Jumla ya fomula ya uwezekano. Fomula za Bayes. Mifano ya kutatua matatizo. Jumla ya Uwezekano Formula na Bayes Formula

Acha tukio A litokee kwa kutegemea kutokea kwa moja ya matukio yasiyolingana B 1, B 2, B 3, ..., B n, ambayo huunda kundi kamili. Wacha uwezekano wa matukio haya na uwezekano wa masharti ujulikaneP(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n) tukio A. Unahitaji kupata uwezekano wa tukio A.

Nadharia:Uwezekano wa tukio A, ambalo linaweza kutokea tu ikiwa moja ya matukio yasiyokubaliana hutokea B 1, B 2, B 3, ..., B n , kuunda kikundi kamili, ni sawa na jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila moja ya matukio haya kwa uwezekano wa masharti unaolingana wa tukio A:

- Jumla ya formula ya uwezekano.

Uthibitisho:

Kulingana na hali hiyo, tukio A linaweza kutokea ikiwa moja ya matukio yasiyolingana hutokeaB 1, B 2, B 3, ..., B n. Kwa maneno mengine, kutokea kwa tukio A kunamaanisha kutokea kwa tukio moja (bila kujali ni lipi) kati ya matukio yasiyolingana:B 1 *A, B 2*A,B 3*A, ..., B n*A. Kutumia nadharia ya kuongeza, tunapata:

Kulingana na nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi, tunayo:

nk.

Mfano: Kuna seti 2 za sehemu. Uwezekano kwamba sehemu kutoka kwa seti ya kwanza ni ya kawaida ni 0.8, na kwa seti ya pili ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba sehemu iliyochukuliwa bila mpangilio (kutoka kwa seti iliyochukuliwa bila mpangilio) ni ya kawaida.

Suluhisho: Tukio A - "Sehemu iliyotolewa ni ya kawaida." Tukio - "Waliondoa sehemu iliyotengenezwa na mmea 1." Tukio - "Sehemu iliyotengenezwa na mmea wa pili iliondolewa." P( B 1 )=P(B 2)= 1/2.P(A/B 1 ) = 0.8 - uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa kwenye mmea wa kwanza ni ya kawaida. P (A / B 2 )=0.9 - uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa kwenye mtambo wa pili ni ya kawaida.

Halafu, kulingana na formula ya jumla ya uwezekano, tunayo:

Mfano: Mkusanyaji alipokea masanduku 3 ya sehemu zilizotengenezwa na kiwanda Nambari 1 na sanduku 2 za sehemu zilizotengenezwa na mmea Na. Uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa na mmea Nambari 1 ni ya kawaida ni 0.8. Kwa mmea Nambari 2 uwezekano huu ni 0.9. Kikusanyaji kiliondoa kwa nasibu sehemu kutoka kwa kisanduku kilichochaguliwa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba sehemu ya kawaida imeondolewa.

Suluhisho: Tukio A - "Sehemu ya kawaida imeondolewa." Tukio B 1 - "Sehemu iliondolewa kwenye sanduku la kiwanda Na. 1." Tukio B 2 - "Sehemu iliondolewa kwenye sanduku la kiwanda Na. 2." P( B 1)= 3/5. P(B 2 )= 2/5.

P (A / B 1) = 0.8 - uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa kwenye mmea wa kwanza ni ya kawaida. P (A /B 2) = 0.9 - uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa kwenye mmea wa pili ni ya kawaida.

Mfano:Sanduku la kwanza lina zilizopo 20 za redio, ambazo 18 ni za kawaida. Sanduku la pili lina zilizopo 10 za redio, ambazo 9 ni za kawaida. Bomba moja la redio lilihamishwa kwa nasibu kutoka kwa kisanduku cha pili hadi cha kwanza. Pata uwezekano kwamba taa inayotolewa kwa nasibu kutoka kwa sanduku la kwanza itakuwa ya kawaida.

Suluhisho:Tukio A - "Taa ya kawaida iliondolewa kwenye kisanduku 1." TukioB 1 - "Taa ya kawaida ilihamishwa kutoka kwa pili hadi sanduku la kwanza." TukioB 2 - "Taa isiyo ya kawaida ilihamishwa kutoka kwa pili hadi sanduku la kwanza." P( B 1 )= 9/10. P(B 2)= 1/10.P(A / B 1)= 19/21 - uwezekano wa kuchukua sehemu ya kawaida nje ya sanduku la kwanza, mradi sehemu sawa ya kawaida iliwekwa ndani yake.

P(A / B 2 )= 18/21 - uwezekano wa kuchukua sehemu ya kawaida nje ya sanduku la kwanza, mradi sehemu isiyo ya kawaida imewekwa ndani yake.

2. Njia za nadharia za Thomas Bayes.

Acha tukio A litokee kwa kutegemea kutokea kwa moja ya matukio yasiyolingana B 1, B 2, B 3, ..., B n, kutengeneza kundi kamili. Kwa kuwa haijulikani mapema ni matukio gani kati ya haya yatatokea, yanaitwa hypotheses. Uwezekano wa kutokea kwa tukio A huamuliwa na jumla ya fomula ya uwezekano iliyojadiliwa hapo awali.

Wacha tuchukue kuwa jaribio lilifanywa, kama matokeo ya tukio A lilitokea. Kwa maneno mengine, tutatafuta uwezekano wa mashartiP(B 1 /A), P(B 2 /A), ..., P(B n /A)

Wacha tupate uwezekano wa masharti P (B 1/A) . Kwa nadharia ya kuzidisha tunayo:

Inafuata kutoka kwa hii:

Vile vile, formula zinatokana na kuamua uwezekano wa masharti ya hypotheses iliyobaki, i.e. uwezekano wa masharti hypothesis yoyote B k (i =1, 2, ..., n ) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

Njia za nadharia ya Thomas Bayes.

Thomas Bayes (mwanahisabati wa Kiingereza) alichapisha fomula mnamo 1764.

Fomula hizi huwezesha kukadiria upya uwezekano wa dhahania baada ya matokeo ya jaribio lililosababisha tukio A kujulikana.

Mfano: Sehemu zinazotengenezwa na warsha ya kiwanda hutumwa kwa mmoja wa wakaguzi wawili ili kuangalia kiwango chao. Uwezekano kwamba sehemu itafikia mkaguzi wa kwanza ni 0.6, na ya pili ni 0.4. Uwezekano kwamba sehemu inayofaa itatambuliwa kama kiwango na mkaguzi wa kwanza ni 0.94, kwa mkaguzi wa pili uwezekano huu ni 0.98 Wakati wa ukaguzi, sehemu inayokubalika ilitambuliwa kuwa ya kawaida. Tafuta uwezekano kwamba mkaguzi wa kwanza aliangalia sehemu hii.

Suluhisho: Tukio A - "Sehemu nzuri inatambuliwa kama kiwango." Tukio B 1 - "Sehemu iliangaliwa na mkaguzi wa kwanza." TukioB 2 - "Sehemu hiyo iliangaliwa na mkaguzi wa pili." P( B 1 )=0.6. P(B 2)=0.4.

P (A / B 1) = 0.94 - uwezekano kwamba sehemu iliyoangaliwa na mkaguzi wa kwanza inatambuliwa kama kiwango.

P (A / B 2) = 0.98 - uwezekano kwamba sehemu iliyoangaliwa na mkaguzi wa pili inatambuliwa kama kiwango.

Kisha:

Mfano:Ili kushiriki katika mashindano ya michezo ya kufuzu kwa wanafunzi, watu 4 walitengwa kutoka kundi la kwanza la kozi, watu 6 kutoka kundi la pili, na watu 5 kutoka kundi la tatu. Uwezekano kwamba mwanafunzi katika kundi la kwanza atajumuishwa katika timu ya taifa ni 0.9; kwa wanafunzi wa kundi la pili na la tatu, uwezekano huu ni 0.7 na 0.8, kwa mtiririko huo. Kama matokeo ya shindano hilo, mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu aliishia kwenye timu ya taifa ambayo kuna uwezekano mkubwa kuwa yuko?

Suluhisho: Tukio A - "Mwanafunzi aliyechaguliwa bila mpangilio aliingia katika timu ya chuo." Tukio B 1 - "Mwanafunzi kutoka kundi la kwanza alichaguliwa bila mpangilio." Tukio B 2 - "Mwanafunzi kutoka kundi la pili alichaguliwa bila mpangilio." Tukio B 3 - "Mwanafunzi kutoka kundi la tatu alichaguliwa bila mpangilio." P( B 1)= 4/15 . P (B 2) = 6/15. P(B 3)= 5/15.

P (A / B 1)=0.9 ni uwezekano wa mwanafunzi kutoka kundi la kwanza kufika timu ya taifa.

P (A / B 2) = 0.7 ni uwezekano kwamba mwanafunzi kutoka kundi la pili ataifikia timu ya taifa.

P (A / B 3 )=0.8 ni uwezekano wa mwanafunzi kutoka kundi la tatu kufika timu ya taifa.

Kisha:

Uwezekano kwamba mwanafunzi kutoka kundi la kwanza aliifanikisha kwenye timu.

Uwezekano kwamba mwanafunzi kutoka kundi la pili aliifanya timu.

Uwezekano kwamba mwanafunzi kutoka kundi la tatu aliufanya kwenye timu.

Uwezekano mkubwa zaidi, mwanafunzi kutoka kundi la pili ataifanya timu.

Mfano:Mashine ikitoka katika hali ya kawaida ya uendeshaji, kengele ya C 1 italia kwa uwezekano wa 0.8, na kengele ya C 2 italia kwa uwezekano wa 1. Uwezekano wa kuwa mashine ina C 1 au C. Kengele 2 ni 0.6 na 0.4, mtawalia. Ishara imepokelewa kukata bunduki ya mashine. Je, kuna uwezekano gani zaidi: mashine ina vifaa vya kuashiria C 1 au C 2?

Suluhisho:Tukio A - "Ishara ya kukata bunduki ya mashine imepokelewa." Tukio B 1 - "Mashine ina kifaa cha kuashiria C1. TukioB 2 - "Mashine ina kifaa cha kuashiria C2. P( B 1 )= 0.6. P (B 2) = 0.8.

P (A / B 1) = 0.8 ni uwezekano kwamba ishara itapokelewa, mradi mashine ina kifaa cha kuashiria C1.

P (A / B 2 )=1 - uwezekano kwamba ishara itapokelewa, mradi mashine ina kifaa cha kuashiria C2.

Kisha:

Kuna uwezekano kwamba baada ya kupokea ishara ya kukata mashine, kengele ya C1 ililia.

Kuna uwezekano kwamba baada ya kupokea ishara ya kukata mashine, kengele ya C2 ililia.

Wale. Kuna uwezekano zaidi kwamba wakati wa kukata mashine, ishara itapokelewa kutoka kwa kifaa cha kuashiria C1.

Jumla ya fomula ya uwezekano.

Tokeo la nadharia zote mbili kuu—nadharia ya nyongeza ya uwezekano na nadharia ya kuzidisha uwezekano—ndio kinachojulikana kama fomula ya uwezekano kamili.

Hebu iwe muhimu kuamua uwezekano wa tukio fulani A ambalo linaweza kutokea na moja ya matukio
, kutengeneza kundi kamili la matukio yasiyolingana Tutaita matukio haya dhana.

Hebu tuthibitishe hilo katika kesi hii

Uwezekano wa tukio A hukokotolewa kama jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila dhana na uwezekano wa masharti wa tukio wakati dhana hii inapotekelezwa.

Fomula hii inaitwa jumla ya uwezekano wa fomula.

Ushahidi

Kwa kuwa dhahania H1, H2..., Hn, huunda kundi kamili, tukio A linaweza kutokea pamoja na yoyote kati ya dhana hizi.

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Kwa kuwa dhahania H1, H2,…,Hn hazioani, basi michanganyiko H1A, H2A,…,HnA pia haioani; Kwa kutumia nadharia ya nyongeza kwake, tunapata:

Kwa kutumia nadharia ya kuzidisha kwa tukio HiA, tunapata

Q.E.D.

Kuna urn tatu zinazofanana: urn ya kwanza ina mipira miwili nyeupe na moja nyeusi; katika pili kuna tatu nyeupe na moja nyeusi mpira; katika tatu kuna mipira miwili nyeupe na miwili nyeusi.

Mtu anachagua moja ya mikoba bila mpangilio na kuchukua mpira kutoka kwayo.

Wacha tuchunguze nadharia tatu:

H1 - uteuzi wa mkojo wa kwanza,

H2 - uteuzi wa urn ya pili,

H3-chaguo la urn ya tatu

Na tukio A ni kuonekana kwa mpira mweupe.

Kwa kuwa nadharia kulingana na hali ya shida zinawezekana kwa usawa, basi

Uwezekano wa masharti wa tukio A chini ya hypotheses hizi ni sawa

Tatizo 3.5.

Kiwanda kinazalisha bidhaa, ambayo kila moja ina kasoro na uwezekano p.

Kuna wasimamizi watatu katika warsha; inazingatiwa na mkaguzi mmoja tu, na uwezekano sawa wa kwanza, wa pili au wa tatu Uwezekano wa kugundua kasoro (ikiwa ipo) kwa mkaguzi wa i-th ni sawa na Pi (i = 1,2,3). Ikiwa bidhaa haikukataliwa katika warsha, basi huenda kwa idara ya udhibiti wa ubora wa kiwanda, ambapo kasoro, ikiwa ni yoyote, hugunduliwa na uwezekano wa P0.

Amua uwezekano kwamba bidhaa itakataliwa.

A - bidhaa itakataliwa

B - bidhaa itakataliwa katika warsha

C- bidhaa itakataliwa na idara ya udhibiti wa ubora wa kiwanda.

Kwa kuwa matukio B na C hayaendani na

P(A)=P(B)+P(C)

Tunapata P (B) Ili bidhaa kukataliwa katika warsha, ni muhimu, kwanza, kuwa na kasoro, na pili, ili kugundua kasoro.

Uwezekano kwamba kasoro itagunduliwa katika warsha ni sawa na

Kweli,

Kuunda hypotheses

Kasoro ya H1 imegunduliwa na mkaguzi wa kwanza

Kasoro ya H2 imegunduliwa na mkaguzi wa 2

Kasoro ya H3 imegunduliwa na mkaguzi wa tatu

Kutoka hapa

Vivyo hivyo

Nadharia ya Hypothesis (Mchanganyiko wa Bayes)

Tokeo la nadharia ya kuzidisha na fomula jumla ya uwezekano ni ile inayoitwa nadharia dhahania au fomula ya Bayes.

Wacha tutoe shida ifuatayo.

Kuna kundi kamili la dhahania zisizolingana H1,H2,…Hn Uwezekano wa nadharia hizi hujulikana kabla ya majaribio na ni sawa na P(H1),P(H2),…,P(Hn) mtawalia uzoefu, kama matokeo ambayo tukio la baadhi ya tukio A linazingatiwa. Swali ni je, uwezekano wa dhahania unapaswa kubadilishwaje kuhusiana na kutokea kwa tukio hili?

Hapa, kimsingi, tunazungumza juu ya kupata uwezekano wa masharti P (Hi/A) kwa kila nadharia.

Kutoka kwa nadharia ya kuzidisha tunayo:

P(AHi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*H(A/Hi),

Au kutupa upande wa kushoto

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n imetoka wapi

Au kuelezea P (A) kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano, tunayo

Fomula hii inaitwa formula ya Bayes au nadharia ya nadharia.

Kifaa kinaweza kukusanywa kutoka kwa sehemu za ubora wa juu na kutoka kwa sehemu za ubora wa kawaida kwa ujumla, karibu 40% ya vifaa vinakusanywa kutoka sehemu za ubora. Ikiwa kifaa kinakusanyika kutoka kwa sehemu za ubora wa juu, kuegemea kwake (uwezekano wa operesheni isiyo na kushindwa) kwa muda ni sawa na 0.05; ikiwa sehemu ni za ubora wa kawaida, kuegemea kwake ni 0.7. Kifaa kinajaribiwa kwa muda t na kilifanya kazi bila dosari.

Nadharia mbili zinawezekana:

Kifaa cha H1 kimekusanywa kutoka sehemu za ubora wa juu,

Kifaa cha H2 kimekusanywa kutoka kwa sehemu za ubora wa kawaida.

Uwezekano wa dhana hizi kabla ya jaribio

P(H1)=0.4; P(H2)=0.6.

Kama matokeo ya jaribio, tukio A lilizingatiwa - kifaa hakina kasoro

Alifanya kazi kwa muda t. Uwezekano wa masharti wa tukio hili saa

Hypotheses H1 na H2 ni sawa:

P (A/H1) = 0.95; P (A/H2) = 0.7.

Kwa kutumia formula ya Weiss, tunapata uwezekano wa hypothesis H1 baada ya

Matatizo ya Combinatorics.

Katika tafiti nyingi za takwimu kuna shida za ujumuishaji, upekee ambao ni muhimu kuonyesha kwa mifano:

Vitabu 10 tofauti vinaweza kupangwa kwa njia ngapi kwenye rafu?

Timu 8 zinashiriki katika mashindano hayo. Je, ni mawazo mangapi tofauti yanaweza kutolewa kuhusu nafasi tatu za kwanza (kulingana na matokeo ya mashindano)?

Ni maneno mangapi ya herufi tatu tofauti yanaweza kuundwa kutoka kwa herufi 32 za alfabeti, bila kujali kama maneno yanayoundwa na herufi yana maana au la?

Je, vipengele vya r vinaweza kuchaguliwa kwa njia ngapi kutoka kwa seti ya vitu k (tofauti)?

Je, idadi ya matokeo tofauti ya kurusha kete mbili ni kubwa kiasi gani?

Mifano iliyotolewa inaonyesha kwamba katika matatizo ya combinatorics mtu kwa ujumla anavutiwa na idadi ya sampuli tofauti za vitu fulani, na, kulingana na aina ya mahitaji ya ziada, mtu anapaswa kutofautisha sampuli zinazochukuliwa kuwa sawa na ambazo ni tofauti.

Katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati Hasa hutumia dhana tatu za combinatorics:

Nafasi

Mipangilio upya

Mchanganyiko

Mipangilio ya vipengele vya n kwa m ni vile viunganishi vinavyotofautiana kwa vipengele vyenyewe au mpangilio wao. Kwa mfano: uwekaji wa vipengele 3 a, b, c kwa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb Idadi ya nafasi zote za n vipengele tofauti kwa m A

Kwa mfano: uwekaji wa vipengele 3 a, b, c kwa 2: ab,ac,bc, ba, ca,cb Idadi ya nafasi zote za n vipengele tofauti kwa m A

Jumla ya vizidishi m

Vibali vya vipengele vya n ni viunganisho vinavyotofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa utaratibu wa vipengele vilivyojumuishwa ndani yao vipengele a,b na c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Idadi ya vibali vyote vya n vipengele tofauti Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

Vitabu 10 vinaweza kupangwa kwa njia ngapi kwenye rafu?

P10=10!=3628800.

Mchanganyiko wa n vipengele vya m huitwa misombo yao, tofauti kutoka kwa kila mmoja tu na vipengele wenyewe. Kwa mfano: mchanganyiko wa vipengele vitatu a, b na c, mbili kila moja: ab, ac, bc. Idadi ya michanganyiko yote ya n vipengele tofauti kwa m inaonyeshwa na Cn

Tunaweza kuandika

Majaribio ya kurudia

Katika matumizi ya vitendo ya nadharia ya uwezekano, mara nyingi mtu hukutana na matatizo ambayo majaribio sawa au majaribio sawa yanarudiwa mara kwa mara. Kama matokeo ya kila jaribio, baadhi ya tukio A linaweza kutokea au lisionekane kama matokeo ya mfululizo wa majaribio.

Matatizo hayo yanatatuliwa kwa urahisi sana katika kesi wakati majaribio yanajitegemea.

Majaribio kadhaa huitwa huru ikiwa uwezekano wa matokeo moja au nyingine ya kila jaribio hautegemei matokeo ambayo majaribio mengine yalikuwa nayo. Uondoaji kadhaa mfululizo wa kadi kutoka kwenye sitaha hujumuisha majaribio ya kujitegemea, mradi kadi iliyoondolewa inarudishwa kwenye sitaha kila wakati na kadi zichanganywe; vinginevyo, majaribio tegemezi.

Majaribio ya kujitegemea yanaweza kufanywa chini ya hali sawa au tofauti.

Nadharia ya jumla juu ya marudio ya majaribio.

Nadharia fulani juu ya marudio ya majaribio inahusu kesi wakati uwezekano wa tukio A ni sawa katika majaribio yote. Katika mazoezi, mara nyingi mtu hukutana na kesi ngumu zaidi, wakati majaribio yanafanywa chini ya hali tofauti, na uwezekano wa mabadiliko ya tukio kutoka kwa majaribio hadi majaribio. Njia ya kuhesabu uwezekano wa idadi fulani ya matukio ya matukio chini ya hali kama hizo hutolewa na nadharia ya jumla juu ya marudio ya majaribio.

Acha idadi ya majaribio u=2, kisha kikundi kamili cha matukio:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Acha idadi ya majaribio u=3, kisha kikundi kamili cha matukio:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

Vile vile, kwa idadi ya majaribio n, kundi kamili la matukio ni:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, na katika kila moja ya tukio la kazi A inaonekana mara m, na tukio A linaonekana mara n-m mchanganyiko bado

au mfupi zaidi

ambapo z ni kigezo cha kiholela.

Chaguo za kukokotoa jn(z), upanuzi ambao katika uwezo wa kigezo z hutoa pm,n kama viegemeo vya uwezekano, huitwa chaguo la kukokotoa la uwezekano wa kuzalisha pm,n au tu chaguo la kukokotoa la kuzalisha.

Kwa kutumia dhana ya kuzalisha vipengele, tunaweza kuunda nadharia ya jumla kuhusu kurudia majaribio katika fomu ifuatayo:

Uwezekano kwamba tukio A litatokea mara m haswa katika majaribio huru ya n ni sawa na mgawo wa zm katika usemi wa chaguo la kukokotoa la kuzalisha.

jn(z)=(qi+piz) ambapo pi ni uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika jaribio la i-th.

Uundaji ulio hapo juu wa nadharia ya jumla juu ya marudio ya majaribio, tofauti na nadharia mahususi, haitoi usemi wazi wa uwezekano pm,n.

Kimsingi, usemi kama huo unaweza kuandikwa, lakini ni ngumu sana, na hatutawasilisha.

Walakini, bila kuamua usemi wazi kama huo, bado inawezekana kuandika nadharia ya jumla juu ya marudio ya majaribio katika mfumo wa fomula moja.

kutofautiana nasibu.

Mojawapo ya dhana muhimu zaidi za nadharia ya uwezekano ni dhana ya kutofautiana kwa nasibu.

Tofauti ya nasibu ni kiasi ambacho, kama matokeo ya majaribio, kinaweza kuchukua thamani moja au nyingine, na haijulikani mapema ni jina gani.

Mifano ya anuwai za nasibu:

Idadi ya simu zilizopokelewa kwa kubadilishana simu kwa siku;

Idadi ya wavulana waliozaliwa katika hospitali ya uzazi kwa mwezi;

Idadi ya wasichana waliozaliwa katika hospitali ya uzazi kwa mwezi;

Katika mifano yote mitatu, vigeu vya nasibu vinaweza kuchukua maadili ya kibinafsi, yaliyotengwa ambayo yanaweza kuorodheshwa mapema.

Katika mfano 1;

Vigezo vile vya nasibu ambavyo huchukua tu maadili ya mtu binafsi yaliyotengwa kutoka kwa kila mmoja huitwa vigezo tofauti.

Kuna aina zingine za anuwai za nasibu.

Kwa mfano, joto la hewa, unyevu wa hewa, voltage katika mtandao wa sasa wa umeme.

Kitendaji cha usambazaji.

Msururu wa usambazaji, poligoni ya usambazaji sio

ni sifa za jumla za utofauti wa nasibu: zipo tu kwa vigeu vya nasibu visivyo na mpangilio. Kwa kweli, kigezo cha nasibu kinachoendelea kina idadi isiyo na kikomo ya maadili iwezekanavyo, ???? kuchukua muda fulani (kinachojulikana kama "seti isiyoweza kuhesabika"). Haiwezekani kuunda jedwali linaloorodhesha maadili yote yanayowezekana ya tofauti kama hiyo isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, kwa utaftaji wa nasibu unaoendelea hakuna safu ya usambazaji kwa maana ambayo inapatikana kwa tofauti isiyoendelea. Walakini, maeneo tofauti ya maadili yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu bado hayana uwezekano sawa, na kwa utofauti unaoendelea kuna usambazaji wa uwezekano, ingawa sio kwa maana sawa na ile isiyoendelea (au ya kipekee).

Kwa sifa za kiasi ya usambazaji huu wa uwezekano ni rahisi kutumia sio uwezekano wa tukio x=x, lakini uwezekano wa tukio x.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) wakati mwingine pia huitwa chaguo za kukokotoa za msambao limbikizi au sheria limbikizi ya usambazaji.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji ni sifa ya jumla ya kigezo cha nasibu

Inabainisha kabisa kutofautiana kwa nasibu kutoka kwa mtazamo unaowezekana, i.e. ni moja ya aina za usambazaji.

Wacha tuunda sifa kadhaa za jumla za kazi ya usambazaji:

Chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) ni chaguo za kukokotoa zisizopungua za hoja yake, i.e. kwa x2>x1 F(x2)>F(x1).

Katika minus infinity kazi ya usambazaji ni sifuri

3. Katika plus infinity, chaguo za kukokotoa za usambazaji ni sawa na 1.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea kina fomu

Uwezekano wa kusoma lahaja nasibu kwa eneo fulani.

Wakati wa kusuluhisha matatizo ya kiutendaji yanayohusisha vigeu vya nasibu, mara nyingi ni muhimu kukokotoa uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani iliyo ndani ya mipaka fulani, kwa mfano kutoka kwa hadi b.

Kwa uhakika, hebu tukubaliane kujumuisha ncha ya kushoto ya a katika sehemu (a,b), na tusijumuishe ncha ya kulia Kisha kutokea kwa mabadiliko nasibu ya x katika sehemu ya (a,b) ni sawa na ukosefu wa usawa ufuatao :

Hebu tueleze uwezekano wa tukio hilo kupitia chaguo za kukokotoa za usambazaji wa thamani ya x. Ili kufanya hivyo, fikiria matukio matatu:

tukio A, linalojumuisha ukweli kwamba C

tukio B, linalojumuisha ukweli kwamba C

tukio C, likijumuisha ukweli kwamba a

Kwa kuzingatia kwamba A=B+C, kwa nadharia ya nyongeza ya uwezekano tunayo

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P (£ C

Wale. uwezekano wa kuonyesha tofauti nasibu katika kikomo fulani ni sawa na ongezeko la chaguo za kukokotoa za usambazaji katika eneo hili.

Uzito wa usambazaji.

Acha kuwe na mabadiliko ya nasibu ya x yenye chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x), ambayo tutapendekeza iendelee na iweze kutofautishwa.

Wacha tuhesabu uwezekano wa thamani hii kuanguka kwenye eneo kutoka x hadi x+DC:

R(C£C

yaani ongezeko la kazi katika eneo hili. Hebu tuchunguze uwiano wa uwezekano huu kwa urefu wa sehemu, i.e. wastani wa uwezekano kwa kila urefu wa kitengo katika sehemu hii, na tutaleta DC karibu na 0. Katika njia tutapata derivative ya chaguo za kukokotoa za usambazaji.

Wacha tuanzishe nukuu:

Chaguo za kukokotoa f (x) - derivative ya chaguo za kukokotoa za usambazaji - inabainisha, kana kwamba, msongamano ambao thamani za kigezo cha nasibu husambazwa katika sehemu fulani. Chaguo hili la kukokotoa linaitwa msongamano wa usambazaji

(vinginevyo hujulikana kama "wingi wa uwezekano") wa kigezo kisicho na mpangilio cha X. Wakati mwingine chaguo za kukokotoa f (x) huitwa "tendakazi ya usambaaji tofauti" au "sheria ya usambazaji tofauti" ya kigezo cha X.

Mbero inayoonyesha msongamano wa usambazaji wa kigezo bila mpangilio huitwa mduara wa usambazaji.

Msongamano wa usambazaji, kama vile chaguo za kukokotoa za usambazaji, ni mojawapo ya aina za sheria ya usambazaji.

Wacha tuzingatie thamani inayoendelea X na msongamano wa usambazaji f (x) na sehemu ya msingi DX,

karibu na point X.

Uwezekano wa kupata mabadiliko ya nasibu X kwenye sehemu hii ya msingi (iliyo na usahihi hadi vipimo visivyo na kikomo vya mpangilio wa juu) ni sawa na f (x)dx. Kiasi f (x) dx kinaitwa kipengele cha uwezekano. Kijiometri, hili ni eneo la mstatili wa msingi ulio kwenye sehemu ya dx.

Wacha tuonyeshe uwezekano wa thamani X kuanguka kwenye sehemu kutoka a hadi b kupitia msongamano wa usambazaji:

Ni wazi, ni sawa na jumla ya vipengele vya uwezekano katika sehemu hii nzima, ambayo ni, muhimu:

Kijiometri, uwezekano wa kuingiza thamani X katika sehemu (a, b) ni sawa na eneo la curve ya usambazaji kulingana na sehemu hii.

huonyesha msongamano wa usambazaji kupitia chaguo za kukokotoa za usambazaji. Wacha tujiwekee shida ya kinyume: kuelezea kazi ya usambazaji kulingana na msongamano

F(x)=P(X

Kutoka wapi, kulingana na formula (3), tunayo:

F(x)=

Kijiometri, F(x) si chochote zaidi ya eneo la curve ya usambazaji iliyo upande wa kushoto wa uhakika: X.

Wacha tuonyeshe mali kuu ya wiani wa usambazaji:

1. Uzito wa usambazaji ni kazi isiyo hasi

Kipengele hiki kinafuata moja kwa moja kutokana na ukweli kwamba chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) ni chaguo za kukokotoa zisizopungua.

2. Muhimu juu ya mipaka isiyo na kikomo ya msongamano wa usambazaji ni sawa na 1

Hii inafuatia ukweli kwamba F(+¥)=1

Kijiometri, sifa za msingi za msongamano wa usambazaji humaanisha:

1. Mkondo mzima wa usambazaji hauko chini ya mhimili wa x.

2. Jumla ya eneo linalopakana na mkondo wa usambazaji na mhimili wa x ni sawa na 1.

TABIA ZA NAMBA ZA AJALI MBAYA. WAJIBU NA KUSUDI LAO.

Tulifahamiana na idadi ya sifa kamili za anuwai za nasibu - kinachojulikana kama sheria za usambazaji.

Kwa tofauti tofauti isiyo ya kawaida

a) kipengele cha usambazaji;

b) mfululizo wa usambazaji (graphically - usambazaji curve).

Kila sheria ya usambazaji inawakilisha kazi fulani, na dalili ya chaguo hili la kukokotoa ni kamili

Inaelezea kigezo cha nasibu kutoka kwa mtazamo unaowezekana.

Walakini, katika maswali mengi ya vitendo hakuna haja ya kutofautisha bila mpangilio kwa msongamano kwa njia kamili.

Mara nyingi inatosha kuonyesha tu vigezo vya nambari vya mtu binafsi ambavyo kwa kiasi fulani vina sifa ya sifa muhimu za usambazaji

thamani ya chai: kwa mfano, thamani fulani ya wastani, ambayo maadili yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu yamewekwa; nambari fulani inayoonyesha kiwango cha kutawanyika kwa maadili haya yanayohusiana na wastani, nk.

Kwa kutumia sifa hizo, tunaweza kueleza taarifa zote muhimu kuhusu utofauti wa nasibu ambao tunao kwa njia fupi zaidi kwa kutumia vigezo vya nambari tofauti ya nasibu.

Katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati, idadi kubwa ya sifa tofauti za nambari hutumiwa, ambazo zina madhumuni tofauti na maeneo tofauti ya matumizi, lakini zote zimegawanywa katika madarasa mawili:

1. Tabia za nafasi.

2. Tabia za kutawanya.

Tabia za nafasi.

Matarajio ya hisabati. Wastani. Mitindo. Wakati wa kuanzia.

Miongoni mwa sifa za nambari za vigezo vya random, ni lazima kwanza tuzingatie wale ambao wana sifa ya nafasi za kutofautiana kwa random kwenye mhimili wa nambari, i.e. e. Zinaonyesha thamani fulani ya wastani, takriban ambayo thamani zote zinazowezekana za utofauti wa nasibu zimepangwa.

Ya sifa za nafasi katika nadharia ya uwezekano, jukumu muhimu zaidi linachezwa na matarajio ya hisabati ya kutofautiana kwa nasibu, ambayo wakati mwingine huitwa thamani ya wastani ya kutofautiana kwa nasibu.

Hebu tuzingatie kigezo cha nasibu cha X chenye thamani zinazowezekana X1,X2,…Xn na uwezekano wa P1, P2,…Pn.

Tunahitaji kuashiria na nambari fulani msimamo wa maadili ya kutofautisha bila mpangilio kwenye mhimili wa abscissa. Kwa kusudi hili, ni kawaida kutumia kinachojulikana kama "wastani wa uzani" wa maadili ya Xi, na kila thamani ya Xi saa ????????? lazima izingatiwe na "uzito" sawia na uwezekano wa thamani hii. Hiyo. Tutahesabu thamani ya wastani ya mabadiliko ya nasibu x, ambayo tutaashiria kwa M[x]

Au kwa kuzingatia hilo

Wastani huu wa uzani unaitwa matarajio ya hisabati ya tofauti ya nasibu.

Matarajio ya hisabati ya kutofautisha bila mpangilio ni jumla ya bidhaa za maadili yote yanayowezekana ya c. V. juu ya uwezekano wa maadili haya.

Kumbuka kuwa katika uundaji ulio hapo juu, ufafanuzi wa matarajio ya hisabati ni halali tu kwa anuwai tofauti za nasibu.

Kwa thamani inayoendelea x, matarajio ya hisabati kwa asili yanaonyeshwa si kama jumla, lakini kama kiungo muhimu:

Ambapo f(x) ni msongamano wa usambazaji wa mabadiliko ya nasibu X.

F(x)dx-kipengele cha uwezekano.

Kwa kuongezea sifa muhimu zaidi za msimamo - matarajio ya kihesabu - kwa mazoezi, sifa zingine za msimamo wakati mwingine hutumiwa, haswa hali na wastani.

Hali ya utofauti wa nasibu ndio thamani yake inayowezekana zaidi, tunatumia x tu kwa anuwai tofauti

Kwa mabadiliko ya nasibu yanayoendelea, modi ni thamani ambayo wiani wa uwezekano ni wa juu zaidi

Wastani s. V. X inaitwa thamani yake Me, i.e. kuna uwezekano sawa ikiwa utofauti wa nasibu unageuka kuwa mdogo au mkubwa kuliko Mimi.

Kijiometri, wastani ni abscissa ya hatua ambayo eneo lililofungwa na curve ya usambazaji imegawanywa katika sehemu.

' P Grafu ya kazi ya usambazaji inaonekana kama

Tatizo 5.50

Kuna taa ya trafiki otomatiki kwenye makutano, ambayo

Mwangaza wa kijani umewashwa kwa dakika 1 na taa nyekundu iko kwa dakika 0.5, kisha taa ya kijani iko kwa dakika 1, taa nyekundu imewashwa kwa dakika 0.5, nk.

mtu anakaribia makutano ya gari kwa wakati usio na uhusiano na kazi

taa ya trafiki

a) pata uwezekano kwamba atapita makutano bila kusimama

b) pata wastani wa muda wa kusubiri kwenye makutano

Wakati gari inapita kwenye makutano inasambazwa sawasawa katika muda sawa na

Kipindi cha kubadilisha rangi katika taa za trafiki

Kipindi hiki ni 1+0.5=dakika 1.5

Ili gari lipite kwenye makutano bila kusimama, inatosha

Wakati wa kupita makutano ulifanyika wakati wa muda (0.1)

Kwa thamani ya nasibu, kulingana na sheria ya msongamano wa mara kwa mara katika muda (0,1,5)

Uwezekano wa kuanguka kwa muda (0.1) ni sawa na Muda wa Kusubiri ni tofauti iliyochanganyika ya nasibu, na uwezekano ni sawa na 0, na kwa Uwezekano inachukua kwa msongamano sawa wa uwezekano thamani yoyote kati ya dakika 0 na 0.5.

Muda wa wastani wa kusubiri kwenye makutano

Sheria ya usambazaji wa Poisson

Katika shida nyingi za kiutendaji mtu anapaswa kushughulika na vigeu vya nasibu vinavyosambazwa kulingana na sheria ya kipekee inayoitwa sheria ya Poisson. Hebu tuzingatie

Kiasi tofauti ambacho kinaweza kuchukua tu nambari kamili zisizo hasi

0,1,2,..., m,...,

na mlolongo wa maadili haya kwa kweli hauna kikomo.

Tofauti ya nasibu X inasemekana kusambazwa kulingana na sheria ya Poison ikiwa kuna uwezekano huo

Itachukua maadili fulani m yaliyoonyeshwa na fomula

ambapo a ni thamani fulani inayoitwa parameta ya Poisson Mfululizo wa usambazaji wa kigezo cha nasibu X, kinachosambazwa kwa mujibu wa sheria ya Poisson, kina fomu;

Xm				...	m	...
Pm

Tofauti ya thamani ya X ni sawa na

Uwezekano wa mabadiliko nasibu kwa sheria ya kawaida kuanguka katika eneo fulani.

Katika shida nyingi zinazohusiana na anuwai za kawaida zilizosambazwa, inahitajika kuamua uwezekano wa kutokea kwa mabadiliko ya nasibu X, kulingana na sheria ya kawaida iliyo na vigezo.

m, s, kwa eneo kutoka a hadi b.

Ili kuhesabu uwezekano huu, tunatumia fomula ya jumla.

R(a< C< b) = F(b) – F(a) (1)

ambapo F(b) ni chaguo za kukokotoa za usambazaji wa thamani ya X katika nukta b

F(a)-kazi ya usambazaji wa thamani X katika nukta a

Wacha tupate kazi ya kukokotoa ya usambazaji F(x) ya kigezo bila mpangilio kinachosambazwa kulingana na sheria ya kawaida yenye vigezo m, s. Msongamano

usambazaji wa thamani X ni sawa na:

Kuanzia hapa tunapata kazi ya usambazaji:

Wacha tufanye mabadiliko ya kutofautisha katika muunganisho:

Na tuiweke katika fomu hii:

Kiunga hiki hakijaonyeshwa kwa suala la kazi za kimsingi, lakini kwa hiyo

meza zimeundwa.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa jedwali (kinachojulikana kama jedwali muhimu la uwezekano) huonyeshwa na:

Ni rahisi kuona kwamba chaguo hili la kukokotoa si chochote zaidi ya chaguo za kukokotoa za usambazaji kwa nasibu inayosambazwa kwa kawaida

kiasi na vigezo m = 0; s=1

Chaguo za kukokotoa za usambazaji Ф*(х) pia huitwa chaguo la kukokotoa la kawaida la usambazaji.

Wacha tuonyeshe kazi ya kukokotoa ya usambazaji wa thamani X na vigezo m, s kupitia chaguo za kukokotoa za kawaida za usambazaji:

Sasa hebu tutafute uwezekano wa mabadiliko ya nasibu X kuanguka kwenye sehemu kutoka a hadi b.

Kulingana na formula (1):

Kwa hivyo, tunaelezea uwezekano wa kupiga eneo kutoka kwa hadi

B ya kigezo nasibu kinachosambazwa kulingana na sheria ya kawaida ya usambazaji na vigezo vyovyote, kupitia chaguo za kukokotoa za kawaida za usambazaji Ф*(x), zinazolingana na sheria ya kawaida ya usambazaji yenye vigezo m=0 na s=1. Kumbuka kuwa hoja za kazi Ф* katika fomula ya mwisho zina maana rahisi:

Kuna umbali kutoka mwisho wa kulia wa sehemu b hadi katikati ya kutawanya, iliyoonyeshwa kwa kupotoka kwa kawaida;

Kuna umbali sawa kwa mwisho wa kushoto wa sehemu, na umbali unachukuliwa kuwa chanya ikiwa mwisho iko upande wa kulia wa kituo cha kusambaza, na hasi ikiwa upande wa kushoto.

Kama chaguo za kukokotoa za usambazaji, chaguo la kukokotoa Ф*(х) lina sifa zifuatazo:

3.Ф * (х) - kazi isiyopungua.

Kwa kuongezea, kutoka kwa ulinganifu wa usambazaji wa kawaida na vigezo m=0 na s=1 jamaa na asili, inafuata kwamba

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Fikiria mfano ufuatao.

Tofauti ya nasibu X, inayosambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida, inawakilisha makosa katika kupima umbali fulani.

Wakati wa kupima, hitilafu ya utaratibu inaruhusiwa katika mwelekeo wa overestimation na 1.2 (m); Mkengeuko wa kawaida wa hitilafu ya kipimo ni 0.8(m).

Pata uwezekano kwamba mkengeuko wa thamani iliyopimwa kutoka kwa thamani halisi hautazidi 1.6(m) katika thamani kamili.

Hitilafu ya kipimo ni mabadiliko ya nasibu X, kulingana na sheria ya kawaida yenye vigezo m=12, s=0.8.

Tunahitaji kupata uwezekano wa wingi huu kuanguka kwenye eneo kutoka

a=--1, b hadi b= +1.6.

Kulingana na formula tunayo:

Kwa kutumia majedwali ya kukokotoa Ф*(0.5)=0.6915 na Ф*(-3.5)=0.0002

P(-1.6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Tatizo 5.48.

Kukataliwa kwa mipira kwa fani hufanywa kama ifuatavyo:

ikiwa mpira haupitia shimo na kipenyo d2> d1, basi ukubwa wake unachukuliwa kukubalika. Ikiwa hali yoyote kati ya hizi haijatimizwa, mpira unakataliwa. Inajulikana kuwa kipenyo cha mpira D ni tofauti ya kawaida inayosambazwa na sifa

Amua uwezekano q kwamba mpira utakataliwa.

q= 1- p(d1< d < d2);

Inajulikana kuwa saizi ya D ya mpira kwa fani ni tofauti ya nasibu inayosambazwa kulingana na sheria ya kawaida. Mpira unakataliwa kwa njia ile ile kama ilivyoonyeshwa kwenye shida iliyopita. Inajulikana kuwa ukubwa wa wastani wa mpira ni sawa na

Na kasoro huchangia 10% ya jumla ya pato.

Sawa na tatizo la awali, uwezekano wa ndoa

Wapi

Tatizo 5-54

Tofauti ya nasibu x inategemea sheria ya kawaida yenye nambari ya hisabati mx = 0. Uwezekano wa kusoma kigezo hiki bila mpangilio katika sehemu kutoka -1 hadi 1 ni 0.5.

Tafuta mkengeuko wa kawaida na uandike usemi wa kawaida wa sheria

Usawa wa usambazaji unatoka wapi?

Wacha tupange chaguo za kukokotoa za usawa wa usambazaji

x	-5	-4	-3	-2	-1

	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Kunapaswa kuwa na grafu hapa

Tatizo 5-58.

Kuna mabadiliko nasibu ya x, kulingana na sheria ya kawaida e kwa matarajio ya hisabati mx, na kwa sigma ya kawaida ya mkengeuko kutoka x. Inahitajika takriban

Badilisha sheria ya kawaida na sheria ya msongamano wa mara kwa mara katika muda wa alpha, beta; mipaka ya alfa na beta inapaswa kuchaguliwa ili kuweka sifa kuu za mabadiliko ya nasibu x bila kubadilika: matarajio ya hisabati na mtawanyiko.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Chaguo la 2

Tofauti ya nasibu X inategemea sheria ya kawaida yenye matarajio ya hisabati Mx=6. Uwezekano wa kutofautiana kwa nasibu kuanguka katika eneo kutoka 4 hadi 8 ni 0.6. Tafuta kupotoka kwa kawaida na uandike usemi wa sheria ya kawaida. Tengeneza grafu ya msongamano wa usambazaji.

Msongamano wa usambazaji unatoka wapi?

Wacha tupange wiani wa usambazaji.

X	-1

	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08	-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

KANUNI YA TATU s

Hebu thamani ya kawaida X isambazwe kulingana na sheria ya kawaida na vigezo M na s. Tutaonyesha kwamba, kwa usahihi wa 03%, hutokea kwamba idadi chini ya sheria inachukua maadili iwezekanavyo ambayo hayatokani na kituo cha kutawanya kwa ± 3s.

Tunataka kupata kitu

Haitazidi 0003

Sheria ya 3s katika takwimu ni muhimu sana.

Moja ya sheria za kawaida za 3s ni majaribio ya uchunguzi. Katika jaribio la uchunguzi, wauzaji wa nje wanachunguzwa.

Matatizo kuu ya takwimu za hisabati

Fomu ya matukio kundi kamili, ikiwa angalau moja kati yao yatatokea kama matokeo ya jaribio na hayaoani kwa jozi.

Wacha tufikirie kuwa tukio hilo A yanaweza kutokea tu pamoja na mojawapo ya matukio kadhaa yasiooani kwa jozi ambayo huunda kundi kamili. Tutaita matukio ( i= 1, 2,…, n) hypotheses uzoefu wa ziada (a priori). Uwezekano wa kutokea kwa tukio A huamuliwa na fomula uwezekano kamili :

Mfano 16. Kuna urns tatu. Urn ya kwanza ina mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina mipira 4 nyeupe na 4 nyeusi, na ya tatu ina mipira 8 nyeupe. Moja ya urn huchaguliwa bila mpangilio (hii inaweza kumaanisha, kwa mfano, kwamba chaguo hufanywa kutoka kwa urn msaidizi iliyo na mipira mitatu yenye nambari 1, 2 na 3). Mpira hutolewa kwa nasibu kutoka kwa mkojo huu. Kuna uwezekano gani kwamba itakuwa nyeusi?

Suluhisho. Tukio A- mpira mweusi huondolewa. Ikiwa inajulikana ambayo mpira ulitolewa kutoka kwenye urn, basi uwezekano unaohitajika ungeweza kuhesabiwa kwa kutumia ufafanuzi wa classical wa uwezekano. Wacha tuanzishe mawazo (dhahania) kuhusu ni urn gani iliyochaguliwa kupata mpira.

Mpira unaweza kuchorwa ama kutoka kwa urn wa kwanza (dhahania), au kutoka kwa pili (dhahania), au kutoka kwa tatu (dhahania). Kwa kuwa kuna nafasi sawa za kuchagua urns yoyote, basi .

Inafuata hiyo

Mfano 17. Taa za umeme zinatengenezwa katika viwanda vitatu. Kiwanda cha kwanza kinazalisha 30% ya jumla ya idadi ya taa za umeme, pili - 25%;
na ya tatu - iliyobaki. Bidhaa za mmea wa kwanza zina 1% ya taa zenye kasoro za umeme, pili - 1.5%, ya tatu - 2%. Duka hupokea bidhaa kutoka kwa viwanda vyote vitatu. Je, kuna uwezekano gani kwamba taa iliyonunuliwa kwenye duka ina kasoro?

Suluhisho. Mawazo lazima yafanywe kuhusu ni mmea gani balbu ilitengenezwa. Kujua hili, tunaweza kupata uwezekano kwamba ina kasoro. Wacha tuanzishe nukuu kwa hafla: A- taa ya umeme iliyonunuliwa iligeuka kuwa na kasoro, - taa ilitengenezwa na mmea wa kwanza, - taa ilitengenezwa na mmea wa pili;
- taa ilitengenezwa na mmea wa tatu.

Tunapata uwezekano unaohitajika kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano:

Fomula ya Bayes. Wacha liwe kundi kamili la matukio yasiokubaliana kwa jozi (hypotheses). A- tukio la nasibu. Kisha,

Njia ya mwisho, ambayo inaruhusu mtu kukadiria tena uwezekano wa nadharia baada ya matokeo ya jaribio, kama matokeo ya ambayo tukio A lilionekana, linajulikana, inaitwa. Fomula ya Bayes .

Mfano 18. Kwa wastani, 50% ya wagonjwa walio na ugonjwa huo hulazwa katika hospitali maalum KWA, 30% - na ugonjwa L, 20 % –
na ugonjwa M. Uwezekano wa tiba kamili ya ugonjwa huo K sawa na 0.7 kwa magonjwa L Na M uwezekano huu ni 0.8 na 0.9, mtawalia. Mgonjwa aliyelazwa hospitalini aliruhusiwa akiwa mzima. Tafuta uwezekano kwamba mgonjwa huyu aliteseka na ugonjwa huo K.

Suluhisho. Wacha tujulishe dhana: - mgonjwa aliugua ugonjwa KWA L, - mgonjwa aliugua ugonjwa M.

Kisha, kulingana na hali ya tatizo, tuna . Hebu tutambulishe tukio A- mgonjwa aliyelazwa hospitalini aliruhusiwa akiwa mzima. Kwa hali

Kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano tunapata:

Kulingana na formula ya Bayes.

Mfano 19. Hebu kuwe na mipira mitano kwenye urn na ubashiri wote kuhusu idadi ya mipira nyeupe inawezekana kwa usawa. Mpira unachukuliwa bila mpangilio kutoka kwenye mkojo na unageuka kuwa mweupe. Ni dhana gani juu ya muundo wa awali wa urn ina uwezekano mkubwa?

Suluhisho. Hebu iwe dhana kwamba kuna mipira nyeupe kwenye urn , yaani, mawazo sita yanaweza kufanywa. Kisha, kulingana na hali ya tatizo, tuna .

Hebu tutambulishe tukio A- mpira mweupe ulichukuliwa bila mpangilio. Hebu tuhesabu. Kwa kuwa , basi kulingana na formula ya Bayes tunayo:

Kwa hivyo, nadharia inayowezekana zaidi ni kwa sababu .

Mfano 20. Vipengele viwili kati ya vitatu vya kujitegemea vya kifaa cha kompyuta vimeshindwa. Pata uwezekano kwamba vipengele vya kwanza na vya pili vilishindwa ikiwa uwezekano wa kushindwa kwa vipengele vya kwanza, vya pili na vya tatu, kwa mtiririko huo, ni 0.2; 0.4 na 0.3.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio - vipengele viwili vimeshindwa. Hypotheses zifuatazo zinaweza kufanywa:

- vipengele vya kwanza na vya pili vimeshindwa, lakini kipengele cha tatu kinafanya kazi. Kwa kuwa vitu hufanya kazi kwa kujitegemea, nadharia ya kuzidisha inatumika:

Maoni ya maelezo: 2154

Jumla ya Uwezekano Formula na Bayes Formula

Katika somo hili tutaangalia muhtasari muhimu kuongeza na kuzidisha nadharia za uwezekano na ujifunze jinsi ya kutatua shida za kawaida kwenye mada. Wasomaji ambao wamesoma makala kuhusu matukio tegemezi, itakuwa rahisi zaidi, kwani ndani yake tayari tumeanza kutumia formula ya jumla ya uwezekano. Ikiwa ulitoka kwa injini ya utafutaji na/au huelewi nadharia ya uwezekano (kiungo cha somo la 1 la kozi), kisha ninapendekeza kutembelea kurasa hizi kwanza.

Kweli, tuendelee. Hebu tuzingatie tukio tegemezi, ambayo inaweza kutokea tu kutokana na utekelezaji wa moja ya yasiokubaliana hypotheses , fomu gani kundi kamili. Wacha uwezekano wao na uwezekano unaolingana wa masharti ujulikane. Kisha uwezekano wa tukio kutokea ni:

Fomula hii inaitwa jumla ya fomula za uwezekano. Katika vitabu vya kiada imeundwa kama nadharia, uthibitisho wa ambayo ni ya msingi: kulingana na algebra ya matukio, (tukio lilitokea Na au tukio lilitokea Na baada ya kutokea tukio au tukio lilitokea Na baada ya kutokea tukio au …. au tukio lilitokea Na baada ya tukio). Tangu hypotheses haziendani, na tukio linategemea, basi kulingana nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana (hatua ya kwanza) Na nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi (hatua ya pili):

Watu wengi labda wanatarajia yaliyomo kwenye mfano wa kwanza =)

Popote unapotema mate, kuna urn:

Tatizo 1

Kuna urns tatu zinazofanana. Urn ya kwanza ina mipira 4 nyeupe na 7 nyeusi, ya pili - nyeupe tu na ya tatu - mipira nyeusi tu. Mkojo mmoja huchaguliwa bila mpangilio na mpira hutolewa kutoka humo bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira huu ni mweusi?

Suluhisho: fikiria tukio - mpira mweusi utatolewa kutoka kwa urn iliyochaguliwa kwa nasibu. Tukio hili linaweza kutokea kama matokeo ya moja ya hypotheses zifuatazo:
- urn ya 1 itachaguliwa;
- urn ya 2 itachaguliwa;
- urn ya 3 itachaguliwa.

Kwa kuwa urn huchaguliwa kwa nasibu, chaguo la mojawapo ya urns tatu kwa usawa iwezekanavyo, kwa hivyo:

Tafadhali kumbuka kuwa nadharia zilizo hapo juu zinaundwa kundi kamili la matukio, yaani, kwa mujibu wa hali hiyo, mpira mweusi unaweza kuonekana tu kutoka kwenye urns hizi, na, kwa mfano, hauwezi kutoka kwenye meza ya billiard. Wacha tufanye ukaguzi rahisi wa kati:
, sawa, wacha tuendelee:

Mkojo wa kwanza una 4 nyeupe + 7 nyeusi = mipira 11, kila moja ufafanuzi wa classical:
- uwezekano wa kuchora mpira mweusi kutokana na hilo, kwamba urn ya 1 itachaguliwa.

Urn ya pili ina mipira nyeupe tu, hivyo ikichaguliwa kuonekana kwa mpira mweusi inakuwa haiwezekani: .

Na hatimaye, urn ya tatu ina mipira nyeusi tu, ambayo ina maana sambamba uwezekano wa masharti kuchimba mpira mweusi itakuwa (tukio ni la kuaminika).

- uwezekano kwamba mpira mweusi utatolewa kutoka kwa urn iliyochaguliwa kwa nasibu.

Jibu:

Mfano uliochanganuliwa unapendekeza tena jinsi ilivyo muhimu kuzama katika CONDITION. Wacha tuchukue shida sawa na urns na mipira - licha ya kufanana kwao kwa nje, njia za suluhisho zinaweza kuwa tofauti kabisa: mahali pengine unahitaji tu kutumia. ufafanuzi wa classical wa uwezekano, mahali fulani matukio kujitegemea, mahali fulani tegemezi, na mahali fulani tunazungumza juu ya nadharia. Wakati huo huo, hakuna kigezo rasmi cha wazi cha kuchagua suluhisho - karibu kila wakati unahitaji kufikiria juu yake. Jinsi ya kuboresha ujuzi wako? Tunaamua, tunaamua na tunaamua tena!

Tatizo 2

Safu ya upigaji risasi ina bunduki 5 za usahihi tofauti. Uwezekano wa kugonga shabaha kwa mpigaji risasi ni sawa na 0.4. Kuna uwezekano gani wa kugonga shabaha ikiwa mpiga risasi atafyatua risasi moja kutoka kwa bunduki iliyochaguliwa kwa nasibu?

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Katika shida nyingi za mada, dhahania, kwa kweli, haziwezekani kwa usawa:

Tatizo 3

Kuna bunduki 5 kwenye piramidi, tatu ambazo zina vifaa vya kuona. Uwezekano kwamba mpiga risasi atagonga shabaha wakati wa kurusha bunduki kwa kuona telescopic ni 0.95; kwa bunduki bila kuona kwa macho, uwezekano huu ni 0.7. Tafuta uwezekano kwamba lengo litapigwa ikiwa mpiga risasi atapiga risasi moja kutoka kwa bunduki iliyochukuliwa bila mpangilio.

Suluhisho: katika shida hii idadi ya bunduki ni sawa na ile iliyopita, lakini kuna nadharia mbili tu:
- mpiga risasi atachagua bunduki yenye macho ya macho;
- mpiga risasi atachagua bunduki bila macho ya macho.
Na ufafanuzi wa classical wa uwezekano: .
Udhibiti:

Fikiria tukio: - mpiga risasi anagonga shabaha kwa bunduki iliyochukuliwa bila mpangilio.
Kulingana na hali:.

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:

Jibu: 0,85

Kwa mazoezi, njia fupi ya kupangilia kazi, ambayo pia unaifahamu, inakubalika kabisa:

Suluhisho: kulingana na ufafanuzi wa classical: - uwezekano wa kuchagua bunduki na macho ya macho na bila macho ya macho, kwa mtiririko huo.

Kulingana na hali hiyo, - uwezekano wa kupiga lengo kutoka kwa aina zinazofanana za bunduki.

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:
- uwezekano kwamba mpiga risasi atagonga lengo kwa bunduki iliyochaguliwa kwa nasibu.

Jibu: 0,85

Kazi ifuatayo ni kwako kutatua peke yako:

Tatizo 4

Injini inafanya kazi kwa njia tatu: kawaida, kulazimishwa na idling. Katika hali ya uvivu, uwezekano wa kushindwa kwake ni 0.05, katika hali ya kawaida ya operesheni - 0.1, na katika hali ya kulazimishwa - 0.7. 70% ya wakati injini inafanya kazi katika hali ya kawaida, na 20% katika hali ya kulazimishwa. Je, ni uwezekano gani wa kushindwa kwa injini wakati wa operesheni?

Ikiwezekana, napenda kukukumbusha kwamba kupata maadili ya uwezekano, asilimia lazima igawanywe na 100. Kuwa makini sana! Kwa mujibu wa uchunguzi wangu, mara nyingi watu hujaribu kuchanganya masharti ya matatizo yanayohusisha formula ya uwezekano wa jumla; na nilichagua mfano huu haswa. Nitakuambia siri - karibu nilichanganyikiwa =)

Suluhisho mwishoni mwa somo (limeumbizwa kwa njia fupi)

Shida za kutumia fomula za Bayes

Nyenzo hiyo inahusiana kwa karibu na yaliyomo katika aya iliyotangulia. Acha tukio litokee kama matokeo ya utekelezaji wa moja ya nadharia . Jinsi ya kuamua uwezekano kwamba hypothesis fulani ilitokea?

Kwa kuzingatia hilo tukio hilo tayari imetokea, uwezekano wa nadharia imezidiwa kulingana na fomula zilizopokea jina la kuhani wa Kiingereza Thomas Bayes:

- uwezekano kwamba hypothesis ilifanyika;
- uwezekano kwamba hypothesis ilifanyika;
…
- uwezekano kwamba hypothesis ilifanyika.

Kwa mtazamo wa kwanza inaonekana upuuzi kabisa - kwa nini uhesabu tena uwezekano wa nadharia ikiwa tayari zinajulikana? Lakini kwa kweli kuna tofauti:

Hii a priori(inakadiriwa kwa vipimo) uwezekano.

Hii nyuma(inakadiriwa baada ya vipimo) uwezekano wa dhana zile zile, zilizohesabiwa upya kuhusiana na "hali mpya" - kwa kuzingatia ukweli kwamba tukio hilo. hakika ilitokea.

Wacha tuangalie tofauti hii na mfano maalum:

Tatizo 5

Vikundi 2 vya bidhaa vilifika kwenye ghala: kwanza - vipande 4000, pili - vipande 6000. Asilimia ya wastani ya bidhaa zisizo za kawaida katika kundi la kwanza ni 20%, na kwa pili - 10%. Bidhaa iliyochukuliwa kutoka kwa ghala bila mpangilio iligeuka kuwa ya kawaida. Tafuta uwezekano kwamba ni: a) kutoka kundi la kwanza, b) kutoka kundi la pili.

Sehemu ya kwanza ufumbuzi inajumuisha kutumia fomula ya jumla ya uwezekano. Kwa maneno mengine, mahesabu yanafanywa chini ya dhana kwamba mtihani bado haijazalishwa na tukio "Bidhaa iligeuka kuwa ya kawaida" bado.

Wacha tuzingatie nadharia mbili:
- bidhaa iliyochukuliwa kwa nasibu itakuwa kutoka kwa kundi la 1;
- bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio itakuwa kutoka kwa kundi la 2.

Jumla: 4000 + 6000 = vitu 10000 katika hisa. Kulingana na ufafanuzi wa classical:
.

Udhibiti:

Hebu fikiria tukio la tegemezi: - bidhaa iliyochukuliwa kwa nasibu kutoka kwa ghala itakuwa ya kawaida.

Katika kundi la kwanza 100% - 20% = 80% ya bidhaa za kawaida, kwa hiyo: kutokana na hilo kwamba ni mali ya chama cha kwanza.

Vile vile, katika kundi la pili 100% - 10% = 90% ya bidhaa za kawaida na - uwezekano kwamba bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio kutoka ghala itakuwa ya kawaida kutokana na hilo kwamba ni ya chama cha pili.

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:
- uwezekano kwamba bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio kutoka ghala itakuwa ya kawaida.

Sehemu ya pili. Acha bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio kutoka ghala igeuke kuwa ya kawaida. Kifungu hiki kinasemwa moja kwa moja katika hali, na kinasema ukweli kwamba tukio hilo kilichotokea.

Kulingana na fomula za Bayes:

a) - uwezekano kwamba bidhaa ya kawaida iliyochaguliwa ni ya kundi la 1;

b) - uwezekano kwamba bidhaa ya kawaida iliyochaguliwa ni ya kundi la 2.

Baada ya uthamini hypotheses, bila shaka, bado fomu kundi kamili:
(mtihani;-))

Jibu:

Ivan Vasilyevich, ambaye alibadilisha tena taaluma yake na kuwa mkurugenzi wa mmea, atatusaidia kuelewa maana ya uhakiki wa nadharia. Anajua kwamba leo warsha ya 1 ilisafirisha bidhaa 4,000 kwenye ghala, na warsha ya 2 - bidhaa 6,000, na inakuja kuhakikisha hili. Wacha tuchukue kuwa bidhaa zote ni za aina moja na ziko kwenye chombo kimoja. Kwa kawaida, Ivan Vasilyevich alihesabu hapo awali kuwa bidhaa ambayo angeondoa sasa kwa ukaguzi itawezekana kuzalishwa na semina ya 1 na uwezekano mkubwa wa pili. Lakini baada ya bidhaa iliyochaguliwa kugeuka kuwa ya kawaida, anashangaa: "Ni bolt nzuri sana! "Badala yake ilitolewa na warsha ya 2." Kwa hivyo, uwezekano wa hypothesis ya pili ni overestimated kwa bora, na uwezekano wa hypothesis ya kwanza ni underestimated:. Na uhakiki huu sio msingi - baada ya yote, warsha ya 2 haikuzalisha tu bidhaa zaidi, lakini pia inafanya kazi mara 2 bora!

Safi subjectivism, unasema? Kwa sehemu - ndio, zaidi ya hayo, Bayes mwenyewe alitafsiri nyuma uwezekano kama kiwango cha uaminifu. Walakini, sio kila kitu ni rahisi sana - pia kuna nafaka ya kusudi katika mbinu ya Bayesian. Baada ya yote, uwezekano kwamba bidhaa itakuwa ya kawaida (0.8 na 0.9 kwa warsha ya 1 na 2, mtawalia) Hii awali(a priori) na wastani tathmini. Lakini, tukizungumza kifalsafa, kila kitu kinapita, kila kitu kinabadilika, pamoja na uwezekano. Inawezekana kabisa hivyo wakati wa utafiti warsha ya pili iliyofanikiwa zaidi iliongeza asilimia ya bidhaa za kawaida zinazozalishwa (na/au semina ya kwanza imepunguzwa), na ukiangalia idadi kubwa au bidhaa zote elfu 10 kwenye ghala, basi maadili yaliyokadiriwa zaidi yatakuwa karibu zaidi na ukweli.

Kwa njia, ikiwa Ivan Vasilyevich anatoa sehemu isiyo ya kawaida, basi kinyume chake - atakuwa "mtuhumiwa" zaidi wa semina ya 1 na chini ya pili. Ninapendekeza uangalie hii mwenyewe:

Tatizo 6

Vikundi 2 vya bidhaa vilifika kwenye ghala: kwanza - vipande 4000, pili - vipande 6000. Asilimia ya wastani ya bidhaa zisizo za kawaida katika kundi la kwanza ni 20%, kwa pili - 10%. Bidhaa iliyochukuliwa kutoka kwa ghala bila mpangilio iligeuka kuwa Sivyo kiwango. Tafuta uwezekano kwamba ni: a) kutoka kundi la kwanza, b) kutoka kundi la pili.

Hali hiyo inatofautishwa na herufi mbili, ambazo nimeziangazia kwa herufi nzito. Tatizo linaweza kutatuliwa kutoka mwanzo, au kutumia matokeo ya mahesabu ya awali. Katika sampuli, nilifanya suluhisho kamili, lakini ili kuepuka kuingiliana rasmi na Tatizo namba 5, tukio hilo. "bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio kutoka ghala itakuwa isiyo ya kawaida" imeonyeshwa na.

Mpango wa Bayesian wa kukadiria tena uwezekano unapatikana kila mahali, na pia unatumiwa kikamilifu na aina mbalimbali za walaghai. Hebu fikiria kampuni ya hisa ya pamoja ya barua tatu ambayo imekuwa jina la kaya, ambayo huvutia amana kutoka kwa umma, inadaiwa inawekeza mahali fulani, hulipa gawio mara kwa mara, nk. Nini kinatokea? Siku baada ya siku, mwezi baada ya mwezi hupita, na ukweli zaidi na zaidi, unaowasilishwa kupitia matangazo na maneno ya mdomo, huongeza tu kiwango cha uaminifu katika piramidi ya kifedha. (makadirio ya nyuma ya Bayesian kwa sababu ya matukio ya zamani!). Hiyo ni, kwa macho ya wawekezaji kuna ongezeko la mara kwa mara la uwezekano kwamba "hii ni ofisi nzito"; wakati uwezekano wa hypothesis kinyume ("hawa ni walaghai zaidi"), bila shaka, hupungua na hupungua. Kinachofuata, nadhani, ni wazi. Ni muhimu kukumbuka kuwa sifa iliyopatikana inawapa waandaaji wakati wa kujificha kwa mafanikio kutoka kwa Ivan Vasilyevich, ambaye aliachwa sio tu bila kundi la bolts, lakini pia bila suruali.

Tutarudi kwa mifano ya kupendeza sawa baadaye, lakini kwa sasa hatua inayofuata labda ni kesi ya kawaida na nadharia tatu:

Tatizo 7

Taa za umeme zinatengenezwa katika viwanda vitatu. Kiwanda cha 1 kinazalisha 30% ya jumla ya idadi ya taa, ya 2 - 55%, na ya 3 - iliyobaki. Bidhaa za mmea wa 1 zina 1% ya taa zenye kasoro, 2 - 1.5%, 3 - 2%. Duka hupokea bidhaa kutoka kwa viwanda vyote vitatu. Taa iliyonunuliwa iligeuka kuwa na kasoro. Kuna uwezekano gani kwamba ilitolewa na mmea 2?

Kumbuka kuwa katika shida kwenye fomati za Bayes katika hali hiyo Lazima kuna fulani nini kilitokea tukio, katika kesi hii ununuzi wa taa.

Matukio yameongezeka, na suluhisho Ni rahisi zaidi kuipanga kwa mtindo wa "haraka".

Algorithm ni sawa kabisa: katika hatua ya kwanza tunapata uwezekano kwamba taa iliyonunuliwa itageuka kuwa na kasoro.

Kwa kutumia data ya awali, tunabadilisha asilimia kuwa uwezekano:
- uwezekano kwamba taa ilitolewa na viwanda vya 1, 2 na 3, kwa mtiririko huo.
Udhibiti:

Vile vile: - uwezekano wa kuzalisha taa yenye kasoro kwa viwanda vinavyolingana.

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:

- uwezekano kwamba taa iliyonunuliwa itakuwa na kasoro.

Hatua ya pili. Acha taa iliyonunuliwa igeuke kuwa na kasoro (tukio lilitokea)

Kulingana na formula ya Bayes:
- uwezekano kwamba taa iliyonunuliwa yenye kasoro ilitengenezwa na mmea wa pili

Jibu:

Kwa nini uwezekano wa awali wa nadharia ya 2 uliongezeka baada ya kutathminiwa? Baada ya yote, mmea wa pili hutoa taa za ubora wa wastani (ya kwanza ni bora, ya tatu ni mbaya zaidi). Hivyo kwa nini iliongezeka nyuma Je, inawezekana kwamba taa yenye kasoro inatoka kwenye mmea wa 2? Hii haifafanuliwa tena na "sifa", lakini kwa ukubwa. Kwa kuwa mmea nambari 2 ulizalisha idadi kubwa ya taa (zaidi ya nusu), asili ya kujitegemea ya overestimation ni angalau mantiki. ("uwezekano mkubwa zaidi, taa hii yenye kasoro inatoka huko").

Inafurahisha kutambua kwamba uwezekano wa nadharia ya 1 na ya 3 ilikadiriwa zaidi katika mwelekeo uliotarajiwa na ikawa sawa:

Udhibiti: , ambayo ndiyo ilihitaji kuangaliwa.

Kwa njia, juu ya makadirio yaliyopunguzwa na ya kupita kiasi:

Tatizo 8

Katika kundi la wanafunzi, watu 3 wana kiwango cha juu cha mafunzo, watu 19 wana kiwango cha wastani na watu 3 wana kiwango cha chini. Uwezekano wa kufaulu mtihani kwa wanafunzi hawa kwa mtiririko huo ni sawa na: 0.95; 0.7 na 0.4. Inajulikana kuwa mwanafunzi fulani alifaulu mtihani. Kuna uwezekano gani kwamba:

a) aliandaliwa vizuri sana;
b) ilitayarishwa kwa wastani;
c) haikuandaliwa vizuri.

Fanya mahesabu na uchanganue matokeo ya kutathmini upya nadharia.

Kazi hiyo iko karibu na ukweli na inawezekana hasa kwa kikundi cha wanafunzi wa muda, ambapo mwalimu hana ujuzi wowote wa uwezo wa mwanafunzi fulani. Katika kesi hii, matokeo yanaweza kusababisha matokeo yasiyotarajiwa kabisa. (hasa kwa mitihani katika muhula wa 1). Ikiwa mwanafunzi aliyeandaliwa vibaya ana bahati ya kupata tikiti, basi mwalimu anaweza kumwona kama mwanafunzi mzuri au hata mwanafunzi mwenye nguvu, ambayo italeta gawio nzuri katika siku zijazo. (bila shaka, unahitaji "kuinua bar" na kudumisha picha yako). Ikiwa mwanafunzi alisoma, akasonga, na kurudia kwa siku 7 na usiku 7, lakini hakuwa na bahati tu, basi matukio zaidi yanaweza kuendeleza kwa njia mbaya zaidi - na retakes nyingi na kusawazisha kwenye ukingo wa kuondolewa.

Bila kusema, sifa ni mtaji muhimu zaidi, sio bahati mbaya kwamba mashirika mengi yana majina ya baba zao waanzilishi, ambao waliongoza biashara miaka 100-200 iliyopita na wakawa maarufu kwa sifa zao nzuri.

Ndiyo, mbinu ya Bayesian ni kwa kiasi fulani subjective, lakini ... ndivyo maisha yanavyofanya kazi!

Wacha tuunganishe nyenzo na mfano wa mwisho wa viwanda, ambao nitazungumza juu ya ugumu wa kiufundi ambao haujajulikana hadi sasa:

Tatizo 9

Warsha tatu za mmea huzalisha aina moja ya sehemu, ambazo hutumwa kwenye chombo cha kawaida kwa mkusanyiko. Inajulikana kuwa warsha ya kwanza inazalisha sehemu mara 2 zaidi kuliko warsha ya pili, na mara 4 zaidi ya warsha ya tatu. Katika warsha ya kwanza kiwango cha kasoro ni 12%, kwa pili - 8%, katika tatu - 4%. Kwa udhibiti, sehemu moja inachukuliwa kutoka kwenye chombo. Je, kuna uwezekano gani kwamba itakuwa na kasoro? Je, kuna uwezekano gani kwamba sehemu yenye kasoro iliyotolewa ilitolewa na warsha ya 3?

Ivan Vasilyevich yuko kwenye farasi tena =) Filamu lazima iwe na mwisho wa furaha =)

Suluhisho: tofauti na Matatizo Nambari 5-8, hapa swali linaulizwa kwa uwazi, ambalo linatatuliwa kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano. Lakini kwa upande mwingine, hali ni "iliyosimbwa" kidogo, na ustadi wa shule wa kutunga milinganyo rahisi utatusaidia kutatua fumbo hili. Ni rahisi kuchukua thamani ndogo kama "x":

Hebu iwe sehemu ya sehemu zinazozalishwa na warsha ya tatu.

Kwa mujibu wa hali hiyo, warsha ya kwanza inazalisha mara 4 zaidi ya warsha ya tatu, hivyo sehemu ya warsha ya 1 ni.

Kwa kuongeza, warsha ya kwanza inazalisha bidhaa mara 2 zaidi kuliko warsha ya pili, ambayo ina maana sehemu ya mwisho:.

Wacha tuunda na kutatua equation:

Hivyo: - uwezekano kwamba sehemu iliyoondolewa kwenye chombo ilitolewa na warsha ya 1, ya 2 na ya 3, kwa mtiririko huo.

Udhibiti:. Kwa kuongeza, haitaumiza kutazama kifungu tena "Inajulikana kuwa warsha ya kwanza inazalisha bidhaa mara 2 zaidi ya warsha ya pili na mara 4 zaidi ya warsha ya tatu." na hakikisha kwamba maadili ya uwezekano uliopatikana yanahusiana na hali hii.

Hapo awali, mtu angeweza kuchukua sehemu ya 1 au sehemu ya semina ya 2 kama "X" - uwezekano ungekuwa sawa. Lakini, kwa njia moja au nyingine, sehemu ngumu zaidi imepitishwa, na suluhisho liko kwenye njia:

Kutoka kwa hali tunapata:
- uwezekano wa kutengeneza sehemu yenye kasoro kwa warsha husika.

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:
- uwezekano kwamba sehemu iliyoondolewa kwa nasibu kutoka kwa chombo itageuka kuwa isiyo ya kawaida.

Swali la pili: kuna uwezekano gani kwamba sehemu yenye kasoro iliyotolewa ilitolewa na warsha ya 3? Swali hili linafikiri kuwa sehemu tayari imeondolewa na ikawa na kasoro. Tunatathmini upya nadharia kwa kutumia formula ya Bayes:
- uwezekano unaotaka. Inatarajiwa kabisa - baada ya yote, warsha ya tatu haitoi tu sehemu ndogo ya sehemu, lakini pia inaongoza kwa ubora!

Nadharia fupi

Ikiwa tukio hutokea tu chini ya hali ya tukio la moja ya matukio yanayounda kundi kamili la matukio yasiyolingana, basi ni sawa na jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila moja ya matukio na mkoba wa uwezekano wa masharti unaofanana.

Katika kesi hii, matukio huitwa hypotheses, na uwezekano huitwa priori. Fomula hii inaitwa jumla ya uwezekano wa fomula.

Njia ya Bayes hutumiwa kutatua shida za vitendo wakati tukio linalojitokeza pamoja na tukio lolote linalounda kundi kamili la matukio limetokea na inahitajika kutekeleza ukadiriaji wa kiasi cha uwezekano wa nadharia. Uwezekano wa priori (kabla ya majaribio) unajulikana. Inahitajika kuhesabu uwezekano wa nyuma (baada ya majaribio), i.e. kimsingi unahitaji kupata uwezekano wa masharti. Fomula ya Bayes inaonekana kama hii:

Mfano wa suluhisho la shida

Hali ya kazi 1

Katika kiwanda, mashine 1, 2 na 3 huzalisha 20%, 35% na 45% ya sehemu zote, kwa mtiririko huo. Katika bidhaa zao, kasoro ni 6%, 4%, 2%, kwa mtiririko huo. Je, kuna uwezekano gani kwamba bidhaa iliyochaguliwa kwa nasibu ina kasoro? Je, kuna uwezekano gani kwamba ilitolewa: a) na mashine 1; b) mashine 2; c) mashine 3?

Suluhisho la tatizo 1

Hebu tuonyeshe kwa tukio ambalo bidhaa ya kawaida inageuka kuwa na kasoro.

Tukio linaweza kutokea tu ikiwa moja ya matukio matatu yatatokea:

Bidhaa hiyo ilitolewa kwenye mashine 1;

Bidhaa hiyo inazalishwa kwenye mashine 2;

Bidhaa hiyo inazalishwa kwenye mashine 3;

Wacha tuandike uwezekano wa masharti:

Jumla ya Uwezekano Formula

Ikiwa tukio linaweza kutokea tu ikiwa moja ya matukio ambayo huunda kundi kamili la matukio yasiyolingana hutokea, basi uwezekano wa tukio hilo huhesabiwa kwa fomula.

Kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunapata uwezekano wa tukio:

Fomula ya Bayes

Fomula ya Bayes hukuruhusu "kupanga upya sababu na athari": kutokana na ukweli unaojulikana wa tukio, hesabu uwezekano kwamba ulisababishwa na sababu fulani.

Uwezekano kwamba bidhaa yenye kasoro imetengenezwa kwenye mashine 1:

Uwezekano kwamba bidhaa yenye kasoro ilitengenezwa kwenye mashine 2:

Uwezekano kwamba bidhaa yenye kasoro ilitengenezwa kwenye mashine 3:

Hali ya tatizo 2

Kikundi hiki kinajumuisha mwanafunzi 1 bora, wanafunzi 5 waliofanya vizuri na wanafunzi 14 waliofanya vizuri. Mwanafunzi bora hujibu 5 na 4 kwa uwezekano sawa, mwanafunzi bora hujibu 5, 4, na 3 kwa uwezekano sawa, na mwanafunzi wa wastani hujibu 4,3 na 2 kwa uwezekano sawa. Mwanafunzi aliyechaguliwa bila mpangilio alijibu 4. Je, kuna uwezekano gani kwamba mwanafunzi mwenye ufaulu wa wastani aliitwa?