V.A. Krutetsky. Kemampuan matematika dan kepribadian. Kemampuan matematika anak

Kalkulator bisa sangat berguna, namun tidak selalu tersedia. Selain itu, tidak semua orang merasa nyaman mengeluarkan kalkulator atau telepon untuk menghitung berapa banyak yang harus dibayar di restoran atau menghitung jumlah tip. Berikut sepuluh tip yang dapat membantu Anda melakukan semua perhitungan mental tersebut. Sebenarnya, ini tidak sulit sama sekali, apalagi jika Anda mengingat beberapa aturan sederhana.

Menambah dan mengurangi dari kiri ke kanan

Ingat bagaimana di sekolah kita diajarkan menjumlahkan dan mengurangi kolom dari kanan ke kiri? Penjumlahan dan pengurangan ini berguna jika Anda memiliki pensil dan selembar kertas, tetapi di kepala Anda, operasi matematika ini lebih mudah dilakukan dengan menghitung dari kiri ke kanan. Pada bilangan di sebelah kiri terdapat bilangan yang menyatakan nilai besar, misalnya ratusan dan puluhan, dan di sebelah kanan terdapat bilangan yang lebih kecil yaitu satuan. Menghitung dari kiri ke kanan lebih intuitif. Jadi, menjumlahkan 58 dan 26, mulailah dengan angka pertama, pertama 50 + 20 = 70, lalu 8 + 6 = 14, lalu jumlahkan kedua hasilnya - dan dapatkan 84. Mudah dan sederhana.

Permudah diri Anda sendiri

Jika Anda dihadapkan pada contoh atau soal yang kompleks, cobalah mencari cara untuk menyederhanakannya, seperti menjumlahkan atau mengurangkan suatu bilangan tertentu untuk mempermudah penghitungan secara keseluruhan. Jika, misalnya, Anda perlu menghitung berapa 593 + 680, pertama-tama tambahkan 7 ke 593 untuk mendapatkan angka 600 yang lebih mudah. Hitung berapa 600 + 680, lalu kurangi 7 yang sama dari hasil 1280 untuk mendapatkan jawaban yang benar - 1273.

Anda dapat melakukan hal yang sama dengan perkalian. Untuk mengalikan 89 x 6, cari tahu berapa 90 x 6 lalu kurangi sisanya 1 x 6. Jadi 540 - 6 = 534.

Ingat blok bangunannya

Menghafal tabel perkalian adalah bagian penting dan penting dalam matematika, yang sangat bagus untuk memecahkan contoh di kepala Anda.

Dengan menghafal “blok bangunan” dasar matematika, seperti tabel perkalian, akar kuadrat, persentase desimal dan pecahan biasa, kita bisa mendapatkan jawabannya segera tugas-tugas sederhana, tersembunyi di yang lebih sulit.

Ingat trik yang bermanfaat

Untuk menguasai perkalian lebih cepat, penting untuk mengingat beberapa trik sederhana. Salah satu aturan yang paling jelas adalah mengalikan dengan 10, yaitu menambahkan angka nol pada angka yang dikalikan atau memindahkan koma desimal satu tempat desimal. Jika dikalikan 5, jawabannya selalu berakhiran 0 atau 5.

Selain itu, saat mengalikan suatu bilangan dengan 12, kalikan dulu dengan 10, lalu dengan 2, lalu jumlahkan hasilnya. Misalnya, saat menghitung 12 x 4, kalikan dulu 4 x 10 = 40, lalu 4 x 2 = 8, lalu tambahkan 40 + 8 = 48. Saat mengalikan dengan 15, kalikan saja angkanya dengan 10, lalu tambahkan setengah hasilnya. , misal 4 x 15 = 4 x 10 = 40 ditambah setengahnya (20) sama dengan 60.

Ada juga trik jitu untuk mengalikan dengan 16. Pertama, kalikan angka yang dimaksud dengan 10, lalu kalikan setengah angka tersebut dengan 10. Kemudian tambahkan kedua hasil tersebut ke angka tersebut untuk mendapatkan jawaban akhir. Jadi untuk menghitung 16 x 24, hitung dulu 10 x 24 = 240, lalu setengah dari 24 yaitu 12, kalikan dengan 10 dan dapatkan 120. Dan langkah terakhir: 240 + 120 + 24 = 384.

Kuadrat dan akarnya sangat berguna

Hampir seperti tabel perkalian. Dan mereka dapat membantu mengalikan angka yang lebih besar. Sebuah persegi diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Berikut cara kerja perkalian menggunakan kuadrat.

Mari kita asumsikan sejenak kita tidak mengetahui jawaban dari 10 x 4. Pertama kita cari rata-rata antara kedua bilangan tersebut, yaitu 7 (yaitu 10 - 3 = 7, dan 4 + 3 = 7, dengan selisihnya antara rata-rata jumlahnya 3 - ini penting).

Lalu kita tentukan kuadrat dari 7, yaitu 49. Kini kita mempunyai angka yang mendekati jawaban akhir, namun belum cukup mendekati. Untuk mendapatkan jawaban yang benar, kita kembali ke selisih antara angka tengah (dalam hal ini 3), kuadratnya menghasilkan 9. Langkah terakhir melibatkan pengurangan sederhana, 49 - 9 = 40, sekarang Anda memiliki jawaban yang benar.

Hal ini tampaknya licik dan berlebihan. cara yang sulit cari tahu berapa besaran 10 x 4, namun teknik yang sama sangat cocok untuk bilangan yang lebih besar. Mari kita ambil contoh 15 x 11. Pertama kita harus mencari bilangan rata-rata di antara keduanya (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Kuadrat dari 13 sama dengan 169. Kuadrat selisih rata-rata angka 2 adalah 4. Kita mendapatkan 169 - 4 = 165, ini jawaban yang benar.

Terkadang jawaban perkiraan saja sudah cukup

Jika Anda mencoba memecahkan masalah kompleks di kepala Anda, tidak mengherankan jika hal itu membutuhkan banyak waktu dan tenaga. Jika Anda tidak membutuhkan jawaban yang benar-benar tepat, angka kasar saja sudah cukup.

Hal yang sama berlaku untuk tugas di mana Anda tidak mengetahui semua data pastinya. Misalnya, selama Proyek Manhattan, fisikawan Enrico Fermi ingin menghitung secara kasar kekuatan ledakan atom sebelum para ilmuwan memiliki data yang akurat. Untuk melakukan ini, dia melemparkan potongan-potongan kertas ke lantai dan mengawasinya dari jarak yang aman, pada saat gelombang ledakan mencapai potongan-potongan kertas tersebut. Dengan mengukur jarak pergerakan potongan-potongan tersebut, ia menyimpulkan bahwa kekuatan ledakannya kira-kira 10 kiloton TNT. Perkiraan ini ternyata cukup akurat untuk tebakan langsung.

Untungnya, kita tidak harus selalu memperkirakan perkiraan kekuatan ledakan atom, namun perkiraan kasar tidak ada salahnya jika, misalnya, Anda perlu menebak berapa banyak penyetel piano yang ada di suatu kota. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan mengoperasikan angka-angka yang mudah dibagi dan dikalikan. Jadi, pertama-tama Anda memperkirakan populasi kota Anda (katakanlah, seratus ribu orang), lalu perkirakan perkiraan jumlah piano (katakanlah, sepuluh ribu), dan kemudian jumlah penyetem piano (katakanlah, 100). Anda tidak akan mendapatkan jawaban pasti, tetapi Anda akan dapat dengan cepat menebak angka perkiraannya.

Susun ulang contoh

Aturan dasar matematika membantu mengubah contoh kompleks menjadi contoh sederhana. Misalnya, menghitung contoh 5 x (14 + 43) di kepala Anda tampaknya merupakan tugas yang sangat besar dan bahkan membebani, tetapi contoh tersebut dapat “dipecah” menjadi tiga perhitungan yang cukup sederhana. Misalnya, soal yang sangat berat ini bisa disusun ulang sebagai berikut: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Tidak terlalu sulit, bukan?

Sederhanakan tugas

Jika suatu tugas tampak sulit, sederhanakanlah. Mengatasi beberapa tugas sederhana selalu lebih mudah daripada menyelesaikan satu tugas rumit. Memecahkan banyak contoh kompleks dalam pikiran terletak pada kemampuan untuk membaginya dengan benar menjadi lebih banyak contoh sederhana, solusinya tidak sulit.

Misalnya, cara termudah untuk mengalikan dengan 8 adalah dengan menggandakan angka tersebut sebanyak tiga kali. Jadi, daripada mencoba menentukan berapa besarnya 12 x 8 cara tradisional, cukup gandakan 12 tiga kali: 12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48, 48 x 2 = 96.

Atau saat mengalikan dengan 5, kalikan dulu dengan 10 karena mudah, lalu bagi hasilnya dengan 2 karena juga cukup mudah. Misalnya untuk menyelesaikan 5 x 18, hitung 10 x 18 dan bagi dengan 2, dimana 180: 2 = 90.

Gunakan eksponensial

Menghitung dalam jumlah besar di kepala Anda, ingatlah bahwa Anda dapat mengubahnya menjadi angka yang lebih kecil dikalikan 10 pangkat yang diinginkan. Misalnya berapa yang didapat jika 44 miliar dibagi 400 ribu? Cara sederhana untuk mengatasi masalah ini adalah dengan mengubah 44 miliar menjadi nomor berikutnya- 44 x 10 9, dan dari 400 ribu jadikan 4 x 10 5. Sekarang kita dapat mengubah soal tersebut sebagai berikut: 44:4 dan 10 9:10 5. Menurut aturan matematika, semuanya terlihat seperti ini: 44: 4 x 10(9-5), jadi kita mendapatkan 11 x 10 4 = 110.000.

Cara termudah untuk menghitung tip yang dibutuhkan

Matematika diperlukan bahkan saat makan malam di restoran, atau lebih tepatnya setelahnya. Tergantung pada perusahaannya, tipnya bisa berkisar antara 10% hingga 20% dari nilai tagihan. Misalnya, di AS, merupakan kebiasaan memberi tip kepada pelayan sebesar 15%. Dan di sana, seperti di banyak tempat lain negara-negara Eropa, tip diperlukan.

Jika menghitung 10% dari jumlah total relatif mudah (cukup bagi jumlahnya dengan 10), maka dengan 15 dan 20% situasinya tampak lebih rumit. Namun nyatanya, semuanya sederhana dan sangat logis.

Saat menghitung tip 10 persen untuk makan malam seharga $112,23, cukup pindahkan koma desimal ke satu digit kiri untuk mendapatkan $11,22. Saat menghitung tip 20%, lakukan hal yang sama dan gandakan jumlahnya (20% sama dengan dua kali 10%), dalam hal ini tipnya adalah $22,44.

Untuk tip 15 persen, pertama-tama tentukan 10% dari jumlah tersebut dan kemudian tambahkan setengah dari jumlah yang diterima (tambahan 5% adalah setengah dari jumlah 10 persen). Jangan khawatir jika Anda tidak bisa mendapatkan jawaban pasti hingga sen terakhir. Tanpa terlalu memikirkan desimal, kita dapat dengan cepat mengetahui bahwa tip 15 persen dari $112,23 adalah $11 + $5,50, sehingga menghasilkan $16,50. Cukup akurat. Jika Anda tidak ingin menyinggung perasaan pelayan dengan kehilangan beberapa sen, bulatkan jumlahnya menjadi bilangan bulat dan bayar $17.

Untuk menjelaskan di mana kemampuannya operasi matematika, saran para ahli dua hipotesis. Salah satunya adalah bakat matematika efek samping munculnya bahasa dan ucapan. Yang lain berpendapat bahwa alasannya adalah kemampuan untuk menggunakan pemahaman intuitif tentang ruang dan waktu, yang memiliki asal usul evolusioner yang jauh lebih kuno.

Untuk menjawab pertanyaan hipotesis mana yang benar, para psikolog mengajukan percobaan yang melibatkan 15 ahli matematika profesional dan 15 orang biasa dengan tingkat pendidikan yang setara. Setiap kelompok disajikan dengan pernyataan matematis dan non-matematis yang kompleks yang harus dinilai benar, salah, atau tidak berarti. Selama percobaan, otak peserta dipindai menggunakan tomografi fungsional.

Hasil penelitian menunjukkan pernyataan-pernyataan yang berhubungan dengan kalkulus, aljabar, geometri dan topologi area aktif di korteks otak parietal, inferotemporal dan prefrontal pada ahli matematika, tetapi tidak pada kelompok kontrol. Zona-zona ini berbeda dari zona-zona yang menarik perhatian semua peserta eksperimen selama pernyataan biasa. Area “matematis” diaktifkan pada orang biasa hanya jika subjek diminta melakukan operasi aritmatika sederhana.

Para ilmuwan menjelaskan hasil ini dengan fakta bahwa pemikiran matematika tingkat tinggi melibatkan jaringan saraf yang bertanggung jawab atas persepsi angka, ruang dan waktu dan berbeda dari jaringan yang terkait dengan bahasa. Menurut para ahli, berdasarkan penelitian, Anda dapat memprediksi apakah seorang anak akan mengembangkan keterampilan matematika jika Anda menilainya keterampilan berpikir spasial.

Oleh karena itu, untuk menjadi seorang ahli matematika Anda perlu mengembangkan pemikiran spasial.

Apa yang dimaksud dengan pemikiran spasial?

Hal ini diperlukan untuk memecahkan sejumlah besar masalah yang ditimbulkan oleh peradaban kita jenis khusus aktivitas mental - pemikiran spasial. Istilah imajinasi spasial mengacu pada kemampuan manusia untuk membayangkan dengan jelas objek tiga dimensi secara detail dan warna.

Dengan bantuan pemikiran spasial, Anda dapat memanipulasi struktur spasial - nyata atau imajiner, menganalisis properti dan hubungan spasial, mengubah struktur asli, dan membuat yang baru. Dalam psikologi persepsi, telah lama diketahui bahwa pada awalnya hanya beberapa persen penduduk yang menguasai dasar-dasar berpikir spasial.

Berpikir spasial adalah jenis aktivitas mental tertentu yang terjadi dalam memecahkan masalah yang memerlukan orientasi dalam ruang praktis dan teoretis (baik tampak maupun imajiner). Dalam bentuknya yang paling berkembang, ini adalah pemikiran dengan pola-pola yang mencatat sifat-sifat dan hubungan spasial.

Bagaimana mengembangkan pemikiran spasial

Latihan untuk mengembangkan pemikiran spasial sangat berguna pada usia berapa pun. Pada awalnya, banyak orang mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya, namun seiring berjalannya waktu mereka memperoleh kemampuan untuk memecahkan masalah yang semakin kompleks. Latihan semacam itu memastikan fungsi normal otak dan membantu menghindari banyak penyakit yang disebabkan oleh kurangnya fungsi neuron di korteks serebral.

Anak-anak dengan pemikiran spasial yang berkembang seringkali berhasil tidak hanya dalam geometri, menggambar, kimia dan fisika, tetapi juga dalam sastra! Pemikiran spasial memungkinkan Anda membuat gambaran dinamis utuh di kepala Anda, semacam film, berdasarkan bagian teks yang telah dibaca. Kemampuan ini sangat memudahkan analisis fiksi dan membuat proses membaca jauh lebih menarik. Dan, tentu saja, pemikiran spasial sangat diperlukan dalam pelajaran menggambar dan bekerja.

Dengan pemikiran spasial yang berkembang, hal ini menjadi lebih dari itu Lebih mudah membaca gambar dan peta, menentukan lokasi dan memvisualisasikan rute menuju tujuan. Ini harus dimiliki oleh para penggemar orienteering, dan akan sangat membantu semua orang. kehidupan biasa di lingkungan kota.

Pemikiran spasial berkembang sejak masa kanak-kanak, ketika anak mulai melakukan gerakan pertamanya. Pembentukannya melalui beberapa tahap dan berakhir kira-kira pada tahun 2016 masa remaja. Namun, selama hidup, perkembangan dan transformasi lebih lanjut adalah mungkin. Anda dapat memeriksa tingkat perkembangan pemikiran spasial menggunakan tes interaktif kecil.

Ada tiga jenis operasi tersebut:

Mengubah posisi spasial gambar. Seseorang secara mental dapat menggerakkan suatu benda tanpa mengubah tampilannya. Misalnya, bergerak menurut peta, menata ulang benda-benda di dalam ruangan secara mental, menggambar ulang, dll.
Mengubah struktur gambar. Seseorang secara mental dapat mengubah suatu objek dengan cara tertentu, tetapi pada saat yang sama objek tersebut tetap tidak bergerak. Misalnya, secara mental menambahkan satu bentuk ke bentuk lain dan menggabungkannya, membayangkan seperti apa suatu objek jika Anda menambahkan detail ke dalamnya, dll.
Perubahan secara bersamaan baik pada posisi maupun struktur gambar. Seseorang mampu secara bersamaan membayangkan perubahan penampilan dan posisi spasial objek. Misalnya, rotasi mental suatu bangun tiga dimensi dengan sisi yang berbeda, gambaran seperti apa bangun tersebut dari satu sisi atau sisi lainnya, dll.

Tipe ketiga adalah yang paling canggih dan memberikan lebih banyak peluang. Namun, untuk mencapainya, Anda harus menguasai dua jenis operasi pertama dengan baik terlebih dahulu. Latihan dan tip yang disajikan di bawah ini ditujukan untuk mengembangkan pemikiran spasial secara umum dan ketiga jenis tindakan.

Teka-teki 3D dan origami

Melipat teka-teki tiga dimensi dan gambar kertas memungkinkan Anda membentuk gambar di kepala Anda berbagai objek. Memang, sebelum mulai bekerja, Anda harus mempresentasikan gambar yang sudah jadi untuk menentukan kualitas dan prosedur tindakan. Pelipatan dapat dilakukan dalam beberapa tahap:

Mengulangi tindakan setelah seseorang
Bekerja sesuai instruksi
Melipat gambar dengan dukungan sebagian sesuai instruksi
Pekerjaan mandiri tanpa mengandalkan materi (dapat dilakukan tidak langsung, tetapi setelah beberapa kali pengulangan tahap sebelumnya)

Penting bagi siswa untuk menelusuri setiap tindakan dengan jelas dan mengingatnya. Selain teka-teki, Anda juga bisa menggunakan set konstruksi biasa.

Dibagi menjadi dua jenis:

Menggunakan materi visual. Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki beberapa blanko dari berbagai bentuk geometris volumetrik: kerucut, silinder, kubus, piramida, dll. Tugas: mempelajari bentuk-bentuk; cari tahu seperti apa bentuknya dari berbagai sudut; letakkan gambar di atas satu sama lain dan lihat apa yang terjadi, dll.
Tanpa menggunakan materi visual. Jika siswa mengenal baik berbagai bentuk geometris tiga dimensi dan memiliki gambaran yang baik tentang seperti apa bentuknya, maka tugas-tugas tersebut dipindahkan ke bidang mental. Tugas: mendeskripsikan seperti apa gambar ini atau itu; sebutkan masing-masing sisinya; bayangkan apa yang akan terjadi jika satu gambar ditumpangkan pada gambar lainnya; katakan tindakan apa yang perlu dilakukan dengan suatu gambar untuk mengubahnya menjadi gambar lain (misalnya, cara mengubah parallelepiped menjadi kubus), dll.

Menggambar ulang (menyalin)

Tugas jenis ini berlangsung dengan kompleksitas yang semakin meningkat:

Menggambar ulang sebuah gambar secara sederhana. Siswa mempunyai model/sampel suatu gambar di depannya, yang perlu ia pindahkan ke kertas tanpa perubahan (dimensi dan penampilan harus cocok). Setiap sisi gambar digambar secara terpisah.
Menyalin dengan tambahan. Tugas: menggambar ulang gambar tanpa perubahan dan menambahkannya: panjang 5 cm, tepi tambahan, gambar lain, dll.
Penggambaran ulang yang dapat diskalakan. Tugas: menyalin bentuk yang mengubah ukurannya, mis. gambarlah 2 kali lebih besar dari model, 5 kali lebih kecil dari sampel, perkecil setiap sisinya sebesar 3 cm, dst.
Salin dari tampilan. Tugas: Bayangkan sebuah bangun tiga dimensi dan gambarlah dari sisi yang berbeda.

Kiriman

Objek representasinya berupa segmen dan garis. Tugasnya bisa sangat beragam, misalnya:

Bayangkan tiga segmen dengan arah berbeda, hubungkan secara mental dan gambarlah gambar yang dihasilkan.
Bayangkan sebuah segitiga ditumpangkan pada dua segmen. Apa yang telah terjadi?
Bayangkan dua garis saling mendekat. Dimana mereka akan berpotongan?

Membuat gambar dan diagram

Hal tersebut dapat dilakukan berdasarkan materi visual atau berdasarkan objek yang direpresentasikan. Anda dapat membuat gambar, diagram, dan rencana untuk subjek apa pun. Misalnya, denah sebuah ruangan yang menunjukkan letak setiap benda di dalamnya, ilustrasi skema bunga, gambar bangunan, dll.

Game "Tebak dengan sentuhan"

Anak itu menutup matanya dan menerima suatu benda yang dapat disentuhnya. Objeknya harus mempunyai dimensi sedemikian rupa sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk mempelajarinya secara keseluruhan. Jumlah waktu tertentu diberikan untuk ini tergantung pada usia siswa dan volume mata pelajaran (15-90 detik). Setelah waktu ini, anak tersebut harus mengatakan apa sebenarnya itu dan mengapa dia memutuskan seperti itu.

Anda juga dapat menggunakannya di dalam game jenis yang berbeda kain, buah-buahan serupa bentuknya (apel, nektarin, jeruk, persik), tidak standar bentuk geometris dan banyak lagi.

Permainan "Terbang dalam Sangkar"

Permainan ini membutuhkan setidaknya tiga orang. Dua orang berpartisipasi langsung dalam permainan, dan yang ketiga memantau kemajuannya dan memeriksa jawaban akhir.

Aturan: dua peserta mewakili kotak berukuran 9 kali 9 (gunakan representasi grafis itu dilarang!). Ada lalat di pojok kanan atas. Bergiliran melakukan gerakan, para pemain menggerakkan lalat melintasi kotak. Anda dapat menggunakan simbol gerakan (kanan, kiri, atas, bawah) dan jumlah sel. Misalnya, seekor lalat bergerak tiga kotak ke atas. Peserta ketiga memiliki diagram grafis tanda pagar dan menunjukkan setiap gerakan (setiap gerakan lalat). Selanjutnya dia mengatakan “Berhenti” dan pemain lain harus mengatakan di mana menurut mereka lalat itu berada saat ini. Pemenangnya adalah yang dengan benar menyebutkan kotak tempat lalat berhenti (diperiksa sesuai diagram yang dibuat oleh peserta ketiga).

Permainan dapat dibuat lebih kompleks dengan menambahkan jumlah sel dalam grid atau parameter seperti kedalaman (membuat grid menjadi tiga dimensi).

Latihan grafis

Mereka dilakukan dengan mata tanpa menggunakan benda bantu apa pun (penggaris, pena, kompas, dll.).

1. Sampai tingkat manakah seseorang harus bergerak agar pohon tumbang tidak menimpanya?

2. Gambar manakah yang dapat lewat antara benda A dan benda B?

Gambar dari buku karya Postalovsky I.Z. “Pelatihan berpikir imajinatif”

3. Bayangkan oval pada gambar adalah mobil. Manakah yang akan berada di persimpangan terlebih dahulu jika kecepatan kedua mobil sama?

Gambar dari buku karya Postalovsky I.Z. “Pelatihan berpikir imajinatif”

4. Kembalikan bagian gambar yang ditutupi penggaris.

Gambar dari buku karya Postalovsky I.Z. “Pelatihan berpikir imajinatif”

5. Tentukan dimana bola akan jatuh.

Gambar dari buku karya Postalovsky I.Z. “Pelatihan berpikir imajinatif”

Pandangan psikolog asing tentang kemampuan matematika
Perwakilan terkemuka dari tren tertentu dalam psikologi seperti A. Binet, E. Trondike dan G. Reves, serta ahli matematika terkemuka seperti A. Poincaré dan J. Hadamard, juga berkontribusi pada studi kemampuan matematika.

Berbagai macam arah ditentukan dan variasi yang sangat banyak dalam pendekatan studi kemampuan matematika, dalam alat metodologis dan generalisasi teoritis.

Satu-satunya hal yang disepakati oleh semua peneliti adalah, mungkin, pendapat bahwa perlu dibedakan antara kemampuan "sekolah" biasa untuk mengasimilasi pengetahuan matematika, mereproduksi dan menerapkannya secara mandiri, dan kemampuan matematika kreatif yang terkait dengan penciptaan mandiri produk asli dan bernilai sosial.

Peneliti asing menunjukkan kesatuan pandangan yang besar mengenai masalah kemampuan matematika bawaan atau diperoleh. Jika di sini kita membedakan dua aspek berbeda dari kemampuan ini - "sekolah" dan kemampuan kreatif, maka dalam kaitannya dengan kemampuan kreatif terdapat kesatuan yang utuh - kemampuan kreatif seorang ahli matematika adalah pendidikan bawaan, lingkungan yang menguntungkan hanya diperlukan untuk manifestasi dan perkembangannya. Mengenai kemampuan “sekolah” (belajar), psikolog asing tidak begitu sepakat. Di sini, mungkin, teori yang dominan adalah aksi paralel dari dua faktor - potensi biologis dan lingkungan.

Pertanyaan utama dalam studi kemampuan matematika (baik pendidikan maupun kreatif) di luar negeri adalah dan tetap menjadi pertanyaan tentang esensi dari pendidikan psikologis yang kompleks ini. Dalam hal ini, ada tiga masalah penting yang dapat diidentifikasi.
1. Masalah kekhususan kemampuan matematika. Apakah kemampuan matematika sebenarnya ada sebagai pendidikan khusus, berbeda dengan kategori kecerdasan umum? Atau apakah kemampuan matematika merupakan spesialisasi kualitatif umum proses mental dan ciri-ciri kepribadian, yaitu kemampuan intelektual umum yang dikembangkan sehubungan dengan aktivitas matematika? Dengan kata lain, apakah mungkin untuk mengatakan bahwa bakat matematika tidak lebih dari kecerdasan umum ditambah minat terhadap matematika dan kecenderungan untuk melakukannya?
2. Masalah struktur kemampuan matematika. Apakah bakat matematika merupakan sifat kesatuan (tunggal yang tidak dapat diurai) atau integral (kompleks)? Dalam kasus terakhir, kita dapat mengajukan pertanyaan tentang struktur kemampuan matematika, tentang komponen pembentukan mental yang kompleks ini.
3. Masalah perbedaan tipologis kemampuan matematika. Apakah ada berbagai jenis bakat matematika atau, dengan dasar yang sama, apakah perbedaannya hanya pada minat dan kecenderungan terhadap cabang matematika tertentu?

Pandangan B.M. Teplov tentang kemampuan matematika
Meskipun kemampuan matematika tidak menjadi bahan pertimbangan khusus dalam karya B.M. Teplov, bagaimanapun, jawaban atas banyak pertanyaan terkait studi mereka dapat ditemukan dalam karya-karyanya yang membahas masalah kemampuan. Di antara mereka, tempat khusus ditempati oleh dua karya monografi, "The Psychology of Musical Abilities" dan "The Mind of a Commander", yang telah menjadi contoh klasik studi psikologis tentang kemampuan dan memasukkan prinsip-prinsip pendekatan universal terhadap masalah ini. yang dapat dan harus digunakan ketika mempelajari segala jenis kemampuan.

Dalam kedua karyanya tersebut, B. M. Teplov tak hanya memberikan kecemerlangan analisis psikologis jenis kegiatan tertentu, tetapi juga melalui contoh-contoh perwakilan seni musik dan militer yang luar biasa, mengungkapkan komponen-komponen penting yang membentuk bakat-bakat cemerlang di bidang ini. B. M. Teplov memberikan perhatian khusus pada masalah hubungan antara kemampuan umum dan khusus, membuktikan bahwa keberhasilan dalam segala jenis kegiatan, termasuk musik dan urusan militer, tidak hanya bergantung pada komponen khusus (misalnya, dalam musik - pendengaran, rasa ritme ), tetapi juga dari fitur-fitur umum perhatian, ingatan, kecerdasan. Pada saat yang sama, kemampuan mental umum terkait erat dengan kemampuan khusus dan secara signifikan mempengaruhi tingkat perkembangan kemampuan khusus.

Peran kemampuan umum paling jelas ditunjukkan dalam karya “The Mind of a Commander.” Mari kita membahas ketentuan-ketentuan utama dari karya ini, karena ketentuan-ketentuan tersebut dapat digunakan dalam mempelajari jenis-jenis kemampuan lain yang berkaitan dengan aktivitas mental, termasuk kemampuan matematika. Setelah melakukan kajian mendalam terhadap kegiatan sang komandan, B.M. Teplov menunjukkan betapa pentingnya fungsi intelektual di dalamnya. Mereka memberikan analisis situasi militer yang kompleks, mengidentifikasi detail penting individu yang dapat mempengaruhi hasil pertempuran yang akan datang. Kemampuan menganalisislah yang memberikan yang pertama tahap yang diperlukan dalam membuat keputusan yang tepat, dalam menyusun rencana pertempuran. Setelah pekerjaan analitis, tibalah tahap sintesis, yang memungkinkan kita menggabungkan berbagai detail menjadi satu kesatuan. Menurut B.M. Teplov, aktivitas seorang komandan memerlukan keseimbangan proses analisis dan sintesis, dengan wajib tingkat tinggi perkembangan mereka.

Memori menempati tempat penting dalam aktivitas intelektual seorang komandan. Dia sangat selektif, artinya, pertama-tama dia menyimpan detail-detail penting yang diperlukan. Sebagai contoh klasik memori seperti itu B.M. Teplov mengutip pernyataan tentang ingatan Napoleon, yang mengingat secara harfiah segala sesuatu yang berhubungan langsung dengan aktivitas militernya, mulai dari nomor unit hingga wajah para prajurit. Pada saat yang sama, Napoleon tidak dapat mengingat materi yang tidak berarti, tetapi ia mampu mengingatnya fitur penting langsung mengasimilasi sesuatu yang tunduk pada klasifikasi, hukum logika tertentu.

B.M. Teplov sampai pada kesimpulan bahwa “kemampuan untuk menemukan dan menyoroti sistematisasi materi yang esensial dan konstan adalah kondisi yang paling penting, memastikan kesatuan analisis dan sintesis, keseimbangan antara aspek aktivitas mental yang membedakan kerja pikiran seorang komandan yang baik” (B.M. Teplov 1985, hal. 249). Selain memiliki pikiran yang luar biasa, seorang komandan juga harus memiliki kualitas pribadi tertentu. Pertama-tama, ini adalah keberanian, tekad, energi, yang dalam kaitannya dengan kepemimpinan militer biasanya disebut dengan konsep “kehendak”. Tidak kalah pentingnya kualitas pribadi adalah ketahanan terhadap stres. Emosionalitas seorang komandan berbakat diwujudkan dalam kombinasi emosi kegembiraan tempur dan kemampuan untuk berkumpul dan berkonsentrasi.

Tempat khusus dalam aktivitas intelektual komandan B.M. Teplov mengaitkan kehadiran kualitas seperti intuisi. Dia menganalisis kualitas pikiran komandan ini, membandingkannya dengan intuisi seorang ilmuwan. Ada banyak kesamaan di antara mereka. Perbedaan utama, menurut B. M. Teplov, adalah kebutuhan komandan untuk membuat keputusan mendesak, yang bergantung pada keberhasilan operasi, sementara ilmuwan tidak dibatasi oleh kerangka waktu. Namun dalam kedua kasus tersebut, “wawasan” harus didahului dengan kerja keras, yang menjadi dasar untuk membuat satu-satunya solusi yang tepat terhadap masalah tersebut.

Konfirmasi ketentuan dianalisis dan dirangkum oleh B.M. Teplov dari sudut pandang psikologis, dapat ditemukan dalam karya banyak ilmuwan terkemuka, termasuk ahli matematika. Jadi, dalam studi psikologi “Kreativitas Matematika,” Henri Poincaré menjelaskan secara rinci situasi di mana ia berhasil membuat salah satu penemuannya. Ini diawali dengan perjalanan panjang pekerjaan persiapan, besar berat jenis yang menurut ilmuwan tersebut merupakan proses ketidaksadaran. Tahap “wawasan” harus diikuti oleh tahap kedua - kerja sadar yang cermat untuk menyusun bukti dan memverifikasinya. A. Poincare sampai pada kesimpulan bahwa tempat yang paling penting Keterampilan matematika mencakup kemampuan untuk secara logis membangun rantai operasi yang akan mengarah pada pemecahan suatu masalah. Tampaknya hal ini dapat diakses oleh siapa saja yang mampu berpikir logis. Namun, tidak semua orang mampu mengoperasikan simbol-simbol matematika dengan kemudahan yang sama seperti ketika menyelesaikan masalah logika.

Bagi seorang ahli matematika, memiliki saja tidak cukup ingatan yang bagus dan perhatian. Menurut Poincaré, orang yang mampu matematika dibedakan berdasarkan kemampuannya memahami urutan unsur-unsur yang diperlukan untuk suatu pembuktian matematis harus disusun. Kehadiran intuisi semacam ini merupakan unsur utama kreativitas matematika. Beberapa orang tidak memiliki indera halus ini dan tidak memiliki ingatan dan perhatian yang kuat sehingga tidak mampu memahami matematika. Yang lain memiliki intuisi yang lemah, namun diberkahi dengan ingatan yang baik dan kemampuan untuk memberikan perhatian yang intens sehingga dapat memahami dan menerapkan matematika. Yang lain lagi memiliki intuisi yang istimewa dan, bahkan tanpa adanya ingatan yang baik, tidak hanya dapat memahami matematika, tetapi juga membuat penemuan matematika.

Di sini kita berbicara tentang kreativitas matematika, yang hanya dapat diakses oleh sedikit orang. Namun, seperti yang ditulis J. Hadamard, “di antara pekerjaan siswa, pemecah masalah dalam aljabar atau geometri, dan karya kreatif Perbedaannya hanya pada level dan kualitas, karena kedua karya tersebut memiliki sifat yang sama.” Untuk memahami kualitas apa yang masih diperlukan untuk mencapai keberhasilan dalam matematika, peneliti menganalisis aktivitas matematika: proses pemecahan masalah, metode pembuktian, penalaran logis, ciri-ciri memori matematika. Analisis ini mengarah pada penciptaan berbagai pilihan struktur kemampuan matematika, kompleks dalam komposisi komponennya. Pada saat yang sama, pendapat sebagian besar peneliti sepakat pada satu hal - bahwa tidak ada dan tidak mungkin ada satu kemampuan matematika yang diungkapkan dengan jelas - ini adalah karakteristik kumulatif yang mencerminkan karakteristik proses mental yang berbeda: persepsi, pemikiran, memori, imajinasi. .

Di antara komponen kemampuan matematika yang terpenting adalah kemampuan khusus menggeneralisasi materi matematika, kemampuan representasi spasial, dan kemampuan berpikir abstrak. Beberapa peneliti juga mengidentifikasi memori matematis berdasarkan pola penalaran dan pembuktian, metode pemecahan masalah dan prinsip pendekatan terhadapnya sebagai komponen independen dari kemampuan matematika. Psikolog Soviet yang mempelajari kemampuan matematika pada anak sekolah, V.A. Krutetsky memberikan definisi kemampuan matematika sebagai berikut: “Dengan kemampuan belajar matematika, kita memahami karakteristik psikologis individu (terutama karakteristik aktivitas mental) yang memenuhi persyaratan aktivitas matematika pendidikan dan menentukan, jika hal-hal lain dianggap sama, keberhasilan penguasaan kreatif matematika. sebagai mata pelajaran akademis, khususnya penguasaan pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan di bidang matematika yang relatif cepat, mudah, dan mendalam.”

Kajian kemampuan matematika juga mencakup pemecahan salah satunya masalah yang paling penting- mencari prasyarat alami, atau kecenderungan, dari jenis kemampuan ini. Kecenderungan mencakup karakteristik anatomi dan fisiologis bawaan seseorang, yang dianggap sebagai kondisi yang menguntungkan bagi pengembangan kemampuan. Kecenderungan telah lama dianggap sebagai faktor yang menentukan tingkat dan arah perkembangan kemampuan. Klasik psikologi Rusia B.M. Teplov dan S.L. Rubinstein secara ilmiah membuktikan ilegalitas pemahaman tentang kecenderungan seperti itu dan menunjukkan bahwa sumber pengembangan kemampuan adalah interaksi yang erat antara eksternal dan kondisi internal. Tingkat keparahan kualitas fisiologis tertentu sama sekali tidak menunjukkan perkembangan wajib dari jenis kemampuan tertentu. Itu hanya bisa terjadi kondisi yang menguntungkan untuk pengembangan ini. Sifat-sifat tipologis yang merupakan bagian dari kecenderungan dan merupakan komponen penting di dalamnya mencerminkan karakteristik individu dari fungsi tubuh seperti batas kinerja, karakteristik kecepatan reaksi saraf, kemampuan untuk mengatur ulang reaksi sebagai respons terhadap perubahan. dalam pengaruh eksternal.

Properti sistem saraf, erat kaitannya dengan sifat-sifat temperamen, pada gilirannya mempengaruhi manifestasi sifat-sifat karakterologis individu (V.S. Merlin, 1986). B. G. Ananyev, mengembangkan gagasan tentang umum dasar alami pengembangan karakter dan kemampuan, menunjuk pada pembentukan dalam proses aktivitas hubungan antara kemampuan dan karakter, yang mengarah pada pembentukan mental baru, yang dilambangkan dengan istilah “bakat” dan “panggilan” (Ananyev B.G., 1980). Dengan demikian, temperamen, kemampuan, dan karakter seolah-olah membentuk suatu rantai substruktur yang saling berhubungan dalam struktur kepribadian dan individualitas, yang memiliki satu dasar alami.

Diagram umum struktur kemampuan matematika pada usia sekolah menurut V.A. Krutetsky
Bahan yang dikumpulkan oleh V. A. Krutetsky memungkinkannya untuk membangun skema umum struktur kemampuan matematika pada usia sekolah.
1. Memperoleh informasi matematika.
Kemampuan untuk memahami materi matematika secara formal dan memahami struktur formal suatu masalah.
2. Pengolahan informasi matematika.
1) Kemampuan untuk berpikir logis di bidang hubungan kuantitatif dan spasial, simbolisme numerik dan simbolik. Kemampuan berpikir dalam simbol matematika.
2) Kemampuan menggeneralisasi objek, hubungan, dan tindakan matematika secara cepat dan luas.
3) Kemampuan untuk membatasi proses penalaran matematis dan sistem tindakan terkait. Kemampuan berpikir dalam struktur yang runtuh.
4) Fleksibilitas proses berpikir dalam aktivitas matematika.
5) Mengupayakan kejelasan, kesederhanaan, ekonomis dan rasionalitas keputusan.
6) Kemampuan mengatur ulang arah proses berpikir dengan cepat dan leluasa, beralih dari alur berpikir langsung ke alur berpikir terbalik (reversibilitas proses berpikir dalam penalaran matematis).
3. Penyimpanan informasi matematika.
1) Memori matematis (memori umum tentang hubungan matematis, ciri khas, pola penalaran dan pembuktian, metode pemecahan masalah dan prinsip pendekatannya).
4. Komponen sintetik umum.
1) Orientasi matematis pikiran. Komponen-komponen yang dipilih saling berkaitan erat, saling mempengaruhi dan membentuk keseluruhannya suatu sistem tunggal, suatu struktur integral, suatu sindrom unik bakat matematis, dan pola pikir matematis.

Struktur bakat matematika tidak mencakup komponen-komponen yang kehadirannya dalam sistem ini tidak diperlukan (walaupun berguna). Dalam pengertian ini, mereka netral dalam kaitannya dengan bakat matematika. Namun, ada atau tidaknya mereka dalam struktur (lebih tepatnya, tingkat perkembangannya) menentukan jenis pola pikir matematis. Komponen berikut ini tidak wajib dalam struktur bakat matematika:
1. Kecepatan proses berpikir sebagai ciri sementara.
2. Kemampuan komputasi (kemampuan membuat perhitungan yang cepat dan akurat, seringkali dalam pikiran).
3. Memori angka, angka, rumus.
4. Kemampuan representasi spasial.
5. Kemampuan untuk memvisualisasikan hubungan dan ketergantungan matematis abstrak.

Pasti Anda pernah bertemu dengan orang-orang yang sepertinya terlahir dengan mistar hitung di tangannya. Sejauh mana kemampuan matematika ditentukan oleh alam?

Kita semua memiliki pemahaman matematis bawaan - inilah yang memungkinkan kita memperkirakan secara kasar dan membandingkan jumlah objek tanpa harus menghitung secara pasti. Dengan bantuan perasaan inilah kita secara otomatis memilih antrean terpendek di kasir supermarket, tanpa menghitung jumlah orang.

Namun beberapa orang memiliki pemahaman matematika yang lebih baik dibandingkan yang lain. Beberapa penelitian yang diterbitkan pada tahun 2013 menunjukkan bahwa kemampuan bawaan ini, yang merupakan landasan keberhasilan pembelajaran matematika di kemudian hari, dapat dikembangkan secara signifikan melalui latihan dan pelatihan.

Para peneliti telah menemukan ciri-ciri struktural pada otak anak-anak yang paling berhasil dalam soal matematika. Menurut psikolog Elizabeth Brannon dari Duke University, penemuan baru ini pada akhirnya dapat membantu menemukan hasil maksimal cara yang efektif mengajar matematika.

Bagaimana penelitian itu dilakukan?

Mungkinkah mengembangkan pengertian matematika?

Namun kemampuan bawaan tidak membatasi kita sama sekali. Brannon dan rekannya Junku Park merekrut 52 sukarelawan dewasa untuk berpartisipasi dalam percobaan kecil. Selama percobaan, peserta harus menyelesaikan beberapa soal aritmatika yang melibatkan angka dua digit. Separuh dari kelompok tersebut kemudian menjalani 10 sesi pelatihan di mana mereka secara mental memperkirakan jumlah titik pada kartu. Kelompok kontrol tidak menjalani serangkaian tes tersebut. Setelah itu, kedua kelompok diminta untuk memutuskan kembali contoh aritmatika. Ditemukan bahwa hasil peserta yang menyelesaikan sesi pelatihan jauh lebih unggul dibandingkan hasil kelompok kontrol.

Kedua penelitian kecil ini menunjukkan bahwa kemampuan matematika bawaan dan keterampilan matematika yang diperoleh saling terkait erat; mengerjakan satu kualitas pasti akan mengarah pada peningkatan kualitas lainnya. Permainan anak yang ditujukan untuk melatih kemampuan matematika sangat berperan besar dalam pembelajaran matematika selanjutnya.

Penelitian lain yang dipublikasikan membantu menjelaskan mengapa beberapa anak belajar lebih baik daripada yang lain. Ilmuwan dari Universitas Stanford mengajar 24 siswa kelas tiga pendidikan khusus selama 8 minggu. kurikulum dengan bias matematika. Tingkat peningkatan kemampuan matematika anak kelompok ini berkisar antara 8% hingga 198% dan tidak bergantung pada hasil tes perkembangan intelektual, memori, dan kemampuan kognitif.

Pupsen dan Vupsen 23 Oktober 2013 pukul 21:42

Apa yang dimaksud dengan kemampuan matematika dan bagaimana mengembangkannya?

Baru-baru ini, setelah kembali mengalami kekalahan dalam matematika, saya bertanya-tanya: apa sebenarnya kemampuan matematika itu? Sifat pemikiran manusia apa yang sebenarnya sedang kita bicarakan? Dan bagaimana cara mengembangkannya? Kemudian saya memutuskan untuk menggeneralisasi pertanyaan ini dan merumuskannya sebagai berikut: apa yang dimaksud dengan kemampuan ilmu eksakta? Apa persamaannya dan apa perbedaannya? Apa perbedaan pemikiran seorang ahli matematika dengan pemikiran seorang fisikawan, kimiawan, insinyur, pemrogram, dan lain-lain. Hampir tidak ada materi yang dapat dipahami ditemukan di Internet. Satu-satunya hal yang saya suka adalah artikel ini tentang apakah ada kemampuan khusus untuk kimia dan apakah itu terkait dengan kemampuan fisika dan matematika.
Saya ingin menanyakan pendapat pembaca. Dan di bawah ini saya akan menguraikan visi subjektif saya tentang masalah tersebut.

Pertama-tama saya akan mencoba merumuskan apa yang menurut saya menjadi batu sandungan dalam menguasai matematika.
Bagi saya, masalahnya justru terletak pada bukti. Bukti yang ketat dan formal pada dasarnya sangat spesifik dan ditemukan terutama dalam matematika dan filsafat (koreksi saya jika saya salah). Bukan suatu kebetulan bahwa banyak pemikir besar adalah ahli matematika dan filsuf pada saat yang sama: Bertrand Russell, Leibniz, Whitehead, Descartes, daftarnya masih jauh dari lengkap. Di sekolah mereka jarang mengajarkan pembuktian; mereka ditemukan di sana terutama dalam geometri. Saya telah bertemu cukup banyak orang yang berbakat secara teknis yang ahli di bidangnya, tetapi pada saat yang sama mereka jatuh pingsan saat melihat teori matematika dan ketika mereka perlu melakukan pembuktian yang paling sederhana.
Poin berikutnya berkaitan erat dengan poin sebelumnya. Pemikiran kritis para matematikawan mencapai tingkat yang sungguh tak terbayangkan. dan selalu ada keinginan untuk membuktikan dan memverifikasi fakta yang tampak jelas. Saya ingat pengalaman saya mempelajari aljabar dan teori grup, mungkin tidak layak bagi orang yang berpikir, tetapi saya selalu bosan dengan menyimpulkan beberapa fakta terkenal dari aljabar linier dan saya tidak sanggup melakukan 20 pembuktian tentang sifat-sifatnya. ruang linier, dan saya siap mempercayai kata-kata saya, kondisi teorema, selama mereka membiarkan saya sendiri.

Menurut pemahaman saya, untuk berhasil menguasai matematika, seseorang harus memiliki keterampilan sebagai berikut:
1.Kemampuan induktif.
2. Kemampuan deduktif.
3. Kemampuan untuk beroperasi dengan sejumlah besar informasi dalam pikiran. Tes yang bagus dapat berfungsi sebagai masalah Einstein
Kita bisa mengingat matematikawan Soviet Pontryagin, yang menjadi buta pada usia 14 tahun.
4. Ketekunan, kemampuan berpikir cepat, ditambah minat dapat mencerahkan usaha yang harus dilakukan, namun tidak kondisi yang diperlukan dan terlebih lagi cukup.
5. Suka permainan pikiran yang benar-benar abstrak dan konsep-konsep abstrak
Di sini kita dapat memberikan contoh topologi dan teori bilangan. Situasi lucu lainnya dapat diamati di antara mereka yang mempelajari persamaan diferensial parsial dari sudut pandang matematika murni dan hampir sepenuhnya mengabaikan interpretasi fisik.
6. Bagi para ahli geometri, diharapkan memiliki pemikiran spasial.
Adapun saya, saya telah menentukan milik saya titik lemah. Saya ingin memulai dengan teori pembuktian, logika matematika dan matematika diskrit, dan juga menambah jumlah informasi yang dapat saya tangani. Yang paling patut diperhatikan adalah buku-buku karya D. Poya “Mathematics and Plausible Reasoning”, “How to Solve a Problem”
Menurut Anda apa kunci sukses menguasai matematika dan ilmu eksakta lainnya? Dan bagaimana cara mengembangkan kemampuan tersebut?

Tag: Matematika, fisika

Anda mungkin tertarik dengan materi berikut