Kosine ya pembe kati ya mistari iliyonyooka kutokana na milinganyo ya kisheria. Pembe kati ya mistari iliyonyooka

Acha mistari iliyonyooka itolewe kwenye nafasi l Na m. Kupitia sehemu fulani A ya nafasi tunachora mistari iliyonyooka l 1 | l Na m 1 | m(Mchoro 138).

Kumbuka kuwa hatua A inaweza kuchaguliwa kiholela, haswa, inaweza kulala kwenye moja ya mistari hii. Ikiwa moja kwa moja l Na m vuka, basi A inaweza kuchukuliwa kama sehemu ya makutano ya mistari hii ( l 1 = l Na m 1 = m).

Pembe kati ya mistari isiyo ya sambamba l Na m ni thamani ya pembe ndogo zaidi zinazokaribiana zinazoundwa na mistari inayokatiza l 1 Na m 1 (l 1 | l, m 1 | m) Pembe kati ya mistari inayofanana inachukuliwa kuwa sawa na sifuri.

Pembe kati ya mistari iliyonyooka l Na m imeashiriwa na $\widehat((l;m))$. Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba ikiwa inapimwa kwa digrii, basi 0 ° < $\widehat((l;m)) $ < 90°, na ikiwa katika radiani, basi 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

Kazi. Imepewa mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Mchoro 139).

Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka AB na DC 1.

Mistari iliyonyooka AB na DC 1 inayovuka. Kwa kuwa mstari wa moja kwa moja DC ni sambamba na mstari wa moja kwa moja AB, pembe kati ya mistari ya moja kwa moja AB na DC 1, kulingana na ufafanuzi, ni sawa na $\widehat(C_(1)DC)$.

Kwa hiyo, $\widehat((AB;DC_1)))$ = 45°.

Moja kwa moja l Na m wanaitwa perpendicular, ikiwa $\widehat((l;m)) $ = π / 2. Kwa mfano, katika mchemraba

Uhesabuji wa pembe kati ya mistari iliyonyooka.

Tatizo la kuhesabu angle kati ya mistari miwili ya moja kwa moja katika nafasi hutatuliwa kwa njia sawa na katika ndege. Hebu tuonyeshe kwa φ ukubwa wa pembe kati ya mistari l 1 Na l 2, na kwa njia ya ψ - ukubwa wa angle kati ya vectors ya mwelekeo A Na b mistari hii iliyonyooka.

Kisha ikiwa

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (Mchoro 206.6), kisha φ = 180 ° - ψ. Ni wazi, katika hali zote mbili usawa cos φ = |cos ψ| ni kweli. Kulingana na formula (cosine ya pembe kati vectors zisizo za sifuri a na b ni sawa na bidhaa ya scalar ya vekta hizi zilizogawanywa na bidhaa ya urefu wao) tunayo

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

hivyo,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Acha mistari itolewe kwa milinganyo yao ya kisheria

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Na \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Kisha angle φ kati ya mistari imedhamiriwa kwa kutumia formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ikiwa moja ya mistari (au zote mbili) inatolewa na equations zisizo za kisheria, basi kuhesabu angle unahitaji kupata kuratibu za vectors za mwelekeo wa mistari hii, na kisha utumie formula (1).

Jukumu la 1. Kuhesabu pembe kati ya mistari

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;na\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vekta za mwelekeo wa mistari iliyonyooka zina kuratibu:

a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Kwa kutumia fomula (1) tunapata

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Kwa hiyo, pembe kati ya mistari hii ni 60 °.

Jukumu la 2. Kuhesabu pembe kati ya mistari

$$ \anza(kesi)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(kesi) na \anza(kesi)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\mwisho(kesi) $$

Nyuma ya vector ya mwongozo A Kwenye mstari wa kwanza tunachukua bidhaa ya vector ya vectors ya kawaida n 1 = (3; 0; -12) na n 2 = (1; 1; -3) ndege zinazofafanua mstari huu. Kwa kutumia fomula $=\anza(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \mwisho(vmatrix) $ tunapata

$$ a==\anza(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Vivyo hivyo, tunapata vekta ya mwelekeo wa mstari wa pili wa moja kwa moja:

$$ b=\anza(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \mwisho(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Lakini kwa kutumia formula (1) tunahesabu cosine ya pembe inayotaka:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Kwa hiyo, pembe kati ya mistari hii ni 90 °.

Jukumu la 3. Katika piramidi ya triangular MABC, kando MA, MB na MC ni pande zote za perpendicular (Mchoro 207);

urefu wao ni mtiririko 4, 3, 6. Pointi D ni katikati [MA]. Pata pembe φ kati ya mistari CA na DB.

Acha CA na DB ziwe vidhibiti vya mwelekeo wa mistari iliyonyooka CA na DB.

Wacha tuchukue hatua M kama asili ya kuratibu. Kwa hali ya mlinganyo tuna A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Kwa hiyo $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Wacha tutumie fomula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Kwa kutumia jedwali la cosine, tunaona kwamba pembe kati ya mistari iliyonyooka CA na DB ni takriban 72°.

ANGLE KATI YA NDEGE

Fikiria ndege mbili α 1 na α 2, zilizofafanuliwa kwa mtiririko huo na milinganyo:

Chini ya pembe kati ya ndege mbili tutaelewa moja ya pembe za dihedral zinazoundwa na ndege hizi. Ni dhahiri kwamba pembe kati ya vekta za kawaida na ndege α 1 na α 2 ni sawa na moja ya pembe za dihedral zilizoonyeshwa karibu. . Ndiyo maana . Kwa sababu Na , Hiyo

Mfano. Kuamua angle kati ya ndege x+2y-3z+4=0 na 2 x+3y+z+8=0.

Masharti ya usawa wa ndege mbili.

Ndege mbili α 1 na α 2 zinafanana ikiwa na tu ikiwa vekta zao za kawaida zinafanana, na kwa hivyo. .

Kwa hivyo, ndege mbili zinafanana ikiwa na tu ikiwa coefficients ya kuratibu zinazolingana ni sawia:

Hali ya perpendicularity ya ndege.

Ni wazi kwamba ndege mbili ni perpendicular ikiwa na tu ikiwa vectors zao za kawaida ni perpendicular, na kwa hiyo, au.

Hivyo,.

Mifano.

MOJA KWA MOJA KATIKA NAFASI.

VETOR EQUATION KWA MSTARI.

PARAMETRIC DIRECT EQUATIONS

Nafasi ya mstari katika nafasi imedhamiriwa kabisa kwa kubainisha pointi zake zozote zilizowekwa M 1 na vekta sambamba na mstari huu.

Vector sambamba na mstari inaitwa viongozi vector ya mstari huu.

Hivyo basi mstari wa moja kwa moja l hupitia hatua M 1 (x 1 , y 1 , z 1), amelazwa kwenye mstari sambamba na vekta.

Fikiria hoja ya kiholela M(x,y,z) kwenye mstari wa moja kwa moja. Kutoka kwa takwimu ni wazi kwamba .

Vekta na ni collinear, kwa hivyo kuna nambari kama hiyo t, nini, iko wapi kizidishi t inaweza kuchukua thamani yoyote ya nambari kulingana na nafasi ya uhakika M kwenye mstari wa moja kwa moja. Sababu t inayoitwa parameter. Baada ya kuteua vekta za radius ya pointi M 1 na M kwa mtiririko huo, kupitia na, tunapata. Equation hii inaitwa vekta equation ya mstari wa moja kwa moja. Inaonyesha kwamba kwa kila thamani ya parameter t inalingana na vekta ya radius ya hatua fulani M, amelala kwenye mstari ulionyooka.

Wacha tuandike mlingano huu kwa njia ya kuratibu. Kumbuka kwamba, na kutoka hapa

Equations zinazotokana zinaitwa parametric equations ya mstari wa moja kwa moja.

Wakati wa kubadilisha parameter t kuratibu mabadiliko x, y Na z na kipindi M husogea kwa mstari ulionyooka.

EQUATIONS ZA KANUNI ZA Direct

Hebu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - hatua iko kwenye mstari wa moja kwa moja l, Na ni mwelekeo wake vector. Hebu tena tuchukue hatua ya kiholela kwenye mstari M(x,y,z) na fikiria vekta.

Ni wazi kuwa vekta pia ni collinear, kwa hivyo kuratibu zao zinazolingana lazima ziwe sawia, kwa hivyo,

– kisheria equations ya mstari wa moja kwa moja.

Kumbuka 1. Kumbuka kuwa milinganyo ya kisheria ya mstari inaweza kupatikana kutoka kwa zile za parametric kwa kuondoa kigezo. t. Hakika, kutoka kwa hesabu za parametric tunapata au .

Mfano. Andika equation ya mstari katika fomu ya parametric.

Hebu kuashiria , kutoka hapa x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Kumbuka 2. Hebu mstari wa moja kwa moja uwe perpendicular kwa moja ya axes ya kuratibu, kwa mfano mhimili Ng'ombe. Kisha vector ya mwelekeo wa mstari ni perpendicular Ng'ombe, kwa hivyo, m=0. Kwa hivyo, equations za parametric za mstari zitachukua fomu

Ukiondoa kigezo kutoka kwa milinganyo t, tunapata equations ya mstari katika fomu

Walakini, katika kesi hii pia, tunakubali kuandika rasmi milinganyo ya kisheria ya mstari katika fomu . Kwa hivyo, ikiwa dhehebu la moja ya sehemu ni sifuri, hii inamaanisha kuwa mstari wa moja kwa moja ni sawa na mhimili wa kuratibu unaofanana.

Sawa na milinganyo ya kisheria inalingana na mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa shoka Ng'ombe Na Oy au sambamba na mhimili Oz.

Mifano.

MILIngano YA JUMLA YA MSTARI ILIYONYOOKA KAMA MISTARI YA MAKUTANO YA NDEGE MBILI.

Kupitia kila mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi kuna ndege nyingi. Yoyote mawili kati yao, yakiingiliana, hufafanua katika nafasi. Kwa hivyo, milinganyo ya ndege zozote mbili kama hizo, ikizingatiwa pamoja, inawakilisha milinganyo ya mstari huu.

Kwa ujumla, ndege zozote mbili zisizo za sambamba zinazotolewa na milinganyo ya jumla

kuamua mstari wa moja kwa moja wa makutano yao. Equations hizi zinaitwa milinganyo ya jumla moja kwa moja.

Mifano.

Tengeneza mstari uliotolewa na milinganyo

Ili kujenga mstari wa moja kwa moja, inatosha kupata pointi zake mbili. Njia rahisi ni kuchagua pointi za makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege za kuratibu. Kwa mfano, hatua ya makutano na ndege xOy tunapata kutoka kwa equations ya mstari wa moja kwa moja, tukizingatia z= 0:

Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tunapata uhakika M 1 (1;2;0).

Vile vile, kudhani y= 0, tunapata hatua ya makutano ya mstari na ndege xOz:

Kutoka kwa equations ya jumla ya mstari mtu anaweza kwenda kwenye kanuni zake au equations parametric. Ili kufanya hivyo unahitaji kupata uhakika fulani M 1 kwenye mstari wa moja kwa moja na vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja.

Viratibu vya pointi M 1 tunapata kutoka kwa mfumo huu wa milinganyo, tukipa moja ya viwianishi thamani ya kiholela. Ili kupata vekta ya mwelekeo, kumbuka kuwa vekta hii lazima iwe ya kawaida kwa vekta zote za kawaida Na . Kwa hiyo, zaidi ya vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja l unaweza kuchukua bidhaa ya vekta ya vekta za kawaida:

Mfano. Toa milinganyo ya jumla ya mstari kwa fomu ya kisheria.

Wacha tupate hoja iliyo kwenye mstari. Ili kufanya hivyo, tunachagua kiholela moja ya kuratibu, kwa mfano, y= 0 na kutatua mfumo wa equations:

Vekta za kawaida za ndege zinazofafanua mstari zina kuratibu Kwa hiyo, vector ya mwelekeo itakuwa sawa

. Kwa hivyo, l: .

ANGLE KATI YA NYOKA

Pembe kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe zozote zilizo karibu zinazoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kupitia sehemu ya kiholela sambamba na data.

Acha mistari miwili itolewe kwenye nafasi:

Kwa wazi, pembe φ kati ya mistari ya moja kwa moja inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vekta zao za mwelekeo na . Tangu , basi kwa kutumia formula ya cosine ya pembe kati ya vekta tunapata

Ikiwa kwenye mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi tunaweka alama mbili za kiholela M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2), basi kuratibu za pointi hizi lazima kukidhi equation ya mstari wa moja kwa moja. zilizopatikana hapo juu:

Kwa kuongeza, kwa uhakika M 1 tunaweza kuandika:

Kutatua hesabu hizi pamoja, tunapata:

Huu ni mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili katika nafasi.

Milinganyo ya jumla ya mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi.

Equation ya mstari wa moja kwa moja inaweza kuzingatiwa kama equation ya mstari wa makutano ya ndege mbili.

Milinganyo ya jumla ya mstari wa moja kwa moja katika fomu ya kuratibu:

Kazi ya vitendo mara nyingi ni kupunguza milinganyo ya mistari iliyonyooka hadi mtazamo wa jumla kwa fomu ya kisheria.

Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata hatua ya kiholela kwenye mstari na nambari m, n, p.

Katika kesi hii, vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja inaweza kupatikana kama bidhaa ya vekta ya vekta za kawaida kwa ndege zilizopewa.

Mfano. Tafuta equation ya kisheria ikiwa mstari umetolewa kwa fomu:

Ili kupata hatua ya kiholela kwenye mstari, tunachukua uratibu wake x = 0, na kisha kubadilisha thamani hii katika mfumo uliotolewa wa equations.

Wale. A(0, 2, 1).

Pata vipengele vya vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Kisha milinganyo ya kisheria ya mstari:

Mfano. Leta katika umbo la kisheria mlinganyo wa mstari uliotolewa katika fomu:

Ili kupata hatua ya kiholela kwenye mstari wa moja kwa moja, ambayo ni mstari wa makutano ya ndege zilizo hapo juu, tunachukua z = 0. Kisha:

;

2x - 9x - 7 = 0;

Tunapata: A(-1; 3; 0).

Vekta ya moja kwa moja: .

Pembe kati ya ndege.

Pembe kati ya ndege mbili katika nafasi  inahusiana na angle kati ya kawaida kwa ndege hizi  1 kwa uhusiano:  =  1 au  = 180 0 -  1, i.e.

cos = cos 1 .

Wacha tuamue pembe  1. Inajulikana kuwa ndege zinaweza kuainishwa na uhusiano:

, Wapi

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Tunapata pembe kati ya vekta za kawaida kutoka kwa bidhaa zao za scalar:

Kwa hivyo, pembe kati ya ndege hupatikana na formula:

Uchaguzi wa ishara ya cosine inategemea ambayo angle kati ya ndege inapaswa kupatikana - papo hapo au karibu nayo obtuse.

Masharti ya usawa na perpendicularity ya ndege.

Kulingana na formula iliyopatikana hapo juu ya kutafuta angle kati ya ndege, mtu anaweza kupata masharti ya usawa na perpendicularity ya ndege.

Ili ndege ziwe perpendicular, ni muhimu na ya kutosha kwamba cosine ya angle kati ya ndege iwe sawa na sifuri. Hali hii inafikiwa ikiwa:

Ndege ziko sambamba, vekta za kawaida ni collinear:  .Hali hii inatimizwa ikiwa: .

Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye nafasi.

Acha mistari miwili itolewe kwenye nafasi. Equations zao za parametric ni:

Pembe kati ya mistari iliyonyooka  na pembe kati ya vekta za mwelekeo  ya mistari hii iliyonyooka inahusiana na uhusiano:  =  1 au  = 180 0 -  1. Pembe kati ya vectors ya mwelekeo hupatikana kutoka kwa bidhaa ya scalar. Hivyo:

Masharti ya usawa na perpendicularity ya mistari katika nafasi.

Ili mistari miwili iwe sawa ni muhimu na ya kutosha kwamba vekta za mwelekeo wa mistari hii ziwe collinear, i.e. kuratibu zao sambamba walikuwa sawia.

Itakuwa muhimu kwa kila mwanafunzi anayejitayarisha kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa katika hisabati kurudia mada "Kutafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka." Kama takwimu zinavyoonyesha, wakati wa kufaulu mtihani wa uthibitisho, kazi katika sehemu hii ya stereometry husababisha ugumu kwa kiasi kikubwa wanafunzi. Wakati huo huo, kazi zinazohitaji kutafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka hupatikana katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika viwango vya msingi na maalum. Hii ina maana kwamba kila mtu anapaswa kuwa na uwezo wa kuyatatua.

Vivutio

Kuna aina 4 za nafasi za jamaa za mistari katika nafasi. Wanaweza sanjari, kukatiza, kuwa sambamba au kukatiza. Pembe kati yao inaweza kuwa ya papo hapo au sawa.

Ili kupata angle kati ya mistari katika Mtihani wa Jimbo la Umoja au, kwa mfano, katika kutatua, watoto wa shule huko Moscow na miji mingine wanaweza kutumia njia kadhaa za kutatua matatizo katika sehemu hii ya stereometry. Unaweza kukamilisha kazi kwa kutumia miundo ya classical. Kwa kufanya hivyo, ni thamani ya kujifunza axioms ya msingi na theorems ya stereometry. Mwanafunzi anahitaji kuwa na uwezo wa kufikiri kimantiki na kuunda michoro ili kuleta kazi kwa tatizo la planimetric.

Unaweza pia kutumia njia ya vekta ya kuratibu kwa kutumia fomula rahisi, sheria na algorithms. Jambo kuu katika kesi hii ni kufanya mahesabu yote kwa usahihi. Mradi wa elimu wa Shkolkovo utakusaidia kuboresha ujuzi wako wa kutatua matatizo katika stereometry na sehemu nyingine za kozi ya shule.

Oh-oh-oh-oh-oh ... vizuri, ni ngumu, kana kwamba alikuwa akijisomea sentensi =) Hata hivyo, kupumzika kutasaidia baadaye, hasa tangu leo nilinunua vifaa vinavyofaa. Kwa hivyo, wacha tuendelee kwenye sehemu ya kwanza, natumai kuwa mwisho wa kifungu nitadumisha hali ya furaha.

Nafasi ya jamaa ya mistari miwili iliyonyooka

Hivi ndivyo hali ya hadhira inapoimba kwa pamoja. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:

1) mechi;

2) kuwa sambamba:;

3) au vuka katika sehemu moja: .

Msaada kwa dummies : Tafadhali kumbuka ishara ya makutano ya hisabati, itaonekana mara nyingi sana. Nukuu inamaanisha kuwa mstari unaingiliana na mstari kwa uhakika.

Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?

Wacha tuanze na kesi ya kwanza:

Mistari miwili inalingana ikiwa na ikiwa tu migawo inayolingana ni sawia, yaani, kuna nambari "lambda" kiasi kwamba usawa unaridhika

Hebu fikiria mistari ya moja kwa moja na kuunda equations tatu kutoka kwa coefficients sambamba:. Kutoka kwa kila equation inafuata kwamba, kwa hiyo, mistari hii inafanana.

Hakika, ikiwa coefficients yote ya equation zidisha kwa -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation kata na 2, unapata equation sawa:.

Kesi ya pili, wakati mistari inafanana:

Mistari miwili ni sambamba ikiwa na ikiwa tu mgawo wao wa vigeuzo ni sawia: ,Lakini.

Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Tunaangalia uwiano wa coefficients sambamba kwa vigezo:

Hata hivyo, ni dhahiri kabisa kwamba.

Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:

Mistari miwili huingiliana ikiwa na ikiwa tu migawo yao ya vigeuzo HAINA uwiano, yaani, HAKUNA thamani kama hiyo ya "lambda" ambayo usawa unaridhika

Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutaunda mfumo:

Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , na kutoka kwa equation ya pili: , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigezo si sawia.

Hitimisho: mistari huingiliana

Katika matatizo ya vitendo, unaweza kutumia mpango wa ufumbuzi uliojadiliwa hivi karibuni. Kwa njia, inawakumbusha sana algorithm ya kuangalia veta kwa collinearity, ambayo tuliiangalia darasani. Wazo la utegemezi wa mstari (katika) wa vekta. Msingi wa vectors. Lakini kuna kifurushi cha kistaarabu zaidi:

Mfano 1

Tafuta msimamo wa jamaa moja kwa moja:

Suluhisho kwa msingi wa utafiti wa kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

a) Kutoka kwa hesabu tunapata veta za mwelekeo wa mistari: .

, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear na mistari intersect.

Ikiwezekana, nitaweka jiwe lenye ishara kwenye njia panda:

Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata zaidi, moja kwa moja hadi Kashchei the Immortal =)

b) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari:

Mistari hiyo ina vekta ya mwelekeo sawa, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa au sanjari. Hakuna haja ya kuhesabu kiashiria hapa.

Ni dhahiri kwamba coefficients ya haijulikani ni sawia, na.

Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli:

Hivyo,

c) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari:

Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za veta hizi:
, kwa hiyo, vekta za mwelekeo ni collinear. Mistari ni ama sambamba au sanjari.

Mgawo wa uwiano "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vekta za mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations zenyewe: .

Sasa hebu tujue kama usawa ni kweli. Masharti yote mawili ya bure ni sifuri, kwa hivyo:

Thamani inayotokana inatosheleza mlingano huu (nambari yoyote kwa ujumla inatosheleza).

Kwa hivyo, mistari inalingana.

Jibu:

Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua tatizo lililojadiliwa kwa maneno halisi katika suala la sekunde. Katika suala hili, sioni umuhimu wa kutoa chochote uamuzi wa kujitegemea, ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:

Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?

Kwa kutojua hili kazi rahisi zaidi Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.

Mfano 2

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika mlinganyo wa mstari sambamba unaopita kwenye nukta.

Suluhisho: Hebu tuonyeshe mstari usiojulikana kwa herufi. Je, hali inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua. Na ikiwa mistari inafanana, basi ni dhahiri kwamba vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ajili ya kujenga mstari wa moja kwa moja "de".

Tunachukua vekta ya mwelekeo kutoka kwa equation:

Jibu:

Mfano wa jiometri inaonekana rahisi:

Mtihani wa uchambuzi unajumuisha hatua zifuatazo:

1) Tunaangalia kuwa mistari ina vekta ya mwelekeo sawa (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vekta zitakuwa collinear).

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana.

Katika hali nyingi, uchunguzi wa uchambuzi unaweza kufanywa kwa mdomo kwa urahisi. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka usawa wa mistari bila kuchora yoyote.

Mifano ya ufumbuzi wa kujitegemea leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado utalazimika kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.

Mfano 3

Andika mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta sambamba na mstari kama

Kuna njia ya busara na sio ya busara ya kuisuluhisha. Njia fupi zaidi iko mwisho wa somo.

Tulifanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya mistari inayolingana haipendezi sana, kwa hivyo hebu tuzingatie shida ambayo unaifahamu kutoka. mtaala wa shule:

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?

Ikiwa moja kwa moja intersect at point , basi kuratibu zake ndio suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari? Tatua mfumo.

Haya basi maana ya kijiometri ya mfumo wa mbili milinganyo ya mstari na wawili wasiojulikana- hizi ni mistari miwili inayoingiliana (mara nyingi) kwenye ndege.

Mfano 4

Tafuta mahali pa makutano ya mistari

Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - graphical na uchambuzi.

Njia ya picha ni kuchora tu mistari uliyopewa na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa mchoro:

Hapa kuna hoja yetu:. Kuangalia, unapaswa kubadilisha viwianishi vyake katika kila mlinganyo wa mstari zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za uhakika ni suluhisho kwa mfumo. Kimsingi, tuliangalia suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari na equations mbili, mbili haijulikani.

Njia ya graphical ni, bila shaka, si mbaya, lakini kuna hasara zinazoonekana. Hapana, suala sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivi, uhakika ni kwamba itachukua muda kuunda mchoro sahihi na SAHIHI. Kwa kuongeza, baadhi ya mistari iliyonyooka si rahisi sana kujenga, na sehemu ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali fulani katika ufalme wa thelathini nje ya karatasi ya daftari.

Kwa hiyo, ni vyema zaidi kutafuta hatua ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tusuluhishe mfumo:

Ili kutatua mfumo, njia ya kuongeza muda kwa muda wa equations ilitumiwa. Ili kukuza ustadi unaofaa, chukua somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?

Jibu:

Cheki ni ndogo - viwianishi vya sehemu ya makutano lazima vikidhi kila equation ya mfumo.

Mfano 5

Tafuta sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inaingiliana.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ni rahisi kugawanya kazi katika hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kuwa ni muhimu:
1) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Jua msimamo wa jamaa wa mistari.
4) Ikiwa mistari inaingiliana, basi pata hatua ya makutano.

Uendelezaji wa algorithm ya hatua ni ya kawaida kwa matatizo mengi ya kijiometri, na nitazingatia mara kwa mara juu ya hili.

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo:

Hata jozi ya viatu haikuchakaa kabla ya kufika sehemu ya pili ya somo:

Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka

Wacha tuanze na ya kawaida na sana kazi muhimu. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga mstari wa moja kwa moja sambamba na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitageuka digrii 90:

Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?

Mfano 6

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika equation perpendicular kwa mstari unaopita kwenye uhakika.

Suluhisho: Kwa sharti inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector inayoongoza ya mstari. Kwa kuwa mistari ni perpendicular, hila ni rahisi:

Kutoka kwa equation sisi "kuondoa" vector ya kawaida: , ambayo itakuwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Jibu:

Wacha tupanue mchoro wa kijiometri:

Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia ya machungwa.

Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:

1) Tunachukua vekta za mwelekeo kutoka kwa hesabu na kwa msaada bidhaa ya scalar ya vekta tunafikia hitimisho kwamba mistari ni ya kawaida: .

Kwa njia, unaweza kutumia vectors ya kawaida, ni rahisi zaidi.

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana .

Mtihani, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.

Mfano 7

Pata hatua ya makutano ya mistari ya perpendicular ikiwa equation inajulikana na kipindi.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kuna vitendo kadhaa katika shida, kwa hivyo ni rahisi kuunda suluhisho kwa hatua.

Safari yetu ya kusisimua inaendelea:

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Tuna ukanda wa moja kwa moja wa mto mbele yetu na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vikwazo, na njia bora zaidi itakuwa kusonga kando ya perpendicular. Hiyo ni, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa sehemu ya perpendicular.

Umbali katika jiometri huonyeshwa jadi Barua ya Kigiriki"ro", kwa mfano: - umbali kutoka kwa uhakika "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".

Umbali kutoka hatua hadi mstari iliyoonyeshwa na fomula

Mfano 8

Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari

Suluhisho: unachohitaji kufanya ni kubadilisha nambari kwa uangalifu kwenye fomula na kufanya mahesabu:

Jibu:

Wacha tufanye mchoro:

Umbali uliopatikana kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari ni urefu kamili wa sehemu nyekundu. Ikiwa utachora mchoro kwenye karatasi iliyotiwa alama kwenye mizani ya kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.

Wacha tuchunguze kazi nyingine kulingana na mchoro sawa:

Kazi ni kupata kuratibu za hatua ambayo ni ulinganifu kwa uhakika kuhusiana na mstari wa moja kwa moja . Ninapendekeza kufanya hatua mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:

1) Tafuta mstari ambao ni perpendicular kwa mstari.

2) Tafuta mahali pa makutano ya mistari: .

Vitendo vyote viwili vimejadiliwa kwa kina katika somo hili.

3) Hatua ni katikati ya sehemu. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya mwisho. Na fomula za kuratibu za sehemu ya kati ya sehemu tunapata.

Itakuwa wazo nzuri kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.

Ugumu unaweza kutokea katika mahesabu hapa, lakini microcalculator ni msaada mkubwa katika mnara, kuruhusu wewe kuhesabu. sehemu za kawaida. Nimekushauri mara nyingi na nitakupendekeza tena.

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?

Mfano 9

Tafuta umbali kati ya mistari miwili inayofanana

Huu ni mfano mwingine kwako wa kuamua mwenyewe. Nitakupa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kutatua hili. Kujadiliana mwishoni mwa somo, lakini ni bora kujaribu kujikisia mwenyewe, nadhani ujanja wako ulikuzwa vizuri.

Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka

Kila kona ni jamb:

Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inachukuliwa kuwa angle ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kwamba haiwezi kuwa butu. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mistari ya kuingiliana. Na jirani yake "kijani" au yenye mwelekeo kinyume kona ya "raspberry".

Ikiwa mistari ni perpendicular, basi yoyote ya pembe 4 inaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.

Je, pembe ni tofautije? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo ambao pembe "imezungushwa" ni muhimu sana. Pili, pembe yenye mwelekeo hasi imeandikwa kwa ishara ya kuondoa, kwa mfano ikiwa .

Kwa nini nilikuambia hivi? Inaonekana kwamba tunaweza kupata na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba fomula ambazo tutapata pembe zinaweza kusababisha matokeo hasi kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya minus sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe hasi, hakikisha unaonyesha mwelekeo wake na mshale (saa ya saa).

Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna fomula mbili za kufanya kazi:

Mfano 10

Tafuta pembe kati ya mistari

Suluhisho Na Mbinu ya kwanza

Fikiria mistari miwili iliyonyooka, iliyotolewa na milinganyo kwa ujumla:

Ikiwa moja kwa moja sio perpendicular, Hiyo iliyoelekezwa Pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

Hebu tuzingalie kwa makini denominator - hii ni hasa bidhaa ya nukta kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

Ikiwa , basi denominator ya formula inakuwa sifuri, na vectors itakuwa orthogonal na mistari itakuwa perpendicular. Ndio maana uhifadhi ulifanywa kuhusu kutokuwa na usawa wa mistari iliyonyooka katika uundaji.

Kulingana na hapo juu, ni rahisi kurasimisha suluhisho katika hatua mbili:

1) Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar ya veta za mwelekeo wa mistari:
, ambayo ina maana kwamba mistari sio perpendicular.

2) Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka kwa kutumia formula:

Kutumia kazi ya inverse ni rahisi kupata angle yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia hali isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):

Jibu:

Katika jibu tunaonyesha thamani halisi, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana katika digrii zote mbili na radiani), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.

Kweli, minus, minus, hakuna jambo kubwa. Hapa kuna kielelezo cha kijiometri:

Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa na mwelekeo mbaya, kwa sababu katika taarifa ya tatizo nambari ya kwanza ni mstari wa moja kwa moja na "kufungua" kwa pembe ilianza kwa usahihi.

Ikiwa unataka kupata pembe chanya, unahitaji kubadilishana mistari, ambayo ni, kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili. , na uchukue coefficients kutoka kwa mlinganyo wa kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na moja kwa moja .