli interesuje nas przede wszystkim wszystko na swoim wykresie. Zatem czytelnik, mając do czynienia z zapisem formy, ma prawo oczekiwać obliczeń graficznych, tj. wykresów, konstrukcji itp., ale w żadnym wypadku przekształceń analitycznych.
Chciałbym również zwrócić uwagę na jedną cechę konstrukcji zadań, które dzisiaj rozważamy. Wielu uczniów uważa, że podaję zbyt szczegółowe obliczenia, a wiele z nich można by pominąć lub po prostu rozwiązać w głowie. Jednak właśnie taki szczegółowy zapis pozwoli pozbyć się błędów ofensywnych i znacznie zwiększyć odsetek poprawnie rozwiązanych problemów np. w przypadku samokształcenie na testy lub egzaminy. Dlatego jeśli nadal nie jesteś pewien swoich umiejętności, jeśli dopiero zaczynasz studiować ten temat, nie spiesz się - szczegółowo opisz każdy krok, zapisz każdy czynnik, każde uderzenie, a już wkrótce nauczysz się lepiej rozwiązywać takie przykłady niż wiele nauczyciele szkolni. Mam nadzieję, że to jest jasne. Policzmy jeszcze kilka przykładów.
Kilka ciekawych zadań
Tym razem, jak widzimy, w obliczanych pochodnych występuje trygonometria. Dlatego przypominam co następuje:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Oczywiście nie możemy obejść się bez pochodnej ilorazu, a mianowicie:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Rozważmy pierwszą funkcję:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Znaleźliśmy więc rozwiązanie tego wyrażenia.
Przejdźmy do drugiego przykładu:
Oczywiście jej pochodna będzie bardziej złożona, choćby dlatego, że trygonometria występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku tej funkcji. Decydujemy:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Należy pamiętać, że mamy pochodną produktu. W tym przypadku będzie to równe:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ prawo))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Wróćmy do naszych obliczeń. Zapisujemy:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
To wszystko! Zrobiliśmy matematykę.
Jak sprowadzić pochodną ilorazu do prostego wzoru na pochodną iloczynu?
I tutaj chciałbym poczynić jedną bardzo ważną uwagę dotyczącą funkcji trygonometrycznych. Faktem jest, że nasza oryginalna konstrukcja zawiera wyrażenie w postaci $\frac(\sin x)(\cos x)$, które można łatwo zastąpić po prostu przez $tgx$. W ten sposób redukujemy pochodną ilorazu do prostszego wzoru na pochodną iloczynu. Obliczmy ten przykład jeszcze raz i porównajmy wyniki.
Zatem teraz musimy rozważyć następujące kwestie:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Przepiszmy naszą oryginalną funkcję $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ biorąc ten fakt pod uwagę. Otrzymujemy:
Policzmy:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)((((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Jeśli teraz porównamy uzyskany wynik z tym, co otrzymaliśmy wcześniej, obliczając w inny sposób, to będziemy przekonani, że otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Zatem niezależnie od tego, w którą stronę pójdziemy przy obliczaniu pochodnej, jeśli wszystko zostanie obliczone poprawnie, odpowiedź będzie taka sama.
Ważne niuanse przy rozwiązywaniu problemów
Na zakończenie chciałbym powiedzieć jeszcze jedną subtelność związaną z obliczaniem pochodnej ilorazu. To, co ci teraz powiem, nie znajdowało się w oryginalnym scenariuszu lekcji wideo. Jednak kilka godzin przed rozpoczęciem zdjęć uczyłem się z jednym z moich studentów i właśnie omawialiśmy temat pochodnych ilorazów. I, jak się okazało, wielu uczniów nie rozumie tego punktu. Załóżmy, że musimy obliczyć skok usuwania następującej funkcji:
W zasadzie na pierwszy rzut oka nie ma w tym nic nadprzyrodzonego. Jednak w procesie kalkulacji możemy popełnić wiele głupich i obraźliwych błędów, które chciałbym teraz omówić.
Obliczamy więc tę pochodną. Przede wszystkim zauważamy, że mamy termin $3((x)^(2))$, dlatego warto przypomnieć sobie następujący wzór:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Dodatkowo mamy termin $\frac(48)(x)$ - poradzimy sobie z nim poprzez pochodną ilorazu, czyli:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Zdecydujmy więc:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime))+10(0)"\]
Z pierwszym terminem nie ma problemów, patrz:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prim ))=3k.2x=6x\]
Ale w przypadku pierwszego członu $\frac(48)(x)$ musisz pracować osobno. Faktem jest, że wielu uczniów myli sytuację, gdy muszą znaleźć $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kiedy muszą znaleźć $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Oznacza to, że są zdezorientowani, gdy stała znajduje się w mianowniku i gdy stała jest w liczniku, odpowiednio, gdy zmienna znajduje się w liczniku lub w mianowniku.
Zacznijmy od pierwszej opcji:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Z drugiej strony, jeśli spróbujemy zrobić to samo z drugim ułamkiem, otrzymamy:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Ten sam przykład można jednak obliczyć inaczej: na etapie przejścia do pochodnej ilorazu możemy uznać $\frac(1)(x)$ za potęgę o wykładniku ujemnym, czyli otrzymamy wzór :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
I tak, i tak otrzymaliśmy tę samą odpowiedź.
Tym samym po raz kolejny jesteśmy przekonani o dwóch ważne fakty. Po pierwsze, tę samą pochodną można obliczyć w całości na różne sposoby. Na przykład $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ można uznać zarówno za pochodną ilorazu, jak i pochodną funkcji potęgowej. Co więcej, jeśli wszystkie obliczenia zostaną wykonane poprawnie, odpowiedź będzie zawsze taka sama. Po drugie, przy obliczaniu pochodnych zawierających zarówno zmienną, jak i stałą, zasadnicze znaczenie ma to, gdzie zmienna się znajduje - w liczniku czy w mianowniku. W pierwszym przypadku, gdy zmienna znajduje się w liczniku, otrzymujemy prostą funkcję liniową, którą można łatwo obliczyć. A jeśli zmienna jest w mianowniku, to otrzymujemy bardziej złożone wyrażenie z towarzyszącymi obliczeniami podanymi wcześniej.
W tym momencie lekcję można uznać za zakończoną, więc jeśli nie rozumiesz nic na temat pochodnych ilorazu lub iloczynu i w ogóle, jeśli masz jakieś pytania na ten temat, nie wahaj się - wejdź na moją stronę , napisz, zadzwoń, a na pewno spróbuję Ci pomóc.
Same instrumenty pochodne nie są skomplikowanym tematem, ale są bardzo obszerne, a to, co obecnie badamy, będzie wykorzystane w przyszłości przy rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów. Dlatego wszelkie nieporozumienia związane z obliczaniem pochodnych ilorazu lub iloczynu lepiej identyfikować od razu, już teraz. Nie wtedy, gdy są wielką kulą śniegu nieporozumień, ale gdy są małą piłką tenisową, z którą łatwo sobie poradzić.
