ठराविक सर्व्ह. रेखीय समीकरणांची प्रणाली. सामान्य उपाय

n अज्ञातांसह m रेखीय समीकरणांची प्रणालीफॉर्मची प्रणाली म्हणतात

कुठे एक ijआणि b i (i=1,…,मी; b=1,…,n) काही ज्ञात संख्या आहेत, आणि x 1,…,x n- अज्ञात. गुणांक च्या पदनाम मध्ये एक ijप्रथम निर्देशांक iसमीकरण क्रमांक आणि दुसरा दर्शवतो j- हा गुणांक ज्यावर उभा आहे त्या अज्ञातांची संख्या.

आपण अज्ञातांसाठी गुणांक मॅट्रिक्सच्या स्वरूपात लिहू , ज्याला आम्ही कॉल करू प्रणालीचे मॅट्रिक्स.

समीकरणांच्या उजव्या बाजूला असलेल्या संख्या आहेत b 1,…,b mम्हणतात विनामूल्य सदस्य.

संपूर्णता nसंख्या c 1, …,c nम्हणतात निर्णयदिलेल्या प्रणालीचे, जर सिस्टीमचे प्रत्येक समीकरण त्यात संख्या बदलल्यानंतर समानता बनते c 1, …,c nसंबंधित अज्ञातांऐवजी x 1,…,x n.

आमचे कार्य प्रणालीवर उपाय शोधणे असेल. या प्रकरणात, तीन परिस्थिती उद्भवू शकतात:

रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली ज्यामध्ये किमान एक उपाय आहे असे म्हणतात संयुक्त. अन्यथा, i.e. जर सिस्टमकडे कोणतेही उपाय नसतील तर त्याला म्हणतात संयुक्त नसलेले.

चला सिस्टीमवर उपाय शोधण्याच्या मार्गांचा विचार करूया.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी मॅट्रिक्स पद्धत

मॅट्रिक्समुळे रेखीय समीकरणांची प्रणाली थोडक्यात लिहिणे शक्य होते. तीन अज्ञातांसह 3 समीकरणांची प्रणाली द्या:

सिस्टम मॅट्रिक्सचा विचार करा आणि अज्ञात आणि मुक्त अटींचे मॅट्रिकेस स्तंभ

चला काम शोधूया

त्या उत्पादनाच्या परिणामी, आम्ही या प्रणालीच्या समीकरणांच्या डाव्या बाजू प्राप्त करतो. मग, मॅट्रिक्स समानतेची व्याख्या वापरून, ही प्रणाली फॉर्ममध्ये लिहिली जाऊ शकते

किंवा लहान ए∙X=B.

येथे मॅट्रिक्स आहेत एआणि बीज्ञात आहेत, आणि मॅट्रिक्स एक्सअज्ञात ते शोधणे आवश्यक आहे, कारण ... त्याचे घटक या प्रणालीचे समाधान आहेत. या समीकरणाला म्हणतात मॅट्रिक्स समीकरण.

मॅट्रिक्स निर्धारक शून्यापेक्षा भिन्न असू द्या | ए| ≠ 0. नंतर मॅट्रिक्स समीकरण खालीलप्रमाणे सोडवले. डावीकडील समीकरणाच्या दोन्ही बाजू मॅट्रिक्सने गुणाकार करा A-1, मॅट्रिक्सचा व्यस्त ए: . पासून A -1 A = Eआणि इ∙X = X, नंतर आपल्याला फॉर्ममधील मॅट्रिक्स समीकरणाचे समाधान मिळते X = A -1 B .

लक्षात घ्या की व्यस्त मॅट्रिक्स फक्त स्क्वेअर मॅट्रिक्ससाठीच आढळू शकते, मॅट्रिक्स पद्धत फक्त त्या सिस्टम्स सोडवू शकते ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येशी जुळते. तथापि, प्रणालीचे मॅट्रिक्स रेकॉर्डिंग देखील शक्य आहे जेव्हा समीकरणांची संख्या अज्ञात संख्येच्या बरोबरीची नसते, तेव्हा मॅट्रिक्स एचौरस असणार नाही आणि म्हणून फॉर्ममध्ये सिस्टमवर उपाय शोधणे अशक्य आहे X = A -1 B.

उदाहरणे.समीकरण प्रणाली सोडवा.

क्रेमरचा नियम

तीन अज्ञातांसह 3 रेषीय समीकरणांची प्रणाली विचारात घ्या:

सिस्टम मॅट्रिक्सशी संबंधित थर्ड-ऑर्डर निर्धारक, उदा. अज्ञातांसाठी गुणांक बनलेले,

म्हणतात प्रणालीचे निर्धारक.

चला खालीलप्रमाणे आणखी तीन निर्धारक तयार करूया: स्तंभ 1, 2 आणि 3 निर्धारक D मध्ये क्रमशः मुक्त संज्ञांच्या स्तंभासह बदलू.

मग आपण खालील परिणाम सिद्ध करू शकतो.

प्रमेय (क्रेमरचा नियम).जर प्रणालीचा निर्धारक Δ ≠ 0 असेल, तर विचाराधीन प्रणालीमध्ये एकच आणि एकच उपाय आहे, आणि

पुरावा. तर, तीन अज्ञातांसह 3 समीकरणांची प्रणाली विचारात घेऊ. सिस्टीमचे पहिले समीकरण बीजगणितीय पूरकाने गुणाकार करू अ 11घटक अ 11, 2रे समीकरण – चालू A 21आणि 3रा - चालू अ 31:

चला ही समीकरणे जोडूया:

चला प्रत्येक कंस आणि या समीकरणाची उजवी बाजू पाहू. 1ल्या स्तंभातील घटकांमधील निर्धारकाच्या विस्तारावरील प्रमेयाद्वारे

त्याचप्रमाणे, हे दर्शविले जाऊ शकते की आणि .

शेवटी, हे लक्षात घेणे सोपे आहे

अशा प्रकारे, आम्हाला समानता मिळते: .

म्हणून, .

समानता आणि त्याच प्रकारे व्युत्पन्न केले जातात, ज्यावरून प्रमेयाचे विधान येते.

अशा प्रकारे, आम्ही लक्षात घेतो की जर प्रणालीचा निर्धारक Δ ≠ 0 असेल, तर सिस्टमला एक अद्वितीय समाधान आहे आणि त्याउलट. जर सिस्टीमचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा असेल, तर सिस्टममध्ये एकतर अनंत संख्येत सोल्यूशन्स आहेत किंवा कोणतेही उपाय नाहीत, म्हणजे. विसंगत.

उदाहरणे.समीकरणांची प्रणाली सोडवा

गॉस पद्धत

पूर्वी चर्चा केलेल्या पद्धतींचा वापर केवळ त्या प्रणालींचे निराकरण करण्यासाठी केला जाऊ शकतो ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येशी जुळते आणि प्रणालीचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा असणे आवश्यक आहे. गॉस पद्धत अधिक सार्वत्रिक आहे आणि कितीही समीकरणे असलेल्या प्रणालींसाठी योग्य आहे. यात सिस्टीमच्या समीकरणांमधून अज्ञात गोष्टींचे सातत्यपूर्ण उच्चाटन होते.

तीन अज्ञात असलेल्या तीन समीकरणांच्या प्रणालीचा पुन्हा विचार करा:

आम्ही पहिले समीकरण अपरिवर्तित ठेवू आणि 2 र्या आणि 3 रा पासून आम्ही समाविष्ट असलेल्या अटी वगळू x १. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या समीकरणाचे विभाजन करा ए२१ आणि गुणाकार - ए 11, आणि नंतर ते 1ल्या समीकरणात जोडा. त्याचप्रमाणे, आपण तिसरे समीकरण भागतो ए 31 आणि ने गुणाकार करा - ए 11, आणि नंतर ते पहिल्यासह जोडा. परिणामी, मूळ प्रणाली फॉर्म घेईल:

आता शेवटच्या समीकरणातून आपण असलेली संज्ञा काढून टाकतो x 2. हे करण्यासाठी, तिसऱ्या समीकरणास भागाकार करा, गुणाकार करा आणि दुसऱ्यासह जोडा. मग आपल्याकडे समीकरणांची एक प्रणाली असेल:

येथून, शेवटच्या समीकरणावरून ते शोधणे सोपे आहे x 3, नंतर 2 रा समीकरणातून x 2आणि शेवटी, 1 ला - x १.

गॉसियन पद्धत वापरताना, आवश्यक असल्यास समीकरणे बदलली जाऊ शकतात.

बऱ्याचदा, समीकरणांची नवीन प्रणाली लिहिण्याऐवजी, ते स्वतःला सिस्टमचे विस्तारित मॅट्रिक्स लिहिण्यापर्यंत मर्यादित करतात:

आणि नंतर त्यास त्रिकोणी किंवा आणा कर्ण दृश्यप्राथमिक परिवर्तन वापरणे.

TO प्राथमिक परिवर्तनेमॅट्रिक्समध्ये खालील परिवर्तने समाविष्ट आहेत:

पंक्ती किंवा स्तंभांची पुनर्रचना करणे;
स्ट्रिंगला शून्याव्यतिरिक्त इतर संख्येने गुणाकार करणे;
एका ओळीत इतर ओळी जोडणे.

उदाहरणे:गॉस पद्धत वापरून समीकरणांची प्रणाली सोडवा.

अशाप्रकारे, सिस्टममध्ये असंख्य उपाय आहेत.

विभाग 5. रेखीय बीजगणिताचे घटक

रेखीय समीकरणांची प्रणाली

मूलभूत संकल्पना

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली,समाविष्टीत टीसमीकरणे आणि nअज्ञातांना फॉर्मची प्रणाली म्हणतात

संख्या कुठे आहेत ए ij , i=
, j=म्हणतात गुणांकप्रणाली, संख्या b i - विनामूल्य सदस्य.क्रमांक शोधायचे आहेत एक्स n .

अशा प्रणालीला कॉम्पॅक्टमध्ये लिहिणे सोयीचे आहे मॅट्रिक्स फॉर्म
.

येथे A हे सिस्टीम गुणांकांचे मॅट्रिक्स आहे, ज्याला म्हणतात मुख्य मॅट्रिक्स:

-अज्ञातांचा स्तंभ वेक्टर एक्स j , - मुक्त अटींचा स्तंभ वेक्टर b i .

विस्तारितप्रणालीच्या मॅट्रिक्सला मॅट्रिक्स म्हणतात विनामूल्य अटींच्या स्तंभाद्वारे पूरक प्रणाली

निर्णयानेप्रणाली म्हणतात nअज्ञात मूल्ये एक्स 1 =c 1 , एक्स 2 =c 2 , ..., एक्स n =c n , प्रतिस्थापन केल्यावर, प्रणालीची सर्व समीकरणे खऱ्या समानतेत बदलतात. प्रणालीचे कोणतेही समाधान स्तंभ मॅट्रिक्स म्हणून लिहिले जाऊ शकते .

समीकरण प्रणाली म्हणतात संयुक्त, त्यात किमान एक उपाय असल्यास, आणि संयुक्त नसलेले, जर त्यात एकच उपाय नसेल.

संयुक्त प्रणाली म्हणतात निश्चित, जर त्यात एक अद्वितीय उपाय असेल तर, आणि अनिश्चित, त्यात एकापेक्षा जास्त उपाय असल्यास. नंतरच्या प्रकरणात, त्याचे प्रत्येक उपाय म्हणतात खाजगी समाधानप्रणाली सर्व विशिष्ट उपायांचा संच म्हणतात सामान्य उपाय.

प्रणाली सोडवा -याचा अर्थ ते सुसंगत आहे की नाही हे शोधणे. जर प्रणाली सुसंगत असेल तर त्याचे सामान्य समाधान शोधा.

दोन प्रणाली म्हणतात समतुल्य(समतुल्य) त्यांच्याकडे समान सामान्य समाधान असल्यास. दुस-या शब्दात सांगायचे तर, सिस्टीम समतुल्य आहेत जर त्यापैकी एकाचे प्रत्येक सोल्यूशन दुसऱ्याचे समाधान असेल आणि त्याउलट.

समतुल्य प्रणाली प्राप्त आहेत, विशेषतः, जेव्हा प्राथमिक परिवर्तनेप्रणाली, जर परिवर्तने फक्त मॅट्रिक्सच्या पंक्तींवर केली जातात.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली म्हणतात एकसंध, जर सर्व मुक्त संज्ञा शून्याच्या समान असतील:

एकसंध प्रणाली नेहमीच सुसंगत असते, पासून एक्स 1 =x 2 =…=x n =0 प्रणालीसाठी एक उपाय आहे. या उपाय म्हणतात शून्यकिंवा क्षुल्लक

रेखीय समीकरणांचे निराकरण करणारी प्रणाली

मनमानी व्यवस्था द्यावी टीसह रेखीय समीकरणे nअज्ञात

प्रमेय १(क्रोनेकर-कॅपेली). जर विस्तारित मॅट्रिक्सची रँक मुख्य मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची असेल तरच रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सुसंगत असते.

प्रमेय 2.जर संयुक्त प्रणालीची रँक अज्ञातांच्या संख्येइतकी असेल, तर सिस्टमला एक अद्वितीय उपाय आहे.

प्रमेय 3.जर सुसंगत प्रणालीची रँक अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा कमी असेल, तर सिस्टममध्ये अनंत संख्येने उपाय आहेत.

उदाहरण सुसंगततेसाठी सिस्टमचे परीक्षण करा

उपाय.
,आर(ए)=1;
, आर()=2,
.

अशा प्रकारे, आर(अ) आर(), म्हणून प्रणाली विसंगत आहे.

रेखीय समीकरणांची नॉन-डिजनरेट प्रणाली सोडवणे. क्रेमरची सूत्रे

यंत्रणा देऊ द्या nसह रेखीय समीकरणे nअज्ञात

किंवा मॅट्रिक्स फॉर्म A∙X=B मध्ये.

अशा प्रणालीचा मुख्य मॅट्रिक्स A चौरस आहे. या मॅट्रिक्सचा निर्धारक म्हणतात प्रणालीचे निर्धारक. जर प्रणालीचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा असेल तर प्रणाली म्हणतात नॉन-डिजनरेट.

∆ 0 च्या बाबतीत या समीकरण प्रणालीवर उपाय शोधू. A∙X=B समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना डावीकडील मॅट्रिक्स A  1 ने गुणाकार केल्याने, आम्हाला A  1 ∙ A∙X = A  1 ∙B मिळते. A  1 ∙ A=E आणि E∙X=X असल्याने, नंतर X= A  1 ∙ B. प्रणाली सोडवण्याच्या या पद्धतीला म्हणतात. मॅट्रिक्स.

मॅट्रिक्स पद्धतीपासून ते खालीलप्रमाणे आहे क्रेमरची सूत्रे
, जेथे ∆ प्रणालीच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक आहे आणि ∆ iनिर्धारक ∆ बदलून मिळवलेले निर्धारक आहे iगुणांकांचा वा स्तंभ हा मुक्त संज्ञांचा स्तंभ आहे.

उदाहरण प्रणाली सोडवा

उपाय.
, 70,
,
. म्हणजे, एक्स 1 =, एक्स 2 =
.

गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे

गॉसियन पद्धतीमध्ये अज्ञात गोष्टींचे अनुक्रमिक निर्मूलन असते.

समीकरणांची एक प्रणाली दिली जाऊ द्या

गॉसियन सोल्युशन प्रक्रियेमध्ये दोन टप्पे असतात. पहिल्या टप्प्यावर (थेट गती), प्रणाली आणली जाते टप्प्याटप्प्याने(विशेषतः, त्रिकोणी) मन.

कुठे k≤ n, a ii  0, i= . शक्यता ए iiम्हणतात मुख्यप्रणालीचे घटक.

दुस-या टप्प्यावर (उलट) या चरणबद्ध प्रणालीतून अज्ञातांचे अनुक्रमिक निर्धारण आहे.

टिपा:

जर स्टेप सिस्टम त्रिकोणी निघाली, म्हणजे. k= n, नंतर मूळ प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे. शेवटच्या समीकरणावरून आपण शोधतो एक्स n , उपांत्य समीकरणातून आपल्याला आढळते एक्स n  1 , सिस्टीम वर चढल्यावर, बाकी सर्व अज्ञात सापडतील.

सराव मध्ये, सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्ससह कार्य करणे अधिक सोयीचे आहे, त्याच्या पंक्तींवर सर्व प्राथमिक परिवर्तने करणे. हे सोयीस्कर आहे की गुणांक ए 11 1 च्या समान होते (समीकरणांची पुनर्रचना करा किंवा भागाकार करा ए 11 1).

उदाहरण गॉसियन पद्धतीचा वापर करून प्रणाली सोडवा

उपाय. प्रणालीच्या विस्तारित मॅट्रिक्सवर प्राथमिक परिवर्तनाचा परिणाम म्हणून

~
~
~

मूळ प्रणाली एका पायरीवर कमी केली गेली:

म्हणून, सिस्टमचा सामान्य उपाय आहेः x 2 =5 x 4  13 x 3  3; x 1 =5 x 4  8 x 3  1.

जर आपण उदाहरणार्थ ठेवले तर, एक्स 3 =x 4 =0, मग आपण या प्रणालीच्या विशिष्ट उपायांपैकी एक शोधू एक्स 1 =  1, x 2 =  3, x 3 =0, x 4 =0.

एकसंध रेखीय समीकरणांची प्रणाली

रेखीय एकसंध समीकरणांची प्रणाली द्यावी

हे उघड आहे की एकसंध प्रणाली नेहमीच सुसंगत असते; त्यात शून्य (क्षुल्लक) समाधान असते.

प्रमेय ४.एकसंध समीकरणांच्या प्रणालीला शून्य नसलेले समाधान मिळण्यासाठी, त्याच्या मुख्य मॅट्रिक्सची श्रेणी अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा कमी असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे, उदा. आर< n.

प्रमेय 5.एकसंध प्रणालीसाठी nसह रेखीय समीकरणे nअज्ञातांना शून्य नसलेले सोल्यूशन होते, हे आवश्यक आणि पुरेसे आहे की त्याच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा असेल, म्हणजे. ∆=0.

जर प्रणालीमध्ये शून्य नसलेली सोल्यूशन्स असतील, तर ∆=0.

उदाहरण प्रणाली सोडवा

उपाय.
,आर(ए)=2
, n=3.कारण आर< n, मग प्रणालीमध्ये असंख्य उपाय आहेत.

,
. त्यामुळे, एक्स 1 ==2x 3 , एक्स 2 ==3x 3 - सामान्य उपाय.

टाकणे एक्स 3 =0, आम्हाला एक विशिष्ट उपाय मिळेल: एक्स 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. टाकणे एक्स 3 =1, आम्हाला दुसरा विशिष्ट उपाय मिळतो: एक्स 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 इ.

नियंत्रणासाठी प्रश्न

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली काय आहे?

खालील संकल्पना स्पष्ट करा: गुणांक, इंटरसेप्ट, मूलभूत आणि विस्तारित मॅट्रिक्स.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालींचे प्रकार काय आहेत? क्रॉनकर-कॅपेली प्रमेय (रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या सुसंगततेवर) सांगा.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याच्या पद्धतींची यादी करा आणि स्पष्ट करा.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणे (SLAEs) सोडवणे हा निःसंशयपणे रेखीय बीजगणित अभ्यासक्रमातील सर्वात महत्त्वाचा विषय आहे. गणिताच्या सर्व शाखांमधून मोठ्या संख्येने समस्या रेषीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यामध्ये येतात. हे घटक या लेखाचे कारण स्पष्ट करतात. लेखाची सामग्री निवडली आणि संरचित केली गेली आहे जेणेकरून आपण त्याच्या मदतीने करू शकता

तुमच्या रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी इष्टतम पद्धत निवडा,
निवडलेल्या पद्धतीच्या सिद्धांताचा अभ्यास करा,
ठराविक उदाहरणे आणि समस्यांचे तपशीलवार उपाय विचारात घेऊन तुमच्या रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा.

लेख सामग्रीचे संक्षिप्त वर्णन.

प्रथम सर्वकाही देऊ आवश्यक व्याख्या, संकल्पना आणि नोटेशन परिचय.

पुढे, आपण रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याच्या पद्धतींचा विचार करू ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञात चलांच्या संख्येएवढी असते आणि ज्यांचे निराकरण अद्वितीय असते. प्रथम, आम्ही क्रॅमरच्या पद्धतीवर लक्ष केंद्रित करू, दुसरे म्हणजे, अशा समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी आम्ही मॅट्रिक्स पद्धत दर्शवू आणि तिसरे म्हणजे, आम्ही गॉस पद्धतीचे विश्लेषण करू (अज्ञात चलांच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाची पद्धत). सिद्धांत एकत्रित करण्यासाठी, आम्ही निश्चितपणे वेगवेगळ्या प्रकारे अनेक SLAE सोडवू.

यानंतर, आपण रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याकडे पुढे जाऊ सामान्य दृश्य, ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञात चलांच्या संख्येशी एकरूप होत नाही किंवा प्रणालीचे मुख्य मॅट्रिक्स एकवचन असते. चला क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय तयार करू, जे आम्हाला SLAEs ची सुसंगतता स्थापित करण्यास अनुमती देते. मॅट्रिक्सच्या बेस मायनर या संकल्पनेचा वापर करून सिस्टीमच्या सोल्यूशनचे (ते सुसंगत असल्यास) विश्लेषण करूया. आम्ही गॉस पद्धतीचा देखील विचार करू आणि उदाहरणांच्या निराकरणाचे तपशीलवार वर्णन करू.

आम्ही निश्चितपणे रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या एकसंध आणि एकसंध प्रणालींच्या सामान्य समाधानाच्या संरचनेवर विचार करू. सोल्यूशनच्या मूलभूत प्रणालीची संकल्पना देऊ आणि सोल्यूशनच्या मूलभूत प्रणालीच्या वेक्टरचा वापर करून SLAE चे सामान्य समाधान कसे लिहिले जाते ते दाखवू. साठी चांगली समजचला काही उदाहरणे पाहू.

शेवटी, आम्ही समीकरणांच्या प्रणालींचा विचार करू ज्या रेखीय समीकरणांवर कमी केल्या जाऊ शकतात, तसेच SLAEs उद्भवणाऱ्या विविध समस्यांचे निराकरण करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

व्याख्या, संकल्पना, पदनाम.

आम्ही p रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या n अज्ञात चलांसह (p n च्या बरोबरीचे असू शकते) प्रणालींचा विचार करू.

अज्ञात चल, - गुणांक (काही वास्तविक किंवा जटिल संख्या), - मुक्त संज्ञा (वास्तविक किंवा जटिल संख्या देखील).

रेकॉर्डिंग SLAE या प्रकाराला म्हणतात समन्वय.

IN मॅट्रिक्स फॉर्मसमीकरणांची ही प्रणाली लिहिण्याचे स्वरूप आहे,
कुठे - प्रणालीचे मुख्य मॅट्रिक्स, - अज्ञात व्हेरिएबल्सचे कॉलम मॅट्रिक्स, - फ्री टर्म्सचे कॉलम मॅट्रिक्स.

जर आपण मॅट्रिक्स A मध्ये (n+1)व्या स्तंभात मुक्त संज्ञांचा मॅट्रिक्स-स्तंभ जोडला तर आपल्याला तथाकथित मिळेल विस्तारित मॅट्रिक्सरेखीय समीकरणांची प्रणाली. सामान्यतः, एक विस्तारित मॅट्रिक्स अक्षर T द्वारे दर्शविले जाते आणि मुक्त पदांचा स्तंभ उर्वरित स्तंभांपासून अनुलंब रेषेने विभक्त केला जातो, म्हणजे,

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणेअज्ञात चलांच्या मूल्यांचा संच म्हणतात जो प्रणालीच्या सर्व समीकरणांना ओळखांमध्ये बदलतो. अज्ञात चलांच्या दिलेल्या मूल्यांसाठी मॅट्रिक्स समीकरण देखील एक ओळख बनते.

समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये किमान एक उपाय असल्यास, त्याला म्हणतात संयुक्त.

जर समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये कोणतेही निराकरण नसेल तर त्याला म्हणतात संयुक्त नसलेले.

जर SLAE कडे अनन्य उपाय असेल तर त्याला म्हणतात निश्चित; जर एकापेक्षा जास्त उपाय असतील तर - अनिश्चित.

जर प्रणालीच्या सर्व समीकरणांच्या मुक्त अटी शून्याच्या समान असतील , नंतर सिस्टमला कॉल केले जाते एकसंध, अन्यथा - विषम.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्राथमिक प्रणाली सोडवणे.

जर प्रणालीच्या समीकरणांची संख्या अज्ञात चलांच्या संख्येएवढी असेल आणि त्याच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्याच्या समान नसेल, तर अशा SLAEs म्हणतात. प्राथमिक. समीकरणांच्या अशा प्रणालींमध्ये एक अद्वितीय समाधान असते आणि एकसंध प्रणालीच्या बाबतीत, सर्व अज्ञात चल शून्याच्या समान असतात.

आम्ही मध्ये अशा SLAE चा अभ्यास करायला सुरुवात केली हायस्कूल. ते सोडवताना, आम्ही एक समीकरण घेतले, एक अज्ञात चल इतरांच्या संदर्भात व्यक्त केले आणि त्यास उर्वरित समीकरणांमध्ये बदलले, नंतर पुढील समीकरण घेतले, पुढील अज्ञात चल व्यक्त केले आणि ते इतर समीकरणांमध्ये बदलले, इत्यादी. किंवा त्यांनी जोड पद्धत वापरली, म्हणजे त्यांनी काही अज्ञात चल काढून टाकण्यासाठी दोन किंवा अधिक समीकरणे जोडली. आम्ही या पद्धतींवर तपशीलवार विचार करणार नाही, कारण ते मूलत: गॉस पद्धतीचे बदल आहेत.

रेखीय समीकरणांच्या प्राथमिक प्रणाली सोडवण्याच्या मुख्य पद्धती म्हणजे क्रॅमर पद्धत, मॅट्रिक्स पद्धत आणि गॉस पद्धत. चला त्यांची क्रमवारी लावूया.

क्रेमरच्या पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे.

समजा आपल्याला रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवायची आहे

ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञात चलांच्या संख्येइतकी असते आणि प्रणालीच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा असतो, म्हणजेच .

प्रणालीच्या मुख्य मॅट्रिक्सचे निर्धारक असू द्या, आणि - मेट्रिक्सचे निर्धारक जे बदलून A मधून मिळवले जातात पहिला, दुसरा, …, वामुक्त सदस्यांच्या स्तंभाला अनुक्रमे स्तंभ:

या नोटेशनसह, क्रॅमरच्या पद्धतीची सूत्रे वापरून अज्ञात चलांची गणना केली जाते . अशा प्रकारे क्रेमरच्या पद्धतीचा वापर करून रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण केले जाते.

उदाहरण.

क्रेमरची पद्धत .

उपाय.

सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्समध्ये फॉर्म आहे . चला त्याच्या निर्धारकाची गणना करूया (आवश्यक असल्यास, लेख पहा):

सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असल्याने, सिस्टममध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे जे क्रेमरच्या पद्धतीद्वारे शोधले जाऊ शकते.

चला आवश्यक निर्धारकांची रचना आणि गणना करूया (आम्ही मॅट्रिक्स A मधील पहिला स्तंभ विनामूल्य अटींच्या स्तंभासह, दुसरा स्तंभ विनामूल्य अटींच्या स्तंभासह आणि मॅट्रिक्स A च्या तिसऱ्या स्तंभाच्या जागी विनामूल्य संज्ञांच्या स्तंभासह बदलून निर्धारक प्राप्त करतो) :

सूत्रांचा वापर करून अज्ञात चल शोधणे :

उत्तर:

क्रेमरच्या पद्धतीचा मुख्य गैरसोय (जर त्याला गैरसोय म्हणता येईल) प्रणालीमधील समीकरणांची संख्या तीनपेक्षा जास्त असेल तेव्हा निर्धारकांची गणना करण्याची जटिलता आहे.

मॅट्रिक्स पद्धत (व्युत्क्रम मॅट्रिक्स वापरून) वापरून रेखीय बीजगणितीय समीकरणे सोडवणे.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली मॅट्रिक्स स्वरूपात दिली जाऊ द्या, जिथे मॅट्रिक्स A ला n बाय n परिमाण आहे आणि त्याचा निर्धारक शून्य आहे.

, मॅट्रिक्स A इन्व्हर्टेबल असल्यामुळे, एक व्यस्त मॅट्रिक्स आहे. जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंना डावीकडे गुणाकार केला, तर आपल्याला अज्ञात चलांचा मॅट्रिक्स-स्तंभ शोधण्यासाठी एक सूत्र मिळेल. अशा प्रकारे आपण मॅट्रिक्स पद्धतीचा वापर करून रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण केले.

उदाहरण.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा मॅट्रिक्स पद्धत.

उपाय.

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणांची प्रणाली पुन्हा लिहू:

कारण

नंतर मॅट्रिक्स पद्धतीचा वापर करून SLAE सोडवता येईल. व्युत्क्रम मॅट्रिक्स वापरून, या प्रणालीचे निराकरण म्हणून शोधले जाऊ शकते .

मॅट्रिक्स A च्या घटकांच्या बीजगणितीय पूरकांमधून मॅट्रिक्स वापरून व्यस्त मॅट्रिक्स बनवू (आवश्यक असल्यास, लेख पहा):

व्यस्त मॅट्रिक्सचा गुणाकार करून अज्ञात चलांच्या मॅट्रिक्सची गणना करणे बाकी आहे विनामूल्य सदस्यांच्या मॅट्रिक्स-स्तंभापर्यंत (आवश्यक असल्यास, लेख पहा):

उत्तर:

किंवा दुसऱ्या नोटेशनमध्ये x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

मॅट्रिक्स पद्धतीचा वापर करून रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालींवर उपाय शोधताना मुख्य समस्या म्हणजे व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्याची जटिलता, विशेषत: तृतीयपेक्षा जास्त क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्ससाठी.

गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे.

समजा आपल्याला n अज्ञात चलांसह n रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीवर उपाय शोधायचा आहे.
मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा आहे.

गॉस पद्धतीचे सारअज्ञात व्हेरिएबल्स क्रमशः काढून टाकणे समाविष्ट आहे: प्रथम x 1 प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून वगळले जाते, दुसऱ्यापासून सुरू होते, नंतर x 2 हे सर्व समीकरणांमधून वगळले जाते, तिसऱ्यापासून सुरू होते आणि असेच, फक्त अज्ञात चल x n मध्ये राहते. शेवटचे समीकरण. प्रणालीची समीकरणे क्रमशः अज्ञात चल काढून टाकण्यासाठी बदलण्याच्या या प्रक्रियेला म्हणतात. थेट गॉसियन पद्धत. गॉसियन पद्धतीचा फॉरवर्ड स्ट्रोक पूर्ण केल्यानंतर, शेवटच्या समीकरणातून x n सापडतो, उपान्त्य समीकरणातून हे मूल्य वापरून, x n-1 काढला जातो आणि त्याचप्रमाणे, x 1 पहिल्या समीकरणातून सापडतो. प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणापासून पहिल्या समीकरणाकडे जाताना अज्ञात चलांची गणना करण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात. गॉसियन पद्धतीचा उलटा.

अज्ञात चल काढून टाकण्यासाठी अल्गोरिदमचे थोडक्यात वर्णन करूया.

आम्ही असे गृहीत धरू की, प्रणालीच्या समीकरणांची अदलाबदल करून आपण हे नेहमी साध्य करू शकतो. दुसऱ्यापासून सुरुवात करून प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून अज्ञात चल x 1 काढून टाकू. हे करण्यासाठी, प्रणालीच्या दुस-या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, ने गुणाकार केला, तिसऱ्या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, ने गुणाकार केला आणि असेच, nव्या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, गुणाकार केला. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे आणि .

जर आपण प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणामध्ये इतर अज्ञात चलांच्या संदर्भात x 1 व्यक्त केला असेल आणि परिणामी अभिव्यक्ती इतर सर्व समीकरणांमध्ये बदलली असेल तर आपण त्याच निकालावर पोहोचलो असतो. अशा प्रकारे, व्हेरिएबल x 1 सर्व समीकरणांमधून वगळले जाते, दुसऱ्यापासून सुरू होते.

पुढे, आम्ही त्याच प्रकारे पुढे जाऊ, परंतु केवळ परिणामी प्रणालीच्या भागासह, जे आकृतीमध्ये चिन्हांकित केले आहे.

हे करण्यासाठी, सिस्टीमच्या तिसऱ्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, गुणाकार केला, चौथ्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, ने गुणाकार केला आणि असेच, nव्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, गुणाकार केले. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे आणि . अशा प्रकारे, व्हेरिएबल x 2 सर्व समीकरणांमधून वगळले जाते, तिसर्यापासून सुरू होते.

पुढे, आम्ही अज्ञात x 3 काढून टाकण्यास पुढे जाऊ, आणि आम्ही आकृतीमध्ये चिन्हांकित केलेल्या सिस्टमच्या भागासह समान कार्य करतो.

म्हणून आम्ही गॉसियन पद्धतीची थेट प्रगती चालू ठेवतो जोपर्यंत सिस्टम फॉर्म घेत नाही

या क्षणापासून आपण गॉसियन पद्धतीच्या उलट सुरू करतो: आपण x n ची शेवटच्या समीकरणातून गणना करतो, x n चे प्राप्त मूल्य वापरून आपल्याला उपान्त्य समीकरणातून x n-1 सापडतो आणि त्याचप्रमाणे, आपल्याला पहिल्या समीकरणातून x 1 सापडतो. .

उदाहरण.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा गॉस पद्धत.

उपाय.

प्रणालीच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून अज्ञात चल x 1 वगळू. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना आम्ही पहिल्या समीकरणाचे संबंधित भाग जोडतो, अनुक्रमे आणि ने गुणाकार:

आता आपण तिसऱ्या समीकरणातून x 2 त्याच्या डावीकडे जोडून काढून टाकतो उजवी बाजूदुसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू, याने गुणाकार:

हे गॉस पद्धतीचे फॉरवर्ड स्ट्रोक पूर्ण करते; आम्ही रिव्हर्स स्ट्रोक सुरू करतो.

समीकरणांच्या परिणामी प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणावरून आपल्याला x 3 सापडतो:

दुसऱ्या समीकरणावरून आपल्याला मिळते.

पहिल्या समीकरणातून आपण उर्वरित अज्ञात चल शोधतो आणि त्याद्वारे गॉस पद्धतीचा उलट पूर्ण करतो.

उत्तर:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

सामान्य स्वरूपाच्या रेखीय बीजगणितीय समीकरणांचे निराकरण करणारी प्रणाली.

सर्वसाधारणपणे, प्रणाली p च्या समीकरणांची संख्या अज्ञात व्हेरिएबल्स n च्या संख्येशी जुळत नाही:

अशा SLAE कडे कोणतेही उपाय नसतात, एकच उपाय असू शकतो किंवा अनेक उपाय असू शकतात. हे विधान समीकरणांच्या प्रणालींना देखील लागू होते ज्यांचे मुख्य मॅट्रिक्स चौरस आणि एकवचन आहे.

क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीवर उपाय शोधण्यापूर्वी, त्याची सुसंगतता स्थापित करणे आवश्यक आहे. SLAE कधी सुसंगत आहे आणि कधी विसंगत आहे या प्रश्नाचे उत्तर द्वारे दिले जाते क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय:
n अज्ञात असलेल्या p समीकरणांची प्रणाली (p n च्या बरोबरीची असू शकते) सुसंगत असण्यासाठी, सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सची श्रेणी विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे, म्हणजे , Rank(A)=Rank(T).

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीची सुसंगतता निश्चित करण्यासाठी क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयचा एक उदाहरण म्हणून आपण विचार करूया.

उदाहरण.

रेषीय समीकरणांची प्रणाली आहे का ते शोधा उपाय

उपाय.

. बॉर्डरिंग अल्पवयीन मुलांची पद्धत वापरुया. दुस-या ऑर्डरचा किरकोळ शून्यापेक्षा वेगळे. याच्या सीमेवर असलेल्या तृतीय-क्रमातील अल्पवयीन मुलांकडे पाहूया:

तिसऱ्या क्रमाचे सर्व सीमावर्ती अल्पवयीन शून्य समान असल्याने, मुख्य मॅट्रिक्सची रँक दोनच्या बरोबरीची आहे.

यामधून, विस्तारित मॅट्रिक्सची रँक तीन समान आहे, कारण अल्पवयीन तृतीय क्रमांकाचा आहे

शून्यापेक्षा वेगळे.

अशा प्रकारे, रंग(A), म्हणून, क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय वापरून, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की रेखीय समीकरणांची मूळ प्रणाली विसंगत आहे.

उत्तर:

यंत्रणेकडे उपाय नाहीत.

म्हणून, आम्ही क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय वापरून प्रणालीची विसंगती स्थापित करण्यास शिकलो आहोत.

परंतु जर एसएलएईची सुसंगतता स्थापित केली असेल तर त्यावर उपाय कसा शोधायचा?

हे करण्यासाठी, आपल्याला मॅट्रिक्सच्या बेस मायनरची संकल्पना आणि मॅट्रिक्सच्या श्रेणीबद्दल प्रमेय आवश्यक आहे.

शून्यापेक्षा भिन्न असलेल्या मॅट्रिक्स A च्या सर्वोच्च क्रमाच्या मायनरला म्हणतात मूलभूत.

बेस मायनरच्या व्याख्येवरून असे दिसून येते की त्याचा क्रम मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीचा आहे. नॉन-झिरो मॅट्रिक्स A साठी अनेक आधारभूत अल्पवयीन असू शकतात;

उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्सचा विचार करा .

या मॅट्रिक्सच्या तिसऱ्या पंक्तीतील घटक पहिल्या आणि दुसऱ्या पंक्तीच्या संबंधित घटकांची बेरीज असल्यामुळे या मॅट्रिक्सचे सर्व तृतीय-क्रम अल्पवयीन शून्य समान आहेत.

खालील द्वितीय श्रेणीतील अल्पवयीन मुले मूलभूत आहेत, कारण ते शून्य नसलेले आहेत

अल्पवयीन मूलभूत नाहीत, कारण ते शून्याच्या समान आहेत.

मॅट्रिक्स रँक प्रमेय.

n च्या क्रमवारीतील p च्या मॅट्रिक्सची रँक r च्या बरोबरीची असेल, तर मॅट्रिक्सचे सर्व पंक्ती (आणि स्तंभ) घटक जे निवडलेल्या आधारावर किरकोळ बनत नाहीत ते संबंधित पंक्ती (आणि स्तंभ) घटकांच्या रूपात रेखीयपणे व्यक्त केले जातात. आधार किरकोळ.

मॅट्रिक्स रँक प्रमेय आम्हाला काय सांगते?

जर, क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयानुसार, आम्ही सिस्टमची सुसंगतता स्थापित केली असेल, तर आम्ही सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा कोणताही आधार मायनर निवडतो (त्याचा क्रम r च्या बरोबरीचा आहे), आणि सिस्टममधून सर्व समीकरणे वगळू. निवडलेले आधार किरकोळ तयार करू नका. अशाप्रकारे प्राप्त केलेले SLAE मूळ समतुल्य असेल, कारण टाकून दिलेली समीकरणे अजूनही अनावश्यक आहेत (मॅट्रिक्स रँक प्रमेयानुसार, ते उर्वरित समीकरणांचे एक रेषीय संयोजन आहेत).

परिणामी, सिस्टमची अनावश्यक समीकरणे टाकून दिल्यानंतर, दोन प्रकरणे शक्य आहेत.

परिणामी प्रणालीतील समीकरण r ची संख्या अज्ञात चलांच्या संख्येइतकी असेल, तर ते निश्चित होईल आणि क्रॅमर पद्धत, मॅट्रिक्स पद्धत किंवा गॉस पद्धतीद्वारे एकमेव उपाय शोधला जाऊ शकतो.

उदाहरण.

उपाय.

सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सची रँक दोन समान आहे, कारण अल्पवयीन दुसऱ्या क्रमाचा आहे शून्यापेक्षा वेगळे. विस्तारित मॅट्रिक्स रँक दोन च्या समान आहे, कारण फक्त तिसरा ऑर्डर मायनर शून्य आहे

आणि वर विचारात घेतलेला दुसरा-क्रम अल्पवयीन शून्यापेक्षा वेगळा आहे. क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयावर आधारित, रँक(A)=Rank(T)=2 पासून, आम्ही रेखीय समीकरणांच्या मूळ प्रणालीची सुसंगतता सांगू शकतो.

एक आधार अल्पवयीन म्हणून आम्ही घेतो . हे पहिल्या आणि दुसऱ्या समीकरणांच्या गुणांकांद्वारे तयार केले जाते:

सिस्टीमचे तिसरे समीकरण बेसिक मायनरच्या निर्मितीमध्ये भाग घेत नाही, म्हणून आम्ही मॅट्रिक्सच्या रँकवरील प्रमेयावर आधारित सिस्टममधून ते वगळतो:

अशा प्रकारे आपल्याला रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्राथमिक प्रणाली प्राप्त झाली. क्रॅमरची पद्धत वापरून ते सोडवू:

उत्तर:

x 1 = 1, x 2 = 2.

परिणामी SLAE मधील समीकरण r ची संख्या अज्ञात चल n च्या संख्येपेक्षा कमी असेल, तर समीकरणांच्या डाव्या बाजूस आपण आधार किरकोळ असलेल्या संज्ञा सोडतो आणि उर्वरित संज्ञा उजव्या बाजूला हस्तांतरित करतो. विरुद्ध चिन्हासह प्रणालीची समीकरणे.

समीकरणांच्या डाव्या बाजूस उरलेल्या अज्ञात चलांना (त्यापैकी r) म्हणतात मुख्य.

उजव्या बाजूस असलेल्या अज्ञात चलांना (n - r तुकडे आहेत) म्हणतात. मोफत.

आता आमचा असा विश्वास आहे की मुक्त अज्ञात व्हेरिएबल्स अनियंत्रित मूल्ये घेऊ शकतात, तर r मुख्य अज्ञात व्हेरिएबल्स विनामूल्य अज्ञात व्हेरिएबल्सद्वारे अनन्य पद्धतीने व्यक्त केले जातील. क्रॅमर पद्धत, मॅट्रिक्स पद्धत किंवा गॉस पद्धत वापरून परिणामी SLAE सोडवून त्यांची अभिव्यक्ती शोधली जाऊ शकते.

ते उदाहरणासह पाहू.

उदाहरण.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा .

उपाय.

चला सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सची रँक शोधू अल्पवयीनांची सीमा करण्याच्या पद्धतीद्वारे. पहिल्या क्रमाचा शून्य नसलेला मायनर म्हणून 1 1 = 1 घेऊ. या मायनरच्या सीमेवर असलेल्या दुसऱ्या क्रमाचा शून्य नसलेला अल्पवयीन शोधणे सुरू करूया:

अशा प्रकारे आम्हाला दुसऱ्या ऑर्डरचा शून्य नसलेला मायनर सापडला. चला तिसऱ्या क्रमाचा शून्य नसलेला बॉर्डर शोधणे सुरू करूया:

अशा प्रकारे, मुख्य मॅट्रिक्सची रँक तीन आहे. विस्तारित मॅट्रिक्सची श्रेणी देखील तीनच्या बरोबरीची आहे, म्हणजे, सिस्टम सुसंगत आहे.

आम्ही तिसऱ्या क्रमाचा आढळलेला गैर-शून्य मायनर आधार म्हणून घेतो.

स्पष्टतेसाठी, आम्ही ते घटक दाखवतो जे किरकोळ आधार बनवतात:

आम्ही सिस्टीम समीकरणांच्या डाव्या बाजूला बेसमध्ये गुंतलेल्या अटी किरकोळ सोडतो आणि बाकीच्या विरुद्ध चिन्हांसह उजव्या बाजूला हस्तांतरित करतो:

चला विनामूल्य अज्ञात चल x 2 आणि x 5 अनियंत्रित मूल्ये देऊ, म्हणजेच आम्ही स्वीकारतो , अनियंत्रित संख्या कुठे आहेत. या प्रकरणात, SLAE फॉर्म घेईल

क्रॅमरच्या पद्धतीचा वापर करून रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची परिणामी प्राथमिक प्रणाली सोडवू.

म्हणून, .

तुमच्या उत्तरात, मोफत अज्ञात चल सूचित करण्यास विसरू नका.

उत्तर:

अनियंत्रित संख्या कोठे आहेत.

चला सारांश द्या.

सामान्य रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी, आम्ही प्रथम क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय वापरून त्याची सुसंगतता निश्चित करतो. जर मुख्य मॅट्रिक्सची श्रेणी विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची नसेल, तर आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की सिस्टम विसंगत आहे.

जर मुख्य मॅट्रिक्सची रँक विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची असेल, तर आम्ही बेस मायनर निवडतो आणि सिस्टीमची समीकरणे टाकून देतो जी निवडलेल्या बेस मायनरच्या निर्मितीमध्ये भाग घेत नाहीत.

जर बेस मायनरचा क्रम अज्ञात व्हेरिएबल्सच्या संख्येइतका असेल, तर SLAE कडे एक अनोखा उपाय आहे, जो आम्हाला ज्ञात असलेल्या कोणत्याही पद्धतीद्वारे शोधला जाऊ शकतो.

जर बेस मायनरचा क्रम अज्ञात व्हेरिएबल्सच्या संख्येपेक्षा कमी असेल, तर सिस्टम समीकरणांच्या डाव्या बाजूला आम्ही मुख्य अज्ञात व्हेरिएबल्ससह संज्ञा सोडतो, उर्वरित संज्ञा उजवीकडे हस्तांतरित करतो आणि त्यांना अनियंत्रित मूल्ये देतो मुक्त अज्ञात चल. रेखीय समीकरणांच्या परिणामी प्रणालीवरून आपल्याला क्रेमर पद्धत, मॅट्रिक्स पद्धत किंवा गॉस पद्धत वापरून मुख्य अज्ञात चल सापडतात.

सामान्य स्वरूपाच्या रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी गॉस पद्धत.

गॉस पद्धतीचा वापर कोणत्याही प्रकारच्या रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या सिस्टीमची सुसंगततेसाठी चाचणी न करता सोडवण्यासाठी केला जाऊ शकतो. अज्ञात चलांच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाच्या प्रक्रियेमुळे SLAE ची सुसंगतता आणि विसंगतता या दोन्हींबद्दल निष्कर्ष काढणे शक्य होते आणि जर समाधान अस्तित्वात असेल तर ते शोधणे शक्य करते.

संगणकीय दृष्टिकोनातून, गॉसियन पद्धत श्रेयस्कर आहे.

ते पहा तपशीलवार वर्णनआणि सामान्य स्वरूपाच्या रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी गॉस पद्धती या लेखातील उदाहरणांचे विश्लेषण केले.

सोल्यूशन्सच्या मूलभूत प्रणालीचे वेक्टर वापरून एकसंध आणि एकसंध रेखीय बीजगणित प्रणालींचे सामान्य समाधान लिहिणे.

या विभागात आपण रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या एकाचवेळी एकसंध आणि एकसंध प्रणालींबद्दल बोलू ज्यात असंख्य निराकरणे आहेत.

प्रथम आपण एकसंध प्रणाली हाताळू.

उपायांची मूलभूत प्रणाली n अज्ञात चलांसह p रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एकसंध प्रणाली ही या प्रणालीच्या (n – r) रेखीय स्वतंत्र सोल्यूशन्सचा संग्रह आहे, जेथे r हा प्रणालीच्या मुख्य मॅट्रिक्सच्या आधारभूत मायनरचा क्रम आहे.

जर आपण X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) या आकारमानाच्या स्तंभीय मॅट्रिक्स आहेत. 1 द्वारे) , नंतर या एकसंध प्रणालीचे सामान्य समाधान अनियंत्रित स्थिर गुणांक C 1, C 2, ..., C (n-r) असलेल्या सोल्यूशन्सच्या मूलभूत प्रणालीच्या वेक्टरचे एक रेषीय संयोजन म्हणून प्रस्तुत केले जाते, म्हणजे, .

रेखीय बीजगणितीय समीकरण (ओरोस्लाऊ) च्या एकसंध प्रणालीचे सामान्य समाधान या शब्दाचा अर्थ काय आहे?

अर्थ सोपा आहे: सूत्र सर्वकाही सेट करते संभाव्य उपायमूळ SLAE, दुसऱ्या शब्दांत, अनियंत्रित स्थिरांक C 1, C 2, ..., C (n-r) च्या मूल्यांचा कोणताही संच घेतल्यास, सूत्र वापरून आपण मूळ एकसंध SLAE चे समाधान मिळवू.

अशा प्रकारे, जर आपल्याला उपायांची मूलभूत प्रणाली सापडली, तर आपण या एकसंध SLAE चे सर्व उपाय म्हणून परिभाषित करू शकतो.

एकसंध SLAE साठी उपायांची मूलभूत प्रणाली तयार करण्याची प्रक्रिया दाखवूया.

आम्ही रेखीय समीकरणांच्या मूळ प्रणालीचा मूळ किरकोळ निवडतो, सिस्टममधून इतर सर्व समीकरणे वगळतो आणि विरुद्ध चिन्हे असलेल्या प्रणालीच्या समीकरणांच्या उजव्या बाजूला विनामूल्य अज्ञात चल असलेल्या सर्व संज्ञा हस्तांतरित करतो. मुक्त अज्ञात चलना 1,0,0,...,0 ही मूल्ये देऊ आणि रेखीय समीकरणांची परिणामी प्राथमिक प्रणाली कोणत्याही प्रकारे सोडवून मुख्य अज्ञातांची गणना करू, उदाहरणार्थ, क्रेमर पद्धत वापरून. याचा परिणाम X (1) होईल - मूलभूत प्रणालीचा पहिला उपाय. जर आपण विनामूल्य अज्ञातांना 0,1,0,0,…,0 ही मूल्ये दिली आणि मुख्य अज्ञातांची गणना केली तर आपल्याला X (2) मिळेल. वगैरे. जर आपण 0.0,...,0.1 ही मूल्ये विनामूल्य अज्ञात चलना दिली आणि मुख्य अज्ञातांची गणना केली तर आपल्याला X (n-r) मिळेल. अशाप्रकारे, एकसंध SLAE च्या उपायांची एक मूलभूत प्रणाली तयार केली जाईल आणि त्याचे सामान्य समाधान फॉर्ममध्ये लिहिले जाऊ शकते.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या एकसंध प्रणालीसाठी, सामान्य सोल्यूशन फॉर्ममध्ये दर्शवले जाते, जेथे संबंधित एकसंध प्रणालीचे सामान्य समाधान आहे आणि मूळ असमानित SLAE चे विशिष्ट समाधान आहे, जे आपण मुक्त अज्ञातांना मूल्ये देऊन प्राप्त करतो. ०,०,…,० आणि मुख्य अज्ञातांच्या मूल्यांची गणना करणे.

उदाहरणे पाहू.

उदाहरण.

सोल्युशनची मूलभूत प्रणाली आणि रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या एकसंध प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधा .

उपाय.

रेखीय समीकरणांच्या एकसंध प्रणालींच्या मुख्य मॅट्रिक्सची श्रेणी नेहमी विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या समान असते. बॉर्डरिंग मायनर्सची पद्धत वापरून मुख्य मॅट्रिक्सची रँक शोधू. पहिल्या क्रमाचा शून्य नसलेला मायनर म्हणून, आम्ही सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा 1 1 = 9 हा घटक घेतो. चला दुसऱ्या क्रमाचा सीमावर्ती शून्य नॉन मायनर शोधू:

दुसऱ्या क्रमाचा एक अल्पवयीन, शून्यापेक्षा वेगळा आढळला आहे. शुन्य नसलेल्याच्या शोधात तिसऱ्या क्रमांकाच्या अल्पवयीन मुलांकडे जाऊ या:

सर्व थर्ड-ऑर्डर बॉर्डरिंग अल्पवयीन शून्य समान आहेत, म्हणून, मुख्य आणि विस्तारित मॅट्रिक्सची श्रेणी दोन समान आहे. चला घेऊ. स्पष्टतेसाठी, ती तयार करणाऱ्या सिस्टमचे घटक लक्षात घेऊया:

मूळ SLAE चे तिसरे समीकरण किरकोळ आधार तयार करण्यात भाग घेत नाही, म्हणून, ते वगळले जाऊ शकते:

आम्ही समीकरणांच्या उजव्या बाजूला मुख्य अज्ञात असलेल्या अटी सोडतो आणि मुक्त अज्ञात असलेल्या अटी उजव्या बाजूला हस्तांतरित करतो:

रेखीय समीकरणांच्या मूळ एकसंध प्रणालीच्या निराकरणाची एक मूलभूत प्रणाली तयार करूया. या SLAE च्या सोल्यूशन्सच्या मूलभूत प्रणालीमध्ये दोन सोल्यूशन्स असतात, कारण मूळ SLAE मध्ये चार अज्ञात व्हेरिएबल्स असतात आणि त्याच्या बेसिक मायनरचा क्रम दोन सारखा असतो. X (1) शोधण्यासाठी, आपण मुक्त अज्ञात चलांना x 2 = 1, x 4 = 0 ही मूल्ये देतो, नंतर आपल्याला समीकरणांच्या प्रणालीतून मुख्य अज्ञात शोधतो.
.

कुठे x* - एकसंध प्रणालीवरील उपायांपैकी एक (2) (उदाहरणार्थ (4)), (E−A+A)मॅट्रिक्सचे कर्नल (नल स्पेस) बनवते ए.

चला मॅट्रिक्सचे स्केलेटल विघटन करूया (E−A+A):

E−A + A=Q·S

कुठे प्र n×n−r- रँक मॅट्रिक्स (Q)=n−r, एस n−r×n-रँक मॅट्रिक्स (S)=n−r.

नंतर (13) असे लिहिता येईल खालील फॉर्म:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ आरएन-आर.

कुठे k=Sz.

तर, सामान्य उपाय शोधण्याची प्रक्रियास्यूडोइनव्हर्स मॅट्रिक्स वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली खालील स्वरूपात दर्शविली जाऊ शकते:

स्यूडोइनव्हर्स मॅट्रिक्सची गणना करत आहे ए + .
आम्ही रेखीय समीकरणांच्या एकसमान प्रणालीसाठी विशिष्ट समाधानाची गणना करतो (2): x*=ए + b.
आम्ही सिस्टमची सुसंगतता तपासतो. हे करण्यासाठी, आम्ही गणना करतो ए.ए. + b. जर ए.ए. + b≠b, नंतर प्रणाली विसंगत आहे. अन्यथा, आम्ही प्रक्रिया सुरू ठेवतो.
चला ते बाहेर काढूया E−A+A.
कंकाल विघटन करणे E−A + A=Q·S.
एक उपाय तयार करणे

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ आरएन-आर.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली ऑनलाइन सोडवणे

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर तुम्हाला तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधण्याची परवानगी देतो.

सुसंगततेसाठी लीनियर एजब्रेइक इक्वेशन्स (SLAEs) च्या प्रणालीचा अभ्यास करणे म्हणजे या प्रणालीमध्ये उपाय आहेत की नाही हे शोधणे. बरं, उपाय असतील तर किती आहेत ते सूचित करा.

आम्हाला "रेषीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली. मूलभूत संज्ञा. नोटेशनचे मॅट्रिक्स स्वरूप" या विषयावरील माहितीची आवश्यकता असेल. विशेषतः, सिस्टम मॅट्रिक्स आणि विस्तारित सिस्टम मॅट्रिक्स सारख्या संकल्पना आवश्यक आहेत, कारण क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय तयार करणे त्यांच्यावर आधारित आहे. नेहमीप्रमाणे, सिस्टीमचे मॅट्रिक्स $A$ या अक्षराने आणि सिस्टीमचे विस्तारित मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ या अक्षराने दर्शविले जाईल.

क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सुसंगत असते जर आणि फक्त जर सिस्टम मॅट्रिक्सची रँक सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची असेल, म्हणजे. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की एखाद्या सिस्टममध्ये कमीतकमी एक उपाय असल्यास त्याला संयुक्त म्हणतात. क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय असे सांगते: जर $\rang A=\rang\widetilde(A)$, तर एक उपाय आहे; जर $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, तर या SLAE मध्ये कोणतेही उपाय नाहीत (विसंगत). या सोल्यूशन्सच्या संख्येबद्दलच्या प्रश्नाचे उत्तर क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयच्या परिणामाद्वारे दिले जाते. परिणाम तयार करताना, $n$ हे अक्षर वापरले जाते, जे दिलेल्या SLAE च्या व्हेरिएबल्सच्या संख्येइतके आहे.

क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयाचे परिणाम

जर $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, तर SLAE विसंगत आहे (काही उपाय नाहीत).
जर $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
जर $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, तर SLAE निश्चित आहे (त्यात एक उपाय आहे).

कृपया लक्षात घ्या की तयार केलेले प्रमेय आणि त्याचा परिणाम SLAE वर उपाय कसा शोधायचा हे सूचित करत नाही. त्यांच्या मदतीने, आपण केवळ हे उपाय अस्तित्वात आहेत की नाही हे शोधू शकता आणि जर ते अस्तित्वात असतील तर किती आहेत.

उदाहरण क्रमांक १

SLAE $ \left \(\begin(संरेखित) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42 एक्सप्लोर करा. \end(संरेखित) सुसंगततेसाठी )\right.$ SLAE सुसंगत असल्यास, उपायांची संख्या दर्शवा.

दिलेल्या SLAE च्या उपायांचे अस्तित्व शोधण्यासाठी, आम्ही क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेय वापरतो. आम्हाला सिस्टमचे मॅट्रिक्स $A$ आणि सिस्टमचे विस्तारित मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ आवश्यक असेल, आम्ही ते लिहू:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 आणि 9 &-7 आणि 17 \\ -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9\\ 4 आणि -2 आणि 19 आणि -42 \end(ॲरे) \right). $$

आम्हाला $\rang A$ आणि $\rang\widetilde(A)$ शोधण्याची गरज आहे. हे करण्याचे अनेक मार्ग आहेत, त्यापैकी काही मॅट्रिक्स रँक विभागात सूचीबद्ध आहेत. सामान्यतः, अशा प्रणालींचा अभ्यास करण्यासाठी दोन पद्धती वापरल्या जातात: "परिभाषेनुसार मॅट्रिक्सच्या श्रेणीची गणना करणे" किंवा "प्राथमिक परिवर्तनाच्या पद्धतीद्वारे मॅट्रिक्सच्या श्रेणीची गणना करणे".

पद्धत क्रमांक १. व्याख्येनुसार संगणकीय रँक.

व्याख्येनुसार, रँक हा मॅट्रिक्सच्या अल्पवयीन मुलांचा सर्वोच्च क्रम आहे, ज्यामध्ये किमान एक असा आहे जो शून्यापेक्षा वेगळा आहे. सहसा, अभ्यास प्रथम-क्रम अल्पवयीन मुलांपासून सुरू होतो, परंतु येथे ताबडतोब मॅट्रिक्स $A$ च्या तृतीय-ऑर्डर अल्पवयीनांची गणना सुरू करणे अधिक सोयीचे आहे. तृतीय-क्रमातील किरकोळ घटक प्रश्नातील मॅट्रिक्सच्या तीन पंक्ती आणि तीन स्तंभांच्या छेदनबिंदूवर स्थित आहेत. मॅट्रिक्स $A$ मध्ये फक्त 3 पंक्ती आणि 3 स्तंभ असल्याने, मॅट्रिक्स $A$ चा तिसरा ऑर्डर मायनर हा मॅट्रिक्स $A$ चा निर्धारक आहे, म्हणजे. $\Delta A$. निर्धारकाची गणना करण्यासाठी, आम्ही "दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ऑर्डरच्या निर्धारकांची गणना करण्यासाठी सूत्रे" या विषयावरील सूत्र क्रमांक 2 लागू करतो:

$$ \Delta A=\left| \begin(ॲरे) (ccc) -3 आणि 9 आणि -7 \\ -1 आणि 2 आणि -4 \\ 4 आणि -2 आणि 19 \end(ॲरे) \right|=-21. $$

तर, मॅट्रिक्स $A$ चा तिसरा ऑर्डर मायनर आहे, जो शून्याच्या बरोबरीचा नाही. चौथ्या क्रमाचा मायनर तयार करणे अशक्य आहे, कारण त्यासाठी 4 पंक्ती आणि 4 स्तंभ आवश्यक आहेत आणि मॅट्रिक्स $A$ मध्ये फक्त 3 पंक्ती आणि 3 स्तंभ आहेत. तर, $A$ मॅट्रिक्सच्या अल्पवयीन मुलांचा सर्वोच्च क्रम, ज्यामध्ये शून्याच्या समान नसलेला किमान एक आहे, तो 3 च्या बरोबरीचा आहे. म्हणून, $\rang A=3$.

आम्हाला $\rang\widetilde(A)$ देखील शोधण्याची गरज आहे. चला मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ ची रचना पाहू. मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ मधील रेषेपर्यंत मॅट्रिक्स $A$ चे घटक आहेत आणि आम्हाला $\Delta A\neq 0$ हे आढळले. परिणामी, मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ मध्ये थर्ड-ऑर्डर मायनर आहे, जो शून्याच्या बरोबरीचा नाही. आम्ही मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ च्या चौथ्या-क्रमातील अल्पवयीन तयार करू शकत नाही, म्हणून आम्ही निष्कर्ष काढतो: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ असल्याने, नंतर क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयानुसार प्रणाली सुसंगत आहे, उदा. एक उपाय आहे (किमान एक). उपायांची संख्या सूचित करण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की आमच्या SLAE मध्ये 3 अज्ञात आहेत: $x_1$, $x_2$ आणि $x_3$. अज्ञातांची संख्या $n=3$ असल्याने, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, म्हणून, क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयाच्या परिणामानुसार, प्रणाली निश्चित आहे, म्हणजे. एक अद्वितीय उपाय आहे.

समस्या सुटली आहे. या पद्धतीचे कोणते तोटे आणि फायदे आहेत? प्रथम, फायद्यांबद्दल बोलूया. प्रथम, आम्हाला फक्त एक निर्धारक शोधण्याची आवश्यकता आहे. यानंतर, आम्ही ताबडतोब उपायांच्या संख्येबद्दल निष्कर्ष काढला. सामान्यतः, मानक मानक गणना समीकरणांची प्रणाली देतात ज्यात तीन अज्ञात असतात आणि एक अद्वितीय समाधान असते. अशा प्रणालींसाठी, ही पद्धत अतिशय सोयीस्कर आहे, कारण आम्हाला आधीच माहित आहे की एक उपाय आहे (अन्यथा मानक गणनेमध्ये उदाहरण आले नसते). त्या. आपल्याला फक्त समाधानाचे अस्तित्व दाखवायचे आहे जलद मार्गाने. दुसरे म्हणजे, सिस्टम मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे (म्हणजे $\Delta A$) गणना केलेले मूल्य नंतर उपयुक्त ठरेल: जेव्हा आपण क्रॅमर पद्धत वापरून किंवा व्यस्त मॅट्रिक्स वापरून दिलेल्या प्रणालीचे निराकरण करू लागतो.

तथापि, $A$ चे मॅट्रिक्स आयताकृती असल्यास, रँकची गणना करण्याची पद्धत व्याख्येनुसार वापरणे अवांछित आहे. या प्रकरणात, दुसरी पद्धत वापरणे चांगले आहे, ज्याची खाली चर्चा केली जाईल. या व्यतिरिक्त, जर $\Delta A=0$ असेल, तर आपण दिलेल्या एकसमान SLAE च्या सोल्यूशन्सच्या संख्येबद्दल काहीही सांगू शकत नाही. कदाचित SLAE कडे अनंत संख्येने उपाय आहेत, किंवा कदाचित एकही नाही. जर $\Delta A=0$ असेल, तर अतिरिक्त संशोधन आवश्यक आहे, जे सहसा त्रासदायक असते.

जे सांगितले गेले आहे त्याचा सारांश देण्यासाठी, मी लक्षात घेतो की पहिली पद्धत त्या SLAE साठी चांगली आहे ज्यांचे सिस्टम मॅट्रिक्स चौरस आहे. शिवाय, SLAE मध्येच तीन किंवा चार अज्ञात असतात आणि ते मानक मानक गणना किंवा चाचण्यांमधून घेतले जातात.

पद्धत क्रमांक 2. प्राथमिक परिवर्तनाच्या पद्धतीनुसार रँकची गणना.

या पद्धतीचे संबंधित विषयात तपशीलवार वर्णन केले आहे. आम्ही $\widetilde(A)$ या मॅट्रिक्सच्या रँकची गणना करू. मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ आणि $A$ का नाही? वस्तुस्थिती अशी आहे की मॅट्रिक्स $A$ हा मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ चा भाग आहे, म्हणून, मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ च्या रँकची गणना करून आपण एकाच वेळी मॅट्रिक्स $A$ ची रँक शोधू. .

\begin(संरेखित) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 आणि 9 &-7 आणि 17 \\ -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9\\ 4 & - 2 आणि 19 आणि -42 \end(ॲरे) \right) \rightarrow \left|\text(पहिल्या आणि दुसऱ्या ओळींची अदलाबदल करा)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9 \\ -3 आणि 9 &-7 आणि 17\\ 4 आणि -2 आणि 19 आणि - 42 \end(ॲरे) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(ॲरे) \rightarrow \left(\begin (ॲरे) (ccc|c) -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9 \\ 0 आणि 3 &5 & -10\\ 0 आणि 6 आणि 3 आणि -6 \end(ॲरे) \right) \begin(ॲरे) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9 \\ 0 आणि 3 &5 आणि -10\\ 0 आणि 0 आणि -7 आणि 14 \end(ॲरे) \right) \end(संरेखित)

आम्ही मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ हे ट्रॅपेझॉइडल फॉर्ममध्ये कमी केले आहे. परिणामी मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णावर $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 आणि 2 आणि -4 आणि 9 \\ 0 आणि 3 &5 आणि -10\\ 0 आणि 0 आणि -7 आणि 14 \end( array) \right)$ मध्ये शून्य नसलेले तीन घटक आहेत: -1, 3 आणि -7. निष्कर्ष: मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ ची रँक 3 आहे, म्हणजे $\rang\widetilde(A)=3$. मॅट्रिक्स $\widetilde(A)$ च्या घटकांसह परिवर्तन करताना, आम्ही एकाच वेळी रेषेपर्यंत स्थित मॅट्रिक्स $A$ चे घटक बदलले. मॅट्रिक्स $A$ हे ट्रॅपेझॉइडल फॉर्ममध्ये देखील कमी केले आहे: $\left(\begin(array) (ccc) -1 आणि 2 आणि -4 \\ 0 आणि 3 &5 \\ 0 आणि 0 आणि -7 \end(ॲरे) \योग्य )$. निष्कर्ष: मॅट्रिक्स $A$ ची रँक देखील 3 आहे, म्हणजे $\rang A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ असल्याने, क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयानुसार प्रणाली सुसंगत आहे, उदा. एक उपाय आहे. उपायांची संख्या सूचित करण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की आमच्या SLAE मध्ये 3 अज्ञात आहेत: $x_1$, $x_2$ आणि $x_3$. अज्ञातांची संख्या $n=3$ असल्याने, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, म्हणून, क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयच्या परिणामानुसार, प्रणाली परिभाषित केली आहे, म्हणजे. एक अद्वितीय उपाय आहे.

दुसऱ्या पद्धतीचे फायदे काय आहेत? मुख्य फायदा म्हणजे त्याची अष्टपैलुत्व. प्रणालीचा मॅट्रिक्स चौरस आहे की नाही हे आमच्यासाठी काही फरक पडत नाही. या व्यतिरिक्त, आम्ही गॉसियन पद्धतीचे पुढे बदल घडवून आणले. फक्त काही पावले बाकी आहेत आणि आम्ही या SLAE वर उपाय मिळवू शकतो. प्रामाणिकपणे, मला पहिल्यापेक्षा दुसरी पद्धत अधिक आवडते, परंतु निवड ही चवची बाब आहे.

उत्तर द्या: दिलेला SLAE सुसंगत आणि परिभाषित आहे.

उदाहरण क्रमांक २

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- एक्सप्लोर करा 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(संरेखित) \right.$ सुसंगततेसाठी.

प्राथमिक परिवर्तनाच्या पद्धतीचा वापर करून आम्ही सिस्टम मॅट्रिक्स आणि विस्तारित सिस्टम मॅट्रिक्सची श्रेणी शोधू. विस्तारित सिस्टम मॅट्रिक्स: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 आणि -1 आणि 2 आणि -1\\ -1 आणि 2 आणि -3 आणि 3 \\ 2 आणि -1 & 3 आणि 2 \\ 3 & -2 आणि 5 आणि 1 \\ 2 & -3 आणि 5 & -4 \end(ॲरे) \right)$. सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्सचे रूपांतर करून आवश्यक श्रेणी शोधूया:

प्रणालीचे विस्तारित मॅट्रिक्स चरणबद्ध स्वरूपात कमी केले जाते. जर मॅट्रिक्स एकलॉन फॉर्ममध्ये कमी केले असेल, तर त्याची रँक शून्य नसलेल्या पंक्तींच्या संख्येइतकी असेल. म्हणून, $\rang A=3$. मॅट्रिक्स $A$ (रेषेपर्यंत) ट्रॅपेझॉइडल फॉर्ममध्ये कमी केले आहे आणि त्याची रँक 2, $\rang A=2$ आहे.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ पासून, नंतर क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयानुसार प्रणाली विसंगत आहे (म्हणजे, कोणतेही उपाय नाहीत).

उत्तर द्या: प्रणाली विसंगत आहे.

उदाहरण क्रमांक 3

SLAE $ \left\( \begin(संरेखित) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=- एक्सप्लोर करा ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(संरेखित) \right.$ सुसंगततेसाठी.

प्रणालीच्या विस्तारित मॅट्रिक्सचे स्वरूप आहे: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 आणि 0 आणि 7 आणि -5 आणि 11 आणि 42\\ 1 आणि -2 आणि 3 & 0 आणि 2 आणि 17 \\ -3 आणि 9 आणि -11 आणि 0 आणि -7 आणि -64 \\ -5 आणि 17 आणि -16 आणि -5 आणि -4 आणि -90 \\ 7 आणि -17 आणि 23 & 0 आणि 15 आणि 132 \end(ॲरे) \right)$. या मॅट्रिक्सच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या ओळींची अदलाबदल करू या जेणेकरून पहिल्या पंक्तीचा पहिला घटक एक होईल: $\left(\begin(array) (cccc|c) 1 आणि -2 आणि 3 आणि 0 आणि 2 आणि 17\\ 2 आणि 0 आणि 7 आणि -5 आणि 11 आणि 42 \\ -3 आणि 9 आणि -11 आणि 0 आणि -7 आणि -64 \\ -5 आणि 17 आणि -16 आणि -5 आणि -4 आणि -90 \\ 7 & -17 आणि 23 आणि 0 आणि 15 आणि 132 \end(ॲरे) \right)$.

आम्ही सिस्टमचा विस्तारित मॅट्रिक्स आणि सिस्टमचा मॅट्रिक्स स्वतःच ट्रॅपेझॉइडल फॉर्ममध्ये कमी केला आहे. सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्सची रँक तीनच्या बरोबरीची आहे, सिस्टमच्या मॅट्रिक्सची रँक देखील तीनच्या समान आहे. प्रणालीमध्ये $n=5$ अज्ञात असल्याने, उदा. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

उत्तर द्या: प्रणाली अनिश्चित आहे.

दुस-या भागात आपण उदाहरणे पाहू जी अनेकदा मानक गणनांमध्ये समाविष्ट केली जातात किंवा चाचण्याउच्च गणितामध्ये: त्यात समाविष्ट केलेल्या पॅरामीटर्सच्या मूल्यांवर अवलंबून SLAE च्या सातत्य आणि समाधानाचा अभ्यास.

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते