Boyuna ve enine deformasyonlar Hooke yasası. Boyuna ve enine deformasyonlar. Poisson oranı. Hooke Yasası Boyuna Gerilme için Hooke Yasası
R. Hooke ve S. Poisson yasaları
Şekil 2'de gösterilen çubuğun deformasyonlarını ele alalım. 2.2.
Pirinç. 2.2 Boyuna ve enine deformasyonlar gerildiğinde
Çubuğun mutlak uzamasını ifade edelim. Uzatıldığında bu pozitif bir değerdir. Tamamen – mutlak enine deformasyon. Uzatıldığında bu negatif bir değerdir. Sıkıştırma sırasında buna göre belirtiler ve değişiklikler olur.
İlişki
(epsilon) veya 
, (2.2)
bağıl uzama denir. Gerilim altında pozitiftir.
İlişki
Veya 
, (2.3)
bağıl enine şekil değiştirme denir. Uzatıldığında negatiftir.
1660 yılında R. Hooke şöyle bir yasa keşfetti: "Uzama nedir, kuvvet budur." Modern yazıda R. Hooke yasası şu şekilde yazılmıştır:
yani stres göreceli gerinim ile orantılıdır. Burada E. Young'ın birinci türden esneklik modülü, R. Hooke yasasının sınırları dahilinde fiziksel bir sabittir. İçin çeşitli malzemeler bu farklı. Örneğin, çelik için 2 10 6 kgf/cm2'ye (2 10 5 MPa), ahşap için - 1 10 5 kgf/cm2'ye (1 10 4 MPa), kauçuk için - 100 kgf/cm2'ye ( 10) eşittir. MPa), vb.
Bunu göz önüne alırsak, a, şunu elde ederiz
kuvvet bölümündeki boyuna kuvvet nerede;
– güç bölümünün uzunluğu;
– Gerilme ve basmada sertlik.
Yani mutlak deformasyon, kuvvet bölümüne etki eden boyuna kuvvetle, bu bölümün uzunluğuyla doğru orantılı, çekme-basınç sertliğiyle ise ters orantılıdır.
Harici yüklerin etkisine göre hesaplama yaparken
dış boyuna kuvvet nerede;
- çubuğun etki ettiği bölümünün uzunluğu. Bu durumda kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı ilkesi uygulanır*).
S. Poisson oranın olduğunu kanıtladı devamlı farklı malzemeler için farklı, yani
veya , (2.7)
S. Poisson oranı nerede. Bu genel anlamda negatif bir değerdir. Referans kitaplarında değeri “modulo” olarak verilmektedir. Örneğin, çelik için 0,25...0,33, dökme demir için - 0,23...0,27, kauçuk için - 0,5, mantar için - 0'dır. Ancak ahşap için bu oran 0,5'ten fazla olabilir.
Deneysel çalışma deformasyon süreçleri ve
Çekme ve sıkıştırılmış çubukların kırılması
Rus bilim adamı V.V. Kirpichev, geometrik olarak benzer numunelerin deformasyonlarının, üzerlerine etkiyen kuvvetler benzer şekilde yerleştirilirse benzer olduğunu ve küçük bir numunenin test sonuçlarına dayanarak malzemenin mekanik özelliklerinin değerlendirilebileceğini kanıtladı. Bu durumda elbette deneysel olarak belirlenen bir ölçek faktörünün tanıtıldığı ölçek faktörü dikkate alınır.
Yumuşak Çelik Çekme Tablosu
Testler, çekme makinelerinde kırılma diyagramının koordinatlarda - kuvvet, - mutlak deformasyonda eşzamanlı olarak kaydedilmesiyle gerçekleştirilir (Şekil 2.3, a). Daha sonra koordinatlarda koşullu bir diyagram oluşturmak için deney yeniden hesaplanır (Şekil 2.3, b).
Diyagramdan (Şekil 2.3, a) aşağıdakiler görülebilir:
– Hooke yasası şu noktaya kadar geçerlidir;
– noktadan noktaya deformasyonlar elastik kalır ancak Hooke yasası artık geçerli değildir;
– Noktadan noktaya yük artmadan deformasyonlar artar. Burada metalin ferrit tanelerinin çimento çerçevesi tahrip edilir ve yük bu tanelere aktarılır. Chernov-Luders kesme çizgileri belirir (numune eksenine 45° açıyla);
– noktadan noktaya – metalin ikincil sertleşme aşaması. Yükün maksimuma ulaştığı noktada, numunenin zayıflamış bölümünde - "boyun" - bir daralma belirir;
– bu noktada – numune imha edilir.
Pirinç. 2.3 Çekme ve basınç altında çeliğin kırılma diyagramları
Diyagramlar çeliğin aşağıdaki ana mekanik özelliklerini elde etmenizi sağlar:
– orantılılık sınırı – Hooke yasasının geçerli olduğu en yüksek gerilim (2100...2200 kgf/cm2 veya 210...220 MPa);
– elastik sınır – deformasyonların hâlâ elastik kaldığı en yüksek gerilim (2300 kgf/cm2 veya 230 MPa);
– akma mukavemeti – yükü artırmadan deformasyonların arttığı gerilim (2400 kgf/cm2 veya 240 MPa);
- gerilme direnci 
- deney sırasında numunenin dayandığı en büyük yüke karşılık gelen stres (3800...4700 kgf/cm2 veya 380...470 MPa);
Ders No.5
Ders: " Gerilim ve sıkıştırma»
Sorular:
1. Çekme ve basmadaki normal gerilmeler
2. Boyuna ve enine deformasyonun belirlenmesi. Hook kanunu
4. Sıcaklık stresi
5. Montaj gerilimleri
1. Çekme ve basmadaki normal gerilmeler
Prizmatik bir çubuğun yüzeyine çubuğun eksenine paralel ve dik çizgilerden oluşan bir ızgara uygularsanız ve buna bir çekme kuvveti uygularsanız, ızgara çizgilerinin deformasyondan sonra bile karşılıklı olarak dik kalacağından emin olabilirsiniz (bkz. 1).
Pirinç. 1
cd gibi tüm yatay çizgiler yatay ve düz kalarak aşağı doğru hareket edecektir. Ayrıca çubuğun içinde de aynı resmin olacağı varsayılabilir. "Deformasyondan önce düz ve eksenine dik olan bir çubuğun kesitleri, deformasyondan sonra düz ve eksenine dik kalacaktır." Bu önemli hipoteze hipotez denir düz bölümler veya Bernoulli'nin hipotezi. Bu hipoteze dayanarak elde edilen formüller deneysel sonuçlarla doğrulanmaktadır.
Deformasyonların bu resmi, enine kesitlerde yalnızca normal gerilmelerin etki ettiğine, kesitin tüm noktalarında aynı olduğuna ve teğetsel gerilmelerin sıfıra eşit olduğuna inanmak için sebep verir. Teğetsel gerilmeler meydana gelirse açısal deformasyon gözlemlenir ve boyuna ve enine çizgiler arasındaki açılar artık düz olmaz. Normal gerilmeler kesitin tüm noktalarında aynı olmasaydı, gerilmelerin yüksek olduğu yerlerde deformasyon daha büyük olurdu ve dolayısıyla kesitler düzlemsel ve paralel olmazdı. Düzlem kesitler hipotezini kabul ederek şunu tespit ederiz: 
.
Boyuna kuvvet iç kuvvetlerin bileşkesi olduğundan 
sonsuz küçük alanlarda ortaya çıkan (bkz. Şekil 3.2), şu şekilde temsil edilebilir:
Pirinç. 2
Sabit miktarlar integral işaretinden çıkarılabilir:
A'nın alanı olduğu yer enine kesit.
Çekme veya basma sırasında normal gerilimleri bulmak için bir formül elde ederiz:
(1)
Bu, malzemelerin mukavemetindeki en önemli formüllerden biridir, bu nedenle bunu bir çerçevede vurgulayacağız ve gelecekte de aynısını yapacağız.
Gerildiğinde 
pozitif, sıkıştırıldığında - negatif.
Kirişe yalnızca bir dış kuvvet etki ediyorsa F, O
N= F,
ve voltajlar aşağıdaki formülle belirlenebilir:
2. Boyuna ve enine deformasyonun belirlenmesi
Çoğu yapısal malzemenin elastik çalışma aşamasında, gerilim ve gerinim Hooke yasası adı verilen doğrudan bir ilişkiyle ilişkilidir:
(2)
burada E, malzemenin sertliğini karakterize eden, MPa cinsinden ölçülen, boyuna elastikiyet modülü veya Young modülüdür; deformasyona direnme yeteneği, değerleri referans kitabındaki tablolarda verilmiştir;
- bağıl boyuna deformasyon, boyutsuz bir değer, çünkü:
; (3)
çubuğun mutlak uzaması, m;
ben başlangıç uzunluğu, m.
Boyuna elastik modül E'nin değeri ne kadar yüksek olursa deformasyon da o kadar az olur. Örneğin, çelik için E = 2,110 5 MPa ve dökme demir için E = (0,75...1,6)10 5 MPa, bu nedenle, aynı koşullar altında dökme demirden yapılmış bir yapı elemanı daha fazla enerji alacaktır. deformasyon çelikten daha fazladır. Bu, kopma noktasına getirilen bir çelik çubuğun, bir dökme demir çubuğa göre önemli ölçüde daha fazla deformasyona sahip olacağı gerçeğiyle karıştırılmamalıdır. Nihai deformasyondan değil, elastik aşamadaki deformasyondan bahsediyoruz. plastik deformasyon oluşmadan ve aynı yük altında.
Hooke yasasını denklem (3.3)'ten değiştirerek dönüştürelim:
Değeri yerine koyalım 
formül (1)'den:
(4)
Çubuğun mutlak uzaması (kısalması) için bir formül elde ettik. Gerildiğinde 
pozitif, sıkıştırma sırasında – negatif. İş EA kirişin sertliği denir.
Çubuk gerildiğinde incelir, sıkıştırıldığında kalınlaşır. Kesit boyutlarındaki değişime enine deformasyon denir. Örneğin, yüklemeden önce dikdörtgen bir bölümün genişliği vardı B ve bölüm yüksekliği H ve yüklemeden sonra B 1 Ve H 1 . Kesit genişliği için bağıl enine deformasyon:
bölüm yüksekliği için:
İzotropik malzemeler her yönde aynı özelliklere sahiptir. Bu yüzden:
Çekmede enine şekil değiştirme negatiftir; basmada ise pozitiftir.
Enine gerinimin boyuna gerinime oranına enine gerinim oranı veya Poisson oranı denir:
(5)
Herhangi bir malzemenin elastik çalışma aşamasında değerin olduğu deneysel olarak tespit edilmiştir. 
ve sürekli. 0 içinde yer alır 
0,5 ve için inşaat malzemeleri Referans kitabındaki tablolarda verilmiştir.
Bağımlılıktan (5) aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
(6)
Çekme (sıkıştırma) sırasında kirişin kesitleri uzunlamasına yönde hareket eder. Yer değiştirme deformasyonun bir sonucudur, ancak bu iki kavramın açıkça ayırt edilmesi gerekir. Çubuk için (bkz. Şekil 3), deformasyonun büyüklüğünü belirleriz ve bir yer değiştirme diyagramı oluştururuz.
Pirinç. 3
Şekilden görülebileceği gibi, AB çubuğunun parçası gerilmez, ancak CB parçası uzayacağından hareket alacaktır. Uzaması:
Kesitlerin yer değiştirmelerini şu şekilde belirtiriz: 
. C bölümünde yer değiştirme sıfırdır. C bölümünden B bölümüne kadar yer değiştirme uzamaya eşittir; orantılı olarak artar 
B bölümünde. B'den A'ya kadar olan bölümlerde yer değiştirmeler aynı ve eşittir 
Çubuğun bu bölümü deforme olmadığı için.
3. Statik olarak belirsiz problemler
Kuvvetlerin yalnızca statik denklemler kullanılarak belirlenemediği sistemler statik olarak belirsiz olarak kabul edilir. Statik olarak belirsiz olan tüm sistemlerde ek bağlantı elemanları, çubuklar ve diğer elemanlar şeklinde "ekstra" bağlantılar bulunur. Bu tür bağlantılara “gereksiz” denir çünkü sistemin dengesini veya geometrik değişmezliğini sağlamak açısından gerekli değildirler ve bunların düzenlenmesi yapıcı veya operasyonel amaçlara yöneliktir.
Bilinmeyenlerin sayısı ile belirli bir sistem için oluşturulabilecek bağımsız denge denklemlerinin sayısı arasındaki fark, fazladan bilinmeyenlerin sayısını veya statik belirsizlik derecesini karakterize eder.
Statik olarak belirsiz sistemler, sayısı sistemin belirsizlik derecesine eşit olması gereken belirli noktaların yer değiştirmesi için denklemler hazırlanarak çözülür.
Her iki ucu da sıkı bir şekilde sabitlenmiş bir çubuğa bir kuvvet etki etsin F(bkz. Şekil 4). Desteklerin tepkilerini belirleyelim.
Pirinç. 4
F kuvveti sağa doğru etki ettiğinden desteklerin tepkisini sola yönlendireceğiz. Kuvvetin ağırlığı tek bir çizgi boyunca etki ettiğinden, yalnızca bir statik denge denklemi çizilebilir:
-B+F-C=0;
Yani, B ve C desteklerinin iki bilinmeyen reaksiyonu ve bir statik denge denklemi. Sistem bir zamanlar statik olarak belirsizdir. Bu nedenle çözmek için C noktasının hareketlerine göre ek bir denklem oluşturmanız gerekir. Doğru desteği zihinsel olarak bir kenara bırakalım. F kuvveti nedeniyle VD çubuğunun sol tarafı gerilecek ve C bölümü bu deformasyon miktarı kadar sağa kayacaktır:
Destek reaksiyonu C'den itibaren çubuk sıkışacak ve kesit, çubuğun tamamının deformasyon miktarı kadar sola doğru hareket edecektir:
Destek, C bölümünün sola veya sağa hareket etmesine izin vermez, bu nedenle F ve C kuvvetlerinin yer değiştirmelerinin toplamı sıfıra eşit olmalıdır:
|
C değerini statik denge denkleminde yerine koyarak desteğin ikinci reaksiyonunu belirleriz:
4. Sıcaklık stresi
Statik olarak belirsiz sistemlerde sıcaklık değiştiğinde gerilmeler ortaya çıkabilir. Her iki ucu da sıkıca kapatılmış olan çubuğun belirli bir sıcaklığa kadar ısıtılmasını sağlayın. 
dolu (bkz. Şekil 5).
Pirinç. 5
Isıtıldığında cisimler genişler ve çubuk şu miktarda uzama eğilimi gösterir:
Nerede 
doğrusal genleşme katsayısı,
ben- orijinal uzunluk.
Destekler çubuğun uzamasına izin vermez, bu nedenle çubuk şu miktarda sıkıştırılır:
Formül (4)'e göre:
=
;
Çünkü:
(7)
Formül (7)'den görülebileceği gibi, sıcaklık gerilmeleri çubuğun uzunluğuna bağlı olmayıp sadece doğrusal genleşme katsayısına, boyuna elastikiyet modülüne ve sıcaklık değişimlerine bağlıdır.
Sıcaklık stresleri yüksek değerlere ulaşabilir. Bunları azaltmak için yapılarda özel sıcaklık boşlukları (örneğin ray bağlantılarındaki boşluklar) veya dengeleme cihazları (örneğin boru hatlarındaki dirsekler) sağlanır.
5. Montaj gerilimleri
Yapısal elemanlar imalat sırasında (örneğin kaynak nedeniyle) boyutsal sapmalara sahip olabilir. Montaj sırasında boyutlar eşleşmez (örn. cıvata delikleri) ve ünitelerin montajı için kuvvet uygulanır. Bunun sonucunda yapı elemanlarında dışarıdan bir yük uygulanmadan iç kuvvetler ortaya çıkar.
Uzunluğu eşit olan iki sert conta arasına bir çubuk yerleştirilsin. A destekler arasındaki mesafeden daha büyük (bkz. Şekil 6). Çubuk sıkıştırmaya maruz kalacaktır. Formül (4)'ü kullanarak voltajı belirleyelim:
(8)
Pirinç. 6
Formül (8)'den görülebileceği gibi montaj gerilmeleri boyutsal hatayla doğru orantılıdır. A. Bu nedenle sahip olmanız tavsiye edilir a=0özellikle kısa çubuklar için 
uzunlukla ters orantılıdır.
Ancak statik olarak belirsiz sistemlerde montaj gerilmelerine özellikle başvurulur. taşıma kapasitesi tasarımlar.
Bir ucu gömülü ve diğer ucu çekme kuvveti ile yüklenmiş, sabit kesit uzunluğuna sahip düz bir kirişi (Şekil 1.5) ele alalım. R. Zorla Rışın belli bir miktar uzatılır , buna toplam (veya mutlak) uzama (mutlak boylamasına deformasyon) adı verilir.
Pirinç. 1.5. Kiriş deformasyonu
Söz konusu kirişin herhangi bir noktasında aynı şey var gergin durum ve dolayısıyla tüm noktaları için doğrusal deformasyonlar aynıdır. Bu nedenle e değeri, kirişin mutlak uzamasının orijinal uzunluğuna oranı olarak tanımlanabilir;
Farklı malzemelerden yapılmış çubuklar farklı şekilde uzar. Kirişteki gerilmelerin orantı sınırını aşmadığı durumlar için deneyimlerle aşağıdaki ilişki kurulmuştur:
Nerede N- kirişin enine kesitlerindeki uzunlamasına kuvvet; F- kirişin kesit alanı; E- bağlı olarak katsayı fiziki ozellikleri malzeme.
Kirişin kesitindeki normal gerilmenin σ = olduğu dikkate alındığında Yok aldık ε = σ/E. Nereden σ = εE.
Bir kirişin mutlak uzaması aşağıdaki formülle ifade edilir:
Hooke yasasının aşağıdaki formülasyonu daha geneldir: bağıl boyuna şekil değiştirme normal gerilimle doğru orantılıdır. Bu formülasyonda Hooke yasası sadece kirişlerin çekme ve sıkışma çalışmalarında değil aynı zamanda dersin diğer bölümlerinde de kullanılmaktadır.
Büyüklük e birinci türden elastik modül denir. Bu fiziksel malzeme sabiti, sertliğini karakterize ediyor. Değer ne kadar yüksek olursa E, diğer şeyler eşit olduğunda boyuna deformasyon ne kadar az olursa. Esneklik modülü gerilimle aynı birimlerle ifade edilir; Pascal (Pa) cinsinden (çelik E=2* 10 5 MPa, bakır e= 1 * 10 5 MPa).
İş E.F. kirişin kesitinin çekme ve basma altındaki sertliğine denir.
Kirişlere basma veya çekme kuvveti uygulandığında boyuna deformasyonun yanı sıra enine deformasyon da gözlenir. Bir kiriş sıkıştırıldığında enine boyutları artar ve gerildiğinde azalır. Kirişin enine boyutu, üzerine basınç kuvvetleri uygulanmadan önce R Tayin etmek İÇİNDE, ve bu kuvvetleri uyguladıktan sonra B - ∆B, o zaman değer ∆V kirişin mutlak enine deformasyonunu gösterecektir.
Oran göreceli enine gerinimdir.
Deneyimler, elastik sınırı aşmayan gerilimlerde, göreceli enine deformasyonun, göreceli uzunlamasına deformasyonla doğru orantılı olduğunu ancak ters işarete sahip olduğunu göstermektedir:
Orantılılık katsayısı q kerestenin malzemesine bağlıdır. Buna enine gerinim katsayısı denir (veya Poisson oranı ) ve mutlak değer olarak alınan göreceli enine deformasyonun boyuna deformasyona oranıdır; Poisson oranı ve elastik modül e Malzemenin elastik özelliklerini karakterize eder.
Poisson oranı deneysel olarak belirlenir. Çeşitli malzemeler için sıfırdan (mantar için) 0,50'ye (kauçuk ve parafin için) yakın bir değere kadar değerlere sahiptir. Çelik için Poisson oranı 0,25...0,30'dur; diğer bazı metaller için (dökme demir, çinko, bronz, bakır)
0,23 ila 0,36 arasında değerlere sahiptir.
Pirinç. 1.6. Değişken kesitli kiriş
Çubuğun kesit değerinin belirlenmesi, mukavemet durumuna göre yapılır.
burada [σ] izin verilen gerilimdir.
Boyuna yer değiştirmeyi tanımlayalım δ a puan A kuvvetle gerilmiş bir kirişin ekseni R( pirinç. 1.6).
Kirişin bir kısmının mutlak deformasyonuna eşittir reklam gömme ile bu noktadan çizilen bölüm arasına alınmış D, onlar. kirişin uzunlamasına deformasyonu formülle belirlenir
Bu formül yalnızca kesitin tüm uzunluğu boyunca boyuna kuvvetler N ve rijitlik olduğunda uygulanabilir. E.F. kirişin kesitleri sabittir. Söz konusu durumda, sitede ab boyuna kuvvet N sıfıra eşittir (kerestenin ölü ağırlığını hesaba katmıyoruz) ve alanda BD eşit R, ayrıca bölgedeki kerestenin kesit alanı AC sahadaki kesit alanından farklıdır CD. Bu nedenle alanın boyuna deformasyonu reklamüç kesitin boyuna deformasyonlarının toplamı olarak belirlenmelidir ab, m.ö. Ve CD, değerlerin her biri için N Ve E.F. tüm uzunluğu boyunca sabit:
Kirişin dikkate alınan bölümlerine etki eden boyuna kuvvetler
Buradan,
Benzer şekilde, kiriş ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın δ yer değiştirmelerini belirleyebilir ve değerlerini bir diyagram oluşturmak için kullanabilirsiniz. boyuna hareketler (epureδ), yani kirişin ekseninin uzunluğu boyunca bu hareketlerdeki değişimi gösteren bir grafik.
4.2.3. Güç koşulları. Sertlik hesaplamaları.
Kesit alanı gerilimlerini kontrol ederken F ve boyuna kuvvetler bilinmektedir ve hesaplama, elemanların karakteristik bölümlerinde hesaplanan (gerçek) gerilmelerin (σ) hesaplanmasından oluşur. Elde edilen maksimum voltaj daha sonra izin verilen voltajla karşılaştırılır:
Bölümleri seçerken gerekli alanları belirleyin [F] elemanın enine kesitleri (bilinen boyuna kuvvetlere göre) N ve izin verilen gerilim [σ]). Kabul edilen kesit alanları F ifade edilen mukavemet koşulunu karşılamalıdır. aşağıdaki form:
Yük kapasitesini belirlerken bilinen değerlere göre F ve izin verilen gerilim [σ], boyuna kuvvetlerin izin verilen değerleri [N] hesaplanır:
Elde edilen değerlere [N] dayanarak, harici yüklerin izin verilen değerleri daha sonra belirlenir [ P].
Bu durumda mukavemet koşulu şu şekildedir:
Standart güvenlik faktörlerinin değerleri standartlarla belirlenir. Bunlar yapının sınıfına (sermaye, geçici vb.), amaçlanan hizmet ömrüne, yüke (statik, döngüsel vb.), malzeme imalatındaki olası heterojenliğe (örneğin beton) ve malzemenin türüne bağlıdır. deformasyon (gerilme, basma, bükülme vb.) ve diğer faktörler. Bazı durumlarda yapının ağırlığını azaltmak için güvenlik faktörünü azaltmak ve bazen de güvenlik faktörünü artırmak gerekir - gerekirse makinelerin sürtünme parçalarının aşınmasını, korozyonu ve çürümeyi dikkate alın. malzeme.
Çeşitli malzemeler, yapılar ve yükler için standart güvenlik faktörlerinin değerleri çoğu durumda aşağıdaki değerlere sahiptir: - 2,5...5 ve - 1,5...2,5.
Bir yapısal elemanın katılığını saf çekme-basma durumunda kontrol etmekle, şu soruya cevap aramayı kastediyoruz: elemanın sertlik özelliklerinin (malzemenin elastiklik modülü) değerleri yeterli mi? e ve kesit alanı F), böylece eleman noktalarının yer değiştirmelerinin tüm değerlerinin maksimumu dış kuvvetler umaks, belirlenen sınır değerini [u] aşmadı. Eğer eşitsizlik u max ise< [u] конструкция переходит в предельное состояние.
Bir ucunda uzunluk gömülü ve diğer ucunda çekme kuvveti P ile yüklenmiş, sabit kesitli düz bir kirişi düşünelim (Şekil 8.2, a). P kuvvetinin etkisi altında kiriş, tam veya mutlak uzama (mutlak uzunlamasına deformasyon) adı verilen belirli bir miktarda uzar.
Söz konusu kirişin herhangi bir noktasında aynı gerilim durumu vardır ve bu nedenle tüm noktaları için doğrusal deformasyonlar (bkz. § 5.1) aynıdır. Bu nedenle değer, mutlak uzamanın kirişin I başlangıç uzunluğuna oranı olarak tanımlanabilir; Kirişlerin gerilmesi veya sıkıştırılması sırasındaki doğrusal deformasyona genellikle göreceli uzama veya göreceli uzunlamasına deformasyon denir ve belirtilir.
Buradan,
Bağıl boyuna gerinim soyut birimlerle ölçülür. Uzama geriniminin pozitif (Şekil 8.2, a) ve sıkıştırma geriniminin negatif (Şekil 8.2, b) olduğunu kabul edelim.
Kirişi geren kuvvetin büyüklüğü ne kadar büyük olursa, diğer koşullar eşit olmak üzere kirişin uzaması da o kadar büyük olur; Nasıl daha büyük alan kirişin kesiti ne kadar az olursa kirişin uzaması o kadar az olur. Farklı malzemelerden yapılmış çubuklar farklı şekilde uzar. Kirişteki gerilimlerin orantı sınırını aşmadığı durumlarda (bkz. § 6.1, paragraf 4), aşağıdaki ilişki deneyimlerle kurulmuştur:
Burada N, kirişin enine kesitlerindeki boyuna kuvvettir; - kirişin kesit alanı; E, malzemenin fiziksel özelliklerine bağlı bir katsayıdır.
Elde ettiğimiz kirişin kesitindeki normal gerilmeyi göz önünde bulundurarak
Bir kirişin mutlak uzaması aşağıdaki formülle ifade edilir:
yani mutlak boylamsal deformasyon boyuna kuvvetle doğru orantılıdır.
İlk kez kuvvetler ve deformasyonlar arasındaki doğru orantılılık yasası formüle edildi (1660'ta). Formüller (10.2)-(13.2) matematiksel ifadeler Bir kirişin gerilmesi ve sıkıştırılmasıyla ilgili Hooke yasası.
Hooke yasasının aşağıdaki formülasyonu daha geneldir [bkz. formüller (11.2) ve (12.2)]: bağıl boyuna gerinim normal gerilimle doğru orantılıdır. Bu formülasyonda Hooke yasası sadece kirişlerin çekme ve sıkışma çalışmalarında değil aynı zamanda dersin diğer bölümlerinde de kullanılmaktadır.
(10.2)-(13.2) formüllerinde yer alan E miktarına birinci tür elastikiyet modülü denir (elastikiyet modülü olarak kısaltılır). Bu miktar, malzemenin sertliğini karakterize eden fiziksel bir sabittir. E'nin değeri ne kadar büyük olursa, diğer şeyler eşit olduğunda boyuna deformasyon o kadar az olur.
Ürüne kirişin çekme ve basma altındaki kesitinin sertliği adını vereceğiz.
Ek I, çeşitli malzemeler için elastik modül E değerlerini göstermektedir.
Formül (13.2), kirişin bir bölümünün mutlak boyuna deformasyonunu hesaplamak için yalnızca bu bölüm içindeki kirişin kesitinin sabit olması ve boyuna kuvvet N'nin tüm kesitlerde aynı olması koşuluyla kullanılabilir.
Kirişlere basma veya çekme kuvveti uygulandığında boyuna deformasyonun yanı sıra enine deformasyon da gözlenir. Bir kiriş sıkıştırıldığında enine boyutları artar ve gerildiğinde azalır. Kirişin enine boyutu, P sıkıştırma kuvvetleri uygulanmadan önce b olarak belirlenmişse ve bu kuvvetlerin uygulanmasından sonra (Şekil 9.2), o zaman değer kirişin mutlak enine deformasyonunu gösterecektir.
Oran göreceli enine gerinimdir.
Deneyimler, elastik sınırı aşmayan gerilimlerde (bkz. Madde 6.1, paragraf 3), göreceli enine deformasyonun, göreceli uzunlamasına deformasyonla doğru orantılı olduğunu, ancak ters işarete sahip olduğunu göstermektedir:
Formül (14.2)'deki orantı katsayısı kirişin malzemesine bağlıdır. Buna enine deformasyon oranı veya Poisson oranı denir ve mutlak değer olarak alınan bağıl enine deformasyonun boyuna deformasyona oranıdır;
Poisson oranı, elastik modül E ile birlikte malzemenin elastik özelliklerini karakterize eder.
Poisson oranının değeri deneysel olarak belirlenir. Çeşitli malzemeler için sıfırdan (mantar için) 0,50'ye (kauçuk ve parafin için) yakın bir değere kadar değerlere sahiptir. Çelik için Poisson oranı 0,25-0,30; diğer bazı metaller için (dökme demir, çinko, bronz, bakır) 0,23 ile 0,36 arasında değerlere sahiptir. Çeşitli malzemeler için Poisson oranının yaklaşık değerleri Ek I'de verilmiştir.
Boyuna ve enine deformasyonlar ve bunların ilişkileri hakkında fikir sahibi olur.
Gerilme ve yer değiştirmelerin hesaplanmasına yönelik Hooke yasasını, bağımlılıklarını ve formüllerini öğrenin.
Statik olarak belirlenen kirişlerin çekme ve basma mukavemet ve rijitlik hesaplamalarını yapabilme.
Çekme ve basma gerilmeleri
Boyuna bir F kuvvetinin etkisi altında bir kirişin deformasyonunu ele alalım (Şekil 21.1).
Malzemelerin mukavemetinde deformasyonların göreceli birimler halinde hesaplanması gelenekseldir:
Boyuna ve enine deformasyonlar arasında bir ilişki vardır
Nerede μ - enine deformasyon katsayısı veya Poisson oranı - malzemenin plastikliğinin özelliği.
Hook kanunu
Elastik deformasyon sınırları dahilinde deformasyonlar yükle doğru orantılıdır:
- katsayısı. İÇİNDE modern biçim:
Bir bağımlılık elde edelim
Nerede e- elastikiyet modülü, malzemenin sertliğini karakterize eder.
Elastik sınırlar dahilinde normal gerilimler uzamayla orantılıdır.
Anlam e(2 – 2,1) 10 5 MPa aralığındaki çelikler için. Diğer her şey eşit olduğunda, malzeme ne kadar sert olursa o kadar az deforme olur:
Çekme ve basınç altında kiriş kesitlerinin yer değiştirmelerini hesaplamak için formüller
Bilinen formülleri kullanıyoruz.
Göreceli uzantı
Sonuç olarak yük, kirişin boyutları ve sonuçta ortaya çıkan deformasyon arasındaki ilişkiyi elde ederiz:
Δl- mutlak uzama, mm;
σ - normal stres, MPa;
ben- başlangıç uzunluğu, mm;
E - malzemenin elastik modülü, MPa;
N- boyuna kuvvet, N;
A - kesit alanı, mm2;
İş AE isminde bölüm sertliği.
sonuçlar
1. Bir kirişin mutlak uzaması, kesitteki boyuna kuvvetin büyüklüğü ve kirişin uzunluğu ile doğru orantılı, kesit alanı ve elastik modül ile ters orantılıdır.
2. Boyuna ve enine deformasyonlar arasındaki ilişki malzemenin özelliklerine bağlıdır, ilişki belirlenir Poisson oranı, isminde enine deformasyon katsayısı.
Poisson oranı: çelik μ 0,25'ten 0,3'e; trafik sıkışıklığında μ = 0; kauçuğa yakın μ = 0,5.
3. Enine deformasyonlar boyuna deformasyonlardan daha azdır ve parçanın performansını nadiren etkiler; gerekirse enine deformasyon boyuna deformasyon üzerinden hesaplanır.
Nerede Δа- enine daralma, mm;
ve hakkında- başlangıçtaki enine boyut, mm.
4. 
Hooke yasası, çekme diyagramı kullanılarak çekme testleri sırasında belirlenen elastik deformasyon bölgesinde karşılanır (Şekil 21.2).
Çalışma sırasında plastik deformasyonlar oluşmamalı, elastik deformasyonlar gövdenin geometrik boyutlarına göre küçüktür. Malzemelerin mukavemetindeki ana hesaplamalar Hooke yasasının geçerli olduğu elastik deformasyon bölgesinde yapılır.
Diyagramda (Şekil 21.2), Hooke yasası şu noktadan itibaren çalışır: 0 diyeceğim şey şu ki 1 .
5. Kirişin yük altında deformasyonunun belirlenmesi ve bunun izin verilen (kirişin performansını bozmayan) ile karşılaştırılması işlemine rijitlik hesabı denir.
Problem çözme örnekleri
Örnek 1. Kirişin deformasyondan önceki yükleme diyagramı ve boyutları verilmiştir (Şekil 21.3). Kiriş sıkıştırılır, serbest ucun hareketini belirleyin.
Çözüm
1. 
Kiriş kademeli olduğundan boyuna kuvvetlerin ve normal gerilmelerin diyagramları oluşturulmalıdır.
Kirişi yükleme alanlarına bölüyoruz, boyuna kuvvetleri belirliyoruz ve boyuna kuvvetlerin diyagramını oluşturuyoruz.
2. Kesit alanındaki değişiklikleri dikkate alarak bölümler boyunca normal gerilmelerin değerlerini belirleriz.
Normal streslerin bir diyagramını oluşturuyoruz.
3. Her bölümde mutlak uzamayı belirliyoruz. Sonuçları cebirsel olarak özetliyoruz.
Not. kiriş sıkışmış yamada meydana gelir bilinmeyen reaksiyon destekte, bu yüzden hesaplamaya başlıyoruz özgür son (sağda).
1. İki yükleme bölümü:
Bölüm 1:
gergin;
Bölüm 2:
 |
Üç voltaj bölümü:
 |
Örnek 2. Belirli bir kademeli kiriş için (Şekil 2.9, A) uzunluğu boyunca boyuna kuvvetlerin ve normal gerilmelerin diyagramlarını oluşturun ve ayrıca serbest ucun ve bölümün yer değiştirmelerini belirleyin İLE, kuvvetin uygulandığı yer R2. Malzemenin boyuna elastiklik modülü e= 2,1 10 5 N/"mm3.
Çözüm
1. Verilen kirişin beş bölümü vardır /, //, III, IV, V(Şekil 2.9, A). Boyuna kuvvetlerin diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.9, b.
2. Her bölümün kesitlerindeki gerilimleri hesaplayalım:
İlk için
Ikinci için
üçüncü için
dördüncü için
beşinci için
Normal stres diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.9, V.
3. Kesitlerin yer değiştirmelerini belirlemeye geçelim. Kirişin serbest ucunun hareketi, tüm bölümlerinin uzamasının (kısalmasının) cebirsel toplamı olarak tanımlanır:
Sayısal değerleri değiştirerek şunu elde ederiz:
4. P2 kuvvetinin uygulandığı C bölümünün yer değiştirmesi, ///, IV, V bölümlerinin uzamasının (kısalmasının) cebirsel toplamı olarak tanımlanır:
Önceki hesaplamadaki değerleri değiştirerek şunu elde ederiz:
Böylece kirişin serbest olan sağ ucu sağa doğru hareket eder ve kuvvetin uygulandığı kısım R2, - Sola.
5. Yukarıda hesaplanan yer değiştirme değerleri, kuvvetlerin etkisinden bağımsızlık ilkesi kullanılarak, yani her bir kuvvetin etkisinden kaynaklanan yer değiştirmelerin belirlenmesiyle başka bir yolla elde edilebilir. R1; R2; R3 ayrı ayrı ve sonuçların toplanması. Öğrencinin bunu bağımsız olarak yapmasını öneririz.
Örnek 3. Uzunluktaki bir çelik çubukta hangi gerilimin oluştuğunu belirleyin ben= 200 mm, çekme kuvvetleri uygulandıktan sonra uzunluğu şu şekilde olursa ben 1 = 200,2 mm. E = 2,1*10 6 N/mm2.
Çözüm
Çubuğun mutlak uzaması
Çubuğun boyuna deformasyonu
Hooke yasasına göre
Örnek 4. Duvar braketi (Şek. 2.10, A) AB çelik çubuğu ve BC ahşap payandasından oluşur. Çubuk kesit alanı F 1 = 1 cm2, desteğin kesit alanı F 2 = 25 cm2. B noktasında bir yük asılıysa, bu noktanın yatay ve düşey yer değiştirmelerini belirleyin Q= 20kN. Çeliğin boylamasına elastikiyet modülleri E st = 2,1*10 5 N/mm2, ahşap E d = 1,0*10 4 N/mm2.
Çözüm
1. AB ve BC çubuklarındaki boyuna kuvvetleri belirlemek için B düğümünü kesiyoruz. AB ve BC çubuklarının gerildiğini varsayarak, içlerinde ortaya çıkan N1 ve N2 kuvvetlerini düğümden yönlendiriyoruz (Şekil 2.10, 6 ). Denge denklemlerini oluşturuyoruz:
Çaba N 2 eksi işaretiyle sonuçlandı. Bu, kuvvetin yönüne ilişkin ilk varsayımın yanlış olduğunu gösterir; aslında bu çubuk sıkıştırılmıştır.
2. Çelik çubuğun uzamasını hesaplayın Δl 1 ve çubuğun kısaltılması AL 2:
Çekiş AB kadar uzar Δl 1= 2,2 mm; dikme Güneş kısaltılmış Δl 1= 7,4 mm.
3. Bir noktanın hareketini belirlemek İÇİNDE Bu menteşedeki çubukları zihinsel olarak ayıralım ve yeni uzunluklarını işaretleyelim. Yeni nokta konumu İÇİNDEÇubukların deforme olup olmadığı belirlenecektir. AB 1 Ve B2C noktaların etrafında döndürerek onları bir araya getirin A Ve İLE(Şekil 2.10, V). Puanlar 1'DE Ve 2'DE bu durumda, küçüklüklerinden dolayı yerini düz bölümlere bırakabilecek yaylar boyunca hareket edeceklerdir. V 1 V" Ve V 2 V", sırasıyla dik AB 1 Ve SV2. Bu dik doğruların kesişimi (nokta İÇİNDE") B noktasının (menteşe) yeni konumunu verir.
4. Şek. 2.10, G B noktasının yer değiştirme diyagramı daha büyük ölçekte gösterilmiştir.
5. Bir noktanın yatay hareketi İÇİNDE
Dikey
bileşen bölümleri Şekil 2'den belirlenmektedir. 2.10,g;
Sayısal değerleri yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz:
Yer değiştirmeleri hesaplarken, çubukların uzamasının (kısalmasının) mutlak değerleri formüllerde değiştirilir.
Kontrol soruları ve görevler
1. 1,5 m uzunluğundaki bir çelik çubuk yük altında 3 mm gerilmektedir. Bağıl uzama nedir? Göreceli kasılma nedir? ( μ = 0,25.)
2. Enine deformasyon katsayısını karakterize eden nedir?
3. Çekme ve basma için Hooke yasasını modern biçimde ifade edin.
4. Bir malzemenin elastik modülünü karakterize eden şey nedir? Elastik modülün birimi nedir?
5. Kirişin uzamasını belirlemek için formülleri yazın. AE çalışmasını karakterize eden nedir ve buna ne denir?
6. Çeşitli kuvvetlerle yüklenmiş kademeli bir kirişin mutlak uzaması nasıl belirlenir?
7. Test sorularını yanıtlayın.
