धड्याचा विषय: “अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेसाठी सूत्र. अंकगणित प्रगती. उदाहरणांसह तपशीलवार सिद्धांत (2019)

प्रवेश पातळी

अंकगणित प्रगती. तपशीलवार सिद्धांतउदाहरणांसह (2019)

संख्या क्रम

चला तर मग बसून काही अंक लिहायला सुरुवात करूया. उदाहरणार्थ:
तुम्ही कोणतीही संख्या लिहू शकता आणि तुम्हाला आवडेल तितके संख्या असू शकतात (आमच्या बाबतीत, ते आहेत). आपण कितीही संख्या लिहिली तरीही आपण नेहमी सांगू शकतो की कोणता पहिला आहे, कोणता दुसरा आहे आणि असेच शेवटपर्यंत, म्हणजेच आपण त्यांना क्रमांक देऊ शकतो. हे संख्या क्रमाचे उदाहरण आहे:

संख्या क्रम
उदाहरणार्थ, आमच्या अनुक्रमासाठी:

नियुक्त केलेला क्रमांक अनुक्रमातील फक्त एका संख्येसाठी विशिष्ट आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अनुक्रमात कोणतेही तीन द्वितीय क्रमांक नाहीत. दुसरी संख्या (व्या क्रमांकाप्रमाणे) नेहमी सारखीच असते.
संख्या असलेल्या संख्येला क्रमाची व्या संज्ञा म्हणतात.

आम्ही सामान्यत: संपूर्ण क्रमाला काही अक्षरांनी कॉल करतो (उदाहरणार्थ,), आणि या अनुक्रमातील प्रत्येक सदस्य या सदस्याच्या संख्येच्या समान निर्देशांकासह समान अक्षर आहे: .

आमच्या बाबतीत:

समजा आपल्याकडे एक संख्या क्रम आहे ज्यामध्ये समीप संख्यांमधील फरक समान आणि समान आहे.
उदाहरणार्थ:

इ.
या संख्या क्रमाला अंकगणितीय प्रगती म्हणतात.
"प्रगती" हा शब्द रोमन लेखक बोथियसने 6 व्या शतकात परत आणला आणि व्यापक अर्थाने अनंत संख्यात्मक क्रम म्हणून समजला गेला. "अंकगणित" हे नाव सतत प्रमाणांच्या सिद्धांतावरून हस्तांतरित केले गेले होते, ज्याचा प्राचीन ग्रीकांनी अभ्यास केला होता.

हा एक संख्या क्रम आहे, ज्याचा प्रत्येक सदस्य समान संख्येमध्ये जोडलेल्या मागील सदस्याच्या समान आहे. या संख्येला अंकगणित प्रगतीचा फरक म्हणतात आणि नियुक्त केला जातो.

कोणते संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगती आहेत आणि कोणते नाहीत हे ठरविण्याचा प्रयत्न करा:

अ)
ब)
c)
ड)

समजले? चला आमच्या उत्तरांची तुलना करूया:
आहेअंकगणित प्रगती - b, c.
नाहीअंकगणित प्रगती - a, d.

दिलेल्या प्रगतीकडे () परत जाऊ आणि त्याच्या व्या पदाचे मूल्य शोधण्याचा प्रयत्न करू. अस्तित्वात आहे दोनते शोधण्याचा मार्ग.

1. पद्धत

जोपर्यंत आपण प्रगतीच्या व्या टर्मपर्यंत पोहोचत नाही तोपर्यंत आपण मागील मूल्यामध्ये प्रगती क्रमांक जोडू शकतो. हे चांगले आहे की आमच्याकडे सारांश देण्यासारखे बरेच काही नाही - फक्त तीन मूल्ये:

तर, वर्णित अंकगणिताच्या प्रगतीची व्या संज्ञा समान आहे.

2. पद्धत

जर आपल्याला प्रगतीच्या व्या टर्मचे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता असेल तर? बेरीज करण्यासाठी आम्हाला एक तासापेक्षा जास्त वेळ लागेल आणि हे तथ्य नाही की संख्या जोडताना आम्ही चुका करणार नाही.
अर्थात, गणितज्ञांनी एक मार्ग शोधून काढला आहे ज्यामध्ये अंकगणित प्रगतीचा फरक मागील मूल्यामध्ये जोडणे आवश्यक नाही. काढलेल्या चित्राकडे बारकाईने लक्ष द्या... निश्चितपणे तुम्ही आधीच एक विशिष्ट नमुना लक्षात घेतला असेल, म्हणजे:

उदाहरणार्थ, या अंकगणित प्रगतीच्या व्या पदाचे मूल्य काय आहे ते पाहू:

दुसऱ्या शब्दांत:

अशा प्रकारे दिलेल्या अंकगणित प्रगतीच्या सदस्याचे मूल्य स्वतः शोधण्याचा प्रयत्न करा.

आपण गणना केली? उत्तरासह तुमच्या नोट्सची तुलना करा:

कृपया लक्षात घ्या की जेव्हा आम्ही मागील मूल्यामध्ये अंकगणित प्रगतीच्या अटी क्रमशः जोडल्या तेव्हा तुम्हाला मागील पद्धतीप्रमाणेच संख्या मिळाली.
चला हा फॉर्म्युला “वैयक्तिकीकृत” करण्याचा प्रयत्न करूया - ते सामान्य स्वरूपात ठेवू आणि मिळवूया:

अंकगणित प्रगती समीकरण.

अंकगणित प्रगती वाढत किंवा कमी होऊ शकते.

वाढवत आहे- प्रगती ज्यामध्ये अटींचे प्रत्येक त्यानंतरचे मूल्य मागील एकापेक्षा मोठे आहे.
उदाहरणार्थ:

उतरत्या- प्रगती ज्यामध्ये अटींचे प्रत्येक त्यानंतरचे मूल्य मागीलपेक्षा कमी आहे.
उदाहरणार्थ:

व्युत्पन्न सूत्र अंकगणित प्रगतीच्या वाढत्या आणि कमी होत असलेल्या दोन्ही संज्ञांच्या गणनेमध्ये वापरले जाते.
चला हे व्यवहारात तपासूया.
आम्हाला एक अंकगणित प्रगती दिली आहे ज्यामध्ये खालील संख्या: या अंकगणिताच्या प्रगतीचा क्रमांक किती असेल ते तपासूया, जर आपण त्याची गणना करण्यासाठी आमचे सूत्र वापरतो:

तेव्हापासून:

अशाप्रकारे, आम्हाला खात्री आहे की हे सूत्र अंकगणितीय प्रगती कमी आणि वाढते अशा दोन्ही प्रकारे कार्य करते.
या अंकगणिताच्या प्रगतीच्या व्या आणि व्या संज्ञा स्वतः शोधण्याचा प्रयत्न करा.

चला परिणामांची तुलना करूया:

अंकगणित प्रगती गुणधर्म

चला समस्या क्लिष्ट करू - आम्ही अंकगणित प्रगतीचा गुणधर्म मिळवू.
समजा आम्हाला खालील अट दिली आहे:
- अंकगणित प्रगती, मूल्य शोधा.
सोपे, तुम्ही म्हणता आणि तुम्हाला आधीच माहित असलेल्या सूत्रानुसार मोजणी सुरू करा:

चला, आह, मग:

अगदी खरे. असे दिसून आले की आम्ही प्रथम शोधतो, नंतर त्यास पहिल्या क्रमांकावर जोडा आणि आम्ही जे शोधत आहोत ते मिळवा. जर प्रगती लहान मूल्यांद्वारे दर्शविली गेली असेल तर त्यात काहीही क्लिष्ट नाही, परंतु जर आपल्याला स्थितीत संख्या दिली गेली तर काय? सहमत आहे, गणनेत चूक होण्याची शक्यता आहे.
आता विचार करा की कोणत्याही सूत्राचा वापर करून ही समस्या एका टप्प्यात सोडवणे शक्य आहे का? नक्कीच होय, आणि तेच आम्ही आता समोर आणण्याचा प्रयत्न करू.

आपण अंकगणिताच्या प्रगतीसाठी आवश्यक संज्ञा दर्शवू या, ते शोधण्याचे सूत्र आपल्याला ज्ञात आहे - हे तेच सूत्र आहे जे आपण सुरुवातीला काढले आहे:
, नंतर:

प्रगतीचा मागील टर्म आहे:
प्रगतीचा पुढील टर्म आहे:

प्रगतीच्या मागील आणि त्यानंतरच्या अटींची बेरीज करूया:

असे दिसून आले की प्रगतीच्या मागील आणि त्यानंतरच्या अटींची बेरीज ही त्यांच्या दरम्यान असलेल्या प्रगती पदाचे दुप्पट मूल्य आहे. दुसऱ्या शब्दांत, ज्ञात मागील आणि क्रमिक मूल्यांसह प्रगती पदाचे मूल्य शोधण्यासाठी, तुम्हाला ते जोडणे आणि विभाजित करणे आवश्यक आहे.

बरोबर आहे, आम्हाला समान क्रमांक मिळाला. सामग्री सुरक्षित करूया. प्रगतीसाठी मूल्य स्वतः मोजा, हे अजिबात अवघड नाही.

शाब्बास! तुम्हाला प्रगतीबद्दल जवळजवळ सर्व काही माहित आहे! केवळ एक सूत्र शोधणे बाकी आहे, जे पौराणिक कथेनुसार, सर्व काळातील महान गणितज्ञांपैकी एक, "गणितज्ञांचा राजा" - कार्ल गॉस यांनी सहजपणे स्वतःसाठी काढले होते.

कार्ल गॉस 9 वर्षांचा असताना, इतर वर्गातील विद्यार्थ्यांचे काम तपासण्यात व्यस्त असलेल्या शिक्षकाने वर्गात खालील समस्या विचारली: “सर्वांची बेरीज करा. नैसर्गिक संख्यापासून (इतर स्त्रोतांनुसार) सर्वसमावेशक. शिक्षकाच्या आश्चर्याची कल्पना करा जेव्हा त्याच्या एका विद्यार्थ्याने (हा कार्ल गॉस होता) एका मिनिटानंतर कार्याचे योग्य उत्तर दिले, तर बहुतेक डेअरडेव्हिलच्या वर्गमित्रांनी, दीर्घ गणना केल्यानंतर, चुकीचा निकाल मिळाला...

तरुण कार्ल गॉसने एक विशिष्ट नमुना लक्षात घेतला जो आपण देखील सहज लक्षात घेऊ शकता.
समजा आपल्याकडे -th पदांचा समावेश असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे: आपल्याला अंकगणिताच्या प्रगतीच्या या संज्ञांची बेरीज शोधण्याची आवश्यकता आहे. अर्थात, आपण सर्व मूल्यांची व्यक्तिचलितपणे बेरीज करू शकतो, परंतु कार्यासाठी त्याच्या अटींची बेरीज शोधणे आवश्यक असल्यास, जसे गॉस शोधत होते?

आम्हाला दिलेल्या प्रगतीचे चित्रण करूया. हायलाइट केलेल्या संख्येकडे बारकाईने लक्ष द्या आणि त्यांच्यासह विविध गणिती क्रिया करण्याचा प्रयत्न करा.

तुम्ही प्रयत्न केला आहे का? काय लक्षात आले? बरोबर! त्यांची बेरीज समान आहे

आता मला सांगा, आम्हाला दिलेल्या प्रगतीमध्ये अशा एकूण किती जोड्या आहेत? अर्थात, सर्व संख्यांपैकी निम्मी म्हणजे.
अंकगणित प्रगतीच्या दोन संज्ञांची बेरीज समान आहे आणि समान जोड्या समान आहेत या वस्तुस्थितीवर आधारित, आम्ही प्राप्त करतो की एकूण बेरीज समान आहे:
.
अशा प्रकारे, कोणत्याही अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या पदांच्या बेरजेचे सूत्र असेल:

काही समस्यांमध्ये आपल्याला व्या संज्ञा माहित नाही, परंतु आपल्याला प्रगतीचा फरक माहित आहे. व्या पदाचे सूत्र बेरीज सूत्रामध्ये बदलण्याचा प्रयत्न करा.
तुम्हाला काय मिळाले?

शाब्बास! आता कार्ल गॉसला विचारलेल्या समस्येकडे वळू: व्या पासून सुरू होणाऱ्या संख्यांची बेरीज किती आहे आणि व्या पासून सुरू होणाऱ्या संख्यांची बेरीज किती आहे हे स्वतःसाठी मोजा.

किती मिळाले?
गॉस यांना असे आढळले की पदांची बेरीज समान आहे आणि अटींची बेरीज आहे. हेच ठरवलंय का?

खरं तर, अंकगणित प्रगतीच्या अटींच्या बेरजेचे सूत्र प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ डायओफँटस यांनी 3 व्या शतकात सिद्ध केले होते आणि या काळात, विनोदी लोकांनी अंकगणित प्रगतीच्या गुणधर्मांचा पुरेपूर वापर केला.
उदाहरणार्थ, कल्पना करा प्राचीन इजिप्तआणि त्या काळातील सर्वात मोठा बांधकाम प्रकल्प - पिरॅमिडचे बांधकाम... चित्र त्याची एक बाजू दाखवते.

इथे प्रगती कुठे आहे, तुम्ही म्हणाल? काळजीपूर्वक पहा आणि पिरॅमिड भिंतीच्या प्रत्येक पंक्तीमध्ये वाळूच्या ब्लॉक्सच्या संख्येत एक नमुना शोधा.

अंकगणित प्रगती का नाही? पायावर ब्लॉक विटा ठेवल्यास एक भिंत बांधण्यासाठी किती ब्लॉक्स आवश्यक आहेत याची गणना करा. मला आशा आहे की मॉनिटरवर बोट हलवताना तुम्ही मोजणार नाही, तुम्हाला शेवटचे सूत्र आणि आम्ही अंकगणित प्रगतीबद्दल सांगितलेली प्रत्येक गोष्ट आठवते?

या प्रकरणात, प्रगती असे दिसते: .
अंकगणित प्रगती फरक.
अंकगणित प्रगतीच्या संज्ञांची संख्या.
चला आमच्या डेटाला शेवटच्या सूत्रांमध्ये बदलू (2 प्रकारे ब्लॉक्सची संख्या मोजा).

पद्धत १.

पद्धत 2.

आणि आता आपण मॉनिटरवर गणना करू शकता: आमच्या पिरॅमिडमध्ये असलेल्या ब्लॉक्सच्या संख्येसह प्राप्त मूल्यांची तुलना करा. समजले? चांगले केले, तुम्ही अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदांच्या बेरजेवर प्रभुत्व मिळवले आहे.
नक्कीच, आपण पायथ्यावरील ब्लॉक्समधून पिरॅमिड तयार करू शकत नाही, परंतु पासून? या स्थितीसह भिंत बांधण्यासाठी किती वाळूच्या विटा आवश्यक आहेत याची गणना करण्याचा प्रयत्न करा.
आपण व्यवस्थापित केले?
बरोबर उत्तर ब्लॉक्स आहे:

प्रशिक्षण

कार्ये:

माशा उन्हाळ्यासाठी आकार घेत आहे. दररोज ती स्क्वॅट्सची संख्या वाढवते. जर तिने पहिल्या प्रशिक्षण सत्रात स्क्वॅट केले तर माशा आठवड्यातून किती वेळा स्क्वॅट्स करेल?
मध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व विषम संख्यांची बेरीज किती आहे.
लॉग संग्रहित करताना, लॉगर त्यांना अशा प्रकारे स्टॅक करतात की प्रत्येक शीर्ष स्तरामध्ये मागील एकापेक्षा एक लॉग कमी असतो. एका दगडी बांधकामात किती नोंदी आहेत, जर दगडी बांधकामाचा पाया लॉग असेल तर?

उत्तरे:

अंकगणिताच्या प्रगतीचे पॅरामीटर्स परिभाषित करू. या प्रकरणात
(आठवडे = दिवस).
उत्तर:दोन आठवड्यांत, माशाने दिवसातून एकदा स्क्वॅट्स करावे.
प्रथम विषम संख्या, शेवटचा क्रमांक.
अंकगणित प्रगती फरक.
मधील विषम संख्यांची संख्या अर्धी आहे, तथापि, अंकगणिताच्या प्रगतीची व्या संज्ञा शोधण्यासाठी सूत्र वापरून ही वस्तुस्थिती तपासूया:
संख्यांमध्ये विषम संख्या असतात.
उपलब्ध डेटाला सूत्रामध्ये बदलू या:
उत्तर:मध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व विषम संख्यांची बेरीज समान आहे.
पिरॅमिड्स बद्दलची समस्या लक्षात ठेवूया. आमच्या बाबतीत, a , प्रत्येक शीर्ष स्तर एका लॉगने कमी केल्यामुळे, एकूण स्तरांचा एक समूह आहे, म्हणजे.
चला डेटाला सूत्रामध्ये बदलू:
उत्तर:दगडी बांधकामात नोंदी आहेत.

चला सारांश द्या

- एक संख्या क्रम ज्यामध्ये समीप संख्यांमधील फरक समान आणि समान असतो. ते वाढत किंवा कमी होऊ शकते.
सूत्र शोधत आहेअंकगणित प्रगतीची व्या संज्ञा सूत्रानुसार लिहिली जाते - , प्रगतीमधील संख्यांची संख्या कोठे आहे.
अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यांची मालमत्ता- - क्रमांकांची संख्या कुठे प्रगतीपथावर आहे.
अंकगणित प्रगतीच्या अटींची बेरीजदोन प्रकारे आढळू शकते:

, मूल्यांची संख्या कुठे आहे.

अंकगणित प्रगती. मध्यम पातळी

संख्या क्रम

चला बसून काही अंक लिहायला सुरुवात करूया. उदाहरणार्थ:

तुम्ही कोणतीही संख्या लिहू शकता आणि तुम्हाला आवडेल तितक्या संख्या असू शकतात. परंतु आपण नेहमी सांगू शकतो की कोणता पहिला आहे, कोणता दुसरा आहे आणि असेच, म्हणजे आपण त्यांना क्रमांक देऊ शकतो. हे संख्या क्रमाचे उदाहरण आहे.

संख्या क्रमसंख्यांचा संच आहे, ज्यापैकी प्रत्येकाला एक अद्वितीय संख्या नियुक्त केली जाऊ शकते.

दुसऱ्या शब्दांत, प्रत्येक संख्या एका विशिष्ट नैसर्गिक संख्येशी संबंधित असू शकते, आणि एक अद्वितीय. आणि आम्ही हा नंबर या संचातील इतर कोणत्याही नंबरला नियुक्त करणार नाही.

संख्या असलेल्या संख्येला क्रमाचा वा सदस्य म्हणतात.

क्रमाची व्या संज्ञा काही सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केली जाऊ शकते तर ते खूप सोयीचे आहे. उदाहरणार्थ, सूत्र

क्रम सेट करते:

आणि सूत्र खालील क्रम आहे:

उदाहरणार्थ, अंकगणित प्रगती हा एक क्रम आहे (येथे पहिली संज्ञा समान आहे आणि फरक आहे). किंवा (, फरक).

nth टर्म सूत्र

आम्ही एक सूत्र आवर्ती म्हणतो ज्यामध्ये, व्या संज्ञा शोधण्यासाठी, तुम्हाला मागील किंवा अनेक मागील माहित असणे आवश्यक आहे:

उदाहरणार्थ, हे सूत्र वापरून प्रगतीची व्या संज्ञा शोधण्यासाठी, आपल्याला मागील नऊ मोजावे लागतील. उदाहरणार्थ, द्या. मग:

बरं, फॉर्म्युला काय आहे हे आता स्पष्ट आहे का?

प्रत्येक ओळीत आपण काही संख्येने गुणाकार जोडतो. कोणता? अगदी सोपे: ही वर्तमान सदस्य संख्या वजा आहे:

आता बरेच सोयीस्कर, बरोबर? आम्ही तपासतो:

स्वतःसाठी ठरवा:

अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, nव्या पदासाठी सूत्र शोधा आणि शंभरवे पद शोधा.

उपाय:

प्रथम पद समान आहे. फरक काय आहे? येथे काय आहे:

(म्हणूनच त्याला फरक म्हणतात कारण तो प्रगतीच्या क्रमिक पदांच्या फरकाच्या समान आहे).

तर, सूत्र:

मग शंभरवे पद बरोबर आहे:

पासून पर्यंत सर्व नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती आहे?

पौराणिक कथेनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस यांनी 9 वर्षांचा मुलगा म्हणून काही मिनिटांत ही रक्कम मोजली. त्याच्या लक्षात आले की पहिल्या आणि शेवटच्या संख्यांची बेरीज समान आहे, दुसऱ्या आणि उपांत्य क्रमांकाची बेरीज समान आहे, शेवटच्या तिसऱ्या आणि तिसऱ्या क्रमांकाची बेरीज समान आहे, इत्यादी. अशा एकूण किती जोड्या आहेत? ते बरोबर आहे, सर्व संख्यांच्या अगदी अर्ध्या संख्येने, म्हणजे. तर,

कोणत्याही अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या पदांच्या बेरजेसाठी सामान्य सूत्र असेल:

उदाहरण:
सर्व दोन-अंकी गुणकांची बेरीज शोधा.

उपाय:

असा पहिला क्रमांक आहे. प्रत्येक त्यानंतरची संख्या मागील संख्येमध्ये जोडून प्राप्त केली जाते. अशा प्रकारे, आपल्याला स्वारस्य असलेल्या संख्या प्रथम पद आणि फरकासह एक अंकगणित प्रगती बनवतात.

या प्रगतीसाठी व्या पदाचे सूत्र:

जर त्या सर्व दोन अंकी असतील तर प्रगतीमध्ये किती पद आहेत?

खूप सोपे: .

प्रगतीचा शेवटचा टर्म समान असेल. मग बेरीज:

उत्तर:.

आता तुम्हीच ठरवा:

दररोज ॲथलीट मागील दिवसापेक्षा जास्त मीटर धावतो. जर त्याने पहिल्या दिवशी किमी मीटर धावले तर तो एका आठवड्यात एकूण किती किलोमीटर धावेल?
सायकलस्वार आदल्या दिवसापेक्षा दररोज जास्त किलोमीटर प्रवास करतो. पहिल्या दिवशी त्याने किमीचा प्रवास केला. त्याला एक किलोमीटरचा प्रवास करण्यासाठी किती दिवस लागतात? प्रवासाच्या शेवटच्या दिवशी तो किती किलोमीटरचा प्रवास करेल?
स्टोअरमधील रेफ्रिजरेटरची किंमत दरवर्षी समान प्रमाणात कमी होते. प्रत्येक वर्षी रेफ्रिजरेटरची किंमत किती कमी झाली हे ठरवा, जर, रुबलसाठी विक्रीसाठी ठेवले, सहा वर्षांनंतर ते रुबलमध्ये विकले गेले.

उत्तरे:

येथे सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे अंकगणित प्रगती ओळखणे आणि त्याचे मापदंड निश्चित करणे. या प्रकरणात, (आठवडे = दिवस). तुम्हाला या प्रगतीच्या पहिल्या अटींची बेरीज निश्चित करणे आवश्यक आहे:
.
उत्तर:
येथे ते दिले आहे: , सापडणे आवश्यक आहे.
अर्थात, तुम्हाला मागील समस्येप्रमाणे समान योग सूत्र वापरण्याची आवश्यकता आहे:
.
मूल्ये बदला:
रूट स्पष्टपणे बसत नाही, म्हणून उत्तर आहे.
चला शेवटच्या दिवशी प्रवास केलेल्या मार्गाची गणना करूया व्या पदाचे सूत्र वापरून:
(किमी).
उत्तर:
दिले:. शोधा: .
हे सोपे असू शकत नाही:
(घासणे).
उत्तर:

अंकगणित प्रगती. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

हा एक संख्या क्रम आहे ज्यामध्ये समीप संख्यांमधील फरक समान आणि समान आहे.

अंकगणित प्रगती वाढत () आणि कमी () असू शकते.

उदाहरणार्थ:

अंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा शोधण्याचे सूत्र

फॉर्म्युलाद्वारे लिहिलेले आहे, संख्यांची संख्या कोठे आहे.

अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यांची मालमत्ता

हे तुम्हाला प्रगतीची संज्ञा सहजपणे शोधण्याची परवानगी देते जर त्याच्या शेजारच्या संज्ञा माहित असतील - प्रगतीमधील संख्यांची संख्या कोठे आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या संज्ञांची बेरीज

रक्कम शोधण्याचे दोन मार्ग आहेत:

मूल्यांची संख्या कुठे आहे.

काय मुख्य मुद्दासूत्रे?

हे सूत्र आपल्याला शोधण्याची परवानगी देते कोणतेही त्याच्या नंबरनुसार " n" .

अर्थात, आपल्याला प्रथम पद देखील माहित असणे आवश्यक आहे a 1आणि प्रगती फरक d, तसेच, या पॅरामीटर्सशिवाय तुम्ही विशिष्ट प्रगती लिहू शकत नाही.

हे सूत्र लक्षात ठेवणे (किंवा क्रिबिंग) पुरेसे नाही. आपल्याला त्याचे सार समजून घेणे आणि विविध समस्यांमध्ये सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे. आणि योग्य क्षणी विसरू नका, होय...) कसे विसरू नका- मला माहित नाही. पण कसे लक्षात ठेवायचेआवश्यक असल्यास, मी तुम्हाला नक्कीच सल्ला देईन. जे शेवटपर्यंत धडा पूर्ण करतात त्यांच्यासाठी.)

तर, अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र पाहू.

सर्वसाधारणपणे सूत्र म्हणजे काय? तसे, तुम्ही ते वाचले नसेल तर पहा. तेथे सर्व काही सोपे आहे. ते काय आहे हे शोधणे बाकी आहे nवी टर्म.

मध्ये प्रगती सामान्य दृश्यसंख्यांची मालिका म्हणून लिहिले जाऊ शकते:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- अंकगणिताच्या प्रगतीची पहिली संज्ञा दर्शवते, a 3- तिसरा सदस्य, a 4- चौथा, आणि असेच. आम्हाला पाचव्या टर्ममध्ये स्वारस्य असल्यास, आम्ही सोबत काम करत आहोत असे म्हणूया a 5, जर एकशे विसावा - एस एक 120.

सर्वसाधारण शब्दात आपण त्याची व्याख्या कशी करू शकतो? कोणतेहीअंकगणित प्रगतीची संज्ञा, सह कोणतेहीसंख्या? अगदी साधे! याप्रमाणे:

एक एन

हे आहे अंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा. n अक्षर एकाच वेळी सर्व सदस्य संख्या लपवते: 1, 2, 3, 4, आणि असेच.

आणि असा रेकॉर्ड आपल्याला काय देतो? जरा विचार करा, एका संख्येऐवजी त्यांनी एक पत्र लिहिले ...

अंकगणिताच्या प्रगतीसह कार्य करण्यासाठी हे नोटेशन आम्हाला एक शक्तिशाली साधन देते. नोटेशन वापरणे एक एन, आम्ही पटकन शोधू शकतो कोणतेहीसदस्य कोणतेहीअंकगणित प्रगती. आणि इतर प्रगती समस्यांचा समूह सोडवा. आपण पुढे स्वत: साठी पहाल.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्रामध्ये:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- अंकगणित प्रगतीची पहिली संज्ञा;

n- सदस्य संख्या.

सूत्र कोणत्याही प्रगतीचे मुख्य पॅरामीटर्स जोडते: a n ; a 1 ; dआणि n. सर्व प्रगती समस्या या पॅरामीटर्सभोवती फिरतात.

nth संज्ञा सूत्र विशिष्ट प्रगती लिहिण्यासाठी देखील वापरले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, समस्या असे म्हणू शकते की प्रगती स्थितीनुसार निर्दिष्ट केली आहे:

a n = 5 + (n-1) 2.

अशी समस्या डेड एंड असू शकते... मालिका किंवा फरक नाही... पण, फॉर्म्युलाशी स्थितीची तुलना केल्यास, हे समजणे सोपे आहे की या प्रगतीमध्ये a 1 =5, आणि d=2.

आणि ते आणखी वाईट असू शकते!) जर आपण तीच स्थिती घेतली तर: a n = 5 + (n-1) 2,होय, कंस उघडून सारखे आणायचे का? आम्हाला एक नवीन सूत्र मिळेल:

a n = 3 + 2n.

या फक्त सामान्य नाही, परंतु विशिष्ट प्रगतीसाठी. इथेच खड्डा लपून बसतो. काही लोकांना असे वाटते की प्रथम पद तीन आहे. प्रत्यक्षात पहिली संज्ञा पाच असली तरी... थोडं कमी आपण अशा सुधारित सूत्रासह कार्य करू.

प्रगतीच्या समस्यांमध्ये आणखी एक नोटेशन आहे - एक n+1. हा, तुम्ही अंदाज लावल्याप्रमाणे, प्रगतीचा “एन प्लस फर्स्ट” टर्म आहे. त्याचा अर्थ साधा आणि निरुपद्रवी आहे.) हा प्रगतीचा सदस्य आहे ज्याची संख्या एकाने n पेक्षा मोठी आहे. उदाहरणार्थ, काही समस्या असल्यास आपण घेतो एक एननंतर पाचवी टर्म एक n+1सहावा सदस्य असेल. आणि सारखे.

बहुतेकदा पदनाम एक n+1पुनरावृत्ती सूत्रांमध्ये आढळते. या भितीदायक शब्दाला घाबरू नका!) हा अंकगणित प्रगतीचा सदस्य व्यक्त करण्याचा फक्त एक मार्ग आहे मागील माध्यमातून.एक आवर्ती सूत्र वापरून या फॉर्ममध्ये आम्हाला अंकगणितीय प्रगती दिली आहे असे समजा:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तिसऱ्याद्वारे, पाचवा - चौथ्याद्वारे, आणि असेच. आपण लगेच कसे मोजू शकतो, म्हणा, विसाव्या पद? एक 20? पण कोणताही मार्ग नाही!) जोपर्यंत आम्हाला 19 वी टर्म सापडत नाही तोपर्यंत आम्ही 20 वी मोजू शकत नाही. हे आहे मूलभूत फरक nव्या पदाच्या सूत्रापासून आवर्ती सूत्र. आवर्ती कार्ये फक्त माध्यमातून मागीलटर्म, आणि nव्या पदाचे सूत्र आहे प्रथमआणि परवानगी देते लगेचकोणत्याही सदस्याला त्याच्या क्रमांकावरून शोधा. संख्यांच्या संपूर्ण मालिकेची क्रमाने गणना न करता.

अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, आवर्ती सूत्राला नियमित स्वरूपात बदलणे सोपे आहे. सलग पदांची जोडी मोजा, फरक मोजा ड,आवश्यक असल्यास, प्रथम पद शोधा a 1, फॉर्म्युला त्याच्या नेहमीच्या स्वरूपात लिहा आणि त्यावर कार्य करा. स्टेट ॲकॅडमी ऑफ सायन्सेसमध्ये अशी कार्ये अनेकदा येतात.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्राचा वापर.

प्रथम, पाहूया थेट अर्जसूत्रे मागील धड्याच्या शेवटी एक समस्या होती:

एक अंकगणित प्रगती (a n) दिली आहे. 1 =3 आणि d=1/6 असल्यास 121 शोधा.

ही समस्या कोणत्याही सूत्रांशिवाय सोडवली जाऊ शकते, फक्त अंकगणित प्रगतीच्या अर्थावर आधारित. जोडा आणि जोडा... एक किंवा दोन तास.)

आणि सूत्रानुसार, उपाय एक मिनिटापेक्षा कमी वेळ घेईल. तुम्ही वेळ काढू शकता.) चला ठरवू.

अटी सूत्र वापरण्यासाठी सर्व डेटा प्रदान करतात: a 1 =3, d=1/6.समान काय आहे हे शोधणे बाकी आहे nप्रश्नच नाही! आम्हाला शोधण्याची गरज आहे एक 121. म्हणून आम्ही लिहितो:

कृपया लक्ष द्या! निर्देशांक ऐवजी nएक विशिष्ट संख्या दिसून आली: 121. जी अगदी तार्किक आहे.) आम्हाला अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यामध्ये स्वारस्य आहे संख्या एकशे एकवीस.हे आमचे असेल nहा अर्थ आहे n= 121 आपण पुढे कंसात सूत्रात बदलू. आम्ही सर्व संख्या सूत्रामध्ये बदलतो आणि गणना करतो:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

बस्स. एखाद्याला पाचशे आणि दहावे पद आणि हजार आणि तिसरे, कोणतेही एक सापडेल. आम्ही त्याऐवजी ठेवले nअक्षराच्या अनुक्रमणिकेत इच्छित संख्या " एक"आणि कंसात, आणि आम्ही मोजतो.

मी तुम्हाला मुद्दा आठवण करून देतो: हे सूत्र तुम्हाला शोधण्याची परवानगी देते कोणतेहीअंकगणित प्रगती संज्ञा त्याच्या नंबरनुसार " n" .

चला समस्या अधिक धूर्त मार्गाने सोडवूया. चला खालील समस्या पाहू या:

अंकगणित प्रगतीची पहिली संज्ञा शोधा (a n), जर a 17 =-2; d=-0.5.

तुम्हाला काही अडचण असल्यास, मी तुम्हाला पहिली पायरी सांगेन. अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्र लिहा!होय, होय. आपल्या नोटबुकमध्ये, आपल्या हातांनी लिहा:

a n = a 1 + (n-1)d

आणि आता, सूत्राची अक्षरे पाहता, आम्हाला समजते की आमच्याकडे कोणता डेटा आहे आणि काय गहाळ आहे? उपलब्ध d=-0.5,एक सतरावा सदस्य आहे... तो आहे का? जर तुम्हाला असे वाटत असेल, तर तुम्ही समस्या सोडवणार नाही, होय...

आमच्याकडे अजून एक नंबर आहे n! स्थितीत a 17 =-2लपलेले दोन पॅरामीटर्स.हे सतराव्या पदाचे मूल्य (-2) आणि त्याची संख्या (17) दोन्ही आहे. त्या. n=17.ही “क्षुल्लक गोष्ट” बऱ्याचदा डोक्यावरून सरकते आणि त्याशिवाय, (“क्षुल्लक” शिवाय, डोके नाही!) समस्या सोडवता येत नाही. जरी... आणि तेही डोक्याशिवाय.)

आता आम्ही फक्त मूर्खपणे आमच्या डेटाला सूत्रामध्ये बदलू शकतो:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

अरे हो, a 17आम्हाला माहित आहे की ते -2 आहे. ठीक आहे, चला बदलू:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

मुळात एवढेच. सूत्रातून अंकगणिताच्या प्रगतीची पहिली संज्ञा व्यक्त करणे आणि त्याची गणना करणे बाकी आहे. उत्तर असेल: a 1 = 6.

हे तंत्र - एक सूत्र लिहून आणि फक्त ज्ञात डेटा बदलणे - सोप्या कार्यांमध्ये एक उत्तम मदत आहे. बरं, अर्थातच, तुम्ही सूत्रातून व्हेरिएबल व्यक्त करू शकत असाल, पण काय करायचं!? या कौशल्याशिवाय, गणित अजिबात शिकता येणार नाही...

आणखी एक लोकप्रिय कोडे:

अंकगणित प्रगतीचा फरक शोधा (a n), जर a 1 =2; a 15 = 12.

आम्ही काय करत आहोत? तुम्हाला आश्चर्य वाटेल, आम्ही सूत्र लिहित आहोत!)

a n = a 1 + (n-1)d

आम्हाला काय माहित आहे याचा विचार करूया: a 1 = 2; a 15 = 12; आणि (मी विशेषतः हायलाइट करेन!) n=15. हे सूत्रामध्ये बदलण्यास मोकळ्या मनाने:

12=2 + (15-1)d

आम्ही अंकगणित करतो.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

हे योग्य उत्तर आहे.

तर, साठी कार्ये a n, a 1आणि dठरवले. संख्या कशी शोधायची हे शिकणे बाकी आहे:

संख्या 99 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे (a n), जिथे a 1 =12; d=3. या सदस्याचा नंबर शोधा.

आम्ही न्या टर्मच्या सूत्रात आम्हाला ज्ञात असलेले प्रमाण बदलतो:

a n = 12 + (n-1) 3

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, येथे दोन अज्ञात प्रमाण आहेत: a n आणि n.पण एक एन- हा क्रमांकासह प्रगतीचा काही सदस्य आहे n...आणि आम्ही प्रगतीचा हा सदस्य ओळखतो! तो 99 आहे. आम्हाला त्याचा क्रमांक माहित नाही. n,तर हा नंबर तुम्हाला शोधायचा आहे. आम्ही फॉर्म्युलामध्ये प्रगती 99 ची संज्ञा बदलतो:

99 = 12 + (n-1) 3

आम्ही सूत्रातून व्यक्त करतो n, आम्हाला वाटते. आम्हाला उत्तर मिळते: n=30.

आणि आता त्याच विषयावरील समस्या, परंतु अधिक सर्जनशील):

संख्या 117 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे की नाही हे निश्चित करा (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

पुन्हा सूत्र लिहू. काय, कोणतेही पॅरामीटर्स नाहीत? हम्म... आपल्याला डोळे का दिले जातात?) आपण प्रगतीची पहिली टर्म पाहतो का? आम्ही पाहतो. हे -3.6 आहे. आपण सुरक्षितपणे लिहू शकता: a 1 = -3.6.फरक dमालिकेतून सांगता येईल का? अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक काय आहे हे आपल्याला माहित असल्यास हे सोपे आहे:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

तर, आम्ही सर्वात सोपी गोष्ट केली. अज्ञात क्रमांकाचा सामना करणे बाकी आहे nआणि अनाकलनीय संख्या 117. मागील समस्येत, किमान हे ज्ञात होते की ही प्रगतीची संज्ञा आहे जी दिली होती. पण इथे आपल्याला कळतही नाही... काय करावं!? बरं, कसं व्हायचं, कसं व्हायचं... तुमची सर्जनशील क्षमता चालू करा!)

आम्ही समजाते 117, शेवटी, आपल्या प्रगतीचा सदस्य आहे. अज्ञात क्रमांकासह n. आणि, मागील समस्येप्रमाणेच, हा नंबर शोधण्याचा प्रयत्न करूया. त्या. आम्ही सूत्र लिहितो (होय, होय!)) आणि आमची संख्या बदलतो:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

पुन्हा आपण सूत्रातून व्यक्त करतोn, आम्ही मोजतो आणि मिळवतो:

अरेरे! नंबर निघाला अंशात्मकएकशे दीड. आणि प्रगतीत अपूर्णांक संख्या घडत नाही.आपण कोणता निष्कर्ष काढू शकतो? होय! क्रमांक 117 नाहीआमच्या प्रगतीचा सदस्य. हे शंभर आणि पहिल्या आणि शंभर आणि द्वितीय पदांच्या दरम्यान कुठेतरी आहे. जर संख्या नैसर्गिक निघाली, म्हणजे. एक धन पूर्णांक आहे, तर संख्या सापडलेल्या संख्येसह प्रगतीचा सदस्य असेल. आणि आमच्या बाबतीत, समस्येचे उत्तर असेल: नाही.

कार्य आधारित वास्तविक पर्याय GIA:

अंकगणित प्रगती अटींद्वारे दिली जाते:

a n = -4 + 6.8n

प्रगतीची पहिली आणि दहावी संज्ञा शोधा.

येथे प्रगती असामान्य मार्गाने सेट केली आहे. काही प्रकारचे सूत्र... असे घडते.) तथापि, हे सूत्र (मी वर लिहिले आहे) - अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र देखील!तीही परवानगी देते प्रगतीचा कोणताही सदस्य त्याच्या संख्येनुसार शोधा.

आम्ही पहिल्या सदस्याच्या शोधात आहोत. जो विचार करतो. की पहिली संज्ञा उणे चार आहे हे जीवघेणे चुकीचे आहे!) कारण समस्येतील सूत्र बदलले आहे. त्यातील अंकगणिताच्या प्रगतीचे पहिले पद लपलेलेहे ठीक आहे, आम्ही ते आता शोधू.)

मागील समस्यांप्रमाणेच, आम्ही पर्यायी करतो n=1या सूत्रात:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

येथे! पहिली टर्म 2.8 आहे, -4 नाही!

आम्ही दहाव्या पदासाठी तशाच प्रकारे पाहतो:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

बस्स.

आणि आता, ज्यांनी या ओळी वाचल्या आहेत त्यांच्यासाठी वचन दिलेला बोनस.)

समजा, एखाद्या कठीण लढाऊ परिस्थितीत, राज्य परीक्षा किंवा युनिफाइड स्टेट परीक्षा, तुम्ही विसरलात. उपयुक्त सूत्रअंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा. मला काहीतरी आठवतं, पण कसं तरी अनिश्चितपणे... किंवा nतेथे, किंवा n+1, किंवा n-1...कसे असावे!?

शांत! हे सूत्र मिळवणे सोपे आहे. फार काटेकोरपणे नाही, परंतु आत्मविश्वासासाठी आणि योग्य निर्णयनिश्चितपणे पुरेसे आहे!) एक निष्कर्ष काढण्यासाठी, अंकगणित प्रगतीचा प्राथमिक अर्थ लक्षात ठेवणे आणि काही मिनिटे वेळ असणे पुरेसे आहे. आपल्याला फक्त एक चित्र काढण्याची आवश्यकता आहे. स्पष्टतेसाठी.

एक संख्या रेषा काढा आणि त्यावर प्रथम चिन्हांकित करा. दुसरा, तिसरा, इ. सदस्य आणि आम्ही फरक लक्षात घेतो dसदस्य दरम्यान. याप्रमाणे:

आम्ही चित्र पाहतो आणि विचार करतो: दुसरी संज्ञा काय समान आहे? दुसरा एक d:

a 2 =a 1 + 1 d

तिसरे पद काय आहे? तिसराटर्म पहिल्या टर्म प्लसच्या बरोबरीचे आहे दोन d.

a 3 =a 1 + 2 d

तुम्हाला ते समजते का? मी काही शब्द ठळकपणे मांडतो असे नाही ठळक मध्ये. ठीक आहे, आणखी एक पाऊल).

चौथी पद काय आहे? चौथाटर्म पहिल्या टर्म प्लसच्या बरोबरीचे आहे तीन d.

a 4 =a 1 + 3 d

हे लक्षात घेण्याची वेळ आली आहे की अंतरांची संख्या, म्हणजे. d, नेहमी तुम्ही शोधत असलेल्या सदस्याच्या संख्येपेक्षा एक कमी n. म्हणजेच संख्येपर्यंत n, रिक्त स्थानांची संख्याइच्छा n-1.म्हणून, सूत्र असेल (भिन्नतांशिवाय!):

a n = a 1 + (n-1)d

सर्वसाधारणपणे, गणितातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी दृश्य चित्रे खूप उपयुक्त ठरतात. चित्रांकडे दुर्लक्ष करू नका. परंतु जर चित्र काढणे अवघड असेल, तर... फक्त एक सूत्र!) याव्यतिरिक्त, nth टर्मचे सूत्र तुम्हाला गणिताच्या संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागाराला समाधानाशी जोडण्याची परवानगी देते - समीकरणे, असमानता, प्रणाली इ. तुम्ही समीकरणात चित्र टाकू शकत नाही...

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये.

उबदार करण्यासाठी:

1. अंकगणित प्रगतीमध्ये (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 शोधा.

इशारा: चित्रानुसार, समस्या 20 सेकंदात सोडवली जाऊ शकते... सूत्रानुसार, ते अधिक कठीण होते. परंतु सूत्रात प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, ते अधिक उपयुक्त आहे.) कलम ५५५ मध्ये, चित्र आणि सूत्र दोन्ही वापरून ही समस्या सोडवली आहे. फरक जाणवा!)

आणि हे यापुढे सराव नाही.)

2. अंकगणित प्रगतीमध्ये (a n) a 85 =19.1; a २३६ = ४९, ३. ३ शोधा.

काय, तुम्हाला चित्र काढायचे नाही?) नक्कीच! सूत्रानुसार उत्तम, होय...

3. अंकगणिताची प्रगती अटीनुसार दिली जाते:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. या प्रगतीचे एकशे पंचवीसवे पद शोधा.

या कार्यामध्ये, प्रगती पुनरावृत्ती पद्धतीने निर्दिष्ट केली जाते. पण एकशे पंचवीसव्या टर्मपर्यंत मोजत... प्रत्येकजण असा पराक्रम करण्यास सक्षम नाही.) पण नवव्या टर्मचे सूत्र प्रत्येकाच्या सामर्थ्यात आहे!

4. एक अंकगणित प्रगती दिली आहे (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगतीच्या सर्वात लहान सकारात्मक संज्ञाची संख्या शोधा.

5. कार्य 4 च्या अटींनुसार, प्रगतीच्या सर्वात लहान सकारात्मक आणि सर्वात मोठ्या नकारात्मक संज्ञांची बेरीज शोधा.

6. वाढत्या अंकगणित प्रगतीच्या पाचव्या आणि बाराव्या पदांचा गुणाकार -2.5 आहे आणि तिसऱ्या आणि अकराव्या पदांची बेरीज शून्य आहे. 14 शोधा.

सर्वात सोपा काम नाही, होय...) "फिंगरटिप" पद्धत येथे कार्य करणार नाही. तुम्हाला सूत्रे लिहावी लागतील आणि समीकरणे सोडवावी लागतील.

उत्तरे (अस्वस्थपणे):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

काम झाले का? छान आहे!)

सर्वकाही कार्य करत नाही? घडते. तसे, शेवटच्या कार्यात एक सूक्ष्म मुद्दा आहे. समस्या वाचताना काळजी घेणे आवश्यक आहे. आणि तर्क.

या सर्व समस्यांचे निराकरण कलम 555 मध्ये तपशीलवार चर्चा केले आहे. आणि चौथ्यासाठी कल्पनारम्य घटक, आणि सहाव्यासाठी सूक्ष्म बिंदू, आणि नवव्या पदाच्या सूत्राचा समावेश असलेल्या कोणत्याही समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी सामान्य दृष्टीकोन - सर्वकाही वर्णन केले आहे. मी शिफारस करतो.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

सूचना

अंकगणितीय प्रगती हा a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d या फॉर्मचा क्रम आहे. क्रमांक d पायरी प्रगती.हे स्पष्ट आहे की अंकगणिताच्या अनियंत्रित n-व्या पदाचा सामान्य प्रगतीफॉर्म आहे: An = A1+(n-1)d. मग एक सभासद जाण प्रगती, सदस्य प्रगतीआणि पाऊल प्रगती, तुम्ही करू शकता, म्हणजेच प्रगती सदस्याची संख्या. अर्थात, हे सूत्र n = (An-A1+d)/d द्वारे निर्धारित केले जाईल.

आता mth संज्ञा जाणून घेऊया प्रगतीआणि दुसरा सदस्य प्रगती- nth, परंतु n , मागील प्रकरणाप्रमाणे, परंतु हे ज्ञात आहे की n आणि m चरण जुळत नाहीत प्रगतीसूत्र वापरून गणना केली जाऊ शकते: d = (An-Am)/(n-m). नंतर n = (An-Am+md)/d.

अंकगणित समीकरणाच्या अनेक घटकांची बेरीज ज्ञात असल्यास प्रगती, तसेच त्याचे पहिले आणि शेवटचे, नंतर या घटकांची संख्या देखील अंकगणिताची बेरीज निर्धारित केली जाऊ शकते प्रगतीसमान असेल: S = ((A1+An)/2)n. नंतर n = 2S/(A1+An) - chdenov प्रगती. An = A1+(n-1)d या वस्तुस्थितीचा वापर करून, हे सूत्र पुन्हा असे लिहिले जाऊ शकते: n = 2S/(2A1+(n-1)d). यावरून आपण n सोडवून व्यक्त करू शकतो चतुर्भुज समीकरण.

अंकगणित क्रम हा संख्यांचा क्रमबद्ध संच असतो, ज्याचा प्रत्येक सदस्य, पहिला वगळता, मागील एकापेक्षा समान प्रमाणात भिन्न असतो. या स्थिर मूल्याला प्रगतीचा फरक किंवा त्याची पायरी म्हणतात आणि अंकगणित प्रगतीच्या ज्ञात अटींवरून गणना केली जाऊ शकते.

सूचना

जर पहिल्या आणि दुसऱ्या किंवा समीपच्या अटींच्या इतर कोणत्याही जोडीची मूल्ये समस्येच्या अटींवरून ज्ञात असतील, तर फरक मोजण्यासाठी (d) नंतरच्या पदातून फक्त मागील एक वजा करा. परिणामी मूल्य एकतर सकारात्मक किंवा ऋण संख्या असू शकते - ते प्रगती वाढत आहे की नाही यावर अवलंबून असते. सर्वसाधारण स्वरूपात, प्रगतीच्या शेजारच्या अटींच्या अनियंत्रित जोडीसाठी (aᵢ आणि aᵢ₊₁) समाधान खालीलप्रमाणे लिहा: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

अशा प्रगतीच्या अटींच्या जोडीसाठी, ज्यापैकी एक पहिला (a₁) आहे आणि दुसरा अनियंत्रितपणे निवडलेला आहे, फरक शोधण्यासाठी एक सूत्र तयार करणे देखील शक्य आहे (d). तथापि, या प्रकरणात, क्रमाच्या अनियंत्रित निवडलेल्या सदस्याचा अनुक्रमांक (i) माहित असणे आवश्यक आहे. फरकाची गणना करण्यासाठी, दोन्ही संख्या जोडा आणि परिणामी परिणाम एका अनियंत्रित पदाच्या क्रमिक संख्येने एकाने कमी करा. सर्वसाधारणपणे, हे सूत्र खालीलप्रमाणे लिहा: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

क्रमिक क्रमांक i सह अंकगणित प्रगतीच्या अनियंत्रित सदस्याव्यतिरिक्त, क्रम संख्या u असलेला दुसरा सदस्य ज्ञात असल्यास, त्यानुसार मागील चरणातील सूत्र बदला. या प्रकरणात, प्रगतीचा फरक (d) ही या दोन पदांची बेरीज त्यांच्या क्रमिक संख्यांच्या फरकाने भागलेली असेल: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

फरक (d) ची गणना करण्याचे सूत्र काहीसे अधिक क्लिष्ट बनते जर समस्या परिस्थितीने त्याच्या पहिल्या पदाचे मूल्य (a₁) आणि अंकगणितीय क्रमाच्या पहिल्या पदांच्या दिलेल्या संख्येची (i) बेरीज (Sᵢ) दिली. इच्छित मूल्य प्राप्त करण्यासाठी, बेरीज बनवणाऱ्या पदांच्या संख्येने विभाजित करा, अनुक्रमातील पहिल्या संख्येचे मूल्य वजा करा आणि निकाल दुप्पट करा. परिणामी मूल्याला एकाने कमी केलेल्या बेरीज केलेल्या संज्ञांच्या संख्येने विभाजित करा. सर्वसाधारणपणे, भेदभावाची गणना करण्यासाठी खालीलप्रमाणे सूत्र लिहा: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

माध्यमिक शाळेत बीजगणिताचा अभ्यास करताना (ग्रेड 9) एक महत्वाचे विषयअभ्यास आहे संख्या क्रम, ज्यामध्ये प्रगती समाविष्ट आहे - भौमितिक आणि अंकगणित. या लेखात आपण अंकगणिताची प्रगती आणि उपायांसह उदाहरणे पाहू.

अंकगणित प्रगती म्हणजे काय?

हे समजून घेण्यासाठी, प्रश्नातील प्रगती परिभाषित करणे आवश्यक आहे, तसेच मूलभूत सूत्रे प्रदान करणे आवश्यक आहे जे नंतर समस्या सोडवण्यासाठी वापरले जातील.

अंकगणित किंवा क्रमबद्ध परिमेय संख्यांचा संच आहे, ज्याचा प्रत्येक सदस्य मागील एकापेक्षा काही स्थिर मूल्याने भिन्न असतो. या प्रमाणाला फरक म्हणतात. म्हणजेच, क्रमबद्ध संख्यांच्या मालिकेतील कोणताही सदस्य आणि फरक जाणून घेतल्यास, आपण संपूर्ण अंकगणित प्रगती पुनर्संचयित करू शकता.

एक उदाहरण देऊ. संख्यांचा पुढील क्रम अंकगणितीय प्रगती असेल: 4, 8, 12, 16, ..., कारण या प्रकरणात फरक 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) आहे. परंतु संख्या 3, 5, 8, 12, 17 यापुढे विचाराधीन प्रगतीच्या प्रकारास श्रेय दिले जाऊ शकत नाही, कारण त्यातील फरक नाही. स्थिर मूल्य (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

महत्त्वाची सूत्रे

अंकगणिताच्या प्रगतीचा वापर करून समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेली मूलभूत सूत्रे आता आपण सादर करूया. अनुक्रमाचा nवा सदस्य चिन्हाने दर्शवू, जेथे n पूर्णांक आहे. आम्ही फरक दर्शवतो लॅटिन अक्षर d मग खालील अभिव्यक्ती वैध आहेत:

nव्या पदाचे मूल्य निश्चित करण्यासाठी, खालील सूत्र योग्य आहे: a n = (n-1)*d+a 1 .
पहिल्या n पदांची बेरीज निश्चित करण्यासाठी: S n = (a n +a 1)*n/2.

9 व्या इयत्तेतील उपायांसह अंकगणित प्रगतीची कोणतीही उदाहरणे समजून घेण्यासाठी, ही दोन सूत्रे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे, कारण विचाराधीन प्रकारच्या कोणत्याही समस्या त्यांच्या वापरावर आधारित आहेत. आपण हे देखील लक्षात ठेवले पाहिजे की प्रगतीतील फरक सूत्रानुसार निर्धारित केला जातो: d = a n - a n-1.

उदाहरण #1: अज्ञात सदस्य शोधणे

अंकगणिताच्या प्रगतीचे एक साधे उदाहरण आणि ते सोडवण्यासाठी कोणती सूत्रे वापरावी लागतात.

क्रम 10, 8, 6, 4, ... देऊ द्या, तुम्हाला त्यात पाच संज्ञा शोधणे आवश्यक आहे.

समस्येच्या अटींवरून असे दिसून येते की पहिल्या 4 अटी ज्ञात आहेत. पाचव्याची व्याख्या दोन प्रकारे करता येते:

प्रथम फरकाची गणना करूया. आमच्याकडे आहे: d = 8 - 10 = -2. त्याचप्रमाणे, तुम्ही एकमेकांच्या शेजारी उभे असलेले इतर कोणतेही दोन सदस्य घेऊ शकता. उदाहरणार्थ, d = 4 - 6 = -2. हे ज्ञात असल्याने d = a n - a n-1, नंतर d = a 5 - a 4, ज्यावरून आपल्याला मिळते: a 5 = a 4 + d. आम्ही ज्ञात मूल्ये बदलतो: a 5 = 4 + (-2) = 2.
दुसऱ्या पद्धतीसाठी प्रश्नातील प्रगतीच्या फरकाचे ज्ञान देखील आवश्यक आहे, म्हणून आपण प्रथम वर दर्शविल्याप्रमाणे ते निर्धारित करणे आवश्यक आहे (d = -2). पहिली संज्ञा a 1 = 10 आहे हे जाणून, आम्ही अनुक्रमाच्या n संख्येसाठी सूत्र वापरतो. आमच्याकडे आहे: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये n = 5 बदलल्यास, आपल्याला मिळते: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

जसे आपण पाहू शकता, दोन्ही उपायांनी समान परिणाम दिला. लक्षात घ्या की या उदाहरणात प्रगती फरक d हे ऋण मूल्य आहे. अशा क्रमांना कमी होत असे म्हणतात, कारण प्रत्येक पुढील पद मागील एकापेक्षा कमी आहे.

उदाहरण #2: प्रगती फरक

आता कार्य थोडे गुंतागुंतीचे करू, अंकगणित प्रगतीचा फरक कसा शोधायचा याचे उदाहरण द्या.

हे ज्ञात आहे की काही बीजगणितीय प्रगतीमध्ये 1 ली टर्म 6 च्या बरोबरीची असते आणि 7 वी टर्म 18 च्या बरोबरीची असते. फरक शोधणे आणि हा क्रम 7 व्या टर्मवर पुनर्संचयित करणे आवश्यक आहे.

अज्ञात संज्ञा निश्चित करण्यासाठी सूत्र वापरू: a n = (n - 1) * d + a 1 . कंडिशनमधील ज्ञात डेटा त्यामध्ये बदलू, म्हणजे 1 आणि a 7, आमच्याकडे आहेत: 18 = 6 + 6 * d. या अभिव्यक्तीवरून तुम्ही फरक सहजपणे काढू शकता: d = (18 - 6) /6 = 2. अशा प्रकारे, आम्ही समस्येच्या पहिल्या भागाचे उत्तर दिले आहे.

अनुक्रम 7 व्या पदावर पुनर्संचयित करण्यासाठी, तुम्ही बीजगणितीय प्रगतीची व्याख्या वापरली पाहिजे, म्हणजे, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d इत्यादी. परिणामी, आम्ही संपूर्ण क्रम पुनर्संचयित करतो: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

उदाहरण क्रमांक 3: प्रगती रेखाटणे

चला समस्या आणखी जटिल करूया. आता आपल्याला अंकगणित प्रगती कशी शोधावी या प्रश्नाचे उत्तर देणे आवश्यक आहे. खालील उदाहरण दिले जाऊ शकते: दोन संख्या दिल्या आहेत, उदाहरणार्थ - 4 आणि 5. बीजगणितीय प्रगती तयार करणे आवश्यक आहे जेणेकरून त्यांच्यामध्ये आणखी तीन संज्ञा ठेवल्या जातील.

आपण या समस्येचे निराकरण करण्यास प्रारंभ करण्यापूर्वी, आपल्याला भविष्यातील प्रगतीमध्ये दिलेले क्रमांक कोणते स्थान व्यापतील हे समजून घेणे आवश्यक आहे. त्यांच्यामध्ये आणखी तीन संज्ञा असल्याने, नंतर एक 1 = -4 आणि 5 = 5. हे प्रस्थापित केल्यानंतर, आम्ही समस्येकडे जाऊ, जी मागील सारखीच आहे. पुन्हा, nव्या पदासाठी आपण सूत्र वापरतो, आपल्याला मिळते: a 5 = a 1 + 4 * d. कडून: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. आम्हाला येथे जे मिळाले ते फरकाचे पूर्णांक मूल्य नाही, परंतु ते आहे परिमेय संख्या, त्यामुळे बीजगणितीय प्रगतीची सूत्रे समान राहतील.

आता सापडलेला फरक 1 मध्ये जोडू आणि प्रगतीच्या गहाळ अटी पुनर्संचयित करू. आम्हाला मिळते: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, कोणते नाणे समस्येच्या परिस्थितीसह.

उदाहरण क्रमांक 4: प्रगतीची पहिली टर्म

उपायांसह अंकगणित प्रगतीची उदाहरणे देत राहू. मागील सर्व समस्यांमध्ये, बीजगणितीय प्रगतीचा पहिला क्रमांक ज्ञात होता. आता वेगळ्या प्रकारच्या समस्येचा विचार करू या: दोन संख्या देऊ या, जिथे 15 = 50 आणि 43 = 37. हा क्रम कोणत्या संख्येने सुरू होतो हे शोधणे आवश्यक आहे.

आतापर्यंत वापरलेली सूत्रे 1 आणि d चे ज्ञान गृहीत धरतात. समस्या विधानात, या संख्यांबद्दल काहीही माहिती नाही. तरीही, आम्ही प्रत्येक पदासाठी अभिव्यक्ती लिहू ज्याबद्दल माहिती उपलब्ध आहे: a 15 = a 1 + 14 * d आणि a 43 = a 1 + 42 * d. आम्हाला दोन समीकरणे मिळाली ज्यामध्ये 2 अज्ञात परिमाण आहेत (a 1 आणि d). याचा अर्थ रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी समस्या कमी केली जाते.

या प्रणालीचे निराकरण करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे प्रत्येक समीकरणात 1 व्यक्त करणे आणि नंतर परिणामी अभिव्यक्तींची तुलना करणे. पहिले समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दुसरे समीकरण: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. या अभिव्यक्तींचे समीकरण केल्यास, आम्हाला मिळते: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जेथून फरक d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (फक्त 3 दशांश स्थाने दिली आहेत).

d जाणून घेऊन, तुम्ही वरील 2 पैकी कोणतेही 1 साठी वापरू शकता. उदाहरणार्थ, प्रथम: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

आपल्याला प्राप्त झालेल्या निकालाबद्दल शंका असल्यास, आपण ते तपासू शकता, उदाहरणार्थ, प्रगतीची 43 वी टर्म निर्धारित करा, जी स्थितीत निर्दिष्ट केली आहे. आम्हाला मिळते: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. गणनेमध्ये हजारव्या भागापर्यंत राउंडिंग वापरण्यात आल्याच्या वस्तुस्थितीमुळे लहान त्रुटी आहे.

उदाहरण क्रमांक ५: रक्कम

आता अंकगणिताच्या प्रगतीच्या बेरजेसाठी उपायांसह अनेक उदाहरणे पाहू.

संख्यात्मक प्रगती द्यावी खालील प्रकार: 1, 2, 3, 4, ...,. यातील 100 संख्यांची बेरीज कशी काढायची?

विकासाचे आभार संगणक तंत्रज्ञानआपण ही समस्या सोडवू शकता, म्हणजे, सर्व संख्या क्रमशः जोडा, जे संगणकव्यक्तीने एंटर की दाबताच ते होईल. तथापि, जर तुम्ही याकडे लक्ष दिले की संख्यांची सादर केलेली मालिका बीजगणितीय प्रगती आहे आणि त्यातील फरक 1 इतका आहे. बेरीजसाठी सूत्र लागू केल्यास, आम्हाला मिळते: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की या समस्येस "गॉसियन" म्हटले जाते कारण 18 व्या शतकाच्या सुरूवातीस, प्रसिद्ध जर्मन, अद्याप फक्त 10 वर्षांचा होता, काही सेकंदात त्याच्या डोक्यात ते सोडविण्यास सक्षम होता. मुलाला बीजगणितीय प्रगतीच्या बेरजेचे सूत्र माहित नव्हते, परंतु त्याच्या लक्षात आले की जर तुम्ही क्रमाच्या शेवटी जोड्यांमध्ये संख्या जोडली तर तुम्हाला नेहमी समान परिणाम मिळतात, म्हणजे 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., आणि या बेरीज तंतोतंत 50 (100 / 2) असतील, तर योग्य उत्तर मिळविण्यासाठी 50 ला 101 ने गुणाकार करणे पुरेसे आहे.

उदाहरण क्रमांक 6: n ते m पर्यंतच्या पदांची बेरीज

अजून एक नमुनेदार उदाहरणअंकगणिताच्या प्रगतीची बेरीज खालीलप्रमाणे आहे: संख्यांची मालिका दिल्यास: 3, 7, 11, 15, ..., तुम्हाला 8 ते 14 पर्यंतच्या पदांची बेरीज किती असेल ते शोधणे आवश्यक आहे.

समस्या दोन प्रकारे सोडवली जाते. त्यापैकी प्रथम 8 ते 14 पर्यंत अज्ञात संज्ञा शोधणे आणि नंतर त्यांचा क्रमवार सारांश करणे समाविष्ट आहे. काही अटी असल्याने, ही पद्धत फारशी श्रम-केंद्रित नाही. तरीही, ही समस्या दुसरी पद्धत वापरून सोडवण्याचा प्रस्ताव आहे, जी अधिक सार्वत्रिक आहे.

m आणि n या संज्ञांमधील बीजगणितीय प्रगतीच्या बेरजेसाठी एक सूत्र प्राप्त करण्याचा विचार आहे, जेथे n > m पूर्णांक आहेत. दोन्ही प्रकरणांसाठी, आम्ही बेरीजसाठी दोन अभिव्यक्ती लिहितो:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m पासून, हे स्पष्ट आहे की 2 रा बेरीज मध्ये प्रथम समाविष्ट आहे. शेवटच्या निष्कर्षाचा अर्थ असा आहे की जर आपण या बेरजेमधील फरक घेतला आणि त्यात a m ही संज्ञा जोडली (तफरक घेताना, ती बेरीज S n मधून वजा केली जाते), तर आपल्याला समस्येचे आवश्यक उत्तर मिळेल. आमच्याकडे आहे: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). या अभिव्यक्तीमध्ये a n आणि a m साठी सूत्रे बदलणे आवश्यक आहे. मग आपल्याला मिळेल: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

परिणामी सूत्र काहीसे अवघड आहे, तथापि, S mn ची बेरीज फक्त n, m, a 1 आणि d वर अवलंबून असते. आमच्या बाबतीत, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. या संख्यांच्या जागी, आम्हाला मिळेल: S mn = 301.

वरील उपायांवरून पाहिल्याप्रमाणे, सर्व समस्या nव्या पदाच्या अभिव्यक्तीच्या ज्ञानावर आणि पहिल्या संज्ञांच्या संचाच्या बेरीजच्या सूत्रावर आधारित आहेत. यापैकी कोणत्याही समस्येचे निराकरण करण्यास प्रारंभ करण्यापूर्वी, अशी शिफारस केली जाते की आपण स्थिती काळजीपूर्वक वाचा, आपल्याला काय शोधण्याची आवश्यकता आहे ते स्पष्टपणे समजून घ्या आणि त्यानंतरच समाधानासह पुढे जा.

आणखी एक टीप म्हणजे साधेपणासाठी प्रयत्न करणे, म्हणजे, जर तुम्ही जटिल गणिती आकडेमोड न वापरता एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकत असाल, तर तुम्हाला तेच करणे आवश्यक आहे, कारण या प्रकरणात चूक होण्याची शक्यता कमी आहे. उदाहरणार्थ, सोल्यूशन क्र. 6 सह अंकगणित प्रगतीच्या उदाहरणात, कोणीही S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m या सूत्रावर थांबू शकतो. खंडित सामान्य कार्यस्वतंत्र उपकार्यांमध्ये (या प्रकरणात, प्रथम a n आणि a m संज्ञा शोधा).

तुम्हाला मिळालेल्या निकालाबद्दल शंका असल्यास, ते तपासण्याची शिफारस केली जाते, जसे की दिलेल्या काही उदाहरणांमध्ये केले होते. अंकगणिताची प्रगती कशी शोधावी हे आम्ही शोधून काढले. जर तुम्हाला हे समजले तर ते इतके अवघड नाही.

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते