Reducera den allmänna planekvationen till normal form. Normalplanekvation. Parametriska ekvationer för en linje i rymden
Normalplanekvation.
Den allmänna ekvationen för ett plan av formen kallas normalplanekvationen, om vektorlängden 
lika med ett, dvs. 
, Och .
Du kan ofta se att normalekvationen för ett plan skrivs som . Här är riktningscosinuserna för normalvektorn för ett givet längdenhetsplan, det vill säga och sid– ett icke-negativt tal lika med avståndet från origo till planet.
Normalekvationen för ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz definierar ett plan som avlägsnas från origo med ett avstånd sid i positiv riktning för normalvektorn i detta plan 
. Om p=0, sedan passerar planet genom origo.
Låt oss ge ett exempel på en normalplanekvation.
Låt planet specificeras i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz formens allmänna planekvation 
. Denna allmänna ekvation för planet är den normala ekvationen för planet. Den normala vektorn för detta plan är faktiskt 
har en längd lika med ett, eftersom 
.
Ekvationen för ett plan i normal form låter dig hitta avståndet från en punkt till ett plan.
Avstånd från en punkt till ett plan.
Avståndet från en punkt till ett plan är det minsta av avstånden mellan denna punkt och planets punkter. Det är känt att distans från en punkt till ett plan är lika med längden av vinkelrät ritat från denna punkt till planet.
Om och ursprunget för koordinater ligger på olika sidor av planet, i motsatt fall. Avståndet från en punkt till ett plan är
Inbördes arrangemang av plan. Villkor för parallellitet och vinkelräthet hos plan.
Avstånd mellan parallella plan
Relaterade begrepp
Planen är parallella , Om
eller 
(Vektorprodukt)
Planen är vinkelräta, Om
Eller 
. (Skalär produkt)
Rakt i rymden. Olika typer av räta linjeekvationer.
Ekvationer för en rät linje i rymden - initial information.
Ekvation för en rät linje på ett plan Oxyär en linjär ekvation i två variabler x Och y, som är uppfylld av koordinaterna för någon punkt på en linje och inte uppfylls av koordinaterna för några andra punkter. Med en rät linje i det tredimensionella rummet är situationen lite annorlunda - det finns ingen linjär ekvation med tre variabler x, y Och z, som endast skulle uppfyllas av koordinaterna för punkter på en linje specificerad i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz. Faktum är att en ekvation av formen , där x, y Och zär variabler och A, B, C Och D– några reella tal, och A, I Och MEDär inte lika med noll samtidigt, representerar generell planekvation. Då uppstår frågan: ”Hur kan en rät linje beskrivas i ett rektangulärt koordinatsystem? Oxyz»?
Svaret på detta finns i följande stycken i artikeln.
Ekvationerna för en rät linje i rymden är ekvationerna för två plan som skär varandra.
Låt oss komma ihåg ett axiom: om två plan i rymden har en gemensam punkt, så har de en gemensam rät linje på vilken alla de gemensamma punkterna för dessa plan är belägna. Således kan en rät linje i rymden definieras genom att specificera två plan som skär längs denna räta linje.
Låt oss översätta det sista påståendet till algebraspråket.
Låt ett rektangulärt koordinatsystem fixeras i tredimensionellt rum Oxyz och det är känt att den räta linjen aär skärningslinjen mellan två plan och, som motsvarar de allmänna ekvationerna för formens plan och resp. Eftersom det är rakt aär mängden av alla gemensamma punkter i planen och då kommer koordinaterna för varje punkt på linjen a samtidigt att uppfylla både ekvationen och ekvationen, koordinaterna för inga andra punkter kommer samtidigt att uppfylla båda ekvationerna för planen. Därför koordinaterna för valfri punkt på linjen a i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz representera särskild lösning på ett system av linjära ekvationer snäll 
och den allmänna lösningen till ekvationssystemet 
bestämmer koordinaterna för varje punkt på en linje a, det vill säga definierar en rät linje a.
Alltså en rak linje i rymden i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz kan ges av ett ekvationssystem av två skärande plan 
.
Här är ett exempel på att definiera en rät linje i rymden med hjälp av ett system med två ekvationer - 
.
Att beskriva en rät linje med ekvationerna för två skärande plan är utmärkt för hitta koordinaterna för skärningspunkten för en linje och ett plan, och även när hitta koordinaterna för skärningspunkten mellan två linjer i rymden.
Vi rekommenderar ytterligare studier av detta ämne genom att hänvisa till artikeln ekvationer för en linje i rymden - ekvationer av två plan som skär varandra. Den ger mer detaljerad information, diskuterar i detalj lösningar på typiska exempel och problem, och visar också en metod för att övergå till ekvationer av en rät linje i ett rum av en annan typ.
Det bör noteras att det finns olika sätt att definiera en linje i rymden, och i praktiken definieras en rät linje ofta inte av två skärande plan, utan av den räta linjens riktningsvektor och en punkt som ligger på denna räta linje. I dessa fall är det lättare att få kanoniska och parametriska ekvationer för en linje i rymden. Vi kommer att prata om dem i följande stycken.
Parametriska ekvationer för en linje i rymden.
Parametriska ekvationer för en linje i rymden ser ut som 
,
Var x 1 ,y 1 Och z 1 – koordinater för någon punkt på linjen, a x , a y Och a z (a x , a y Och a zär inte lika med noll samtidigt) - motsvarande koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor, a är någon parameter som kan ta vilket verkligt värde som helst.
För valfritt värde på parametern, med hjälp av de parametriska ekvationerna för en linje i rymden, kan vi beräkna en trippel av tal,
det kommer att motsvara någon punkt på linjen (därav namnet på denna typ av linjeekvation). Till exempel när
från de parametriska ekvationerna för en rät linje i rymden får vi koordinaterna x 1
, y 1
Och z 1
: 
.
Som ett exempel, betrakta en rät linje definierad av parametriska ekvationer av formen 
. Denna linje passerar genom en punkt, och riktningsvektorn för denna linje har koordinater.
Vi rekommenderar att du fortsätter att studera ämnet genom att hänvisa till artikeln parametriska ekvationer för en linje i rymden. Den visar härledning av parametriska ekvationer för en linje i rymden, undersöker specialfall av parametriska ekvationer för en linje i rymden, ger grafiska illustrationer, ger detaljerade lösningar på karakteristiska problem och indikerar sambandet mellan parametriska ekvationer för en linje och andra typer av ekvationer av en linje.
Kanoniska ekvationer av en rät linje i rymden.
Efter att ha löst var och en av de parametriska räta linjeekvationerna i formen 
angående parametern är den lätt att gå till kanoniska ekvationer av en rät linje i rymden snäll 
.
De kanoniska ekvationerna för en linje i rymden bestämmer en linje som går genom en punkt 
, och den räta linjens riktningsvektor är vektorn 
. Till exempel ekvationerna för en rät linje i kanonisk form 
motsvarar en linje som går genom en punkt i rymden med koordinater, riktningsvektorn för denna linje har koordinater.
Det bör noteras att ett eller två av talen i en linjes kanoniska ekvationer kan vara lika med noll (alla tre talen kan inte vara lika med noll samtidigt, eftersom riktningsvektorn för en linje inte kan vara noll). Sedan en notering av formen 
anses formell (eftersom nämnare för ett eller två bråk har nollor) och ska förstås som 
, Var.
Om ett av talen i en linjes kanoniska ekvationer är lika med noll, så ligger linjen i ett av koordinatplanen, eller i ett plan parallellt med det. Om två av talen är noll, så sammanfaller linjen antingen med en av koordinataxlarna eller är parallell med den. Till exempel en linje som motsvarar de kanoniska ekvationerna för en linje i formens rymd 
, ligger i planet z=-2, som är parallell med koordinatplanet Oxy, och koordinataxeln Oj bestäms av kanoniska ekvationer.
För grafiska illustrationer av dessa fall, härledningen av de kanoniska ekvationerna för en linje i rymden, detaljerade lösningar av typiska exempel och problem, samt övergången från en linjes kanoniska ekvationer till andra ekvationer för en linje i rymden, se artikel kanoniska ekvationer av en linje i rymden.
Allmän ekvation för en rät linje. Övergång från den allmänna till den kanoniska ekvationen.
| " |
I den här lektionen kommer vi att titta på hur man använder determinanten för att skapa plan ekvation. Om du inte vet vad en determinant är, gå till den första delen av lektionen - "Matriser och determinanter". Annars riskerar du att inte förstå något i dagens material.
Ekvation av ett plan med tre punkter
Varför behöver vi överhuvudtaget en planekvation? Det är enkelt: genom att veta det kan vi enkelt beräkna vinklar, avstånd och annat skit i problem C2. I allmänhet kan du inte klara dig utan denna ekvation. Därför formulerar vi problemet:
Uppgift. Tre poäng ges i rymden som inte ligger på samma linje. Deras koordinater:
M = (x 1, yl, z 1);
N = (x 2, y2, z2);
K = (x 3, y3, z3);Du måste skapa en ekvation för planet som passerar genom dessa tre punkter. Dessutom bör ekvationen se ut så här:
Axe + By + Cz + D = 0
där talen A, B, C och D är de koefficienter som faktiskt måste hittas.
Tja, hur får man fram ekvationen för ett plan om bara punkternas koordinater är kända? Det enklaste sättet är att ersätta koordinaterna i ekvationen Ax + By + Cz + D = 0. Du får ett system med tre ekvationer som enkelt kan lösas.
Många elever tycker att denna lösning är extremt tråkig och opålitlig. Förra årets Unified State Examination i matematik visade att sannolikheten för att göra ett beräkningsfel är riktigt hög.
Därför började de mest avancerade lärarna leta efter enklare och mer eleganta lösningar. Och de hittade det! Det är sant att den erhållna tekniken snarare relaterar till högre matematik. Personligen var jag tvungen att rota igenom hela den federala listan över läroböcker för att försäkra mig om att vi har rätt att använda den här tekniken utan någon motivering eller bevis.
Ekvation av ett plan genom en determinant
Nog med texterna, låt oss börja. Till att börja med en sats om hur determinanten för en matris och planets ekvation hänger ihop.
Sats. Låt koordinaterna för tre punkter genom vilka planet måste dras ges: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Sedan kan ekvationen för detta plan skrivas genom determinanten:
Som ett exempel, låt oss försöka hitta ett par plan som faktiskt förekommer i problem C2. Titta hur snabbt allting beräknas:
Ai = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
Ci = (1, 1, 1);
Vi komponerar en determinant och likställer den med noll:
Vi utökar determinanten:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Som du kan se, när jag beräknade talet d, "kammade" jag ekvationen lite så att variablerna x, y och z hamnade i rätt följd. Det är allt! Planekvationen är klar!
Uppgift. Skriv en ekvation för ett plan som passerar genom punkterna:
A = (0, 0, 0);
Bi = (1, 0, 1);
Di = (0, 1, 1);
Vi ersätter omedelbart punkternas koordinater med determinanten:
Vi utökar determinanten igen:
a = 11z + 01x + 10y = z;
b = 11 x + 00z + 11 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Så, planets ekvation erhålls igen! Återigen, i det sista steget var vi tvungna att ändra tecknen i den för att få en mer "vacker" formel. Det är inte alls nödvändigt att göra detta i den här lösningen, men det rekommenderas fortfarande - för att förenkla den ytterligare lösningen av problemet.
Som du kan se är det nu mycket lättare att komponera ekvationen för ett plan. Vi ersätter punkterna i matrisen, beräknar determinanten - och det är det, ekvationen är klar.
Detta kan avsluta lektionen. Men många elever glömmer hela tiden vad som finns inuti determinanten. Till exempel vilken rad innehåller x 2 eller x 3, och vilken rad innehåller bara x. För att verkligen få det här ur vägen, låt oss titta på var varje nummer kommer ifrån.
Var kommer formeln med determinanten ifrån?
Så låt oss ta reda på var en så hård ekvation med en determinant kommer ifrån. Detta hjälper dig att komma ihåg det och tillämpa det framgångsrikt.
Alla plan som förekommer i uppgift C2 definieras av tre punkter. Dessa punkter är alltid markerade på ritningen, eller till och med indikerade direkt i problemtexten. I vilket fall som helst, för att skapa en ekvation måste vi skriva ner deras koordinater:
M = (x 1, yl, z 1);
N = (x 2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Låt oss överväga en annan punkt på vårt plan med godtyckliga koordinater:
T = (x, y, z)
Ta vilken punkt som helst från de tre första (till exempel punkt M) och rita vektorer från den till var och en av de tre återstående punkterna. Vi får tre vektorer:
MN = (x2-x1, y2-y1, z2-z1);
MK = (x3 - xl, y3 - y1, z3 - z1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
Låt oss nu komponera en kvadratisk matris från dessa vektorer och likställa dess determinant med noll. Koordinaterna för vektorerna kommer att bli rader i matrisen - och vi kommer att få själva determinanten som anges i satsen:
Denna formel betyder att volymen av en parallellepiped byggd på vektorerna MN, MK och MT är lika med noll. Därför ligger alla tre vektorerna i samma plan. I synnerhet är en godtycklig punkt T = (x, y, z) exakt vad vi letade efter.
Ersätter punkter och linjer för en determinant
Determinanter har flera fantastiska egenskaper som gör det ännu enklare lösning på problem C2. Till exempel spelar det ingen roll för oss från vilken punkt vi drar vektorerna. Därför ger följande determinanter samma planekvation som den ovan:
Du kan också byta determinantens rader. Ekvationen kommer att förbli oförändrad. Till exempel gillar många att skriva en rad med koordinaterna för punkten T = (x; y; z) längst upp. Snälla, om det passar dig:
Vissa människor blir förvirrade av att en av raderna innehåller variablerna x, y och z, som inte försvinner när man byter punkter. Men de ska inte försvinna! Genom att ersätta siffrorna i determinanten bör du få denna konstruktion:
Sedan utökas determinanten enligt diagrammet som ges i början av lektionen, och standardekvationen för planet erhålls:
Axe + By + Cz + D = 0
Ta en titt på ett exempel. Det är den sista i dagens lektion. Jag kommer medvetet att byta linjer för att se till att svaret ger samma ekvation för planet.
Uppgift. Skriv en ekvation för ett plan som passerar genom punkterna:
Bi = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Di = (0, 1, 1).
Så vi överväger fyra punkter:
Bi = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Di = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Låt oss först skapa en standarddeterminant och likställa den med noll:
Vi utökar determinanten:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a - b = y - (2 - x - z) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Det är det, vi fick svaret: x + y + z − 2 = 0.
Låt oss nu ordna om ett par rader i determinanten och se vad som händer. Till exempel, låt oss skriva en rad med variablerna x, y, z inte längst ner, utan överst:
Vi utökar återigen den resulterande determinanten:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 10 + y (−1) (−1) + (x − 1) 10 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Vi fick exakt samma planekvation: x + y + z − 2 = 0. Det betyder att det verkligen inte beror på ordningen på raderna. Allt som återstår är att skriva ner svaret.
Så vi är övertygade om att ekvationen för planet inte beror på sekvensen av linjer. Vi kan utföra liknande beräkningar och bevisa att ekvationen för planet inte beror på den punkt vars koordinater vi subtraherar från andra punkter.
I problemet ovan använde vi punkten B 1 = (1, 0, 1), men det var fullt möjligt att ta C = (1, 1, 0) eller D 1 = (0, 1, 1). I allmänhet, vilken punkt som helst med kända koordinater som ligger på det önskade planet.
Kan specificeras på olika sätt (en punkt och en vektor, två punkter och en vektor, tre punkter, etc.). Det är med detta i åtanke som planekvationen kan ha olika former. Under vissa villkor kan plan också vara parallella, vinkelräta, skärande, etc. Vi kommer att prata om detta i den här artikeln. Vi kommer att lära oss hur man skapar en generell planekvation med mera.
Normal form av ekvation
Låt oss säga att det finns ett mellanslag R 3 som har ett rektangulärt XYZ-koordinatsystem. Låt oss definiera vektorn α, som kommer att frigöras från startpunkten O. Genom slutet av vektorn α ritar vi ett plan P, som kommer att vara vinkelrätt mot det.
Låt oss beteckna en godtycklig punkt på P som Q = (x, y, z). Låt oss signera radievektorn för punkt Q med bokstaven p. I detta fall är längden på vektorn α lika med р=IαI och Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Detta är en enhetsvektor som är riktad åt sidan, som vektorn α. α, β och γ är de vinklar som bildas mellan vektorn Ʋ och de positiva riktningarna för rymdaxlarna x, y, z respektive. Projektionen av valfri punkt QϵП på vektorn Ʋ är ett konstant värde som är lika med p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Ovanstående ekvation är vettig när p=0. Det enda är att planet P i detta fall kommer att skära punkten O (α=0), som är origo för koordinater, och enhetsvektorn Ʋ som frigörs från punkten O kommer att vara vinkelrät mot P, trots dess riktning, vilket betyder att vektorn Ʋ bestäms med tecknet noggrant. Den föregående ekvationen är ekvationen för vårt plan P, uttryckt i vektorform. Men i koordinater ser det ut så här:
P här är större än eller lika med 0. Vi har hittat ekvationen för planet i rymden i normal form.
Allmän ekvation
Om vi multiplicerar ekvationen i koordinater med ett tal som inte är lika med noll, får vi en ekvation som motsvarar denna, som definierar just det planet. Det kommer att se ut så här:
Här är A, B, C tal som samtidigt skiljer sig från noll. Denna ekvation kallas den allmänna planekvationen.
Planekvationer. Speciella fall
Ekvationen i allmän form kan modifieras i närvaro av ytterligare villkor. Låt oss titta på några av dem.
Låt oss anta att koefficienten A är 0. Det betyder att detta plan är parallellt med den givna Ox-axeln. I det här fallet kommer formen på ekvationen att ändras: Ву+Cz+D=0.
På samma sätt kommer ekvationens form att ändras under följande förhållanden:
- För det första, om B = 0, kommer ekvationen att ändras till Ax + Cz + D = 0, vilket kommer att indikera parallellitet med Oy-axeln.
- För det andra, om C=0, kommer ekvationen att omvandlas till Ax+By+D=0, vilket kommer att indikera parallellitet med den givna Oz-axeln.
- För det tredje, om D=0, kommer ekvationen att se ut som Ax+By+Cz=0, vilket innebär att planet skär O (origo).
- För det fjärde, om A=B=0, kommer ekvationen att ändras till Cz+D=0, vilket kommer att visa sig vara parallellt med Oxy.
- För det femte, om B=C=0, så blir ekvationen Ax+D=0, vilket betyder att planet till Oyz är parallellt.
- För det sjätte, om A=C=0, kommer ekvationen att ha formen Ву+D=0, det vill säga den kommer att rapportera parallellism till Oxz.
Typ av ekvation i segment
I det fall då talen A, B, C, D skiljer sig från noll, kan formen av ekvation (0) vara som följer:
x/a + y/b + z/c = 1,
där a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Vi får som ett resultat Det är värt att notera att detta plan kommer att skära Ox-axeln i en punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) och Oz - (0,0,c. ).
Med hänsyn till ekvationen x/a + y/b + z/c = 1 är det inte svårt att visuellt föreställa sig planets placering i förhållande till ett givet koordinatsystem.
Normala vektorkoordinater
Normalvektorn n till planet P har koordinater som är koefficienter för den allmänna ekvationen för detta plan, det vill säga n (A, B, C).
För att bestämma koordinaterna för det normala n räcker det att känna till den allmänna ekvationen för ett givet plan.
När du använder en ekvation i segment, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, såväl som när du använder en generell ekvation, kan du skriva koordinaterna för vilken normalvektor som helst i ett givet plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).
Det är värt att notera att den normala vektorn hjälper till att lösa en mängd olika problem. De vanligaste inkluderar problem som innebär att bevisa planens vinkelräta eller parallellitet, problem med att hitta vinklar mellan plan eller vinklar mellan plan och räta linjer.
Typ av planekvation enligt koordinaterna för punkten och normalvektorn
En vektor som inte är noll n vinkelrät mot ett givet plan kallas normal för ett givet plan.
Låt oss anta att i koordinatrummet (rektangulärt koordinatsystem) ges Oxyz:
- punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
- nollvektor n=A*i+B*j+C*k.
Det är nödvändigt att skapa en ekvation för ett plan som kommer att passera genom punkten Mₒ vinkelrätt mot normalen n.
Vi väljer vilken godtycklig punkt som helst i rymden och betecknar den M (x y, z). Låt radievektorn för någon punkt M (x,y,z) vara r=x*i+y*j+z*k, och radievektorn för punkten Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M kommer att tillhöra ett givet plan om vektorn MₒM är vinkelrät mot vektorn n. Låt oss skriva ortogonalitetsvillkoret med hjälp av den skalära produkten:
[MₒM, n] = 0.
Eftersom MₒM = r-rₒ kommer vektorekvationen för planet att se ut så här:
Denna ekvation kan ha en annan form. För att göra detta används egenskaperna hos den skalära produkten, och den vänstra sidan av ekvationen transformeras. = - . Om vi betecknar det som c får vi följande ekvation: - c = 0 eller = c, som uttrycker konstansen av projektionerna på normalvektorn för radievektorerna för givna punkter som hör till planet.
Nu kan vi få koordinatformen för att skriva vektorekvationen för vårt plan = 0. Eftersom r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, och n = A*i+B *j+С*k, vi har:
Det visar sig att vi har en ekvation för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot normalen n:
A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.
Typ av planekvation enligt koordinaterna för två punkter och en vektor i linje med planet
Låt oss definiera två godtyckliga punkter M′ (x′,y′,z′) och M″ (x″,y″,z″), samt en vektor a (a′,a″,a‴).
Nu kan vi skapa en ekvation för ett givet plan som kommer att passera genom de befintliga punkterna M′ och M″, såväl som vilken punkt M som helst med koordinater (x, y, z) parallella med den givna vektorn a.
I detta fall måste vektorerna M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) och M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vara i samma plan som vektorn a=(a′,a″,a‴), vilket betyder att (M′M, M″M, a)=0.
Så vår planekvation i rymden kommer att se ut så här:
Typ av ekvation för ett plan som skär tre punkter
Låt oss säga att vi har tre punkter: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som inte tillhör samma linje. Det är nödvändigt att skriva ekvationen för ett plan som passerar genom givna tre punkter. Teorin om geometri hävdar att denna typ av plan verkligen existerar, men det är det enda och unika. Eftersom detta plan skär punkten (x′,y′,z′), kommer formen på dess ekvation att vara följande:
Här skiljer sig A, B, C från noll samtidigt. Dessutom skär det givna planet ytterligare två punkter: (x″,y″,z″) och (x‴,y‴,z‴). I detta avseende måste följande villkor vara uppfyllda:
Nu kan vi skapa ett homogent system med okända u, v, w:
I vårt fall är x, y eller z en godtycklig punkt som uppfyller ekvation (1). Givet ekvation (1) och ekvationssystemet (2) och (3), uppfylls ekvationssystemet som anges i figuren ovan av vektorn N (A,B,C), som är icke-trivial. Det är därför som determinanten för detta system är lika med noll.
Ekvation (1) som vi har erhållit är ekvationen för planet. Den går igenom 3 punkter exakt, och detta är lätt att kontrollera. För att göra detta måste vi utöka vår determinant till elementen i den första raden. Av de existerande egenskaperna hos determinanten följer att vårt plan samtidigt skär tre initialt givna punkter (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vill säga att vi har löst uppdraget som vi tilldelats.
Dihedral vinkel mellan plan
En dihedral vinkel är en rumslig geometrisk figur som bildas av två halvplan som utgår från en rät linje. Detta är med andra ord den del av rymden som begränsas av dessa halvplan.
Låt oss säga att vi har två plan med följande ekvationer:
Vi vet att vektorerna N=(A,B,C) och N¹=(A¹,B¹,C¹) är vinkelräta enligt de givna planen. I detta avseende är vinkeln φ mellan vektorerna N och N¹ lika med vinkeln (dihedral) som är placerad mellan dessa plan. Prickprodukten har formen:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
just därför
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Det räcker att ta hänsyn till att 0≤φ≤π.
Faktum är att två plan som skär varandra bildar två vinklar (dihedral): φ 1 och φ 2. Deras summa är lika med π (φ 1 + φ 2 = π). När det gäller deras cosinus är deras absoluta värden lika, men de skiljer sig i tecken, det vill säga cos φ 1 = -cos φ 2. Om vi i ekvation (0) ersätter A, B och C med talen -A, -B respektive -C, så kommer ekvationen som vi får att bestämma samma plan, det enda, vinkeln φ i ekvationen cos φ= NN 1 /| N||N 1 | kommer att ersättas med π-φ.
Ekvation för ett vinkelrät plan
Plan mellan vilka vinkeln är 90 grader kallas vinkelräta. Med hjälp av materialet som presenteras ovan kan vi hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt mot ett annat. Låt oss säga att vi har två plan: Ax+By+Cz+D=0 och A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan säga att de kommer att vara vinkelräta om cosφ=0. Detta betyder att NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Parallellplans ekvation
Två plan som inte innehåller gemensamma punkter kallas parallella.
Villkoret (deras ekvationer är desamma som i föregående stycke) är att vektorerna N och N¹, som är vinkelräta mot dem, är kolinjära. Detta innebär att följande proportionalitetsvillkor är uppfyllda:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Om proportionalitetsvillkoren utökas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
detta indikerar att dessa plan sammanfaller. Det betyder att ekvationerna Ax+By+Cz+D=0 och A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.
Avstånd till plan från punkt
Låt oss säga att vi har ett plan P, som ges av ekvation (0). Det är nödvändigt att hitta avståndet till den från en punkt med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. För att göra detta måste du föra ekvationen för planet P till normal form:
(ρ,v)=р (р≥0).
I det här fallet är ρ (x,y,z) radievektorn för vår punkt Q som ligger på P, p är längden på den vinkelräta P som frigjordes från nollpunkten, v är enhetsvektorn, som finns i riktningen a.
Skillnaden ρ-ρº radievektor för någon punkt Q = (x, y, z), som hör till P, såväl som radievektorn för en given punkt Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) är en sådan vektor, det absoluta värdet av projektionen som på v är lika med avståndet d som måste hittas från Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) till P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men
(ρ-poo,v)= (p,v)-(poo,v) =р-(poo,v).
Så visar det sig
d=|(poo,v)-r|.
Således kommer vi att hitta det absoluta värdet av det resulterande uttrycket, det vill säga det önskade d.
Med hjälp av parameterspråket får vi det uppenbara:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Om en given punkt Q 0 är på andra sidan av planet P, som origo för koordinater, så finns det därför mellan vektorn ρ-ρ 0 och v:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
I fallet när punkten Q 0, tillsammans med origo för koordinater, ligger på samma sida av P, är den skapade vinkeln spetsig, det vill säga:
d=(ρ-poo,v)=р - (poo, v)>0.
Som ett resultat visar det sig att i det första fallet (ρ 0 ,v)>р, i det andra (ρ 0 ,v)<р.
Tangentplan och dess ekvation
Tangentplanet till ytan vid kontaktpunkten Mº är ett plan som innehåller alla möjliga tangenter till kurvorna som dras genom denna punkt på ytan.
Med denna typ av ytekvation F(x,y,z)=0, kommer ekvationen för tangentplanet vid tangentpunkten Mº(xº,yº,zº) att se ut så här:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Om du anger ytan i explicit form z=f (x,y), kommer tangentplanet att beskrivas med ekvationen:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Skärning mellan två plan
I koordinatsystemet (rektangulärt) finns Oxyz, två plan П′ och П″ ges, som skär varandra och inte sammanfaller. Eftersom vilket plan som helst i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av en generell ekvation, kommer vi att anta att P′ och P″ ges av ekvationerna A′x+B′y+C′z+D′=0 och A″x +B″y+ С″z+D″=0. I det här fallet har vi det normala n′ (A′,B′,C′) för planet P′ och det normala n″ (A″,B″,C″) för planet P″. Eftersom våra plan inte är parallella och inte sammanfaller, är dessa vektorer inte kolinjära. Med hjälp av matematikens språk kan vi skriva detta villkor enligt följande: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Låt den räta linjen som ligger i skärningspunkten mellan P′ och P″ betecknas med bokstaven a, i detta fall a = P′ ∩ P″.
a är en rät linje som består av mängden av alla punkter i de (gemensamma) planen P′ och P″. Detta innebär att koordinaterna för varje punkt som hör till linje a samtidigt måste uppfylla ekvationerna A′x+B′y+C′z+D′=0 och A″x+B″y+C″z+D″=0 . Detta betyder att punktens koordinater kommer att vara en partiell lösning av följande ekvationssystem:
Som ett resultat visar det sig att den (allmänna) lösningen av detta ekvationssystem kommer att bestämma koordinaterna för var och en av punkterna på linjen, som kommer att fungera som skärningspunkten för P′ och P″, och bestämma den räta linjen a i Oxyz (rektangulära) koordinatsystemet i rymden.
Låt oss betrakta planet Q i rymden. Dess position bestäms helt genom att specificera vektorn N vinkelrätt mot detta plan och någon fast punkt som ligger i Q-planet. Vektorn N vinkelrätt mot Q-planet kallas normalvektorn för detta plan. Om vi betecknar med A, B och C projektionerna av normalvektorn N, då
Låt oss härleda ekvationen för planet Q som passerar genom en given punkt och har en given normalvektor. För att göra detta, betrakta en vektor som förbinder en punkt med en godtycklig punkt på Q-planet (fig. 81).
För varje position av punkt M på planet Q är vektorn MHM vinkelrät mot normalvektorn N i planet Q. Därför, skalärprodukten Låt oss skriva skalärprodukten i termer av projektioner. Eftersom , och är en vektor, alltså
och därför
Vi har visat att koordinaterna för vilken punkt som helst i Q-planet uppfyller ekvation (4). Det är lätt att se att koordinaterna för punkter som inte ligger på Q-planet inte uppfyller denna ekvation (i det senare fallet ). Följaktligen har vi erhållit den erforderliga ekvationen för planet Q. Ekvation (4) kallas ekvationen för planet som passerar genom en given punkt. Den är av första graden i förhållande till de aktuella koordinaterna
Så vi har visat att varje plan motsvarar en ekvation av första graden med avseende på de aktuella koordinaterna.
Exempel 1. Skriv ekvationen för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot vektorn.
Lösning. Här . Baserat på formel (4) får vi
eller, efter förenkling,
Genom att ge koefficienterna A, B och C i ekvation (4) olika värden kan vi erhålla ekvationen för vilket plan som helst som passerar genom punkten. Uppsättningen av plan som passerar genom en given punkt kallas en bunt av plan. Ekvation (4), där koefficienterna A, B och C kan ha vilka värden som helst, kallas ekvationen för ett gäng plan.
Exempel 2. Skapa en ekvation för ett plan som går genom tre punkter (Fig. 82).
Lösning. Låt oss skriva ekvationen för ett gäng plan som passerar genom punkten
1. Allmän planekvation
Definition. Ett plan är en yta vars alla punkter uppfyller den allmänna ekvationen: Ax + By + Cz + D = 0, där A, B, C är vektorns koordinater
N = Ai + Bj + Ck är normalvektorn till planet. Följande specialfall är möjliga:
A = 0 – plan parallellt med Ox-axeln
B = 0 – plan parallellt med Oy-axeln C = 0 – plan parallellt med Oz-axeln
D = 0 – planet passerar genom origo
A = B = 0 – planet är parallellt med xOy-planet A = C = 0 – planet är parallellt med xOz-planet B = C = 0 – planet är parallellt med yOz-planet A = D = 0 – planet passerar genom Ox axel
B = D = 0 – planet passerar genom Oy-axeln C = D = 0 – planet passerar genom Oz-axeln
A = B = D = 0 – planet sammanfaller med xОу-planet A = C = D = 0 – planet sammanfaller med xOz-planet B = C = D = 0 – planet sammanfaller med yOz-planet
2. Ytekvation i rymden
Definition. Varje ekvation som relaterar x, y, z-koordinaterna för någon punkt på en yta är en ekvation för den ytan.
3. Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter
För att ett enda plan ska kunna dras genom tre punkter i rymden är det nödvändigt att dessa punkter inte ligger på samma räta linje.
Betrakta punkterna M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) i det allmänna kartesiska systemet
koordinater |
||||||
För att få en godtycklig punkt M (x, y, z) |
låg i samma plan med spetsarna |
|||||
M1, M2, M3 är det nödvändigt att vektorerna M1M2, M1M3, M1M är koplanära, dvs. |
||||||
M1 M = (x - x1; y - y1; z - z1) |
||||||
(M1M2, M1M3, M1M) = 0. Således M1M2 |
= ( x 2 − x 1 ; y 2 |
-y1; z 2 − z 1) |
||||
M1 M 3 |
= ( x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1) |
|||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||
Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
x 3 − x 1 |
y 3 − y 1 |
z 3 − z 1 |
||||
4. Ekvation av ett plan med två punkter och en vektor i linje med planet
Låt punkterna M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) och vektorer = (a 1, a 2, a 3) ges.
Låt oss skapa en ekvation för ett plan som passerar genom dessa punkter M1 och M2 och en godtycklig
punkt M(x, y, z) parallell med vektor a. |
||||||||||
Vektorer M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
och vektor a = (a , a |
måste vara |
||||||||
M 1M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1) |
||||||||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||||||
coplanar, dvs. (M 1 M, M 1 M 2, a) = 0. Planekvation: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||||||
5. Ekvation av ett plan med en punkt och två vektorer i linje med planet
Låt två vektorer a = (a 1, a 2, a 3) och b = (b 1,b 2,b 3), kolinjära plan, ges. Sedan för en godtycklig punkt M(x, y, z) som hör till planet måste vektorerna a, b, MM 1 vara i samma plan.
6. Ekvation av ett plan med punkt och normalvektor
Sats. Om en punkt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ges i rymden så har ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 vinkelrät mot normalvektorn N (A , B , C ) formen: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. Ekvation för ett plan i segment
Om i den allmänna ekvationen Ax + By + Cz + D = 0 dividerar vi båda sidor med (-D)
x− |
y − |
z − 1 = 0 , ersätter − |
C , får vi planets ekvation |
|||||||||||||||||||
i segment: |
1 . Siffrorna a, b, c är skärningspunkterna för planet respektive |
|||||||||||||||||||||
med axlarna x, y, z.
8. Ekvation för ett plan i vektorform
r n = p, där r = xi + yj + zk är radievektorn för den aktuella punkten M (x, y, z),
n = i cosα + j cos β + k cosγ - enhetsvektor med riktningen vinkelrät,
sänkt på planet från utgångspunkten. α, β och γ är vinklarna som bildas av denna vektor med x-, y- och z-axlarna. p är längden på denna vinkelrät. I koordinater ser denna ekvation ut så här:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. Avstånd från punkt till plan
Avståndet från en godtycklig punkt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) till planet Ax + By + Cz + D = 0 är:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
Exempel. Hitta ekvationen för planet som går genom punkterna A(2,-1,4) och B(3,2,-1) vinkelrät mot planet x + y + 2z − 3 = 0.
Den nödvändiga planekvationen har formen: Ax + By + Cz + D = 0, normalvektor till detta plan n 1 (A,B,C). Vektor AB (1,3,-5) tillhör planet. Planet som gavs till oss,
vinkelrätt mot den önskade har en normalvektor n 2 (1,1,2). Därför att Punkterna A och B hör till båda planen, och planen är alltså inbördes vinkelräta
n = AB × n |
− 5 |
− j |
− 5 |
11 i − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
Således är den normala vektorn n 1 (11,-7,-2). Därför att punkt A tillhör det önskade planet, då måste dess koordinater uppfylla ekvationen för detta plan, dvs.
11,2 + 7,1-2,4 + D = 0; D = − 21. Totalt får vi ekvationen för planet: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. Ekvation för en linje i rymden
Både på planet och i rymden kan vilken linje som helst definieras som en uppsättning punkter vars koordinater i något koordinatsystem valt i rymden uppfyller ekvationen:
F(x, y, z) = 0. Denna ekvation kallas ekvationen för en linje i rymden.
Dessutom kan en linje i rymden definieras på olika sätt. Det kan betraktas som skärningslinjen mellan två ytor, som var och en specificeras av någon ekvation.
Låt F (x, y, z) = 0 och Ф (x, y, z) = 0 – ekvationer för ytor som skär längs linjen L.
F(x, y, z) = 0
Då kommer ekvationsparet Ф (x, y, z) = 0 att kallas ekvationen för en linje i rymden.
11. Ekvation för en rät linje i rymden givet en punkt och en riktningsvektor 0 = M 0 M .
Därför att vektorerna М 0 М och S är kolinjära, då är relationen М 0 М = St sann, där t är en viss parameter. Totalt kan vi skriva: r = r 0 + St.
Därför att Om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna för någon punkt på linjen, är den resulterande ekvationen en parametrisk ekvation för linjen.
x = x0 + mt
Denna vektorekvation kan representeras i koordinatform: y = y 0 + nt
z = z0 + pt
Genom att transformera detta system och likställa värdena för parametern t får vi det kanoniska
ekvationer för en rät linje i rymden: |
x−x0 |
y−y0 |
z − z0 |
|||
Definition. Riktningscosinuserna för en rät linje är riktningscosinuserna för vektorn S, som kan beräknas med formlerna:
cosα = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N2+p2 |
m 2 + n 2 + p 2 |
|||||||
Härifrån får vi: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.
Talen m, n, p kallas linjens lutning. Därför att S är en vektor som inte är noll, då kan inte m, n och p vara noll samtidigt, men ett eller två av dessa tal kan vara noll. I detta fall, i linjens ekvation, bör motsvarande täljare sättas lika med noll.
12. Ekvation för en linje i rymden som går genom två punkter
Om vi på en rät linje i rymden markerar två godtyckliga punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) och
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), då måste koordinaterna för dessa punkter uppfylla den räta linjeekvationen som erhålls ovan:
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
