व्ही.ए. क्रुतेत्स्की. गणिती क्षमता आणि व्यक्तिमत्व. मुलाची गणिती क्षमता

कॅल्क्युलेटर आश्चर्यकारकपणे उपयुक्त असू शकतात, परंतु ते नेहमी सहज उपलब्ध नसतात. याव्यतिरिक्त, रेस्टॉरंटमध्ये किती पैसे द्यावे लागतील याची गणना करण्यासाठी किंवा टीपची रक्कम मोजण्यासाठी प्रत्येकजण कॅल्क्युलेटर किंवा फोन घेऊन सोयीस्कर नाही. येथे दहा टिपा आहेत ज्या तुम्हाला त्या सर्व मानसिक गणना करण्यात मदत करू शकतात. खरं तर, हे अजिबात कठीण नाही, विशेषत: जर तुम्हाला काही सोप्या नियमांची आठवण असेल.

डावीकडून उजवीकडे जोडा आणि वजा करा

आठवते की शाळेत आम्हाला उजवीकडून डावीकडे एका स्तंभात बेरीज आणि वजाबाकी कशी शिकवली होती? जेव्हा तुमच्या हातात पेन्सिल आणि कागदाचा तुकडा असतो तेव्हा ही बेरीज आणि वजाबाकी सोयीस्कर असते, परंतु तुमच्या डोक्यात ही गणिती क्रिया डावीकडून उजवीकडे मोजून करणे सोपे असते. डावीकडील संख्येमध्ये एक आकृती आहे जी मोठ्या मूल्यांची व्याख्या करते, उदाहरणार्थ शेकडो आणि दहापट, आणि उजवीकडे लहान आहेत, म्हणजेच एकके. डावीकडून उजवीकडे मोजणे अधिक अंतर्ज्ञानी आहे. अशा प्रकारे, 58 आणि 26 जोडून, प्रथम अंकांसह प्रारंभ करा, प्रथम 50 + 20 = 70, नंतर 8 + 6 = 14, नंतर दोन्ही परिणाम जोडा - आणि 84 मिळवा. सोपे आणि सोपे.

ते स्वतःसाठी सोपे करा

तुम्हाला एखादे जटिल उदाहरण किंवा समस्या भेडसावत असल्यास, ते सोपे करण्याचा मार्ग शोधण्याचा प्रयत्न करा, जसे की एकूण गणना सुलभ करण्यासाठी विशिष्ट संख्या जोडणे किंवा वजा करणे. उदाहरणार्थ, 593 + 680 किती आहे हे मोजायचे असल्यास, अधिक सोयीस्कर 600 मिळवण्यासाठी प्रथम 7 ला 593 जोडा. 600 + 680 किती आहे याची गणना करा आणि नंतर 1280 च्या निकालातून तेच 7 वजा करा. बरोबर उत्तर - 1273.

तुम्ही गुणाकाराने तेच करू शकता. 89 x 6 चा गुणाकार करण्यासाठी, 90 x 6 म्हणजे काय ते काढा आणि नंतर उर्वरित 1 x 6 वजा करा. म्हणून 540 - 6 = 534.

बिल्डिंग ब्लॉक्स लक्षात ठेवा

गुणाकार सारण्या लक्षात ठेवणे हा गणिताचा एक महत्त्वाचा आणि आवश्यक भाग आहे, जो तुमच्या डोक्यातील उदाहरणे सोडवण्यासाठी उत्तम आहे.

गणिताचे मूलभूत "बिल्डिंग ब्लॉक्स" लक्षात ठेवून, जसे की गुणाकार सारण्या, चौरस मुळे, टक्केवारीदशांश आणि सामान्य अपूर्णांक, आम्हाला लगेच उत्तरे मिळू शकतात साधी कामे, अधिक कठीण विषयांमध्ये लपलेले.

उपयुक्त युक्त्या लक्षात ठेवा

गुणाकार जलद पार पाडण्यासाठी, काही सोप्या युक्त्या लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे. सर्वात स्पष्ट नियमांपैकी एक म्हणजे 10 ने गुणाकार करणे, जे फक्त गुणाकार केलेल्या संख्येमध्ये शून्य जोडणे किंवा दशांश बिंदू एक दशांश स्थानावर हलवणे आहे. 5 ने गुणाकार केल्यावर उत्तर नेहमी 0 किंवा 5 मध्ये संपेल.

तसेच, 12 ने गुणाकार करताना, प्रथम 10 ने गुणाकार करा, नंतर 2 ने, नंतर परिणाम जोडा. उदाहरणार्थ, 12 x 4 ची गणना करताना, प्रथम 4 x 10 = 40 गुणाकार करा, नंतर 4 x 2 = 8, आणि 40 + 8 = 48 जोडा. 15 ने गुणाकार करताना, फक्त 10 ने गुणाकार करा आणि नंतर अर्धा परिणाम जोडा , उदा. 4 x 15 = 4 x 10 = 40 अधिक अर्धा (20) बरोबर 60.

16 ने गुणाकार करण्याची एक सुबक युक्ती देखील आहे. प्रथम, प्रश्नातील संख्येचा 10 ने गुणाकार करा, आणि नंतर अर्ध्या संख्येचा 10 ने गुणाकार करा. नंतर अंतिम उत्तर मिळविण्यासाठी दोन्ही निकाल संख्येमध्ये जोडा. तर 16 x 24 काढण्यासाठी, प्रथम 10 x 24 = 240 काढा, नंतर 24 चा अर्धा, जो 12 आहे, 10 ने गुणा आणि 120 मिळवा. आणि शेवटची पायरी: 240 + 120 + 24 = 384.

चौरस आणि त्यांची मुळे खूप उपयुक्त आहेत

जवळजवळ गुणाकार सारणीसारखे. आणि ते मोठ्या संख्येचा गुणाकार करण्यात मदत करू शकतात. एका संख्येचा स्वतःच गुणाकार करून वर्ग मिळतो. वर्ग वापरून गुणाकार कसे कार्य करते ते येथे आहे.

10 x 4 चे उत्तर आपल्याला माहित नाही असे आपण क्षणभर गृहीत धरू. प्रथम आपण या दोन संख्यांमधील सरासरी शोधू, जी 7 आहे (म्हणजे 10 - 3 = 7, आणि 4 + 3 = 7, फरकासह सरासरी दरम्यान संख्या 3 आहे - हे महत्वाचे आहे).

त्यानंतर आम्ही 7 चा वर्ग ठरवतो, जो 49 आहे. आमच्याकडे आता अंतिम उत्तराच्या जवळ एक संख्या आहे, परंतु ती पुरेशी जवळ नाही. योग्य उत्तर मिळविण्यासाठी, आम्ही मधली संख्या (या प्रकरणात 3) मधील फरकाकडे परत येतो, त्याचा वर्ग आपल्याला 9 देतो. शेवटच्या टप्प्यात साधी वजाबाकी समाविष्ट आहे, 49 - 9 = 40, आता तुमच्याकडे योग्य उत्तर आहे.

हे विचित्र आणि वरचेवर दिसते. कठीण मार्ग 10 x 4 किती आहे ते शोधा, परंतु तेच तंत्र मोठ्या संख्येसाठी चांगले कार्य करते. उदाहरणार्थ 15 x 11 घेऊ या. 13 चा वर्ग 169 च्या बरोबरीचा आहे. सरासरी क्रमांक 2 च्या फरकाचा वर्ग 4 आहे. आपल्याला 169 - 4 = 165 मिळतात, हे बरोबर उत्तर आहे.

कधीकधी अंदाजे उत्तर पुरेसे असते

जर तुम्ही तुमच्या डोक्यातील गुंतागुंतीच्या समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करत असाल, तर त्यासाठी खूप वेळ आणि प्रयत्न करावे लागतील यात आश्चर्य नाही. तुम्हाला अगदी अचूक उत्तराची आवश्यकता नसल्यास, एक ढोबळ संख्या पुरेशी असू शकते.

हेच अशा कार्यांना लागू होते ज्यात तुम्हाला सर्व अचूक डेटा माहित नाही. उदाहरणार्थ, मॅनहॅटन प्रकल्पादरम्यान, भौतिकशास्त्रज्ञ एनरिको फर्मीला शास्त्रज्ञांकडे अचूक डेटा येण्यापूर्वी अणू स्फोटाच्या शक्तीची अंदाजे गणना करायची होती. यासाठी, त्याने कागदाचे तुकडे जमिनीवर फेकले आणि स्फोटाची लाट कागदाच्या तुकड्यांपर्यंत पोहोचली त्या क्षणी ते सुरक्षित अंतरावरुन पाहिले. तुकडे हलवलेले अंतर मोजताना, त्याने सुचवले की स्फोटाची शक्ती अंदाजे 10 किलोटन टीएनटी होती. हा अंदाज अगदीच अचूक ठरला.

सुदैवाने, आम्हाला अणु स्फोटांच्या अंदाजे शक्तीचा नियमितपणे अंदाज लावावा लागत नाही, परंतु, उदाहरणार्थ, एखाद्या शहरात किती पियानो ट्यूनर आहेत याचा अंदाज लावणे आवश्यक असल्यास, अंदाजे अंदाज दुखावू शकत नाही. हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे भाग करणे आणि गुणाकार करणे सोपे असलेल्या संख्येसह कार्य करणे. म्हणून तुम्ही प्रथम तुमच्या शहराच्या लोकसंख्येचा अंदाज लावा (म्हणा, एक लाख लोक), नंतर पियानोच्या अंदाजे संख्येचा अंदाज लावा (म्हणा, दहा हजार), आणि नंतर पियानो ट्यूनर्सची संख्या (म्हणा, 100). तुम्हाला अचूक उत्तर मिळणार नाही, परंतु तुम्ही अंदाजे संख्येचा पटकन अंदाज लावू शकाल.

उदाहरणांची पुनर्रचना करा

गणिताचे मूलभूत नियम जटिल उदाहरणांना सोप्या उदाहरणांमध्ये रूपांतरित करण्यात मदत करतात. उदाहरणार्थ, तुमच्या डोक्यात उदाहरण 5 x (14 + 43) मोजणे हे एक मोठे आणि अगदी जबरदस्त काम आहे असे दिसते, परंतु उदाहरणाचे तीन अगदी सोप्या गणनेमध्ये "खंडित" केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ही जबरदस्त समस्या खालीलप्रमाणे पुनर्रचना केली जाऊ शकते: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. इतके कठीण नाही, बरोबर?

कार्ये सुलभ करा

एखादे काम अवघड वाटत असेल तर ते सोपे करा. एका जटिल कार्यापेक्षा अनेक सोप्या कार्यांचा सामना करणे नेहमीच सोपे असते. मनातील अनेक गुंतागुंतीची उदाहरणे सोडवणे ही त्यांची योग्य प्रकारे विभागणी करण्याची क्षमता आहे साधी उदाहरणे, ज्याचा उपाय कठीण नाही.

उदाहरणार्थ, 8 ने गुणाकार करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे संख्या तीन वेळा दुप्पट करणे. त्यामुळे 12 x 8 किती आहे हे ठरवण्याचा प्रयत्न करण्याऐवजी पारंपारिक मार्ग, फक्त 12 तीन वेळा दुप्पट करा: 12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48, 48 x 2 = 96.

किंवा 5 ने गुणाकार करताना, प्रथम 10 ने गुणाकार करा कारण ते सोपे आहे, नंतर परिणाम 2 ने भागा कारण ते देखील सोपे आहे. उदाहरणार्थ, 5 x 18 सोडवण्यासाठी, 10 x 18 मोजा आणि 2 ने भागा, जेथे 180: 2 = 90.

घातांक वापरा

गणना करत आहे मोठ्या प्रमाणाततुमच्या डोक्यात, लक्षात ठेवा की तुम्ही त्यांना 10 ने गुणाकार केलेल्या लहान संख्येत इच्छित पॉवरमध्ये रूपांतरित करू शकता. उदाहरणार्थ, तुम्ही 44 अब्जांना 400 हजारांनी विभाजित केल्यास तुम्हाला किती मिळेल? या समस्येचे निराकरण करण्याचा एक सोपा मार्ग म्हणजे 44 अब्ज मध्ये रूपांतरित करणे पुढील क्रमांक- 44 x 10 9, आणि 400 हजार पासून 4 x 10 5 बनवा. आता आपण खालीलप्रमाणे समस्येचे रूपांतर करू शकतो: 44:4 आणि 10 9:10 5. गणिताच्या नियमांनुसार, हे सर्व असे दिसते: 44: 4 x 10(9-5), तर आपल्याला 11 x 10 4 = 110,000 मिळतात.

आवश्यक टीपची गणना करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग

रेस्टॉरंटमध्ये रात्रीच्या जेवणाच्या वेळी किंवा त्याऐवजी नंतरही गणित आवश्यक आहे. स्थापनेवर अवलंबून, टीप बिल मूल्याच्या 10% ते 20% पर्यंत असू शकते. उदाहरणार्थ, यूएसएमध्ये वेटर्सना 15% टिप देण्याची प्रथा आहे. आणि तेथे, अनेकांप्रमाणे युरोपियन देश, टिपा आवश्यक आहेत.

जर एकूण रकमेच्या 10% मोजणे तुलनेने सोपे असेल (फक्त रक्कम 10 ने विभाजित करा), तर 15 आणि 20% सह परिस्थिती अधिक क्लिष्ट दिसते. पण खरं तर, सर्वकाही अगदी सोपे आणि अतिशय तार्किक आहे.

$112.23 किमतीच्या डिनरसाठी 10 टक्के टिप मोजताना, $11.22 मिळवण्यासाठी फक्त दशांश बिंदू डावीकडे एका अंकी हलवा. 20% टीपची गणना करताना, तेच करा आणि फक्त रक्कम दुप्पट करा (20% फक्त दुप्पट 10%), अशा परिस्थितीत टीप $22.44 असेल.

15 टक्के टीपसाठी, प्रथम 10% रक्कम निश्चित करा आणि नंतर प्राप्त झालेल्या रकमेपैकी अर्धी रक्कम जोडा (अतिरिक्त 5% 10 टक्के रकमेच्या अर्धा आहे). जर तुम्हाला शेवटच्या टक्केपर्यंत अचूक उत्तर मिळत नसेल तर काळजी करू नका. दशांशांशी जास्त गोंधळ न करता, आम्ही त्वरीत शोधू शकतो की $112.23 ची 15 टक्के टीप $11 + $5.50 आहे, जी आम्हाला $16.50 देते. पुरेसे अचूक. काही सेंट चुकवून तुम्ही वेटरला नाराज करू इच्छित नसल्यास, रक्कम पूर्ण संख्येपर्यंत वाढवा आणि $17 भरा.

क्षमता कुठे आहे हे स्पष्ट करण्यासाठी गणितीय क्रिया, तज्ञांनी सुचवले दोन गृहीतके. त्यापैकी एक म्हणजे गणितासाठी योग्यता आहे दुष्परिणामभाषा आणि भाषणाचा उदय. दुसऱ्याने असे सुचवले की त्याचे कारण म्हणजे जागा आणि काळाची अंतर्ज्ञानी समज वापरण्याची क्षमता, ज्याचा उत्क्रांतीचा उत्पत्ती अधिक प्राचीन आहे.

कोणती गृहितक बरोबर आहे या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी मानसशास्त्रज्ञांनी मांडले 15 व्यावसायिक गणितज्ञ आणि 15 चा समावेश असलेला प्रयोग सामान्य लोक शिक्षणाच्या समान पातळीसह. प्रत्येक गटाला जटिल गणिती आणि गैर-गणितीय विधाने सादर केली गेली ज्यांना सत्य, खोटे किंवा निरर्थक ठरवावे लागले. प्रयोगादरम्यान, सहभागींच्या मेंदूचे कार्यात्मक टोमोग्राफी वापरून स्कॅन करण्यात आले.

अभ्यासाच्या निकालांवरून असे दिसून आले की कॅल्क्युलस, बीजगणित, भूमिती आणि टोपोलॉजीशी संबंधित विधाने गणितज्ञांमध्ये मेंदूच्या पॅरिएटल, इन्फेरोटेम्पोरल आणि प्रीफ्रंटल कॉर्टिसेसमधील सक्रिय क्षेत्रे,पण नियंत्रण गटात नाही. हे झोन सामान्य विधानांदरम्यान प्रयोगातील सर्व सहभागींमध्ये उत्साही असलेल्यांपेक्षा वेगळे होते. "गणितीय" क्षेत्रे सामान्य लोकांमध्ये सक्रिय केली गेली तेव्हाच जर विषयांना साध्या अंकगणित ऑपरेशन्स करण्यास सांगितले गेले.

शास्त्रज्ञांनी निकालाचे स्पष्टीकरण दिले आहे की उच्च-स्तरीय गणितीय विचारांमध्ये एक न्यूरल नेटवर्क समाविष्ट आहे जे संख्या, स्थान आणि वेळेच्या आकलनासाठी जबाबदार आहे आणि भाषेशी संबंधित नेटवर्कपेक्षा वेगळे आहे. तज्ञांच्या मते, अभ्यासाच्या आधारे, तुम्ही अंदाज लावू शकता की जर तुम्ही मुलाचे मूल्यांकन केले तर गणित कौशल्य विकसित होईल. स्थानिक विचार कौशल्य.

अशा प्रकारे, गणितज्ञ होण्यासाठी तुम्हाला अवकाशीय विचार विकसित करणे आवश्यक आहे.

अवकाशीय विचार म्हणजे काय?

आपली सभ्यता आपल्यासमोर असलेल्या असंख्य समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, हे आवश्यक आहे विशेष प्रकारमानसिक क्रियाकलाप - स्थानिक विचार. अवकाशीय कल्पनाशक्ती हा शब्द तपशिल आणि रंगात त्रिमितीय वस्तूंची स्पष्टपणे कल्पना करण्याच्या मानवी क्षमतेला सूचित करतो.

अवकाशीय विचारसरणीच्या मदतीने, तुम्ही अवकाशीय संरचनांमध्ये फेरफार करू शकता - वास्तविक किंवा काल्पनिक, स्थानिक गुणधर्म आणि नातेसंबंधांचे विश्लेषण करू शकता, मूळ रचनांचे रूपांतर करू शकता आणि नवीन तयार करू शकता. समजाच्या मानसशास्त्रात, हे फार पूर्वीपासून ज्ञात आहे की सुरुवातीला केवळ काही टक्के लोकसंख्येकडे स्थानिक विचारसरणीचे मूलतत्त्व आहे.

अवकाशीय विचार ही एक विशिष्ट प्रकारची मानसिक क्रिया आहे जी व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक जागेत (दृश्यमान आणि काल्पनिक दोन्ही) अभिमुखता आवश्यक असलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी केली जाते. त्याच्या सर्वात विकसित फॉर्ममध्ये, हे नमुन्यांसह विचार करत आहे ज्यामध्ये स्थानिक गुणधर्म आणि संबंध रेकॉर्ड केले जातात.

अवकाशीय विचार कसे विकसित करावे

स्थानिक विचार विकसित करण्यासाठी व्यायाम कोणत्याही वयात खूप उपयुक्त आहेत. सुरुवातीला, बर्याच लोकांना ते पूर्ण करण्यात अडचण येते, परंतु कालांतराने ते वाढत्या जटिल समस्यांचे निराकरण करण्याची क्षमता प्राप्त करतात. असे व्यायाम मेंदूचे सामान्य कार्य सुनिश्चित करतात आणि सेरेब्रल कॉर्टेक्समधील न्यूरॉन्सच्या अपर्याप्त कार्यामुळे होणारे अनेक रोग टाळण्यास मदत करतात.

विकसित अवकाशीय विचारसरणी असलेली मुले केवळ भूमिती, रेखाचित्र, रसायनशास्त्र आणि भौतिकशास्त्रातच नव्हे तर साहित्यातही यशस्वी होतात! अवकाशीय विचारसरणी तुम्हाला तुमच्या डोक्यात संपूर्ण डायनॅमिक चित्रे तयार करण्यास अनुमती देते, एक प्रकारचा चित्रपट, मजकूराच्या वाचलेल्या परिच्छेदावर आधारित. ही क्षमता विश्लेषणास मोठ्या प्रमाणात सुलभ करते काल्पनिक कथाआणि वाचन प्रक्रिया अधिक मनोरंजक बनवते. आणि, अर्थातच, रेखांकन आणि श्रम धड्यांमध्ये स्थानिक विचार अपरिहार्य आहे.

विकसित अवकाशीय विचारसरणीने ते बरेच काही बनते रेखाचित्रे आणि नकाशे वाचणे, स्थाने निश्चित करणे आणि ध्येयापर्यंतच्या मार्गाची कल्पना करणे सोपे आहे.हे ओरिएंटियरिंग उत्साही लोकांसाठी आवश्यक आहे आणि इतर सर्वांना खूप मदत करेल. सामान्य जीवनशहराच्या वातावरणात.

लहानपणापासूनच स्थानिक विचार विकसित होतो, जेव्हा मूल त्याच्या पहिल्या हालचाली करू लागते. त्याची निर्मिती अनेक टप्प्यांतून जाते आणि अंदाजे मध्ये संपते पौगंडावस्थेतील. तथापि, आयुष्यादरम्यान, त्याचा पुढील विकास आणि परिवर्तन शक्य आहे.आपण एक लहान संवादात्मक चाचणी वापरून स्थानिक विचारांच्या विकासाची पातळी तपासू शकता.

अशा ऑपरेशन्सचे तीन प्रकार आहेत:

प्रतिमेची अवकाशीय स्थिती बदलणे.एखादी व्यक्ती एखाद्या वस्तूचे स्वरूप बदलल्याशिवाय मानसिकरित्या हलवू शकते. उदाहरणार्थ, नकाशानुसार हलणे, खोलीतील वस्तूंची मानसिक पुनर्रचना करणे, पुन्हा रेखाचित्र काढणे इ.
प्रतिमा रचना बदलणे. एखादी व्यक्ती मानसिकरित्या एखादी वस्तू बदलू शकते, परंतु त्याच वेळी ती गतिहीन राहते. उदाहरणार्थ, मानसिकदृष्ट्या एक आकार दुसऱ्यामध्ये जोडणे आणि ते एकत्र करणे, एखादी वस्तू आपण त्यात तपशील जोडल्यास कशी दिसेल याची कल्पना करणे इ.
प्रतिमेची स्थिती आणि रचना दोन्हीमध्ये एकाच वेळी बदल. एक व्यक्ती एकाच वेळी बदलांची कल्पना करण्यास सक्षम आहे देखावाआणि ऑब्जेक्टची अवकाशीय स्थिती. उदाहरणार्थ, वेगवेगळ्या बाजूंनी त्रिमितीय आकृतीचे मानसिक परिभ्रमण, अशी आकृती एका बाजूने किंवा दुसऱ्या बाजूने कशी दिसेल याची कल्पना इ.

तिसरा प्रकार सर्वात प्रगत आहे आणि अधिक संधी प्रदान करतो. तथापि, ते साध्य करण्यासाठी, आपण प्रथम दोन प्रकारच्या शस्त्रक्रिया चांगल्या प्रकारे पार पाडल्या पाहिजेत. खाली सादर केलेले व्यायाम आणि टिप्स हे सर्वसाधारणपणे आणि तिन्ही प्रकारच्या क्रियांमध्ये स्थानिक विचार विकसित करण्याच्या उद्देशाने असतील.

3D कोडी आणि ओरिगामी

त्रिमितीय कोडी आणि कागदी आकृत्या फोल्ड केल्याने तुम्हाला तुमच्या डोक्यात प्रतिमा तयार करता येतात विविध वस्तू. तथापि, काम सुरू करण्यापूर्वी, आपण क्रियांची गुणवत्ता आणि क्रम निश्चित करण्यासाठी तयार आकृती सादर केली पाहिजे. फोल्डिंग अनेक टप्प्यात होऊ शकते:

एखाद्याच्या नंतरच्या क्रियांची पुनरावृत्ती करणे
सूचनांनुसार कार्य करा
निर्देशांनुसार आंशिक समर्थनासह आकृती फोल्ड करणे
स्वतंत्र कामसामग्रीवर अवलंबून न राहता (लगेच नाही, परंतु मागील चरणांच्या अनेक पुनरावृत्तीनंतर केले जाऊ शकते)

हे महत्वाचे आहे की विद्यार्थ्याने प्रत्येक कृती स्पष्टपणे ट्रेस केली आणि ती लक्षात ठेवली. कोडीऐवजी, आपण नियमित बांधकाम संच देखील वापरू शकता.

दोन प्रकारांमध्ये विभागलेले:

व्हिज्युअल सामग्री वापरणे.हे करण्यासाठी, आपल्याकडे विविध व्हॉल्यूमेट्रिक भौमितिक आकारांचे अनेक रिक्त स्थान असणे आवश्यक आहे: शंकू, सिलेंडर, घन, पिरामिड इ. कार्य: आकारांचा अभ्यास करा; वेगवेगळ्या कोनातून ते कसे दिसतात ते शोधा; एकमेकांच्या वर आकार ठेवा आणि काय होते ते पहा, इ.
व्हिज्युअल सामग्रीचा वापर न करता. विद्यार्थ्याला विविध त्रिमितीय भौमितिक आकारांची चांगली ओळख असल्यास आणि ते कसे दिसतात याची चांगली कल्पना असल्यास, कार्ये मानसिक स्तरावर हस्तांतरित केली जातात. कार्य: ही किंवा ती आकृती कशी दिसते याचे वर्णन करा; त्याच्या प्रत्येक बाजूला नाव द्या; जेव्हा एक आकृती दुसऱ्यावर लावली जाते तेव्हा काय होईल याची कल्पना करा; एखाद्या आकृतीचे दुसऱ्यामध्ये रूपांतर करण्यासाठी कोणती क्रिया करणे आवश्यक आहे ते सांगा (उदाहरणार्थ, समांतर पाईपला क्यूबमध्ये कसे बदलायचे) इ.

पुन्हा रेखाचित्र (कॉपी करणे)

या प्रकारची कार्ये वाढत्या जटिलतेमध्ये पुढे जातात:

आकृतीचे साधे री-ड्राइंग. विद्यार्थ्याला एखाद्या आकृतीच्या मॉडेल/नमुन्याचा सामना करावा लागतो, जो त्याला बदल न करता कागदावर हस्तांतरित करणे आवश्यक आहे (परिमाण आणि देखावाजुळले पाहिजे). आकृतीची प्रत्येक बाजू स्वतंत्रपणे काढली आहे.
जोडणीसह कॉपी करत आहे. कार्य: बदल न करता आकृती पुन्हा काढा आणि त्यात जोडा: 5 सेमी लांबी, एक अतिरिक्त किनार, दुसरी आकृती इ.
स्केलेबल रीड्राइंग. कार्य: आकार बदलून आकार कॉपी करा, उदा. मॉडेलपेक्षा 2 पट मोठे, नमुन्यापेक्षा 5 पट लहान, प्रत्येक बाजू 3 सेमीने कमी करा, इ.
दृश्यावरून कॉपी करा. कार्य: त्रिमितीय आकृतीची कल्पना करा आणि ती वेगवेगळ्या बाजूंनी काढा.

सबमिशन

प्रस्तुत वस्तू विभाग आणि रेषा असतील. कार्ये खूप वैविध्यपूर्ण असू शकतात, उदाहरणार्थ:

तीन वेगवेगळ्या दिशानिर्देशित विभागांची कल्पना करा, त्यांना मानसिकरित्या कनेक्ट करा आणि परिणामी आकृती काढा.
कल्पना करा की त्रिकोण दोन खंडांवर अधिभारित आहे. काय झालं?
कल्पना करा की दोन ओळी एकमेकांजवळ येत आहेत. ते कुठे छेदतील?

रेखाचित्रे आणि आकृत्या काढणे

ते व्हिज्युअल सामग्रीवर आधारित किंवा प्रतिनिधित्व केलेल्या वस्तूंवर आधारित केले जाऊ शकतात. तुम्ही कोणत्याही विषयासाठी रेखाचित्रे, आकृत्या आणि योजना बनवू शकता. उदाहरणार्थ, प्रत्येक वस्तूचे स्थान दर्शविणारी खोलीची योजना, योजनाबद्ध चित्रणफूल, इमारतीचे रेखाचित्र इ.

गेम "स्पर्शाने अंदाज लावा"

मुल डोळे बंद करते आणि त्याला स्पर्श करू शकेल अशी एखादी वस्तू प्राप्त होते. वस्तू अशा परिमाणांची असणे आवश्यक आहे की विद्यार्थ्याला त्याचा संपूर्णपणे अभ्यास करण्याची संधी मिळेल. विद्यार्थ्याचे वय आणि विषयाचे प्रमाण (15-90 सेकंद) यावर अवलंबून यासाठी ठराविक वेळ दिला जातो. या वेळेनंतर, मुलाने हे सांगणे आवश्यक आहे की ते नेमके काय होते आणि त्याने असे का ठरवले.

आपण गेममध्ये देखील वापरू शकता विविध प्रकारफॅब्रिक्स, आकारात सारखी फळे (सफरचंद, अमृत, संत्री, पीच), नॉन-स्टँडर्ड भौमितिक आकारआणि अधिक.

खेळ "पिंजरा मध्ये उडणे"

या गेमसाठी किमान तीन लोक आवश्यक आहेत. दोघे थेट गेममध्ये सहभागी होतात आणि तिसरा त्याच्या प्रगतीवर लक्ष ठेवतो आणि अंतिम उत्तर तपासतो.

नियम: दोन सहभागी 9 बाय 9 चौरसांच्या ग्रिडचे प्रतिनिधित्व करतात (वापर ग्राफिक प्रतिनिधित्वते निषिद्ध आहे!). वरच्या उजव्या कोपर्यात एक माशी आहे. वळण घेऊन चाली करत, खेळाडू माशी चौकोनी बाजूने हलवतात. तुम्ही हालचाल चिन्हे (उजवीकडे, डावीकडे, वर, खाली) आणि सेलची संख्या वापरू शकता. उदाहरणार्थ, एक माशी तीन चौरस वर सरकते. तिसरा सहभागी आहे ग्राफिक आकृतीहॅश चिन्हांकित करते आणि प्रत्येक हालचाली दर्शवते (माशीची प्रत्येक हालचाल). पुढे तो "थांबा" म्हणतो आणि इतर खेळाडूंनी या क्षणी माशी कुठे आहे असे त्यांना म्हणायला हवे. विजेता तो आहे ज्याने माशी थांबलेल्या चौकास योग्यरित्या नाव दिले (तिसऱ्या सहभागीने काढलेल्या आकृतीनुसार तपासले).

ग्रीडमधील सेलची संख्या किंवा खोली (ग्रीडला त्रिमितीय बनवणे) सारखे पॅरामीटर जोडून गेम अधिक जटिल बनवला जाऊ शकतो.

ग्राफिक व्यायाम

ते कोणत्याही सहाय्यक वस्तू (शासक, पेन, होकायंत्र इ.) न वापरता डोळ्याद्वारे केले जातात.

1. पडणारे झाड त्याला आदळू नये म्हणून एखाद्या व्यक्तीने कोणत्या स्तरावर जावे?

2. ऑब्जेक्ट A आणि ऑब्जेक्ट B मधील कोणती आकृती पास करू शकेल?

पोस्टलोव्स्की I.Z द्वारे पुस्तकातील चित्र. "कल्पनाशील विचारांचे प्रशिक्षण"

3. कल्पना करा की चित्रातील अंडाकृती कार आहेत. मोटारींचा वेग समान असल्यास प्रथम कोणता छेदनबिंदू असेल?

पोस्टलोव्स्की I.Z द्वारे पुस्तकातील चित्र. "कल्पनाशील विचारांचे प्रशिक्षण"

4. शासकाने झाकलेल्या आकृतीचा भाग पुनर्संचयित करा.

पोस्टलोव्स्की I.Z द्वारे पुस्तकातील चित्र. "कल्पनाशील विचारांचे प्रशिक्षण"

5. चेंडू कुठे पडेल ते ठरवा.

पोस्टलोव्स्की I.Z द्वारे पुस्तकातील चित्र. "कल्पनाशील विचारांचे प्रशिक्षण"

गणितीय क्षमतेवर परदेशी मानसशास्त्रज्ञांचे मत
A. Binet, E. Trondike आणि G. Reves आणि A. Poincaré आणि J. Hadamard यांसारख्या मानसशास्त्रातील काही विशिष्ट ट्रेंडचे उत्कृष्ट प्रतिनिधी आणि अशा उत्कृष्ट गणितज्ञांनी देखील गणितीय क्षमतेच्या अभ्यासात योगदान दिले.

दिशानिर्देशांची विस्तृत विविधता निर्धारित आणि महान विविधतागणितीय क्षमतांचा अभ्यास करण्याच्या दृष्टिकोनामध्ये, पद्धतशीर साधने आणि सैद्धांतिक सामान्यीकरणांमध्ये.

ज्यावर सर्व संशोधक सहमत आहेत, कदाचित असे मत आहे की गणितीय ज्ञान आत्मसात करण्यासाठी, पुनरुत्पादन आणि स्वतंत्रपणे लागू करण्यासाठी सामान्य, "शालेय" क्षमतांमध्ये फरक करणे आवश्यक आहे आणि सर्जनशील गणिती क्षमता. स्वतंत्र निर्मितीमूळ आणि सामाजिकदृष्ट्या मौल्यवान उत्पादन.

परदेशी संशोधकांनी जन्मजात किंवा प्राप्त केलेल्या गणितीय क्षमतेच्या मुद्द्यावर मोठ्या प्रमाणात एकता दर्शविली आहे. जर येथे आपण या क्षमतांच्या दोन भिन्न पैलूंमध्ये फरक केला - "शाळा" आणि सर्जनशील क्षमता, तर नंतरच्या संबंधात संपूर्ण एकता आहे - गणितज्ञांची सर्जनशील क्षमता हे जन्मजात शिक्षण आहे, अनुकूल वातावरणकेवळ त्यांच्या प्रकटीकरण आणि विकासासाठी आवश्यक आहे. "शाळा" (शिकण्याच्या) क्षमतेबद्दल, परदेशी मानसशास्त्रज्ञ इतके एकमत नाहीत. येथे, कदाचित, प्रबळ सिद्धांत दोन घटकांची समांतर क्रिया आहे - जैविक क्षमता आणि पर्यावरण.

परदेशात गणितीय क्षमतेच्या (शैक्षणिक आणि सर्जनशील दोन्ही) अभ्यासातील मुख्य प्रश्न या जटिल मानसिक शिक्षणाच्या साराचा प्रश्न होता आणि राहिला आहे. या संदर्भात, तीन महत्त्वाच्या समस्या ओळखल्या जाऊ शकतात.
1. गणितीय क्षमतेच्या विशिष्टतेची समस्या. सामान्य बुद्धिमत्तेच्या श्रेणीपेक्षा भिन्न, विशिष्ट शिक्षण म्हणून गणितीय क्षमता प्रत्यक्षात अस्तित्वात आहेत का? किंवा गणितीय क्षमता हे सर्वसाधारणचे गुणात्मक विशेषीकरण आहे मानसिक प्रक्रियाआणि व्यक्तिमत्व वैशिष्ट्ये, म्हणजे, गणितीय क्रियाकलापांच्या संबंधात विकसित सामान्य बौद्धिक क्षमता? दुसऱ्या शब्दांत, असे म्हणता येईल की गणिताची प्रतिभा म्हणजे सामान्य बुद्धिमत्ता, गणितात रस असणे आणि ते करण्याची प्रवृत्ती यापेक्षा अधिक काही नाही?
2. गणितीय क्षमतांच्या संरचनेची समस्या. गणितीय प्रतिभा ही एकात्मक (एकल अविघटनशील) किंवा अविभाज्य (जटिल) गुणधर्म आहे का? नंतरच्या प्रकरणात, कोणीही गणितीय क्षमतेच्या संरचनेबद्दल, या जटिल मानसिक निर्मितीच्या घटकांबद्दल प्रश्न उपस्थित करू शकतो.
3. गणितीय क्षमतांमधील टायपोलॉजिकल फरकांची समस्या. आहेत काही विविध प्रकारगणितीय प्रतिभा किंवा, समान आधार दिल्यास, गणिताच्या काही शाखांकडे केवळ स्वारस्य आणि कलांमध्ये फरक आहे का?

B.M ची दृश्ये गणितीय क्षमतेवर टेपलोव्ह
B.M च्या कामात गणिती क्षमता हा विशेष विचाराचा विषय नसला तरी. टेप्लोव्ह, तथापि, त्यांच्या अभ्यासाशी संबंधित अनेक प्रश्नांची उत्तरे त्यांच्या क्षमतांच्या समस्यांना समर्पित केलेल्या कामांमध्ये आढळू शकतात. त्यापैकी, एक विशेष स्थान दोन मोनोग्राफिक कार्यांनी व्यापलेले आहे, "संगीत क्षमतांचे मानसशास्त्र" आणि "द माइंड ऑफ अ कमांडर", जे क्षमतांच्या मानसिक अभ्यासाचे उत्कृष्ट उदाहरण बनले आहेत आणि या समस्येकडे पाहण्याच्या सार्वत्रिक तत्त्वांचा समावेश करतात, जे कोणत्याही प्रकारच्या क्षमतांचा अभ्यास करताना वापरले जाऊ शकते आणि केले पाहिजे.

दोन्ही कामांमध्ये, बी.एम. टेप्लोव्ह केवळ चमकदारच देत नाहीत मानसशास्त्रीय विश्लेषणविशिष्ट प्रकारच्या क्रियाकलाप, परंतु संगीत आणि लष्करी कलांच्या उत्कृष्ट प्रतिनिधींच्या उदाहरणांद्वारे, या क्षेत्रांमध्ये उज्ज्वल प्रतिभा निर्माण करणारे आवश्यक घटक प्रकट करतात. बी.एम. टेप्लोव्ह यांनी सामान्य आणि विशेष क्षमतांमधील संबंधांच्या मुद्द्याकडे विशेष लक्ष दिले, हे सिद्ध केले की संगीत आणि लष्करी घडामोडींसह कोणत्याही प्रकारच्या क्रियाकलापांमध्ये यश केवळ विशेष घटकांवर अवलंबून नाही (उदाहरणार्थ, संगीत - श्रवण, लयची भावना. ), पण पासून देखील सामान्य वैशिष्ट्येलक्ष, स्मृती, बुद्धिमत्ता. त्याच वेळी, सामान्य मानसिक क्षमता विशेष क्षमतांशी अविभाज्यपणे जोडल्या जातात आणि नंतरच्या विकासाच्या पातळीवर लक्षणीय परिणाम करतात.

"कमांडरचे मन" या कार्यामध्ये सामान्य क्षमतेची भूमिका स्पष्टपणे दर्शविली जाते. चला या कामाच्या मुख्य तरतुदींचा विचार करूया, कारण त्यांचा उपयोग गणितीय क्षमतेसह मानसिक क्रियाकलापांशी संबंधित इतर प्रकारच्या क्षमतांच्या अभ्यासात केला जाऊ शकतो. कमांडरच्या क्रियाकलापांचा सखोल अभ्यास केल्यानंतर, बी.एम. त्यात बौद्धिक कार्ये कोणते स्थान व्यापतात हे टेप्लोव्हने दाखवले. ते जटिल लष्करी परिस्थितीचे विश्लेषण देतात, वैयक्तिक महत्त्वपूर्ण तपशील ओळखतात जे आगामी लढायांच्या परिणामांवर परिणाम करू शकतात. हे विश्लेषण करण्याची क्षमता आहे जी प्रथम प्रदान करते आवश्यक टप्पायोग्य निर्णय घेताना, युद्धाची योजना आखण्यात. विश्लेषणात्मक कार्यानंतर संश्लेषणाचा टप्पा येतो, जो आपल्याला विविध प्रकारच्या तपशीलांना एकाच संपूर्णमध्ये एकत्र करण्यास अनुमती देतो. त्यानुसार बी.एम. टेप्लोव्ह, कमांडरच्या क्रियाकलापांना अनिवार्यतेसह विश्लेषण आणि संश्लेषण प्रक्रियेचे संतुलन आवश्यक आहे. उच्च पातळीत्यांचा विकास.

कमांडरच्या बौद्धिक क्रियाकलापांमध्ये स्मृती महत्त्वपूर्ण स्थान व्यापते. ती खूप निवडक आहे, म्हणजेच ती सर्व आवश्यक, अत्यावश्यक तपशील राखून ठेवते. म्हणून क्लासिक उदाहरणअशा स्मृती B.M. टेप्लोव्ह नेपोलियनच्या स्मृतीबद्दल विधाने उद्धृत करतात, ज्याला त्याच्या लष्करी क्रियाकलापांशी थेट संबंधित असलेल्या प्रत्येक गोष्टीची अक्षरशः आठवण होते, युनिट क्रमांकापासून ते सैनिकांच्या चेहऱ्यांपर्यंत. त्याच वेळी, नेपोलियनला अर्थहीन सामग्री आठवत नव्हती, परंतु होती महत्वाचे वैशिष्ट्यवर्गीकरणाच्या अधीन असलेली एखादी गोष्ट त्वरित आत्मसात करा, विशिष्ट तार्किक कायदा.

बी.एम. टेप्लोव्ह या निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो की "सामग्रीचे आवश्यक आणि स्थिर पद्धतशीरीकरण शोधण्याची आणि हायलाइट करण्याची क्षमता आहे. सर्वात महत्वाच्या अटी, विश्लेषण आणि संश्लेषणाची एकता सुनिश्चित करणे, मानसिक क्रियाकलापांच्या या पैलूंमधील संतुलन जे चांगल्या कमांडरच्या मनाचे कार्य वेगळे करते" (B.M. Teplov 1985, p. 249). उत्कृष्ट मनासह, कमांडरमध्ये काही वैयक्तिक गुण असणे आवश्यक आहे. हे, सर्व प्रथम, धैर्य, दृढनिश्चय, ऊर्जा आहे, म्हणजे, लष्करी नेतृत्वाच्या संबंधात, सामान्यतः "इच्छा" या संकल्पनेद्वारे दर्शविले जाते. कमी महत्वाचे नाही वैयक्तिक गुणवत्ताताण प्रतिकार आहे. प्रतिभावान कमांडरची भावनिकता लढाऊ उत्साहाच्या भावना आणि एकत्रित करण्याची आणि लक्ष केंद्रित करण्याची क्षमता यांच्या संयोजनात प्रकट होते.

कमांडर बी.एम.च्या बौद्धिक क्रियाकलापांमध्ये एक विशेष स्थान. टेप्लोव्हने अंतर्ज्ञान सारख्या गुणवत्तेच्या उपस्थितीचे श्रेय दिले. त्याने कमांडरच्या मनाच्या या गुणवत्तेचे विश्लेषण केले आणि त्याची तुलना एका शास्त्रज्ञाच्या अंतर्ज्ञानाशी केली. त्यांच्यात बरेच साम्य आहे. बी.एम. टेप्लोव्हच्या मते, मुख्य फरक म्हणजे कमांडरने त्वरित निर्णय घेण्याची आवश्यकता आहे, ज्यावर ऑपरेशनचे यश अवलंबून असू शकते, तर शास्त्रज्ञ वेळेच्या फ्रेमद्वारे मर्यादित नाही. परंतु दोन्ही प्रकरणांमध्ये, "अंतर्दृष्टी" कठोर परिश्रमांपूर्वी असणे आवश्यक आहे, ज्याच्या आधारे समस्येचे एकमेव योग्य निराकरण केले जाऊ शकते.

B.M द्वारे विश्लेषण आणि सारांशित तरतुदींची पुष्टी. मानसशास्त्रीय दृष्टिकोनातून टेप्लोव्ह, गणितज्ञांसह अनेक उत्कृष्ट शास्त्रज्ञांच्या कार्यात आढळू शकतात. अशाप्रकारे, "गणितीय सर्जनशीलता" या मानसशास्त्रीय अभ्यासामध्ये हेन्री पॉइन्कारे यांनी त्यांचा एक शोध लावला त्या परिस्थितीचे तपशीलवार वर्णन केले आहे. या अगोदर एक लांब होते तयारीचे काम, मोठा विशिष्ट गुरुत्वजी, शास्त्रज्ञाच्या मते, बेशुद्धीची प्रक्रिया होती. "अंतर्दृष्टी" च्या टप्प्यानंतर दुसरा टप्पा आवश्यक आहे - पुरावे व्यवस्थित ठेवण्यासाठी आणि ते सत्यापित करण्यासाठी काळजीपूर्वक जागरूक कार्य. A. Poincare असा निष्कर्ष काढला सर्वात महत्वाचे ठिकाणगणितीय कौशल्यांमध्ये तार्किकरित्या ऑपरेशन्सची साखळी तयार करण्याची क्षमता समाविष्ट आहे ज्यामुळे समस्या सोडवता येईल. असे दिसते की तार्किक विचार करण्यास सक्षम असलेल्या कोणत्याही व्यक्तीसाठी हे प्रवेशयोग्य असावे. तथापि, प्रत्येकजण तार्किक समस्या सोडवताना सारख्या सहजतेने गणिती चिन्हे ऑपरेट करण्यास सक्षम नाही.

गणितज्ञांसाठी ते असणे पुरेसे नाही चांगली स्मृतीआणि लक्ष. Poincaré च्या मते, जे लोक गणितात सक्षम आहेत ते गणितीय पुराव्यासाठी आवश्यक घटकांची मांडणी कोणत्या क्रमाने करावी हे समजून घेण्याच्या क्षमतेने ओळखले जाते. या प्रकारच्या अंतर्ज्ञानाची उपस्थिती ही गणितीय सर्जनशीलतेचा मुख्य घटक आहे. काही लोकांना हे सूक्ष्म ज्ञान नसते आणि त्यांची स्मृती आणि लक्ष मजबूत नसते आणि म्हणून त्यांना गणित समजू शकत नाही. इतरांची अंतर्ज्ञान कमकुवत आहे, परंतु त्यांना चांगली स्मरणशक्ती आणि तीव्र लक्ष देण्याची क्षमता आहे आणि म्हणून ते गणित समजू शकतात आणि लागू करू शकतात. तरीही इतरांना अशी विशेष अंतर्ज्ञान असते आणि उत्कृष्ट स्मरणशक्ती नसतानाही ते केवळ गणितच समजू शकत नाहीत, तर गणितीय शोधही लावू शकतात.

येथे आपण गणिताच्या सर्जनशीलतेबद्दल बोलत आहोत, ज्या काही लोकांना उपलब्ध आहेत. पण, जे. हडमर्ड यांनी लिहिल्याप्रमाणे, “विद्यार्थ्याच्या कामाच्या दरम्यान, समस्या सोडवणाराबीजगणित किंवा भूमिती मध्ये, आणि सर्जनशील कार्यफरक फक्त पातळी आणि गुणवत्तेत आहे, कारण दोन्ही कामे समान स्वरूपाची आहेत.” गणितामध्ये यश मिळविण्यासाठी अद्याप कोणते गुण आवश्यक आहेत हे समजून घेण्यासाठी, संशोधकांनी गणितीय क्रियाकलापांचे विश्लेषण केले: समस्या सोडविण्याची प्रक्रिया, पुराव्याच्या पद्धती, तार्किक तर्क, गणितीय स्मृतीची वैशिष्ट्ये. या विश्लेषणामुळे निर्मिती झाली विविध पर्यायगणितीय क्षमतांची रचना, त्यांच्या घटक रचनेत जटिल. त्याच वेळी, बहुतेक संशोधकांची मते एका गोष्टीवर सहमत आहेत - की एकच स्पष्टपणे व्यक्त केलेली गणितीय क्षमता नाही आणि असू शकत नाही - हे एक एकत्रित वैशिष्ट्य आहे जे विविध मानसिक प्रक्रियांची वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करते: धारणा, विचार, स्मृती, कल्पनाशक्ती. .

गणितीय क्षमतेच्या सर्वात महत्वाच्या घटकांपैकी गणितीय सामग्रीचे सामान्यीकरण करण्याची विशिष्ट क्षमता, अवकाशीय प्रतिनिधित्व करण्याची क्षमता आणि अमूर्त विचार करण्याची क्षमता आहे. काही संशोधक तर्क आणि पुराव्याचे नमुने, समस्या सोडवण्याच्या पद्धती आणि गणितीय क्षमतांचा स्वतंत्र घटक म्हणून त्यांच्याकडे पाहण्याची तत्त्वे यासाठी गणितीय स्मृती देखील ओळखतात. सोव्हिएत मानसशास्त्रज्ञ ज्याने शाळेतील मुलांमध्ये गणितीय क्षमतांचा अभ्यास केला, व्ही.ए. क्रुतेत्स्की यांनी गणितीय क्षमतेची खालील व्याख्या दिली आहे: “गणिताचा अभ्यास करण्याच्या क्षमतेद्वारे आपण वैयक्तिक मानसिक वैशिष्ट्ये (प्रामुख्याने मानसिक क्रियाकलापांची वैशिष्ट्ये) समजून घेतो जी शैक्षणिक गणितीय क्रियाकलापांच्या आवश्यकता पूर्ण करतात आणि निर्धारित करतात, इतर गोष्टी समान आहेत, गणिताच्या सर्जनशील प्रभुत्वाचे यश. एक शैक्षणिक विषय म्हणून, विशेषतः गणिताच्या क्षेत्रातील ज्ञान, कौशल्ये आणि क्षमतांवर तुलनेने जलद, सोपे आणि खोल प्रभुत्व."

गणितीय क्षमतेच्या अभ्यासामध्ये त्यापैकी एक सोडवणे देखील समाविष्ट आहे सर्वात महत्वाच्या समस्या- या प्रकारच्या क्षमतेच्या नैसर्गिक पूर्वतयारी किंवा प्रवृत्ती शोधा. प्रवृत्तींमध्ये एखाद्या व्यक्तीची जन्मजात शारीरिक आणि शारीरिक वैशिष्ट्ये समाविष्ट असतात, जी क्षमतांच्या विकासासाठी अनुकूल परिस्थिती मानली जातात. बर्याच काळापासून, झुकाव हा एक घटक मानला जात होता जो क्षमतांच्या विकासाची पातळी आणि दिशा घातकपणे पूर्वनिर्धारित करतो. रशियन मानसशास्त्राचे क्लासिक्स बी.एम. टेप्लोव्ह आणि एस.एल. रुबिनस्टाईनने वैज्ञानिकदृष्ट्या प्रवृत्तीच्या अशा समजाची बेकायदेशीरता सिद्ध केली आणि हे दाखवून दिले की क्षमतांच्या विकासाचा स्त्रोत बाह्य आणि जवळचा परस्परसंवाद आहे. अंतर्गत परिस्थिती. एक किंवा दुसर्या शारीरिक गुणवत्तेची तीव्रता कोणत्याही प्रकारे विशिष्ट प्रकारच्या क्षमतेचा अनिवार्य विकास दर्शवत नाही. ते फक्त असू शकते अनुकूल स्थितीया विकासासाठी. टायपोलॉजिकल गुणधर्म जे झुकावांचा भाग आहेत आणि त्यातील एक महत्त्वाचा घटक आहेत शरीराच्या कार्यप्रणालीची अशी वैयक्तिक वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करतात कार्यक्षमतेची मर्यादा, चिंताग्रस्त प्रतिक्रियेची गती वैशिष्ट्ये, बदलांच्या प्रतिसादात प्रतिक्रियेची पुनर्रचना करण्याची क्षमता. बाह्य प्रभावांमध्ये.

गुणधर्म मज्जासंस्था, स्वभावाच्या गुणधर्मांशी जवळून संबंधित, यामधून, व्यक्तीच्या वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्यांच्या प्रकटीकरणावर प्रभाव टाकतात (V.S. मर्लिन, 1986). बी.जी. अनन्येव, सामान्य बद्दल कल्पना विकसित करणे नैसर्गिक आधारचारित्र्य आणि क्षमतांचा विकास, क्षमता आणि चारित्र्य यांच्यातील कनेक्शनच्या क्रियाकलापांच्या प्रक्रियेच्या निर्मितीकडे लक्ष वेधले जाते, ज्यामुळे नवीन मानसिक निर्मिती होते, "प्रतिभा" आणि "व्यवसाय" या शब्दांनी दर्शविले जाते (अनायेव बीजी, 1980). अशाप्रकारे, स्वभाव, क्षमता आणि चारित्र्य स्वरूप जसे होते, व्यक्तिमत्व आणि व्यक्तिमत्वाच्या संरचनेत एकमेकांशी जोडलेल्या उपसंरचनांची साखळी, ज्याचा एकच नैसर्गिक आधार आहे.

मध्ये गणितीय क्षमतांच्या संरचनेचे सामान्य आकृती शालेय वय V.A नुसार क्रुतेत्स्की
व्ही.ए. क्रुटेत्स्कीने गोळा केलेल्या साहित्याने त्याला बांधण्याची परवानगी दिली सामान्य योजनाशालेय वयात गणितीय क्षमतांची रचना.
1. गणिती माहिती मिळवणे.
गणितीय सामग्री औपचारिकपणे जाणण्याची आणि समस्येची औपचारिक रचना समजून घेण्याची क्षमता.
2. गणितीय माहितीवर प्रक्रिया करणे.
1) करण्याची क्षमता तार्किक विचारपरिमाणवाचक आणि अवकाशीय संबंधांच्या क्षेत्रात, संख्यात्मक आणि प्रतीकात्मक प्रतीकवाद. गणितीय चिन्हांमध्ये विचार करण्याची क्षमता.
2) गणितीय वस्तू, नातेसंबंध आणि क्रियांचे द्रुत आणि व्यापकपणे सामान्यीकरण करण्याची क्षमता.
3) गणितीय तर्काची प्रक्रिया आणि संबंधित क्रियांची प्रणाली कमी करण्याची क्षमता. कोसळलेल्या संरचनांमध्ये विचार करण्याची क्षमता.
4) गणितीय क्रियाकलापांमध्ये विचार प्रक्रियेची लवचिकता.
5) निर्णयांची स्पष्टता, साधेपणा, अर्थव्यवस्था आणि तर्कशुद्धतेसाठी प्रयत्न करणे.
6) विचार प्रक्रियेची दिशा जलद आणि मुक्तपणे पुनर्रचना करण्याची क्षमता, थेट ते उलट विचारांच्या ट्रेनवर स्विच करण्याची क्षमता (गणितीय तर्कामध्ये विचार प्रक्रियेची उलटता).
3. गणिती माहितीचा संग्रह.
1) गणितीय स्मृती (गणितीय संबंधांसाठी सामान्यीकृत स्मृती, विशिष्ट वैशिष्ट्ये, तर्क आणि पुरावे यांचे नमुने, समस्या सोडवण्याच्या पद्धती आणि त्यांच्याकडे पाहण्याची तत्त्वे).
4. सामान्य सिंथेटिक घटक.
1) मनाची गणितीय अभिमुखता. निवडलेले घटक जवळून संबंधित आहेत, एकमेकांवर प्रभाव टाकतात आणि त्यांच्या संपूर्णतेमध्ये एक एकल प्रणाली, एक अविभाज्य रचना, गणितीय प्रतिभासंपन्नतेचे एक अद्वितीय सिंड्रोम, एक गणितीय मानसिकता तयार करतात.

गणितीय प्रतिभासंपन्नतेच्या संरचनेत ते घटक समाविष्ट नाहीत ज्यांची या प्रणालीमध्ये उपस्थिती आवश्यक नाही (जरी उपयुक्त आहे). या अर्थाने, ते गणितीय प्रतिभासंबंधात तटस्थ आहेत. तथापि, संरचनेत त्यांची उपस्थिती किंवा अनुपस्थिती (अधिक तंतोतंत, त्यांच्या विकासाची डिग्री) गणितीय मानसिकतेचा प्रकार निर्धारित करते. गणितीय प्रतिभासंपन्नतेच्या संरचनेत खालील घटक अनिवार्य नाहीत:
1. तात्पुरते वैशिष्ट्य म्हणून विचार प्रक्रियेची गती.
2. संगणकीय क्षमता (जलद आणि अचूक गणना करण्याची क्षमता, अनेकदा मनात).
3. संख्या, संख्या, सूत्रांसाठी मेमरी.
4. अवकाशीय प्रतिनिधित्वाची क्षमता.
5. अमूर्त गणितीय संबंध आणि अवलंबित्वांची कल्पना करण्याची क्षमता.

तुम्हाला नक्कीच असे लोक भेटले असतील जे त्यांच्या हातात स्लाइड नियम घेऊन जन्माला आले आहेत. गणितीय क्षमता निसर्गाने किती प्रमाणात पूर्वनिर्धारित केल्या आहेत?

आपल्या सर्वांना एक जन्मजात गणितीय ज्ञान आहे - हेच आपल्याला अचूक मोजणीचा अवलंब न करता वस्तूंच्या संख्येचा अंदाजे अंदाज आणि तुलना करण्यास अनुमती देते. या भावनेच्या मदतीने आम्ही सुपरमार्केटमधील चेकआउटवर लोकांची संख्या न मोजता आपोआप सर्वात लहान रेषा निवडतो.

पण काही लोकांना गणिताची जाण इतरांपेक्षा चांगली असते. 2013 मध्ये प्रकाशित झालेल्या अनेक अभ्यासांनी असे सुचवले आहे की ही जन्मजात क्षमता, जी गणिताच्या नंतरच्या यशस्वी शिक्षणाचा पाया आहे, सराव आणि प्रशिक्षणाद्वारे लक्षणीयरीत्या विकसित केली जाऊ शकते.

संशोधकांनी गणिताच्या समस्यांमध्ये सर्वाधिक यशस्वी झालेल्या मुलांच्या मेंदूतील संरचनात्मक वैशिष्ट्ये शोधून काढली आहेत. ड्यूक युनिव्हर्सिटीच्या मानसशास्त्रज्ञ एलिझाबेथ ब्रॅनन यांच्या मते, हे नवीन शोध शेवटी सर्वात जास्त शोधण्यात मदत करू शकतात प्रभावी मार्गगणित शिकवणे.

संशोधन कसे केले गेले?

गणितीय ज्ञान विकसित करणे शक्य आहे का?

पण जन्मजात क्षमता आपल्यावर अजिबात बंधने लादत नाहीत. ब्रॅनन आणि तिचे सहकारी जंकू पार्क यांनी एका छोट्या प्रयोगात सहभागी होण्यासाठी 52 प्रौढ स्वयंसेवकांची नियुक्ती केली. प्रयोगादरम्यान, सहभागींना दोन-अंकी संख्यांचा समावेश असलेल्या अनेक अंकगणित समस्या सोडवाव्या लागल्या. त्यानंतर अर्ध्या गटाने 10 प्रशिक्षण सत्रे पार पाडली ज्यात त्यांनी कार्डावरील बिंदूंच्या संख्येचा मानसिक अंदाज लावला. नियंत्रण गटाने अशा प्रकारच्या चाचण्या केल्या नाहीत. यानंतर दोन्ही गटांना पुन्हा निर्णय घेण्यास सांगण्यात आले अंकगणित उदाहरणे. असे आढळून आले की प्रशिक्षण सत्र पूर्ण केलेल्या सहभागींचे परिणाम नियंत्रण गटाच्या परिणामांपेक्षा लक्षणीयरित्या श्रेष्ठ होते.

हे दोन छोटे अभ्यास दाखवतात की जन्मजात गणिताची जाणीव आणि मिळवलेली गणित कौशल्ये एकमेकांशी निगडीत आहेत; एका गुणवत्तेवर काम केल्याने अपरिहार्यपणे दुसऱ्या गुणवत्तेत सुधारणा होईल. गणितीय क्षमता प्रशिक्षित करण्याच्या उद्देशाने मुलांचे खेळ त्यानंतरच्या गणिताच्या शिक्षणात खरोखरच मोठी भूमिका बजावतात.

आणखी एक प्रकाशित अभ्यास काही मुले इतरांपेक्षा चांगले का शिकतात हे स्पष्ट करण्यात मदत करतात. स्टॅनफोर्ड युनिव्हर्सिटीच्या शास्त्रज्ञांनी 24 तृतीय श्रेणीतील विद्यार्थ्यांना 8 आठवडे विशेष शिक्षण दिले. अभ्यासक्रमएक गणितीय पूर्वाग्रह सह. मुलांच्या या गटातील गणितीय कौशल्यांमधील सुधारणा 8% ते 198% पर्यंत होती आणि बौद्धिक विकास, स्मरणशक्ती आणि संज्ञानात्मक क्षमतांच्या चाचण्यांच्या परिणामांपासून ते स्वतंत्र होते.

पपसेन आणि वुप्सेन 23 ऑक्टोबर 2013 रोजी रात्री 9:42 वा

गणितीय क्षमता काय आहेत आणि त्या कशा विकसित करायच्या?

अलीकडे, गणितात आणखी एक पराभव पत्करावा लागल्याने, मी स्वतःला प्रश्न विचारला: गणिती क्षमता म्हणजे नेमके काय? आपण मानवी विचारांच्या कोणत्या गुणधर्मांबद्दल बोलत आहोत? आणि त्यांचा विकास कसा करायचा? मग मी या प्रश्नाचे सामान्यीकरण करण्याचे ठरवले आणि ते खालीलप्रमाणे तयार केले: अचूक विज्ञानाची क्षमता काय आहे? त्यांच्यात काय साम्य आहे आणि त्यांच्यात काय फरक आहेत? गणितज्ञांची विचारसरणी भौतिकशास्त्रज्ञ, रसायनशास्त्रज्ञ, अभियंता, प्रोग्रामर इत्यादींच्या विचारसरणीपेक्षा कशी वेगळी आहे? इंटरनेटवर जवळजवळ कोणतीही सुगम सामग्री आढळली नाही. रसायनशास्त्रासाठी काही विशिष्ट क्षमता आहेत की नाही आणि त्या भौतिकशास्त्र आणि गणिताच्या क्षमतांशी संबंधित आहेत की नाही याबद्दल हा लेख मला आवडला.
मला वाचकांचे मत विचारायचे आहे. आणि खाली मी समस्येच्या माझ्या व्यक्तिपरक दृष्टीची रूपरेषा देईन.

सुरुवातीला, मी माझ्या मते, गणितामध्ये प्रभुत्व मिळवताना अडखळणारा अडथळा काय आहे हे तयार करण्याचा प्रयत्न करेन.
मला असे दिसते की समस्या तंतोतंत पुराव्यामध्ये आहे. कठोर आणि औपचारिक पुरावे मूळतः अतिशय विशिष्ट आहेत आणि ते प्रामुख्याने गणित आणि तत्त्वज्ञानात आढळतात (मी चुकीचे असल्यास मला दुरुस्त करा). हा योगायोग नाही की अनेक महान मन एकाच वेळी गणितज्ञ आणि तत्त्वज्ञ होते: बर्ट्रांड रसेल, लीबनिझ, व्हाईटहेड, डेकार्टेस, यादी पूर्ण होण्यापासून दूर आहे. शाळांमध्ये ते क्वचितच पुरावे शिकवतात; ते मुख्यतः भूमितीमध्ये आढळतात जे त्यांच्या क्षेत्रातील तज्ञ आहेत, परंतु त्याच वेळी ते गणिताच्या सिद्धांताच्या दृष्टीकोनातून स्तब्ध होतात. जेव्हा त्यांना सर्वात सोपा पुरावा देण्याची आवश्यकता असते.
पुढील मुद्दा मागील एकाशी जवळून संबंधित आहे. गणितज्ञांची गंभीर विचारसरणी अगदी अकल्पनीय उंचीवर पोहोचते. आणि वरवर स्पष्ट तथ्य सिद्ध करण्याची आणि सत्यापित करण्याची इच्छा नेहमीच असते. मला बीजगणित आणि समूह सिद्धांताचा अभ्यास करतानाचा माझा अनुभव आठवतो, तो बहुधा विचार करणाऱ्या व्यक्तीसाठी योग्य नाही, परंतु रेखीय बीजगणितातून काही सुप्रसिद्ध तथ्ये काढण्याचा मला नेहमीच कंटाळा आला होता आणि मी स्वतःला याच्या गुणधर्मांबद्दल 20 पुरावे आणू शकलो नाही. रेखीय जागा, आणि मी त्यासाठी माझा शब्द घेण्यास तयार आहे, प्रमेयची स्थिती, जोपर्यंत ते मला एकटे सोडतील.

माझ्या समजुतीनुसार, गणितात यशस्वीरित्या प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, एखाद्या व्यक्तीकडे खालील कौशल्ये असणे आवश्यक आहे:
1. प्रेरक क्षमता.
2.कमी क्षमता.
3. मनात मोठ्या प्रमाणावर माहिती घेऊन कार्य करण्याची क्षमता. चांगली चाचणीआईन्स्टाईनची समस्या म्हणून काम करू शकते
कोणीही सोव्हिएत गणितज्ञ पोंट्रियागिनची आठवण करू शकतो, जो वयाच्या 14 व्या वर्षी आंधळा झाला होता.
4. चिकाटी, त्वरीत विचार करण्याची क्षमता, तसेच स्वारस्य यामुळे जे प्रयत्न करावे लागतील, परंतु ते नाहीत आवश्यक अटीआणि त्याहूनही अधिक पुरेसे.
5. पूर्णपणे अमूर्त मनाचे खेळ आणि अमूर्त संकल्पनांवर प्रेम
येथे आपण उदाहरणे म्हणून टोपोलॉजी आणि संख्या सिद्धांत उद्धृत करू शकतो. जे पूर्णतः गणिताच्या दृष्टिकोनातून आंशिक भिन्न समीकरणे हाताळतात आणि भौतिक स्पष्टीकरणाकडे जवळजवळ पूर्णपणे दुर्लक्ष करतात त्यांच्यामध्ये आणखी एक मजेदार परिस्थिती पाहिली जाऊ शकते.
6. भूमापकांसाठी, अवकाशीय विचार करणे इष्ट आहे.
माझ्यासाठी, मी माझे ठरवले आहे कमकुवत गुण. मला पुरावा सिद्धांत, गणितीय तर्कशास्त्र आणि स्वतंत्र गणितासह सुरुवात करायची आहे आणि मी हाताळू शकणाऱ्या माहितीचे प्रमाण देखील वाढवू इच्छितो. डी. पोया यांची “गणित आणि तर्कसंगत तर्क”, “समस्या कशी सोडवायची” ही पुस्तके विशेषतः लक्षात घेण्यासारखी आहेत.
गणित आणि इतर अचूक विज्ञानांमध्ये यशस्वीपणे प्रभुत्व मिळविण्याची गुरुकिल्ली काय आहे असे तुम्हाला वाटते? आणि या क्षमता कशा विकसित करायच्या?

टॅग्ज: गणित, भौतिकशास्त्र

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते