Benzer üçgen nedir? Üçgenlerin benzerlik ve eşitlik işaretleri. Benzer üçgenlerin özellikleri
Teorem 1. Üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti. Bir üçgenin iki açısı sırasıyla diğerinin iki açısına eşitse, bu tür üçgenler benzerdir.
Kanıt. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenleri $\angle A = \angle A_1 olsun; \angle B = \angle B_1$ ve dolayısıyla $\angle C = \angle C_1$ . $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ olduğunu kanıtlayalım (Şekil 1).
BA üzerinde B noktasından $A_1B_1$ segmentine eşit $BA_2$ segmentini çizelim ve $A_2$ noktasından AC doğrusuna paralel bir çizgi çizelim. Bu düz çizgi BC ile $C_2$ noktasında kesişecek. $A_1B_1C_1\text( ve )A_2BC_2$ üçgenleri eşittir: Yapı itibariyle $A_1B_1 = A_2B$, koşula göre $\angle B = \angle B_1$ ve $\angle A_1 = \angle A_2$, çünkü $\angle A_1 = \ koşula göre A$ açısı ve karşılık gelen açılar olarak $\angle A = \angle A_2$. Benzer üçgenler hakkında Lemma 1'e göre elimizde: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ ve dolayısıyla $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ var. Teorem kanıtlandı.
Teorem 2 ve 3 benzer bir şema kullanılarak oluşturulmuştur.
Teorem 2. Üçgenlerin benzerliğinin ikinci işareti. Bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla sırasıyla orantılıysa ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
Teorem 3. Üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti. Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarıyla orantılıysa bu üçgenler benzerdir.
Aşağıdakiler Teorem 1'den gelmektedir.
Sonuç 1. Benzer üçgenlerde, benzer kenarlar benzer yüksekliklerle, yani benzer kenarlara indirilen yüksekliklerle orantılıdır.
Örnek 1.İki eşkenar üçgen benzer midir?
Çözüm. Eşkenar üçgen olduğundan her biri iç köşe 60°'ye eşitse (Sonuç 3), bu durumda iki eşkenar üçgen birinci kritere göre benzerdir.
Örnek 2. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenlerinde $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m $ Üçgenlerin bilinmeyen kenarlarını bulun.
Çözüm. Problemin durumuna göre tanımlanan üçgenler, benzerliğin ilk işaretine göre benzerdir. Üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Eşitlikte yerine koyma (1) problem koşullarından elde ettiğimiz veriler: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Eşitlik (2 )'den iki oran yapalım $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( buradan itibaren )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$
Örnek 3. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenlerinin B ve $B_1$ açıları eşittir. ABC üçgeninin AB ve BC kenarları, $A_1B_1C_1$ üçgeninin $A_1B_1$ ve $B_1C_1$ kenarlarından 2,5 kat daha büyüktür. Toplamları 4,2 m ise AC ve $A_1C_1$'ı bulun.
Çözüm. Şekil 2'nin problemin koşullarını sağlamasına izin verin.
Sorun ifadesinden: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ Dolayısıyla $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Bu üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar: $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , veya )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ AC = 2,5 A 1 C 1 olduğundan, AC + A 1 C 1 = 2,5 A 1 C1 + A 1 C1 = 4,2, dolayısıyla A 1 C1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).
Örnek 4. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ise benzer midir? ?
Çözüm. Elimizde: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Dolayısıyla üçüncü kritere göre üçgenler benzerdir .
Örnek 5. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini ve bu noktada her kenarortayı tepe noktasından itibaren 2:1 oranında böldüğünü kanıtlayın.
Çözüm. Rasgele bir ABC üçgeni düşünün. Ortancalarının $AA_1\text( ve )BB_1$ kesişim noktasını O harfiyle gösterelim ve bu üçgenin orta çizgisini $A_1B_1$ çizelim (Şekil 3).
$A_1B_1$ doğru parçası AB kenarına paraleldir, dolayısıyla $\angle 1 = \angle2 \text( ve ) \angle 3 = \angle 4 $. Sonuç olarak, AOB ve $A_1OB_1$ üçgenleri iki açıdan benzerdir ve bu nedenle kenarları orantılıdır: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $ $
Ancak $AB = 2A_1B_1$ , yani $AO = 2A_1O$ ve $BO = 2B_1O$ .
Benzer şekilde, $BB_1\text( ve )CC_1) ortancalarının kesişme noktasının, tepe noktasından itibaren sayılarak her birini 2:1 oranında böldüğü ve dolayısıyla O noktasıyla çakıştığı kanıtlanmıştır.
Yani, ABC üçgeninin üç medyanı da O noktasında kesişir ve onu tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böler.
Yorum. Daha önce bir üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiği ve üçgenin kenarlarına dik açıortayların bir noktada kesiştiği belirtilmişti. Son ifadeye dayanarak üçgenin yüksekliklerinin (veya uzantılarının) bir noktada kesiştiği tespit edilmiştir. Bu üç noktaya ve kenarortayların kesiştiği noktaya üçgenin dikkat çekici noktaları denir.
Örnek 6. Projektör, 240 cm uzaklıkta bulunan 90 cm yüksekliğindeki A ekranını tam olarak aydınlatıyor. Projektör ayarları aynı kalırsa, 150 cm yüksekliğindeki B ekranı tamamen aydınlatılacak şekilde projektörden cm cinsinden minimum mesafe ne olmalıdır? değişmedi.
Videolu çözüm.
Üçgen, düzlemdeki en basit kapalı şekildir. Bir okul geometri dersini incelerken, onun özelliklerinin dikkate alınmasına özel önem verilir. Bu yazıda üçgenlerin benzerlik ve eşitlik işaretleri konusunu inceleyeceğiz.
Hangi üçgenlere benzer, hangilerine eşit denir?
Söz konusu iki şeklin açılarının ve kenar uzunluklarının aynı olması durumunda birbirine eşit olacağını varsaymak mantıklıdır. Benzerliğe gelince, işler biraz daha karmaşık. Birinin her açısı diğerinin karşılık gelen açısına eşit olduğunda ve her iki şeklin eşit açılarının karşısındaki kenarlar orantılı olduğunda iki üçgen benzer olacaktır. Aşağıda iki benzer üçgeni gösteren bir resim bulunmaktadır.
Bu rakamı kullanarak yukarıdaki tanımı matematiksel eşitlikler şeklinde yazıyoruz: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, işte bir tane Latin harfi açı anlamına gelir ve iki harf de kenarın uzunluğu anlamına gelir. r değerine benzerlik katsayısı denir. Eğer r = 1 ise sadece benzer değil aynı zamanda eşit üçgenlerin de var olduğu açıktır.
Benzerlik belirtileri
Üçgenlerin özellikleri ve eşitliğinden bahsetmişken, söz konusu şekillerin benzer olup olmadığının belirlenebilmesi için üç ana kriteri sıralamalıyız.
Dolayısıyla, aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa iki rakam birbirine benzer olacaktır:
- İki açısı eşittir. Bir üçgenin açılarının toplamı 180° olduğuna göre ilk ikisinin eşitliği otomatik olarak üçüncünün de eşit olacağı anlamına gelir. Yukarıdaki şekil kullanılarak bu özellik şu şekilde yazılabilir: Eğer B = G ve A = E ise ABC ve GEF benzerdir. Bu durumda her iki şekil de en az bir tarafta eşitse, üçgenlerin tam eşdeğerliğinden bahsedebiliriz.
- İki taraf orantılıdır ve aralarındaki açılar eşittir. Örneğin, BA/GE = AC/EF ve A = E ise GEF ve ABC benzer olacaktır. A ve E açılarının karşılık gelen orantılı kenarlar arasında yer aldığına dikkat edin.
- Her üç taraf da karşılıklı olarak orantılıdır. Matematik diliyle ifade edersek şunu elde ederiz: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, o zaman söz konusu rakamlar da benzerdir.
Benzerliği kanıtlamak için sunulan özelliklerden herhangi birinin sağlanmasının yeterli olduğunu bir kez daha belirtelim. Diğer her şeyin aynı şekilde yürütülmesi mantıklıdır.
Dik üçgenler: ne zaman benzerler ve ne zaman eşitler?
Dik üçgenlerin eşitlik ve benzerlik işaretlerinden bahsetmişken, her birinin zaten eşit (90 o) bir açıya sahip olduğu hemen belirtilmelidir.
Son gerçek yukarıda özetlenen benzerlik kriterlerinin aşağıdaki formülasyonuna yol açar:
- İki dik üçgende yalnızca bir açı eşitse, ki bu doğru değildir, o zaman bu şekiller birbirine benzerdir.
- Bacaklar birbiriyle orantılıysa bacaklar arasındaki açı doğru olduğundan rakamlar da benzer olacaktır.
- Son olarak, herhangi iki dik üçgenin herhangi iki tarafının orantılılığı, benzerliklerini kanıtlamak için yeterlidir. Bunun nedeni, bu şekillerin kenarlarının Pisagor teoremi ile birbiriyle ilişkili olması, dolayısıyla bunlardan 2'sinin orantılı olması, üçüncü taraflar için de benzer benzerlik katsayısıyla orantılılığa yol açmasıdır.
Dik açılı üçgenlerin eşitliğine gelince, şunu hatırlamak kolaydır: Her iki şeklin herhangi iki elemanı (dik açı sayılmaz) eşitse, o zaman şekillerin kendileri de eşittir. Örneğin, bu iki öğe bir dar açı ve bir bacak, bir bacak ve bir hipotenüs veya bir hipotenüs ve bir dar açı olabilir.
Benzer üçgenlerin özellikleri
Mülkiyet üçgenlerinin dikkate alınan benzerlik ve eşitlik işaretlerinden aşağıdakiler ayırt edilebilir:
- Bu şekillerin çevreleri birbirleriyle bir benzerlik katsayısı olarak ilişkilidir, yani P 1 / P 2 = r, burada P 1 ve P 2 sırasıyla 1. ve 2. üçgenlerin çevreleridir.
- Benzer şekillerin alanları benzerlik katsayısının karesi ile ilişkilidir, yani: S 1 / S 2 = r 2, burada S 1 ve S 2 sırasıyla 1. ve 2. üçgenlerin alanlarıdır.
Bu özelliklerin her ikisi de bağımsız olarak kanıtlanabilir. İspatın özü, şekillerin kenarları arasındaki benzerlik için matematiksel gösterimin kullanılmasına dayanır. Burada sadece 1. özelliğin kanıtını veriyoruz.
Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c ve ikincisinin kenarları a", b", c" olsun. Rakamlar benzer olduğundan şunu yazabiliriz: a = r * a", b = r * b", c = r * c". Şimdi bu ifadeleri çevrelerine göre değiştirirsek şunu elde ederiz: P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c ") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.
Sorun çözümü örneği
Üçgenlerin benzerlik ve eşitlik işaretleri çeşitli geometrik problemleri çözmek için kullanılabilir. Aşağıda bir örnek bulunmaktadır.
İki üçgen var. Birinin kenarları 7,6 cm, 4,18 cm ve 6,65 cm, diğerinin kenarları ise 3,5 cm, 2,2 cm ve 4 cm'dir. Bu şekillerin benzer olup olmadığını belirlemek gerekir.
Üç tarafın değerleri verildiği için 3. benzerlik kriterini hemen kontrol edebiliriz. Buradaki zorluk, hangi tarafları dikkate almanız gerektiğini anlamanız gerektiğidir. Burada basit mantıksal akıl yürütmeyi kullanmalısınız: Bir üçgenin en küçük kenarını diğerine benzer bir kenarla bölerseniz benzerlik katsayıları eşit olabilir, vb. Dolayısıyla elimizde: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Tüm kenarların oranını kontrol ettikten sonra, 3. kriter karşılandığı için üçgenlerin benzer olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Üçgenlerin benzerliği Birinin açıları diğerinin açılarına eşit ve karşılık gelen kenarları orantılı ise iki üçgene benzer denir. Orantılılık katsayısına benzerlik katsayısı denir. Dolayısıyla, ABC üçgeni A = A 1, B = B 1, C = C 1 ise ve k benzerlik katsayısı ise A 1 B 1 C 1 üçgenine benzer.
Benzerliğin ilk işareti Teoremi. (Benzerliğin ilk işareti.) Bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir. Kanıt. ABC üçgeni ve A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1 olsun. O zaman C= C 1 olsun. Bunu kanıtlayalım. A 1 B 1 ışınının üzerine AB'ye eşit A 1 B " segmentini yerleştirelim ve B 1 C 1'e paralel bir B "C" düz çizgisi çizelim. A 1 B "C" ve ABC üçgenleri eşittir ( Üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre) Orantılı bölümler teoremine göre eşitlik sağlanır. Dolayısıyla eşitliğin sağlandığı kanıtlanmıştır.
Soru 1 Hangi üçgenlere benzer denir? Cevap: Birinin açıları diğerinin açılarına eşit ve karşılık gelen kenarları orantılı ise iki üçgene benzer denir.
Soru 2 Üçgenleri formüle edin. benzerliğin ilk işareti Cevap: Bir üçgenin iki açısı başka bir üçgenin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir.
Soru 3 Benzer olan herhangi ikisi var mı: a) eşkenar üçgenler; b) ikizkenar üçgenler; c) ikizkenar dik üçgenler? Cevap: a) Evet; b) hayır; evet.
Alıştırma 4 Verilen ABC üçgenine benzer, benzerlik katsayısı 0,5 olan bir A’B’C’ üçgeni çizin.
Alıştırma 5 Üçgenin kenarları 5 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Benzerlik katsayısı: a) 0,5 ise benzer bir üçgenin kenarlarını bulun. b) 2. Cevap: a) 2,5 cm, 4 cm ve 5 cm; b) 10 cm, 16 cm ve 20 cm.
Alıştırma 6 Birinin açısı 40°, diğerinin açısı 50° olan dik üçgenler benzer midir? Cevap: Evet.
Alıştırma 7 İki üçgen benzerdir. Bir üçgenin iki açısı 55° ve 80°'ye eşittir. İkinci üçgenin en küçük açısını bulun. Cevap: 45 o.
Alıştırma 8 Benzer üçgenlerde ABC ve A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm AC ve B 1 C 1'i bulun Cevap: AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.
Alıştırma 9 Üçgenler ABC ve A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m Gerisini bulun. üçgenlerin kenarları. Cevap: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.
Alıştırma 10 Bir üçgenin kenarlarının oranı 5: 3: 7'dir. Benzer bir üçgenin kenarlarını bulun: a) çevresi 45 cm; b) kısa kenar 5 cm'dir; c) büyük taraf 7 cm'dir; d) Büyük ve küçük kenarlar arasındaki fark 2 cm'dir. Cevap: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.
Alıştırma 11 Şekilde tüm benzer üçgenleri belirtin. Cevap: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC ve FGC; ADC ve FEC; DBC ve EGC.
Alıştırma 12 İki ikizkenar üçgenin kenarları arasında eşit açılar vardır. Bir üçgenin kenarı ve tabanı sırasıyla 17 cm ve 10 cm, diğerinin tabanı 8 cm'dir. Cevap: 13,6 cm.
Alıştırma 13 Kenarı a ve yüksekliği h olan bir üçgenin içine, köşelerinden ikisi üçgenin bu tarafında, diğer ikisi üçgenin diğer iki tarafında olacak şekilde bir kare yazılmıştır. Meydanın kenarını bulun. Cevap: .
Alıştırma 14 ABC üçgenine bir eşkenar dörtgen ADEF yazılmıştır, böylece A açısı ortaktır ve E köşesi BC tarafındadır. AB = c ve AC = b ise eşkenar dörtgenin kenarını bulun. Cevap: .
Alıştırma 15 Benzer bir üçgeni kesmek için bir üçgeni tabana paralel olmayan düz bir çizgiyle kesmek mümkün müdür? Bu hangi durumda imkansızdır? Cevap: Evet, eğer üçgen eşkenar değilse.
Alıştırma 16 AC ve BD, E noktasında kesişen bir çemberin kirişleri olsun. ABE ve CDE üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın. İspat: ABE üçgeninin A açısı açıya eşit CDE üçgeninin D'si, bir dairenin bir yayına dayalı yazılı açılar olarak. Benzer şekilde B açısı da C açısına eşittir. Dolayısıyla ABE ve CDE üçgenleri birinci açıdan benzerdir.
Alıştırma 17 Şekilde AE = 3, BE = 6, CE = 2. DE'yi bulun. Cevap: 4.
Alıştırma 18 Şekilde AB = 8, BE = 6, DE = 4. CD'yi bulun. Cevap: .
Alıştırma 19 Şekilde CE = 2, DE = 5, AE = 4. BE'yi bulun. Cevap: 10.
Alıştırma 20 Şekilde CE = 4, CD = 10, AE = 6. AB'yi bulun. Cevap: 15.
Alıştırma 21 Şekilde DL, bir daire içine yazılan DEF üçgeninin ortaortayıdır. DL, üçgenin E ve F köşelerine parçalarla bağlanan daireyi K noktasında keser. Benzer üçgenleri bulun. Cevap: DEK ve DLF, DEK ve ELK, DLF ve ELK, DFK ve DLE, DFK ve FLK, DLE ve FLK.
Alıştırma 22 Dar bir ABC üçgeni bir dairenin içine yazılmıştır; AH onun yüksekliğidir, AD BC kenarını M noktasında kesen dairenin çapıdır. D noktası üçgenin B ve C köşelerine bağlanır. Benzer üçgenleri bulun. Cevap: ABH ve ADC, ACH ve ADB, ABM ve CDM, BMD ve AMC.
Alıştırma 23 Bir dairenin iç noktasından çizilen herhangi bir kirişin parçalarının çarpımının, aynı noktadan çizilen çapı olan parçaların çarpımına eşit olduğunu kanıtlayın. Çözüm. Merkezi O noktasında olan, AB kirişi ve CD çapı E noktasında kesişen bir çember verilsin. ACE ve DBE üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayalım. Bu nedenle şu anlama gelir:
Alıştırma 24 Çemberin dış E noktasından geçen ve çemberi sırasıyla A, C ve B, D noktalarında kesen iki düz çizgi çiziliyor. ADE ve BCE üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın. Kanıt: ADE üçgeninin D açısı, BCE üçgeninin C açısına eşittir, tıpkı bir dairenin aynı yayının gördüğü yazılı açılar gibi. Bu üçgenlerin E açısı ortaktır. Dolayısıyla ADE ve BCE üçgenleri birinci açıdan benzerdir.
Alıştırma 25 Çemberin dış E noktasından geçen ve çemberi sırasıyla A, C ve B, D noktalarında kesen iki düz çizgi çiziliyor. AE·CE = BE·DE olduğunu kanıtlayın. İspat: ADE ve BCE üçgenleri benzerdir. Yani AE: DE = BE: CE. Bu nedenle AE·CE = BE·DE.
Alıştırma 26 Şekilde AE = 9, BE = 8, CE = 24. DE'yi bulun. Cevap: 27.
Alıştırma 27 Çemberin dış E noktasından geçen, çemberi A ve B noktalarında kesen düz bir çizgi ve bir EC teğeti (C teğet noktasıdır) çizilir. EAC ve ECB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın. Kanıt. EAC ve ECB üçgenleri E açısını paylaşır. ACE ve CBE açıları, aynı kirişin oluşturduğu açılar gibi eşittir. Bu nedenle EAC ve ECB üçgenleri benzerdir.
Alıştırma 28 Çemberin dış E noktasından geçen, çemberi A ve B noktalarında kesen düz bir çizgi ve bir EC teğeti (C teğet noktasıdır) çizilir. AE ve BE kesen parçalarının çarpımının CE teğet parçasının karesine eşit olduğunu kanıtlayın. Kanıt. EAC ve ECB üçgenleri benzerdir. Bu nedenle AE: CE = CE: BE, yani AE·BE = CE 2 anlamına gelir.
Alıştırma 30 ABC üçgeninde AA 1 ve BB 1 yükseklikleri çiziliyor. A 1 AC ve B 1 BC üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın. Kanıt. A 1 AC ve B 1 BC üçgenleri dik üçgenlerdir ve ortak açıları C'dir. Bu nedenle iki açıları benzerdir.
Alıştırma 31 Bir dik üçgende dikmenin yukarıdan aşağıya düştüğünü kanıtlayın dik açı Hipotenüse doğru bacakların hipotenüse izdüşümlerinin geometrik bir ortalaması vardır. (İki pozitif sayı a ve b'nin geometrik ortalaması, karesi ab'ye eşit olan pozitif bir c sayısıdır, yani c =). Çözüm: ADC ve CDB üçgenleri benzerdir. Bu nedenle, ya CD 2 = AD BD, yani CD, AD ve BD'nin geometrik ortalamasıdır.
Alıştırma 32 ABC üçgeninde H noktası yüksekliklerin kesişme noktasıdır, O noktası çevrel çemberin merkezidir. CH doğru parçasının uzunluğunun O noktasından AB çizgisine olan uzaklığın iki katı olduğunu kanıtlayın. Çözüm: ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarının orta noktaları B 1, C 1 olsun. HBC ve OB 1 C 1 üçgenleri benzerdir, BC = 2 B 1 C 1. Dolayısıyla CH = 2 OC 1.
Genel olarak iki üçgen, farklı boyutlarda olsalar, döndürülmüş olsalar ve hatta baş aşağı olsalar bile aynı şekle sahiplerse benzer kabul edilirler.
Şekilde gösterilen iki benzer A 1 B 1 C 1 ve A 2 B 2 C 2 üçgeninin matematiksel gösterimi şu şekilde yazılmıştır:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Aşağıdaki durumlarda iki üçgen benzerdir:
1. Bir üçgenin her açısı, başka bir üçgenin karşılık gelen açısına eşittir:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Ve ∠C 1 = ∠C 2
2. Bir üçgenin kenarlarının başka bir üçgenin karşılık gelen kenarlarına oranları birbirine eşittir:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. İlişkiler iki taraf bir üçgenin başka bir üçgenin karşılık gelen kenarları birbirine eşittir ve aynı zamanda
bu kenarlar arasındaki açılar eşittir:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ve $\angle A_1 = \angle A_2$
veya
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ve $\angle B_1 = \angle B_2$
veya
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ve $\angle C_1 = \angle C_2$
Benzer üçgenleri eşit üçgenlerle karıştırmayın. Eşit üçgenlerin karşılık gelen kenar uzunlukları eşittir. Bu nedenle eş üçgenler için:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Buradan tüm eşit üçgenlerin benzer olduğu sonucu çıkar. Ancak benzer üçgenlerin tümü eşit değildir.
Yukarıdaki gösterim, iki üçgenin benzer olup olmadığını bulmak için üç açının değerlerini veya her üçgenin üç kenarının uzunluklarını bilmemiz gerektiğini gösterse de, benzer üçgenlerle ilgili problemleri çözmek için bilmek yeterlidir. her üçgen için yukarıda belirtilen değerlerden herhangi üçü. Bu miktarlar çeşitli kombinasyonlarda olabilir:
1) her üçgenin üç açısı (üçgenlerin kenarlarının uzunluklarını bilmenize gerek yoktur).
Veya bir üçgenin en az 2 açısı diğer üçgenin 2 açısına eşit olmalıdır.
Çünkü 2 açı eşitse üçüncü açı da eşit olacaktır (Üçüncü açının değeri 180 - açı1 - açı2'dir).
2) her üçgenin kenarlarının uzunlukları (açıları bilmenize gerek yoktur);
3) iki tarafın uzunlukları ve aralarındaki açı.
Daha sonra benzer üçgenlerle ilgili bazı problemleri çözmeye bakacağız. Öncelikle yukarıdaki kuralları kullanarak doğrudan çözülebilecek problemlere bakacağız, ardından benzer üçgen yöntemini kullanarak çözülebilecek bazı pratik problemleri tartışacağız.
Benzer üçgenlerle ilgili problem alıştırmaları
Örnek 1:
Aşağıdaki şekildeki iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz. 
Çözüm:
Her iki üçgenin de kenar uzunlukları bilindiğinden burada ikinci kural uygulanabilir:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Örnek #2:
Verilen iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve kenar uzunluklarını belirleyiniz. Güç kalitesi Ve halkla ilişkiler.
Çözüm:
∠A = ∠P Ve ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(∠C = 180 - ∠A - ∠B ve ∠R = 180 - ∠P - ∠Q olduğundan)
Bundan ΔABC ve ΔPQR üçgenlerinin benzer olduğu sonucu çıkar. Buradan:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ve
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$
Örnek #3:
Uzunluğu belirleyin AB bu üçgende. 
Çözüm:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ve ∠A genel => üçgenler ΔABC Ve ADADE benzerdir.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
Örnek #4:
Uzunluğu belirle AD (x) geometrik şekil görüntü üzerinde. 
ΔABC ve ΔCDE üçgenleri benzerdir çünkü AB || DE ve ortak bir üst köşeleri C var.
Bir üçgenin diğerinin ölçekli versiyonu olduğunu görüyoruz. Ancak bunu matematiksel olarak kanıtlamamız gerekiyor.
AB || DE, CD || AC ve BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ve ∠ABC = ∠DEC
Yukarıdakilere dayanarak ve ortak bir açının varlığını dikkate alarak CΔABC ve ΔCDE üçgenlerinin benzer olduğunu iddia edebiliriz.
Buradan:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Pratik örnekler
Örnek #5:
Fabrika, ürünleri şekilde gösterildiği gibi seviye 1'den 3 metre daha yüksek olan seviye 1'den seviye 2'ye taşımak için eğimli bir taşıma bandı kullanıyor. Eğimli konveyörün bir ucundan seviye 1'e, diğer ucundan ise seviye 1 çalışma noktasına 8 metre uzaklıkta bulunan bir işyerine servis yapılır. 
Fabrika, konveyörün eğim açısını korurken, 1. seviyenin 9 metre üzerindeki yeni seviyeye erişmek için konveyörü yükseltmek istiyor.
Konveyörün seviye 2'deki yeni ucunda çalışmasını sağlamak için yeni bir çalışma noktasının kurulması gereken mesafeyi belirleyin. Ayrıca hesaplayın ekstra mesafeÜrünün yeni bir seviyeye geçerken geçeceği süreç.
Çözüm:
Öncelikle şekilde gösterildiği gibi her kesişim noktasını belirli bir harfle etiketleyelim.
Yukarıda önceki örneklerde verilen mantığa dayanarak, ΔABC ve ΔADE üçgenlerinin benzer olduğu sonucuna varabiliriz. Buradan,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Bu nedenle yeni noktanın mevcut noktadan 16 metre uzağa kurulması gerekmektedir.
Yapı dik üçgenlerden oluştuğu için ürünün hareket mesafesini şu şekilde hesaplayabiliriz:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Benzer şekilde, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
bu, ürünün mevcut seviyeye ulaştığında halihazırda kat ettiği mesafedir.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
bu, ürünün yeni bir seviyeye ulaşmak için kat etmesi gereken ek mesafedir.
Örnek #6:
Steve yakın zamanda taşınan arkadaşını ziyaret etmek istiyor yeni ev. Şekilde Steve ve arkadaşının evine giden yol haritası ve Steve'in bildiği mesafeler gösterilmektedir. Steve'in mümkün olan en kısa yoldan arkadaşının evine ulaşmasına yardım edin. 
Çözüm:
Bir yol haritası geometrik olarak temsil edilebilir. aşağıdaki form, resimde gösterildiği gibi. 
ΔABC ve ΔCDE üçgenlerinin benzer olduğunu görüyoruz, dolayısıyla:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Sorun bildiriminde şunlar belirtiliyor:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ve DE = 5 km
Bu bilgiyi kullanarak aşağıdaki mesafeleri hesaplayabiliriz:
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$
Steve aşağıdaki yolları kullanarak arkadaşının evine ulaşabilir:
A -> B -> C -> E -> G, toplam mesafe 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, toplam mesafe 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, toplam mesafe 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, toplam mesafe 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Bu nedenle 3 numaralı rota en kısa olanıdır ve Steve'e sunulabilir.
Örnek 7:
Trisha evin yüksekliğini ölçmek istiyor ama ölçüm yapamıyor doğru araçlar. Evin önünde büyüyen bir ağaç olduğunu fark etti ve okulda edindiği beceri ve geometri bilgisini binanın yüksekliğini belirlemek için kullanmaya karar verdi. Ağaçtan eve olan mesafeyi ölçtü ve sonuç 30 metre oldu. Daha sonra ağacın önünde durdu ve ağacın üzerinden binanın üst kenarı görünene kadar geriye doğru hareket etmeye başladı. Trisha burayı işaretledi ve oradan ağaca olan mesafeyi ölçtü. Bu mesafe 5 m idi.
Ağacın yüksekliği 2,8 m ve Trisha'nın göz hizasının yüksekliği 1,6 m'dir. Trisha'nın binanın yüksekliğini belirlemesine yardımcı olun. 
Çözüm:
Problemin geometrik temsili şekilde gösterilmiştir. 
İlk önce ΔABC ve ΔADE üçgenlerinin benzerliğini kullanıyoruz.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \time AC$
$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$
Daha sonra ΔACB ve ΔAFG veya ΔADE ve ΔAFG üçgenlerinin benzerliğini kullanabiliriz. İlk seçeneği seçelim.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6) )(0,16) = 10 m$
1.2. Benzer üçgenlerin tanımı. Tanım. İki üçgenin açıları sırasıyla eşitse ve bir üçgenin kenarları diğer üçgenin benzer kenarlarıyla orantılıysa benzer üçgenler denir. Başka bir deyişle iki üçgen, A= A1, B= B1, C= C1 olacak şekilde ABC ve A1B1C1 harfleriyle gösterilebiliyorsa benzerdir. Üçgenlerin benzer kenarlarının oranına eşit olan k sayısına denir. benzerlik katsayısı.
Slayt 9 sunumdan “Benzer üçgenler” 8.sınıf. Sunumlu arşivin boyutu 1756 KB'dir.Geometri 8. sınıf
özet diğer sunumlar""Kare" 8. sınıf" - Sözlü görevler. Kare. Kare tabanlı çanta. Zengin tüccar. Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Bir karenin alanı. Bir karenin çevresi. Bir karenin işaretleri. Bir karenin alanı üzerinde sözlü çalışma ödevleri. Bir karenin özellikleri. Resimde kaç kare gösteriliyor? Siyah kare. Meydanın çevresinde sözlü çalışma görevleri. Meydan aramızda.
“Koordinatlarda skaler çarpım” - Vektörlerin skaler çarpımının özellikleri. Matematik testi. Sonuçlar. Kartları değiştirin. Yeni materyal. Napolyon'un teoremi. Vektör. Koordinatlarda nokta çarpımı ve özellikleri. Pisagor teoreminin kanıtı. Üçgen çözümü. Geometri. Matematiksel ısınma. Sorunu çözelim. Teoremin yazarının adı.
“Sınırlandırılmış ve yazılı dairelerin formülleri” - Ders kitabıyla çalışmak. Yamuk. Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı. Yazılı bir dörtgenin açıları. Üçgenin köşeleri. Çemberin merkezi. Doğru ifadeyi seçin. Cümleyi bitir. Üçgen. Yazılı ve çevrelenmiş daireler. Sınırlandırılmış dairenin merkezi. Daire. Kesişim noktası. Zıt açıların toplamı. Sözlü çalışma. Yükseklik.
“Geometri “Benzer Üçgenler” - Üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti. Orantılı bölümler. Problem çözme. Üçgenin iki tarafı üçüncüye paralel olmayan bir parçayla birbirine bağlanır. Bir üçgenin kenarları. Sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri. Üçgenin orta çizgisi. 30°, 45°, 60° açılar için sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri. Matematiksel dikte. Temel trigonometrik özdeşlik. Yanların devamı. Üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti.
“Dikdörtgenin alanı” 8. sınıf - Dörtgenin alanını bulun. Alanların özellikleri. AB kenarına bir paralelkenar çiziliyor. ABCD ve DСМK karelerdir. Dörtgen ASKM'nin alanı. Dikdörtgenlerin her birinin kenarları. Bir dikdörtgenin alanı. Alan ölçüm birimleri. Üçgenin alanını bulun. Bir çokgen birden fazla çokgenden oluşur. Altıgenin alanını bulun. Karenin alanını bulun. Birimler. ABCD bir paralelkenardır.
“Vektör kavramı” - Sıfır vektör. Bir vektörün belirli bir noktadan geciktirilmesi. İkizkenar yamuk. Vektör nedir? Doğrusal vektörler. İki sıfır olmayan vektörler. Sıfır olmayan iki vektör doğrusaldır. Çizim üzerinde işaretleyin. Tarihsel referans. Vektörlerin yönü. Geometrik vektör kavramı. Görev. Paralelkenar. Vektörler. Vektör uzunluğu. Vektörlerin eşitliği.
