Apa itu notasi biner? Sistem bilangan. Sistem bilangan posisi adalah biner. Kekurangan sistem bilangan biner
Memiliki basis 2. Diimplementasikan langsung dalam elektronik digital, digunakan di sebagian besar perangkat komputasi modern, termasuk komputer, ponsel dan berbagai macam sensor. Kita dapat mengatakan bahwa semua teknologi di zaman kita dibangun berdasarkan bilangan biner.
Menulis angka
Bilangan apa pun, berapa pun besarnya, ditulis dalam biner menggunakan dua simbol: 0 dan 1. Misalnya, bilangan 5 dari sistem desimal yang lazim dalam biner akan direpresentasikan sebagai 101. Bilangan biner dapat dilambangkan dengan awalan 0b atau an ampersand (&), misalnya: &101.
Dalam semua sistem bilangan, kecuali desimal, karakter dibaca satu per satu, yaitu 101 yang diambil sebagai contoh dibaca sebagai “satu nol satu”.
Transfer dari satu sistem ke sistem lainnya
Pemrogram yang terus-menerus bekerja dengan sistem bilangan biner dapat mengubah bilangan biner menjadi bilangan desimal dengan cepat. Hal ini memang bisa dilakukan tanpa rumus apa pun, apalagi jika seseorang memiliki gambaran tentang cara kerja bagian terkecil dari “otak” komputer—bit—bekerja.
Angka nol juga berarti 0, dan angka satu dalam sistem biner juga akan menjadi satu, tapi apa yang harus dilakukan selanjutnya jika angkanya habis? Sistem desimal akan "mengusulkan" dalam hal ini untuk memperkenalkan istilah "sepuluh", dan dalam sistem biner akan disebut "dua".
Jika 0 adalah &0 (ampersand adalah simbol biner), 1 = &1, maka 2 akan dilambangkan &10. Tiga juga dapat ditulis dalam dua angka; akan berbentuk &11, yaitu satu dua dan satu satu. Kemungkinan kombinasi telah habis, dan pada tahap ini ratusan diperkenalkan dalam sistem desimal, dan “empat” dalam sistem biner. Empat adalah &100, lima adalah &101, enam adalah &110, tujuh adalah &111. Satuan penghitungan berikutnya yang lebih besar adalah delapan.
Anda dapat melihat kekhasannya: jika dalam sistem desimal angka-angkanya dikalikan sepuluh (1, 10, 100, 1000, dan seterusnya), maka dalam sistem biner masing-masing dengan dua: 2, 4, 8, 16, 32. Ini sesuai dengan ukuran kartu flash dan perangkat penyimpanan lain yang digunakan di komputer dan perangkat lainnya.
Apa itu kode biner
Bilangan yang disajikan dalam sistem bilangan biner disebut biner, tetapi nilai nonnumerik (huruf dan simbol) juga dapat direpresentasikan dalam bentuk ini. Dengan demikian, kata dan teks dapat dikodekan dalam angka, meskipun tampilannya tidak terlalu singkat, karena untuk menulis satu huruf saja Anda memerlukan beberapa angka nol dan satu.
Tapi bagaimana komputer bisa membaca begitu banyak informasi? Faktanya, semuanya lebih sederhana dari yang terlihat. Orang yang terbiasa dengan sistem bilangan desimal pertama-tama mengubah bilangan biner menjadi bilangan yang lebih familiar, dan baru kemudian melakukan manipulasi apa pun dengannya, dan logika komputer pada awalnya didasarkan pada sistem bilangan biner. Unit dalam teknologi berhubungan dengan tegangan tinggi, dan nol rendah, atau untuk satu ada tegangan, tetapi untuk nol tidak ada tegangan sama sekali.
Bilangan biner dalam budaya
Adalah suatu kesalahan untuk berasumsi bahwa ini adalah kelebihan matematikawan modern. Meskipun bilangan biner merupakan hal mendasar dalam teknologi saat ini, bilangan biner telah digunakan sejak lama, dan di berbagai belahan dunia. Garis panjang (satu) dan garis putus-putus (nol) digunakan, yang mengkodekan delapan simbol yang mewakili delapan elemen: langit, bumi, guntur, air, gunung, angin, api, dan badan air (massa air). Analogi angka 3-bit ini dijelaskan dalam teks klasik Kitab Perubahan. Trigram tersebut terdiri dari 64 heksagram (digit 6-bit), yang urutannya dalam Buku Perubahan disusun sesuai dengan digit biner dari 0 hingga 63.
Urutan ini disusun pada abad kesebelas oleh ilmuwan Tiongkok Shao Yong, meskipun tidak ada bukti bahwa dia benar-benar memahami sistem bilangan biner secara keseluruhan.
Di India, bahkan sebelum zaman kita, bilangan biner juga digunakan sebagai dasar matematika untuk menggambarkan puisi, yang disusun oleh ahli matematika Pingala.
Tulisan suku Inca (quipu) yang diikat dianggap sebagai prototipe database modern. Merekalah yang pertama kali menggunakan tidak hanya kode angka biner, tetapi juga entri non-numerik dalam sistem biner. Tumpukan dicirikan tidak hanya oleh kunci primer dan sekunder, tetapi juga oleh penggunaan nomor posisi, kode warna, dan rangkaian pengulangan data (siklus). Suku Inca memelopori metode akuntansi yang disebut double entry.
Yang pertama dari programmer
Sistem bilangan biner berdasarkan angka 0 dan 1 juga dijelaskan oleh ilmuwan, fisikawan, dan matematikawan terkenal, Gottfried Wilhelm Leibniz. Dia terpesona oleh budaya Tiongkok kuno dan, ketika mempelajari teks-teks tradisional Kitab Perubahan, memperhatikan korespondensi heksagram dengan bilangan biner dari 0 hingga 111111. Dia mengagumi bukti pencapaian serupa dalam filsafat dan matematika pada waktu itu. Leibniz dapat disebut sebagai pemrogram dan ahli teori informasi pertama. Dialah yang menemukan bahwa jika Anda menulis kelompok bilangan biner secara vertikal (satu di bawah yang lain), maka kolom bilangan vertikal yang dihasilkan akan mengulangi angka nol dan satu secara teratur. Hal ini membuatnya percaya bahwa hukum matematika yang benar-benar baru mungkin ada.
Leibniz juga memahami bahwa bilangan biner optimal untuk digunakan dalam mekanika, yang dasarnya adalah perubahan siklus pasif dan aktif. Saat itu abad ke-17, dan ilmuwan hebat ini menciptakannya di atas kertas komputer, yang bekerja berdasarkan penemuan-penemuan barunya, tetapi dengan cepat menyadari bahwa peradaban belum mencapai perkembangan teknologi seperti itu, dan pada masanya penciptaan mesin seperti itu mustahil dilakukan.
Notasi- cara merepresentasikan angka berdasarkan angka tertentu N karakter yang disebut angka. Angka sama dengan jumlah karakter P, digunakan untuk menunjukkan banyaknya satuan setiap digit disebut dasar sistem bilangan.
Asal usul sistem desimal yang paling umum dikaitkan dengan penghitungan jari. Sistem seksagesimal yang ada pada Babilonia Kuno tetap pada pembagian jam dan derajat sudut menjadi 60 menit dan menit menjadi 60 detik. Di Rusia hingga abad ke-18. ada sistem bilangan desimal berdasarkan huruf abjad a, b, g... dengan garis di atas huruf (dari huruf Yunani: alfa, beta, gamma).
Sistem desimal modern didasarkan pada sepuluh digit, yang gayanya 0, 1, 2, ..., 9 dibentuk di India pada abad ke-5. IKLAN dan datang ke Eropa dengan membawa manuskrip Arab (" Angka Arab"). Sistem biner menggunakan dua digit: 0 dan 1. Sistem heksadesimal menggunakan 16 karakter: 0, 1, 2, ..., 29, A, B, C, D, E, F. Sistem bilangan ini disebut posisional, karena nilai setiap digit suatu bilangan ditentukan oleh tempatnya (posisi, pangkat) dalam rangkaian bilangan yang membentuk bilangan tersebut. Posisi dihitung dari kanan ke kiri; Jadi, dalam sistem desimal: angka nol adalah angka satuan, angka pertama adalah angka puluhan, angka kedua adalah angka ratusan, lalu angka ribuan, dan seterusnya.
DI DALAM non-posisional Dalam sistem bilangan, bilangan tidak mengubah nilai kuantitatifnya ketika lokasinya dalam suatu bilangan berubah.
Misalnya 1 – I, 2 – II, 5 – IIIIII.
Sistem bilangan Romawi (I, II, III, IV, V) bersifat campuran, karena arti setiap angka sebagian bergantung pada tempat (posisinya) dalam bilangan tersebut. Misalnya IV adalah 4 = 5-1, dan VI adalah 6 = 5 + 1.
DI DALAM desimal Dalam sistem, setiap digit dapat menunjukkan salah satu dari 10 nilai (angka 0, 1, 2,…, 9). Untuk menulis angka setelah sembilan dalam sistem desimal, tambahkan angka baru di sebelah kiri dan letakkan angka 1 pada posisinya, diikuti dengan nol, dan Anda mendapatkan 10, yaitu. sepuluh. Dua digit dalam sistem desimal memungkinkan Anda menulis seratus angka: dari 0 hingga 99, maka Anda harus menambahkan digit baru untuk angka 100.
Digit suatu bilangan desimal menentukan bilangan berdasarkan sistem bilangan dan penomoran digit, misalnya dengan menggunakan rumus berikut: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, dimana nilai digit tersebut dikalikan dengan 10 pangkat “digit digit”. Pada bilangan 256, angka 2 berada pada angka kedua artinya dua ratus, sehingga dikalikan 102; angka 5 pada angka pertama berarti 5 puluhan dan dikalikan 101; angka 6 berada di angka nol dan dikalikan dengan 1, yaitu oleh 100.
Sistem bilangan biner
Dalam sistem biner, hanya dua nilai yang dapat ditulis ke dalam satu digit: 0 atau 1, dan hanya itu – kemungkinan digit tersebut sudah habis. Dua digit dalam bilangan biner memungkinkan Anda menulis empat angka berbeda, dan tiga digit memungkinkan Anda menulis delapan angka. Meningkatkan kedalaman bit digit dalam suatu angka menjadi N digit, dapat dijelaskan dalam sistem biner 2 x angka yang berbeda, hitung 2 x objek.
Biarkan dalam sistem bilangan dengan basis R nomor empat digit ditulis X, angka-angka yang dilambangkan dengan tanda dengan indeks di bawah α 3α 2α 1α 0. Di sini A 0 – tanda (digit) untuk angka nol, A 1 – untuk digit pertama, dst.
Angka tersebut dapat direpresentasikan dengan ekspresi
x = sebuah 3R 3 + sebuah 2R 2 + sebuah 1R 1 + sebuah 0R 0.
Mari kita bandingkan notasi bilangan desimal 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 dan bilangan biner 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Eksponen yang harus dipangkatkan basisnya R sistem bilangan asli bertepatan dengan bilangan posisi yang bersangkutan.
Karena komputer menggunakan sistem bilangan biner, maka bilangan yang menjadi pangkat 2 memegang peranan penting dan sering disebutkan, misalnya: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Bilangan 8-bit terbesar dengan delapan bilangan biner 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 sama dengan bilangan desimal 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Bersama dengan nol, kita mendapatkan tepat 256 bilangan bulat, yang sama dengan 28.
Heksadesimal sistem - sistem bilangan basis 16 menggunakan angka 0 hingga 9 dan huruf besar atau kecil alfabet Latin dari A(setara dengan desimal 10) sampai F(setara dengan desimal 15). Artinya, dalam sistem bilangan heksadesimal angka-angkanya adalah 0, 1, 2, 9, A, B, C, D, E, F. Suatu bilangan dalam sistem biner dibagi menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari empat digit biner. Satu kelompok memberikan 24 = 16 kombinasi. Angka desimal 396 ditulis 110001100 dalam biner dan 18C dalam heksadesimal. Korespondensi bilangan desimal, biner dan heksadesimal ditunjukkan pada tabel. 1.1.
Sistem bilangan heksadesimal digunakan untuk menentukan alamat sel RAM komputer, corak warna dan memberikan deretan angka yang lebih pendek,
Tabel 1.1
Pencocokan angka: desimal, biner, heksadesimal
|
Angka desimal |
Biner |
Angka heksadesimal |
Angka desimal |
Biner |
Angka heksadesimal |
seperti yang diberikan oleh sistem biner. Terkadang sebuah huruf ditulis setelah angka heksadesimal H(heksamal). Misalnya, 321 /g sama dengan desimal 801 = 3,162 + 2,161 + 1,160, a FCh- Ini angka desimal 252 = 15 161 + 12 160.
instruksi
Untuk menggunakan sistem bilangan biner, setiap digit harus direpresentasikan sebagai tetrad digit biner. Misalnya bilangan heksadesimal 967 diuraikan menjadi tetrad sebagai berikut: 9 = 1001, 6 = 0110, 7 = 0111. Bilangan biner yang dihasilkan adalah 100101100111.
Untuk mengubah bilangan desimal ke sistem bilangan biner, Anda harus membaginya secara berurutan dengan dua, setiap kali menuliskan hasilnya sebagai bilangan bulat dan sisanya. Pembagian harus dilanjutkan sampai tersisa bilangan yang sama dengan satu. Bilangan akhir diperoleh dengan menuliskan hasil pembagian terakhir dan sisa seluruh pembagian secara berurutan dengan urutan terbalik. Sebagai contoh, gambar menunjukkan prosedur untuk mengubah bilangan desimal 25 ke sistem bilangan biner. Pembagian dua berturut-turut menghasilkan urutan sisa berikut: 10011. Memutarnya, kita mendapatkan nomor yang diperlukan.
Harap diperhatikan
Oleh karena itu, setelah menerima, sebagai hasil dari serangkaian perkalian dengan 2, hanya nol di sebelah kanan vertikal, kami menyelesaikan proses mengubah pecahan desimal kurang dari satu ke dalam sistem bilangan biner dan menuliskan jawabannya: Ini adalah jelas bahwa lebih sering kita akan menemukan pecahan desimal awal seperti itu ketika mengalikan dengan 2 angka, berdiri di sebelah kanan vertikal tidak akan menyebabkan munculnya hanya angka nol di sana.
Kita sudah mengetahui cara mengubah bilangan menjadi sistem bilangan yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana hal ini terjadi dengan sistem bilangan biner. Mari kita ubah bilangan dari sistem bilangan biner ke sistem bilangan desimal. Oleh karena itu, sistem bilangan oktal dan heksadesimal diciptakan. Mereka nyaman, seperti angka desimal, karena lebih sedikit digit yang diperlukan untuk mewakili angka tersebut. Dan dibandingkan dengan bilangan desimal, mengkonversi ke biner sangatlah sederhana.
Sumber:
- terjemahan sistem bilangan biner
Untuk komponen mesin elektronik, yang mencakup komputer, hanya ada dua keadaan yang dapat dibedakan: ada arus dan tidak ada arus. Mereka masing-masing diberi nama "1" dan "0". Karena hanya ada dua keadaan seperti itu, banyak proses dan operasi dalam elektronik dapat dijelaskan menggunakan bilangan biner.
instruksi
Bagilah bilangan desimal dengan dua hingga Anda mendapatkan sisa yang tidak dapat dibagi dua. Pada langkah tersebut kita mendapatkan sisa 1 (bila bilangan yang dibagi ganjil) atau 0 (jika bilangan yang habis dibagi dua tanpa sisa). Semua saldo ini harus diperhitungkan. Hasil bagi terakhir yang diperoleh dari pembagian langkah demi langkah akan selalu sama dengan satu.
Kami menulis unit terakhir dalam digit paling signifikan dari bilangan biner yang diinginkan, dan menulis sisa yang diperoleh dalam proses setelah unit ini dalam urutan terbalik. Di sini Anda harus berhati-hati dan tidak melewatkan angka nol.
Jadi, angka 235 dalam kode biner akan sesuai dengan angka 11101011.
Sekarang mari kita ubah bagian pecahan dari bilangan desimal ke dalam sistem bilangan biner. Untuk melakukan ini, kita mengalikan bagian pecahan suatu bilangan secara berurutan dengan 2 dan memperbaiki bagian bilangan bulat dari bilangan yang dihasilkan. Kami menambahkan bagian bilangan bulat ini ke angka yang diperoleh pada langkah sebelumnya setelah titik biner dalam urutan lurus.
Kemudian desimal bilangan pecahan 235.62 sesuai dengan pecahan biner 11101011.100111.
Video tentang topik tersebut
Harap diperhatikan
Bagian pecahan biner suatu bilangan akan berhingga hanya jika bagian pecahan dari bilangan aslinya berhingga dan berakhiran 5. Kasus paling sederhana: 0,5 x 2 = 1, maka 0,5 dalam sistem desimal adalah 0,1 dalam sistem biner.
Sumber:
- Mengubah bilangan desimal ke sistem bilangan biner
Ada beberapa sistem bilangan. Jadi, bilangan desimal yang sudah dikenal dapat direpresentasikan, misalnya, sebagai enumerasi karakter biner - ini akan menjadi pengkodean biner dari bilangan tersebut. Pada sistem bilangan oktal dengan basis 8, suatu bilangan ditulis sebagai himpunan bilangan dari 0 sampai 7. Namun sistem bilangan yang paling banyak digunakan adalah sistem bilangan heksadesimal, atau sistem dengan basis 16. Untuk menulis suatu bilangan, bilangan dari 0 sampai 9 dan huruf latin dari A sampai F diambil disini. Ubah bilangan desimal menjadi bentuk heksadesimalnya menggunakan tabel pencarian. Dan angka yang lebih besar dari 15 diterjemahkan dengan perluasan sederhana menjadi pangkat, mengulangi operasi pembagian dengan basis 16.
instruksi
Tuliskan bilangan desimal aslinya. Jika angkanya kurang dari atau sama dengan 15, gunakan tabel konversi untuk menuliskannya dalam bentuk heksadesimal. Angka di atas 9 diganti dengan sebutan huruf, maka 10 diganti dengan huruf A dengan basis 16, dan 15 dengan huruf F.
Periksa hasil bagi untuk melihat apakah hasilnya kurang dari 16. Jika hasil bagi lebih besar dari atau sama dengan 16, bagi juga hasil bagi dengan 16. Bagilah hasil yang diperoleh dengan 16 sebanyak yang diperlukan untuk hasil bagi yang kurang dari 16. Jika hasil bagi tersebut ternyata kurang dari 16, pilihlah juga sebagai sisanya.
Catatlah saldo yang dihasilkan, dimulai dari angka terakhir. Gantilah sisanya dengan angka lebih besar dari 9 menggunakan tabel korespondensi dengan huruf sistem heksadesimal. Notasi yang dihasilkan merupakan representasi heksadesimal dari bilangan desimal aslinya.
Saran yang berguna
Demikian pula, dengan menggunakan pembagian berdasarkan 8 atau 2, Anda dapat menulis bilangan apa pun dalam notasi desimal dalam notasi oktal dan biner.
Sistem bilangan biner ditemukan sebelum zaman kita. Namun, saat ini, berkat keberadaan komputer dan perangkat lunak kode biner di mana-mana, sistem ini telah bangkit kembali. Anak-anak sekolah mempelajari representasi bilangan biner hanya dengan menggunakan dua digit 0 dan 1 di kelas ilmu komputer. Ini adalah representasi biner dari angka yang “dipahami” oleh semua komputer. Konversi ke sistem biner dari sistem lainnya dijelaskan secara rinci menggunakan metode yang berbeda. Metode paling sederhana dianggap sebagai perluasan kekuasaan ke basis 2.
instruksi
Jika bilangan asli diwakili oleh , untuk mengubahnya, gunakan cara membagi dengan basis 2. Caranya, bagi bilangan tersebut dengan 2 dan tuliskan sisanya. Jika pembagian yang dihasilkan ternyata lebih dari dua, bagi lagi dengan 2 dan simpan juga sisanya.
Lanjutkan iterasi pembagian hingga hasil bagi kurang dari 2. Setelah itu, tuliskan rangkaian angka yang diperoleh sisa dan hasil bagi akhir, dimulai dari iterasi terakhir. Entri 0 dan 1 ini akan menjadi representasi biner dari bilangan aslinya.
Jika bilangan tertentu dinyatakan dalam heksadesimal, gunakan tabel konversi untuk mengubahnya menjadi biner. Di dalamnya, setiap angka dari 0 hingga F dalam sistem heksadesimal dikontraskan dengan kumpulan angka empat digit dalam kode biner.
Jadi, jika Anda memiliki record berbentuk: 4BE2, maka untuk menerjemahkannya Anda harus mengganti setiap karakter dengan kumpulan angka yang sesuai dari tabel transisi. Urutan penulisan angka dijaga dengan ketat. Dengan demikian, angka 4 dari sistem heksadesimal akan digantikan oleh 0100, B - 1011, E - 1110 dan 2 - 0010. Dan angka asli 4BE2 dalam notasi biner akan terlihat seperti: 0100101111100010.
Video tentang topik tersebut
Sumber:
- Cara mengubah bilangan 1000 pada sistem terner ke biner
Mengubah suatu bilangan secara manual dari desimal ke biner membutuhkan keterampilan pembagian yang panjang. Konversi terbalik - dari sistem biner ke sistem desimal - hanya memerlukan penggunaan perkalian dan penjumlahan, dan kemudian pada kalkulator.
instruksi
Di samping angka penting terkecil suatu bilangan biner, tuliskan angka desimal 1, dan di samping angka paling signifikan berikutnya, tuliskan angka desimal 2.
Tekan lagi tombol tanda sama dengan pada kalkulator - Anda mendapatkan 4. Tulis angka ini di sebelah digit paling signifikan ketiga. Tekan lagi tombol tanda sama dengan untuk mendapatkan 8. Tuliskan angka delapan di sebelah digit paling signifikan keempat dari bilangan biner tersebut. Ulangi operasi ini sampai semua digit biner ditulis bersebelahan.
Cobalah untuk mengingat angka-angka ini setidaknya sampai 131072. Percayalah, menghafal pangkat 2 di buku ini jauh lebih mudah daripada, misalnya, tabel perkalian. Dalam hal ini, ketika menerjemahkan sistem bilangan kecil, Anda dapat melakukannya tanpa kalkulator pada tahap ini.
Namun pada tahap selanjutnya Anda masih membutuhkan kalkulator. Namun jika diinginkan (atau jika guru ilmu komputer memerlukannya), perhitungan ini dapat dilakukan dalam kolom. Jumlahkan hanya bilangan desimal yang tertulis di sebelah digit bilangan biner yang nilainya . Hasil penjumlahan ini akan menjadi angka desimal yang diinginkan.
Untuk memperkuat keterampilan mengubah angka secara manual dari biner ke desimal, mainkan permainan yang diusulkan permainan didaktik. Untuk ini, Anda memerlukan kalkulator ilmiah yang dapat dialihkan ke biner. Kalkulator virtual, yang tersedia di Linux dan Windows, juga cocok jika Anda mengalihkannya ke mode teknik. Mintalah satu pemain menebak dan mengetikkan angka desimal pada kalkulator, menuliskannya, lalu mengalihkan kalkulator ke mode biner. Pemain kedua, yang hanya menggunakan kalkulator biasa (non-teknik), atau umumnya menghitung hanya dengan kolom, harus mengubah angka ini ke dalam sistem desimal. Jika dia menerjemahkan dengan benar, para pemain berganti peran. Jika dia melakukan kesalahan, biarkan dia mencoba lagi.
Video tentang topik tersebut
Dalam sistem penghitungan yang kita gunakan setiap hari, ada sepuluh digit - dari nol hingga sembilan. Itu sebabnya disebut desimal. Namun, di perhitungan teknis, terutama yang berhubungan dengan komputer, juga digunakan sistem lain, khususnya biner dan heksadesimal. Oleh karena itu, Anda harus bisa mengonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya.
Anda akan membutuhkannya
- - selembar kertas;
- - pensil atau pena;
- - kalkulator.
instruksi
Sistem biner adalah yang paling sederhana. Ia hanya memiliki dua digit - nol dan satu. Setiap digit bilangan biner, dimulai dari akhir, melambangkan pangkat dua. Dua dalam sama dengan satu, yang pertama - dua, yang kedua - empat, yang ketiga - delapan, dan seterusnya.
Misalkan Anda diberi bilangan biner 1010110. Satuan di dalamnya berada di urutan kedua, ketiga, kelima, dan ketujuh. Jadi, dalam sistem desimal bilangan ini adalah 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Soal invers - sistem bilangan desimal. Katakanlah Anda memiliki angka 57. Untuk mendapatkannya, Anda harus membagi angka tersebut secara berurutan dengan 2 dan menulis sisanya. Bilangan biner akan dibangun dari akhir ke awal.
Langkah pertama akan menghasilkan digit terakhir: 57/2 = 28 (sisa 1).
Kemudian Anda mendapatkan yang kedua dari akhir: 28/2 = 14 (sisa 0).
Langkah selanjutnya: 14/2 = 7 (sisa 0);
7/2 = 3 (sisa 1);
3/2 = 1 (sisa 1);
1/2 = 0 (sisa 1).
Ini langkah terakhir karena hasil pembagiannya nol. Hasilnya, Anda mendapatkan bilangan biner 111001.
Periksa jawabanmu: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Yang kedua, yang digunakan dalam urusan komputer, adalah heksadesimal. Itu bukan sepuluh, tapi enam belas digit. Untuk menghindari pembuatan yang baru simbol, sepuluh digit pertama sistem heksadesimal dilambangkan dengan digit biasa, dan enam digit sisanya dilambangkan dengan dalam huruf latin: A, B, C, D, E, F. Dalam notasi desimal, angka tersebut sesuai dengan angka dari 10 hingga 15. Untuk menghindari kebingungan, angka yang ditulis dalam heksadesimal diawali dengan tanda # atau simbol 0x.
Rencana Pelajaran
Di sini Anda akan belajar:
♦ cara bekerja dengan angka;
♦ apa itu spreadsheet;
♦ bagaimana permasalahan komputasi diselesaikan;
♦ menggunakan spreadsheet;
♦ cara menggunakan spreadsheet untuk pemodelan informasi.
Sistem bilangan biner
Topik utama paragraf:
♦ sistem bilangan desimal dan biner;
♦ bentuk penulisan angka yang diperluas;
♦ mengubah bilangan biner ke sistem desimal;
♦ konversi bilangan desimal ke sistem biner;
♦ aritmatika bilangan biner.
Dalam bab ini kita akan membahas organisasi perhitungan komputer. Komputasi melibatkan penyimpanan dan pemrosesan angka.
Komputer bekerja dengan angka dalam sistem bilangan biner.
Ide ini dimiliki oleh John von Neumann, yang merumuskan prinsip-prinsip desain dan pengoperasian komputer pada tahun 1946. Mari kita cari tahu apa itu sistem bilangan.
Sistem bilangan desimal dan biner
Sistem bilangan, atau disingkat SS, adalah suatu sistem pencatatan bilangan yang mempunyai sekumpulan angka tertentu.
Anda belajar tentang sejarah berbagai sistem bilangan ketika Anda mempelajari Bab 7 buku teks. Dan hari ini kita akan mengalihkan perhatian kita ke sistem bilangan seperti SS biner dan desimal.
Seperti yang sudah kalian ketahui dari materi yang telah dipelajari sebelumnya, salah satu sistem bilangan yang paling umum digunakan adalah SS desimal. Dan sistem ini disebut demikian karena dasar pembentukan kata ini adalah angka 10. Oleh karena itu sistem bilangan disebut desimal.
Anda pasti sudah tahu kalau sistem ini menggunakan sepuluh angka seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Namun angka sepuluh mempunyai peranan yang luar biasa, karena di tangan kita ada sepuluh jari. Artinya, sepuluh digit adalah basis dari sistem bilangan ini.
Namun dalam sistem bilangan biner, hanya ada dua digit yang terlibat, seperti 0 dan 1, dan basis sistem ini adalah angka 2.
Sekarang mari kita coba mencari cara untuk merepresentasikan suatu nilai hanya dengan menggunakan dua angka.
Bentuk penulisan angka yang diperluas
Mari kita kembali ke ingatan kita dan mengingat prinsip apa yang ada dalam SS desimal untuk mencatat angka. Artinya, sudah bukan rahasia lagi bagi Anda bahwa dalam SS tersebut pencatatan suatu bilangan bergantung pada letak angkanya, yaitu pada posisinya.
Jadi, misalnya, bilangan yang paling kanan menunjukkan banyaknya satuan bilangan tersebut, bilangan yang mengikuti bilangan ini biasanya menunjukkan bilangan dua, dan seterusnya.
Jika Anda dan saya, misalnya, mengambil bilangan seperti 333, kita akan melihat bahwa angka paling kanan mewakili tiga satuan, lalu tiga puluhan, dan kemudian tiga ratus.
Sekarang mari kita nyatakan ini sebagai persamaan berikut:
Di sini kita melihat persamaan di mana ekspresi yang terletak di sisi kanan tanda sama dengan diberikan dalam bentuk penulisan angka multi-digit yang diperluas ini.
Mari kita lihat contoh lain dari bilangan desimal multi-digit, yang juga disajikan dalam bentuk diperluas:
Mengubah bilangan biner ke sistem desimal
Sekarang mari kita ambil contoh bilangan biner penting seperti:
Dalam bilangan bermakna ini kita melihat angka dua di sisi kanan bawah, yang menunjukkan basis sistem bilangan tersebut. Artinya, kami memahami bahwa ini adalah bilangan biner dan kami tidak dapat mengacaukannya dengan bilangan desimal.
Dan nilai setiap digit berikutnya dalam bilangan biner meningkat 2 kali lipat dengan setiap langkah dari kanan ke kiri. Sekarang mari kita lihat seperti apa bentuk perluasan penulisan bilangan biner ini:
Dalam contoh ini, kita melihat bagaimana kita dapat mengubah bilangan biner ke sistem desimal.
Sekarang mari kita berikan beberapa contoh lagi cara mengubah bilangan biner ke sistem bilangan desimal:
Contoh ini menunjukkan kepada kita bahwa bilangan desimal dua digit, dalam hal ini, sama dengan bilangan biner enam digit. Sistem biner dicirikan oleh bertambahnya jumlah digit seiring dengan bertambahnya nilai bilangan tersebut.
Sekarang mari kita lihat seperti apa awal deret bilangan asli dalam desimal (A10) dan biner (A2) SS:
Mengubah bilangan desimal ke biner
Setelah melihat contoh di atas, saya harap Anda sekarang memahami bagaimana bilangan biner diubah menjadi bilangan desimal yang sama. Nah, sekarang mari kita coba melakukan terjemahan terbalik. Mari kita lihat apa yang perlu kita lakukan untuk ini. Untuk penerjemahan seperti itu, kita perlu mencoba menguraikan bilangan desimal menjadi suku-suku yang mewakili pangkat dua. Mari kita beri contoh:
Seperti yang Anda lihat, ini tidak mudah dilakukan. Mari kita coba melihat metode lain yang lebih sederhana untuk mengubah SS desimal ke biner. Metode ini terdiri dari fakta bahwa bilangan desimal yang diketahui, biasanya, dibagi dua, dan sisanya yang dihasilkan akan bertindak sebagai digit orde rendah dari bilangan yang diinginkan. Kami membagi lagi angka yang baru diperoleh ini dengan dua dan mendapatkan digit berikutnya dari angka yang diinginkan. Proses pembagian ini akan kita lanjutkan hingga hasil bagi menjadi lebih kecil dari basis sistem biner, yaitu kurang dari dua. Hasil bagi ini akan menjadi digit tertinggi dari angka yang kita cari.
Sekarang mari kita lihat metode penulisan pembagian dua. Misalnya, ambil angka 37 dan coba ubah ke sistem biner.
Pada contoh tersebut kita melihat bahwa a5, a4, a3, a2, a1, a0 adalah sebutan angka-angka dalam notasi bilangan biner, yang dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan. Hasilnya, kita akan mendapatkan:
Aritmatika Bilangan Biner
Jika kita melanjutkan dari aturan aritmatika, mudah untuk melihat bahwa dalam sistem bilangan biner aturan tersebut jauh lebih sederhana daripada dalam sistem bilangan desimal.
Sekarang mari kita mengingat opsi untuk menjumlahkan dan mengalikan bilangan biner satu digit.
Karena kesederhanaannya, yang mudah dimasukkan ke dalam struktur bit memori komputer, sistem bilangan biner menarik perhatian para perancang komputer.
Perhatikan bagaimana contoh penjumlahan dua bilangan biner multi-digit menggunakan kolom dilakukan:
Dan berikut contoh perkalian bilangan biner multi digit dalam satu kolom:
Pernahkah Anda memperhatikan betapa mudah dan sederhananya melakukan contoh seperti itu.
Secara singkat tentang hal utama
Sistem bilangan adalah aturan-aturan tertentu dalam penulisan bilangan dan cara-cara melakukan perhitungan yang berkaitan dengan aturan-aturan tersebut.
Basis suatu sistem bilangan sama dengan jumlah digit yang digunakan di dalamnya.
Bilangan biner adalah bilangan dalam sistem bilangan biner. Mereka ditulis menggunakan dua angka: 0 dan 1.
Bentuk penulisan bilangan biner yang diperluas adalah representasinya sebagai jumlah pangkat dua dikalikan 0 atau 1.
Penggunaan bilangan biner pada komputer disebabkan oleh struktur bit memori komputer dan kesederhanaan aritmatika biner.
Keuntungan sistem bilangan biner
Sekarang mari kita lihat kelebihan sistem bilangan biner:
Pertama, kelebihan sistem bilangan biner adalah dengan bantuannya cukup mudah untuk melakukan proses penyimpanan, transmisi dan pemrosesan informasi di komputer.
Kedua, untuk melengkapinya, tidak cukup sepuluh elemen, tetapi hanya dua;
Ketiga, menampilkan informasi hanya dengan menggunakan dua keadaan lebih dapat diandalkan dan lebih tahan terhadap berbagai gangguan;
Keempat, aljabar logika dapat digunakan untuk mengimplementasikan transformasi logika;
Kelima, aritmatika biner masih lebih sederhana daripada aritmatika desimal, dan oleh karena itu lebih mudah digunakan.
Kekurangan sistem bilangan biner
Sistem bilangan biner kurang nyaman karena masyarakat lebih terbiasa menggunakan sistem desimal yang jauh lebih singkat. Namun dalam sistem biner, bilangan besar memiliki jumlah digit yang cukup banyak, yang merupakan kelemahan signifikannya.
Mengapa sistem bilangan biner begitu umum?
Sistem bilangan biner populer karena merupakan bahasa teknologi komputer, di mana setiap digit harus direpresentasikan pada media fisik.
Lagi pula, lebih mudah untuk memiliki dua keadaan saat membuat elemen fisik daripada membuat perangkat yang harus memiliki sepuluh keadaan berbeda. Setuju bahwa itu akan jauh lebih sulit.
Faktanya, inilah salah satu alasan utama popularitas sistem bilangan biner.
Sejarah sistem bilangan biner
Sejarah terciptanya sistem bilangan biner dalam aritmatika cukup cemerlang dan serba cepat. Pendiri sistem ini dianggap sebagai ilmuwan dan matematikawan Jerman terkenal G.W. Leibniz. Dia menerbitkan sebuah artikel di mana dia menjelaskan aturan-aturan yang memungkinkan untuk melakukan segala macam hal operasi aritmatika atas bilangan biner.
Sayangnya, hingga awal abad kedua puluh, sistem bilangan biner hampir tidak terlihat dalam matematika terapan. Dan setelah alat penghitung mekanis sederhana mulai bermunculan, para ilmuwan mulai memberikan perhatian lebih aktif pada sistem bilangan biner dan mulai mempelajarinya secara aktif, karena nyaman dan sangat diperlukan untuk perangkat komputasi. Ini adalah sistem minimal yang dengannya Anda dapat sepenuhnya menerapkan prinsip posisionalitas dalam bentuk digital pencatatan angka.
Pertanyaan dan tugas
1. Sebutkan kelebihan dan kekurangan sistem bilangan biner dibandingkan sistem bilangan desimal.
2. Bilangan biner manakah yang sesuai dengan bilangan desimal berikut:
128; 256; 512; 1024?
3. Berapakah bilangan biner berikut dalam sistem desimal:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Ubahlah bilangan biner berikut ke desimal:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Ubahlah bilangan desimal berikut ke sistem bilangan biner:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Lakukan penjumlahan pada sistem bilangan biner:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Lakukan perkalian dalam sistem bilangan biner:
111 10; 111 11; 1101 101; 1101 · 1000.
I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Ilmu Komputer, kelas 9
Dikirim oleh pembaca dari situs Internet
Pada bagian artikel kita membahas sistem bilangan biner. Yah, saya pikir kita akan melanjutkan ;-). Apa sih yang dimaksud dengan irama? Seperti apa dia? Seperti yang Anda pahami, bit adalah salah satu tanda dalam sistem bilangan biner. Dengan satu bit kita dapat mengenkripsi dua informasi: YA atau TIDAK. Ingat pria kecil kita dari artikel pertama dengan sarung tangan raksasa? Satu tangannya sedikit. Dengan tangan ini dia dapat menunjukkan dua informasi: YA atau TIDAK. Tangan terangkat - YA, tangan ke bawah - TIDAK. Saya ulangi sekali lagi, dalam elektronika kata “YA” dianggap satu, dan kata “TIDAK” adalah nol, yaitu YA=1, TIDAK=0, ada sinyal - 1, tidak ada sinyal - 0.
Berapa banyak informasi yang dapat ditampilkan dengan dua bit? Dua bit adalah dua digit yang digabungkan dalam sistem bilangan biner. Biarkan lelaki kecil kita bebas kedua tangannya. Kombinasi tangan apa yang bisa dia gunakan?
1) Dua tangan diangkat sekaligus
2) Dibesarkan tangan kanan, kiri bawah
3) Dibesarkan tangan kiri, yang kanan turun
4) Kedua tangan diturunkan
Siapa pun yang menemukan kombinasi lain, saya akan segera menjadikannya administrator "Elektronik Praktis" seumur hidup :-). TIDAK ada lagi kombinasi! Artinya dengan dua tangan (dua bit) kita dapat mengkodekan 4 informasi. Ingat contoh lain dari artikel pertama?
bar 1, rumah 0, bir 1, vodka 0.
1) Kami sedang duduk di bar, minum bir (11)
2) Kami sedang duduk di bar, minum vodka (10)
3) Kami duduk di rumah, minum bir (01)
4) Kami duduk di rumah, minum vodka (00)
Dalam contoh ini, kami mengkodekan 4 informasi menggunakan dua bit. 11 atau 10, dst. adalah rekaman informasi dua bit.
Berapa banyak informasi yang dapat dikodekan menggunakan tiga bit? Anda bisa mendapatkan 8 informasi. Sekali lagi, contoh dari bagian pertama:
1) Kami duduk di bar, minum bir tanpa Vovan (110)
2) Kami duduk di bar, minum vodka tanpa Vovan (100)
3) Kami duduk di rumah, minum bir tanpa Vovan (010)
4) Kami duduk di rumah, minum vodka tanpa Vovan (000)
5) Kami duduk di bar, minum bir dengan Vovan (111)
6) Kami duduk di bar, minum vodka dengan Vovan (101)
7) Kami duduk di rumah, minum bir dengan Vovan (011)
8) Kami duduk di rumah, minum vodka dengan Vovan (001)
111, 011, 010, dll. adalah catatan informasi tiga bit.
Bagaimana jika kita menggunakan 4 bit informasi? Kita dapatkan dari contoh artikel sebelumnya:
1) Kami duduk di bar, minum bir tanpa Vovan, menonton hoki (1101)
2) Kami duduk di bar, minum vodka tanpa Vovan, menonton hoki (1001)
3) Kami duduk di rumah, minum bir tanpa Vovan, menonton hoki (0101)
4) Kami duduk di rumah, minum vodka tanpa Vovan, menonton hoki (0001)
5) Kami duduk di bar, minum bir dengan Vovan, menonton hoki (1111)
6) Kami duduk di bar, minum vodka dengan Vovan, menonton hoki (1011)
7) Kami duduk di rumah, minum bir bersama Vovan, menonton hoki (0111)
8) Kami duduk di rumah, minum vodka dengan Vovan, menonton hoki (0011)
9) Kami duduk di bar, minum bir tanpa Vovan, menonton sepak bola (1100)
10) Kami duduk di bar, minum vodka tanpa Vovan, menonton sepak bola (1000)
11) Kami duduk di rumah, minum bir tanpa Vovan, menonton sepak bola (0100)
12) Kami duduk di rumah, minum vodka tanpa Vovan, menonton sepak bola (0000)
13) Kami duduk di bar, minum bir bersama Vovan, menonton sepak bola (1110)
14) Kami duduk di bar, minum vodka dengan Vovan, menonton sepak bola (1010)
15) Kami duduk di rumah, minum bir bersama Vovan, menonton sepak bola (0110)
16) Kami duduk di rumah, minum vodka dengan Vovan, menonton sepak bola (0010)
Rumusan pilihan yang mungkin
Dalam contoh ini, kami dapat menyandikan 16 informasi menggunakan empat bit. Apa yang terjadi jika Anda menggunakan lima bit? Berapa banyak informasi yang dapat kita kodekan? Apakah kita benar-benar harus memikirkan pilihan-pilihan itu lagi? Ya, tidak! Ada rumus sederhana untuk ini.
Pilihan informasi yang memungkinkan = 2 N, dimana N adalah jumlah bit
Misalkan kita menggunakan dua bit, maka kita dapat mengkodekan 2 2 = 2x2 = 4 informasi, yaitu 4 pilihan yang memungkinkan, jika kita menggunakan tiga bit, maka 2 3 = 2x2x2 = 8, artinya kita dapat mengkodekan 8 informasi menggunakan tiga bit, dst. Sangat mudah untuk menghitung bahwa dengan menggunakan lima bit Anda dapat mengkodekan 2 5 =2x2x2x2x2=32. Sederhana saja, bukan? Berapa banyak informasi yang dapat kita kodekan jika kita menggunakan 8 bit? Jadi, 2 8 =2x2x2x2x2x2x2x2=256 keterangan! Tidak buruk! Singkatnya, jika pejuang kita, yang memakai sarung tangan raksasa, memiliki delapan tangan, dia dapat menunjukkan 256 semua kombinasi, dan jika mereka setuju bahwa kombinasi tertentu sama dengan jumlah orang yang terbunuh. :-). Sulit))) Ngomong-ngomong, saat Anda membaca artikel terakhir, 8 bit = 1 Byte. Misalnya, informasi dengan kode 1011 0111 (spasi antar kelompok 4 bit ditempatkan untuk kenyamanan) adalah delapan bit atau sederhananya byte.
Transfer dari satu sistem ke sistem lainnya menggunakan kalkulator
Mari kita kembali ke sistem bilangan desimal kita. Jika Anda ingat, kita menyebut sistem desimal sebagai bilangan dari 0 hingga 9. Tahukah Anda bahwa dengan bantuan perhitungan sederhana, kita dapat mentransfer informasi dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya? Ada satu program sederhana di Windows Anda yang hampir tidak Anda perhatikan - ini adalah kalkulator ;-), yang dengannya Anda dapat dengan mudah mengonversi angka dari desimal ke biner dan sebaliknya.
Klik pada menu panel “View” —> “Programmer” dan kita mendapatkan kalkulator keren ini.
Sekarang yang paling sederhana adalah dengan menekan penanda pada “Des” dan untuk tampilan yang rapi pada “1 byte”. Kami menulis nomor tersebut di kalkulator dan melihat kode binernya.
Dalam contoh ini, saya melihat bagaimana angka “8” ditulis dalam sistem bilangan biner. Voila! Tapi di bawah delapan hasilnya: 1000. Beginilah cara penulisan angka “8” dari sistem bilangan desimal ke biner.
Selain itu, kalkulator dapat mengubah bilangan genap negatif dari desimal ke biner. Namun angka “-5” dari sistem desimal pada sistem biner akan ditulis 1111 1011.
Beberapa dari Anda mungkin menyombongkan diri: “Ya, saya sendiri bisa mengubah angka dari desimal ke biner di selembar kertas.” Tetapi apakah Anda memerlukan ini ketika Anda memiliki kalkulator yang luar biasa? ;-)
Sistem bilangan desimal biner
Itu semua sulit, bukan? Itu diciptakan untuk membuat hidup lebih mudah sistem bilangan desimal biner. Sistem ini, menurut saya, sangat sederhana! Misalnya kita perlu mengubah bilangan “123” dari sistem desimal menjadi BCD. Kami menulis setiap digit dalam kode biner empat-bit. Kami menggunakan kalkulator. Angka 1 pada sistem desimal adalah 0001, angka 2 adalah 0010, dan 3 adalah 0011. Jadi, bilangan “123” ditulis di BCD sistem bilangannya akan ditulis sebagai 0001 0010 0011. Sungguh, ini sangat sederhana!
