Amua pembe kati ya kikokotoo cha laini mtandaoni. Kutafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka
Nitakuwa mfupi. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka sawa na pembe kati ya veta zao za mwelekeo. Kwa hivyo, ikiwa utaweza kupata kuratibu za vekta za mwelekeo a = (x 1; y 1; z 1) na b = (x 2; y 2}; z 2), unaweza kupata pembe. Kwa usahihi zaidi, cosine ya pembe kulingana na formula:
Wacha tuone jinsi fomula hii inavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:
Kazi. Katika mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pointi E na F ni alama - midpoints ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AE na BF.
Kwa kuwa kando ya mchemraba haijainishwa, hebu tuweke AB = 1. Tunaanzisha mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, axes x, y, z huelekezwa pamoja na AB, AD na AA 1, kwa mtiririko huo. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Sasa hebu tupate kuratibu za vectors za mwelekeo kwa mistari yetu.
Wacha tupate kuratibu za vector AE. Kwa hili tunahitaji pointi A = (0; 0; 0) na E = (0.5; 0; 1). Kwa kuwa hatua E ni katikati ya sehemu A 1 B 1, kuratibu zake ni sawa na maana ya hesabu ya kuratibu za mwisho. Kumbuka kwamba asili ya vector AE inafanana na asili ya kuratibu, hivyo AE = (0.5; 0; 1).
Sasa hebu tuangalie vekta ya BF. Vile vile, tunachambua pointi B = (1; 0; 0) na F = (1; 0.5; 1), kwa sababu F ni katikati ya sehemu B 1 C 1. Tunayo:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Kwa hivyo, veta za mwelekeo ziko tayari. Cosine ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni cosine ya pembe kati ya veta za mwelekeo, kwa hivyo tunayo:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya triangular ABCA 1 B 1 C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi D na E zimewekwa alama - katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AD na BE.
Wacha tuanzishe mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko katika hatua A, mhimili wa x unaelekezwa kando ya AB, z - kando ya AA 1. Wacha tuelekeze mhimili y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya ABC. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Hebu tupate kuratibu za vectors za mwelekeo kwa mistari inayohitajika.
Kwanza, hebu tupate kuratibu za vector AD. Fikiria mambo haya: A = (0; 0; 0) na D = (0.5; 0; 1), kwa sababu D - katikati ya sehemu A 1 B 1. Tangu mwanzo wa vector AD inafanana na asili ya kuratibu, tunapata AD = (0.5; 0; 1).
Sasa hebu tupate kuratibu za vector BE. Pointi B = (1; 0; 0) ni rahisi kukokotoa. Kwa uhakika E - katikati ya sehemu C 1 B 1 - ni ngumu zaidi kidogo. Tunayo:
Inabakia kupata cosine ya pembe:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi K na L zimewekwa alama - katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo. . Tafuta pembe kati ya mistari AK na BL.
Wacha tuanzishe mfumo wa kawaida wa kuratibu kwa prism: tunaweka asili ya kuratibu katikati ya msingi wa chini, mhimili wa x unaelekezwa kando ya FC, mhimili wa y unaelekezwa kupitia sehemu za katikati za sehemu AB na DE, na z. mhimili huelekezwa wima kwenda juu. Sehemu ya kitengo ni sawa tena na AB = 1. Hebu tuandike kuratibu za pointi za maslahi kwetu:
Pointi K na L ni sehemu za kati za sehemu A 1 B 1 na B 1 C 1, kwa mtiririko huo, hivyo kuratibu zao zinapatikana kupitia maana ya hesabu. Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vekta za mwelekeo AK na BL:
Sasa hebu tupate cosine ya pembe:
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, kingo zote ambazo ni sawa na 1, pointi E na F zimewekwa alama - katikati ya pande SB na SC, kwa mtiririko huo. Tafuta pembe kati ya mistari AE na BF.
Wacha tuanzishe mfumo wa kawaida wa kuratibu: asili iko katika hatua A, shoka za x na y zimeelekezwa kando ya AB na AD, mtawaliwa, na mhimili wa z unaelekezwa juu kwa wima. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1.
Pointi E na F ndio sehemu za kati za sehemu za SB na SC, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao zinapatikana kama maana ya hesabu ya ncha. Wacha tuandike kuratibu za vidokezo vya kupendeza kwetu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vekta za mwelekeo AE na BF:
Kuratibu za vekta AE sanjari na kuratibu za uhakika E, kwa kuwa nukta A ndiyo asili. Inabakia kupata cosine ya pembe:
Maagizo
Tafadhali kumbuka
Kipindi kazi ya trigonometric Tangent ni sawa na digrii 180, ambayo ina maana kwamba pembe za mteremko wa mistari ya moja kwa moja haziwezi, kwa thamani kamili, kuzidi thamani hii.
Ikiwa mgawo wa angular ni sawa kwa kila mmoja, basi pembe kati ya mistari hiyo ni 0, kwa kuwa mistari hiyo inafanana au inafanana.
Kuamua thamani ya pembe kati ya mistari ya kuingiliana, ni muhimu kuhamisha mistari yote miwili (au moja yao) kwenye nafasi mpya kwa kutumia njia ya kutafsiri sambamba mpaka inapoingiliana. Baada ya hayo, unapaswa kupata pembe kati ya mistari ya kuingiliana inayosababisha.
Utahitaji
- Mtawala, pembetatu ya kulia, penseli, protractor.
Maagizo
Kwa hiyo, basi vector V = (a, b, c) na ndege A x + B y + C z = 0 itolewe, ambapo A, B na C ni kuratibu za N ya kawaida. Kisha cosine ya pembe. α kati ya vekta V na N ni sawa na: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Ili kuhesabu angle katika digrii au radiani, unahitaji kuhesabu inverse kwa kazi ya cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. arccosine:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Mfano: kupata kona kati vekta(5, -3, 8) na ndege, kupewa mlingano wa jumla 2 x - 5 y + 3 z = 0. Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N = (2, -5, 3). Badilisha maadili yote yanayojulikana kwenye fomula uliyopewa: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.
Video kwenye mada
Mstari wa moja kwa moja ambao una sehemu moja ya kawaida na duara ni tangent kwa duara. Kipengele kingine cha tangent ni kwamba daima ni perpendicular kwa radius inayotolewa kwa uhakika wa kuwasiliana, yaani, tangent na radius huunda mstari wa moja kwa moja. kona. Ikiwa tanjenti mbili kwa mduara AB na AC hutolewa kutoka kwa hatua moja A, basi daima ni sawa kwa kila mmoja. Kuamua angle kati ya tangents ( kona ABC) imetengenezwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.
Maagizo
Kuamua angle, unahitaji kujua radius ya mduara OB na OS na umbali wa hatua ya kuanzia ya tangent kutoka katikati ya mduara - O. Kwa hiyo, pembe ABO na ASO ni sawa, radius OB ni, kwa mfano, 10 cm, na umbali wa katikati ya mduara AO ni 15 cm Tambua urefu wa tangent kwa kutumia formula kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean: AB =. mzizi wa mraba kutoka kwa AO2 - OB2 au 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Oh-oh-oh-oh-oh ... vizuri, ni ngumu, kana kwamba alikuwa akijisomea sentensi =) Hata hivyo, kupumzika kutasaidia baadaye, hasa tangu leo nilinunua vifaa vinavyofaa. Kwa hivyo, wacha tuendelee kwenye sehemu ya kwanza, natumai kuwa mwisho wa kifungu nitadumisha hali ya furaha.
Nafasi ya jamaa ya mistari miwili iliyonyooka
Hivi ndivyo hali ya hadhira inapoimba kwa pamoja. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:
1) mechi;
2) kuwa sambamba:;
3) au vuka katika sehemu moja: .
Msaada kwa dummies : Tafadhali kumbuka ishara ya makutano ya hisabati, itaonekana mara nyingi sana. Nukuu inamaanisha kuwa mstari unaingiliana na mstari kwa uhakika.
Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?
Wacha tuanze na kesi ya kwanza:
Mistari miwili inalingana ikiwa na ikiwa tu migawo inayolingana ni sawia, yaani, kuna nambari "lambda" kiasi kwamba usawa unaridhika
Hebu fikiria mistari ya moja kwa moja na kuunda equations tatu kutoka kwa coefficients sambamba:. Kutoka kwa kila equation inafuata kwamba, kwa hiyo, mistari hii inafanana.
Hakika, ikiwa coefficients yote ya equation 
zidisha kwa -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation 
kata na 2, unapata equation sawa:.
Kesi ya pili, wakati mistari inafanana:
Mistari miwili ni sambamba ikiwa na ikiwa tu mgawo wao wa vigeuzo ni sawia: 
,Lakini.
Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Tunaangalia uwiano wa coefficients sambamba kwa vigezo: 
Hata hivyo, ni dhahiri kabisa kwamba.
Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:
Mistari miwili huingiliana ikiwa na ikiwa tu migawo yao ya vigeuzo HAINA uwiano, yaani, HAKUNA thamani kama hiyo ya "lambda" ambayo usawa unaridhika 
Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutaunda mfumo: 
Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , na kutoka kwa equation ya pili: , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigezo si sawia.
Hitimisho: mistari huingiliana
Katika matatizo ya vitendo, unaweza kutumia mpango wa ufumbuzi uliojadiliwa hivi karibuni. Kwa njia, inawakumbusha sana algorithm ya kuangalia veta kwa collinearity, ambayo tuliiangalia darasani. Wazo la utegemezi wa mstari (katika) wa vekta. Msingi wa vectors. Lakini kuna kifurushi cha kistaarabu zaidi:
Mfano 1
Tafuta msimamo wa jamaa moja kwa moja: 
Suluhisho kwa msingi wa utafiti wa kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:
a) Kutoka kwa hesabu tunapata veta za mwelekeo wa mistari: 
.
, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear na mistari intersect.
Ikiwezekana, nitaweka jiwe lenye ishara kwenye njia panda:
Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata zaidi, moja kwa moja hadi Kashchei the Immortal =)
b) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari: 
Mistari hiyo ina vekta ya mwelekeo sawa, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa au sanjari. Hakuna haja ya kuhesabu kiashiria hapa.
Ni dhahiri kwamba coefficients ya haijulikani ni sawia, na.
Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli: 
Hivyo,
c) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari: 
Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za veta hizi: 
, kwa hiyo, vekta za mwelekeo ni collinear. Mistari ni ama sambamba au sanjari.
Mgawo wa uwiano "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vekta za mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations zenyewe: 
.
Sasa hebu tujue kama usawa ni kweli. Masharti yote mawili ya bure ni sifuri, kwa hivyo:
Thamani inayotokana inatosheleza mlingano huu (nambari yoyote kwa ujumla inatosheleza).
Kwa hivyo, mistari inalingana.
Jibu:
Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua tatizo lililojadiliwa kwa maneno halisi katika suala la sekunde. Katika suala hili, sioni umuhimu wa kutoa chochote uamuzi wa kujitegemea, ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:
Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?
Kwa kutojua hili kazi rahisi zaidi Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.
Mfano 2
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika mlinganyo wa mstari sambamba unaopita kwenye nukta.
Suluhisho: Hebu tuonyeshe mstari usiojulikana kwa herufi. Je, hali inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua. Na ikiwa mistari inafanana, basi ni dhahiri kwamba vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ajili ya kujenga mstari wa moja kwa moja "de".
Tunachukua vekta ya mwelekeo kutoka kwa equation:
Jibu:
Mfano wa jiometri inaonekana rahisi: 
Mtihani wa uchambuzi unajumuisha hatua zifuatazo:
1) Tunaangalia kuwa mistari ina vekta ya mwelekeo sawa (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vekta zitakuwa collinear).
2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana.
Katika hali nyingi, uchunguzi wa uchambuzi unaweza kufanywa kwa mdomo kwa urahisi. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka usawa wa mistari bila kuchora yoyote.
Mifano ya ufumbuzi wa kujitegemea leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado utalazimika kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.
Mfano 3
Andika mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta sambamba na mstari kama
Kuna njia ya busara na sio ya busara ya kuisuluhisha. Njia fupi zaidi iko mwisho wa somo.
Tulifanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya mistari inayolingana haipendezi sana, kwa hivyo hebu tuzingatie shida ambayo unaifahamu kutoka. mtaala wa shule:
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?
Ikiwa moja kwa moja 
intersect at point , basi kuratibu zake ndio suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari 
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari? Tatua mfumo.
Haya basi maana ya kijiometri ya mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana- hizi ni mistari miwili inayoingiliana (mara nyingi) kwenye ndege.
Mfano 4
Tafuta mahali pa makutano ya mistari
Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - graphical na uchambuzi.
Njia ya picha ni kuchora tu mistari uliyopewa na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa mchoro: 
Hapa kuna hoja yetu:. Kuangalia, unapaswa kubadilisha viwianishi vyake katika kila mlinganyo wa mstari zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za uhakika ni suluhisho kwa mfumo. Kimsingi, tuliangalia suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari na equations mbili, mbili haijulikani.
Njia ya graphical ni, bila shaka, si mbaya, lakini kuna hasara zinazoonekana. Hapana, suala sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivi, uhakika ni kwamba itachukua muda kuunda mchoro sahihi na SAHIHI. Kwa kuongeza, baadhi ya mistari iliyonyooka si rahisi sana kujenga, na sehemu ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali fulani katika ufalme wa thelathini nje ya karatasi ya daftari.
Kwa hiyo, ni vyema zaidi kutafuta hatua ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tusuluhishe mfumo: 
Ili kutatua mfumo, njia ya kuongeza muda kwa muda wa equations ilitumiwa. Ili kukuza ustadi unaofaa, chukua somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?
Jibu:
Cheki ni ndogo - viwianishi vya sehemu ya makutano lazima vikidhi kila equation ya mfumo.
Mfano 5
Tafuta sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inaingiliana.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ni rahisi kugawanya kazi katika hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kuwa ni muhimu:
1) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Jua msimamo wa jamaa wa mistari.
4) Ikiwa mistari inaingiliana, basi pata hatua ya makutano.
Uendelezaji wa algorithm ya hatua ni ya kawaida kwa matatizo mengi ya kijiometri, na nitazingatia mara kwa mara juu ya hili.
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo:
Hata jozi ya viatu haikuchakaa kabla ya kufika sehemu ya pili ya somo:
Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka
Wacha tuanze na ya kawaida na sana kazi muhimu. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga mstari wa moja kwa moja sambamba na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitageuka digrii 90:
Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?
Mfano 6
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika equation perpendicular kwa mstari unaopita kwenye uhakika.
Suluhisho: Kwa sharti inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector inayoongoza ya mstari. Kwa kuwa mistari ni perpendicular, hila ni rahisi:
Kutoka kwa equation sisi "kuondoa" vector ya kawaida: , ambayo itakuwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.
Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:
Jibu: 
Wacha tupanue mchoro wa kijiometri:
Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia ya machungwa.
Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:
1) Tunachukua vekta za mwelekeo kutoka kwa hesabu 
na kwa msaada bidhaa ya scalar ya vekta tunafikia hitimisho kwamba mistari ni ya kawaida: .
Kwa njia, unaweza kutumia vectors ya kawaida, ni rahisi zaidi.
2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana 
.
Mtihani, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.
Mfano 7
Pata hatua ya makutano ya mistari ya perpendicular ikiwa equation inajulikana 
na kipindi.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kuna vitendo kadhaa katika shida, kwa hivyo ni rahisi kuunda suluhisho kwa hatua.
Safari yetu ya kusisimua inaendelea:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Tuna ukanda wa moja kwa moja wa mto mbele yetu na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vikwazo, na njia bora zaidi itakuwa kusonga kando ya perpendicular. Hiyo ni, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa sehemu ya perpendicular.
Umbali katika jiometri huonyeshwa jadi Barua ya Kigiriki"ro", kwa mfano: - umbali kutoka kwa uhakika "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".
Umbali kutoka hatua hadi mstari 
iliyoonyeshwa na fomula
Mfano 8
Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari 
Suluhisho: unachohitaji kufanya ni kubadilisha nambari kwa uangalifu kwenye fomula na kufanya mahesabu:
Jibu: 
Wacha tufanye mchoro: 
Umbali uliopatikana kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari ni urefu kamili wa sehemu nyekundu. Ikiwa utachora mchoro kwenye karatasi iliyotiwa alama kwenye mizani ya kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.
Wacha tuchunguze kazi nyingine kulingana na mchoro sawa:
Kazi ni kupata kuratibu za hatua ambayo ni ulinganifu kwa uhakika kuhusiana na mstari wa moja kwa moja 
. Ninapendekeza kufanya hatua mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:
1) Tafuta mstari ambao ni perpendicular kwa mstari.
2) Tafuta mahali pa makutano ya mistari: 
.
Vitendo vyote viwili vimejadiliwa kwa kina katika somo hili.
3) Hatua ni katikati ya sehemu. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya mwisho. Na fomula za kuratibu za sehemu ya kati ya sehemu tunapata.
Itakuwa wazo nzuri kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.
Ugumu unaweza kutokea katika mahesabu hapa, lakini microcalculator ni msaada mkubwa katika mnara, kuruhusu wewe kuhesabu. sehemu za kawaida. Nimekushauri mara nyingi na nitakupendekeza tena.
Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?
Mfano 9
Tafuta umbali kati ya mistari miwili inayofanana
Huu ni mfano mwingine kwako wa kuamua mwenyewe. Nitakupa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kutatua hili. Kujadiliana mwishoni mwa somo, lakini ni bora kujaribu kujikisia mwenyewe, nadhani ujanja wako ulikuzwa vizuri.
Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka
Kila kona ni jamb: 
Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inachukuliwa kuwa angle ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kwamba haiwezi kuwa butu. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mistari ya kuingiliana. Na jirani yake "kijani" au yenye mwelekeo kinyume kona ya "raspberry".
Ikiwa mistari ni perpendicular, basi yoyote ya pembe 4 inaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.
Je, pembe ni tofautije? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo ambao pembe "imezungushwa" ni muhimu sana. Pili, pembe yenye mwelekeo hasi imeandikwa kwa ishara ya kuondoa, kwa mfano ikiwa .
Kwa nini nilikuambia hivi? Inaonekana kwamba tunaweza kupata na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba fomula ambazo tutapata pembe zinaweza kusababisha matokeo hasi kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya minus sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe hasi, hakikisha unaonyesha mwelekeo wake na mshale (saa ya saa).
Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna fomula mbili za kufanya kazi:
Mfano 10
Tafuta pembe kati ya mistari
Suluhisho Na Mbinu ya kwanza
Fikiria mistari miwili iliyonyooka, iliyotolewa na milinganyo V mtazamo wa jumla:
Ikiwa moja kwa moja sio perpendicular, Hiyo iliyoelekezwa Pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: 
Hebu tuzingalie kwa makini denominator - hii ni hasa bidhaa ya nukta kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:
Ikiwa , basi denominator ya formula inakuwa sifuri, na vectors itakuwa orthogonal na mistari itakuwa perpendicular. Ndio maana uhifadhi ulifanywa kuhusu kutokuwa na usawa wa mistari iliyonyooka katika uundaji.
Kulingana na hapo juu, ni rahisi kurasimisha suluhisho katika hatua mbili:
1) Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar ya veta za mwelekeo wa mistari:
, ambayo ina maana kwamba mistari sio perpendicular.
2) Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka kwa kutumia formula:
Kutumia kazi ya inverse ni rahisi kupata angle yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia hali isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):
Jibu: 
Katika jibu tunaonyesha thamani halisi, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana katika digrii zote mbili na radiani), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.
Kweli, minus, minus, hakuna jambo kubwa. Hapa kuna kielelezo cha kijiometri: 
Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa na mwelekeo mbaya, kwa sababu katika taarifa ya tatizo nambari ya kwanza ni mstari wa moja kwa moja na "kufungua" kwa pembe ilianza kwa usahihi.
Ikiwa unataka kupata pembe chanya, unahitaji kubadilishana mistari, ambayo ni, kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili. 
, na uchukue coefficients kutoka kwa mlinganyo wa kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na moja kwa moja 
.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe zozote zilizo karibu zinazoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kupitia sehemu ya kiholela sambamba na data.
Acha mistari miwili itolewe kwenye nafasi:
Kwa wazi, pembe φ kati ya mistari ya moja kwa moja inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vekta zao za mwelekeo na . Tangu , basi kwa kutumia formula ya cosine ya pembe kati ya vekta tunapata
Masharti ya usawa na usawa wa mistari miwili iliyonyooka ni sawa na hali ya usawa na uelekevu wa veta zao za mwelekeo na:
Mbili moja kwa moja sambamba ikiwa na tu ikiwa coefficients yao sambamba ni sawia, i.e. l 1 sambamba l 2 ikiwa na tu ikiwa sambamba 
.
Mbili moja kwa moja perpendicular ikiwa na tu ikiwa jumla ya bidhaa za coefficients sambamba ni sawa na sifuri:.
U lengo kati ya mstari na ndege
Wacha iwe sawa d- sio perpendicular kwa ndege θ;
d− makadirio ya mstari d kwa θ ndege;
Pembe ndogo zaidi kati ya mistari iliyonyooka d Na d"tutapiga simu pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege.
Wacha tuiashiria kama φ=( d,θ)
Kama d⊥θ, basi ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− mfumo wa kuratibu wa mstatili.
Mlinganyo wa ndege:
θ: Shoka+Na+Cz+D=0
Tunafikiri kwamba mstari wa moja kwa moja unafafanuliwa na uhakika na vector ya mwelekeo: d[M 0,uk→]
Vekta n→(A,B,C)⊥θ
Kisha inabakia kujua pembe kati ya veta n→ na uk→, wacha tuiashiria kama γ=( n→,uk→).
Ikiwa pembe γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ikiwa pembe ni γ>π/2, basi pembe inayotakiwa ni φ=γ−π/2
sinφ=dhambi(2π−γ)=cosγ
sinφ=dhambi(γ−2π)=−cosγ
Kisha, pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√uk 21+uk 22+uk 23
Swali la 29. Dhana ya fomu ya quadratic. Ishara za uhakika wa fomu za quadratic.
Umbo la Quadratic j (x 1, x 2, …, x n) n vigeu halisi x 1, x 2, …, x n inaitwa jumla ya fomu 
, (1)
Wapi ij - nambari zingine huitwa coefficients. Bila kupoteza kwa ujumla, tunaweza kudhani kwamba ij = a ji.
Fomu ya quadratic inaitwa halali, Kama ij
Î GR. Matrix ya fomu ya quadratic inaitwa matrix inayoundwa na coefficients yake. Fomu ya quadratic (1) inalingana na matrix pekee ya ulinganifu 
Hiyo ni A T = A. Kwa hivyo, fomu ya quadratic (1) inaweza kuandikwa katika fomu ya matrix j ( X) = x T Ah, Wapi x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Na, kinyume chake, kila matriki ya ulinganifu (2) inalingana na umbo la kipekee la quadratic hadi nukuu ya vigeu.
Cheo cha fomu ya quadratic inaitwa cheo cha matrix yake. Fomu ya quadratic inaitwa isiyoharibika, ikiwa matrix yake sio ya umoja A. (kumbuka kwamba matrix A inaitwa isiyoharibika ikiwa kibainishi chake si sawa na sifuri). Vinginevyo, fomu ya quadratic imeharibika.
chanya uhakika(au chanya kabisa) ikiwa
j ( X) > 0 , kwa mtu yeyote X = (X 1 , X 2 , …, x n), isipokuwa X = (0, 0, …, 0).
Matrix A fomu ya uhakika ya quadratic j ( X) pia inaitwa chanya uhakika. Kwa hiyo, fomu ya uhakika ya quadratic inalingana na tumbo la pekee la uhakika na kinyume chake.
Fomu ya quadratic (1) inaitwa imefafanuliwa vibaya(au hasi kabisa) ikiwa
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), isipokuwa X = (0, 0, …, 0).
Vile vile kama ilivyo hapo juu, matriki ya umbo hasi bainifu ya quadratic pia huitwa hasi bainifu.
Kwa hivyo, umbo chanya (hasi) cha uhakika cha quadratic j ( X) hufikia kima cha chini (kiwango cha juu) thamani j ( X*) = 0 kwa X* = (0, 0, …, 0).
Kumbuka hilo wengi fomu za quadratic sio ishara-dhahiri, yaani, sio chanya au hasi. Aina kama hizo za quadratic hupotea sio tu kwa asili ya mfumo wa kuratibu, lakini pia katika sehemu zingine.
Wakati n> 2, vigezo maalum vinahitajika ili kuangalia ishara ya fomu ya quadratic. Hebu tuwaangalie.
Watoto wakuu fomu ya quadratic inaitwa watoto:
yaani, hawa ni watoto wa mpangilio wa 1, 2, ..., n matrices A, iko kwenye kona ya juu kushoto, mwisho wao inafanana na kiamua cha tumbo A.
Kigezo Chanya cha Uhakika (Kigezo cha Sylvester)
X) = x T Ah ilikuwa chanya dhahiri, ni muhimu na ya kutosha kwamba watoto wote wakuu wa tumbo A walikuwa chanya, yaani: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mhe > 0. Kigezo cha uhakika hasi Ili kuunda fomu ya quadratic j ( X) = x T Ah ilikuwa hasi dhahiri, ni muhimu na inatosha kwamba watoto wake wakuu wa mpangilio hata wawe chanya, na wa mpangilio usio wa kawaida - hasi, i.e.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
A. Acha mistari miwili iliyonyooka itolewe, kama ilivyoonyeshwa katika Sura ya 1, itengeneze pembe tofauti chanya na hasi, ambazo zinaweza kuwa za papo hapo au kiziwi. Kujua moja ya pembe hizi, tunaweza kupata nyingine yoyote kwa urahisi.
Kwa njia, kwa pembe hizi zote thamani ya nambari ya tangent ni sawa, tofauti inaweza tu kuwa katika ishara.
Equations ya mistari. Nambari ni makadirio ya vectors ya mwelekeo wa mistari ya kwanza na ya pili ya moja kwa moja. Kwa hiyo, tatizo linakuja kwa kuamua angle kati ya vectors Tunapata
Kwa unyenyekevu, tunaweza kukubaliana kwamba angle kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inaeleweka kuwa angle ya papo hapo chanya (kama, kwa mfano, katika Mchoro 53).
Kisha tangent ya angle hii daima itakuwa chanya. Kwa hivyo, ikiwa kuna ishara ya minus kwenye upande wa kulia wa fomula (1), basi lazima tuitupe, yaani, tuhifadhi thamani kamili.
Mfano. Amua pembe kati ya mistari iliyonyooka
Kulingana na fomula (1) tunayo
Na. Ikiwa imeonyeshwa ambayo ya pande za pembe ni mwanzo wake na ambayo ni mwisho wake, basi, daima kuhesabu mwelekeo wa angle kinyume cha saa, tunaweza kutoa kitu zaidi kutoka kwa formula (1). Kama inavyoweza kuonekana kwa urahisi kutoka kwa Mtini. 53, ishara iliyopatikana upande wa kulia wa formula (1) itaonyesha ni aina gani ya angle - papo hapo au butu - mstari wa pili wa moja kwa moja huunda na wa kwanza.
(Kwa hakika, kutoka kwenye Mchoro 53 tunaona kwamba pembe kati ya vekta za mwelekeo wa kwanza na wa pili ni sawa na angle inayotaka kati ya mistari ya moja kwa moja, au inatofautiana nayo kwa ± 180 °.)
d. Ikiwa mistari ni sawa, basi vectors ya mwelekeo wao ni sambamba.
Hii ni hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wa mistari miwili.
Mfano. Moja kwa moja
ziko sambamba kwa sababu
e. Ikiwa mistari ni ya perpendicular basi vekta za mwelekeo wao pia ni perpendicular. Kwa kutumia hali ya perpendicularity ya vectors mbili, tunapata hali ya perpendicularity ya mistari miwili ya moja kwa moja, yaani.
Mfano. Moja kwa moja
ni perpendicular kutokana na ukweli kwamba
Kuhusiana na hali ya usawa na perpendicularity, tutatatua matatizo mawili yafuatayo.
f. Chora mstari kupitia ncha inayolingana na mstari uliopewa
Suluhisho hufanywa kama hii. Kwa kuwa mstari unaohitajika ni sawa na hii, basi kwa vector yake ya mwelekeo tunaweza kuchukua sawa na ile ya mstari uliopewa, yaani, vector yenye makadirio A na B. Na kisha equation ya mstari unaohitajika itaandikwa ndani. fomu (§ 1)
Mfano. Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta (1; 3) sambamba na mstari
kutakuwa na ijayo!
g. Chora mstari kupitia hatua ya perpendicular kwa mstari uliopewa
Hapa haifai tena kuchukua vekta na makadirio A na kama vekta inayoongoza, lakini ni muhimu kuchukua vector perpendicular yake. Kwa hivyo, makadirio ya vekta hii lazima ichaguliwe kulingana na hali ya perpendicularity ya vekta zote mbili, i.e. kulingana na hali.
Hali hii inaweza kutimizwa kwa njia isitoshe, kwa kuwa hapa ni equation moja na haijulikani mbili, lakini njia rahisi ni kuichukua
Mfano. Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye ncha (-7; 2) katika mstari wa pembeni
kutakuwa na zifuatazo (kulingana na fomula ya pili)!
h. Katika kesi wakati mistari inatolewa na equations ya fomu
