Kąt między prostymi danymi równaniami. Kąt pomiędzy liniami prostymi

Niech dwie proste l i m na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych zostaną określone za pomocą ogólnych równań: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Wektory normalne do tych prostych: = (A 1 , B 1) – do prostej l,

= (A 2 , B 2) – do linii m.

Niech j będzie kątem pomiędzy liniami l i m.

Ponieważ kąty o wzajemnie prostopadłych bokach są albo równe, albo sumują się do p, to , czyli cos j = .

Udowodniliśmy zatem następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Niech j będzie kątem pomiędzy dwiema prostymi na płaszczyźnie i niech te proste zostaną określone w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą ogólnych równań A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wtedy cos j = .

Ćwiczenia.

1) Wyprowadź wzór na obliczenie kąta między prostymi, jeśli:

(1) obie linie są określone parametrycznie; (2) obie proste są dane równaniami kanonicznymi; (3) jedna linia jest określona parametrycznie, druga za pomocą równania ogólnego; (4) obie proste są dane równaniem ze współczynnikiem kątowym.

2) Niech j będzie kątem pomiędzy dwiema prostymi na płaszczyźnie i niech te proste zostaną zdefiniowane w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą równań y = k 1 x + b 1 i y = k 2 x + b 2 .

Następnie tan j = .

3) Badać położenie względne dwie linie proste określone ogólnymi równaniami w kartezjańskim układzie współrzędnych i wypełnij tabelę:

Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie.

Niech prostą l na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych wyznaczymy za pomocą równania ogólnego Ax + By + C = 0. Znajdźmy odległość punktu M(x 0 , y 0) od prostej l.

Odległość punktu M od prostej l jest długością prostopadłej HM (H О l, HM ^ l).

Wektor i wektor normalny do prostej l są współliniowe, zatem | | = | | | | i | | = .

Niech współrzędnymi punktu H będą (x,y).

Ponieważ punkt H należy do prostej l, to Ax + By + C = 0 (*).

Współrzędne wektorów i: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, patrz (*))

Twierdzenie. Niech prostą l określimy w kartezjańskim układzie współrzędnych ogólnym równaniem Ax + By + C = 0. Następnie odległość punktu M(x 0 , y 0) od tej prostej obliczamy ze wzoru: r ( M; l) = .

Ćwiczenia.

1) Wyprowadź wzór na obliczenie odległości punktu od prostej, jeżeli: (1) linia jest dana parametrycznie; (2) podana jest prosta równań kanonicznych; (3) linię prostą wyznacza równanie ze współczynnikiem kątowym.

2) Zapisz równanie okręgu stycznego do prostej 3x – y = 0, którego środek znajduje się w punkcie Q(-2,4).

3) Zapisz równania linii dzielących kąty utworzone przez przecięcie linii 2x + y - 1 = 0 i x + y + 1 = 0, na pół.

§ 27. Analityczna definicja płaszczyzny w przestrzeni

Definicja. Wektor normalny do płaszczyzny zadzwonimy wektor niezerowy, którego dowolny przedstawiciel jest prostopadły do danej płaszczyzny.

Komentarz. Oczywiste jest, że jeśli co najmniej jeden przedstawiciel wektora jest prostopadły do płaszczyzny, to wszyscy pozostali przedstawiciele wektora są prostopadłe do tej płaszczyzny.

Niech w przestrzeni będzie dany kartezjański układ współrzędnych.

Niech będzie dana płaszczyzna, = (A, B, C) – wektor normalny do tej płaszczyzny, punkt M (x 0 , y 0 , z 0) należy do płaszczyzny a.

Dla dowolnego punktu N(x, y, z) płaszczyzny a wektory i są ortogonalne, czyli ich iloczyn skalarny jest równy zeru: = 0. Ostatnią równość napiszmy we współrzędnych: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Niech -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, następnie Ax + By + Cz + D = 0.

Weźmy punkt K (x, y) taki, że Ax + By + Cz + D = 0. Ponieważ D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, to A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Ponieważ współrzędne skierowanego odcinka = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), ostatnia równość oznacza, że ^, a zatem K О a.

Udowodniliśmy zatem następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Dowolną płaszczyznę w przestrzeni w kartezjańskim układzie współrzędnych można określić równaniem w postaci Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), gdzie (A, B, C) są współrzędne wektora normalnego do tej płaszczyzny.

Jest też odwrotnie.

Twierdzenie. Dowolne równanie postaci Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) w kartezjańskim układzie współrzędnych określa pewną płaszczyznę, a (A, B, C) są współrzędnymi normalnej wektor do tej płaszczyzny.

Dowód.

Weźmy punkt M (x 0 , y 0 , z 0) taki, że Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 i wektor = (A, B, C) ( ≠ q).

Płaszczyzna (i tylko jedna) przechodzi przez punkt M prostopadle do wektora. Zgodnie z poprzednim twierdzeniem płaszczyznę tę wyznacza równanie Ax + By + Cz + D = 0.

Definicja. Nazywa się równanie postaci Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład.

Zapiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty M (0,2,4), N (1,-1,0) i K (-1,0,5).

1. Znajdź współrzędne wektora normalnego do płaszczyzny (MNK). Ponieważ iloczyn wektorowy ` jest ortogonalny do wektorów niewspółliniowych i , to wektor jest współliniowy ` .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Zatem jako wektor normalny bierzemy wektor = (-11, 3, -5).

2. Skorzystajmy teraz z wyników pierwszego twierdzenia:

równanie tej płaszczyzny A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, gdzie (A, B, C) są współrzędnymi wektora normalnego, (x 0 , y 0 , z 0) – współrzędne punktu leżącego na płaszczyźnie (np. punkt M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Odpowiedź: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Ćwiczenia.

1) Napisz równanie płaszczyzny jeśli

(1) płaszczyzna przechodzi przez punkt M (-2,3,0) równoległy do płaszczyzny 3x + y + z = 0;

(2) płaszczyzna zawiera oś (Ox) i jest prostopadła do płaszczyzny x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty.

§ 28. Analityczna definicja półprzestrzeni*

Komentarz*. Niech jakiś samolot zostanie naprawiony. Pod półprzestrzeń będziemy rozumieć zbiór punktów leżących po jednej stronie danej płaszczyzny, czyli dwa punkty leżą w tej samej półprzestrzeni, jeśli łączący je odcinek nie przecina danej płaszczyzny. Ten samolot nazywa się granicę tej półprzestrzeni. Nazwiemy połączenie tej płaszczyzny i półprzestrzeni zamknięta półprzestrzeń.

Niech kartezjański układ współrzędnych zostanie ustalony w przestrzeni.

Twierdzenie. Niech płaszczyzna a będzie dana równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0. Wtedy jedną z dwóch półprzestrzeni, na które płaszczyzna a dzieli przestrzeń, jest dana nierówność Ax + By + Cz + D > 0 , a drugą półprzestrzeń wyznacza nierówność Ax + By + Cz + D< 0.

Dowód.

Narysujmy wektor normalny = (A, B, C) do płaszczyzny a z punktu M (x 0 , y 0 , z 0) leżącego na tej płaszczyźnie: = , M О a, MN ^ a. Płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie: b 1 i b 2. Jest oczywiste, że punkt N należy do jednej z tych półprzestrzeni. Bez utraty ogólności założymy, że N О b 1 .

Udowodnimy, że półprzestrzeń b 1 jest określona przez nierówność Ax + By + Cz + D > 0.

1) Weźmy punkt K(x,y,z) znajdujący się w półprzestrzeni b 1 . Kąt Ð NMK jest kątem pomiędzy wektorami a - ostrym, dlatego iloczyn skalarny tych wektorów jest dodatni: > 0. Zapiszmy tę nierówność we współrzędnych: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, czyli Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Ponieważ M О b 1, to Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, zatem -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Dlatego ostatnią nierówność można zapisać w następujący sposób: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Wybierz punkt L(x,y) taki, że Ax + By + Cz + D > 0.

Przepiszmy nierówność, zastępując D przez (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (ponieważ M О b 1, następnie Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Wektor o współrzędnych (x - x 0,y - y 0, z - z 0) jest wektorem, zatem wyrażenie A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) można rozumieć jako iloczyn skalarny wektorów i . Ponieważ iloczyn skalarny wektorów i jest dodatni, kąt między nimi jest ostry i punkt L О b 1 .

Podobnie możemy udowodnić, że półprzestrzeń b 2 jest dana przez nierówność Ax + By + Cz + D< 0.

Notatki.

1) Jest oczywiste, że dowód podany powyżej nie zależy od wyboru punktu M na płaszczyźnie a.

2) Jest oczywiste, że tę samą półprzestrzeń można zdefiniować za pomocą różnych nierówności.

Jest też odwrotnie.

Twierdzenie. Dowolna nierówność liniowa postaci Ax + By + Cz + D > 0 (lub Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dowód.

Równanie Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) w przestrzeni definiuje pewną płaszczyznę a (patrz § ...). Jak wykazano w poprzednim twierdzeniu, jedna z dwóch półprzestrzeni, na które płaszczyzna dzieli przestrzeń, jest dana przez nierówność Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Notatki.

1) Jest oczywiste, że zamkniętą półprzestrzeń można zdefiniować za pomocą nieścisłej nierówności liniowej, a każda nieścisła nierówność liniowa w kartezjańskim układzie współrzędnych definiuje zamkniętą półprzestrzeń.

2) Każdy wielościan wypukły można zdefiniować jako przecięcie zamkniętych półprzestrzeni (których granicami są płaszczyzny zawierające ściany wielościanu), czyli analitycznie - przez układ liniowych nieścisłych nierówności.

Ćwiczenia.

1) Udowodnić dwa twierdzenia przedstawione dla dowolnego afinicznego układu współrzędnych.

2) Czy prawdą jest odwrotność, że dowolny system nieścisłych nierówności liniowych definiuje wielokąt wypukły?

Ćwiczenia.

1) Zbadaj względne położenie dwóch płaszczyzn określonych równaniami ogólnymi w kartezjańskim układzie współrzędnych i wypełnij tabelę.

A. Niech zostaną dane dwie linie proste. Te proste, jak wskazano w rozdziale 1, tworzą różne kąty dodatnie i ujemne, które mogą być ostre lub rozwarte. Znając jeden z tych kątów, możemy łatwo znaleźć każdy inny.

Nawiasem mówiąc, dla wszystkich tych kątów wartość liczbowa stycznej jest taka sama, różnica może dotyczyć tylko znaku

Równania prostych. Liczby są rzutami wektorów kierunkowych pierwszej i drugiej prostej. Kąt między tymi wektorami jest równy jednemu z kątów utworzonych przez linie proste. Dlatego problem sprowadza się do określenia kąta między wektorami

Dla uproszczenia możemy zgodzić się, że kąt między dwiema prostymi rozumie się jako ostry kąt dodatni (jak na przykład na ryc. 53).

Wtedy tangens tego kąta będzie zawsze dodatni. Jeśli więc po prawej stronie wzoru (1) znajduje się znak minus, to musimy go odrzucić, czyli zapisać tylko wartość bezwzględną.

Przykład. Wyznacz kąt pomiędzy liniami prostymi

Zgodnie ze wzorem (1) mamy

Z. Jeśli zostanie wskazane, który z boków kąta jest jego początkiem, a który końcem, to licząc zawsze kierunek kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, możemy wydobyć ze wzoru (1) coś więcej. Jak można łatwo zobaczyć z rys. 53, znak uzyskany po prawej stronie wzoru (1) wskaże, pod jakim kątem – ostrym czy rozwartym – tworzy się druga prosta z pierwszą.

(Istotnie, z ryc. 53 widzimy, że kąt między pierwszym i drugim wektorem kierunkowym jest albo równy pożądanemu kątowi między liniami prostymi, albo różni się od niego o ± 180°.)

D. Jeśli linie są równoległe, to ich wektory kierunkowe są równoległe. Stosując warunek równoległości dwóch wektorów, otrzymujemy!

Jest to warunek konieczny i wystarczający równoległości dwóch prostych.

Przykład. Bezpośredni

są równoległe, ponieważ

mi. Jeśli linie są prostopadłe, to ich wektory kierunkowe są również prostopadłe. Stosując warunek prostopadłości dwóch wektorów otrzymujemy warunek prostopadłości dwóch prostych, czyli

Przykład. Bezpośredni

są prostopadłe, ponieważ

W związku z warunkami równoległości i prostopadłości rozwiążemy następujące dwa problemy.

F. Narysuj linię przechodzącą przez punkt równoległy do danej prostej

Rozwiązanie przeprowadza się w ten sposób. Ponieważ pożądana prosta jest równoległa do tej, to za jej wektor kierunkowy możemy przyjąć ten sam wektor, co danej prostej, czyli wektor z rzutami A i B. I wówczas równanie żądanej prostej zostanie zapisane w formularz (§ 1)

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (1; 3) równoległy do tej prostej

będzie następny!

G. Narysuj linię przechodzącą przez punkt prostopadły do danej prostej

Tutaj nie nadaje się już wektor z występami A i jako wektor prowadzący, ale konieczne jest przyjęcie wektora prostopadłego do niego. Rzuty tego wektora należy zatem dobierać zgodnie z warunkiem prostopadłości obu wektorów, czyli zgodnie z warunkiem

Warunek ten można spełnić na wiele sposobów, ponieważ tutaj jest jedno równanie z dwiema niewiadomymi, ale najłatwiej jest to zrobić. Wtedy równanie żądanej linii zostanie zapisane w postaci

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (-7; 2) w prostej prostopadłej

będzie następująco (zgodnie z drugą formułą)!

H. W przypadku, gdy linie są dane przez równania postaci

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt

Prostopadle do danej linii

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

(1)

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu to równanie prostej przechodzącej przez ten układ dany punkt M 0 jest prostopadła do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: ; 4 x = 6 lat – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt w w tym kierunku. Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi. Warunek równoległości i prostopadłości dwóch prostych. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych

1. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt A(X 1 , y 1) w danym kierunku określonym przez nachylenie k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Równanie to definiuje ołówek linii przechodzących przez punkt A(X 1 , y 1), który nazywany jest środkiem belki.

2. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2), napisane w ten sposób:

Współczynnik kątowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty określa wzór

3. Kąt pomiędzy liniami prostymi A I B jest kątem, o który należy obrócić pierwszą prostą A wokół punktu przecięcia tych linii w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aż zbiegnie się z drugą linią B. Jeśli dwie linie proste są dane przez równania o nachyleniu

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

następnie kąt między nimi jest określony przez wzór

Należy zauważyć, że w liczniku ułamka nachylenie pierwszej linii jest odejmowane od nachylenia drugiej linii.

Jeżeli podane są równania prostej widok ogólny

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kąt między nimi określa wzór

4. Warunki równoległości dwóch prostych:

a) Jeżeli proste są dane równaniami (4) ze współczynnikiem kątowym, to warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest równość ich współczynników kątowych:

k 1 = k 2 . (8)

b) W przypadku, gdy proste są dane równaniami w postaci ogólnej (6), warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest to, aby współczynniki dla odpowiednich współrzędnych prądu w ich równaniach były proporcjonalne, tj.

5. Warunki prostopadłości dwóch prostych:

a) W przypadku, gdy proste są dane równaniami (4) ze współczynnikiem kątowym, warunkiem koniecznym i wystarczającym ich prostopadłości jest to, aby ich współczynniki kątowe były odwrotne pod względem wielkości i przeciwne pod względem znaku, tj.

Warunek ten można także zapisać w postaci

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jeżeli równania prostych podane są w postaci ogólnej (6), to warunkiem ich prostopadłości (koniecznym i wystarczającym) jest spełnienie równości

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych wyznacza się rozwiązując układ równań (6). Linie (6) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy

1. Zapisz równania prostych przechodzących przez punkt M, z których jedno jest równoległe, a drugie prostopadłe do danej prostej l.

KĄT MIĘDZY PŁASZCZYZNAMI

Rozważmy dwie płaszczyzny α 1 i α 2, określone odpowiednio równaniami:

Pod kąt między dwiema płaszczyznami zrozumiemy jeden z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny. Oczywiste jest, że kąt między wektorami normalnymi a płaszczyznami α 1 i α 2 jest równy jednemu ze wskazanych sąsiednich kątów dwuściennych lub . Dlatego . Ponieważ I , To

Przykład. Określ kąt między płaszczyznami X+2y-3z+4=0 i 2 X+3y+z+8=0.

Warunek równoległości dwóch płaszczyzn.

Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są równoległe, a zatem .

Zatem dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:

Lub

Warunek prostopadłości płaszczyzn.

Jest oczywiste, że dwie płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są prostopadłe, a zatem, lub .

Zatem, .

Przykłady.

PROSTO W PRZESTRZENI.

RÓWNANIE WEKTOROWE DLA LINII.

PARAMETRYCZNE RÓWNANIA BEZPOŚREDNIE

Położenie linii w przestrzeni jest całkowicie określane poprzez określenie dowolnego z jej punktów stałych M 1 i wektor równoległy do tej prostej.

Nazywa się wektor równoległy do prostej przewodniki wektor tej linii.

Więc niech linia prosta l przechodzi przez punkt M 1 (X 1 , y 1 , z 1), leżącego na prostej równoległej do wektora .

Rozważ dowolny punkt M(x,y,z) na linii prostej. Z rysunku wynika, że .

Wektory i są współliniowe, więc istnieje taka liczba T, co , gdzie jest mnożnik T może przyjmować dowolną wartość liczbową w zależności od położenia punktu M na linii prostej. Czynnik T zwany parametrem. Po wyznaczeniu wektorów promieni punktów M 1 i M odpowiednio poprzez i , otrzymujemy . To równanie nazywa się wektor równanie prostej. Pokazuje to dla każdej wartości parametru T odpowiada wektorowi promienia pewnego punktu M, leżąc na linii prostej.

Zapiszmy to równanie w postaci współrzędnych. Zauważ, że i stąd

Powstałe równania nazywane są parametryczny równania prostej.

Podczas zmiany parametru T współrzędne się zmieniają X, y I z i okres M porusza się po linii prostej.

RÓWNANIA KANONICZNE BEZPOŚREDNIEJ

Pozwalać M 1 (X 1 , y 1 , z 1) – punkt leżący na prostej l, I jest jego wektorem kierunkowym. Weźmy jeszcze raz dowolny punkt na prostej M(x,y,z) i rozważ wektor .

Oczywiste jest, że wektory są również współliniowe, więc odpowiadające im współrzędne muszą być proporcjonalne, dlatego

– kanoniczny równania prostej.

Uwaga 1. Należy zauważyć, że równania kanoniczne prostej można uzyskać z równań parametrycznych, eliminując parametr T. Rzeczywiście, z równań parametrycznych otrzymujemy Lub .

Przykład. Zapisz równanie prostej w formie parametrycznej.

Oznaczmy , stąd X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Uwaga 2. Niech prosta będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład osi Wół. Wtedy wektor kierunkowy linii jest prostopadły Wół, stąd, M=0. W rezultacie równania parametryczne linii przyjmą postać

Wyłączenie parametru z równań T, otrzymujemy równania prostej w postaci

Jednak i w tym przypadku zgadzamy się formalnie zapisać równania kanoniczne prostej w postaci . Zatem jeśli mianownik jednego z ułamków wynosi zero, oznacza to, że linia prosta jest prostopadła do odpowiedniej osi współrzędnych.

Podobnie jak w równaniach kanonicznych odpowiada linii prostej prostopadłej do osi Wół I Oj lub równolegle do osi Oz.

Przykłady.

RÓWNANIA OGÓLNE PROSTEJ JAKO LINIE PRZECIĘCIA DWÓCH PŁASZCZYZN

Przez każdą linię prostą w przestrzeni przechodzi niezliczona ilość płaszczyzn. Dowolne dwa z nich, przecinające się, definiują to w przestrzeni. W konsekwencji równania dowolnych dwóch takich płaszczyzn, rozpatrywane łącznie, reprezentują równania tej prostej.

Ogólnie rzecz biorąc, dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny określone równaniami ogólnymi

wyznacz linię prostą ich przecięcia. Równania te nazywane są równania ogólne bezpośredni.

Przykłady.

Skonstruuj prostą określoną równaniami

Aby zbudować linię prostą, wystarczy znaleźć dowolne dwa jej punkty. Najłatwiej jest wybrać punkty przecięcia prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOj otrzymujemy z równań prostej, zakładając z= 0:

Po rozwiązaniu tego systemu znajdujemy sedno M 1 (1;2;0).

Podobnie, zakładając y= 0, otrzymujemy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną xOz:

Z ogólnych równań linii można przejść do jej kanonicznego lub równania parametryczne. Aby to zrobić, musisz znaleźć jakiś punkt M 1 na linii prostej i wektor kierunkowy linii prostej.

Współrzędne punktu M 1 otrzymujemy z tego układu równań, nadając jednej ze współrzędnych dowolną wartość. Aby znaleźć wektor kierunku, należy pamiętać, że wektor ten musi być prostopadły do obu wektorów normalnych I . Dlatego poza wektorem kierunkowym linii prostej l możesz wziąć iloczyn wektorowy wektorów normalnych:

Przykład. Ołów równania ogólne bezpośredni do postaci kanonicznej.

Znajdźmy punkt leżący na prostej. W tym celu wybieramy dowolnie jedną ze współrzędnych, np. y= 0 i rozwiązujemy układ równań:

Wektory normalne płaszczyzn wyznaczających linię mają współrzędne Dlatego wektor kierunku będzie prosty

. Stąd, l: .

KĄT MIĘDZY PROSTYMI

Kąt pomiędzy liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do danych.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwie proste:

Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi i . Ponieważ , to korzystając ze wzoru na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy

Z tym kalkulator internetowy możesz znaleźć kąt między liniami prostymi. Dany szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami. Aby obliczyć kąt pomiędzy prostymi, należy ustawić wymiar (2, jeśli rozważana jest prosta na płaszczyźnie, 3, jeśli rozważana jest prosta w przestrzeni), wpisać elementy równania do komórek i kliknąć przycisk „Rozwiąż”. przycisk. Poniżej część teoretyczna.

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcje wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), ułamki dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w formie a/b, gdzie a i b (b>0) są liczbami całkowitymi lub liczby dziesiętne. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

1. Kąt między prostymi na płaszczyźnie

Linie są definiowane za pomocą równań kanonicznych

1.1. Wyznaczanie kąta pomiędzy prostymi

Niech linie w przestrzeni dwuwymiarowej L 1 i L

Zatem ze wzoru (1.4) możemy znaleźć kąt między prostymi L 1 i L 2. Jak widać na ryc. 1, przecinające się linie tworzą sąsiednie kąty φ I φ 1. Jeśli znaleziony kąt jest większy niż 90°, można znaleźć minimalny kąt pomiędzy liniami prostymi L 1 i L 2: φ 1 =180-φ .

Ze wzoru (1.4) możemy wyprowadzić warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych.

Przykład 1. Określ kąt między liniami

Uprośćmy i rozwiążmy:

1.2. Warunek dla prostych równoległych

Pozwalać φ =0. Następnie cosφ=1. W tym przypadku wyrażenie (1.4) przyjmie następującą postać:

Przykład 2: Sprawdź, czy linie są równoległe

Równość (1.9) jest spełniona, zatem proste (1.10) i (1.11) są równoległe.

Odpowiedź. Linie (1.10) i (1.11) są równoległe.

1.3. Warunek prostopadłości prostych

Pozwalać φ =90°. Następnie cosφ=0. W tym przypadku wyrażenie (1.4) przyjmie następującą postać:

Przykład 3. Określ, czy linie są prostopadłe

Warunek (1.13) jest spełniony, zatem proste (1.14) i (1.15) są prostopadłe.

Odpowiedź. Linie (1.14) i (1.15) są prostopadłe.

Linie są definiowane za pomocą ogólnych równań

1.4. Wyznaczanie kąta pomiędzy prostymi

Niech dwie linie proste L 1 i L 2 są dane za pomocą równań ogólnych

Z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów mamy:

Przykład 4. Znajdź kąt między liniami

Podstawianie wartości A 1 , B 1 , A 2 , B 2 w (1,23) otrzymujemy:

Kąt ten jest większy niż 90°. Znajdźmy minimalny kąt pomiędzy liniami prostymi. Aby to zrobić, odejmij ten kąt od 180:

Z drugiej strony stan linii równoległych L 1 i L 2 jest równoznaczne z warunkiem współliniowości wektorów N 1 i N 2 i można go przedstawić w następujący sposób:

Równość (1.24) jest spełniona, zatem proste (1.26) i (1.27) są równoległe.

Odpowiedź. Linie (1.26) i (1.27) są równoległe.

1.6. Warunek prostopadłości prostych

Warunek prostopadłości prostych L 1 i L 2 można wyprowadzić ze wzoru (1.20) przez podstawienie sałata(φ )=0. Następnie iloczyn skalarny ( N 1 ,N 2)=0. Gdzie

Równość (1.28) jest spełniona, zatem proste (1.29) i (1.30) są prostopadłe.

Odpowiedź. Linie (1.29) i (1.30) są prostopadłe.