Inatokana na sehemu. Pata derivative: algorithm na mifano ya suluhisho

Ukifuata ufafanuzi, basi derivative ya kazi katika hatua ni kikomo cha uwiano wa ongezeko la chaguo la kukokotoa Δ. y kwa ongezeko la hoja Δ x:

Kila kitu kinaonekana kuwa wazi. Lakini jaribu kutumia fomula hii kuhesabu, tuseme, derivative ya chaguo la kukokotoa f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dhambi x. Ikiwa unafanya kila kitu kwa ufafanuzi, basi baada ya kurasa kadhaa za mahesabu utalala tu. Kwa hiyo, kuna njia rahisi na za ufanisi zaidi.

Kuanza, tunaona kuwa kutoka kwa anuwai ya kazi tunaweza kutofautisha kinachojulikana kama kazi za kimsingi. Haya ni maneno rahisi kiasi, derivatives ambayo kwa muda mrefu imekuwa mahesabu na jedwali. Kazi kama hizo ni rahisi kukumbuka - pamoja na derivatives zao.

Derivatives ya kazi za msingi

Vipengele vya msingi ni vyote vilivyoorodheshwa hapa chini. Derivatives ya kazi hizi lazima ijulikane kwa moyo. Kwa kuongezea, sio ngumu kuzikariri - ndiyo sababu ni za msingi.

Kwa hivyo, derivatives ya kazi za msingi:

Jina	Kazi	Derivative
Mara kwa mara	f(x) = C, C ∈ R	0 (ndio, sifuri!)
Nguvu iliyo na kipeo cha busara	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = dhambi x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	−dhambi x(ondoa sine)
Tangenti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/dhambi 2 x
Logarithm ya asili	f(x) = logi x	1/x
Logarithm ya kiholela	f(x) = logi a x	1/(x ln a)
Utendakazi wa kielelezo	f(x) = e x	e x(hakuna kilichobadilika)

Ikiwa chaguo la kukokotoa la msingi linazidishwa na kitendawili cha kiholela, basi derivative ya chaguo la kukokotoa mpya pia huhesabiwa kwa urahisi:

(C · f)’ = C · f ’.

Kwa ujumla, viunga vinaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Kwa mfano:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Kwa wazi, kazi za kimsingi zinaweza kuongezwa kwa kila mmoja, kuzidishwa, kugawanywa - na mengi zaidi. Hivi ndivyo vipengele vipya vitaonekana, sio vya msingi tena, lakini pia vinatofautishwa kulingana na sheria fulani. Sheria hizi zinajadiliwa hapa chini.

Inatokana na jumla na tofauti

Wacha kazi zipewe f(x) Na g(x), derivatives ambazo zinajulikana kwetu. Kwa mfano, unaweza kuchukua kazi za msingi zilizojadiliwa hapo juu. Basi unaweza kupata derivative ya jumla na tofauti ya kazi hizi:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Kwa hivyo, derivative ya jumla (tofauti) ya kazi mbili ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives. Kunaweza kuwa na masharti zaidi. Kwa mfano, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Kwa kusema kweli, hakuna dhana ya "kutoa" katika algebra. Kuna dhana ya "kipengele hasi". Kwa hiyo tofauti f − g inaweza kuandikwa upya kama jumla f+ (−1) g, na kisha formula moja tu inabaki - derivative ya jumla.

f(x) = x 2 + dhambi x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Kazi f(x) ni jumla ya kazi mbili za kimsingi, kwa hivyo:

f ’(x) = (x 2 + dhambi x)’ = (x 2)’ + (dhambi x)’ = 2x+ cos x;

Tunasababu vivyo hivyo kwa chaguo la kukokotoa g(x) Tayari kuna maneno matatu tu (kutoka kwa mtazamo wa algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Jibu:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ya bidhaa

Hisabati ni sayansi ya kimantiki, kwa hivyo watu wengi wanaamini kwamba ikiwa derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives, basi derivative ya bidhaa. mgomo">sawa na bidhaa ya derivatives. Lakini koroga! Kinyume cha bidhaa kinakokotolewa kwa kutumia fomula tofauti kabisa. Yaani:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Fomu ni rahisi, lakini mara nyingi husahaulika. Na sio watoto wa shule tu, bali pia wanafunzi. Matokeo yake ni matatizo yaliyotatuliwa kimakosa.

Kazi. Tafuta derivatives ya kazi: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Kazi f(x) ni bidhaa ya kazi mbili za msingi, kwa hivyo kila kitu ni rahisi:

f ’(x) = (x 3 kos x)’ = (x 3)' kwani x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 kos x + x 3 (- dhambi x) = x 2 (3 cos x − x dhambi x)

Kazi g(x) jambo la kwanza ni ngumu zaidi, lakini mpango wa jumla hii haibadiliki. Ni wazi, sababu ya kwanza ya kazi g(x) ni polynomia na derivative yake ni derivative ya jumla. Tunayo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Jibu:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x dhambi x);
g ’(x) = x(x+ 9) e x .

Tafadhali kumbuka kuwa katika hatua ya mwisho derivative ni factorized. Rasmi, hii haihitaji kufanywa, lakini derivatives nyingi hazihesabiwa peke yao, lakini kuchunguza kazi. Hii ina maana kwamba zaidi derivative itakuwa sawa na sifuri, ishara zake zitatambuliwa, na kadhalika. Kwa kesi kama hiyo, ni bora kuwa na usemi uliowekwa.

Ikiwa kuna kazi mbili f(x) Na g(x), na g(x) ≠ 0 kwenye seti tunayopendezwa nayo, tunaweza kufafanua chaguo mpya la kukokotoa h(x) = f(x)/g(x) Kwa kazi kama hiyo unaweza pia kupata derivative:

Sio dhaifu, huh? Minus ilitoka wapi? Kwa nini g 2? Na hivyo! Hii ni moja ya wengi fomula tata- Hauwezi kujua bila chupa. Kwa hivyo, ni bora kuisoma mifano maalum.

Kazi. Tafuta derivatives ya kazi:

Nambari na denominator ya kila sehemu ina vitendaji vya msingi, kwa hivyo tunachohitaji ni fomula ya derivative ya mgawo:

Kulingana na jadi, wacha tubadilishe nambari - hii itarahisisha jibu:

Kitendaji changamano si lazima kiwe fomula ya urefu wa nusu kilomita. Kwa mfano, inatosha kuchukua kazi f(x) = dhambi x na kuchukua nafasi ya kutofautisha x, sema, endelea x 2 + ln x. Itafanya kazi nje f(x) = dhambi ( x 2 + ln x) - hii ni kazi ngumu. Pia ina derivative, lakini haitawezekana kuipata kwa kutumia sheria zilizojadiliwa hapo juu.

Nifanye nini? Katika hali kama hizi, kuchukua nafasi ya kutofautisha na fomula ya derivative ya kazi ngumu husaidia:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kama x inabadilishwa na t(x).

Kama sheria, hali ya kuelewa fomula hii ni ya kusikitisha zaidi kuliko na derivative ya mgawo. Kwa hiyo, pia ni bora kuielezea kwa mifano maalum, na maelezo ya kina kila hatua.

Kazi. Tafuta derivatives ya kazi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dhambi ( x 2 + ln x)

Kumbuka kwamba ikiwa katika kazi f(x) badala ya kujieleza 2 x+ 3 itakuwa rahisi x, basi tunapata kazi ya msingi f(x) = e x. Kwa hivyo, tunabadilisha: wacha 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tunatafuta derivative ya kazi ngumu kwa kutumia formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Na sasa - tahadhari! Tunafanya uingizwaji wa nyuma: t = 2x+ 3. Tunapata:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sasa hebu tuangalie kazi g(x) Ni wazi kwamba inahitaji kubadilishwa x 2 + ln x = t. Tunayo:

g ’(x) = g ’(t) · t= (dhambi t)’ · t' = cos t · t ’

Kubadilisha uingizwaji: t = x 2 + ln x. Kisha:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ni hayo tu! Kama inavyoonekana kutoka kwa usemi wa mwisho, shida nzima imepunguzwa hadi kuhesabu jumla ya derivative.

Jibu:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) kwani ( x 2 + ln x).

Mara nyingi sana katika masomo yangu, badala ya neno "derivative," mimi hutumia neno "prime." Kwa mfano, kiharusi cha jumla ni sawa na jumla ya viboko. Je, hilo ni wazi zaidi? Naam, hiyo ni nzuri.

Kwa hivyo, kuhesabu derivative inakuja chini ya kuondokana na viboko hivi sawa kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu. Kama mfano wa mwisho, wacha turudi kwa nguvu inayotokana na kipeo cha busara:

(x n)’ = n · x n − 1

Watu wachache wanajua hilo katika jukumu n inaweza kuwa nambari ya sehemu. Kwa mfano, mzizi ni x 0.5. Ikiwa kuna kitu cha kupendeza chini ya mzizi? Tena, matokeo yatakuwa kazi ngumu - wanapenda kutoa ujenzi kama huo vipimo oh na mitihani.

Kazi. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kwanza, wacha tuandike tena mzizi kama nguvu iliyo na kielelezo cha busara:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sasa tunafanya uingizwaji: hebu x 2 + 8x − 7 = t. Tunapata derivative kwa kutumia formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5) t= 0.5 · t−0.5 · t ’.

Wacha tufanye uingizwaji wa nyuma: t = x 2 + 8x− 7. Tuna:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Mwishowe, rudi kwenye mizizi:

Asili ya calculus tofauti husababishwa na haja ya kutatua matatizo fulani ya kimwili. Inachukuliwa kuwa mtu aliye na calculus tofauti anaweza kuchukua derivatives ya kazi mbalimbali. Je! unajua jinsi ya kuchukua derivative kutoka kwa chaguo la kukokotoa lililoonyeshwa kama sehemu?

Maagizo

1. Sehemu yoyote ina nambari na denominator. Katika mchakato wa kutafuta derivative ya sehemu itahitaji kupatikana tofauti derivative namba na derivative dhehebu.

2. Ili kugundua derivative kutoka sehemu , derivative zidisha nambari kwa denominator. Ondoa kutoka kwa usemi unaotokana derivative denominata ikizidishwa na nambari. Gawanya jumla kwa dhehebu la mraba.

3. Mfano 1’ =/cos? (x) = /cos? (x) = /cos? (x) = 1/cos? (x).

4. Matokeo yake si kitu zaidi ya thamani ya jedwali ya derivative ya kitendakazi cha tangent. Ni wazi, uwiano wa sine na cosine ni, kwa ufafanuzi, tangent. Inabadilika kuwa tg (x) = ' = 1 / cos? (x).

5. Mfano 2[(x? - 1) / 6x]’ = [(2x 6x - 6 x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Kesi maalum sehemu ni sehemu ambayo denominator yake ni moja. Gundua derivative kutoka kwa aina hii sehemu Ni rahisi zaidi: fikiria tu kama dhehebu yenye digrii (-1).

7. Mfano(1 / x)’ = ’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Makini!
Sehemu inaweza kuwa na sehemu kadhaa zaidi. Katika kesi hii, ni rahisi zaidi kupata kwanza derivatives ya sehemu za "msingi" kando.

Ushauri muhimu
Unapotafuta derivatives ya denominator na numerator, tumia sheria za kutofautisha: jumla, bidhaa, kazi ngumu. Ni muhimu kukumbuka derivatives ya kazi rahisi za jedwali: mstari, kielelezo, nguvu, logarithmic, trigonometric, nk.

Kutatua matatizo ya kimwili au mifano katika hisabati haiwezekani kabisa bila ujuzi wa derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi uchambuzi wa hisabati. Tuliamua kutoa makala ya leo kwa mada hii ya msingi. Je, derivative ni nini, maana yake ya kimwili na kijiometri ni nini, jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?

Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative

Hebu kuwe na kazi f(x) , iliyobainishwa katika muda fulani (a, b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Kubadilisha hoja - tofauti katika maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya nyongeza ya hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.

Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:

Ni nini maana ya kupata kikomo kama hicho? Na hii ndio ni:

derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjenti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.

Maana ya kimwili derivative: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.

Hakika, tangu siku za shule kila mtu anajua kwamba kasi ni njia fulani x=f(t) na wakati t . Kasi ya wastani kwa muda fulani:

Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati kwa wakati t0 unahitaji kuhesabu kikomo:

Kanuni ya kwanza: kuweka mara kwa mara

Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Aidha, hii lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, ichukue kama sheria - Ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .

Mfano. Wacha tuhesabu derivative:

Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi

Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.

Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:

Mfano: pata derivative ya chaguo la kukokotoa:

Suluhisho:

Ni muhimu kuzungumza juu ya kuhesabu derivatives ya kazi ngumu hapa. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.

Katika mfano hapo juu tunakutana na usemi:

Katika kesi hii, hoja ya kati ni 8x hadi nguvu ya tano. Ili kukokotoa derivative ya usemi kama huo, tunakokotoa kwanza derivative ya chaguo za kukokotoa za nje kuhusiana na hoja ya kati, na kisha kuzidisha kwa kitokeo cha hoja ya kati yenyewe kwa heshima na kigezo huru.

Kanuni ya nne: derivative ya mgawo wa kazi mbili

Mfumo wa kuamua derivative ya mgawo wa kazi mbili:

Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyoonekana, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.

Ukiwa na maswali yoyote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Kwa muda mfupi Tutakusaidia kutatua majaribio magumu zaidi na kutatua matatizo, hata kama hujawahi kufanya mahesabu ya derivative hapo awali.

Hebu tuthibitishe kanuni ya kutofautisha mgawo wa kazi mbili (vipande). Inafaa kutaja hilo g(x) haiendi kwa sifuri kwa hali yoyote x kutoka kati X.

Kwa ufafanuzi wa derivative

Mfano.

Fanya utofautishaji wa kazi.

Suluhisho.

Chaguo za kukokotoa asilia ni uwiano wa misemo miwili sinx Na 2x+1. Wacha tutumie sheria ya utofautishaji wa sehemu:

Mtu hawezi kufanya bila sheria za kutofautisha jumla na kuweka kiholela kiholela nje ya ishara inayotokana:

Hatimaye, hebu tufanye muhtasari wa sheria zote katika mfano mmoja.

Mfano.

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa , wapi a ni nambari halisi chanya.

Suluhisho.

Na sasa, kwa utaratibu.

Muhula wa kwanza .

Muhula wa pili

Muhula wa tatu

Kuweka yote pamoja:

4. Swali: Miigo ya Kazi za Msingi za Msingi.

Zoezi. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunatumia sheria za kutofautisha na jedwali la derivatives:

Jibu.

5.Swali: Nyingi ya mifano changamano ya utendakazi

Mifano yote katika sehemu hii inategemea jedwali la derivatives na nadharia juu ya derivative ya kazi ngumu, uundaji wake ambao ni kama ifuatavyo.

Acha 1) kazi u=φ(x) iwe na derivative u′x=φ′(x0) wakati fulani x0, 2) kazi y=f(u) iwe na derivative y′u= katika hatua inayolingana u0. =φ(x0) f′(u). Halafu kazi ngumu y=f(φ(x)) katika hatua iliyotajwa pia itakuwa na derivative, sawa na bidhaa derivatives ya chaguo za kukokotoa f(u) na φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

au, kwa nukuu fupi: y′x=yu′u⋅u′x.

Katika mifano katika sehemu hii, vitendaji vyote vina fomu y=f(x) (yaani, tunazingatia tu kazi za kigezo kimoja x). Ipasavyo, katika mifano yote derivative ya y′ inachukuliwa kuhusiana na mabadiliko ya x. Ili kusisitiza kwamba derivative inachukuliwa kuhusiana na mabadiliko ya x, y′x mara nyingi huandikwa badala ya y′.

Mifano No 1, No. 2 na No. 3 muhtasari mchakato wa kina kutafuta derivative ya kazi ngumu. Mfano Nambari 4 imekusudiwa kwa ufahamu kamili zaidi wa jedwali la derivative na inaleta maana kujijulisha nayo.

Inashauriwa baada ya kujifunza nyenzo katika mifano No. 1-3 ili kuendelea na uamuzi wa kujitegemea mifano No 5, No. 6 na No. 7. Mifano #5, #6 na #7 ina suluhu fupi ili msomaji aweze kuangalia usahihi wa matokeo yake.

Mfano Nambari 1

Tafuta toleo la kukokotoa y=ecosx.

Suluhisho

Tunahitaji kupata kitoleo cha chaguo za kukokotoa changamani y′. Kwa kuwa y=ecosx, basi y′=(ecosx)′. Ili kupata derivative (ecosx)′ tunatumia fomula Na. 6 kutoka kwa jedwali la derivatives. Ili kutumia formula namba 6, unahitaji kuzingatia kwamba kwa upande wetu u=cosx. Suluhisho zaidi ni kubadilisha usemi cosx badala ya u kuwa fomula Na. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Sasa tunahitaji kupata thamani ya usemi (cosx)′. Tunageuka tena kwenye meza ya derivatives, kuchagua formula No. 10 kutoka humo. Kubadilisha u=x kwa fomula nambari 10, tunayo: (cosx)′=−sinx⋅x′. Sasa wacha tuendelee usawa (1.1), tukiiongezea na matokeo yaliyopatikana:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Tangu x′=1, tunaendelea usawa (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Kwa hivyo, kutoka kwa usawa (1.3) tunayo: y′=−sinx⋅ecosx. Kwa kawaida, maelezo na usawa wa kati kawaida kurukwa, kuandika matokeo ya derivative katika mstari mmoja, kama katika usawa (1.3). Kwa hivyo, derivative ya kazi ngumu imepatikana, kilichobaki ni kuandika jibu.

Jibu: y′=−sinx⋅ecosx.

Mfano Nambari 2

Pata toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Suluhisho

Tunahitaji kukokotoa y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Kuanza, tunaona kuwa mara kwa mara (yaani nambari 9) inaweza kutolewa kutoka kwa ishara inayotokana:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))’(2.1)

Sasa tugeukie usemi (arctg12(4⋅lnx))′. Ili kurahisisha kuchagua fomula inayotakikana kutoka kwa jedwali la viasili, nitawasilisha usemi unaohusika katika fomu hii: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Sasa ni wazi kwamba ni muhimu kutumia formula No 2, i.e. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Wacha tubadilishe u=arctg(4⋅lnx) na α=12 kwenye fomula hii:

Kuongeza usawa (2.1) na matokeo yaliyopatikana, tunayo:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2) )

Kumbuka: onyesha\ficha

Sasa tunahitaji kupata (arctg(4⋅lnx))′. Tunatumia fomula Na. 19 ya jedwali la viasili, tukibadilisha u=4⋅lnx ndani yake:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Wacha turahisishe usemi unaotokana kidogo, kwa kuzingatia (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Usawa (2.2) sasa utakuwa:

y’=(9⋅arctg12(4⋅lnx)’=9⋅(arctg12(4⋅lnx))’==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))’= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Inabakia kupata (4⋅lnx)′. Hebu tutoe thabiti (yaani 4) kutoka kwa ishara inayotoka: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Ili kupata (lnx)′ tunatumia fomula Na. 8, tukibadilisha u=x ndani yake: (lnx)′=1x⋅x′. Tangu x′=1, basi (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Kubadilisha matokeo yaliyopatikana kuwa fomula (2.3), tunapata:

y’=(9⋅arctg12(4⋅lnx)’=9⋅(arctg12(4⋅lnx))’==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))’= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅4⋅1x= arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Acha nikukumbushe kwamba derivative ya kazi ngumu mara nyingi hupatikana katika mstari mmoja, kama ilivyoandikwa katika usawa wa mwisho. Kwa hiyo, wakati wa kuandaa mahesabu ya kawaida au kazi ya udhibiti, si lazima kabisa kuelezea suluhisho kwa undani vile.

Jibu: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Mfano Nambari 3

Tafuta y′ ya chaguo za kukokotoa y=sin3(5⋅9x)-−−−−−−−√7.

Suluhisho

Kwanza, hebu tubadilishe chaguo la kukokotoa y kidogo, tukionyesha radical (mzizi) kama nguvu: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Sasa hebu tuanze kutafuta derivative. Kwa kuwa y=(dhambi(5⋅9x))37, basi:

y′=((dhambi(5⋅9x))37)′(3.1)

Tunatumia fomula Na. 2 kutoka kwa jedwali la viasili, tukibadilisha u=sin(5⋅9x) na α=37 ndani yake:

((dhambi(5⋅9x))37)′=37⋅(dhambi(5⋅9x))37−1(dhambi(5⋅9x))’=37⋅(dhambi(5⋅9x))−47(dhambi (5⋅9x))′

Wacha tuendelee usawa (3.1) kwa kutumia matokeo yaliyopatikana:

y′=((dhambi(5⋅9x))37)′=37⋅(dhambi(5⋅9x))−47(dhambi(5⋅9x))’(3.2)

Sasa tunahitaji kupata (dhambi(5⋅9x))′. Kwa hili tunatumia fomula nambari 9 kutoka kwa jedwali la viingilio, tukibadilisha u=5⋅9x ndani yake:

(dhambi(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Baada ya kuongeza usawa (3.2) na matokeo yaliyopatikana, tunayo:

y’=((dhambi(5⋅9x))37)’=37⋅(dhambi(5⋅9x))−47(dhambi(5⋅9x))’==37⋅(dhambi(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Kilichosalia ni kupata (5⋅9x)′. Kuanza, hebu tuchukue mara kwa mara (nambari 5) kutoka kwa ishara ya derivative, i.e. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Ili kupata derivative (9x)′, tumia fomula Na. 5 ya jedwali la viasili, ukibadilisha a=9 na u=x ndani yake: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Tangu x′=1, basi (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Sasa tunaweza kuendelea na usawa (3.3):

y’=((dhambi(5⋅9x))37)’=37⋅(dhambi(5⋅9x))−47(dhambi(5⋅9x))’==37⋅(dhambi(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(dhambi(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(dhambi(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Unaweza tena kurudi kutoka kwa mamlaka hadi kwa radicals (yaani mizizi), kuandika (sin(5⋅9x))−47 katika fomu 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−− - . −−−√7. Kisha derivative itaandikwa katika fomu hii:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−− −−−√7.

Jibu: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−√7.

Mfano Nambari 4

Onyesha kwamba fomula nambari 3 na 4 za jedwali la derivatives ni kesi maalum ya fomula Na. 2 ya jedwali hili.

Suluhisho

Fomula Nambari 2 ya jedwali la derivatives ina derivative ya chaguo za kukokotoa uα. Kubadilisha α=−1 kwenye fomula Na. 2, tunapata:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Kwa kuwa u−1=1u na u−2=1u2, usawa (4.1) unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: (1u)′=−1u2⋅u′. Hii ni formula namba 3 ya jedwali la derivatives.

Wacha tugeuke tena kwa formula nambari 2 ya jedwali la derivatives. Wacha tubadilishe α=12 ndani yake:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Kwa kuwa u12=u−−√ na u−12=1u12=1u-−√, usawa (4.2) unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

(u−−√)’=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Usawa unaotokana (u−−√)′=12u−−√⋅u′ ni fomula Na. 4 ya jedwali la derivatives. Kama unavyoona, fomula Na. 3 na Nambari 4 za jedwali la derivative zinapatikana kutoka kwa fomula Na. 2 kwa kubadilisha thamani inayolingana ya α.

Mfano Nambari 5

Tafuta y′ if y=arcsin2x.

Suluhisho

Katika mfano huu, tutaandika kutafuta derivative ya kazi ngumu bila maelezo ya kina ambayo yalitolewa katika matatizo ya awali.

Jibu: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Mfano Nambari 6

Tafuta y′ ikiwa y=7⋅lnsin3x.

Suluhisho

Kama katika mfano uliopita, tutaonyesha jinsi ya kupata derivative ya kazi ngumu bila maelezo. Inashauriwa kuandika derivative mwenyewe, tu kwa kuangalia suluhisho hapa chini.

Jibu: y′=21⋅ctgx.

Mfano Nambari 7

Tafuta y′ ikiwa y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Suluhisho