Je, kila sehemu ya kawaida ni nambari ya kimantiki? Ufafanuzi na mifano ya nambari za busara

Wanafunzi wakubwa wa shule na wanafunzi wa hisabati pengine watajibu swali hili kwa urahisi. Lakini kwa wale ambao wako mbali na hii kwa taaluma, itakuwa ngumu zaidi. Ni nini hasa?

Asili na sifa

Nambari za busara ni zile zinazoweza kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida. Chanya, hasi, na sufuri pia vimejumuishwa katika seti hii. Nambari ya sehemu lazima iwe kamili, na denominator lazima iwe

Seti hii katika hisabati inaashiriwa kama Q na inaitwa "uwanja nambari za busara". Hii inajumuisha nambari zote kamili na nambari asili, zinazoashiria mtawalia kama Z na N. Seti Q yenyewe imejumuishwa katika seti ya R. Ni herufi hii inayoashiria ile inayoitwa halisi au

Utendaji

Kama ilivyotajwa tayari, nambari za busara ni seti inayojumuisha nambari zote kamili na za sehemu. Wanaweza kuja kwa aina tofauti. Kwanza, kwa namna ya sehemu ya kawaida: 5/7, 1/5, 11/15, nk Bila shaka, integers pia inaweza kuandikwa kwa fomu sawa: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, na kadhalika. Pili, aina nyingine ya uwakilishi ni sehemu ya decimal yenye sehemu ya mwisho: 0.01, -15.001006, nk. Hii labda ni mojawapo ya fomu za kawaida.

Lakini pia kuna ya tatu - sehemu ya mara kwa mara. Aina hii si ya kawaida sana, lakini bado hutumiwa. Kwa mfano, sehemu 10/3 inaweza kuandikwa kama 3.33333... au 3,(3). Katika kesi hii, uwakilishi tofauti utazingatiwa nambari zinazofanana. Sehemu ambazo ni sawa kwa kila mmoja pia zitaitwa sawa, kwa mfano 3/5 na 6/10. Inaonekana kwamba imekuwa wazi nambari za busara ni nini. Lakini kwa nini neno hili linatumiwa kuwarejelea?

Asili ya jina

Neno "mantiki" katika Kirusi cha kisasa kwa ujumla lina maana tofauti kidogo. Ni zaidi kama "busara", "kufikiriwa". Lakini maneno ya hisabati ni karibu na maana halisi ya hii katika Kilatini, "uwiano" ni "uwiano", "sehemu" au "mgawanyiko". Kwa hivyo, jina linachukua kiini cha nambari za busara ni nini. Walakini, maana ya pili

si mbali na ukweli.

Vitendo nao

Wakati wa kutatua shida za hesabu, tunakutana na nambari za busara kila wakati bila kujijua wenyewe. Na wana idadi ya mali ya kuvutia. Wote hufuata ama kutoka kwa ufafanuzi wa seti au kutoka kwa vitendo.

Kwanza, nambari za busara zina mali ya uhusiano wa agizo. Hii inamaanisha kuwa kunaweza kuwa na uhusiano mmoja tu kati ya nambari mbili - ama ni sawa kwa kila mmoja, au moja ni kubwa au ndogo kuliko nyingine. Hiyo ni:

au a = b ; au a > b, au a< b.

Kwa kuongeza, transitivity ya uhusiano pia hufuata kutoka kwa mali hii. Hiyo ni, ikiwa a zaidi b, b zaidi c, Hiyo a zaidi c. Katika lugha ya hisabati inaonekana kama hii:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Pili, kuna shughuli za hesabu zilizo na nambari za busara, ambayo ni kuongeza, kutoa, mgawanyiko na, kwa kweli, kuzidisha. Wakati huo huo, katika mchakato wa mabadiliko, idadi ya mali inaweza pia kutambuliwa.

a + b = b + a (mabadiliko ya maeneo ya maneno, mawasiliano);
0 + a = a + 0;
(a + b) + c = a + (b + c) (ushirika);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (usambazaji);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (katika kesi hii a si sawa na 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Tunapozungumza juu ya nambari za kawaida na sio nambari kamili, kufanya kazi nao kunaweza kusababisha shida fulani. Kwa hivyo, kuongeza na kutoa kunawezekana tu ikiwa madhehebu ni sawa. Ikiwa mwanzoni ni tofauti, unapaswa kupata ile ya kawaida kwa kuzidisha sehemu nzima kwa nambari fulani. Kulinganisha pia mara nyingi kunawezekana tu ikiwa hali hii imefikiwa.

Mgawanyiko na kuzidisha kwa sehemu za kawaida hufanywa kulingana na kutosha sheria rahisi. Kupunguza kwa denominator ya kawaida sio lazima. Numerators na denominators huzidishwa tofauti, na katika mchakato wa kufanya hatua, ikiwa inawezekana, sehemu inapaswa kupunguzwa na kurahisishwa iwezekanavyo.

Kuhusu mgawanyiko, kitendo hiki ni sawa na cha kwanza kilicho na tofauti kidogo. Kwa sehemu ya pili unapaswa kupata inverse, yaani

"geuza" juu. Kwa hivyo, nambari ya sehemu ya kwanza itahitaji kuzidishwa na denominator ya pili na kinyume chake.

Mwishowe, mali nyingine iliyo katika nambari za busara inaitwa axiom ya Archimedes. Mara nyingi katika fasihi jina "kanuni" pia linapatikana. Ni halali kwa seti nzima ya nambari halisi, lakini si kila mahali. Kwa hivyo, kanuni hii haitumiki kwa seti fulani za kazi za busara. Kimsingi, axiom hii ina maana kwamba kutokana na kuwepo kwa kiasi mbili a na b, unaweza kuchukua kutosha a kuzidi b.

Upeo wa maombi

Kwa hiyo, kwa wale ambao wamejifunza au kukumbuka nini idadi ya busara ni, inakuwa wazi kwamba hutumiwa kila mahali: katika uhasibu, uchumi, takwimu, fizikia, kemia na sayansi nyingine. Kwa kawaida, pia wana nafasi katika hisabati. Bila kujua kila wakati kuwa tunashughulika nao, tunatumia nambari za busara kila wakati. Hata watoto wadogo, kujifunza kuhesabu vitu, kukata apple vipande vipande, au kufanya vitendo vingine rahisi, kukutana nao. Wanatuzingira kihalisi. Na bado, hazitoshi kutatua shida kadhaa, haswa, kwa kutumia nadharia ya Pythagorean kama mfano, mtu anaweza kuelewa hitaji la kuanzisha wazo

Seti ya nambari za busara

Seti ya nambari za busara imeonyeshwa na inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Inabadilika kuwa nukuu tofauti zinaweza kuwakilisha sehemu moja, kwa mfano, na , (sehemu zote zinazoweza kupatikana kutoka kwa kila mmoja kwa kuzidisha au kugawanya kwa nambari ya asilia inawakilisha nambari sawa ya busara). Kwa kuwa kwa kugawanya nambari na kiashiria cha sehemu kwa kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida tunaweza kupata uwakilishi mmoja usioweza kupunguzwa wa nambari ya kimantiki, tunaweza kuzungumza juu ya seti yao kama seti. isiyoweza kupunguzwa visehemu vilivyo na nambari kuu kamili na kiashiria asilia:

Hapa kuna kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari na .

Seti ya nambari za busara ni jumla ya asili ya seti ya nambari kamili. Ni rahisi kuona kwamba ikiwa nambari ya busara ina denominator , basi ni nambari kamili. Seti ya nambari za busara iko kila mahali kwa msongamano kwenye mhimili wa nambari: kati ya nambari mbili tofauti za busara kuna angalau nambari moja ya busara (na kwa hivyo seti isiyo na kikomo ya nambari za busara). Walakini, zinageuka kuwa seti ya nambari za busara ina kardinali inayoweza kuhesabika (ambayo ni, vitu vyake vyote vinaweza kuhesabiwa tena). Wacha tuangalie, kwa njia, kwamba Wagiriki wa zamani walikuwa na hakika juu ya uwepo wa nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu (kwa mfano, walithibitisha kuwa hakuna nambari ya busara ambayo mraba wake ni 2).

Istilahi

Ufafanuzi rasmi

Hapo awali, nambari za mantiki hufafanuliwa kama seti ya madarasa ya usawa ya jozi kwa heshima na uhusiano wa usawa ikiwa. Katika kesi hii, shughuli za kuongeza na kuzidisha zinafafanuliwa kama ifuatavyo.

Ufafanuzi unaohusiana

Sehemu sahihi, zisizofaa na zilizochanganywa

Sahihi Sehemu ambayo nambari yake ni chini ya denominator yake inaitwa sehemu. Sehemu zinazofaa zinawakilisha moduli ya nambari za mantiki chini ya moja. Sehemu ambayo sio sahihi inaitwa vibaya na inawakilisha nambari ya kimantiki iliyo kubwa kuliko au sawa na moja katika moduli.

Sehemu isiyofaa inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari nzima na sehemu inayofaa, inayoitwa sehemu iliyochanganywa . Kwa mfano,. Nukuu sawa (na ishara ya nyongeza haipo), ingawa inatumika katika hesabu ya msingi, inaepukwa katika fasihi kali ya kihesabu kwa sababu ya kufanana kwa nukuu kwa sehemu iliyochanganywa na nukuu ya bidhaa ya nambari kamili na sehemu.

Urefu wa risasi

Urefu wa sehemu ya kawaida ni jumla ya moduli ya nambari na denominator ya sehemu hii. Urefu wa nambari ya busara ni jumla ya moduli ya nambari na denominator ya sehemu ya kawaida isiyoweza kupunguzwa inayolingana na nambari hii.

Kwa mfano, urefu wa sehemu ni . Urefu wa nambari inayolingana ya busara ni sawa na , kwani sehemu inaweza kupunguzwa kwa .

Maoni

Muda nambari ya sehemu(sehemu) Wakati mwingine [ bainisha] hutumika kama kisawe cha istilahi nambari ya busara, na wakati mwingine kisawe cha nambari yoyote isiyo kamili. Katika kesi ya mwisho, nambari za sehemu na busara ni vitu tofauti, kwani wakati huo nambari zisizo kamili za busara ni kesi maalum ya sehemu.

Mali

Mali ya msingi

Seti ya nambari za busara inakidhi sifa kumi na sita za msingi, ambazo zinaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa sifa za nambari kamili.

Utaratibu. Kwa nambari yoyote ya busara, kuna sheria ambayo hukuruhusu kutambua kipekee moja na moja tu ya uhusiano kati yao: "", "" au "". Sheria hii inaitwa kanuni ya kuagiza na imeundwa kama ifuatavyo: nambari mbili chanya na zinahusiana na uhusiano sawa na nambari mbili kamili na; nambari mbili zisizo chanya na zinahusiana kwa uhusiano sawa na nambari mbili zisizo hasi na; ikiwa ghafla sio hasi, lakini - hasi, basi.
Kuongeza Sehemu
Operesheni ya kuongeza. kanuni ya majumuisho kiasi nambari na na inaonyeshwa na , na mchakato wa kupata nambari kama hiyo inaitwa majumuisho. Kanuni ya majumuisho ina mtazamo unaofuata: .
Operesheni ya kuzidisha. Kwa nambari yoyote ya busara kuna kinachojulikana kanuni ya kuzidisha, ambayo inawaweka katika mawasiliano na nambari fulani ya busara. Katika kesi hii, nambari yenyewe inaitwa kazi nambari na na inaonyeshwa na , na mchakato wa kupata nambari kama hiyo pia inaitwa kuzidisha. Kanuni ya kuzidisha ina fomu ifuatayo:.
Transitivity ya uhusiano wa utaratibu. Kwa idadi yoyote ya tatu ya mantiki, na ikiwa kidogo na kidogo, basi kidogo, na ikiwa ni sawa na sawa, basi sawa.
Commutativity ya kuongeza. Kubadilisha maeneo ya masharti ya busara haibadilishi jumla.
Ushirikiano wa nyongeza. Mpangilio ambao nambari tatu za busara zinaongezwa haiathiri matokeo.
Uwepo wa sifuri. Kuna nambari ya busara 0 ambayo huhifadhi kila nambari nyingine ya busara inapoongezwa.
Uwepo wa nambari tofauti. Nambari yoyote ya kimantiki ina nambari ya kimantiki iliyo kinyume, ambayo ikiongezwa inatoa 0.
Commutativity ya kuzidisha. Kubadilisha maeneo ya mambo ya busara haibadilishi bidhaa.
Ushirikiano wa kuzidisha. Mpangilio ambao nambari tatu za busara huzidishwa hauathiri matokeo.
Upatikanaji wa kitengo. Kuna nambari ya busara 1 ambayo huhifadhi kila nambari nyingine ya busara inapozidishwa.
Uwepo wa nambari za kubadilishana. Nambari yoyote ya kimantiki isiyo sifuri ina nambari ya kimantiki kinyume, ambayo ikizidishwa na inatoa 1.
Usambazaji wa kuzidisha kuhusiana na kuongeza. Operesheni ya kuzidisha inaratibiwa na operesheni ya kuongeza kupitia sheria ya usambazaji:
Uunganisho wa uhusiano wa agizo na uendeshaji wa nyongeza. Kwa upande wa kushoto na upande wa kulia Kwa usawa wa busara, unaweza kuongeza nambari sawa ya busara.
Uunganisho kati ya uhusiano wa agizo na operesheni ya kuzidisha. Pande za kushoto na kulia za usawa wa kimantiki zinaweza kuzidishwa kwa nambari sawa chanya.
Axiom ya Archimedes. Haijalishi ni nambari gani ya kimantiki, unaweza kuchukua vitengo vingi kiasi kwamba jumla yao inazidi.

Mali ya ziada

Sifa zingine zote zinazopatikana katika nambari za busara hazijatofautishwa kama zile za kimsingi, kwa sababu, kwa ujumla, hazitegemei tena moja kwa moja juu ya sifa za nambari kamili, lakini zinaweza kuthibitishwa kwa msingi wa sifa za kimsingi zilizopewa au moja kwa moja na ufafanuzi wa kitu fulani cha hesabu. . Kuna mali nyingi za ziada kama hizo. Inaleta maana kuorodhesha chache tu kati yao hapa.

Kuhesabika kwa seti

Ili kukadiria idadi ya nambari za busara, unahitaji kupata kardinali ya seti yao. Ni rahisi kudhibitisha kuwa seti ya nambari za busara zinaweza kuhesabiwa. Ili kufanya hivyo, inatosha kutoa algorithm ambayo inahesabu nambari za busara, i.e., huanzisha ubishani kati ya seti za busara na nambari za asili. Mfano wa ujenzi huo ni algorithm ifuatayo rahisi. Jedwali lisilo na mwisho la sehemu za kawaida zimeundwa, kwenye kila safu katika kila safu ambayo sehemu yake iko. Kwa uhakika, inachukuliwa kuwa safu na safu wima za jedwali hili zimehesabiwa kuanzia moja. Seli za jedwali zimeteuliwa , iko wapi nambari ya safu mlalo ya jedwali ambamo kisanduku kinapatikana, na ni nambari ya safu wima.

Jedwali linalosababishwa linapitiwa kwa kutumia "nyoka" kulingana na algorithm ifuatayo rasmi.

Sheria hizi hutafutwa kutoka juu hadi chini na nafasi inayofuata inachaguliwa kulingana na mechi ya kwanza.

Katika mchakato wa upitishaji kama huo, kila nambari mpya ya busara inahusishwa na nambari nyingine asilia. Hiyo ni, sehemu hupewa nambari 1, sehemu hupewa nambari 2, nk. Ikumbukwe kwamba sehemu tu zisizoweza kupunguzwa zimehesabiwa. Ishara rasmi ya kutopungua ni kwamba kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari na denominator ya sehemu ni sawa na moja.

Kufuatia algorithm hii, tunaweza kuhesabu nambari zote chanya za busara. Hii inamaanisha kuwa seti ya nambari chanya za busara zinaweza kuhesabika. Ni rahisi kuanzisha mgawanyiko kati ya seti za nambari chanya na hasi za busara kwa kugawa kwa kila nambari ya busara kinyume chake. Hiyo. seti ya nambari hasi za busara pia inaweza kuhesabiwa. Muungano wao pia unahesabika kwa mali ya seti zinazohesabika. Seti ya nambari za busara pia inaweza kuhesabiwa kama muungano wa seti inayoweza kuhesabika na yenye kikomo.

Kwa kweli, kuna njia zingine za kuhesabu nambari za busara. Kwa mfano, kwa hili unaweza kutumia miundo kama vile mti wa Kalkin-Wilf, mti wa Stern-Broko au mfululizo wa Farey.

Taarifa juu ya kuhesabika kwa seti ya nambari za busara inaweza kusababisha machafuko, kwani kwa mtazamo wa kwanza inaonekana kuwa ni pana zaidi kuliko seti ya nambari za asili. Kwa kweli, hii sio hivyo na kuna nambari za asili za kutosha kuhesabu zote za busara.

Ukosefu wa nambari za busara

Tazama pia


	Nambari kamili

Nambari za busara

Nambari halisi Nambari tata Robo tatu

Vidokezo

Fasihi

I. Kushnir. Kitabu cha hisabati kwa watoto wa shule. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Utangulizi wa kuweka nadharia na topolojia ya jumla. - M.: sura. mh. fizikia na hisabati lit. mh. "Sayansi", 1977
I. L. Khmelnitsky. Utangulizi wa nadharia ya mifumo ya algebraic

Ufafanuzi wa nambari za busara:

Nambari ya kimantiki ni nambari inayoweza kuwakilishwa kama sehemu. Nambari ya sehemu kama hiyo ni ya seti ya nambari kamili, na denominator ni ya seti ya nambari asilia.

Kwa nini nambari zinaitwa mantiki?

Katika Kilatini, uwiano unamaanisha uwiano. Nambari za busara zinaweza kuwakilishwa kama uwiano, i.e. kwa maneno mengine, kama sehemu.

Mfano wa nambari ya busara

Nambari 2/3 ni nambari ya busara. Kwa nini? Nambari hii inawakilishwa kama sehemu, nambari ambayo ni ya seti ya nambari kamili, na denominator kwa seti ya nambari asilia.

Kwa mifano zaidi ya nambari za busara, angalia kifungu.

Nambari sawa za busara

Sehemu tofauti zinaweza kuwakilisha nambari sawa ya kimantiki.

Fikiria nambari ya busara 3/5. Nambari hii ya busara ni sawa na

Punguza nambari na denominator kwa sababu ya kawaida ya 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Tulipata sehemu 3/5, ambayo ina maana kwamba

Nambari za busara

Robo

Utaratibu. a Na b kuna sheria ambayo inaruhusu mtu kutambua kipekee uhusiano mmoja kati ya tatu kati yao: "< », « >"au" = ". Sheria hii inaitwa kanuni ya kuagiza na imeundwa kama ifuatavyo: nambari mbili zisizo hasi na zinahusiana na uhusiano sawa na nambari mbili kamili na; nambari mbili zisizo chanya a Na b zinahusiana na uhusiano sawa na nambari mbili zisizo hasi na; ikiwa ghafla a yasiyo hasi, lakini b- hasi, basi a > b.
Kuongeza Sehemu
Operesheni ya kuongeza. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> a Na b Kwa nambari yoyote ya busara kanuni ya majumuisho c kuna kinachojulikana c. Kwa kuongeza, nambari yenyewe kiasi kuitwa a Na b nambari majumuisho na inaonyeshwa na , na mchakato wa kupata nambari kama hiyo unaitwa .
Operesheni ya kuzidisha. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> a Na b Kwa nambari yoyote ya busara kanuni ya kuzidisha. Kanuni ya jumla ina fomu ifuatayo: c kuna kinachojulikana c. Kwa kuongeza, nambari yenyewe kazi kuitwa a Na b, ambayo inawapa idadi fulani ya busara kuzidisha na inaonyeshwa na , na mchakato wa kupata nambari kama hiyo pia inaitwa .
Transitivity ya uhusiano wa utaratibu.. Sheria ya kuzidisha inaonekana kama hii: a , b Na c Kwa nambari tatu za busara a Kama b Na b Kama c kidogo a Kama c, Hiyo a, na ikiwa b Na b, na ikiwa c kidogo a, na ikiwa c sawa
Ushirikiano wa nyongeza. Mpangilio ambao nambari tatu za busara zinaongezwa haiathiri matokeo.
Uwepo wa sifuri. Kuna nambari ya busara 0 ambayo huhifadhi kila nambari nyingine ya busara inapoongezwa.
Uwepo wa nambari tofauti. Nambari yoyote ya kimantiki ina nambari ya kimantiki iliyo kinyume, ambayo ikiongezwa inatoa 0.
Commutativity ya kuzidisha. Kubadilisha maeneo ya mambo ya busara haibadilishi bidhaa.
Ushirikiano wa kuzidisha. Mpangilio ambao nambari tatu za busara huzidishwa hauathiri matokeo.
Upatikanaji wa kitengo. Kuna nambari ya busara 1 ambayo huhifadhi kila nambari nyingine ya busara inapozidishwa.
Uwepo wa nambari za kubadilishana..
Usambazaji wa kuzidisha kuhusiana na kuongeza. Operesheni ya kuzidisha inaratibiwa na operesheni ya kuongeza kupitia sheria ya usambazaji:
Uunganisho wa uhusiano wa agizo na uendeshaji wa nyongeza. 6435">Uhusiano wa kuongeza. Kubadilisha nafasi za istilahi za kimantiki hakubadilishi jumla.
Axiom ya Archimedes. Nambari yoyote ya kimantiki ina nambari ya kimantiki kinyume, ambayo ikizidishwa na inatoa 1. a Nambari sawa ya kimantiki inaweza kuongezwa kwa pande za kushoto na kulia za usawa wa kimantiki. a/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">

Mali ya ziada

Haijalishi nambari ya busara

Kuhesabika kwa seti

, unaweza kuchukua vitengo vingi kiasi kwamba jumla yao inazidi

Rahisi zaidi ya algorithms hizi inaonekana kama hii. Jedwali lisilo na mwisho la sehemu za kawaida zimeundwa, kwa kila moja i- mstari katika kila moja j safu ya th ambayo sehemu yake iko. Kwa uhakika, inachukuliwa kuwa safu na safu wima za jedwali hili zimehesabiwa kuanzia moja. Seli za jedwali zinaonyeshwa na , wapi i- idadi ya safu ya meza ambayo kiini iko, na j- nambari ya safu.

Jedwali linalosababishwa linapitiwa kwa kutumia "nyoka" kulingana na algorithm ifuatayo rasmi.

Sheria hizi hutafutwa kutoka juu hadi chini na nafasi inayofuata inachaguliwa kulingana na mechi ya kwanza.

Katika mchakato wa upitishaji kama huo, kila nambari mpya ya busara inahusishwa na nambari nyingine asilia. Hiyo ni, sehemu ya 1/1 imepewa nambari 1, sehemu 2/1 hadi nambari 2, nk. Ikumbukwe kwamba sehemu tu zisizoweza kupunguzwa zimehesabiwa. Ishara rasmi ya kutopungua ni kwamba kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari na denominator ya sehemu ni sawa na moja.

Ukosefu wa nambari za busara

Hypotenuse ya pembetatu kama hiyo haiwezi kuonyeshwa na nambari yoyote ya busara

Nambari za busara za fomu 1 / n kwa ujumla n kiasi kidogo kiholela kinaweza kupimwa. Ukweli huu unaleta hisia potofu kwamba nambari za busara zinaweza kutumika kupima umbali wowote wa kijiometri. Ni rahisi kuonyesha kwamba hii si kweli.

Vidokezo

Fasihi

I. Kushnir. Kitabu cha hisabati kwa watoto wa shule. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Utangulizi wa kuweka nadharia na topolojia ya jumla. - M.: sura. mh. fizikia na hisabati lit. mh. "Sayansi", 1977
I. L. Khmelnitsky. Utangulizi wa nadharia ya mifumo ya algebraic

Viungo

Wikimedia Foundation.

2010.

Mada ya nambari za busara ni pana sana. Unaweza kuzungumza juu yake bila mwisho na kuandika kazi nzima, kila wakati ukishangazwa na huduma mpya. Ili kuepuka makosa katika siku zijazo, somo hili

Tutachunguza kwa undani zaidi mada ya nambari za busara, kukusanya habari muhimu kutoka kwake na kuendelea.

Maudhui ya somo

Nambari ya busara ni nini Nambari ya busara ni nambari ambayo inaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi a- b hii ndio nambari ya sehemu, b ni denominator ya sehemu. Aidha

haipaswi kuwa sifuri kwa sababu mgawanyiko kwa sifuri hauruhusiwi.

Nambari za busara ni pamoja na kategoria zifuatazo za nambari:

nambari kamili (kwa mfano −2, −1, 0 1, 2, nk.)

sehemu za desimali (kwa mfano 0.2, n.k.)

sehemu zisizo na kikomo za muda (kwa mfano 0, (3), nk.)

Kila nambari katika kitengo hiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Mfano 1.

Nambari kamili ya 2 inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Hii inamaanisha kuwa nambari ya 2 haitumiki tu kwa nambari kamili, bali pia kwa zile za busara. Mfano 2.

Hii inamaanisha kuwa nambari iliyochanganywa ni nambari ya busara.

Mfano 3. Desimali 0.2 inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Sehemu hii ilipatikana kwa kubadilisha sehemu ya desimali 0.2 kuwa sehemu ya kawaida. Ikiwa una shida katika hatua hii, kurudia mada.

Kwa kuwa sehemu ya desimali 0.2 inaweza kuwakilishwa kama sehemu, inamaanisha kuwa pia ni ya nambari za busara.

Mfano 4. Sehemu ya muda isiyo na kikomo 0, (3) inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Sehemu hii hupatikana kwa kubadilisha sehemu safi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida. Ikiwa una shida katika hatua hii, kurudia mada.

Kwa kuwa sehemu ya muda isiyo na kikomo 0, (3) inaweza kuwakilishwa kama sehemu, inamaanisha kuwa pia ni ya nambari za busara.

Katika siku zijazo, tutazidi kuita nambari zote ambazo zinaweza kuwakilishwa kama sehemu kwa kifungu kimoja - nambari za busara.

Nambari za busara kwenye mstari wa kuratibu

Tuliangalia mstari wa kuratibu tuliposoma nambari hasi. Kumbuka kwamba hii ni mstari wa moja kwa moja ambao pointi nyingi ziko. Inaonekana kama hii:

Kielelezo hiki kinaonyesha kipande kidogo cha mstari wa kuratibu kutoka -5 hadi 5.

Kuashiria nambari kamili za fomu 2, 0, -3 kwenye mstari wa kuratibu si vigumu.

Vitu vinavutia zaidi na nambari zingine: na sehemu za kawaida, nambari zilizochanganywa, desimali, nk. Nambari hizi ziko kati ya nambari kamili na kuna nyingi nyingi za nambari hizi.

Kwa mfano, hebu tuweke alama nambari ya busara kwenye mstari wa kuratibu. Nambari hii iko kati ya sifuri na moja

Hebu jaribu kuelewa kwa nini sehemu hiyo iko ghafla kati ya sifuri na moja.

Kama ilivyoelezwa hapo juu, kati ya nambari ziko nambari zingine - sehemu za kawaida, decimals, nambari zilizochanganywa, nk. Kwa mfano, ikiwa unaongeza sehemu ya mstari wa kuratibu kutoka 0 hadi 1, unaweza kuona picha ifuatayo

Inaweza kuonekana kuwa kati ya nambari kamili 0 na 1 kuna nambari zingine za busara, ambazo ni sehemu za desimali zinazojulikana. Hapa unaweza kuona sehemu yetu, ambayo iko katika sehemu sawa na sehemu ya decimal 0.5. Uchunguzi wa makini wa takwimu hii hutoa jibu kwa swali la kwa nini sehemu iko pale hasa.

Sehemu inamaanisha kugawanya 1 kwa 2. Na ikiwa tunagawanya 1 na 2, tunapata 0.5.

Sehemu ya desimali 0.5 inaweza kufichwa kama sehemu nyingine. Kutoka kwa mali ya msingi ya sehemu, tunajua kwamba ikiwa nambari na denominator ya sehemu huzidishwa au kugawanywa na nambari sawa, basi thamani ya sehemu haibadilika.

Ikiwa nambari na dhehebu ya sehemu inazidishwa na nambari yoyote, kwa mfano na nambari 4, basi tunapata sehemu mpya, na sehemu hii pia ni sawa na 0.5.

Hii ina maana kwamba kwenye mstari wa kuratibu sehemu inaweza kuwekwa mahali pale ambapo sehemu ilikuwa iko

Nambari kamili ya 2 inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Hii inamaanisha kuwa nambari ya 2 haitumiki tu kwa nambari kamili, bali pia kwa zile za busara. Wacha tujaribu kuashiria nambari ya busara kwenye kuratibu. Nambari hii iko kati ya nambari 1 na 2

Thamani ya sehemu ni 1.5

Ikiwa tutaongeza sehemu ya mstari wa kuratibu kutoka 1 hadi 2, tutaona picha ifuatayo:

Inaweza kuonekana kuwa kati ya nambari 1 na 2 kuna nambari zingine za busara, ambazo ni sehemu za desimali zinazojulikana. Hapa unaweza kuona sehemu yetu, ambayo iko katika sehemu sawa na sehemu ya decimal 1.5.

Tulikuza sehemu fulani kwenye mstari wa kuratibu ili kuona nambari zilizobaki ziko kwenye sehemu hii. Kwa hivyo, tuligundua sehemu za desimali ambazo zilikuwa na tarakimu moja baada ya nukta ya desimali.

Lakini hawakuwa nambari za umoja, amelazwa kwenye sehemu hizi. Kuna nambari nyingi sana ziko kwenye mstari wa kuratibu.

Si vigumu kukisia kwamba kati ya sehemu za desimali ambazo zina tarakimu moja baada ya uhakika wa decimal, kuna sehemu nyingine za desimali ambazo zina tarakimu mbili baada ya uhakika wa decimal. Kwa maneno mengine, hundredths ya sehemu.

Kwa mfano, hebu tujaribu kuona nambari ambazo ziko kati ya sehemu za desimali 0.1 na 0.2

Mfano mwingine. Sehemu za decimal ambazo zina tarakimu mbili baada ya nukta ya desimali na ziko kati ya sifuri na nambari ya kimantiki 0.1 inaonekana kama hii:

Mfano 3. Wacha tuweke alama nambari ya busara kwenye mstari wa kuratibu. Nambari hii ya busara itakuwa karibu sana na sifuri

Thamani ya sehemu ni 0.02

Ikiwa tunaongeza sehemu kutoka 0 hadi 0.1, tutaona hasa ambapo nambari ya busara iko

Inaweza kuonekana kuwa nambari yetu ya kimantiki iko katika sehemu sawa na sehemu ya desimali 0.02.

Mfano 4. Wacha tuweke alama nambari ya busara 0 kwenye mstari wa kuratibu, (3)

Nambari ya kimantiki 0, (3) ni sehemu ya muda isiyo na kikomo. Sehemu yake ya sehemu haina mwisho, haina mwisho

Na kwa kuwa nambari 0,(3) ina sehemu isiyo na kikomo, hii inamaanisha kuwa hatutaweza kupata mahali halisi kwenye mstari wa kuratibu ambapo nambari hii iko. Tunaweza tu kuonyesha eneo hili takriban.

Nambari ya kimantiki 0.33333... itakuwa karibu sana na sehemu ya desimali ya kawaida 0.3

Takwimu hii haionyeshi eneo kamili la nambari 0, (3). Hiki ni kielelezo tu cha kuonyesha jinsi sehemu ya muda ya 0.(3) inaweza kuwa karibu na sehemu ya desimali ya kawaida 0.3.

Mfano 5. Wacha tuweke alama nambari ya busara kwenye mstari wa kuratibu. Nambari hii ya busara itakuwa katikati kati ya nambari 2 na 3

Hii ni 2 (nambari mbili) na (sekunde moja). Sehemu pia inaitwa "nusu". Kwa hiyo, tuliweka alama ya sehemu mbili nzima na sehemu nyingine ya nusu kwenye mstari wa kuratibu.

Ikiwa tunabadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa, tunapata sehemu ya kawaida. Sehemu hii kwenye mstari wa kuratibu itakuwa iko katika sehemu sawa na sehemu

Thamani ya sehemu ni 2.5

Ikiwa tutaongeza sehemu ya mstari wa kuratibu kutoka 2 hadi 3, tutaona picha ifuatayo:

Inaweza kuonekana kuwa nambari yetu ya busara iko katika sehemu sawa na sehemu ya desimali 2.5

Ondoa kabla ya nambari ya busara

Katika somo lililopita, ambalo liliitwa, tulijifunza jinsi ya kugawanya nambari kamili. Nambari zote chanya na hasi zinaweza kutumika kama mgawanyiko na mgawanyiko.

Hebu fikiria usemi rahisi zaidi

(−6) : 2 = −3

Katika usemi huu, mgao wa faida (−6) ni nambari hasi.

Sasa fikiria usemi wa pili

6: (−2) = −3

Hapa kigawanya (-2) tayari ni nambari hasi. Lakini katika visa vyote viwili tunapata jibu sawa -3.

Kwa kuzingatia kwamba mgawanyiko wowote unaweza kuandikwa kama sehemu, tunaweza pia kuandika mifano iliyojadiliwa hapo juu kama sehemu:

Na kwa kuwa katika hali zote mbili thamani ya sehemu ni sawa, minus katika nambari au denominator inaweza kufanywa kuwa ya kawaida kwa kuiweka mbele ya sehemu.

Kwa hivyo, unaweza kuweka ishara sawa kati ya maneno na na kwa sababu yana maana sawa

Katika siku zijazo, tunapofanya kazi na sehemu, ikiwa tutakutana na minus katika nambari au denominator, tutafanya minus hii kuwa ya kawaida kwa kuiweka mbele ya sehemu.

Nambari za busara zinazopingana

Kama nambari kamili, nambari ya busara ina nambari yake tofauti.

Kwa mfano, kwa nambari ya busara, nambari iliyo kinyume ni . Iko kwenye mstari wa kuratibu kwa ulinganifu kwa eneo linalohusiana na asili ya kuratibu. Kwa maneno mengine, nambari hizi zote mbili ni sawa kutoka kwa asili

Kubadilisha nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa

Tunajua kwamba ili kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa, tunahitaji kuzidisha sehemu nzima kwa dhehebu la sehemu ya sehemu na kuiongeza kwa nambari ya sehemu ya sehemu. Nambari inayotokana itakuwa nambari ya sehemu mpya, lakini denominator inabaki sawa.

Kwa mfano, hebu tubadilishe nambari iliyochanganywa hadi sehemu isiyofaa

Zidisha sehemu nzima kwa dhehebu la sehemu ya sehemu na ongeza nambari ya sehemu ya sehemu:

Wacha tuhesabu usemi huu:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Nambari inayotokana na 5 itakuwa nambari ya sehemu mpya, lakini denominator itabaki sawa:

Utaratibu huu umeandikwa kwa ukamilifu kama ifuatavyo:

Ili kurudisha nambari ya asili iliyochanganywa, inatosha kuchagua sehemu nzima katika sehemu

Lakini njia hii ya kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa inatumika tu ikiwa nambari iliyochanganywa ni chanya. Njia hii haitafanya kazi kwa nambari hasi.

Hebu fikiria sehemu. Wacha tuchague sehemu nzima ya sehemu hii. Tunapata

Ili kurudisha sehemu ya asili, unahitaji kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa. Lakini ikiwa tunatumia sheria ya zamani, ambayo ni, kuzidisha sehemu nzima na dhehebu la sehemu ya sehemu na kuongeza nambari ya sehemu ya sehemu kwa nambari inayosababisha, tunapata utata ufuatao:

Tulipokea sehemu, lakini tulipaswa kupokea sehemu.

Tunahitimisha kuwa nambari iliyochanganywa ilibadilishwa kimakosa kuwa sehemu isiyofaa:

Ili kubadilisha kwa usahihi nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa, unahitaji kuzidisha sehemu nzima na dhehebu la sehemu ya sehemu, na kutoka kwa nambari inayosababisha. ondoa nambari ya sehemu ya sehemu. Katika kesi hii, kila kitu kitaanguka kwa ajili yetu

Nambari iliyochanganywa hasi ni kinyume cha nambari iliyochanganywa. Ikiwa nambari iliyochanganyika chanya iko upande wa kulia na inaonekana kama hii

Unaweza kupendezwa na nyenzo zifuatazo