Sekwencje liczbowe. Metody ich ustalania. Sekwencja numerów i metody jej określania

Vida y= F(X), X O N, Gdzie N– zbiór liczb naturalnych (lub funkcja argumentu naturalnego), oznaczony y=F(N) Lub y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Wartości y 1 ,y 2 ,y 3 ,… nazywane są odpowiednio pierwszym, drugim, trzecim, ... członkami ciągu.

Na przykład dla funkcji y= N 2 można zapisać:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metody określania sekwencji. Można określić sekwencje na różne sposoby, spośród których trzy są szczególnie ważne: analityczna, opisowa i powtarzalna.

1. Ciąg podaje się analitycznie, jeśli podany jest jego wzór N członek:

y n=F(N).

Przykład. y n= 2N - 1 – ciąg liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Opisowy Sposobem określenia ciągu liczbowego jest wyjaśnienie, z jakich elementów jest on zbudowany.

Przykład 1. „Wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.” Oznacza to, że mówimy o stacjonarnym ciągu 1, 1, 1, …, 1, ….

Przykład 2. „Sekwencja składa się ze wszystkich liczby pierwsze w kolejności rosnącej.” Zatem podany ciąg to 2, 3, 5, 7, 11, …. Przy tej metodzie określania sekwencji w tym przykładzie trudno odpowiedzieć, czemu równa się, powiedzmy, tysięczny element ciągu.

3. Rekurencyjną metodą określania sekwencji jest określenie reguły umożliwiającej obliczenia N-ty element ciągu, jeśli znane są jego poprzednie elementy. Nazwa metoda rekurencyjna pochodzi od łacińskiego słowa powtarzający się- wróć. Najczęściej w takich przypadkach wskazywana jest formuła, która pozwala wyrazić N elementu ciągu przez poprzednie i określ 1–2 początkowe elementy ciągu.

Przykład 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jeśli N = 2, 3, 4,….

Tutaj y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Jak widać, sekwencję uzyskaną w tym przykładzie można również określić analitycznie: y n= 4N - 1.

Przykład 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 jeśli N = 3, 4,….

Tutaj: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekwencja w tym przykładzie jest szczególnie badana w matematyce, ponieważ ma wiele interesujących właściwości i zastosowań. Nazywa się ciągiem Fibonacciego i pochodzi od nazwiska włoskiego matematyka z XIII wieku. Bardzo łatwo jest zdefiniować ciąg Fibonacciego w sposób powtarzalny, ale bardzo trudno jest to zrobić analitycznie. N Liczbę Fibonacciego wyraża się poprzez jej liczbę seryjną za pomocą następującego wzoru.

Na pierwszy rzut oka formuła N liczba Fibonacciego wydaje się nieprawdopodobna, ponieważ sam wzór określający ciąg liczb naturalnych zawiera pierwiastki kwadratowe, ale możesz sprawdzić „ręcznie” ważność tej formuły dla pierwszych kilku N.

Własności ciągów liczbowych.

Ciąg liczbowy jest szczególnym przypadkiem funkcji numerycznej, dlatego w przypadku ciągów uwzględnia się również szereg właściwości funkcji.

Definicja . Podciąg ( y n} nazywa się rosnącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest większy od poprzedniego:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definicja.Sekwencja ( y n} nazywa się malejącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Ciągi rosnące i malejące łączy się w ramach wspólnego terminu - ciągi monotoniczne.

Przykład 1. y 1 = 1; y n= N 2 – ciąg rosnący.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość ciągu arytmetycznego). Ciąg liczb jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego wyrazów z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w tym przypadku). skończona sekwencja), jest równa średniej arytmetycznej wyrazów poprzedzających i kolejnych.

Przykład. Przy jakiej wartości X numery 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 tworzą skończony postęp arytmetyczny?

Zgodnie z właściwością charakterystyczną podane wyrażenia muszą spełniać relację

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Rozwiązanie tego równania daje X= –5,5. Przy tej wartości X dane wyrażenia 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 przyjmują odpowiednio wartości –14,5, –31,5, –48,5. Ten - postęp arytmetyczny, jego różnica wynosi –17.

Postęp geometryczny.

Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są niezerowe i którego każdy wyraz, zaczynając od drugiego, otrzymuje się z poprzedniego wyrazu przez pomnożenie przez tę samą liczbę Q, nazywa się postępem geometrycznym, a liczbą Q- mianownik postępu geometrycznego.

Zatem postęp geometryczny jest ciągiem liczbowym ( b n), zdefiniowane rekurencyjnie przez relacje

B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B I Q - podane liczby, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Przykład 1. 2, 6, 18, 54, ... – rosnący postęp geometryczny B = 2, Q = 3.

Przykład 2. 2, –2, 2, –2, … – postęp geometryczny B= 2,Q= –1.

Przykład 3. 8, 8, 8, 8, … – postęp geometryczny B= 8, Q= 1.

Postęp geometryczny jest ciągiem rosnącym jeśli B 1 > 0, Q> 1 i malejące jeśli B 1 > 0, 0 q

Jedną z oczywistych właściwości postępu geometrycznego jest to, że jeśli ciąg jest postępem geometrycznym, to także jest nim ciąg kwadratów, tj.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... jest postępem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy B 1 2 , a mianownikiem jest Q 2 .

Formuła N- V wyraz ciągu geometrycznego ma postać

b n= B 1 qn– 1 .

Można otrzymać wzór na sumę wyrazów skończonego postępu geometrycznego.

Niech będzie dany skończony postęp geometryczny

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n

pozwalać Sn – suma jej członków, tj.

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n.

Przyjmuje się, że Q Nr 1. Do ustalenia S n stosuje się sztuczną technikę: przeprowadza się pewne geometryczne przekształcenia wyrażenia S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Zatem, S n q= S n +b n q – b 1 i dlatego

To jest formuła z niezwykłe terminy postępu geometrycznego w przypadku gdy Q≠ 1.

Na Q= 1 wzoru nie trzeba wyprowadzać osobno; jest oczywiste, że w tym przypadku S n= A 1 N.

Postęp nazywa się geometrycznym, ponieważ każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest równy średniej geometrycznej wyrazów poprzednich i kolejnych. Rzeczywiście, od

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

stąd, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość postępu geometrycznego):

ciąg liczb jest postępem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego jego wyrazu, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w przypadku ciągu skończonego), równy produktowi poprzednich i kolejnych członków.

Granica spójności.

Niech będzie ciąg ( c n} = {1/N}. Sekwencja ta nazywana jest harmoniczną, ponieważ każdy z jej wyrazów, zaczynając od drugiego, jest średnią harmoniczną między wyrazami poprzednim i kolejnymi. Średnia geometryczna liczb A I B jest numer

W przeciwnym razie ciąg nazywa się rozbieżnym.

Na podstawie tej definicji można na przykład udowodnić istnienie granicy A=0 dla ciągu harmonicznego ( c n} = {1/N). Niech ε będzie dowolnie małą liczbą dodatnią. Brana jest pod uwagę różnica

Czy coś takiego istnieje? N to dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /N ? Jeśli przyjmiemy to jako N każdy liczba naturalna, przekraczający 1/ε , wtedy dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /n ≤ 1/N ε , co było do okazania

Udowodnienie istnienia granicy dla określonej sekwencji może czasami być bardzo trudne. Najczęściej występujące sekwencje są dobrze zbadane i wymienione w podręcznikach. Istnieją ważne twierdzenia, które pozwalają stwierdzić, że dany ciąg ma granicę (a nawet ją obliczyć), bazując na już zbadanych ciągach.

Twierdzenie 1. Jeśli ciąg ma granicę, to jest ograniczony.

Twierdzenie 2. Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to ma granicę.

Twierdzenie 3. Jeśli sekwencja ( jakiś} ma granicę A, to sekwencje ( Móc}, {jakiś+c) i (| jakiś|} mieć granice ok, A +C, |A| odpowiednio (tutaj C– liczba dowolna).

Twierdzenie 4. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B patelnia + qbn) ma granicę rocznie+ qB.

Twierdzenie 5. Jeżeli ciągi ( jakiś) I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, to sekwencja ( an b n) ma granicę AB.

Twierdzenie 6. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, a ponadto b n ≠ 0 i B≠ 0, to sekwencja ( a n / b n) ma granicę A/B.

Anna Czugainowa

2. Określ operację arytmetyczną, za pomocą której uzyskuje się średnią z dwóch skrajnych liczb i zamiast znaku * wstaw brakującą liczbę: ,3104.62.51043.60.94 1,7*4,43,1*37,2*0, 8

3. Uczniowie rozwiązali zadanie polegające na odnalezieniu brakujących liczb. Dostali różne odpowiedzi. Znajdź zasady, według których chłopaki wypełniali komórki. Zadanie Odpowiedź 1Odpowiedź

Definicja ciągu liczbowego Mówią, że ciąg liczbowy jest dany, jeśli zgodnie z jakimś prawem każda liczba naturalna (numer miejsca) jest jednoznacznie powiązana z określoną liczbą (elementem ciągu). W widok ogólny wskazaną zgodność można przedstawić następująco: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Liczba n jest n-tym wyrazem ciągu . Zwykle oznacza się całą sekwencję (y n).

Analityczna metoda wyznaczania ciągów liczbowych Ciąg wyznacza się analitycznie, jeżeli podany zostanie wzór na n-ty wyraz. Przykładowo 1) y n= n 2 – zadanie analityczne ciągu 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – ciąg stały (stacjonarny) 2) y n= 2 n – zadanie analityczne ciągu 2, 4 , 8, 16, ... Rozwiąż 585

Rekurencyjna metoda określania ciągów liczbowych Rekurencyjna metoda określania ciągu polega na wskazaniu reguły, która pozwala obliczyć n-ty wyraz, jeśli znane są jego poprzednie człony 1) postęp arytmetyczny jest dany przez relacje powtarzalne a 1 =a, a n+ 1 =a n + re 2 ) postęp geometryczny – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Mocowanie 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Ograniczony z góry Sekwencję (y n) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli wszystkie jej wyrazy nie są większe od określonej liczby. Innymi słowy, ciąg (y n) jest ograniczony od góry, jeśli istnieje liczba M taka, że dla dowolnego n zachodzi nierówność y n M. M jest górną granicą ciągu. Na przykład -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...

Ograniczony od dołu Ciąg (y n) nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie mniejsze niż pewna liczba. Innymi słowy, ciąg (y n) jest ograniczony z góry, jeśli istnieje liczba m taka, że dla dowolnego n zachodzi nierówność y n m. m – dolna granica ciągu Na przykład 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ograniczenie ciągu Sekwencję (y n) nazywamy ograniczonym, jeśli można określić dwie liczby A i B, pomiędzy którymi leżą wszyscy członkowie ciągu. Nierówność Ay n B A to dolna granica, B to górna granica. Na przykład 1 to górna granica, 0 to dolna granica

Ciąg malejący Sekwencję nazywamy malejącą, jeśli każdy element jest mniejszy od poprzedniego: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na przykład: y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na przykład,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na przykład”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na przykład,” title="Sekwencja malejąca Sekwencja jest malejąca, jeśli każdy element jest mniejszy od poprzedniego: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...Na przykład"> title="Ciąg malejący Sekwencję nazywamy malejącą, jeśli każdy element jest mniejszy od poprzedniego: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na przykład:"> !} 23

Praca testowa Opcja 1 Opcja 2 1. Ciąg liczb jest określony wzorem a) Oblicz pierwsze cztery wyrazy tego ciągu b) Czy liczba jest elementem ciągu? b) Czy liczba 12,25 należy do ciągu? 2. Utwórz wzór na dziesiąty wyraz ciągu 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

W tej lekcji zaczniemy studiować progresje. Tutaj zapoznamy się z sekwencją liczb i sposobem jej ustawienia.

Najpierw przypomnijmy sobie definicję i własności funkcji argumentów liczbowych i rozważmy szczególny przypadek funkcji, gdy x należy do zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy sekwencję liczb i podajmy kilka przykładów. Pokażemy analityczny sposób określenia ciągu poprzez wzór na jego n-ty wyraz i rozważymy kilka przykładów określania i wyznaczania ciągu. Następnie rozważymy zadanie sekwencji werbalnej i powtarzającej się.

Temat: Progresje

Lekcja: Sekwencja liczb i sposób jej ustawienia

1. Powtórzenie

Sekwencja numerów, jak zobaczymy, jest to szczególny przypadek funkcji, więc przypomnijmy sobie definicję funkcji.

Funkcja jest prawem, zgodnie z którym każda ważna wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oto przykłady znanych funkcji.

Ryż. 1. Wykres funkcji

Wszystkie wartości są prawidłowe z wyjątkiem 0. Wykres tej funkcji jest hiperbolą (patrz ryc. 1).

2.. Wszystkie wartości są dozwolone, .

Ryż. 2. Wykres funkcji

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, zaznaczono także punkty charakterystyczne (patrz rys. 2).

3..

Ryż. 3. Wykres funkcji

Wszystkie wartości x są prawidłowe. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą (patrz rys. 3).

2. Ustalanie ciągu liczbowego

Jeśli x przyjmuje tylko wartości naturalne (), to mamy przypadek szczególny, a mianowicie ciąg liczbowy.

Przypomnijmy, że liczby naturalne to 1, 2, 3, …, n, …

Funkcja , gdzie , nazywana jest funkcją argumentu naturalnego lub ciągu liczbowego i jest oznaczana w następujący sposób: lub , lub .

Wyjaśnijmy, co oznacza na przykład wpis.

Jest to wartość funkcji, gdy n=1, tj. .

Jest to wartość funkcji, gdy n=2, tj. itd...

Jest to wartość funkcji, gdy argumentem jest n, tj. .

3. Przykłady ciągów

1. to ogólny wzór terminologiczny. Ustawiamy różne znaczenia n, otrzymujemy różne wartości wyrazów y ciągu.

Gdy n=1; , gdy n=2 itd., .

Liczby są elementami danego ciągu, a punkty leżą na hiperboli - wykresie funkcji (patrz ryc. 4).

Ryż. 4. Wykres funkcji

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3, to itd.

Liczby należą do danego ciągu, a punkty leżą na paraboli – wykresie funkcji (patrz rys. 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji

Ryż. 6. Wykres funkcji

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2 to ; jeśli n=3 to itp.

Takty muzyczne są elementami danego ciągu, a punkty leżą na linii prostej – wykresie funkcji (patrz rys. 6).

4. Analityczna metoda wyznaczania sekwencji

Sekwencje można definiować na trzy sposoby: analitycznie, werbalnie i cyklicznie. Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu z nich.

Ciąg wyznacza się analitycznie, jeśli podany jest wzór na jego n-ty wyraz.

Spójrzmy na kilka przykładów.

1. Znajdź kilka wyrazów ciągu, który jest określony wzorem n-tego wyrazu: (analityczna metoda określania ciągu).

Rozwiązanie. Jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3 to itp.

Dla danej sekwencji znajdujemy i .

2. Rozważmy ciąg określony wzorem n-tego wyrazu: (analityczna metoda określania ciągu).

Znajdźmy kilka wyrazów tego ciągu.

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2 to ; jeśli n=3 to itp.

Ogólnie rzecz biorąc, nie jest trudno zrozumieć, że członkami tego ciągu są te liczby, które po podzieleniu przez 4 pozostawiają resztę 1.

A. Dla danej sekwencji znajdź .

Rozwiązanie: . Odpowiedź: .

B. Dane są dwie liczby: 821, 1282. Czy te liczby należą do podanego ciągu?

Aby liczba 821 była członkiem ciągu, musi być spełniona równość: lub . Ostatnia równość jest równaniem dla n. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba naturalna, to odpowiedź brzmi: tak.

W tym przypadku jest to prawdą. .

Odpowiedź: tak, 821 należy do podanego ciągu, .

Przejdźmy do drugiej liczby. Podobne rozumowanie prowadzi nas do rozwiązania równania: .

Odpowiedź: Ponieważ n nie jest liczbą naturalną, 1282 nie należy do podanego ciągu.

Wzory analitycznie definiujące ciąg mogą być bardzo różne: proste, złożone itp. Jest dla nich tylko jeden wymóg: każda wartość n musi odpowiadać pojedynczej liczbie.

3. Biorąc pod uwagę: sekwencję podaje następujący wzór.

Znajdź trzy pierwsze wyrazy ciągu.

, , .

Odpowiedź: , , .

4. Czy liczby są członkami ciągu?

A. , tj. . Rozwiązując to równanie, znajdujemy, że . To jest liczba naturalna.

Odpowiedź: pierwsza podana liczba jest członkiem tego ciągu, a mianowicie jego piątym członkiem.

B. , tj. . Rozwiązując to równanie, znajdujemy, że . To jest liczba naturalna.

Odpowiedź: druga podana liczba również jest członkiem tego ciągu, a mianowicie jego dziewięćdziesiątym dziewiątym członkiem.

5. Werbalna metoda ustalania kolejności

Przyjrzeliśmy się analitycznemu sposobowi określania ciągu liczbowego. Jest to wygodne, powszechne, ale nie jedyne.

Następną metodą jest zadanie polegające na sekwencji werbalnej.

Kolejność, każdy jej człon, możliwość obliczenia każdego z jego członów można określić słownie, niekoniecznie we wzorach.

Przykład 1. Ciąg liczb pierwszych.

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą liczbę. Liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 itd.

Jest ich niezliczona ilość. Euklides udowodnił również, że ciąg tych liczb jest nieskończony, to znaczy nie ma największej liczby pierwszej. Sekwencja jest podana, każdy wyraz można obliczyć, jest to żmudne, ale da się obliczyć. Sekwencja ta jest podawana ustnie. Niestety nie udało się znaleźć wzorów.

Przykład 2. Rozważmy liczbę =1,41421…

Jest to liczba niewymierna; jej zapis dziesiętny zapewnia nieskończoną liczbę cyfr. Rozważmy sekwencję dziesiętnych przybliżeń liczby według wady: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; itp.

Istnieje nieskończona liczba elementów tego ciągu, każdy z nich można obliczyć. Ciągu tego nie da się określić wzorem, dlatego opisujemy go słownie.

6. Rekurencyjna metoda określania sekwencji

Przyjrzeliśmy się dwóm sposobom określenia sekwencji liczb:

1. Metoda analityczna, gdy podany jest wzór na n-ty wyraz.

2. Zadanie polegające na sekwencji słownej.

I wreszcie istnieje przypisanie sekwencji rekurencyjnej, gdy określone są zasady obliczania n-tego wyrazu na podstawie poprzednich wyrazów.

Rozważmy

Przykład 1. Ciąg Fibonacciego (XIII wiek).

Informacje historyczne:

Leonardo z Pizy (ok. 1170 r., Piza – ok. 1250 r.) był pierwszym większym matematykiem średniowiecznej Europy. Najbardziej znany jest pod pseudonimem Fibonacci.

Znaczną część zdobytej wiedzy opisał w swojej znakomitej „Księdze liczydła” (Liber abaci, 1202; do dziś zachował się jedynie uzupełniony rękopis z 1228 r.). Książka ta zawiera prawie wszystkie ówczesne informacje arytmetyczne i algebraiczne, przedstawione z wyjątkową kompletnością i głębią. „Księga liczydła” wznosi się znacząco ponad europejską literaturę arytmetyczno-algebraiczną XII-XIV wieku. różnorodność i siła metod, bogactwo zadań, dowód prezentacji. Kolejni matematycy szeroko czerpali z niego zarówno problemy, jak i metody ich rozwiązywania. Na podstawie pierwszej książki wiele pokoleń europejskich matematyków studiowało matematykę indyjską. układ pozycyjny Rachunek.

Określono pierwsze dwa wyrazy, a każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ... to kilka pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego.

Sekwencja ta jest podawana cyklicznie, n-ty termin zależy od dwóch poprzednich.

Przykład 2.

W tym ciągu każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o 2. Ciąg ten nazywany jest postępem arytmetycznym.

Liczby 1, 3, 5, 7... to kilka pierwszych wyrazów tego ciągu.

Podajmy inny przykład przypisania sekwencji rekurencyjnej.

Przykład 3.

Kolejność jest podana w następujący sposób:

Każdy kolejny wyraz tego ciągu otrzymujemy poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez tę samą liczbę q. Sekwencja ta ma specjalną nazwę – postęp geometryczny. Postępy arytmetyczne i geometryczne będą przedmiotem naszych badań na kolejnych lekcjach.

Znajdźmy kilka wyrazów podanego ciągu dla b=2 i q=3.

Liczby 2; 6; 18; 54; 162 ... to kilka pierwszych wyrazów tego ciągu.

Co ciekawe, sekwencję tę można określić także analitycznie, czyli wybrać formułę. W takim przypadku formuła będzie następująca.

Rzeczywiście: jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3 to itp.

Zatem stwierdzamy: tę samą sekwencję można określić zarówno analitycznie, jak i rekurencyjnie.

7. Podsumowanie lekcji

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest sekwencja liczb i jak ją ustawić.

W następnej lekcji zapoznamy się z właściwościami ciągów liczbowych.

1. Makarychev Yu. N. i in. Algebra 9. klasa (podręcznik dla liceum) - M.: Edukacja, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra dla 9. klasy z poziomem zaawansowanym. wystudiowany Matematyka.-M.: Mnemosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Dodatkowe rozdziały do podręcznika do algebry dla 9. klasy - M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9 ( podręcznik szkoleniowy dla uczniów szkół i klas zaawansowanych. wystudiowany matematyka).-M.: Edukacja, 1996.

5. Mordkovich A.G. Algebra 9. klasa, podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. klasa, książka problemów dla instytucji edukacyjnych. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Klasy 7-8 (podręcznik nauczyciela). - M.: Edukacja, 1983.

1. Sekcja uniwersytecka. ru z matematyki.

2. Portal Nauk Przyrodniczych.

3. Wykładnia. ru Edukacyjna witryna matematyczna.

1. Nr 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. i in. Algebra 9. klasa).

2. Nr 12.4 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9).

Lekcja nr 32 ALGEBRA	Nauczycielka matematyki pierwszej kategorii Olga Viktorovna Gaun. Obwód wschodnio-kazachstański rejon Głubokowski KSU „Cheremshanskaya” szkoła średnia»
Temat: Sekwencja numerów i metody jej określania
Główne cele i zadania lekcji	Edukacyjny: Wyjaśnij uczniom znaczenie pojęć „ciąg”, „n-ty element ciągu”; przedstawić metody ustalania sekwencji. Rozwojowy I: rozwój umiejętności logicznego myślenia; rozwój umiejętności informatycznych; rozwój kultury mowy ustnej, rozwój komunikacji i współpracy.Edukacyjny : edukacja obserwacji, zaszczepianie miłości i zainteresowania tematem.
Oczekiwane efekty opanowania tematu	Podczas lekcji zdobędą nową wiedzę na temat ciągów liczbowych i sposobów ich przypisywania. Nauczą się znajdować właściwe rozwiązanie, tworzyć algorytm rozwiązania i wykorzystywać go przy rozwiązywaniu problemów. Dzięki badaniom odkryte zostaną niektóre z ich właściwości. Wszystkim pracom towarzyszą slajdy. Zastosowanie technologii ICT umożliwi ożywioną lekcję, wykonanie dużej ilości pracy, a dzieci to zrobią szczere zainteresowanie i percepcja emocjonalna. Zdolni uczniowie przedstawią prezentację na temat liczb Fibonacciego i złotego podziału. Uniwersalna działalność edukacyjna, której celem jest formacja proces edukacyjny: umiejętność pracy w parach, rozwijania logiczne myślenie, umiejętność analizowania, badania, wyciągania wniosków, obrony własnego punktu widzenia. Uczą umiejętności komunikacji i współpracy. Wykorzystanie tych technologii przyczynia się do rozwoju uczniów metody uniwersalne aktywność, doświadczenie twórcze, kompetencje, umiejętności komunikacyjne.
Kluczowe pomysły na lekcje	Nowe podejście do nauczania i uczenia się Trening dialogu Uczyć się, jak się uczyć Nauczanie krytycznego myślenia Edukacja dzieci zdolnych i uzdolnionych
Typ lekcji	Uczenie się nowy temat
Metody nauczania	Wizualny (prezentacja), werbalny (rozmowa, wyjaśnienie, dialog), praktyczny.
Formy organizacji działalność edukacyjna uczenie się	czołowy; łaźnia parowa; indywidualny.

POSTĘP LEKCJI

Moment organizacyjny

(Powitanie uczniów, identyfikacja nieobecnych, sprawdzenie gotowości uczniów do lekcji, zorganizowanie uwagi).

Motywacja do lekcji.

„Światem rządzą liczby” – twierdzą starożytni greccy naukowcy. „Wszystko jest liczbą”. Według nich filozoficzny światopogląd Liczby kontrolują nie tylko miarę i wagę, ale także zjawiska zachodzące w przyrodzie i są kwintesencją harmonii panującej na świecie. Dziś na zajęciach będziemy kontynuować pracę z liczbami.

Wprowadzenie w temat, nauka nowego materiału.

Przetestujmy Twoje zdolności logiczne. Wymienię kilka słów, a ty musisz kontynuować:

–poniedziałek, wtorek,…..

– styczeń, luty, marzec...;

– Aliev, Gordeeva, Gribacheva... (lista klas);

–10,11,12,…99;

Wniosek: Są to sekwencje, to znaczy uporządkowane serie liczb lub pojęć, w których każda liczba lub pojęcie jest ściśle na swoim miejscu. Zatem tematem lekcji jest konsekwencja.

Dzisiaj to zrobimyomówić rodzaje i składniki ciągów liczbowych, a także sposoby ich przypisywania.Ciągi będziemy oznaczać następująco: (аn), (bn), (сn) itd.

A teraz proponuję ci pierwsze zadanie: przed tobą kilka ciągów liczbowych i słowny opis tych ciągów. Musisz znaleźć wzór każdego rzędu i skorelować go z opisem. (pokaż strzałką)(Wzajemna kontrola)

Rozważane przez nas serie są przykładamiciągi liczbowe .

Elementy tworzące ciąg nazywane sączłonkowie ciągu Inazywane są odpowiednio pierwszym, drugim, trzecim,...N- elementy numeryczne ciągu. Członkowie sekwencji są oznaczeni w następujący sposób:A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; … A N ; Gdzie N - numer , pod którym w ciągu znajduje się dana liczba.
Na ekranie nagrywane są następujące sekwencje:
( Korzystając z wymienionych ciągów, opracowano postać zapisu elementu ciągu a N oraz pojęcia poprzednich i kolejnych terminów ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Imię A 1 dla każdej sekwencji oraz 3 itp. Czy mógłbyś kontynuować każdy z tych wierszy? Co musisz w tym celu wiedzieć?

Przyjrzyjmy się kilku innym pojęciom, takim jakkolejne i poprzednie .

(na przykład dla A 5…, i dla N ?) - nagranie na slajdzieA N +1, A N -1

Rodzaje sekwencji
( Wykorzystując wymienione powyżej sekwencje rozwijana jest umiejętność identyfikacji typów sekwencji. )
1) Rosnący - jeśli każdy wyraz jest mniejszy od następnego, tj.A N < A N +1.
2) Malejący – jeżeli każdy wyraz jest większy od następnego, tj.A N > A N +1 .
3) Nieskończony
4) Ostateczny
5) Naprzemiennie
6) Stała (stacjonarna)

Spróbuj zdefiniowaćkażdego gatunku i scharakteryzować każdą z proponowanych sekwencji.

Zadania ustne

Imię w kolejności 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) terminy a 1 ; A 4 ; A 10 ; A N ;

Czy ciąg liczb czterocyfrowych jest skończony? (Tak)

Wymień jego pierwszych i ostatnich członków. (Odpowiedź: 1000; 9999)

Czy sekwencja zapisywania liczb to 2; 4; 7; 1; -21; -15; ...? (nie, ponieważ nie da się wykryć żadnego wzorca z pierwszych sześciu wyrazów)

Fizyczna pauza (również związane z tematem dzisiejszej lekcji: gwiaździste niebo, planety Układu Słonecznego... jaki jest związek?)

Metody określania sekwencji
1) werbalne – ustalenie kolejności poprzez opis;
2) analityczne - formułaN -ty członek;
3) graficzny – za pomocą wykresu;
4) powtarzający się - dowolny element ciągu, zaczynając od pewnego punktu, wyraża się w kategoriach poprzednich
Dzisiaj na lekcji przyjrzymy się dwóm pierwszym metodom. Więc,słowny sposób. Może ktoś z Was spróbuje ustalić jakąś sekwencję?

(Na przykład:Utwórz ciąg nieparzystych liczb naturalnych . Opisz tę sekwencję: rosnąca, nieskończona)
Analityczny metoda: korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

Ogólny wzór na termin pozwala obliczyć wyraz ciągu o dowolnej podanej liczbie. Na przykład, jeśli x N =3n+2, zatem

X 1 =3*1+2=5;

X 2 =3*2+2=8

X 5 =3 . 5+2=17;

X 45 =3 . 45+2=137 itd. Jaka jest zatem zaletaanalityczny dużo wcześniejsłowny ?

I proponuję wam następujące zadanie: podane są wzory na określenie niektórych ciągów i same ciągi utworzone według tych wzorów. W tych sekwencjach brakuje niektórych terminów. Twoje zadaniepracując w parach , uzupełnij puste pola.

Autotest (poprawna odpowiedź pojawi się na slajdzie)

Wydajność kreatywny projekt„Liczby Fibonacciego” (zadanie z wyprzedzeniem )

Dziś zapoznamy się ze słynną sekwencją:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Slajd) Każda liczba, począwszy od trzeciej, jest równa sumie dwóch poprzednich. Ta seria liczb naturalnych, która ma swoją historyczną nazwę - ciąg Fibonacciego, ma swoją logikę i piękno. Leonardo Fibonacci (1180-1240). Wybitny włoski matematyk, autor Księgi liczydła. Książka ta przez kilka stuleci pozostawała głównym źródłem informacji o arytmetyce i algebrze. To dzięki dziełom L. Fibonacciego opanowała je cała Europa Cyfry arabskie, system liczenia, a także praktyczna geometria. Podręcznikami stacjonarnymi pozostawały niemal do epoki Kartezjusza (a to już XVII wiek!).

Oglądanie filmu.

Prawdopodobnie nie do końca rozumiesz, jaki jest związek pomiędzy spiralą a ciągiem Fibonacciego. Więc pokażę ci, jak to się skończy .

Jeśli zbudujemy dwa kwadraty obok siebie o boku 1, to na większym boku równym 2 drugiemu, następnie na większym boku równym 3 kolejny kwadrat w nieskończoność... Następnie w każdym kwadracie, zaczynając od mniejszego, zbuduj ćwierć łuku, otrzymamy spiralę, o której mowa w filmie.

W rzeczywistości praktyczne zastosowanie wiedzy zdobytej na tej lekcji w prawdziwe życie wystarczająco duży. Przed Tobą kilka zadań z różnych dziedzin nauki.

(Praca indywidualna)

Zadanie 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Zadanie 2.

(Odpowiedzi uczniów są zapisane na tablicy: 500, 530, 560, 590, 620).

Zadanie 3.

Zadanie 4. Każdego dnia każda osoba chora na grypę może zarazić 4 osoby w swoim otoczeniu. Za ile dni wszyscy uczniowie naszej szkoły (300 osób) zachorują? (Po 4 dniach).

Problem 5 . Ile bakterii cholery drobiowej pojawi się w ciągu 10 godzin, jeśli jedna bakteria dzieli się na pół co godzinę?
Problem 6 . Dobrze kąpiele powietrzne pierwszego dnia zacznij od 15 minut i każdego kolejnego dnia wydłużaj czas tej procedury o 10 minut. Ile dni należy wziąć kąpiele powietrzne w określonym trybie, aby osiągnąć maksymalny czas trwania 1 godziny 45 minut? ( 10)

Problem 7 . Na swobodny spadek w pierwszej sekundzie ciało pokonuje 4,8 m, a w każdej kolejnej sekundzie o 9,8 m więcej. Znajdź głębokość szybu, jeśli swobodnie spadające ciało osiągnie dno po 5 sekundach od rozpoczęcia spadania.

Problem 8 . Obywatel K. pozostawił testament. W pierwszym miesiącu wydał 1000 dolarów, a w każdym kolejnym miesiącu wydawał o 500 dolarów więcej. Ile pieniędzy zapisano obywatelowi K., jeśli wystarczą one na 1 rok wygodnego życia? (45000)

Przestudiowanie poniższych tematów w tym rozdziale „Postępu” pozwoli nam szybko i bez błędów rozwiązać takie problemy.

Praca domowa: strona 66 nr 151, 156, 157

Twórcze zadanie: wiadomość o trójkącie Pascala

Podsumowując. Odbicie. (ocena „przyrostu” wiedzy i osiągnięcia celów)

Jaki był cel dzisiejszej lekcji?

Czy cel został osiągnięty?

Kontynuuj wypowiedź

nie wiedziałem...

Teraz wiem...

Zagadnienia praktycznego zastosowania własności ciągów (postępów)

Zadanie 1. Kontynuuj sekwencję liczb:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Zadanie 2. W magazynie znajduje się 500 ton węgla, codziennie dostarczanych jest 30 ton. Ile węgla będzie w magazynie w ciągu 1 dnia? Dzień 2? Dzień 3? Dzień 4? Dzień 5?

Zadanie 3. Samochód poruszający się z prędkością 1 m/s w każdej kolejnej sekundzie zmieniał prędkość o 0,6 m/s. Jaką prędkość będzie miał po 10 sekundach?

Problem 4 . Każdego dnia każda osoba chora na grypę może zarazić 4 osoby w swoim otoczeniu. Za ile dni wszyscy uczniowie naszej szkoły (300 osób) zachorują?

Zadanie 5. Ile bakterii cholery drobiowej pojawi się w ciągu 10 godzin, jeśli jedna bakteria dzieli się na pół co godzinę?

Zadanie 6. Przebieg kąpieli powietrznych rozpoczyna się pierwszego dnia od 15 minut i wydłuża czas tej procedury każdego kolejnego dnia o 10 minut. Ile dni należy brać kąpiele powietrzne we wskazanym trybie, aby osiągnąć ich maksymalny czas trwania 1 godzina 45 minut?

Zadanie 7. Podczas swobodnego spadania ciało w pierwszej sekundzie przemieszcza się o 4,8 m, a w każdej kolejnej sekundzie o 9,8 m więcej. Znajdź głębokość szybu, jeśli swobodnie spadające ciało osiągnie dno po 5 sekundach od rozpoczęcia spadania.

Zadanie 8. Obywatel K. pozostawił testament. W pierwszym miesiącu wydał 1000 dolarów, a w każdym kolejnym miesiącu wydawał o 500 dolarów więcej. Ile pieniędzy zapisano obywatelowi K., jeśli wystarczą one na 1 rok wygodnego życia?

Na przykład dla funkcji y= N 2 można zapisać:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metody określania sekwencji. Sekwencje można określać na różne sposoby, spośród których szczególnie istotne są trzy: analityczna, opisowa i rekurencyjna.

1. Ciąg podaje się analitycznie, jeśli podany jest jego wzór N członek:

y n=F(N).

Przykład. y n= 2N - 1 – ciąg liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Opisowy Sposobem określenia ciągu liczbowego jest wyjaśnienie, z jakich elementów jest on zbudowany.

Przykład 1. „Wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.” Oznacza to, że mówimy o stacjonarnym ciągu 1, 1, 1, …, 1, ….

Przykład 2: „Sekwencja składa się ze wszystkich liczb pierwszych w kolejności rosnącej.” Zatem podany ciąg to 2, 3, 5, 7, 11, …. Przy tej metodzie określania sekwencji w tym przykładzie trudno odpowiedzieć, czemu równa się, powiedzmy, tysięczny element ciągu.

Przykład 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jeśli N = 2, 3, 4,….

Tutaj y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Jak widać, sekwencję uzyskaną w tym przykładzie można również określić analitycznie: y n= 4N - 1.

Przykład 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 jeśli N = 3, 4,….

Tutaj: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Na pierwszy rzut oka formuła N Liczba Fibonacciego wydaje się mało prawdopodobna, ponieważ wzór określający ciąg liczb naturalnych zawiera tylko pierwiastki kwadratowe, ale można sprawdzić „ręcznie” poprawność tego wzoru dla pierwszych kilku N.

Własności ciągów liczbowych.

Ciąg liczbowy jest szczególnym przypadkiem funkcji numerycznej, dlatego w przypadku ciągów uwzględnia się również szereg właściwości funkcji.

Definicja . Podciąg ( y n} nazywa się rosnącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest większy od poprzedniego:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definicja.Sekwencja ( y n} nazywa się malejącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Ciągi rosnące i malejące łączy się w ramach wspólnego terminu - ciągi monotoniczne.

Przykład 1. y 1 = 1; y n= N 2 – ciąg rosnący.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość ciągu arytmetycznego). Ciąg liczb jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w przypadku ciągu skończonego), jest równy średniej arytmetycznej elementów poprzedzających i kolejnych.

Przykład. Przy jakiej wartości X numery 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 tworzą skończony postęp arytmetyczny?

Zgodnie z właściwością charakterystyczną podane wyrażenia muszą spełniać relację

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Rozwiązanie tego równania daje X= –5,5. Przy tej wartości X dane wyrażenia 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 przyjmują odpowiednio wartości –14,5, –31,5, –48,5. Jest to postęp arytmetyczny, jego różnica wynosi –17.

Postęp geometryczny.

Zatem postęp geometryczny jest ciągiem liczbowym ( b n), zdefiniowane rekurencyjnie przez relacje

B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B I Q - podane liczby, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Przykład 1. 2, 6, 18, 54, ... – rosnący postęp geometryczny B = 2, Q = 3.

Przykład 2. 2, –2, 2, –2, … – postęp geometryczny B= 2,Q= –1.

Przykład 3. 8, 8, 8, 8, … – postęp geometryczny B= 8, Q= 1.

Postęp geometryczny jest ciągiem rosnącym jeśli B 1 > 0, Q> 1 i malejące jeśli B 1 > 0, 0 q

Jedną z oczywistych właściwości postępu geometrycznego jest to, że jeśli ciąg jest postępem geometrycznym, to także jest nim ciąg kwadratów, tj.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... jest postępem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy B 1 2 , a mianownikiem jest Q 2 .

Formuła N- V wyraz ciągu geometrycznego ma postać

b n= B 1 qn– 1 .

Można otrzymać wzór na sumę wyrazów skończonego postępu geometrycznego.

Niech będzie dany skończony postęp geometryczny

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n

pozwalać Sn – suma jej członków, tj.

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n.

Przyjmuje się, że Q Nr 1. Do ustalenia S n stosuje się sztuczną technikę: przeprowadza się pewne geometryczne przekształcenia wyrażenia S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Zatem, S n q= S n +b n q – b 1 i dlatego

To jest formuła z niezwykłe terminy postępu geometrycznego w przypadku gdy Q≠ 1.

Na Q= 1 wzoru nie trzeba wyprowadzać osobno; jest oczywiste, że w tym przypadku S n= A 1 N.

Postęp nazywa się geometrycznym, ponieważ każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest równy średniej geometrycznej wyrazów poprzednich i kolejnych. Rzeczywiście, od

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

stąd, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość postępu geometrycznego):

ciąg liczb jest postępem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego z jego wyrazów, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w przypadku ciągu skończonego), jest równy iloczynowi poprzednich i kolejnych wyrazów.

Granica spójności.

W przeciwnym razie ciąg nazywa się rozbieżnym.

Czy coś takiego istnieje? N to dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /N ? Jeśli przyjmiemy to jako N dowolna liczba naturalna większa niż 1/ε , wtedy dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /n ≤ 1/N ε , co było do okazania

Twierdzenie 1. Jeśli ciąg ma granicę, to jest ograniczony.

Twierdzenie 2. Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to ma granicę.

Twierdzenie 3. Jeśli sekwencja ( jakiś} ma granicę A, to sekwencje ( Móc}, {jakiś+c) i (| jakiś|} mieć granice ok, A +C, |A| odpowiednio (tutaj C– liczba dowolna).

Twierdzenie 4. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B patelnia + qbn) ma granicę rocznie+ qB.

Twierdzenie 5. Jeżeli ciągi ( jakiś) I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, to sekwencja ( an b n) ma granicę AB.

Twierdzenie 6. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, a ponadto b n ≠ 0 i B≠ 0, to sekwencja ( a n / b n) ma granicę A/B.

Anna Czugainowa

Być może zainteresują Cię poniższe materiały