Hur man beräknar medelhastighet. Förskjutning, väg, medelhastighet exempel på problemlösning
I skolan stötte var och en av oss på ett problem som liknade följande. Om bilen rörde sig en del av vägen i en hastighet, och nästa del av vägen i en annan, hur man hittar medelhastighet?
Vilken är denna mängd och varför behövs den? Låt oss försöka reda ut det här.
Hastighet i fysiken är en kvantitet som beskriver mängden tillryggalagd sträcka per tidsenhet. Det vill säga när de säger att en fotgängares hastighet är 5 km/h betyder det att han tillryggalägger en sträcka på 5 km på 1 timme.
Formeln för att hitta hastighet ser ut så här:
V=S/t, där S är den tillryggalagda sträckan, t är tid.
Det finns ingen enskild dimension i denna formel, eftersom den beskriver både extremt långsamma och mycket snabba processer.
Till exempel färdas en konstgjord jordsatellit cirka 8 km på 1 sekund, och de tektoniska plattorna på vilka kontinenterna är belägna, enligt forskarnas mätningar, avviker endast med några millimeter per år. Därför kan hastighetsdimensionerna vara olika - km/h, m/s, mm/s, etc.
Principen är att sträckan delas med tiden som krävs för att täcka banan. Glöm inte dimensionalitet om komplexa beräkningar utförs.
För att inte bli förvirrad och inte göra fel i svaret anges alla storheter i samma måttenheter. Om banans längd anges i kilometer, och en del av den i centimeter, kommer vi inte att veta det korrekta svaret tills vi får enhet i dimension.
Konstant hastighet
Beskrivning av formeln.
Det enklaste fallet inom fysiken är enhetlig rörelse. Hastigheten är konstant och ändras inte under hela resan. Det finns även hastighetskonstanter i tabellform – oföränderliga värden. Till exempel färdas ljud i luften med en hastighet av 340,3 m/s.
Och ljuset är den absoluta mästaren i detta avseende, det har den högsta hastigheten i vårt universum - 300 000 km/s. Dessa kvantiteter ändras inte från startpunkten för rörelsen till slutpunkten. De beror bara på det medium som de rör sig i (luft, vakuum, vatten, etc.).
Enhetliga rörelser uppstår ofta för oss i Vardagsliv. Så fungerar ett löpande band i en fabrik eller fabrik, en linbana på bergsvägar, en hiss (förutom mycket korta start- och stoppperioder).
Grafen för en sådan rörelse är mycket enkel och representerar en rak linje. 1 sekund - 1 m, 2 sekunder - 2 m, 100 sekunder - 100 m. Alla punkter ligger på samma raka linje.
Ojämn hastighet
Tyvärr är det extremt sällsynt att saker är så perfekta både i livet och i fysiken. Många processer sker med en ojämn hastighet, ibland snabbare, ibland saktar ner.
Låt oss föreställa oss rörelsen av en vanlig intercitybuss. I början av resan accelererar han, saktar ner vid trafikljus eller stannar till och med helt. Sedan går det snabbare utanför stan, men långsammare på uppförsbackarna, och accelererar igen på nedförsbackarna.
Om du skildrar denna process i form av en graf får du en mycket intrikat linje. Du kan bestämma hastigheten från grafen endast för en specifik punkt, men allmän princip Nej.
Du behöver en hel uppsättning formler, som var och en endast är lämplig för sin egen del av ritningen. Men det är inget skrämmande. För att beskriva bussens rörelse används ett medelvärde.
Du kan hitta medelhastigheten med samma formel. Vi vet faktiskt att avståndet mellan busstationer och restid har uppmätts. Dela den ena efter den andra och hitta önskat värde.
Vad är det för?
Sådana beräkningar är användbara för alla. Vi planerar vår dag och rörelser hela tiden. Att ha en dacha utanför staden är det vettigt att ta reda på den genomsnittliga markhastigheten när du reser dit.
Detta kommer att göra det lättare att planera din helg. Efter att ha lärt oss att hitta detta värde kan vi vara mer punktliga och sluta vara sena.
Låt oss återgå till exemplet som föreslogs i början, när en bil körde en del av vägen i en hastighet och den andra i en annan hastighet. Denna typ av problem används mycket ofta i Läroplanen. Därför, när ditt barn ber dig att hjälpa honom med ett liknande problem, blir det lätt för dig att göra det.
Genom att lägga ihop längderna på stigsektionerna får man det totala avståndet. Genom att dividera deras värden med hastigheterna som anges i de initiala uppgifterna kan du bestämma tiden som spenderas på var och en av sektionerna. Lägger vi ihop dem får vi den tid som spenderas på hela resan.
Medelhastighet är den hastighet som erhålls om hela vägen divideras med den tid det tar objektet att täcka denna väg. Formel för medelhastighet:
- V av = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- V av = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
För att undvika förväxling med timmar och minuter omvandlar vi alla minuter till timmar: 15 minuter. = 0,4 timme, 36 min. = 0,6 timme. Ersätt de numeriska värdena i den sista formeln:
- V av = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 km/h
Svar: medelhastighet V av = 13,3 km/h.
Hur man hittar medelhastigheten för en accelererande rörelse
Om hastigheten i början av rörelsen skiljer sig från hastigheten i slutet kallas en sådan rörelse accelererad. Dessutom rör sig kroppen faktiskt inte alltid snabbare och snabbare. Om rörelsen saktar ner säger de fortfarande att den rör sig med acceleration, bara accelerationen blir negativ.
Med andra ord, om en bil som rör sig iväg accelererar till en hastighet av 10 m/sek på en sekund, då är dess acceleration a lika med 10 m per sekund per sekund a = 10 m/sek². Om bilen stannar i nästa sekund, är dess acceleration också lika med 10 m/sek², bara med ett minustecken: a = -10 m/sek².
Rörelsehastigheten med acceleration i slutet av tidsintervallet beräknas med formeln:
- V = V0 ± at,
där V0 är den initiala rörelsehastigheten, a är acceleration, t är den tid under vilken denna acceleration observerades. Ett plus eller minus sätts i formeln beroende på om hastigheten ökat eller minskat.
Medelhastigheten under en tidsperiod t beräknas som det aritmetiska medelvärdet av de initiala och slutliga hastigheterna:
- V av = (V0 + V) / 2.
Att hitta medelhastigheten: problem
Bollen sköts längs ett plant plan med en initial hastighet V0 = 5 m/sek. Efter 5 sek. bollen stannade. Vad är accelerationen och medelhastigheten?
Bollens sluthastighet V = 0 m/sek. Accelerationen från den första formeln är lika med
- a = (V-VO)/t = (0-5)/5 = -1 m/sek2.
Medelhastighet V av = (V0 + V) / 2 = 5 /2 = 2,5 m/sek.
Det finns medelvärden felaktig definition som blev en del av en anekdot eller en liknelse. Eventuella felaktiga beräkningar kommenteras med en vanlig, allmänt förstådd hänvisning till ett så uppenbart absurt resultat. Till exempel kommer frasen "medeltemperatur på sjukhuset" att få alla att le med sarkastisk förståelse. Samma experter lägger dock ofta, utan att tänka efter, ihop hastigheterna på enskilda sträckor och dividerar den beräknade summan med antalet av dessa sträckor för att få ett lika meningslöst svar. Återkallelse från mekanikerkursen gymnasium, hur man hittar medelhastigheten på ett korrekt och inte ett absurt sätt.
Analog av "medeltemperatur" i mekanik
I vilka fall driver de knepiga förhållandena för ett problem oss till ett förhastat, tanklöst svar? Om de talar om "delar" av vägen, men inte anger deras längd, larmar detta till och med en person som är lite erfaren i att lösa sådana exempel. Men om problemet direkt indikerar lika intervall, till exempel "för första halvan av vägen följde tåget i en hastighet ...", eller "fotgängaren gick den första tredjedelen av banan i en hastighet ...", och beskriver sedan i detalj hur objektet rörde sig med de återstående lika intervallen, det vill säga förhållandet är känt S1 = S2 = ... = Sn Och exakta värden hastigheter v 1, v 2, ... v n, vårt tänkande misslyckas ofta oförlåtligt. Det aritmetiska medelvärdet av hastigheterna beaktas, det vill säga alla kända värden v lägg ihop och dela upp i n. Som ett resultat visar sig svaret vara felaktigt.
Enkla "formler" för att beräkna kvantiteter under likformig rörelse
Både för hela den tillryggalagda sträckan och för dess individuella sektioner i fallet med medelvärdesberäkning av hastigheten, gäller relationerna skrivna för enhetlig rörelse:
- S = vt(1), "formel"-väg;
- t=S/v(2), "formel" för beräkning av rörelsetid ;
- v=S/t(3), "formel" för att bestämma medelhastigheten på en spåravsnitt S korsat i tiden t.
Det vill säga att hitta önskad kvantitet v med relation (3) måste vi känna till de andra två exakt. Det är när vi löser frågan om hur man ska hitta den genomsnittliga rörelsehastigheten som vi först och främst måste bestämma vad hela den tillryggalagda sträckan är S och vad är hela rörelsetiden? t.
Matematisk upptäckt av dolda fel
I exemplet vi löser kommer den väg som kroppen (tåg eller fotgängare) färdas att vara lika med produkten nS n(eftersom vi n när vi lägger ihop lika delar av banan, i de givna exemplen - halvor, n=2, eller tredjedelar, n=3). Vi vet ingenting om den totala rörelsetiden. Hur bestämmer man medelhastigheten om nämnaren för fraktionen (3) inte är explicit specificerad? Låt oss använda relation (2), för varje sektion av vägen vi bestämmer t n = S n: v n. Belopp Vi kommer att skriva tidsintervallen beräknade på detta sätt under bråkets linje (3). Det är klart att för att bli av med "+"-tecknen måste du ge allt S n: v n till en gemensam nämnare. Resultatet är en "två våningar bråkdel." Därefter använder vi regeln: nämnarens nämnare går in i täljaren. Som ett resultat för tågproblemet efter minskning med S n vi har v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . För fallet med en fotgängare är frågan om hur man hittar medelhastigheten ännu svårare att lösa: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).
Explicit bekräftelse av felet "i siffror"
För att bekräfta med fingrarna att bestämning av det aritmetiska medelvärdet är fel sätt att göra beräkningar vons, låt oss göra exemplet mer konkret genom att ersätta abstrakta bokstäver med siffror. För tåget, låt oss ta hastigheterna 40 km/h Och 60 km/h(fel svar - 50 km/h). För en fotgängare - 5 , 6 Och 4 km/h(genomsnitt - 5 km/h). Det är lätt att verifiera genom att ersätta värdena i relationerna (4) och (5) att de rätta svaren är för lokomotivet 48 km/h och för en person - 4.(864) km/h(periodisk decimalbråk, resultatet är inte särskilt matematiskt vackert).
När det aritmetiska medelvärdet inte misslyckas
Om problemet formuleras så här: ”Under lika långa tidsintervall rörde sig kroppen först med fart v 1, då v 2, v 3 och så vidare", kan ett snabbt svar på frågan om hur man hittar medelhastigheten hittas på fel sätt. Vi låter läsaren se detta själv genom att summera lika tidsintervall i nämnaren och använda i täljaren v medel relation (1). Detta är kanske det enda fallet när en felaktig metod leder till ett korrekt resultat. Men för garanterat korrekta beräkningar måste du använda den enda korrekta algoritmen, alltid vända dig till bråket v av = S: t.
Algoritm för alla tillfällen
För att definitivt undvika misstag, när man bestämmer sig för hur man hittar den genomsnittliga hastigheten, är det tillräckligt att komma ihåg och följa en enkel sekvens av åtgärder:
- bestämma hela banan genom att summera längderna av dess individuella sektioner;
- ställ in all restid;
- dividera det första resultatet med det andra, de okända kvantiteterna som inte anges i problemet (med förbehåll för korrekt formulering av villkoren) reduceras.
Artikeln diskuterar de enklaste fallen när initialdata ges för lika delar av tiden eller lika delar av vägen. I det allmänna fallet kan förhållandet mellan kronologiska intervall eller avstånd som en kropp tillryggaläggs vara väldigt godtyckligt (men samtidigt matematiskt definierat, uttryckt som ett specifikt heltal eller bråktal). Regel för hänvisning till förhållande v av = S: t absolut universell och misslyckas aldrig, oavsett hur komplexa algebraiska transformationer som måste utföras vid första anblicken.
Slutligen noterar vi: den praktiska betydelsen av att använda rätt algoritm har inte gått obemärkt förbi för observanta läsare. Den korrekt beräknade medelhastigheten i exemplen visade sig vara något lägre än "medeltemperaturen" på motorvägen. Därför skulle en falsk algoritm för system som registrerar fortkörning innebära ett större antal felaktiga trafikpolisbeslut som skickas i "kedjebrev" till förare.
Medelhastighetsuppgifter (nedan kallade SV). Vi har redan tittat på uppgifter som involverar linjär rörelse. Jag rekommenderar att du tittar på artiklarna "" och "". Typiska uppgifter för medelhastighet är en grupp rörelseproblem, de ingår i Unified State Examination i matematik, och en sådan uppgift kan mycket troligt dyka upp framför dig vid själva provet. Problemen är enkla och kan lösas snabbt.
Tanken är denna: föreställ dig ett rörelseobjekt, till exempel en bil. Han färdas vissa delar av banan med olika hastigheter. Hela resan tar en del särskild tid. Så: medelhastighet är en sådan konstant hastighet med vilken en bil skulle tillryggalägga en given sträcka på samma tid, det vill säga formeln för medelhastighet är:
Om det fanns två delar av vägen, då
Om tre, i enlighet därmed:
*I nämnaren summerar vi tiden, och i täljaren de tillryggalagda sträckorna under motsvarande tidsintervall.
Bilen körde den första tredjedelen av sträckan i en hastighet av 90 km/h, den andra tredjedelen i en hastighet av 60 km/h och den sista tredjedelen i en hastighet av 45 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Som redan sagt är det nödvändigt att dela upp hela banan i hela rörelsetiden. Villkoret säger ungefär tre delar av stigen. Formel:
Låt oss beteckna helheten med S. Sedan körde bilen första tredjedelen av vägen:
Bilen körde den andra tredjedelen av vägen:
Bilen körde den sista tredjedelen av vägen:
Således
Bestäm själv:
Bilen körde den första tredjedelen av sträckan i en hastighet av 60 km/h, den andra tredjedelen i en hastighet av 120 km/h och den sista tredjedelen i en hastighet av 110 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Bilen körde den första timmen i en hastighet av 100 km/h, de följande två timmarna i en hastighet av 90 km/h och sedan i två timmar i en hastighet av 80 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Villkoret säger ungefär tre delar av stigen. Vi kommer att söka efter SC med hjälp av formeln:
Delarna av vägen ges inte till oss, men vi kan enkelt beräkna dem:
Den första delen av rutten var 1∙100 = 100 kilometer.
Den andra delen av rutten var 2∙90 = 180 kilometer.
Den tredje delen av rutten var 2∙80 = 160 kilometer.
Vi beräknar hastigheten:
Bestäm själv:
Bilen körde i en hastighet av 50 km/h under de första två timmarna, i en hastighet av 100 km/h under nästa timme och i en hastighet av 75 km/h under två timmar. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Bilen körde de första 120 km i en hastighet av 60 km/h, de nästa 120 km med en hastighet av 80 km/h och sedan 150 km i en hastighet av 100 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Det sägs om tre delar av stigen. Formel:
Sektionernas längd anges. Låt oss bestämma tiden som bilen spenderade på varje avsnitt: 120/60 timmar spenderades på den första delen, 120/80 timmar på den andra delen, 150/100 timmar på den tredje. Vi beräknar hastigheten:
Bestäm själv:
Bilen körde de första 190 km med en hastighet av 50 km/h, de följande 180 km med en hastighet av 90 km/h och sedan 170 km i en hastighet av 100 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
Halva tiden på vägen färdades bilen med en hastighet av 74 km/h och andra hälften av tiden med en hastighet av 66 km/h. Hitta fordonets IC längs hela rutten. Ge ditt svar i km/h.
*Det finns ett problem med en resenär som korsade havet. Killarna har problem med lösningen. Om du inte ser det, registrera dig på sidan! Registreringsknappen (logga in) finns i HUVUDMENYN på sajten. Efter registrering, logga in på sidan och uppdatera denna sida.
Resenären korsade havet på en yacht med medelhastighet 17 km/h. Han flög tillbaka på ett sportplan med en hastighet av 323 km/h. Hitta resenärens medelhastighet under hela resan. Ge ditt svar i km/h.
Med vänlig hälsning, Alexander.
P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.
Instruktioner
Betrakta funktionen f(x) = |x|. Till att börja med är detta en modul utan tecken, det vill säga grafen för funktionen g(x) = x. Denna graf är en rät linje som går genom origo och vinkeln mellan denna räta linje och x-axelns positiva riktning är 45 grader.
Eftersom modulen är en icke-negativ storhet måste delen som ligger under abskissaxeln speglas relativt den. För funktionen g(x) = x finner vi att grafen efter en sådan mappning kommer att se ut som V. Detta nytt schema och kommer att vara en grafisk tolkning av funktionen f(x) = |x|.
Video om ämnet
notera
Grafen för en funktions modul kommer aldrig att ligga i 3:e och 4:e kvartalet, eftersom modulen inte kan ta negativa värden.
Om en funktion innehåller flera moduler måste de utökas sekventiellt och sedan staplas ovanpå varandra. Resultatet blir den önskade grafen.
Källor:
- hur man ritar en funktion med moduler
Kinematiska problem där du behöver räkna fart, tid eller vägen för kroppar som rör sig likformigt och rätlinjigt, som finns i algebra- och fysikkursen. För att lösa dem, hitta i villkoret kvantiteter som kan utjämnas. Om tillståndet kräver definition tid vid en känd hastighet, använd följande instruktioner.
Du kommer behöva
- - penna;
- - papper för anteckningar.
Instruktioner
Det enklaste fallet är rörelsen av en kropp med en given uniform fart Yu. Avståndet som kroppen har tillryggalagt är känt. Hitta på vägen: t = S/v, timme, där S är avståndet, v är medelvärdet fart kroppar.
Den andra är för mötande rörelser av kroppar. En bil rör sig från punkt A till punkt B fart 50 km/h. En moped med en fart 30 km/h. Avståndet mellan punkterna A och B är 100 km. Måste hitta tid genom vilken de kommer att mötas.
Märk träffpunkten K. Låt avståndet AK för bilen vara x km. Då blir motorcyklistens väg 100 km. Av problemförhållandena följer det tid På vägen har en bil och en moped samma upplevelse. Gör upp ekvationen: x/v = (S-x)/v’, där v, v’ – och mopeden. Ersätt data och lös ekvationen: x = 62,5 km. Nu tid: t = 62,5/50 = 1,25 timmar eller 1 timme 15 minuter.
Tredje exemplet - samma villkor ges, men bilen gick 20 minuter senare än mopeden. Bestäm hur länge bilen ska resa innan du möter mopeden.
Skapa en ekvation som liknar den föregående. Men i det här fallet tid resan för en moped blir 20 minuter längre än för en bil. För att jämna ut delarna, subtrahera en tredjedel av en timme från den högra sidan av uttrycket: x/v = (S-x)/v’-1/3. Hitta x – 56,25. Beräkna tid: t = 56,25/50 = 1,125 timmar eller 1 timme 7 minuter 30 sekunder.
Det fjärde exemplet är ett problem som involverar förflyttning av kroppar i en riktning. En bil och en moped rör sig från punkt A i samma hastigheter Det är känt att bilen lämnade en halvtimme senare. Efter vad tid kommer han ikapp mopeden?
I det här fallet kommer den tillryggalagda sträckan att vara densamma fordon. Låta tid då kommer bilen att åka x timmar tid mopedens färd blir x+0,5 timmar. Du har ekvationen: vx = v’(x+0,5). Lös ekvationen genom att ersätta , och hitta x – 0,75 timmar eller 45 minuter.
Femte exemplet – en bil och en moped kör i samma hastighet i samma riktning, men mopeden lämnade punkt B, som ligger 10 km från punkt A, en halvtimme tidigare. Räkna efter vad tid Efter starten kommer bilen ikapp mopeden.
Avståndet som bilen tillryggalägger är 10 km längre. Lägg till denna skillnad till motorcyklistens väg och utjämna delarna av uttrycket: vx = v’(x+0,5)-10. Genom att ersätta hastighetsvärdena och lösa det får du: t = 1,25 timmar eller 1 timme 15 minuter.
Källor:
- vad är hastigheten på tidsmaskinen
Instruktioner
Beräkna medelvärdet av en kropp som rör sig jämnt längs en bana. Sådan fartär lättast att beräkna, eftersom det inte ändras över hela segmentet rörelse och är lika med genomsnittet. Detta kan uttryckas i formen: Vрд = Vср, där Vрд – fart enhetlig rörelse, och Vav – medel fart.
Beräkna medelvärdet fart jämnt långsam (jämnt accelererad) rörelse i detta område, för vilket det är nödvändigt att lägga till den första och sista fart. Dela resultatet med två, vilket
