Düz bir ışın parçasının matematiksel kavramı. Nokta, doğru, düz çizgi, ışın, doğru parçası, kırık çizgi
Bir nokta ve bir doğru, düzlemdeki temel geometrik şekillerdir.
Antik Yunan bilim adamı Euclid şöyle dedi: “nokta”, parçaları olmayan bir şeydir.” "Nokta" kelimesi tercüme edildi Latin dili anlık bir dokunuşun sonucu, bir batma anlamına gelir. Nokta, herhangi bir geometrik şeklin oluşturulmasının temelidir.
Düz bir çizgi veya basitçe düz bir çizgi, iki nokta arasındaki mesafenin en kısa olduğu çizgidir. Düz bir çizgi sonsuzdur ve düz çizginin tamamını tasvir etmek ve ölçmek imkansızdır.
Puanlar büyük harflerle belirtilmiştir Latin harfleriyle A, B, C, D, E, vb. ve düz çizgiler aynı harflerdir ancak küçük a, b, c, d, e vb.dir. Düz bir çizgi, aynı zamanda uzanan noktalara karşılık gelen iki harfle de belirtilebilir. üstünde. Örneğin, a düz çizgisi AB olarak gösterilebilir.
AB noktalarının a doğrusu üzerinde olduğunu veya a doğrusuna ait olduğunu söyleyebiliriz. Ve a düz çizgisinin A ve B noktalarından geçtiğini söyleyebiliriz.
Tek hücreli geometrik şekiller düzlemde bir doğru parçası, bir ışın, kesikli bir çizgidir.
Segment, bu çizginin tüm noktalarından oluşan ve seçilen iki noktayla sınırlı olan bir çizginin parçasıdır. Bu noktalar segmentin uçlarıdır. Bir segment, uçları belirtilerek belirtilir.
Bir ışın veya yarım çizgi, belirli bir noktanın bir tarafında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır. Bu noktaya yarım çizginin başlangıç noktası veya ışının başlangıcı denir. Işının bir başlangıç noktası vardır ama sonu yoktur.
Yarım çizgiler veya ışınlar iki küçük Latin harfiyle gösterilir: ilk harf ve yarım çizgiye ait bir noktaya karşılık gelen diğer harfler. Bu durumda başlangıç noktası ilk sıraya yerleştirilir.
Düz çizginin sonsuz olduğu ortaya çıktı: ne başlangıcı ne de sonu var; bir ışının yalnızca bir başlangıcı vardır, ancak sonu yoktur, ancak bir parçanın bir başlangıcı ve bir sonu vardır. Bu nedenle yalnızca bir segmenti ölçebiliriz.
Ortak bir noktaya sahip olan bölümler (komşu) aynı düz çizgi üzerinde yer almayacak şekilde birbirine sırayla bağlanan birkaç bölüm, kesikli bir çizgiyi temsil eder.
Kırık bir çizgi kapalı veya açık olabilir. Son bölümün sonu ilk bölümün başlangıcına denk geliyorsa kapalı bir kesikli çizgiye sahibiz; değilse açık bir çizgiye sahibiz.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Ders sırasında geometride var olan çeşitli minimal şekilleri içeren düzlem kavramına aşina olacak ve bunların özelliklerini inceleyeceksiniz. Düz bir çizginin, doğru parçasının, ışının, açının vb. ne olduğunu öğrenin.
Tüm geometrik şekilleri bir kağıda kalemle, tahtaya tebeşir veya keçeli kalemle çiziyoruz. Genellikle yaz aylarında asfalta tebeşir veya beyaz çakıl taşıyla figürler çizeriz. Ve her zaman planladığımız şeyi çizmeye başlamadan önce yeterli alanımızın olup olmadığını değerlendiririz. Gelecekteki çizimimizin kesin boyutlarını nadiren bildiğimiz için, her zaman bir kenar boşluğuyla ve tercihen büyük bir kenar boşluğuyla yer kaplamamız gerekir. Genellikle çizilecek alanın çizimin kendisinden kat kat büyük olması durumunda çizim için yer kalmamasından korkmayız. Yani bahçede atlama alanı oluşturmaya yetecek kadar asfalt var. Ortada kesişen iki parça çizmek için bir defter sayfası yeterlidir.
Matematikte her şeyi tasvir ettiğimiz alan bir düzlemdir (Şekil 1).
Pirinç. 1. Düzlem
Onun iki özelliği var:
1. Üzerine daha önce konuştuğumuz veya tekrar bahsedeceğimiz herhangi bir figürü tasvir edebilirsiniz.
2. Kenara ulaşmayacağız. Boyutları resmin boyutlarından çok daha büyük sayılabilir.
Düzlemin kenarına asla ulaşamamamız, kenarların hiç yokluğu olarak anlaşılabilir. Kenarlarına ihtiyacımız yok, bu yüzden onların var olmadığını varsaymayı kabul ettik (Şekil 2).
Pirinç. 2. Düzlem sonsuzdur
Bu anlamda düzlem her yönde sonsuzdur.
Şöyle düşünebiliriz büyük yaprak kağıt, geniş bir düz asfalt alan veya devasa bir çizim tahtası.
Sonsuz sayıda geometrik şekil vardır ve hepsini incelemek kesinlikle imkansızdır. Ancak geometri daha çok bir inşaat setine benzer şekilde yapılandırılmıştır. En karmaşık binalar da dahil olmak üzere diğer her şeyi inşa edebileceğiniz çeşitli temel parça türleri vardır.
Bu prensibi kelimelere ve harflere benzetebiliriz: Bütün harfleri biliyoruz ama bütün kelimeleri bilmiyoruz. Yabancı bir kelimeyle karşılaştığımızda harflerin nasıl yazıldığını ve karşılık gelen seslerin nasıl telaffuz edildiğini bildiğimiz için onu okuyabiliriz.
Matematikte de durum aynı; sizin ve benim iyi bilmemiz gereken çok az temel geometrik şekil var.
Bir segmenti ele alalım (Şekil 3). Bir segment en kısa çizgi, iki noktayı birleştiriyor.
Pirinç. 3. Segment
Parçayı her iki yönde de sonsuza kadar devam ettirelim. Biz de düz devam edeceğiz.
"Düz" ne anlama geliyor? Segmentleri ele alalım ve (Şekil 4).
Pirinç. 4. Segmentler ve
Her iki yönde de onlara devam edelim. Üst çizgi düzdür ancak alt çizgi düz değildir (Şekil 5).
Üst ve alt çizgilere bir nokta daha ekleyelim (Şekil 6). Üst çizginin ve noktaları arasındaki kısmı da bir segmenttir, ancak alt çizginin noktalar ve segment arasındaki kısmı bu noktaları en kısa yol boyunca bağlamadığı için değildir.
Pirinç. 6. Hatların devamı ve
Düz bir çizgi, her iki yönde de süresiz olarak devam eden ve herhangi bir kısmı iki noktayla sınırlı olan bir doğru parçası olan bir çizgidir.
Düz bir çizgi bir çizgi türüdür ve herhangi bir çizgi gibi düz bir çizgi de bir şekildir. Ve herhangi bir satıra gelince, verilen nokta ya belirli bir hatta aittir ya da değildir (Şekil 7).
Pirinç. 7. Bir doğruya ait olan ve olmayan noktalar ve bir doğruya ait olmayan noktalar
1. Düz bir çizgi, düzlemi iki parçaya, iki yarım düzleme böler. Şekil 8'de, ve noktaları aynı yarım düzlemde ve ve - farklı yarım düzlemlerde yer almaktadır.
Pirinç. 8. İki yarım düzlem
2. Her zaman iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçen düz bir çizgi çizebilirsiniz (Şek. 9).
Herhangi bir çizgi gibi düz bir çizgi, Latin alfabesinin bir küçük harfiyle veya üzerinde yer alan bir dizi noktayla işaretlenebilir. Üzerinde bulunan noktalardan bir çizgi belirlemek için iki nokta yeterlidir.
Parçayı her iki yönde de sonsuza kadar uzattığımızda düz bir çizgi elde ettik. Parçayı da yalnızca bir yönde sonsuza kadar uzatırsak, ışın adı verilen bir şekil elde ederiz (Şekil 10). Bu geometrik ışın, ışık ışınına çok benzer, bu yüzden ona böyle denir. Eğer onu alırsan lazer işaretleyici, o zaman ışık ışını işaretçiden başlayacak ve düz bir çizgide sonsuza gidecektir.
Pirinç. 10. ışın
Bu noktaya ışının başlangıcı denir. Işın belirtilir.
Düz bir çizgi üzerinde bir noktayı işaretlerseniz, bu düz çizgiyi iki ışına böler (Şek. 11). Her iki ışın da noktadan kaynaklanır ancak farklı yönlere yönlendirilir. Bu iki ışın düz bir çizgi oluşturur ve onun yarısıdır. Bu nedenle ışına sıklıkla “yarı-direkt” de denir.
Pirinç. 11. Bir nokta, bir çizgiyi iki ışına böler
Şekil 12'yi düşünün.
Pirinç. 12. Doğru parçası, doğru ve ışın
Bir doğru parçasının, bir doğrunun ve bir ışının birbirine ne kadar benzer ve farklı olduğunu bulalım:
Segment ve kiriş kolaylıkla düz bir çizgi halinde tamamlanabilir; bunun için segmentin her iki yönde ve kirişin tek yönde uzatılması gerekir;
Her zaman düz bir çizgi üzerinde bir parça veya ışın seçebilirsiniz;
Nokta, çizgiyi iki ışına, iki yarım çizgiye böler;
Düz bir parçanın noktaları ve limiti;
Tüm bu şekiller: bir doğru parçası, bir ışın, bir düz çizgi “düz çizgilerdir”. Uçların varlığında farklılık gösterirler. Bir doğru parçasında iki tane vardır, bir ışında bir vardır ve düz bir çizgide yoktur. Bunu başka bir şekilde ifade etmek gerekirse şudur: Hem ışın hem de doğru parçası düz bir çizginin parçasıdır;
Bir parçanın uzunluğunun ölçülebileceğini biliyoruz. Hangisinin daha uzun olduğunu bulmak için iki bölüm karşılaştırılabilir;
Düz çizgi her iki yönde de süresiz olarak devam eder, ışın ise bir yönde devam eder. Bu nedenle düz bir çizginin veya kirişin uzunluğunu ölçmek mümkün olmadığı gibi iki düz çizginin veya iki kirişin uzunluğunu karşılaştırmak da imkansızdır. Hepsi eşit derecede sonsuzdur.
Kökenleri aynı noktada olan iki ışın, ana kümeden başka bir geometrik şekil - bir açı - oluşturur. Her iki ışının başlangıcındaki noktaya açının tepe noktası denir. Işınların kendilerine açının kenarları denir.
Yani açı, bir noktadan çıkan iki ışından oluşan bir şekildir (Şekil 13).
Pirinç. 13. Açı
Açı, tepe noktasının tanımına karşılık gelen bir harfle gösterilir. Bu durumda açıya açı denilebilir (Şekil 14). Bir noktadan değil, bir açıdan bahsettiğimizi açıkça belirtmek için, adının önüne "açı" kelimesini yazmanız veya koymanız gerekir. özel işaret açı("").
Pirinç. 14. Açı
Şekil 15'teki gibi tepe noktasından hangi açıdan bahsettiğimizi anlamak zorsa, o zaman açının her iki yanında iki nokta daha kullanın.
Bu şekildeki açıyı basitçe adlandırırsak tam olarak neyden bahsettiğimiz anlaşılmıyor çünkü bir noktadaki tepe noktasıyla birkaç açı görüyoruz. Bu nedenle ihtiyacımız olan açının kenarlarına bir nokta ekleyip açıyı şu şekilde belirteceğiz (Şekil 15).
Pirinç. 15. Açı
Belirlerken şu adrese gidebilirsiniz: ters taraf, ancak köşe noktası yine kaydın ortasında kalacak şekilde.
Diğer bir yaygın isim ise Yunan harfi: alfa, beta, gama vb. (Şekil 16). Bu durumda harf genellikle köşenin içine yazılır (Şek. 17).
Pirinç. 16. Yunan alfabesi
Pirinç. 17. Açının içine yazılan açının adı
Dolayısıyla, Şekil 18'de, , gösterimleri eşdeğerdir ve aynı açıyı belirtir.
Pirinç. 18... - aynı açı
İki düz çizginin bir noktada kesişmesine izin verin (Şek. 19). Nokta, her çizgiyi iki ışına, yani toplamda 4 ışına böler. Her ışın çifti bir açı belirler.
Pirinç. 19. Düz ve 4 kiriş oluşturun
Örneğin, , , .
İki noktadan geçerek her zaman düz bir çizgi çizebilirsiniz. Üç nokta için de durum böyle mi?
Şekil 20'de üç noktadan geçen düz bir çizgi çizebilirsiniz, ancak Şekil 21'de bunu yapamazsınız.
Pirinç. 20. Üç noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz
Pirinç. 21. Üç noktadan geçen düz bir çizgi çizemezsiniz
Şekildeki üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğu söyleniyor. Bu, düz çizginin kendisi çizilmese bile söylenir, sadece çizilebileceğini ima eder. İkinci durumda, noktaların aynı doğru üzerinde yer almadığını söylüyorlar, bu da üç noktadan geçen bir çizgi çizmenin imkansız olduğunu ima ediyor.
Önce 1. ve 2. noktaları, ardından 2. ve 3. noktaları sırayla birleştirirsek ortaya çıkan çizgiye kesikli çizgi denir (Şekil 22). Adı görünümünden kaynaklanmaktadır.
Pirinç. 22. Kırık
Çoklu çizgiye benzer şekilde istediğiniz sayıda noktayı birleştirebilirsiniz. , , , noktalarına kesikli çizginin köşeleri, , , , parçalarına ise kesikli çizginin bağlantıları denir.
Kırık bir çizgi köşeleriyle gösterilir.
Pirinç. 23. Kırık
Son nokta birinciye bağlanırsa, ortaya çıkan kesikli çizgiye kapalı denir (Şekil 24).
Pirinç. 24. Kapalı sürekli çizgi
Minimum sayıda köşe ve bağlantı kümesiyle hangi sürekli çizgi oluşturulabilir? İki nokta varsa, bunlar bir segmentle bağlanabilir. Bu en çok olacak basit örnek kesikli çizgi: iki köşe ve bunları birbirine bağlayan bir bağlantı. Bir segmentin minimal kesikli bir çizgi olduğunu söyleyebiliriz.
Kesikli çizginin kapatılması gerekiyorsa, bu tür en basit kesikli çizgi bir üçgen olacaktır. İki nokta alırsanız, son noktayı ilkiyle ancak zaten var olan aynı segmentle bağlayabilirsiniz. Yani kesik çizgi daha önce olduğu gibi açık kalacaktır. Ve noktalarla aynı düz çizgide yer almayan bir nokta daha eklerseniz, tüm noktaları üç parçayla birleştirirseniz bir üçgen elde edersiniz (Şekil 25).
Pirinç. 25. Üçgen
Üçgen, üç köşesi olan kapalı bir kesik çizgidir. Hatta şöyle: üçgen minimal kapalı kesikli bir çizgidir.
Noktalar ve ve üçgenin köşeleridir. Bunları birbirine bağlayan bölümlere, kesikli çizginin bağlantılarına üçgenin kenarları denir.
Bir üçgen köşeleriyle belirtilir. Örneğin, . Tanımlamadan önce “üçgen” kelimesini koymanız gerekir veya özel karakterüçgen ("").
Üçgen üç açıyı ifade eder. Köşelerin her birinden iki taraf çıkar, yani üçgenin kenarları açıların kenarlarıdır (Şekil 26).
Pirinç. 26. Üçgenin açıları
Böylece, bir üçgenin üç köşesi (üç nokta ve), üç tarafı (üç parça ve) vardır.
Ek derslere girerken nokta, doğru, açı, ışın, doğru parçası, doğru, eğri, kavramlarıyla işlem yapmayı bilmediğimizi fark ettik. kapalı hatçizebiliriz, daha doğrusu çizebiliriz ama tanımlayamayız.
Çocuklar çizgileri, eğrileri ve daireleri tanımalıdır. Bu, çizim ve aplike yaparken grafiklerini ve doğruluk duygusunu geliştirir. Temel geometrik şekillerin neler olduğunu ve ne olduklarını bilmek önemlidir. Kartları çocuğun önüne yerleştirin ve resimdekinin aynısını çizmesini isteyin. Birkaç kez tekrarlayın.
Dersler sırasında bize aşağıdaki materyaller verildi:
Küçük bir peri masalı.
Geometri diyarında bir nokta yaşardı. Küçüktü. Bir defter kağıdına bastığında kurşun kalem kalmıştı ve kimse bunu fark etmemişti. Hatları ziyarete gelene kadar böyle yaşadı. (Tahtada bir çizim var.)
Bakın o çizgiler neydi? (Düz ve kavisli.)
Düz çizgiler gerilmiş iplere benzer, esnemeyen ipler ise çarpık çizgilerdir.
Kaç tane düz çizgi var? (2.)
Kaç eğri? (3.)
Düz çizgi övünmeye başladı: “Ben en uzunum! Ne başlangıcım ne de sonum var! Ben sonsuzum!
Ona bakmak çok ilginç hale geldi. Meselenin kendisi küçük. Dışarı çıktı ve o kadar kendini kaptırmıştı ki düz bir çizgiye nasıl adım attığını fark etmedi. Ve aniden düz çizgi ortadan kayboldu. Onun yerine bir ışın belirdi.
Aynı zamanda çok uzundu ama yine de düz bir çizgi kadar uzun değildi. Bir başlangıç yaptı.
Nokta korktu: “Ben ne yaptım!” Kaçmak istedi ama şans eseri tekrar kirişe bastı.
Ve kirişin yerine bir parça belirdi. Ne kadar büyük olduğuyla övünmüyordu, onun zaten bir başlangıcı ve sonu vardı.
Küçük bir nokta, büyük çizgilerin ömrünü bu şekilde değiştirebildi.
Peki kediyle bizi ziyarete kimin geldiğini kim tahmin etti (düz çizgi, ışın, doğru parçası ve nokta)
Aynen öyle, dersimize kediyle birlikte bir doğru, bir ışın, bir doğru ve bir nokta geldi.
Bu derste ne yapacağımızı kim tahmin etti? (Düz bir çizgiyi, ışını, parçayı tanımayı ve çizmeyi öğrenin.)
Hangi satırları öğrendin? (Bir doğru, ışın, parça hakkında.)
Düz çizgi hakkında ne öğrendiniz? (Başı ve sonu yoktur. Sonsuzdur.)
(İki makara alıyoruz, onları çekiyoruz, düz bir çizgi gösteriyoruz ve önce birini, sonra diğerini çözüyoruz, bu da düz çizginin her iki yönde de sonsuza kadar devam edebileceğini gösteriyor.)
Işın hakkında ne öğrendin? (Başlangıcı var ama sonu yok.) (Öğretmen makası alır, ipliği keser. Artık çizginin yalnızca tek yönde devam edebileceğini gösterir.)
Bölüm hakkında neler öğrendiniz? (Hem başı hem de sonu vardır.) (Öğretmen ipliğin diğer ucunu keser ve ipliğin esnemediğini gösterir. Hem başı hem de sonu vardır.)
Düz bir çizgi nasıl çizilir? (Cetvel boyunca bir çizgi çizin.)
Bir çizgi parçası nasıl çizilir? (İki nokta koyun ve bunları birleştirin.)
Ve elbette kopya defteri:
Bir nokta ve bir doğru, düzlemdeki temel geometrik şekillerdir.
Antik Yunan bilim adamı Euclid şöyle dedi: “nokta”, parçaları olmayan bir şeydir.” Latince'den tercüme edilen "nokta" kelimesi, anlık bir dokunuşun, enjeksiyonun sonucu anlamına gelir. Nokta, herhangi bir geometrik şeklin oluşturulmasının temelidir.
Düz bir çizgi veya basitçe düz bir çizgi, iki nokta arasındaki mesafenin en kısa olduğu çizgidir. Düz bir çizgi sonsuzdur ve düz çizginin tamamını tasvir etmek ve ölçmek imkansızdır.
Noktalar büyük Latin harfleri A, B, C, D, E, vb. ile ve düz çizgiler aynı harflerle ancak küçük harf a, b, c, d, e vb. ile gösterilir. Düz bir çizgi şu şekilde de belirtilebilir: üzerinde yatan noktalara karşılık gelen iki harf. Örneğin, a düz çizgisi AB olarak gösterilebilir.
AB noktalarının a doğrusu üzerinde olduğunu veya a doğrusuna ait olduğunu söyleyebiliriz. Ve a düz çizgisinin A ve B noktalarından geçtiğini söyleyebiliriz.
Düzlemdeki en basit geometrik şekiller bir doğru parçası, bir ışın ve kesikli bir çizgidir.
Segment, bu çizginin tüm noktalarından oluşan ve seçilen iki noktayla sınırlı olan bir çizginin parçasıdır. Bu noktalar segmentin uçlarıdır. Bir segment, uçları belirtilerek belirtilir.
Bir ışın veya yarım çizgi, belirli bir noktanın bir tarafında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır. Bu noktaya yarım çizginin başlangıç noktası veya ışının başlangıcı denir. Işının bir başlangıç noktası vardır ama sonu yoktur.
Yarım çizgiler veya ışınlar iki küçük Latin harfiyle gösterilir: ilk harf ve yarım çizgiye ait bir noktaya karşılık gelen diğer harfler. Bu durumda başlangıç noktası ilk sıraya yerleştirilir.
Düz çizginin sonsuz olduğu ortaya çıktı: ne başlangıcı ne de sonu var; bir ışının yalnızca bir başlangıcı vardır, ancak sonu yoktur, ancak bir parçanın bir başlangıcı ve bir sonu vardır. Bu nedenle yalnızca bir segmenti ölçebiliriz.
Ortak bir noktaya sahip olan bölümler (komşu) aynı düz çizgi üzerinde yer almayacak şekilde birbirine sırayla bağlanan birkaç bölüm, kesikli bir çizgiyi temsil eder.
Kırık bir çizgi kapalı veya açık olabilir. Son bölümün sonu ilk bölümün başlangıcına denk geliyorsa kapalı bir kesikli çizgiye sahibiz; değilse açık bir çizgiye sahibiz.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
