Co to są zmienne? Wielkość zmienna w matematyce. Zmienne i stałe

Zmienne i stałe

ilości, jakie w badanym pytaniu przyjmują różne znaczenia lub odpowiednio zachować tę samą wartość. Na przykład, badając upadek ciała, odległość ciała od podłoża i prędkość upadku są wielkościami zmiennymi, natomiast przyspieszenie (jeśli pominiemy opór powietrza) jest wielkością stałą. W matematyce elementarnej wszystkie badane wielkości uważano za stałe. Pojęcie wielkości zmiennej pojawiło się w matematyce w XVII wieku. pod wpływem wymagań nauk przyrodniczych, które na pierwszy plan wysunęły badania ruchu – procesów, a nie tylko stanów. Pojęcie to nie mieściło się w formach wypracowanych przez matematykę starożytności i średniowiecza i wymagało nowych form dla swego wyrazu. Takimi nowymi formami były algebra literowa i geometria analityczna R. Descartesa. W literach algebry kartezjańskiej, które mogą przyjmować dowolne wartości liczbowe, zmienne znalazły swój symboliczny wyraz. „Punktem zwrotnym w matematyce była zmienna kartezjańska. Dzięki temu do matematyki wkroczył ruch, a co za tym idzie dialektyka, dzięki czemu od razu konieczny stał się rachunek różniczkowy i całkowy…” (F. Engels, zob. K. Marx i F. Engels, Soch., wyd. 2, t. 2). 20, s. 573). W tym okresie aż do połowy XIX w. Dominują mechaniczne poglądy na zmienne. Najdobitniej wyraził je I. Newton, który nazwał wielkości zmienne „płynnymi”, czyli prądami, i uznał je za „...nie takie składające się z bardzo małych części, ale takie, które opisuje ruch ciągły” („Mathematical Works, ” M., 1937, s. 167). Poglądy te okazały się bardzo owocne i w szczególności pozwoliły Newtonowi przyjąć zupełnie nowe podejście do wyznaczania obszarów figur krzywoliniowych. Newton jako pierwszy wziął pod uwagę obszar zakrzywionego trapezu ( ABNM NA ryż. ) nie jako wielkość stała (obliczona przez zsumowanie jej nieskończenie małych części), ale jako wielkość zmienna powstająca w wyniku przesunięcia rzędnej krzywej ( N.M.); po ustaleniu, że tempo zmian rozpatrywanego obszaru jest proporcjonalne do rzędnej N.M. w ten sposób sprowadził problem obliczania powierzchni do problemu wyznaczania zmiennej wielkości na podstawie znanego tempa jej zmian. , Legalność wprowadzenia pojęcia prędkości do matematyki została uzasadniona już na początku XIX wieku. Teoria granic kto dał precyzyjna definicja prędkość jako pochodna (patrz Pochodna). Jednak w XIX w. Stopniowo stają się jasne ograniczenia opisanego powyżej poglądu na wielkości zmienne. Analiza matematyczna staje się coraz bardziej popularna ogólna teoria funkcje, bez których rozwój nie jest możliwy dokładna analiza

istotę i zakres jej podstawowych pojęć. Okazuje się, że koncepcja funkcji ciągłej jest w rzeczywistości znacznie bardziej złożona niż koncepcje wizualne, które do niej doprowadziły. Odkryto funkcje ciągłe, które w żadnym punkcie nie mają pochodnej; zrozumieć taką funkcję jako wynik ruchu, oznaczałoby przyjąć ruch, który w żadnym momencie nie ma prędkości. Coraz większego znaczenia nabiera badanie funkcji nieciągłych, a także funkcji zdefiniowanych na zbiorach o znacznie bardziej złożonej strukturze niż przedział lub suma kilku przedziałów. Interpretacja zmiennej Newtona staje się niewystarczająca i w wielu przypadkach bezużyteczna.

Z drugiej strony matematyka zaczyna uważać za zmienne nie tylko ilości, ale także coraz bardziej różnorodne i szerokie klasy innych swoich obiektów. Na tej podstawie w 2. połowie XIX w. i w XX wieku. rozwija się teoria mnogości, topologia i logika matematyczna. O tym, jak bardzo rozwinął się w XX wieku. o koncepcji wielkości zmiennej świadczy fakt, że w logice matematycznej brane są pod uwagę nie tylko zmienne przechodzące przez dowolne zbiory obiektów, ale także zmienne, których wartościami są stwierdzenia, predykaty (relacje między obiektami) itp. (patrz Zmienna). Wielka encyklopedia radziecka. - M.: . 1969-1978 .

Encyklopedia radziecka

Zobacz, jakie „Zmienne i stałe” znajdują się w innych słownikach: W matematyce ilości, które przyjmują różne wartości lub zachowują tę samą wartość w badanym pytaniu. Różnica między wielkością zmienną a stałą jest względna: ilość stała w jakiejś materii może być zmienna w... Duży

Słownik encyklopedyczny - (matematyka), wielkości, które w badanej materii przyjmują różne wartości lub zachowują tę samą wartość. Różnica między wielkością zmienną a stałą jest względna: ilość stała w jakiejś materii może być zmienna w... ...

Zobacz Stała, zmienna. Encyklopedia filozoficzna . W 5 tomach M .: Encyklopedia radziecka. Pod redakcją F.V. Konstantinowa. 1960 1970… Encyklopedia filozoficzna

- (matematyczne), wielkości, które w badanym przedmiocie przyjmują różne. wartości lub zachować tę samą wartość. Różnica między wielkością zmienną a stałą jest względna: wielkość stała pod jednym względem może być zmienna pod innym względem... Nauki przyrodnicze. Słownik encyklopedyczny

I Gwiazdy zmienne P. z. gwiazdy, których jasność pozorna się zmienia. Wiele P. z. są gwiazdami niestacjonarnymi; Zmienność jasności takich gwiazd wiąże się ze zmianami ich temperatury i promienia, wypływem materii,... ... Wielka encyklopedia radziecka

Zobacz Zmienne i stałe, Stała. * * * ILOŚĆ STAŁA ILOŚĆ STAŁA, patrz Ilości zmienne i stałe (patrz ZMIENNE I ILOŚCI STAŁE), Stała (patrz STAŁA) ... - (matematyka), wielkości, które w badanej materii przyjmują różne wartości lub zachowują tę samą wartość. Różnica między wielkością zmienną a stałą jest względna: ilość stała w jakiejś materii może być zmienna w... ...

ZMIENNE I STAŁE

W wyniku pomiaru wielkości fizyczne(czas, powierzchnia, objętość, masa, prędkość itp.) określane są ich wartości liczbowe. Matematyka zajmuje się wielkościami, abstrahując od ich specyficznej treści. W dalszej części, mówiąc o ilościach, będziemy mieli na myśli ich wartości liczbowe. W różnych zjawiskach niektóre wielkości się zmieniają, inne zachowują swoją wartość liczbową. Na przykład, gdy punkt porusza się równomiernie, czas i odległość zmieniają się, ale prędkość pozostaje stała.

Zmienna wartość jest wielkością, która przyjmuje różne wartości liczbowe. Nazywa się wielkość, której wartości liczbowe się nie zmieniają stały. Ilości zmienne będą oznaczone literami x, y, z,…, stała – a, b, c,…

Należy pamiętać, że w matematyce wartość stała jest często uważana za szczególny przypadek zmiennej, w której wszystkie wartości liczbowe są takie same.

Zmień obszar Zmienna to zbiór wszystkich akceptowanych przez nią wartości liczbowych. Obszar zmian może składać się z jednego lub większej liczby przedziałów lub jednego punktu.

ZAMÓWIONA ZMIENNA ILOŚĆ. SEKWENCJA NUMERYCZNA

Powiemy, że zmienna X Jest uporządkowana zmienna, jeśli znany jest obszar jego zmiany i dla każdej z dowolnych dwóch jego wartości można powiedzieć, która jest poprzednia, a która następna.

Szczególnym przypadkiem zamówionej ilości zmiennej jest ilość zmienna, której wartości tworzą się sekwencja liczb x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Dla takich wartości przy I< j, i, j Î N , oznaczający x ja uważa się za wcześniejsze, oraz x j– kolejne niezależnie od tego, która z tych wartości jest większa. Zatem ciąg liczb jest zmienną, której kolejne wartości można przenumerować. Będziemy oznaczać ciąg liczbowy przez . Poszczególne liczby w sekwencji nazywane są jego elementy.

Na przykład ciąg liczbowy tworzą następujące wielkości:

FUNKCJONOWAĆ

Badając różne zjawiska naturalne i rozwiązując problemy techniczne, a co za tym idzie, w matematyce, należy uwzględnić zmianę jednej wielkości w zależności od zmiany drugiej. Na przykład wiadomo, że obszar koła wyraża się w promieniu za pomocą wzoru S = πr 2. Jeśli promień R przyjmuje różne wartości liczbowe, a następnie pole S przyjmuje również różne wartości liczbowe, tj. zmiana jednej zmiennej powoduje zmianę drugiej.

Jeśli każda zmienna ma wartość X przynależność do pewnego obszaru odpowiada jednej określonej wartości innej zmiennej y, To y zwany funkcja zmiennej x. Będziemy pisać symbolicznie y=f(x). W tym przypadku zmienna X zwany zmienna niezależna Lub argument.

Nagrywać y=C, Gdzie C– stała, oznacza funkcję, której wartość jest dowolna X jeden i ten sam i równy C.

Wiele znaczeń X, dla którego można wyznaczyć wartości funkcji y zgodnie z regułą k(x), zwany dziedzina funkcji.

Następnie pozbądź się go, podnosząc obie strony tożsamości do , równego wykładnikowi pierwiastka. Dla powyższego przykładu czynność tę należy wyrazić poprzez przekształcenie do postaci: 36*Y² = X. Czasami wygodniej jest wykonać operację tego kroku przed akcją z kroku poprzedniego.

Przekształć wyrażenie tak, aby wszystkie terminy tożsamości zawierające pożądane zmienny, znalazło się po lewej stronie równości. Na przykład, jeśli formuła ma postać 36*Y-X*Y+5=X i interesuje Cię zmienna X, wystarczy zamienić lewą i prawą połowę tożsamości. A jeśli trzeba wyrazić Y, to formuła w wyniku tej akcji powinna przyjąć postać 36*Y-X*Y=X-5.

Uprość wyrażenie po lewej stronie formuły tak, że żądana zmienna staje się jedną z . Na przykład dla formuły z poprzedniego kroku można to zrobić w następujący sposób: Y*(36-X)=X-5.

Podziel wyrażenia za pomocą obu znaków równości przez współczynniki interesującej Cię zmiennej. W rezultacie tylko ta zmienna powinna pozostać po lewej stronie tożsamości. Ten użyty powyżej będzie wyglądał tak po tym kroku: Y = (X-5)/(36-X).

Jeśli żądana zmienna w wyniku wszystkich przekształceń zostanie podniesiona do jakiej potęgi, pozbądź się stopnia, wyodrębniając pierwiastek z obu części formuły. Przykładowo wzór z drugiego kroku do tego etapu transformacji powinien przyjąć postać Y²=X/36. A jego ostateczna postać powinna wyglądać następująco: Y=√X/6.

Zmienne

Głównym wskaźnikiem zmiennej jest to, że jest ona zapisana literą. Pod symbol najczęściej kryje się za tym pewne znaczenie. Zmienna ma swoją nazwę, ponieważ jej wartość zmienia się w zależności od równania. Z reguły dowolne może być użyte jako oznaczenie takiego elementu. Na przykład, jeśli wiesz, że masz 5 rubli i chcesz kupić jabłka, które kosztują 35 kopiejek, skończona liczba jabłek, które możesz kupić, wynosi (na przykład „C”).

Przykład użycia

Jeśli istnieje zmienna, która została wybrana według własnego uznania, należy utworzyć równanie algebraiczne. Połączy znane i nieznane wielkości, a także pokaże związek między nimi. To wyrażenie będzie zawierać liczby, zmienne i jedną operację algebraiczną. Należy pamiętać, że wyrażenie będzie zawierać znak równości.

Pełne równanie zawiera wartość wyrażenia jako całości. Jest on oddzielony od reszty równania znakiem równości. W poprzednim przykładzie dotyczącym jabłek wyrażeniem jest 0,35 lub 35 kopiejek pomnożone przez „C”. Aby stworzyć pełne równanie, musisz zapisać następujące informacje:

Wyrażenia jednomianowe

Istnieją dwie główne klasyfikacje wyrażeń: jednomiany. Jednomiany są zmienną jednostkową, liczbą lub iloczynem zmiennej i liczby. Ponadto wyrażenie kilku zmiennych lub wyrażeń z wykładnikami jest również jednomianem. Na przykład liczba 7, zmienna x i iloczyn 7*x są jednomianami. Wyrażenia z wykładnikami, w tym x^2 lub 3x^2y^3, są również jednomianami.

Wielomiany

Wielomiany to wyrażenia, które obejmują kombinację dodawania lub odejmowania dwóch lub więcej. Do wielomianu można włączyć dowolny typ jednomianu, w tym liczby, pojedyncze zmienne lub wyrażenia zawierające liczby i niewiadome. Na przykład wyrażenie x+7 jest wielomianem, który jest dodawany przez jednomian x i jednomian 7. 3x^2 jest także wielomianem. 10x+3xy-2y^2 to wielomian łączący trzy jednomiany za pomocą dodawania i odejmowania.

Zmienne zależne i niezależne

Zmienne niezależne to niewiadome określające pozostałe części równania. Występują samodzielnie w wyrażeniach i nie zmieniają się wraz z innymi zmiennymi.

Wartości zmiennych zależnych określa się za pomocą zmiennych niezależnych. Ich wartości często ustala się empirycznie.

ZMIENNE I STAŁE

W wyniku pomiaru wielkości fizycznych (czasu, powierzchni, objętości, masy, prędkości itp.) wyznaczane są ich wartości liczbowe. Matematyka zajmuje się wielkościami, abstrahując od ich specyficznej treści. W dalszej części, mówiąc o ilościach, będziemy mieli na myśli ich wartości liczbowe. W różnych zjawiskach niektóre wielkości się zmieniają, inne zachowują swoją wartość liczbową. Na przykład, gdy punkt porusza się równomiernie, czas i odległość zmieniają się, ale prędkość pozostaje stała.

Zmienna wartość jest wielkością, która przyjmuje różne wartości liczbowe. Nazywa się wielkość, której wartości liczbowe się nie zmieniają stały. Ilości zmienne będą oznaczone literami x, y, z,…, stała – a, b, c,…

Należy pamiętać, że w matematyce wartość stała jest często uważana za szczególny przypadek zmiennej, w której wszystkie wartości liczbowe są takie same.

Zmień obszar Zmienna to zbiór wszystkich akceptowanych przez nią wartości liczbowych. Obszar zmian może składać się z jednego lub większej liczby przedziałów lub jednego punktu.

ZAMÓWIONA ZMIENNA ILOŚĆ. SEKWENCJA NUMERYCZNA

X Jest uporządkowana zmienna, jeśli znany jest obszar jego zmiany i dla każdej z dowolnych dwóch jego wartości można powiedzieć, która jest poprzednia, a która następna.

Szczególnym przypadkiem zamówionej ilości zmiennej jest ilość zmienna, której wartości tworzą się sekwencja liczb X 1 ,X 2 ,…,X N ,… Dla takich wartości przy I< j, i, j  N, oznaczający X I uważa się za wcześniejsze, oraz X J– kolejne niezależnie od tego, która z tych wartości jest większa. Zatem ciąg liczb jest zmienną, której kolejne wartości można przenumerować. Będziemy oznaczać ciąg liczbowy przez . Poszczególne liczby w sekwencji nazywane są jego elementy.

Na przykład ciąg liczbowy tworzą następujące wielkości:

FUNKCJONOWAĆ

Badając różne zjawiska naturalne i rozwiązując problemy techniczne, a co za tym idzie, w matematyce, należy uwzględnić zmianę jednej wielkości w zależności od zmiany drugiej. Na przykład wiadomo, że obszar koła wyraża się w promieniu za pomocą wzoru S = πr 2 . Jeśli promień R przyjmuje różne wartości liczbowe, a następnie pole S przyjmuje również różne wartości liczbowe, tj. zmiana jednej zmiennej powoduje zmianę drugiej.

Jeśli każda zmienna ma wartość X przynależność do pewnego obszaru odpowiada jednej określonej wartości innej zmiennej y, To y zwany funkcja zmiennej x. Będziemy pisać symbolicznie y=f(x). W tym przypadku zmienna X zwany zmienna niezależna Lub argument.

Nagrywać y=C, Gdzie C– stała, oznacza funkcję, której wartość jest dowolna X jeden i ten sam i równy C.

Wiele znaczeń X, dla którego można wyznaczyć wartości funkcji y zgodnie z regułą k(x), zwany dziedzina funkcji.

Należy zauważyć, że ciąg liczbowy jest także funkcją, której dziedzina definicji pokrywa się ze zbiorem liczb naturalnych.

Do podstawowych funkcji elementarnych zaliczają się wszystkie funkcje poznane na szkolnym kursie matematyki:

Funkcja elementarna to funkcja, którą można określić za pomocą podstawowych funkcji elementarnych i stałych, wykorzystując skończoną liczbę operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i przyjmowania funkcji.

POJĘCIE GRANICY CIĄGU NUMERYCZNEGO

W dalszym toku matematyki pojęcie granicy będzie odgrywać zasadniczą rolę, ponieważ są z nią bezpośrednio powiązane podstawowe pojęcia analizy matematycznej - pochodna, całka itp.

Zacznijmy od pojęcia limitu sekwencja liczb.

Numer A zwany limit sekwencje X = {X N), jeśli dla dowolnej, określonej z góry, dowolnie małej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba naturalna Nże na oczach wszystkich n>N nierówność |x n - a|< ε.

Jeśli numer A istnieje ograniczenie sekwencji X = {X N), to tak mówią X N dąży do A i napisz.

Aby sformułować tę definicję w kategoriach geometrycznych, wprowadzamy następującą koncepcję.

Sąsiedztwo punktu x 0 nazywa się dowolnym przedziałem ( a, b), zawierający ten punkt w sobie. Często bierze się pod uwagę sąsiedztwo punktu X 0 , dla którego X 0 jest zatem środkiem X 0 zwany centrum sąsiedztwo i wartość ( B–A)/2 – promień sąsiedztwo.

Dowiedzmy się zatem, co geometrycznie oznacza pojęcie granicy ciągu liczbowego. W tym celu zapisujemy w formularzu ostatnią nierówność z definicji

Nierówność ta oznacza, że ​​wszystkie elementy ciągu mają liczby n>N musi leżeć w przedziale (a – ε; a + ε).

Dlatego stała liczba A istnieje ograniczenie sekwencji liczb ( X N), jeśli dla dowolnego małego sąsiedztwa skupionego w punkcie A promień ε (ε jest otoczeniem punktu A) istnieje taki element ciągu z liczbą N aby wszystkie kolejne elementy były ponumerowane n>N będą zlokalizowane w tej okolicy.

Przykłady.

Niech zmienna X przyjmuje wartości sekwencyjnie

Udowodnijmy, że granica tego ciągu liczbowego jest równa 1. Weźmy dowolną liczbę dodatnią ε. Musimy znaleźć taką liczbę naturalną Nże na oczach wszystkich n>N nierówność zachodzi | X N - 1| < ε. Действительно, т.к.

,

następnie spełnić relację |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N dowolna liczba naturalna spełniająca nierówność, otrzymujemy to, czego potrzebujemy. Jeśli więc weźmiemy na przykład umieszczenie N= 6, dla każdego N> 6 będziemy mieli .

Weź dowolne ε > 0. Rozważ

Następnie, jeśli lub, tj. . Wybieramy zatem dowolną liczbę naturalną, która spełnia nierówność.

Poczynimy kilka komentarzy.

Uwaga 1. Oczywiście, jeśli wszystkie elementy ciągu liczbowego przyjmują tę samą stałą wartość X N = ok, to granica tego ciągu będzie równa najbardziej stałej. Rzeczywiście, dla dowolnego ε nierówność | X N -C| = |c - c| = 0 < ε.

Uwaga 2. Z definicji granicy wynika, że ​​ciąg nie może mieć dwóch granic. Rzeczywiście, załóżmy, że X N → A i jednocześnie X N → B. Weź dowolny i zaznacz sąsiedztwo punktów A I B promień ε (patrz rysunek). Wtedy z definicji granicy wszystkie elementy ciągu, zaczynając od pewnego punktu, muszą znajdować się w sąsiedztwie punktu A i w pobliżu punktu B, co jest niemożliwe.

Uwaga 3. Nie powinieneś myśleć, że każda sekwencja liczb ma granicę. Niech na przykład zmienna przyjmie wartości . Łatwo zauważyć, że ciąg ten nie dąży do żadnej granicy.

KONCEPCJA OGRANICZENIA FUNKCJI

W NIESKOŃCZONEJ ODLEGŁOŚCI

Do tej pory rozważaliśmy granice dla przypadku, gdy zmienna X dążył do pewnej stałej liczby.

Powiemy, że zmienna x dąży do nieskończoności, jeśli dla każdej z góry określonej liczby dodatniej M(może być tak duży, jak chcesz) możesz określić tę wartość x=x 0 , począwszy od którego wszystkie kolejne wartości zmiennej będą spełniać nierówność |x|>M.

Na przykład niech zmienna . przyjmuje wartości X 1 = –1, X 2 = 2, X 3 = –3, …, X n =(–1) N N, ... Oczywiste jest, że jest to nieskończenie duża zmienna, ponieważ dla wszystkich M> 0 wszystkie wartości zmiennej, począwszy od określonej wartości, będą większe w wartości bezwzględnej M.

Zmienna wartość X→ +∞ , jeśli arbitralnie M> 0 wszystkie kolejne wartości zmiennej, zaczynając od pewnej wartości, spełniają nierówność x > M.

Podobnie, X→ – ∞, jeśli w ogóle M > 0 X< -M .

Powiemy, że funkcja k(x) zmierza do granicy B Funkcjonować X→ ∞, jeśli dla dowolnej małej liczby dodatniej ε można określić taką liczbę dodatnią M, co dla wszystkich wartości X |x|>M, nierówność | f(x) - b| < ε.

Wyznacz .

Przykłady.

Należy wykazać, że dla dowolnego ε nierówność zostanie natychmiast spełniona |x|>M i numer M musi być określony przez wybór ε. Zapisana nierówność jest równoważna następującej nierówności, która zachodzi, jeśli |x|> 1/ε=M. Oznacza to, że (patrz rysunek).

NIESKOŃCZONE DUŻE FUNKCJE

Wcześniej przyglądaliśmy się przypadkom, w których funkcja k(x) starał się o niektórych skończona granica B Funkcjonować X→ A Lub X → ∞.

Rozważmy teraz przypadek, gdy funkcja y=f(x) jakiś sposób na zmianę argumentacji.

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń k(x) dąży do nieskończoności jako X→ A, tj. Jest nieskończenie duży wielkość, jeśli dla dowolnej liczby M, bez względu na to, jak duży może być, można znaleźć δ > 0 takie, że dla wszystkich wartości .≠A, spełniający warunek | x-a| < δ, имеет место неравенство |k(x)| > M.

Jeśli k(x) dąży do nieskończoności jako X→ A, następnie piszą lub k(x)→∞ o godz X→ A.

Sformułuj podobną definicję przypadku, gdy X→∞.

Jeśli k(x) dąży do nieskończoności jako X→ A i jednocześnie przyjmuje tylko wartości dodatnie lub tylko ujemne, odpowiednio piszą lub .

Przykłady.

OGRANICZONE FUNKCJE

Niech będzie podana funkcja y=f(x), zdefiniowany na pewnym zbiorze D wartości argumentów.

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=f(x) zwany ograniczony na zestawie D, jeśli istnieje liczba dodatnia M tak, że dla wszystkich wartości X z rozważanego zbioru zachodzi nierówność |f(x)|≤M. Jeśli taki numer M nie istnieje, to funkcja k(x) zwany nieograniczony na zestawie D.

Przykłady.

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=grzech X, zdefiniowany przy -∞<X<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях X|grzech X|≤1 = M.

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=x 2 +2 jest ograniczone na przykład w segmencie, ponieważ dla wszystkich X z tego segmentu |f(x)|(3) = 11.

≤f y Rozważ funkcję X Funkcjonować X= ln X (0; 1). Ta funkcja jest nieograniczona w określonym przedziale czasu, od kiedy X→-∞.

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=f(x) zwany →0 dziennika→ A ograniczona w x A, jeśli w punkcie znajduje się sąsiedztwo

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=f(x) zwany →0 dziennika→ ∞ , w którym funkcja jest ograniczona. , jeśli istnieje taka liczba N> . 0, co dla wszystkich wartości , spełniając nierówność|x|>N k(x), funkcja

ograniczony.

Ustalmy związek między funkcją ograniczoną a funkcją mającą granicę. Twierdzenie 1. B Jeśli i k(x) jest liczbą skończoną, to funkcja X→ A.

ograniczone, kiedy Dowód . 0, co dla wszystkich wartości . Ponieważ , to dla dowolnego ε>0 istnieje liczba δ>0 taka, że ​​dla wszystkich wartości< |x-a| δ, nierówność jest spełniona< |f(x) –b| ε. Korzystanie z właściwości modułu|f(x) – b|≥|f(x)| - |b| , zapisujemy ostatnią nierówność w postaci<|b|+ |f(x)| ε. Zatem, jeśli umieścimy M=|b|+ X→ ε, to kiedy

a |f(x)| Komentarz.

Z definicji funkcji ograniczonej wynika, że ​​jeśli , to jest ona nieograniczona. Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdą: funkcja nieograniczona nie może być nieskończenie duża. Podaj przykład. Twierdzenie 2. Jeśli , to funkcja jest liczbą skończoną, to funkcja X→ A.

ograniczone, kiedy y=1/f(x) A. Z warunków twierdzenia wynika, że ​​dla dowolnego ε>0 w pewnym sąsiedztwie punktu mamy< |f(x) – b| ε. Ponieważ, To |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|< |b| - |f(x)| ε. Stąd, |f(x)|>|b| - .

ε > 0. Dlatego

również zbliżaj się do określonej liczby bez ograniczeń y=f(x) zwany NIESKOŃCZONE MAŁE FUNKCJE I ICH PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI Funkcjonować X→ A nieskończenie mały X lub kiedy

Przykłady.

→∞, jeśli lub , tj. Funkcja nieskończenie mała to funkcja, której granica w danym punkcie wynosi zero.

Ustalmy następującą ważną zależność: Twierdzenie. y=f(x) Jeśli funkcja X→ A reprezentowalny z B jako suma liczby stałej i nieskończenie mała wielkośćα(x): f (x)=b+ α(x)

To . I odwrotnie, jeśli , to, Gdzie fa (x)=b+α(x) topór) X→ – nieskończenie przy

ograniczone, kiedy.

A.

Ustalmy związek między funkcją ograniczoną a funkcją mającą granicę. Rozważmy podstawowe właściwości funkcji nieskończenie małych.

ograniczone, kiedy Suma algebraiczna dwóch, trzech i ogólnie dowolnej skończonej liczby nieskończenie małych jest funkcją nieskończenie małą. . Przedstawmy dowód dla dwóch wyrazów. Pozwalać f(x)=α(x)+β(x) > , gdzie i . Musimy to udowodnić dla dowolnego dowolnego małego ε δ> Znaleziono 0 X 0, co dla wszystkich wartości 0, tak że dla<δ |x – a| , zapisujemy ostatnią nierówność w postaci< ε.

, zostaje wykonany > Ustalmy więc dowolną liczbę ε 0. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzeniaα(x) > jest funkcją nieskończenie małą, to istnieje takie δ 1 0, tak że dla< 0, czyli δ1 mamy< ε / 2. |α(x)| Podobnie odβ(x) > jest funkcją nieskończenie małą, to istnieje takie δ 1 0, tak że dla< jest nieskończenie małe, to istnieje takie δ 2 δ2 mamy< ε / 2.

| β(x)| Weźmy δ=min( , δ 1 } δ2 A promień δ każda z nierówności będzie spełniona δ1 mamy< ε / 2 i δ2 mamy< ε / 2. Dlatego w tej okolicy nie będzie

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

te. , zapisujemy ostatnią nierówność w postaci< ε, co należało udowodnić.

Z definicji funkcji ograniczonej wynika, że ​​jeśli , to jest ona nieograniczona. Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdą: funkcja nieograniczona nie może być nieskończenie duża. Podaj przykład. Iloczyn funkcji nieskończenie małej fa (x)=b+α(x) dla ograniczonej funkcji k(x) Funkcjonować X→ A(lub kiedy X→ ∞ ) jest funkcją nieskończenie małą.

ograniczone, kiedy. Ponieważ funkcja k(x) jest ograniczona, to jest liczba M tak, że dla wszystkich wartości X z jakiegoś sąsiedztwa punktu a|f(x)|≤M. Co więcej, od fa (x)=b+α(x) jest nieskończenie małą funkcją w X→ A, następnie dla dowolnego ε > 0 istnieje sąsiedztwo punktu A, w którym nierówność będzie zachowana δ1 mamy< ε /M. Następnie w mniejszej z tych dzielnic, które mamy | αf|< ε /M= ε. A to oznacza, że af– nieskończenie małe. Na tę okazję X→ ∞ dowód przeprowadza się analogicznie.

Z udowodnionego twierdzenia wynika:

Wniosek 1. Jeśli i wtedy.

Konsekwencja 2. Twierdzenie 1. c= stała, następnie .

Twierdzenie 3. Stosunek funkcji nieskończenie małej 0. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia na funkcję k(x), którego granica jest różna od zera, jest funkcją nieskończenie małą.

ograniczone, kiedy. Pozwalać . Następnie 1 /f(x) istnieje ograniczona funkcja. Dlatego ułamek jest iloczynem nieskończenie małej funkcji i ograniczonej funkcji, tj. funkcja jest nieskończenie mała.

ZWIĄZEK MIĘDZY NIESKOŃCZONYMI MAŁYMI

I NIESKOŃCZONE DUŻE FUNKCJE

Ustalmy związek między funkcją ograniczoną a funkcją mającą granicę. Twierdzenie. k(x) jest nieskończenie duży w X→ A, następnie funkcja 1 /f(x) jest nieskończenie małe przy X→ A.

Dowód. Weźmy dowolną liczbę ε >0 i pokaż to niektórym δ>0 (w zależności od ε) dla wszystkich X, dla którego 0, tak że dla<δ , nierówność jest spełniona, a to będzie oznaczać, że 1/f(x) jest funkcją nieskończenie małą. Rzeczywiście, od k(x) jest nieskończenie dużą funkcją w X→ A, wtedy będzie δ>0 tak, że jak najszybciej 0, tak że dla<δ , więc | f(x)|> 1/ ε. Ale potem o to samo X.

Przykłady.

Można także udowodnić twierdzenie odwrotne.

Z definicji funkcji ograniczonej wynika, że ​​jeśli , to jest ona nieograniczona. Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdą: funkcja nieograniczona nie może być nieskończenie duża. Podaj przykład. Twierdzenie. k(x)- nieskończenie mały przy X→ A(Lub X→ ∞) i wtedy nie znika y= 1/f(x) jest nieskończenie dużą funkcją.

Przeprowadź dowód twierdzenia samodzielnie.

FUNKCJE I OGRANICZENIA IX

§ 201. Wielkości stałe i zmienne. Pojęcie funkcji

Z pojęciem funkcji spotykaliśmy się już wielokrotnie. W części I przyjrzeliśmy się liniowości, kwadratowości, mocy i funkcje trygonometryczne. Poprzedni rozdział poświęcony był badaniu funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Teraz musimy przedstawić ogólny przegląd tego, co już wiemy o funkcjach i rozważyć kilka nowych pytań.

Obserwując różne procesy można zauważyć, że wielkości w nich uczestniczące zachowują się odmiennie: jedne się zmieniają, inne pozostają stałe. Jeśli na przykład w trójkącie ABC wierzchołek B zostanie przesunięty po prostej MN równoległej do podstawy AC (ryc. 263), wówczas wartości kątów A, B i C będą się ciągle zmieniać, a ich suma, wysokość H a pole trójkąta pozostanie niezmienione.

Inny przykład. Jeśli jakikolwiek gaz jest sprężony w stałej temperaturze, to jego objętość ( V) i ciśnienie ( R) ulegnie zmianie: objętość zmniejszy się, a ciśnienie wzrośnie. Iloczyn tych wielkości, ustalony przez prawo Boyle'a-Mariotte'a, pozostanie stały:

Vp = ok ,

Gdzie Z - jakaś stała.

Wszystkie wielkości można podzielić na stałe i zmienne.

Zmienne biorące udział w jakimkolwiek procesie zwykle nie zmieniają się niezależnie od siebie, ale w ścisłym powiązaniu ze sobą. Przykładowo, sprężanie gazu (w stałej temperaturze) prowadzi do zmiany jego objętości, a to z kolei powoduje zmianę ciśnienia gazu. Zmiana promienia podstawy cylindra powoduje zmianę pola tej podstawy; to drugie prowadzi do zmiany objętości cylindra itp. Jednym z prostych zadań matematycznego badania konkretnego procesu jest ustalenie, w jaki sposób zmiany niektórych zmiennych wpływają na zmiany innych zmiennych.

Spójrzmy na kilka przykładów. Wspomniane powyżej prawo Boyle'a-Mariotte'a mówi, że w stałej temperaturze objętość gazu V zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do ciśnienia R : V = C / P . Jeśli ciśnienie jest znane, objętość gazu można obliczyć za pomocą tego wzoru. Podobnie formuła S = π R 2 pozwala określić pole koła S, jeśli znany jest jego promień R . Według formuły β = π / 2 - α możesz znaleźć kąt ostry trójkąta prostokątnego, jeśli znany jest inny kąt ostry tego trójkąta itp.

Porównując dwie zmienne, wygodnie jest rozważyć jedną z nich jako niezależny zmienna, a druga jako zależny wartość zmienna. Na przykład promień okręgu R naturalne jest uwzględnienie zmiennej niezależnej i obszaru koła S = π R 2 - zmienna zależna. Podobnie jak ciśnienie gazu R można uznać za zmienną niezależną; następnie jego objętość V = C / P będzie zmienną zależną.

Którą z dwóch zmiennych należy wybrać jako zależną, a którą jako niezależną? Problem ten rozwiązuje się różnie w zależności od celu. Jeśli na przykład interesuje nas, do czego prowadzi zmiana ciśnienia gazu w stałej temperaturze, to naturalne jest, że za zmienną niezależną przyjmujemy piłowanie, a za zmienną zależną objętość. W tym przypadku zmienna zależna V zostanie wyrażona poprzez zmienną niezależną R według wzoru: V = C / P . Jeśli chcemy poznać konsekwencje sprężania gazu, lepiej rozważyć objętość jako zmienną niezależną, a ciśnienie jako zmienną zależną. Następnie zmienna zależna R zostanie wyrażona poprzez zmienną niezależną V zgodnie ze wzorem R = C / V . W każdym z tych przypadków dwie wielkości są ze sobą powiązane w taki sposób, że każda możliwe znaczenie jeden z nich odpowiada bardzo określonej wartości drugiego.

Jeśli każda wartość jednej zmiennej . dobrze określona wartość innej wielkości jest w jakiś sposób powiązana z korespondencją Na, to mówią, że dana jest funkcja.

Rozmiar Na oni to nazywają zależny zmienna lub funkcjonować i wartość . - niezależny zmienna lub argument.

Aby to wyrazić Na istnieje funkcja argumentu . , zwykle stosuje się zapis: Na = F (. ), y = gł (X ) , Na = φ (. ) itd. (czytaj: yrek równa się ef od x, yrek równa się ef od x, yrek równa się phi od x, itd.). Wybór litery reprezentującej funkcję ( f, g, φ ) jest oczywiście nieistotne. Jedyną ważną rzeczą jest to, jaki jest rodzaj zależności między ilościami . I Na ten list wyraża.

Wartość, jaką przyjmuje funkcja F (. ) Na x = a , oznaczony F (A ). Jeśli na przykład F (. ) = X Zatem 2 + 1

F (1) = 1 2 + 1 = 2;

F (2) = 2 2 + 1 = 5;

F (A + 1) = (A + 1) 2 + 1 = A 2 + 2A + 2;

F (2A ) = (2A ) 2 + 1 = 4A 2 + 1

Ćwiczenia

1515. Spręża się gaz pod ciśnieniem 2 atmosfer. Jak zmienia się: a) masa gazu; b) jego objętość; c) jego ciśnienie krwi?

1516. Prąd przepływa przez obwód elektryczny. Za pomocą reostatu zmieniamy rezystancję obwodu. Czy zmienia się to: a) prąd w obwodzie; b) napięcie?

1517. Wierzchołek B trójkąta ABC porusza się po okręgu, którego średnica pokrywa się z podstawą AC tego trójkąta. Które wielkości pozostają w tym procesie stałe, a które ulegają zmianie?

1518.

Znajdź: a) F (0); B) F (A 2); V) F ( 1 / A ); G) F (grzech A ).

1519. Ekspres F (2A ) Poprzez F (A ) dla funkcji:

A) F (. ) = grzech . ; B) F (. ) = tg . ;