Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun. Kesişen çizgiler arasındaki açı: tanım, bulma örnekleri
Bu materyal kesişen iki çizgi arasındaki açı gibi bir kavrama ayrılmıştır. İlk paragrafta ne olduğunu açıklayıp resimlerle göstereceğiz. Daha sonra bu açının sinüsünü, kosinüsünü ve açının kendisini bulmanın yollarına bakacağız (düzlem ve üç boyutlu uzaya sahip durumları ayrı ayrı ele alacağız), gerekli formülleri vereceğiz ve tam olarak örneklerle göstereceğiz pratikte nasıl kullanıldıkları.
Yandex.RTB R-A-339285-1
İki doğru kesiştiğinde oluşan açının ne olduğunu anlamak için açının, dikliğin ve kesişme noktasının tanımını hatırlamamız gerekir.
Tanım 1
Eğer ortak bir noktaları varsa kesişen iki doğruya denir. Bu noktaya iki doğrunun kesişme noktası denir.
Her düz çizgi bir kesişme noktasıyla ışınlara bölünür. Her iki düz çizgi de ikisi dikey ve ikisi bitişik olmak üzere 4 açı oluşturur. Birinin ölçüsünü bilirsek diğerlerinin ölçüsünü de bulabiliriz.
Diyelim ki açılardan birinin α'ya eşit olduğunu biliyoruz. Bu durumda ona dik olan açı da α'ya eşit olacaktır. Kalan açıları bulmak için 180 ° - α farkını hesaplamamız gerekir. Eğer α 90 dereceye eşitse tüm açılar dik açı olacaktır. Dik açılarda kesişen çizgilere dik denir (diklik kavramına ayrı bir makale ayrılmıştır).
Resme bir göz atın:
Ana tanımı formüle etmeye devam edelim.
Tanım 2
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açı, bu iki doğruyu oluşturan 4 açıdan küçük olanın ölçüsüdür.
Tanımdan önemli bir sonuç çıkarılmalıdır: bu durumda açının boyutu (0, 90) aralığındaki herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilecektir. Çizgiler dikse, aralarındaki açı her durumda olacaktır. 90 dereceye eşittir.
Kesişen iki çizgi arasındaki açının ölçüsünü bulma yeteneği birçok pratik problemin çözümünde faydalıdır. Çözüm yöntemi çeşitli seçenekler arasından seçilebilir.
Başlangıç olarak geometrik yöntemleri alabiliriz. Tümler açılar hakkında bir şeyler biliyorsak, eşit veya benzer şekillerin özelliklerini kullanarak bunları ihtiyacımız olan açıyla ilişkilendirebiliriz. Örneğin bir üçgenin kenarlarını biliyorsak ve bu kenarların bulunduğu çizgiler arasındaki açıyı hesaplamamız gerekiyorsa, kosinüs teoremi bunu çözmek için uygundur. Bizim durumumuzda bir dik üçgen varsa, o zaman hesaplamalar için açının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını da bilmemiz gerekir.
Koordinat yöntemi de bu tür problemlerin çözümü için çok uygundur. Nasıl doğru kullanılacağını açıklayalım.
İki düz çizginin verildiği dikdörtgen (Kartezyen) bir O x y koordinat sistemimiz var. Bunları a ve b harfleriyle gösterelim. Düz çizgiler bazı denklemler kullanılarak tanımlanabilir. Orijinal çizgilerin bir M kesişme noktası vardır. Bu düz çizgiler arasında gerekli açı (bunu α olarak gösterelim) nasıl belirlenir?
Verilen koşullar altında bir açı bulmanın temel ilkesini formüle ederek başlayalım.
Düz çizgi kavramının yön vektörü ve normal vektör gibi kavramlarla yakından ilişkili olduğunu biliyoruz. Belirli bir doğrunun denklemi varsa, bu vektörlerin koordinatlarını ondan alabiliriz. Bunu kesişen iki doğru için aynı anda yapabiliriz.
Kesişen iki çizginin oluşturduğu açı şu şekilde bulunabilir:
- yön vektörleri arasındaki açı;
- normal vektörler arasındaki açı;
- bir doğrunun normal vektörü ile diğerinin yön vektörü arasındaki açı.
Şimdi her yönteme ayrı ayrı bakalım.
1. a → = (a x, a y) yön vektörüne sahip bir a doğrumuz ve b → (b x, b y) yön vektörüne sahip bir b doğrumuz olduğunu varsayalım. Şimdi kesişim noktasından iki a → ve b → vektörünü çizelim. Bundan sonra her birinin kendi düz çizgisi üzerinde konumlanacağını göreceğiz. O zaman onlar için dört seçeneğimiz var göreceli konum. Resme bakınız:
İki vektör arasındaki açı geniş değilse, kesişen a ve b çizgileri arasında ihtiyacımız olan açı olacaktır. Geniş ise, istenen açı a →, b → ^ açısına bitişik açıya eşit olacaktır. Böylece, α = a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ve α = 180 ° - a → , b → ^ if a → , b → ^ > 90 ° .
Kosinüslerin olduğu gerçeğine dayanarak eşit açılar eşitse, elde edilen eşitlikleri şu şekilde yeniden yazabiliriz: cos α = cos a → , b → ^ , if a → , b → ^ ≤ 90 °; çünkü α = çünkü 180 ° - a →, b → ^ = - çünkü a →, b → ^, eğer a →, b → ^ > 90 °.
İkinci durumda indirgeme formülleri kullanıldı. Böylece,
çünkü α çünkü a → , b → ^ , çünkü a → , b → ^ ≥ 0 - çünkü a → , b → ^ , çünkü a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Son formülü kelimelerle yazalım:
Tanım 3
Kesişen iki düz çizginin oluşturduğu açının kosinüsü, yön vektörleri arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşit olacaktır.
İki vektör a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) arasındaki açının kosinüsüne ilişkin formülün genel formu şöyle görünür:
çünkü a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Bundan, verilen iki düz çizgi arasındaki açının kosinüsü formülünü türetebiliriz:
çünkü α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Daha sonra açının kendisi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
α = a r c çünkü a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Burada a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) verilen doğruların yön vektörleridir.
Sorunun çözümüne bir örnek verelim.
örnek 1
Düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen iki a ve b doğrusu verilmiştir. Bunlar x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ve x 5 = y - 6 - 3 parametrik denklemleriyle açıklanabilir. Bu çizgiler arasındaki açıyı hesaplayın.
Çözüm
Koşulumuzda parametrik bir denklemimiz var, bu da bu doğru için yön vektörünün koordinatlarını hemen yazabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için parametrenin katsayılarının değerlerini almamız gerekir, yani. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R düz çizgisi a → = (4, 1) yön vektörüne sahip olacaktır.
İkinci düz çizgi, x 5 = y - 6 - 3 kanonik denklemi kullanılarak tanımlanır. Burada paydalardan koordinatları alabiliriz. Dolayısıyla bu doğrunun b → = (5 , - 3) yön vektörü vardır.
Daha sonra doğrudan açıyı bulmaya geçiyoruz. Bunu yapmak için, iki vektörün mevcut koordinatlarını yukarıdaki formülde değiştirin: α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Aşağıdakileri alıyoruz:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Cevap: Bu düz çizgiler 45 derecelik bir açı oluşturur.
Benzer bir problemi normal vektörler arasındaki açıyı bularak çözebiliriz. Normal vektörü n a → = (n a x, n a y) olan bir a doğrumuz ve normal vektörü n b → = (n b x, n b y) olan bir b çizgimiz varsa, aralarındaki açı n a → ile arasındaki açıya eşit olacaktır. n b → veya n a →, n b → ^'ye komşu olacak açı. Bu yöntem resimde gösterilmektedir:
Kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü ve normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak bu açının kendisini hesaplamaya yönelik formüller şöyle görünür:
cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n y + n b y n a x 2 + n a y 2 n n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n x 2 + n
Burada n a → ve n b → verilen iki doğrunun normal vektörlerini göstermektedir.
Örnek 2
Dikdörtgen koordinat sisteminde 3 x + 5 y - 30 = 0 ve x + 4 y - 17 = 0 denklemleri kullanılarak iki düz çizgi verilmektedir. Aralarındaki açının sinüsünü ve kosinüsünü ve bu açının büyüklüğünü bulun.
Çözüm
Orijinal satırlar kullanılarak belirtilir. normal denklemler A x + B y + C = 0 formundaki düz çizgi. Normal vektörü n → = (A, B) olarak gösteririz. Bir doğru için ilk normal vektörün koordinatlarını bulup yazalım: n a → = (3, 5) . İkinci satır x + 4 y - 17 = 0 için normal vektörün koordinatları n b → = (1, 4) olacaktır. Şimdi elde ettiğimiz değerleri formüle ekleyelim ve toplamı hesaplayalım:
çünkü α = çünkü n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Bir açının kosinüsünü biliyorsak, temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sinüsünü hesaplayabiliriz. Düz çizgilerin oluşturduğu α açısı geniş olmadığından sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Bu durumda, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Cevap: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Son durumu analiz edelim; eğer bir düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını ve diğerinin normal vektörünü biliyorsak, düz çizgiler arasındaki açıyı buluruz.
a düz çizgisinin a → = (a x , a y) yön vektörüne sahip olduğunu ve b düz çizgisinin n b → = (n b x , n b y) normal vektörüne sahip olduğunu varsayalım. Bu vektörleri kesişim noktasından bir kenara bırakıp, göreceli konumları için tüm seçenekleri değerlendirmemiz gerekiyor. Resimde bakın:
Verilen vektörler arasındaki açı 90 dereceden fazla değilse a ve b arasındaki açıyı dik açıya tamamlayacağı ortaya çıkar.
a → , n b → ^ = 90 ° - α eğer a → , n b → ^ ≤ 90 ° ise.
90 dereceden azsa aşağıdakileri elde ederiz:
a → , n b → ^ > 90 ° , sonra a → , n b → ^ = 90 ° + α
Eşit açılı kosinüslerin eşitliği kuralını kullanarak şunu yazıyoruz:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α için a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
çünkü a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α için a → , n b → ^ > 90 °.
Böylece,
sin α = çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Bir sonuç çıkaralım.
Tanım 4
Bir düzlemde kesişen iki doğru arasındaki açının sinüsünü bulmak için, birinci doğrunun yön vektörü ile ikincinin normal vektörü arasındaki açının kosinüsünün modülünü hesaplamanız gerekir.
Gerekli formülleri yazalım. Bir açının sinüsünü bulma:
sin α = çünkü a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Açının kendisini bulma:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Burada a → birinci doğrunun yön vektörüdür ve n b → ikinci doğrunun normal vektörüdür.
Örnek 3
x - 5 = y - 6 3 ve x + 4 y - 17 = 0 denklemleriyle kesişen iki doğru verilmiştir. Kesişme açısını bulun.
Çözüm
Verilen denklemlerden kılavuzun ve normal vektörün koordinatlarını alıyoruz. a → = (- 5, 3) ve n → b = (1, 4) ortaya çıkıyor. α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 formülünü alıyoruz ve hesaplıyoruz:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Lütfen önceki problemdeki denklemleri aldığımızı ve tamamen aynı sonucu elde ettiğimizi ancak farklı bir şekilde elde ettiğimizi unutmayın.
Cevap:α = a r c sin 7 2 34
Verilen doğruların açı katsayılarını kullanarak istenilen açıyı bulmanın başka bir yolunu sunalım.
Elimizde y = k 1 x + b 1 denklemi kullanılarak dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan bir a doğrusu ve y = k 2 x + b 2 olarak tanımlanan bir b doğrusu var. Bunlar eğimli doğruların denklemleridir. Kesişme açısını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, burada k 1 ve k 2 verilen doğruların eğimleridir. Bu kaydı elde etmek için normal vektörlerin koordinatları üzerinden açıyı belirleyen formüller kullanıldı.
Örnek 4
y = - 3 5 x + 6 ve y = - 1 4 x + 17 4 denklemleriyle verilen, bir düzlemde kesişen iki doğru vardır. Kesişme açısının değerini hesaplayın.
Çözüm
Çizgilerimizin açısal katsayıları k 1 = - 3 5 ve k 2 = - 1 4'e eşittir. Bunları α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 formülüne ekleyelim ve hesaplayalım:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Cevap:α = a r c cos 23 2 34
Bu paragrafın sonuç kısmında, burada verilen açıyı bulma formüllerinin ezberlenmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. Bunun için verilen doğruların kılavuzlarının ve/veya normal vektörlerinin koordinatlarını bilmek ve bunları tespit edebilmek yeterlidir. farklı şekiller denklemler. Ancak bir açının kosinüsünü hesaplamak için formülleri hatırlamak veya yazmak daha iyidir.
Uzayda kesişen çizgiler arasındaki açı nasıl hesaplanır
Böyle bir açının hesaplanması, yön vektörlerinin koordinatlarının hesaplanmasına ve bu vektörlerin oluşturduğu açının büyüklüğünün belirlenmesine indirgenebilir. Bu tür örnekler için daha önce verdiğimiz mantığın aynısı kullanılıyor.
Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemimiz olduğunu varsayalım. Kesişme noktası M olan iki düz çizgi a ve b içerir. Yön vektörlerinin koordinatlarını hesaplamak için bu doğruların denklemlerini bilmemiz gerekir. a → = (a x , a y , a z) ve b → = (b x , b y , b z) yön vektörlerini gösterelim. Aralarındaki açının kosinüsünü hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:
çünkü α = çünkü a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Açının kendisini bulmak için şu formüle ihtiyacımız var:
α = a r c çünkü a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Örnek 5
Üç boyutlu uzayda x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 denklemini kullanarak tanımlanmış bir doğrumuz var. O z ekseni ile kesiştiği bilinmektedir. Kesim açısını ve bu açının kosinüsünü hesaplayın.
Çözüm
Hesaplanması gereken açıyı α harfiyle gösterelim. İlk düz çizgi için yön vektörünün koordinatlarını yazalım – a → = (1, - 3, - 2) . Uygulanan eksen için k → = (0, 0, 1) koordinat vektörünü kılavuz olarak alabiliriz. Gerekli verileri aldık ve bunları istenen formüle ekleyebiliriz:
çünkü α = çünkü a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Sonuç olarak ihtiyacımız olan açının a r c cos 1 2 = 45 °'ye eşit olacağını bulduk.
Cevap:çünkü α = 1 2 , α = 45° .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
UÇAKLAR ARASI AÇI
Sırasıyla denklemlerle tanımlanan iki α 1 ve α 2 düzlemini düşünün:
Altında açı iki düzlem arasında bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini anlayacağız. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu açıktır veya 
. Bu yüzden 
. Çünkü 
Ve 
, O
.
Örnek. Düzlemler arasındaki açıyı belirleyin X+2sen-3z+4=0 ve 2 X+3sen+z+8=0.
İki düzlemin paralellik koşulu.
İki α 1 ve α 2 düzlemi ancak ve ancak normal vektörleri paralelse paraleldir ve bu nedenle 
.
Dolayısıyla, iki düzlem ancak ve ancak karşılık gelen koordinatların katsayıları orantılıysa birbirine paraleldir:
veya
Düzlemlerin diklik durumu.
İki düzlemin dik olduğu ancak ve ancak normal vektörlerinin dik olması durumunda açıktır ve bu nedenle veya .
Böylece, .
Örnekler.
DÜZ UZAYDA.
BİR DOĞRU İÇİN VEKTÖR DENKLEMİ.
PARAMETRİK DİREKT DENKLEMLER
Bir çizginin uzaydaki konumu tamamen sabit noktalarından herhangi birinin belirtilmesiyle belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.
Bir doğruya paralel olan vektöre denir kılavuzlar bu çizginin vektörü.
Öyleyse düz çizgiye izin ver ben bir noktadan geçer M 1 (X 1 , sen 1 , z 1), vektöre paralel bir çizgi üzerinde uzanıyor.
Rastgele bir noktayı düşünün M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden açıkça görülüyor ki 
.
Vektörler ve doğrusaldır, dolayısıyla böyle bir sayı vardır Tçarpan nerede T noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgide. Faktör T parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirledikten sonra M 1 ve M sırasıyla ve yoluyla elde ederiz. Bu denklem denir vektör bir doğrunun denklemi. Her parametre değeri için şunu gösterir: T bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M, düz bir çizgi üzerinde uzanmak.
Bu denklemi koordinat formunda yazalım. Dikkat edin, 
ve buradan
Ortaya çıkan denklemlere denir parametrik Doğrunun denklemleri.
Bir parametreyi değiştirirken T koordinat değişimi X, sen Ve z ve dönem M düz bir çizgide hareket eder.
DOĞRUDAN KANONİK DENKLEMLER
İzin vermek M 1 (X 1 , sen 1 , z 1) – düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, Ve 
onun yön vektörüdür. Yine doğru üzerinde keyfi bir nokta alalım M(x,y,z) ve vektörü düşünün.
Vektörlerin aynı zamanda doğrusal olduğu açıktır, bu nedenle karşılık gelen koordinatları orantılı olmalıdır, bu nedenle,
– kanonik Doğrunun denklemleri.
Not 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik olanlardan elde edilebileceğini unutmayın. T. Aslında elde ettiğimiz parametrik denklemlerden 
veya .
Örnek. Doğrunun denklemini yazın 
parametrik formda.
Haydi belirtelim 
, buradan X = 2 + 3T, sen = –1 + 2T, z = 1 –T.
Not 2. Düz çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin Öküz. O zaman doğrunun yön vektörü diktir Öküz, buradan, M=0. Sonuç olarak, doğrunun parametrik denklemleri şu şekli alacaktır:
Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T, formdaki çizginin denklemlerini elde ederiz
Ancak bu durumda da çizginin kanonik denklemlerini resmi olarak şu şekilde yazmayı kabul ediyoruz: 
. Dolayısıyla kesirlerden birinin paydası sıfırsa bu, düz çizginin karşılık gelen koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.
Kanonik denklemlere benzer 
eksenlere dik bir düz çizgiye karşılık gelir Öküz Ve Oy veya eksene paralel Oz.
Örnekler.
İKİ DÜZLEMİN KESİŞTİĞİ DOĞRULAR OLARAK DÜZ BİR DOĞRUNUN GENEL DENKLEMLERİ
Uzaydaki her düz çizgide sayısız uçak vardır. Bunlardan herhangi ikisi kesişerek onu uzayda tanımlar. Sonuç olarak, böyle herhangi iki düzlemin denklemleri birlikte ele alındığında bu doğrunun denklemlerini temsil eder.
Genel olarak, genel denklemlerle verilen paralel olmayan herhangi iki düzlem
kesişimlerinin düz çizgisini belirleyin. Bu denklemlere denir genel denklemler dümdüz.
Örnekler.
Denklemlerin verdiği bir doğruyu oluşturun 
Düz bir çizgi çizmek için onun herhangi iki noktasını bulmak yeterlidir. En kolay yol, düz bir çizginin koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin düzlemle kesişme noktası xOy varsayarsak, düz çizgi denklemlerinden elde ederiz z= 0:
Bu sistemi çözdükten sonra noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).
Benzer şekilde, varsayarsak sen= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını buluruz xOz:
Düz bir çizginin genel denklemlerinden kanonik veya parametrik denklemlere geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmanız gerekir M 1 düz bir çizgi üzerinde ve bir düz çizginin yön vektörü.
Nokta koordinatları M 1 koordinatlarından birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğini unutmayın. 
Ve 
. Bu nedenle düz çizginin yön vektörünün ötesinde ben normal vektörlerin vektör çarpımını alabilirsiniz:
.
Örnek. Yol göstermek genel denklemler dümdüz 
kanonik forma.
Bir doğrunun üzerinde bulunan bir nokta bulalım. Bunu yapmak için keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, sen= 0 ve denklem sistemini çözün:
Doğruyu tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır 
Bu nedenle yön vektörü düz olacaktır
. Buradan, ben: 
.
DÜZLER ARASINDAKİ AÇI
Açı uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birine diyeceğiz.
Uzayda iki satır verilsin:
Açıkçası, düz çizgiler arasındaki φ açısı, bunların yön vektörleri ile φ arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
A. İki düz çizgi verilsin. Bu düz çizgiler, Bölüm 1'de belirtildiği gibi, dar veya geniş olabilen çeşitli pozitif ve negatif açılar oluşturur. Bu açılardan birini bildiğimiz için diğerini kolaylıkla bulabiliriz.
Bu arada tüm bu açılar için teğetin sayısal değeri aynı, fark sadece işarette olabilir
Doğru denklemleri. Sayılar birinci ve ikinci düz çizgilerin yön vektörlerinin izdüşümleridir. Bu vektörler arasındaki açı, düz çizgilerin oluşturduğu açılardan birine eşittir. Bu nedenle sorun, vektörler arasındaki açının belirlenmesinde ortaya çıkıyor.
Basitlik açısından, iki düz çizgi arasındaki açının dar bir pozitif açı olduğu konusunda hemfikir olabiliriz (örneğin, Şekil 53'te olduğu gibi).
O zaman bu açının tanjantı her zaman pozitif olacaktır. Bu nedenle, formül (1)'in sağ tarafında bir eksi işareti varsa, o zaman onu atmalıyız, yani yalnızca mutlak değeri kaydetmeliyiz.
Örnek. Düz çizgiler arasındaki açıyı belirleyin
Formül (1)'e göre elimizde
İle. Açının hangi tarafının başlangıcı, hangisinin sonu olduğu belirtilirse, o zaman açının yönünü her zaman saat yönünün tersine sayarak formül (1)'den daha fazlasını çıkarabiliriz. Şekil 2'den kolayca görülebileceği gibi. Şekil 53'te, formül (1)'in sağ tarafında elde edilen işaret, ikinci düz çizginin birinciyle ne tür bir açı - dar veya geniş - oluştuğunu gösterecektir.
(Aslında Şekil 53'te birinci ve ikinci yön vektörleri arasındaki açının ya düz çizgiler arasında istenen açıya eşit olduğunu ya da bundan ±180° farklı olduğunu görüyoruz.)
D. Doğrular paralelse, yön vektörleri de paraleldir, iki vektörün paralellik koşulunu uygulayarak şunu elde ederiz:
Bu iki doğrunun paralelliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur.
Örnek. Doğrudan
paralel çünkü
e. Doğrular dik ise yön vektörleri de diktir. İki vektörün diklik koşulunu uygulayarak iki düz çizginin diklik koşulunu elde ederiz:
Örnek. Doğrudan
gerçeğinden dolayı diktirler
Paralellik ve diklik koşullarıyla bağlantılı olarak aşağıdaki iki problemi çözeceğiz.
F. Verilen çizgiye paralel bir noktadan geçen bir çizgi çizin
Çözüm bu şekilde gerçekleştirilir. İstenilen çizgi buna paralel olduğundan, yön vektörü olarak verilen çizgininkiyle aynı olanı alabiliriz, yani A ve B projeksiyonlarına sahip bir vektör. Ve sonra istenen çizginin denklemi şu şekilde yazılacaktır: form (§ 1)
Örnek. Doğruya paralel (1; 3) noktasından geçen bir çizginin denklemi
Sırada olacak!
G. Verilen çizgiye dik bir noktadan geçen bir çizgi çizin
Burada artık A çıkıntılı vektörü kılavuz vektör olarak almak uygun değildir, ancak vektörü ona dik olarak almak gerekir. Dolayısıyla bu vektörün izdüşümleri her iki vektörün diklik durumuna göre, yani şu koşula göre seçilmelidir:
Bu koşul sayısız yolla yerine getirilebilir, çünkü burada iki bilinmeyenli bir denklem vardır. Ancak en kolay yol, veya şeklinde almaktır. İstenilen doğrunun denklemi formda yazılacaktır.
Örnek. Dik bir doğru üzerinde (-7; 2) noktasından geçen bir doğrunun denklemi
aşağıdakiler olacak (ikinci formüle göre)!
H. Çizgilerin formun denklemleri ile verilmesi durumunda
Tanım.İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:
k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir. k 1 = -1/ k 2 ise iki doğru birbirine diktir.
Teorem. Ax + Bу + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 çizgileri, A 1 = λA, B 1 = λB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca C 1 = λC ise çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.
İçinden geçen bir çizginin denklemi bu nokta
Belirli bir çizgiye dik
Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:
Noktadan çizgiye mesafe
Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Bу + C = 0 çizgisine olan uzaklık şu şekilde belirlenir:
.
Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:
(1)
X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi ise içinden geçen çizginin denklemidir. verilen nokta M 0 verilen bir düz çizgiye diktir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra çözersek şunu elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:
Teorem kanıtlandı.
Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.
Çözüm. Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.
Örnek. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.
Çözüm. AB tarafının denklemini buluyoruz: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b. k = . O halde y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar: 
buradan itibaren b = 17. Toplam: . 
Cevap: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen bir çizginin denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki düz çizgi arasındaki açı. İki düz çizginin paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi
1. Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi A(X 1 , sen 1) eğim tarafından belirlenen belirli bir yönde k,
sen - sen 1 = k(X - X 1). (1)
Bu denklem bir noktadan geçen çizgilerden oluşan kalemi tanımlar A(X 1 , sen 1), buna ışın merkezi denir.
2. İki noktadan geçen doğrunun denklemi: A(X 1 , sen 1) ve B(X 2 , sen 2), şu şekilde yazılır:
Verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin açısal katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
3. Düz çizgiler arasındaki açı A Ve B ilk düz çizginin döndürülmesi gereken açıdır A bu çizgilerin kesişme noktası etrafında, ikinci çizgiye denk gelene kadar saat yönünün tersine B. Eğimli denklemlerle iki düz çizgi veriliyorsa
sen = k 1 X + B 1 ,
sen = k 2 X + B 2 , (4)
daha sonra aralarındaki açı formülle belirlenir
Kesir payında birinci satırın eğiminin ikinci satırın eğiminden çıkarıldığı unutulmamalıdır.
Bir doğrunun denklemleri verilirse Genel görünüm
A 1 X + B 1 sen + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 sen + C 2 = 0, (6)
aralarındaki açı formülle belirlenir
4. İki çizginin paralelliği için koşullar:
a) Doğrular açısal katsayılı denklem (4) ile verilmişse, paralelliklerinin gerekli ve yeterli koşulu açısal katsayılarının eşitliğidir:
k 1 = k 2 . (8)
b) Doğruların genel form (6)'daki denklemlerle verildiği durumda, bunların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul, denklemlerindeki karşılık gelen akım koordinatlarının katsayılarının orantılı olmasıdır;
5. İki çizginin dikliği için koşullar:
a) Doğruların açısal katsayılı denklem (4) ile verilmesi durumunda, bunların dikliği için gerekli ve yeterli koşul, açısal katsayılarının büyüklük olarak ters ve işaret olarak zıt olmasıdır;
Bu koşul şu şekilde de yazılabilir:
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Doğruların denklemleri genel formda (6) verilmişse, dikliklerinin (gerekli ve yeterli) koşulu eşitliği sağlamaktır.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları denklem sistemi (6) çözülerek bulunur. Doğrular (6) ancak ve ancak şu durumlarda kesişir:
1. Verilen l doğrusuna biri paralel, diğeri dik olan M noktasından geçen doğruların denklemlerini yazınız.
Uzayda düz çizgiler verilsin ben Ve M. Uzayın bir A noktasından geçen düz çizgiler çiziyoruz ben 1 || ben Ve M 1 || M(Şekil 138).
A noktasının özellikle keyfi olarak seçilebileceğini, bu çizgilerden birinin üzerinde bulunabileceğini unutmayın. Düz ise ben Ve M kesişiyorsa, bu çizgilerin kesişme noktası olarak A alınabilir ( ben 1 = ben Ve M 1 = m).
Paralel olmayan çizgiler arasındaki açı ben Ve M kesişen doğruların oluşturduğu komşu açıların en küçüğünün değeridir ben 1 Ve M 1 (ben 1 || ben, M 1 || M). Paralel çizgiler arasındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.
Düz çizgiler arasındaki açı ben Ve M\(\widehat((l;m))\) ile gösterilir. Tanımdan, eğer derece olarak ölçülürse 0° olduğu anlaşılmaktadır. < \(\widehat((l;m)) \) < 90° ve radyan cinsinden ise 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpü verilmiştir (Şekil 139).
AB ve DC 1 düz çizgileri arasındaki açıyı bulun.
AB ve DC 1 düz çizgileri kesişiyor. DC düz çizgisi AB düz çizgisine paralel olduğundan, AB düz çizgileri ile DC 1 arasındaki açı, tanıma göre, \(\widehat(C_(1)DC)\)'ye eşittir.
Bu nedenle, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Doğrudan ben Ve M arandı dik, eğer \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Örneğin bir küpte
Düz çizgiler arasındaki açının hesaplanması.
Uzayda iki düz çizgi arasındaki açının hesaplanması problemi düzlemde olduğu gibi çözülür. Çizgiler arasındaki açının büyüklüğünü φ ile gösterelim. ben 1 Ve ben 2 ve ψ'ya kadar - yön vektörleri arasındaki açının büyüklüğü A Ve B bu düz çizgiler.
O zaman eğer
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Şekil 206.6), sonra φ = 180° - ψ. Açıkçası, her iki durumda da cos φ = |cos ψ| eşitliği doğrudur. Formüle göre (arasındaki açının kosinüsü) sıfır olmayan vektörler a ve b, bu vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına bölünmesine eşittir) elimizdeki
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
buradan,
$$ çünkü\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Düz çizgiler kendileri tarafından verilsin kanonik denklemler
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Ve \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Daha sonra çizgiler arasındaki φ açısı formül kullanılarak belirlenir.
$$ çünkü\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Çizgilerden biri (veya her ikisi) kanonik olmayan denklemlerle verilmişse, açıyı hesaplamak için bu çizgilerin yön vektörlerinin koordinatlarını bulmanız ve ardından formül (1)'i kullanmanız gerekir.
Görev 1.Çizgiler arasındaki açıyı hesaplayın
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ve\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Düz çizgilerin yön vektörlerinin koordinatları vardır:
a = (-√2 ; √2 ; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).
Formül (1)'i kullanarak şunu buluruz:
$$ çünkü\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Dolayısıyla bu çizgiler arasındaki açı 60°'dir.
Görev 2.Çizgiler arasındaki açıyı hesaplayın
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(case) ve \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(durum) $$
Kılavuz vektörünün arkasında A İlk satırda normal vektörlerin vektör çarpımını alıyoruz N 1 = (3; 0; -12) ve N 2 = (1; 1; -3) bu doğruyu tanımlayan düzlemler. \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Benzer şekilde ikinci düz çizginin yön vektörünü de buluruz:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Ancak formül (1)'i kullanarak istenen açının kosinüsünü hesaplıyoruz:
$$ çünkü\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
Dolayısıyla bu çizgiler arasındaki açı 90°'dir.
Görev 3. MABC üçgen piramidinde MA, MB ve MC kenarları karşılıklı olarak diktir (Şekil 207);
uzunlukları sırasıyla 4, 3, 6'dır. D noktası ortadır [MA]. CA ve DB doğruları arasındaki φ açısını bulun.
CA ve DB, CA ve DB düz çizgilerinin yön vektörleri olsun.
Koordinatların başlangıç noktası olarak M noktasını alalım. Denklemin koşuluna göre A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) elde ederiz. Bu nedenle \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Formül (1)'i kullanalım:
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
Kosinüs tablosunu kullanarak CA ve DB düz çizgileri arasındaki açının yaklaşık 72° olduğunu buluyoruz.
