Apakah setiap pecahan biasa merupakan bilangan rasional? Pengertian dan Contoh Bilangan Rasional

Anak sekolah yang lebih tua dan siswa matematika mungkin akan menjawab pertanyaan ini dengan mudah. Namun bagi mereka yang profesinya jauh dari itu, akan lebih sulit. Apa itu sebenarnya?

Esensi dan sebutan

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Positif, negatif, dan nol juga termasuk dalam himpunan ini. Pembilang pecahan harus bilangan bulat, dan penyebutnya harus bilangan bulat

Himpunan ini dalam matematika dilambangkan dengan Q dan disebut “bidang”. bilangan rasional". Ini mencakup semua bilangan bulat dan bilangan asli, masing-masing dilambangkan sebagai Z dan N. Himpunan Q sendiri termasuk dalam himpunan R. Huruf inilah yang melambangkan apa yang disebut real atau

Pertunjukan

Seperti yang telah disebutkan, bilangan rasional adalah himpunan yang mencakup semua nilai bilangan bulat dan pecahan. Mereka bisa datang dalam berbagai bentuk. Pertama, dalam bentuk pecahan biasa: 5/7, 1/5, 11/15, dst. Tentu saja bilangan bulat juga dapat ditulis dalam bentuk serupa: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, dst. Kedua, jenis representasi lainnya adalah pecahan desimal dengan bagian pecahan akhir: 0,01, -15,001006, dst. Ini mungkin salah satu bentuk yang paling umum.

Tapi ada juga yang ketiga - pecahan periodik. Jenis ini tidak terlalu umum, namun masih digunakan. Misalnya, pecahan 10/3 dapat ditulis sebagai 3,33333... atau 3,(3). Dalam hal ini, representasi yang berbeda akan dianggap sebagai angka yang serupa. Pecahan yang sejenis juga akan disebut sama, misalnya 3/5 dan 6/10. Nampaknya sudah jelas apa itu bilangan rasional. Namun mengapa istilah ini digunakan untuk menyebut mereka?

Asal nama

Kata “rasional” dalam bahasa Rusia modern umumnya memiliki arti yang sedikit berbeda. Ini lebih seperti "masuk akal", "dipikirkan". Namun istilah matematikanya dekat dengan arti harfiahnya. Dalam bahasa Latin, "rasio" adalah "rasio", "pecahan" atau "pembagian". Dengan demikian, namanya menangkap esensi dari bilangan rasional. Namun, arti kedua

tidak jauh dari kebenaran.

Tindakan dengan mereka

Saat memecahkan masalah matematika, kita terus-menerus menemukan bilangan rasional tanpa menyadarinya sendiri. Dan mereka mempunyai sejumlah sifat menarik. Semuanya mengikuti definisi himpunan atau tindakan.

Pertama, bilangan rasional mempunyai sifat relasi keteraturan. Ini berarti bahwa hanya ada satu hubungan antara dua bilangan - keduanya sama besar, atau yang satu lebih besar atau lebih kecil dari yang lain. Yaitu:

atau sebuah = b ; atau sebuah > b, atau A< b.

Selain itu, transitivitas relasi juga mengikuti sifat ini. Artinya, jika A lagi B, B lagi C, Itu A lagi C. Dalam bahasa matematika tampilannya seperti ini:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Kedua, ada operasi aritmatika dengan bilangan rasional, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan tentu saja perkalian. Pada saat yang sama, dalam proses transformasi, sejumlah properti juga dapat diidentifikasi.

a + b = b + a (perubahan tempat suku, komutatifitas);
0 + sebuah = sebuah + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (asosiasi);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (distribusi);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1/a) = 1 (dalam hal ini a tidak sama dengan 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Ketika kita berbicara tentang bilangan biasa dan bukan bilangan bulat, mengerjakannya dapat menyebabkan kesulitan tertentu. Jadi, penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan jika penyebutnya sama. Jika awalnya berbeda, Anda harus mencari pecahan yang sama dengan mengalikan seluruh pecahan dengan angka tertentu. Perbandingan juga paling sering hanya mungkin dilakukan jika kondisi ini terpenuhi.

Pembagian dan perkalian pecahan biasa dilakukan sesuai dengan kecukupan aturan sederhana. Pengurangan ke penyebut yang sama tidak diperlukan. Pembilang dan penyebutnya dikalikan secara terpisah, dan dalam proses melakukan tindakan, jika memungkinkan, pecahan harus dikurangi dan disederhanakan semaksimal mungkin.

Sedangkan untuk pembagiannya, tindakan ini mirip dengan yang pertama dengan sedikit perbedaan. Untuk pecahan kedua Anda harus mencari kebalikannya, yaitu

"balikkan" itu. Jadi, pembilang pecahan pertama perlu dikalikan dengan penyebut pecahan kedua dan sebaliknya.

Terakhir, sifat lain yang melekat pada bilangan rasional disebut aksioma Archimedes. Seringkali dalam literatur juga ditemukan nama “prinsip”. Ini berlaku untuk seluruh himpunan bilangan real, tetapi tidak di semua tempat. Jadi, prinsip ini tidak berlaku untuk beberapa himpunan fungsi rasional. Pada dasarnya, aksioma ini berarti bahwa dengan adanya dua besaran a dan b, kita selalu dapat mengambil a dalam jumlah yang cukup untuk melebihi b.

Lingkup aplikasi

Jadi, bagi mereka yang telah mempelajari atau mengingat apa itu bilangan rasional, menjadi jelas bahwa bilangan rasional digunakan di mana-mana: dalam akuntansi, ekonomi, statistik, fisika, kimia, dan ilmu-ilmu lainnya. Tentu saja, mereka juga mendapat tempat dalam matematika. Tidak selalu mengetahui bahwa kita sedang menghadapinya, kita selalu menggunakan bilangan rasional. Bahkan anak kecil, ketika belajar menghitung benda, memotong apel menjadi beberapa bagian, atau melakukan tindakan sederhana lainnya, akan menemuinya. Mereka benar-benar mengelilingi kita. Namun, mereka tidak cukup untuk menyelesaikan beberapa masalah, khususnya, dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai contoh, seseorang dapat memahami perlunya memperkenalkan konsep tersebut

Himpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dan dapat ditulis sebagai berikut:

Ternyata notasi yang berbeda dapat mewakili pecahan yang sama, misalnya dan , (semua pecahan yang dapat diperoleh satu sama lain dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan asli yang sama mewakili bilangan rasional yang sama). Karena dengan membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan pembagi persekutuan terbesarnya kita dapat memperoleh satu representasi tak tersederhanakan dari suatu bilangan rasional, kita dapat menyebut himpunannya sebagai himpunan tidak dapat direduksi pecahan dengan pembilang bilangan bulat prima dan penyebut alami:

Berikut adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan dan .

Himpunan bilangan rasional merupakan generalisasi alami dari himpunan bilangan bulat. Sangat mudah untuk melihat bahwa jika suatu bilangan rasional memiliki penyebut, maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan rasional terletak di mana-mana secara padat pada sumbu bilangan: di antara dua bilangan rasional yang berbeda terdapat paling sedikit satu bilangan rasional (dan oleh karena itu merupakan himpunan bilangan rasional yang tak terhingga). Namun ternyata himpunan bilangan rasional mempunyai kardinalitas yang dapat dihitung (yaitu semua elemennya dapat dinomori ulang). Mari kita perhatikan, bahwa orang Yunani kuno yakin akan keberadaan bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan (misalnya, mereka membuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2).

Terminologi

Definisi formal

Secara formal, bilangan rasional didefinisikan sebagai himpunan pasangan kelas ekivalensi terhadap relasi ekivalensi jika. Dalam hal ini, operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan sebagai berikut:

Definisi terkait

Pecahan wajar, tak wajar, dan campuran

Benar Pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya disebut pecahan. Pecahan sejati mewakili bilangan rasional modulo kurang dari satu. Pecahan yang tidak tepat disebut salah dan mewakili bilangan rasional yang lebih besar dari atau sama dengan satu dalam modulus.

Pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari bilangan bulat dan pecahan biasa, yang disebut pecahan campuran . Misalnya, . Notasi serupa (dengan tanda penjumlahan hilang), meskipun digunakan dalam aritmatika dasar, dihindari dalam literatur matematika ketat karena kesamaan notasi pecahan campuran dengan notasi hasil kali bilangan bulat dan pecahan.

Tinggi tembakan

Tinggi pecahan biasa adalah jumlah modulus pembilang dan penyebut pecahan tersebut. Ketinggian bilangan rasional adalah jumlah modulus pembilang dan penyebut pecahan biasa tak tersederhanakan yang bersesuaian dengan bilangan tersebut.

Misalnya, tinggi suatu pecahan adalah . Tinggi bilangan rasional yang bersesuaian sama dengan , karena pecahan dapat dikurangi dengan .

Komentar

Ketentuan bilangan pecahan(pecahan) Kadang-kadang [ menentukan] digunakan sebagai sinonim untuk istilah tersebut bilangan rasional, dan terkadang sinonim untuk bilangan non-integer apa pun. Dalam kasus terakhir, bilangan pecahan dan bilangan rasional adalah dua hal yang berbeda, karena bilangan rasional bukan bilangan bulat hanyalah kasus khusus dari pecahan.

Properti

Properti dasar

Himpunan bilangan rasional memenuhi enam belas sifat dasar, yang dapat dengan mudah diturunkan dari sifat-sifat bilangan bulat.

Ketertiban. Untuk bilangan rasional apa pun, terdapat aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi secara unik satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara bilangan tersebut: “”, “” atau “”. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan positif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif dan mempunyai hubungan yang sama dengan dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba bukan negatif, tapi - negatif, maka .
Menjumlahkan Pecahan
Operasi penambahan. aturan penjumlahan jumlah bilangan dan dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki tampilan berikutnya: .
Operasi perkalian. Untuk bilangan rasional apa pun ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkannya dalam korespondensi dengan bilangan rasional tertentu. Dalam hal ini, nomor itu sendiri yang dipanggil bekerja bilangan dan dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkalian memiliki bentuk sebagai berikut: .
Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk setiap tripel bilangan rasional, dan jika semakin kecil, maka semakin kecil, dan jika sama dan sama, maka sama.
Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional bukan nol mempunyai bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Ke kiri dan sisi kanan Untuk pertidaksamaan rasional, Anda dapat menjumlahkan bilangan rasional yang sama.
Hubungan antara relasi orde dan operasi perkalian. Ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional dapat dikalikan dengan bilangan rasional positif yang sama.
Aksioma Archimedes. Berapa pun bilangan rasionalnya, Anda dapat mengambil begitu banyak satuan yang jumlahnya melebihi jumlah tersebut.

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dapat dibedakan sebagai sifat-sifat dasar, karena pada umumnya sifat-sifat tersebut tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau secara langsung dengan definisi suatu objek matematika. . Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal untuk mencantumkan hanya beberapa di antaranya di sini.

Keterhitungan suatu himpunan

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli. Contoh konstruksi tersebut adalah algoritma sederhana berikut. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya dikompilasi, pada setiap baris di setiap kolom tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel ditunjuk , dimana adalah nomor baris tabel tempat sel berada, dan merupakan nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan diberi nomor 1, pecahan diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga.

Tentu saja, ada cara lain untuk menghitung bilangan rasional. Misalnya, untuk ini Anda dapat menggunakan struktur seperti pohon Kalkin-Wilf, pohon Stern-Broko, atau deret Farey.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Kurangnya bilangan rasional

Lihat juga


	bilangan bulat

Angka rasional

Bilangan nyata Bilangan kompleks angka empat

Catatan

Literatur

I. Kushnir. Buku pegangan matematika untuk anak sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 hal.
P.S.Alexandrov. Pengantar teori himpunan dan topologi umum. - M.: bab. ed. fisika dan matematika menyala. ed. "Ilmu Pengetahuan", 1977
I.L.Khmelnitsky. Pengantar teori sistem aljabar

Definisi bilangan rasional:

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pembilang pecahan tersebut termasuk dalam himpunan bilangan bulat, dan penyebutnya termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Mengapa bilangan disebut rasional?

Dalam bahasa Latin, rasio berarti perbandingan. Bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai rasio, yaitu. dengan kata lain, sebagai pecahan.

Contoh bilangan rasional

Bilangan 2/3 merupakan bilangan rasional. Mengapa? Bilangan ini direpresentasikan sebagai pecahan, yang pembilangnya termasuk dalam himpunan bilangan bulat, dan penyebutnya termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Untuk contoh bilangan rasional lainnya, lihat artikel.

Bilangan rasional yang sama

Pecahan yang berbeda dapat mewakili bilangan rasional yang sama.

Perhatikan bilangan rasional 3/5. Bilangan rasional ini sama dengan

Kurangi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Kami mendapat pecahan 3/5, yang artinya

Angka rasional

Perempat

Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan seseorang untuk secara unik mengidentifikasi satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara mereka: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan bukan negatif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B.
Menjumlahkan Pecahan
Operasi penambahan. src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> A Dan B Untuk bilangan rasional apa pun aturan penjumlahan C ada yang disebut C. Apalagi nomornya sendiri jumlah ditelepon A Dan B angka penjumlahan dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut .
Operasi perkalian. src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> A Dan B Untuk bilangan rasional apa pun aturan perkalian. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: C ada yang disebut C. Apalagi nomornya sendiri bekerja ditelepon A Dan B, yang memberi mereka bilangan rasional perkalian dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut juga .
Transitivitas hubungan keteraturan.. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: A , B Dan C Untuk tiga bilangan rasional apa pun A Jika B Dan B Jika C lebih sedikit A Jika C, Itu A, dan jika B Dan B, dan jika C lebih sedikit A, dan jika C sama
Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
Kehadiran nomor timbal balik..
Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
Aksioma Archimedes. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1. A Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional. A/gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">

Properti tambahan

Apapun bilangan rasionalnya

Keterhitungan suatu himpunan

, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya telah dikompilasi, untuk masing-masingnya Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional berbentuk 1 / N secara luas N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menimbulkan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Catatan

Literatur

I. Kushnir. Buku pegangan matematika untuk anak sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 hal.
P.S.Alexandrov. Pengantar teori himpunan dan topologi umum. - M.: bab. ed. fisika dan matematika menyala. ed. "Ilmu Pengetahuan", 1977
I.L.Khmelnitsky. Pengantar teori sistem aljabar

Tautan

Yayasan Wikimedia.

2010.

Topik bilangan rasional cukup luas. Anda dapat membicarakannya tanpa henti dan menulis keseluruhan karya, setiap kali dikejutkan oleh fitur-fitur baru. Untuk menghindari kesalahan di kemudian hari, pelajaran ini

Kami akan mempelajari lebih dalam topik bilangan rasional, mengumpulkan informasi yang diperlukan darinya dan melanjutkan.

Isi pelajaran

Berapakah bilangan rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana A- B ini adalah pembilang pecahan, B adalah penyebut pecahan. Lebih-lebih lagi

tidak boleh nol karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Bilangan rasional mencakup kategori bilangan berikut:

bilangan bulat (misalnya −2, −1, 0 1, 2, dst.)

pecahan desimal (misalnya 0,2, dst.)

pecahan periodik tak hingga (misalnya 0, (3), dst.)

Setiap angka dalam kategori ini dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Contoh 1.

Bilangan bulat 2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Artinya angka 2 tidak hanya berlaku untuk bilangan bulat, tetapi juga bilangan rasional. Contoh 2.

Artinya bilangan campuran merupakan bilangan rasional.

Contoh 3. Desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan desimal 0,2 menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan saat ini, ulangi topiknya.

Karena pecahan desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan, artinya pecahan tersebut juga termasuk bilangan rasional.

Contoh 4. Pecahan periodik tak hingga 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan periodik murni menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan saat ini, ulangi topiknya.

Karena pecahan periodik tak hingga 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan, artinya pecahan tersebut juga termasuk bilangan rasional.

Di masa mendatang, kami akan semakin sering menyebut semua bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan satu frasa - bilangan rasional.

Bilangan rasional pada garis koordinat

Kami melihat garis koordinat ketika kami mempelajari bilangan negatif. Ingatlah bahwa ini adalah garis lurus dengan banyak titik terletak. Sepertinya ini:

Gambar ini menunjukkan potongan kecil garis koordinat dari −5 hingga 5.

Menandai bilangan bulat berbentuk 2, 0, −3 pada garis koordinat tidaklah sulit.

Segalanya menjadi lebih menarik dengan bilangan lain: dengan pecahan biasa, bilangan campuran, desimal, dll. Angka-angka ini terletak di antara bilangan bulat dan jumlahnya tak terhingga banyaknya.

Misalnya, tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Angka ini terletak tepat di antara nol dan satu

Mari kita coba memahami mengapa pecahan tiba-tiba berada di antara nol dan satu.

Seperti disebutkan di atas, di antara bilangan bulat terdapat bilangan lain - pecahan biasa, desimal, bilangan campuran, dll. Misalnya, jika Anda memperbesar suatu bagian garis koordinat dari 0 menjadi 1, Anda dapat melihat gambar berikut

Terlihat bahwa di antara bilangan bulat 0 dan 1 terdapat bilangan rasional lain, yaitu pecahan desimal yang sudah dikenal. Di sini Anda dapat melihat pecahan kami, yang letaknya sama dengan pecahan desimal 0,5. Pemeriksaan yang cermat terhadap gambar ini memberikan jawaban atas pertanyaan mengapa pecahan terletak tepat di sana.

Pecahan berarti membagi 1 dengan 2. Dan jika kita membagi 1 dengan 2, kita mendapatkan 0,5

Pecahan desimal 0,5 dapat disamarkan sebagai pecahan lainnya. Dari sifat dasar pecahan kita mengetahui bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak berubah.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan suatu bilangan, misalnya dengan bilangan 4, maka kita memperoleh pecahan baru, dan pecahan tersebut juga sama dengan 0,5

Artinya pada garis koordinat pecahan tersebut dapat ditempatkan pada tempat yang sama dimana pecahan itu berada

Bilangan bulat 2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Artinya angka 2 tidak hanya berlaku untuk bilangan bulat, tetapi juga bilangan rasional. Mari kita coba menandai bilangan rasional pada koordinat. Angka ini terletak persis di antara angka 1 dan 2

Nilai pecahan adalah 1,5

Jika kita memperbesar bagian garis koordinat dari 1 menjadi 2, kita akan melihat gambar berikut:

Terlihat bahwa di antara bilangan bulat 1 dan 2 terdapat bilangan rasional lain, yaitu pecahan desimal yang sudah dikenal. Di sini Anda dapat melihat pecahan kami, yang letaknya sama dengan pecahan desimal 1,5.

Kami memperbesar segmen tertentu pada garis koordinat untuk melihat sisa angka yang terletak pada segmen tersebut. Hasilnya, kami menemukan pecahan desimal yang memiliki satu digit setelah koma desimal.

Tapi ternyata tidak angka tunggal, berbaring di segmen ini. Ada banyak sekali bilangan yang terletak pada garis koordinat.

Tidak sulit untuk menebak bahwa di antara pecahan desimal yang memiliki satu angka setelah koma, terdapat pecahan desimal lain yang memiliki dua angka setelah koma. Dengan kata lain, seperseratus segmen.

Misalnya, mari kita coba melihat bilangan yang terletak di antara pecahan desimal 0,1 dan 0,2

Contoh lain. Pecahan desimal yang memiliki dua digit setelah koma dan terletak di antara nol dan bilangan rasional 0,1 terlihat seperti ini:

Contoh 3. Mari kita tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan mendekati nol

Nilai pecahannya adalah 0,02

Jika kita menaikkan segmen dari 0 menjadi 0,1, kita akan melihat dengan tepat di mana letak bilangan rasional

Terlihat bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 0,02.

Contoh 4. Mari kita tandai bilangan rasional 0 pada garis koordinat, (3)

Bilangan rasional 0, (3) adalah pecahan periodik tak hingga. Bagian pecahannya tidak pernah berakhir, tidak terbatas

Dan karena bilangan 0,(3) mempunyai bagian pecahan yang tak terhingga, artinya kita tidak akan dapat menemukan tempat yang tepat pada garis koordinat dimana bilangan tersebut berada. Kami hanya dapat menunjukkan kira-kira tempat ini.

Bilangan rasional 0,33333... akan terletak sangat dekat dengan pecahan desimal biasa 0,3

Angka ini tidak menunjukkan letak pasti dari angka 0,(3). Ini hanyalah ilustrasi untuk menunjukkan seberapa dekat pecahan periodik 0.(3) dengan pecahan desimal biasa 0,3.

Contoh 5. Mari kita tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan terletak di tengah-tengah antara bilangan 2 dan 3

Ini adalah 2 (dua bilangan bulat) dan (satu detik). Pecahan juga disebut “setengah”. Oleh karena itu, kami menandai dua segmen utuh dan setengah segmen lainnya pada garis koordinat.

Jika kita mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa, kita mendapatkan pecahan biasa. Pecahan pada garis koordinat ini akan ditempatkan pada tempat yang sama dengan pecahan tersebut

Nilai pecahannya adalah 2,5

Jika kita menambah bagian garis koordinat dari 2 menjadi 3, kita akan melihat gambar berikut:

Terlihat bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 2,5

Minus sebelum bilangan rasional

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mempelajari cara membagi bilangan bulat. Bilangan positif dan negatif dapat bertindak sebagai pembagi dan pembagi.

Mari kita pertimbangkan ekspresi paling sederhana

(−6) : 2 = −3

Dalam persamaan ini, dividen (−6) adalah bilangan negatif.

Sekarang perhatikan ekspresi kedua

6: (−2) = −3

Di sini pembagi (−2) sudah menjadi bilangan negatif. Namun dalam kedua kasus tersebut kami mendapatkan jawaban yang sama -3.

Mengingat pembagian apa pun dapat ditulis sebagai pecahan, kita juga dapat menuliskan contoh yang dibahas di atas sebagai pecahan:

Dan karena kedua kasus tersebut nilai pecahannya sama, maka minus pada pembilang atau penyebutnya dapat disamakan dengan menempatkannya di depan pecahan.

Oleh karena itu, Anda dapat memberi tanda sama dengan di antara ekspresi dan dan karena keduanya memiliki arti yang sama

Nantinya, saat mengerjakan pecahan, jika kita menemukan minus pada pembilang atau penyebutnya, kita akan menjadikan minus tersebut sama dengan menempatkannya di depan pecahan.

Berlawanan dengan bilangan rasional

Seperti bilangan bulat, bilangan rasional mempunyai bilangan kebalikannya.

Misalnya, untuk bilangan rasional, bilangan kebalikannya adalah . Letaknya pada garis koordinat simetris terhadap letak relatif terhadap asal koordinat. Dengan kata lain, kedua bilangan tersebut berjarak sama dari titik asal

Mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kita tahu bahwa untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa, kita perlu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkannya ke pembilang bagian pecahan. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, namun penyebutnya tetap sama.

Misalnya, mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan tambahkan pembilang bagian pecahan:

Mari kita hitung ekspresi ini:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Angka 5 yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, tetapi penyebutnya tetap sama:

Prosedur ini selengkapnya ditulis sebagai berikut:

Untuk mengembalikan bilangan campuran asli, cukup dengan memilih seluruh bagian dalam pecahan

Namun cara mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa ini hanya berlaku jika bilangan campurannya positif. Cara ini tidak akan berhasil untuk bilangan negatif.

Mari kita pertimbangkan pecahannya. Mari kita pilih seluruh bagian dari pecahan ini. Kami mengerti

Untuk mengembalikan pecahan asli, Anda perlu mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Namun jika kita menggunakan aturan lama, yaitu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkan pembilang bagian pecahan ke bilangan yang dihasilkan, kita mendapatkan kontradiksi berikut:

Kita mendapat pecahan, padahal seharusnya kita mendapat pecahan.

Kami menyimpulkan bahwa bilangan campuran salah diubah menjadi pecahan biasa:

Untuk mengubah bilangan campuran negatif menjadi pecahan biasa dengan benar, Anda perlu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan, dan dari bilangan yang dihasilkan mengurangi pembilang bagian pecahan. Dalam hal ini, semuanya akan sesuai dengan keinginan kita

Bilangan campuran negatif adalah kebalikan dari bilangan campuran. Jika bilangan campuran positif letaknya di sebelah kanan dan bentuknya seperti ini

Anda mungkin tertarik dengan materi berikut