Pembetatu inayofanana ni nini? Ishara za kufanana na usawa wa pembetatu. Mali ya pembetatu sawa

Nadharia 1. Ishara ya kwanza ya kufanana kwa pembetatu. Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za nyingine, basi pembetatu kama hizo zinafanana.

Ushahidi. Acha ABC na $A_1B_1C_1$ ziwe pembetatu zenye $\angle A = \pembe A_1 ; \pembe B = \angle B_1$ , na kwa hiyo $\angle C = \angle C_1$ . Hebu tuthibitishe kuwa $\pembetatu ABC \sim \pembetatu A_1B_1C_1$ (Mchoro 1).

Hebu tupange kwenye BA kutoka pointi B sehemu ya $BA_2$, sawa na sehemu $A_1B_1$, na kupitia pointi $A_2$ tunachora mstari sambamba na mstari wa AC. Mstari huu ulionyooka utakatiza BC wakati fulani $C_2$. Pembetatu $A_1B_1C_1\text( na )A_2BC_2$ ni sawa: $A_1B_1 = A_2B$ kwa ujenzi, $\pembe B = \pembe B_1$ kwa hali na $\angle A_1 = \pembe A_2$ , kwani $\angle A_1 = \ pembe A$ kwa hali na $\angle A = \pembe A_2$ kama pembe zinazolingana. Kwa Lemma 1 kuhusu pembetatu zinazofanana tuna: $\pembetatu A_2BC_2 \sim \pembetatu ABC$ , na kwa hivyo, $\pembetatu ABC \sim \pembetatu A_1B_1C_1$ . Nadharia imethibitishwa.

Nadharia 2 na 3 zinaanzishwa kwa kutumia mpango sawa.

Nadharia 2. Ishara ya pili ya kufanana kwa pembetatu. Ikiwa pande mbili za pembetatu moja ni sawa na pande mbili za pembetatu nyingine na pembe kati ya pande hizi ni sawa, basi pembetatu zinafanana.

Nadharia 3. Ishara ya tatu ya kufanana kwa pembetatu. Ikiwa pande tatu za pembetatu moja ni sawa na pande tatu za pembetatu nyingine, basi pembetatu zinafanana.

Ifuatayo inafuata kutoka kwa Theorem 1.

Corollary 1. Katika pembetatu zinazofanana, pande zinazofanana ni sawa na urefu sawa, yaani, urefu huo ambao hupunguzwa kwenye pande zinazofanana.

Mfano 1. Je! pembetatu mbili za usawa zinafanana?

Suluhisho. Kwa kuwa katika pembetatu ya equilateral kila moja kona ya ndani ni sawa na 60° (Corollary 3), kisha pembetatu mbili za usawa zinafanana kulingana na kigezo cha kwanza.

Mfano 2. Katika pembetatu ABC na $A_1B_1C_1$ inajulikana kuwa $\angle A = \angle A_1 ; \pembe B = \pembe B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m.$ Pata pande zisizojulikana za pembetatu.

Suluhisho. Pembetatu zilizofafanuliwa na hali ya shida ni sawa kulingana na ishara ya kwanza ya kufanana. Kutoka kwa ufanano wa pembetatu ifuatavyo: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Inabadilisha kuwa usawa. (1) data kutoka kwa hali ya tatizo, tunapata: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Kutoka kwa usawa (2 ) tufanye sehemu mbili $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( kutoka wapi )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Mfano 3. Pembe B na $B_1$ ya pembetatu ABC na $A_1B_1C_1$ ni sawa. Pande AB na BC za pembetatu ABC ni kubwa mara 2.5 kuliko pande $A_1B_1$ na $B_1C_1$ ya pembetatu $A_1B_1C_1$. Tafuta AC na $A_1C_1$ ikiwa jumla yao ni mita 4.2.

Suluhisho. Hebu Kielelezo 2 kifikie masharti ya tatizo.

Kutoka kwa taarifa ya tatizo: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2.5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4.2 m $$ Kwa hiyo, $\pembetatu ABC \sim \pembetatu A_1B_1C_1$. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hizi inafuata $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2.5\text( , au )AC = 2.5\bullet A_1C_1 $$ Tangu AC = 2.5 A 1 C 1, kisha AC + A 1 C 1 = 2.5 A 1 C 1 + A 1 C 1 = 4.2, kutoka wapi A 1 C 1 = 1.2 (m), AC = 3 (m).

Mfano 4. Je! pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 zinafanana ikiwa AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4.5 cm, B 1 C 1 = 7.5 cm, A 1 C 1 = 10.5 cm ?

Suluhisho. Tuna: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Kwa hivyo, pembetatu zinafanana kulingana na kigezo cha tatu. .

Mfano 5. Thibitisha kuwa viambatanishi vya pembetatu vinapishana kwa hatua moja, ambayo inagawanya kila wastani katika uwiano wa 2:1, ikihesabu kutoka kwenye kipeo.

Suluhisho. Fikiria pembetatu ya kiholela ABC. Hebu tuonyeshe kwa herufi O hatua ya makutano ya viastani vyake $AA_1\text( na )BB_1$ na tuchore mstari wa kati $A_1B_1$ wa pembetatu hii (Mchoro 3).

Sehemu $A_1B_1$ inalingana na upande wa AB, kwa hivyo $\angle 1 = \angle2 \text( na ) \pembe 3 = \pembe 4 $. Kwa hivyo, pembetatu AOB na $A_1OB_1$ zinafanana katika pembe mbili, na, kwa hivyo, pande zao ni sawia: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 $ $

Lakini $AB = 2A_1B_1$ , hivyo $AO = 2A_1O$ na $BO = 2B_1O$ .

Vile vile imethibitishwa kuwa sehemu ya makutano ya wastani $BB_1\text( na )CC_1) hugawanya kila moja katika uwiano wa 2:1, kuhesabu kutoka kwa kipeo, na, kwa hivyo, sanjari na nukta O.

Kwa hivyo, wapatanishi wote watatu wa pembetatu ABC hukatiza kwenye hatua ya O na kuigawanya kwa uwiano wa 2:1, kuhesabu kutoka kwenye kipeo.

Maoni. Ilibainishwa hapo awali kwamba bisectors ya pembetatu huingiliana kwa hatua moja, na bisectors perpendicular kwa pande za pembetatu huingilia kwa hatua moja. Kulingana na taarifa ya mwisho, imeanzishwa kuwa urefu wa pembetatu (au upanuzi wao) huingiliana kwa hatua moja. Pointi hizi tatu na mahali ambapo wapatanishi huingiliana huitwa alama za kushangaza za pembetatu.

Mfano 6. Projector inaangazia skrini A, urefu wa 90 cm, iko umbali wa cm 240 kwa umbali gani wa chini kutoka kwa projekta inapaswa kuonyeshwa B, urefu wa 150 cm, iwekwe ili iweze kuangazwa kikamilifu, ikiwa mipangilio ya projekta inabaki. bila kubadilika.

Suluhisho la video.

Pembetatu ni takwimu rahisi iliyofungwa kwenye ndege. Wakati wa kusoma kozi ya shule katika jiometri, tahadhari maalum hulipwa kwa kuzingatia mali zake. Katika makala hii tutajadili suala la ishara za kufanana na usawa wa pembetatu.

Ni pembetatu gani zinazoitwa zinazofanana na zipi ni sawa?

Ni busara kudhani kwamba takwimu mbili zinazohusika zitakuwa sawa kwa kila mmoja ikiwa zina pembe zote sawa na urefu wa upande. Kuhusu kufanana, mambo ni magumu zaidi. Pembetatu mbili zitakuwa sawa wakati kila pembe ya moja ni sawa na pembe inayolingana ya nyingine, na pande zinazolala kinyume na pembe sawa za takwimu zote mbili ni sawia. Chini ni picha inayoonyesha pembetatu mbili zinazofanana.

Kutumia takwimu hii, tunaandika ufafanuzi hapo juu kwa namna ya usawa wa hisabati: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, hapa ni moja. barua ya Kilatini inamaanisha pembe, na herufi mbili zinamaanisha urefu wa upande. Thamani r inaitwa mgawo wa kufanana. Ni wazi kwamba ikiwa r = 1, basi sio sawa tu, lakini pia pembetatu sawa zipo.

Dalili za kufanana

Kuzungumza juu ya mali na usawa wa pembetatu, tunapaswa kuorodhesha vigezo kuu vitatu ambavyo mtu anaweza kuamua ikiwa takwimu zinazohusika zinafanana au la.

Kwa hivyo, takwimu mbili zitakuwa sawa ikiwa moja ya masharti yafuatayo yatafikiwa:

Pembe zao mbili ni sawa. Kwa kuwa jumla ya pembe za pembetatu ni sawa na 180 o, usawa wa mbili za kwanza kati yao moja kwa moja ina maana kwamba ya tatu pia itakuwa sawa. Kutumia takwimu hapo juu, mali hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: ikiwa B = G na A = E, basi ABC na GEF ni sawa. Ikiwa katika kesi hii takwimu zote mbili ni sawa kwa angalau upande mmoja, basi tunaweza kuzungumza juu ya usawa kamili wa pembetatu.
Pande hizo mbili ni sawia na pembe kati yao ni sawa. Kwa mfano, BA/GE = AC/EF na A = E, kisha GEF na ABC zitakuwa sawa. Kumbuka kwamba pembe A na E ziko kati ya pande sawia zinazolingana.
Pande zote tatu ni sawia. Imeonyeshwa kwa lugha ya hisabati, tunapata: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, basi takwimu zinazohusika pia zinafanana.

Wacha tuangalie tena kwamba ili kudhibitisha kufanana inatosha kutoa sifa yoyote iliyowasilishwa. Ni sawa kwamba kila kitu kingine kitatekelezwa kwa njia ile ile.

Pembetatu za kulia: zinafanana lini na ni sawa lini?

Akizungumza juu ya ishara za usawa na kufanana kwa pembetatu sahihi, ni lazima ieleweke mara moja kwamba kila mmoja wao tayari ana angle moja sawa (90 o).

Ukweli wa mwisho husababisha uundaji ufuatao wa vigezo vya kufanana vilivyoainishwa hapo juu:

Ikiwa katika pembetatu mbili za kulia tu pembe moja ni sawa, ambayo si sahihi, basi takwimu hizo ni sawa na kila mmoja.
Ikiwa miguu ni sawia kwa kila mmoja, basi takwimu pia zitakuwa sawa, kwani pembe kati ya miguu ni sawa.
Hatimaye, uwiano wa pande zote mbili kwa pembetatu zote za kulia unatosha kuthibitisha kufanana kwao. Sababu ya hii ni kwamba pande za takwimu hizi zinahusiana kwa kila mmoja na nadharia ya Pythagorean, kwa hivyo uwiano wa 2 kati yao husababisha usawa na mgawo sawa wa kufanana kwa wahusika wa tatu.

Kuhusu usawa wa pembetatu zilizo na pembe za kulia, ni rahisi kukumbuka: ikiwa vitu viwili (pembe ya kulia haihesabu) ya takwimu zote mbili ni sawa, basi takwimu zenyewe ni sawa. Kwa mfano, vipengele hivi viwili vinaweza kuwa pembe ya papo hapo na mguu, mguu na hypotenuse, au hypotenuse na angle ya papo hapo.

Mali ya pembetatu sawa

Kutoka kwa ishara zinazozingatiwa za kufanana na usawa wa pembetatu za mali, zifuatazo zinaweza kutofautishwa:

Mizunguko ya takwimu hizi inahusiana na kila mmoja kama mgawo wa kufanana, yaani, P 1 / P 2 = r, ambapo P 1 na P 2 ni mzunguko wa pembetatu ya 1 na 2, kwa mtiririko huo.
Maeneo ya takwimu zinazofanana yanahusiana kama mraba wa mgawo wa kufanana, ambayo ni: S 1 / S 2 = r 2, ambapo S 1 na S 2 ni maeneo ya pembetatu ya 1 na 2, kwa mtiririko huo.

Mali hizi zote mbili zinaweza kuthibitishwa kwa kujitegemea. Kiini cha uthibitisho kinakuja kwa matumizi ya nukuu za hisabati kwa kufanana kati ya pande za takwimu. Hapa tunatoa tu uthibitisho wa mali ya 1.

Hebu a, b, c iwe urefu wa pande za pembetatu moja na "b", c" - pande za pili. Kwa kuwa takwimu zinafanana, tunaweza kuandika: a = r * a ", b = r * b", c = r * c". Sasa tunabadilisha maneno haya kuhusiana na mzunguko wao, tunapata: P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c ") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.

Mfano wa suluhisho la shida

Ishara za kufanana na usawa wa pembetatu zinaweza kutumika kutatua matatizo mbalimbali ya kijiometri. Chini ni mfano mmoja.

Kuna pembetatu mbili. Mmoja wao ana pande sawa na 7.6 cm, 4.18 cm na 6.65 cm, na nyingine ina pande za 3.5 cm, 2.2 cm na 4 cm Ni muhimu kuamua kama takwimu hizi ni sawa.

Kwa kuwa maadili ya pande tatu yamepewa, tunaweza kuangalia mara moja kigezo cha 3 cha kufanana. Ugumu hapa ni kwamba unahitaji kuelewa ni vyama gani vya kuzingatia. Hapa unapaswa kutumia hoja rahisi za kimantiki: mgawo wa kufanana unaweza kuwa sawa ikiwa unagawanya upande mdogo zaidi wa pembetatu moja na sawa kwa mwingine, na kadhalika. Kwa hiyo tuna: 4.18 / 2.2 = 1.9; 6.65 / 3.5 = 1.9; 7.6 / 4 = 1.9. Baada ya kuangalia uwiano wa pande zote, tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba pembetatu ni sawa, kwani kigezo cha 3 kinafikiwa.

Kufanana kwa pembetatu Pembetatu mbili huitwa sawa ikiwa pembe za moja ni sawa na pembe za nyingine na pande zinazolingana ni sawia. Mgawo wa uwiano unaitwa mgawo wa kufanana. Kwa hivyo, pembetatu ABC ni sawa na pembetatu A 1 B 1 C 1 ikiwa A = A 1, B = B 1, C = C 1 na ambapo k ni mgawo wa kufanana.

Ishara ya kwanza ya nadharia ya kufanana. (Ishara ya kwanza ya kufanana.) Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu nyingine, basi pembetatu hizo zinafanana. Ushahidi. Hebu katika pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Kisha C= C 1. Hebu tuthibitishe hilo. Hebu tuweke kwenye ray A 1 B 1 sehemu A 1 B ", sawa na AB, na kuchora mstari wa moja kwa moja B "C" sambamba na B 1 C 1. Pembetatu A 1 B "C" na ABC ni sawa ( kwa mujibu wa kigezo cha pili cha usawa wa pembetatu).

Swali la 1 Ni pembetatu gani zinazoitwa kufanana? Jibu: Pembetatu mbili zinaitwa sawa ikiwa pembe za moja ni sawa na pembe za nyingine na pande zinazolingana ni sawia.

Swali la 2 Tengeneza pembetatu. ishara ya kwanza ya kufanana Jibu: Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu nyingine, basi pembetatu hizo zinafanana.

Swali la 3 Je, kuna aina mbili zinazofanana: a) pembetatu zilizo sawa; b) pembetatu za isosceles; c) pembetatu za kulia za isosceles? Jibu: a) Ndiyo; b) hapana; c) ndio.

Zoezi la 4 Chora pembetatu A’B’C’, sawa na pembetatu iliyotolewa ABC, yenye mgawo wa mfanano wa 0.5.

Zoezi la 5 Pande za pembetatu ni 5 cm, 8 cm na 10 cm Tafuta pande za pembetatu sawa ikiwa mgawo wa kufanana ni: a) 0.5; b) 2. Jibu: a) 2.5 cm, 4 cm na 5 cm; b) 10 cm, 16 cm na 20 cm.

Zoezi la 6 Je, pembetatu za kulia zinafanana ikiwa moja yao ina pembe ya 40 ° na nyingine ya 50 °? Jibu: Ndiyo.

Zoezi la 7 Pembetatu mbili zinafanana. Pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na 55 ° na 80 °. Tafuta pembe ndogo zaidi ya pembetatu ya pili. Jibu: 45 o.

Zoezi la 8 Katika pembetatu sawa ABC na A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5.6 cm, A 1 C 1 = 10.5 cm Tafuta AC na B 1 C 1 Jibu: AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.

Zoezi 9 Pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m Pata mapumziko pande za pembetatu. Jibu: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Zoezi la 10 Pande za pembetatu ziko katika uwiano wa 5: 3: 7. Pata pande za pembetatu sawa ambazo: a) mzunguko ni 45 cm; b) upande mfupi ni 5 cm; c) upande mkubwa ni 7 cm; d) tofauti kati ya pande kubwa na ndogo ni 2 cm Jibu: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2.5 cm, 1.5 cm, 3.5 cm.

Zoezi la 11 Katika takwimu, onyesha pembetatu zote zinazofanana. Jibu: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC na FGC; ADC na FEC; DBC na EGC.

Zoezi la 12 Pembetatu mbili za isosceles zina pembe sawa kati ya pande zao. Upande na msingi wa pembetatu moja ni 17 cm na 10 cm, kwa mtiririko huo, msingi wa mwingine ni 8 cm. Jibu: 13.6 cm.

Zoezi la 13 Mraba umeandikwa kwenye pembetatu huku upande a na urefu wa h ukishushwa juu yake ili vipeo vyake viwili vilale upande huu wa pembetatu, na nyingine mbili kwenye pande nyingine mbili za pembetatu. Tafuta upande wa mraba. Jibu:.

Zoezi la 14 ADEF ya rhombus imeandikwa katika pembetatu ABC ili pembe A iwe ya kawaida kwao, na kipeo E iko upande wa BC. Tafuta upande wa rhombus ikiwa AB = c na AC = b. Jibu:.

Zoezi la 15 Je, inawezekana kuingilia pembetatu na mstari wa moja kwa moja ambao haufanani na msingi, ili kukata pembetatu sawa kutoka kwake? Katika kesi gani hii haiwezekani? Jibu: Ndiyo, ikiwa pembetatu si ya usawa.

Zoezi la 16 Acha AC na BD ziwe chodi za duara zinazokatiza kwenye sehemu ya E. Thibitisha kuwa pembetatu ABE na CDE zinafanana. Uthibitisho: Pembe A ya pembetatu ABE sawa na pembe D ya pembetatu CDE, kama pembe zilizoandikwa kulingana na safu moja ya duara. Vile vile, angle B ni sawa na angle C. Kwa hiyo, pembetatu ABE na CDE ni sawa katika heshima ya kwanza.

Zoezi la 17 Katika takwimu, AE = 3, BE = 6, CE = 2. Pata DE. Jibu: 4.

Zoezi la 18 Katika takwimu, AB = 8, BE = 6, DE = 4. Pata CD. Jibu:.

Zoezi la 19 Katika takwimu, CE = 2, DE = 5, AE = 4. Pata BE. Jibu: 10.

Zoezi la 20 Katika takwimu, CE = 4, CD = 10, AE = 6. Pata AB. Jibu: 15.

Zoezi la 21 Katika takwimu, DL ni sehemu mbili ya pembetatu DEF iliyoandikwa kwenye mduara. DL hukatiza mduara kwenye sehemu ya K, ambayo imeunganishwa na sehemu hadi wima E na F ya pembetatu. Tafuta pembetatu zinazofanana. Jibu: DEK na DLF, DEK na ELK, DLF na ELK, DFK na DLE, DFK na FLK, DLE na FLK.

Zoezi la 22 Pembetatu ya papo hapo ABC imeandikwa kwenye mduara, AH ni urefu wake, AD ni kipenyo cha mduara, unaoingilia upande wa BC kwa uhakika M. Point D imeunganishwa na vertices B na C ya pembetatu. Tafuta pembetatu zinazofanana. Jibu: ABH na ADC, ACH na ADB, ABM na CDM, BMD na AMC.

Zoezi la 23 Thibitisha kuwa bidhaa ya sehemu za chord yoyote iliyochorwa kupitia sehemu ya ndani ya duara ni sawa na bidhaa ya sehemu za kipenyo kilichochorwa kupitia sehemu sawa. Suluhisho. Hebu tupewe mduara ulio na kituo katika sehemu ya O, chord AB na kipenyo cha CD hupishana kwa uhakika E. Hebu tuthibitishe kwamba Pembetatu ACE na DBE zinafanana. Kwa hiyo, ina maana

Zoezi la 24 Mistari miwili iliyonyooka inachorwa kupitia sehemu ya nje E ya duara, ikikatiza mduara kwa pointi A, C na B, D, mtawalia. Uthibitisho: Pembe D ya pembetatu ADE ni sawa na pembe C ya pembetatu KWK, kama vile pembe zilizoandikwa chini ya upinde sawa wa duara. Pembe E ya pembetatu hizi ni ya kawaida. Kwa hiyo, pembetatu ADE na BCE ni sawa katika heshima ya kwanza.

Zoezi la 25 Mistari miwili iliyonyooka inachorwa kupitia ncha ya nje ya duara E, ikikatiza mduara kwa pointi A, C na B, D, mtawalia. Uthibitisho: Pembetatu ADE na BCE zinafanana. Kwa hivyo AE: DE = BE: CE. Kwa hiyo, AE·CE = BE·DE.

Zoezi la 26 Katika takwimu, AE = 9, BE = 8, CE = 24. Pata DE. Jibu: 27.

Zoezi la 27 Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia hatua ya nje ya E ya mduara, ikipitia mduara kwenye pointi A na B, na tangent EC (C ni hatua ya tangency). Thibitisha kuwa pembetatu za EAC na ECB zinafanana. Ushahidi. Pembetatu EAC na ECB pembe ya kushiriki E. Angles ACE na CBE ni sawa, kama vile pembe chini ya chord sawa. Kwa hiyo, pembetatu EAC na ECB ni sawa.

Zoezi la 28 Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia hatua ya nje ya E ya mduara, ikipitia mduara kwenye pointi A na B, na tangent EC (C ni hatua ya tangency). Thibitisha kuwa bidhaa ya sehemu za sekanti AE na BE ni sawa na mraba wa sehemu ya tanjiti CE. Ushahidi. Pembetatu EAC na ECB ni sawa. Kwa hivyo, AE: CE = CE: BE, ambayo inamaanisha AE BE = CE 2.

Zoezi la 30 Katika pembetatu ABC, miinuko AA 1 na BB 1 imechorwa Thibitisha kuwa pembetatu A 1 AC na B 1 BC zinafanana. Ushahidi. Pembetatu A 1 AC na B 1 BC ni pembetatu za kulia na zina pembe ya kawaida C. Kwa hiyo, ni sawa katika pembe mbili.

Zoezi la 31 Thibitisha kuwa katika pembetatu ya kulia perpendicular imeshuka kutoka pembe ya kulia kwenye hypotenuse, kuna maana ya kijiometri ya makadirio ya miguu kwenye hypotenuse. (Maana ya kijiometri ya nambari mbili chanya a na b ni nambari chanya c ambayo mraba wake ni sawa na ab, yaani c =). Suluhisho: Pembetatu ADC na CDB zinafanana. Kwa hiyo, ama CD 2 = AD BD, yaani CD ni maana ya kijiometri ya AD na BD.

Zoezi la 32 Katika pembetatu ABC, hatua H ni hatua ya makutano ya urefu, uhakika O ni katikati ya mduara unaozunguka. Thibitisha kuwa urefu wa sehemu CH ni mara mbili ya umbali kutoka kwa uhakika O hadi mstari wa AB. Suluhisho: Acha B 1, C 1 iwe sehemu za kati za pande AC na AB za pembetatu ABC. Pembetatu HBC na OB 1 C 1 zinafanana, BC = 2 B 1 C 1. Kwa hiyo, CH = 2 OC 1.

Kwa ujumla, pembetatu mbili huchukuliwa kuwa sawa ikiwa zina umbo sawa, hata ikiwa ni ukubwa tofauti, kuzungushwa, au hata juu chini.

Uwakilishi wa hisabati wa pembetatu mbili zinazofanana A 1 B 1 C 1 na A 2 B 2 C 2 iliyoonyeshwa kwenye takwimu imeandikwa kama ifuatavyo:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Pembetatu mbili zinafanana ikiwa:

1. Kila pembe ya pembetatu moja ni sawa na pembe inayolingana ya pembetatu nyingine:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Na ∠C 1 = ∠C 2

2. Uwiano wa pande za pembetatu moja kwa pande zinazolingana za pembetatu nyingine ni sawa kwa kila mmoja:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Mahusiano pande mbili pembetatu moja kwa pande zinazolingana za pembetatu nyingine ni sawa kwa kila mmoja na kwa wakati mmoja
pembe kati ya pande hizi ni sawa:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ na $\angle A_1 = \pembe A_2$
au
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ na $\pembe B_1 = \pembe B_2$
au
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ na $\pembe C_1 = \pembe C_2$

Usichanganye pembetatu sawa na pembetatu sawa. Pembetatu sawa zina urefu wa upande unaolingana. Kwa hivyo, kwa pembetatu zinazolingana:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Inafuata kutoka kwa hili kwamba pembetatu zote sawa zinafanana. Walakini, sio pembetatu zote zinazofanana ni sawa.

Ingawa nukuu hapo juu inaonyesha kuwa ili kujua ikiwa pembetatu mbili zinafanana au la, lazima tujue maadili ya pembe tatu au urefu wa pande tatu za kila pembetatu, ili kutatua shida na pembetatu zinazofanana inatosha kujua. thamani zozote tatu zilizotajwa hapo juu kwa kila pembetatu. Kiasi hiki kinaweza kuwa katika mchanganyiko tofauti:

1) pembe tatu za kila pembetatu (huna haja ya kujua urefu wa pande za pembetatu).

Au angalau pembe 2 za pembetatu moja lazima iwe sawa na pembe 2 za pembetatu nyingine.
Kwa kuwa ikiwa pembe 2 ni sawa, basi pembe ya tatu pia itakuwa sawa (Thamani ya pembe ya tatu ni 180 - angle1 - angle2)

2) urefu wa pande za kila pembetatu (huna haja ya kujua pembe);

3) urefu wa pande mbili na pembe kati yao.

Ifuatayo tutaangalia kutatua shida kadhaa na pembetatu zinazofanana. Kwanza tutaangalia matatizo ambayo yanaweza kutatuliwa moja kwa moja kwa kutumia sheria zilizo hapo juu, na kisha kujadili baadhi ya matatizo ya vitendo ambayo yanaweza kutatuliwa kwa kutumia njia sawa ya pembetatu.

Fanya mazoezi ya matatizo na pembetatu sawa

Mfano #1: Onyesha kwamba pembetatu mbili katika takwimu hapa chini zinafanana.

Suluhisho:
Kwa kuwa urefu wa pande za pembetatu zote mbili zinajulikana, sheria ya pili inaweza kutumika hapa:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Mfano #2: Onyesha kuwa pembetatu uliyopewa ni sawa na uamua urefu wa pande PQ Na PR.

Suluhisho:
∠A = ∠P Na ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(kwa kuwa ∠C = 180 - ∠A - ∠B na ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Inafuata kutoka kwa hili kwamba pembetatu ΔABC na ΔPQR ni sawa. Kwa hivyo:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ na
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Mfano #3: Kuamua urefu AB katika pembetatu hii.

Suluhisho:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Na ∠A ujumla => pembetatu ΔABC Na ΔADE zinafanana.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Mshale wa kulia 2\mara AB = AB + 4 \Mshale wa kulia AB = 4$

Mfano #4: Amua urefu AD (x) takwimu ya kijiometri kwenye picha.

Pembetatu ΔABC na ΔCDE zinafanana kwa sababu AB || DE na wanayo kona ya juu ya kawaida C.
Tunaona kwamba pembetatu moja ni toleo la ukubwa wa nyingine. Hata hivyo, tunahitaji kuthibitisha hili kihisabati.

AB | DE, CD || AC na BC | E.C.
∠BAC = ∠EDC na ∠ABC = ∠DEC

Kulingana na hapo juu na kuzingatia uwepo wa pembe ya kawaida C, tunaweza kudai kuwa pembetatu ΔABC na ΔCDE zinafanana.

Kwa hivyo:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \mara 11)(7 ) = 23.57 $
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Mifano ya vitendo

Mfano #5: Kiwanda kinatumia ukanda wa kusafirisha bidhaa kusafirisha bidhaa kutoka ngazi ya 1 hadi ngazi ya 2, ambayo ni mita 3 juu kuliko kiwango cha 1, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu. Conveyor inayoelekea huhudumiwa kutoka mwisho mmoja hadi ngazi ya 1 na kutoka mwisho mwingine hadi mahali pa kazi iko umbali wa mita 8 kutoka kwa kiwango cha 1 cha uendeshaji.

Kiwanda kinataka kuboresha conveyor ili kufikia kiwango kipya, ambacho ni mita 9 juu ya kiwango cha 1, huku kikidumisha pembe ya mwelekeo wa conveyor.

Amua umbali ambao sehemu mpya ya kufanya kazi lazima isakinishwe ili kuhakikisha utendakazi wa kisafirishaji kwenye ncha yake mpya katika kiwango cha 2. Pia hesabu umbali wa ziada, ambayo bidhaa itapitia wakati wa kuhamia ngazi mpya.

Suluhisho:

Kwanza, wacha tuweke lebo kwa kila sehemu ya makutano na herufi maalum, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.

Kulingana na hoja iliyotolewa hapo juu katika mifano iliyotangulia, tunaweza kuhitimisha kuwa pembetatu ΔABC na ΔADE zinafanana. Kwa hivyo,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \mara 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Kwa hivyo, hatua mpya lazima iwekwe kwa umbali wa mita 16 kutoka kwa hatua iliyopo.

Na kwa kuwa muundo una pembetatu za kulia, tunaweza kuhesabu umbali wa harakati ya bidhaa kama ifuatavyo:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

Vile vile, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
ambao ni umbali ambao bidhaa husafiri kwa sasa inapofikia kiwango kilichopo.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 m
huu ndio umbali wa ziada ambao bidhaa lazima isafiri ili kufikia kiwango kipya.

Mfano #6: Steve anataka kumtembelea rafiki yake aliyehamia hivi majuzi nyumba mpya. Ramani ya barabara kwenda kwa Steve na nyumba ya rafiki yake, pamoja na umbali unaojulikana na Steve, umeonyeshwa kwenye takwimu. Msaidie Steve kufika nyumbani kwa rafiki yake kwa njia fupi iwezekanavyo.

Suluhisho:

Ramani ya barabara inaweza kuwakilishwa kijiometri fomu ifuatayo kama inavyoonekana kwenye picha.

Tunaona kwamba pembetatu ΔABC na ΔCDE ni sawa, kwa hivyo:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Taarifa ya tatizo inasema:

AB = 15 km, AC = 13.13 km, CD = 4.41 km na DE = 5 km

Kwa kutumia habari hii tunaweza kuhesabu umbali ufuatao:

$BC = \frac(AB \mara CD)(DE) = \frac(15 \mara 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \nyakati CD)(BC) = \frac(13.13 \mara 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve anaweza kufika nyumbani kwa rafiki yake kwa kutumia njia zifuatazo:

A -> B -> C -> E -> G, jumla ya umbali ni 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 km

F -> B -> C -> D -> G, jumla ya umbali ni 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 km

F -> A -> C -> E -> G, jumla ya umbali ni 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 km

F -> A -> C -> D -> G, jumla ya umbali ni 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 km

Kwa hiyo, njia ya 3 ni fupi zaidi na inaweza kutolewa kwa Steve.

Mfano 7:
Trisha anataka kupima urefu wa nyumba, lakini hana zana sahihi. Aligundua kuwa kulikuwa na mti unaokua mbele ya nyumba na akaamua kutumia ustadi wake na maarifa ya jiometri aliyopata shuleni ili kujua urefu wa jengo hilo. Alipima umbali kutoka kwenye mti hadi kwenye nyumba, matokeo yake yalikuwa mita 30 kisha akasimama mbele ya mti na akaanza kurudi nyuma hadi ukingo wa juu wa jengo ulionekana juu ya mti. Trisha aliweka alama mahali hapa na kupima umbali kutoka kwake hadi kwenye mti. Umbali huu ulikuwa mita 5.

Urefu wa mti ni 2.8 m, na urefu wa kiwango cha jicho la Trisha ni 1.6 m Msaada Trisha kuamua urefu wa jengo.

Suluhisho:

Uwakilishi wa kijiometri wa tatizo unaonyeshwa kwenye takwimu.

Kwanza tunatumia kufanana kwa pembetatu ΔABC na ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Mshale wa kulia 2.8 \mara AC = 1.6 \mara (5 + AC) = 8 + 1.6 \mara AC$

$(2.8 - 1.6) \mara AC = 8 \Mshale wa kulia AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Kisha tunaweza kutumia ufanano wa pembetatu ΔACB na ΔAFG au ΔADE na ΔAFG. Hebu tuchague chaguo la kwanza.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Mshale wa kulia H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 m$

1.2. Ufafanuzi wa pembetatu sawa. Ufafanuzi. Pembetatu mbili huitwa sawa ikiwa pembe zao ni sawa na pande za pembetatu moja ni sawia na pande zinazofanana za pembetatu nyingine. Kwa maneno mengine, pembetatu mbili zinafanana ikiwa zinaweza kuashiria kwa herufi ABC na A1B1C1 ili A= A1, B= B1, C= C1 Nambari k, sawa na uwiano wa pande zinazofanana za pembetatu inayoitwa mgawo wa kufanana.

Slaidi 9 kutoka kwa uwasilishaji "Pembetatu zinazofanana" daraja la 8.

Saizi ya kumbukumbu iliyo na wasilisho ni 1756 KB.

Jiometri daraja la 8 muhtasari

mawasilisho mengine

""Mraba" daraja la 8" - Kazi za mdomo. Mraba. Mfuko na msingi wa mraba. Mfanyabiashara tajiri. Mraba ni mstatili na pande zote sawa. Eneo la mraba. Mzunguko wa mraba. Ishara za mraba. Kazi za kazi ya mdomo kwenye eneo la mraba. Mali ya mraba. Ni miraba ngapi imeonyeshwa kwenye picha? Mraba mweusi. Kazi za kazi ya mdomo karibu na eneo la mraba. Mraba ni kati yetu. "Bidhaa ya Scalar katika kuratibu" - Sifa za bidhaa ya scalar ya vekta. Mtihani wa hisabati. Matokeo. Kadi za kubadilishana. Nyenzo mpya

. Nadharia ya Napoleon. Vekta. Bidhaa ya nukta katika kuratibu na mali zake. Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Suluhisho la pembetatu. Jiometri. Kuongeza joto kwa hisabati. Hebu tutatue tatizo. Jina la mwandishi wa theorem.

"Mfumo wa miduara iliyozuiliwa na iliyoandikwa" - Kufanya kazi na kitabu cha kiada. Trapezoid. Jumla ya urefu wa pande tofauti. Pembe za pembe nne iliyoandikwa. Vipeo vya pembetatu. Katikati ya duara. Chagua kauli sahihi. Maliza sentensi. Pembetatu. Miduara iliyoandikwa na iliyozungukwa. Katikati ya mduara. Mduara. Sehemu ya makutano. Jumla ya pembe kinyume. Kazi ya mdomo. Urefu.

"Eneo la mstatili" daraja la 8 - Tafuta eneo la quadrilateral. Mali ya maeneo. Sambamba imeundwa upande wa AB. ABCD na DСМK ni miraba. Eneo la ASKM ya pembe nne. Pande za kila moja ya mstatili. Eneo la mstatili. Vitengo vya kipimo cha eneo. Tafuta eneo la pembetatu. Poligoni imeundwa na poligoni kadhaa. Tafuta eneo la hexagon. Tafuta eneo la mraba. Vitengo. ABCD ni sambamba.

"Wazo la vekta" - Vekta ya sifuri. Kuchelewesha vekta kutoka kwa sehemu fulani. Isosceles trapezoid. Vector ni nini. Vekta za Collinear. Mbili vectors zisizo za sifuri. Vekta mbili zisizo za sifuri ni collinear. Weka alama kwenye mchoro. Asili ya kihistoria. Mwelekeo wa vectors. Dhana ya vector ya kijiometri. Kazi. Parallelogram. Vekta. Urefu wa Vector. Usawa wa vekta.

Unaweza kupendezwa na nyenzo zifuatazo