x 2 च्या फंक्शन क्यूब रूटचा आलेख. फंक्शन y = x चे तिसरे रूट, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख

परिचय देण्याऐवजी

धड्यांमध्ये आधुनिक तंत्रज्ञान (CTE) आणि अध्यापन साहाय्यांचा (मल्टीमीडिया बोर्ड) वापर शिक्षकांना धडे योजना आणि प्रभावीपणे आयोजित करण्यात, विद्यार्थ्यांना जाणीवपूर्वक समजून घेण्यासाठी, लक्षात ठेवण्यासाठी आणि कौशल्यांचा सराव करण्यासाठी परिस्थिती निर्माण करण्यास मदत करते.

प्रशिक्षण सत्रादरम्यान तुम्ही विविध प्रकारचे अध्यापन एकत्र केल्यास धडा गतिशील आणि मनोरंजक होईल.

आधुनिक शिक्षणशास्त्रात चार सामान्य आहेत संस्थात्मक फॉर्मप्रशिक्षण:

वैयक्तिकरित्या मध्यस्थी;
स्टीम रूम;
गट;

सामूहिक (शिफ्ट जोड्यांमध्ये). (डायचेन्को व्ही.के. मॉडर्न डिडॅक्टिक्स. - एम.: सार्वजनिक शिक्षण, 2005).

पारंपारिक धड्यात, नियमानुसार, वर सूचीबद्ध केलेल्या शिकवणीचे फक्त पहिले तीन संस्थात्मक प्रकार वापरले जातात. अध्यापनाचे सामूहिक स्वरूप (शिफ्टमध्ये जोड्यांमध्ये काम करणे) शिक्षक व्यावहारिकपणे वापरत नाहीत. तथापि, प्रशिक्षणाच्या या संघटनात्मक स्वरूपामुळे संघाला प्रत्येकाला आणि प्रत्येकाला इतरांच्या प्रशिक्षणात सक्रियपणे सहभागी होण्यासाठी प्रशिक्षण देणे शक्य होते. प्रशिक्षणाचे सामूहिक स्वरूप सीएसआर तंत्रज्ञानामध्ये आघाडीवर आहे.

सामूहिक शिक्षण तंत्रज्ञानाच्या सर्वात सामान्य पद्धतींपैकी एक म्हणजे "म्युच्युअल ट्रेनिंग" तंत्र.

हे "जादू" तंत्र कोणत्याही विषयात आणि कोणत्याही धड्यात चांगले आहे. उद्देश प्रशिक्षण आहे.

प्रशिक्षण हे आत्म-नियंत्रणाचे उत्तराधिकारी आहे; ते विद्यार्थ्याला अभ्यासाच्या विषयाशी संपर्क स्थापित करण्यास मदत करते, ज्यामुळे योग्य पायऱ्या आणि कृती शोधणे सोपे होते. संपादन, एकत्रीकरण, पुनर्गठन, पुनरावृत्ती आणि ज्ञानाच्या वापराच्या प्रशिक्षणाद्वारे, एखाद्या व्यक्तीची संज्ञानात्मक क्षमता विकसित होते. (यानोवित्स्काया ई.व्ही. धड्यात कसे शिकवायचे आणि अभ्यास कसा करायचा जेणेकरून तुम्हाला शिकायचे आहे. संदर्भ अल्बम. - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षणिक प्रकल्प, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुशनीर, 2009.-पी.14; 131)

हे तुम्हाला त्वरीत नियमाची पुनरावृत्ती करण्यात, तुम्ही अभ्यासलेल्या प्रश्नांची उत्तरे लक्षात ठेवण्यास आणि आवश्यक कौशल्ये एकत्रित करण्यात मदत करेल. पद्धत वापरून काम करण्यासाठी इष्टतम वेळ 5-10 मिनिटे आहे. नियमानुसार, प्रशिक्षण कार्ड्सवर काम तोंडी गणना दरम्यान केले जाते, म्हणजेच धड्याच्या सुरूवातीस, परंतु शिक्षकांच्या विवेकबुद्धीनुसार, धड्याच्या कोणत्याही टप्प्यावर, त्याचे ध्येय आणि संरचनेनुसार ते केले जाऊ शकते. . प्रशिक्षण कार्डमध्ये 5 ते 10 साधी उदाहरणे (प्रश्न, कार्ये) असू शकतात. वर्गातील प्रत्येक विद्यार्थ्याला एक कार्ड मिळते. कार्ड प्रत्येकासाठी भिन्न आहेत किंवा “संयुक्त पथक” (एकाच रांगेत बसलेली मुले) मधील प्रत्येकासाठी भिन्न आहेत. एकत्रित अलिप्तता (समूह) हे विशिष्ट शैक्षणिक कार्य करण्यासाठी विद्यार्थ्यांचे तात्पुरते सहकार्य आहे. (यालोवेट्स टी.व्ही. शिक्षक प्रशिक्षणात शिकवण्याच्या सामूहिक पद्धतीचे तंत्रज्ञान: शैक्षणिक आणि पद्धतशीर नियमावली. - नोवोकुझनेत्स्क: आयपीके पब्लिशिंग हाऊस, 2005. - पृष्ठ 122)

विषयावरील धडा प्रकल्प "फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख"

धडा प्रकल्पात, ज्याचा विषय आहे: “ फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख”पारंपारिक आणि मल्टीमीडिया अध्यापन साधनांच्या वापरासह परस्पर प्रशिक्षण तंत्रांचा वापर सादर केला आहे.

धड्याचा विषय: " फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख”

ध्येय:

परीक्षेची तयारी;
फंक्शनच्या सर्व गुणधर्मांचे ज्ञान आणि फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्याची आणि त्यांचे गुणधर्म वाचण्याची क्षमता तपासणे.

कार्ये: विषय पातळी:

सुप्रा-विषय स्तर:

ग्राफिक माहितीचे विश्लेषण करण्यास शिका;
संवाद आयोजित करण्याच्या क्षमतेचा सराव करा;
आलेखांसह कार्य करण्याचे उदाहरण वापरून परस्पर व्हाईटबोर्डसह कार्य करण्याची क्षमता विकसित करा.

धड्याची रचना	वेळ
1. शिक्षक माहिती इनपुट (TII)	५ मि.
2. मूलभूत ज्ञान अद्यतनित करणे: कार्यपद्धतीनुसार शिफ्ट कर्मचाऱ्यांच्या जोडीने काम करा *“परस्पर प्रशिक्षण”*	8 मि.
3. "फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" या विषयाचा परिचय: शिक्षक सादरीकरण	8 मि.
4. “कार्य” या विषयावर नवीन शिकलेल्या आणि आधीच कव्हर केलेल्या साहित्याचे एकत्रीकरण: परस्पर व्हाईटबोर्ड वापरून	१५ मि.
5. आत्म-नियंत्रण : चाचणी स्वरूपात	7 मि.
6. सारांश, गृहपाठ रेकॉर्डिंग.	2 मि.

चला प्रत्येक टप्प्याची सामग्री अधिक तपशीलवार प्रकट करूया.

1. शिक्षक माहिती इनपुट (TII) मध्ये समाविष्ट आहे संघटनात्मक क्षण; विषय, उद्देश आणि पाठ योजना स्पष्ट करणे; परस्पर प्रशिक्षण पद्धतीचा वापर करून जोडीच्या कामाचा नमुना दर्शवित आहे.

धड्याच्या या टप्प्यावर विद्यार्थ्यांद्वारे जोड्यांमध्ये कामाच्या नमुन्याचे प्रात्यक्षिक आम्हाला आवश्यक असलेल्या कार्यपद्धतीच्या कार्याच्या अल्गोरिदमची पुनरावृत्ती करण्यासाठी सल्ला दिला जातो, कारण धड्याच्या पुढील टप्प्यावर, संपूर्ण वर्ग संघाचे कार्य त्यावर नियोजित आहे. त्याच वेळी, आपण अल्गोरिदमसह कार्य करताना त्रुटींची नावे देऊ शकता (जर काही असेल तर), तसेच या विद्यार्थ्यांच्या कार्याचे मूल्यांकन करू शकता.

2. म्युच्युअल प्रशिक्षण पद्धतीचा वापर करून मूलभूत ज्ञानाचे अद्ययावतीकरण शिफ्ट जोड्यांमध्ये केले जाते.

कार्यपद्धती अल्गोरिदममध्ये वैयक्तिक, जोडी (स्थिर जोड्या) आणि सामूहिक (शिफ्ट जोड्या) प्रशिक्षणाचे संघटनात्मक प्रकार समाविष्ट आहेत.

वैयक्तिक: कार्ड प्राप्त करणाऱ्या प्रत्येकाला त्यातील सामग्रीची ओळख होते (कार्डच्या मागील बाजूस असलेले प्रश्न आणि उत्तरे वाचतात).

प्रथम("प्रशिक्षणार्थी" च्या भूमिकेत) कार्य वाचतो आणि भागीदाराच्या कार्डावरील प्रश्नांची उत्तरे देतो;
दुसरा("कोच" च्या भूमिकेत) - कार्डच्या मागील बाजूस उत्तरांची शुद्धता तपासते;
दुसऱ्या कार्डवर त्याचप्रमाणे कार्य करा, भूमिका बदलणे;
वैयक्तिक शीटवर एक चिन्ह बनवा आणि कार्ड एक्सचेंज करा;
नवीन जोडप्याकडे जा.

सामूहिक:

नवीन जोडीमध्ये ते पहिल्यासारखे कार्य करतात; नवीन जोडीमध्ये संक्रमण इ.

बदलांची संख्या शिक्षकाने पाठाच्या या टप्प्यासाठी दिलेल्या वेळेवर, प्रत्येक विद्यार्थ्याच्या परिश्रम आणि आकलनाच्या गतीवर आणि संयुक्त कार्यातील भागीदारांवर अवलंबून असते.

जोड्यांमध्ये काम केल्यानंतर, विद्यार्थी त्यांच्या रेकॉर्ड शीटवर गुण तयार करतात आणि शिक्षक कामाचे परिमाणात्मक आणि गुणात्मक विश्लेषण करतात.

लेखा पत्रक असे दिसू शकते:

इव्हानोव्ह पेट्या 7 “बी” ग्रेड

तारीख	कार्ड क्रमांक	त्रुटींची संख्या	तुम्ही कोणासोबत काम केले?
20.12.09	№7	0	सिदोरोव के.
	№3	2	पेट्रोव्हा एम.
	№2	1	सामोइलोवा झेड.

3. "कार्य y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" या विषयाचा परिचय शिक्षकाने मल्टीमीडिया शिक्षण साधनांचा वापर करून सादरीकरणाच्या स्वरूपात केला आहे (परिशिष्ट 4). एकीकडे, ही स्पष्टतेची आवृत्ती आहे जी आधुनिक विद्यार्थ्यांना समजण्यासारखी आहे, दुसरीकडे, नवीन सामग्री समजावून सांगण्यात वेळ वाचवते.

4. “कार्य” या विषयावर नव्याने शिकलेल्या आणि आधीच कव्हर केलेल्या साहित्याचे एकत्रीकरण ” पारंपारिक शिक्षण साधने (ब्लॅकबोर्ड, पाठ्यपुस्तक) आणि नाविन्यपूर्ण (परस्परसंवादी व्हाईटबोर्ड) वापरून दोन आवृत्त्यांमध्ये आयोजित.

प्रथम, नवीन शिकलेली सामग्री एकत्रित करण्यासाठी पाठ्यपुस्तकातील अनेक कार्ये दिली जातात. अध्यापनासाठी पाठ्यपुस्तक वापरले जाते. संपूर्ण वर्गासह एकाच वेळी कार्य केले जाते. या प्रकरणात, एका विद्यार्थ्याने पारंपारिक बोर्डवर "ए" कार्य पूर्ण केले; दुसरे म्हणजे इंटरएक्टिव्ह बोर्डवरील टास्क “b”, बाकीचे विद्यार्थी नोटबुकमध्ये समान टास्कचे उपाय लिहून ठेवतात आणि त्यांच्या सोल्यूशनची बोर्डवर सादर केलेल्या सोल्यूशनशी तुलना करतात. पुढे, शिक्षक मंडळातील विद्यार्थ्यांच्या कामाचे मूल्यांकन करतात.

त्यानंतर, "फंक्शन" विषयावरील अभ्यास केलेली सामग्री अधिक द्रुतपणे एकत्रित करण्यासाठी, परस्परसंवादी व्हाईटबोर्डसह फ्रंटल वर्क प्रस्तावित आहे, जे खालीलप्रमाणे आयोजित केले जाऊ शकते:

कार्य आणि वेळापत्रक परस्परसंवादी बोर्डवर दिसतात;
ज्या विद्यार्थ्याला उत्तर द्यायचे आहे तो बोर्डाकडे जातो, आवश्यक बांधकाम करतो आणि उत्तर देतो;
बोर्डवर एक नवीन कार्य आणि नवीन वेळापत्रक दिसून येते;
दुसरा विद्यार्थी उत्तर देण्यासाठी बाहेर येतो.

अशा प्रकारे, कमी कालावधीत, बरीच कार्ये सोडवणे आणि विद्यार्थ्यांच्या उत्तरांचे मूल्यांकन करणे शक्य आहे. स्वारस्य असलेली काही कार्ये (आगामी कार्यांप्रमाणेच चाचणी कार्य), नोटबुकमध्ये रेकॉर्ड केले जाऊ शकते.

5. स्वयं-नियंत्रण टप्प्यावर, विद्यार्थ्यांना एक चाचणी दिली जाते त्यानंतर स्व-चाचणी (परिशिष्ट 3).

साहित्य

डायचेन्को, व्ही.के. आधुनिक शिक्षणशास्त्र [मजकूर] / व्ही.के.
डायचेन्को - एम.: सार्वजनिक शिक्षण, 2005.
यालोवेट्स, टी.व्ही. शिक्षक प्रशिक्षणात शिकवण्याच्या सामूहिक पद्धतीचे तंत्रज्ञान: शैक्षणिक आणि पद्धतशीर पुस्तिका [मजकूर] / टी.व्ही. यालोव्हेट्स.

– नोवोकुझनेत्स्क: IPK पब्लिशिंग हाऊस, 2005.

यानोवित्स्काया, ई.व्ही. धड्यात कसे शिकवायचे आणि शिकायचे जेणेकरून तुम्हाला शिकायचे आहे. संदर्भ अल्बम [मजकूर] / यानोवित्स्काया. - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षणिक प्रकल्प, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुष्णीर, 2009.

पॉवर फंक्शनचे मूलभूत गुणधर्म दिले आहेत, ज्यामध्ये सूत्रे आणि मुळांच्या गुणधर्मांचा समावेश आहे. पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न, अविभाज्य, पॉवर मालिका विस्तार आणि जटिल संख्येचे प्रतिनिधित्व सादर केले आहे.
व्याख्याव्याख्या घातांक p सह पॉवर फंक्शनफंक्शन f आहे
(x) = x p , ज्याचे मूल्य x बिंदूवर p बिंदूवरील बेस x सह घातांकीय कार्याच्या मूल्यासारखे आहे.याव्यतिरिक्त, एफ 0 .

(0) = 0 p = 0
.
p साठी >

घातांकाच्या नैसर्गिक मूल्यांसाठी, पॉवर फंक्शन हे x च्या समान n संख्यांचे गुणाकार आहे:
.
विषम m साठी, ते सर्व वास्तविक x साठी परिभाषित केले आहे.

अगदी m साठी, पॉवर फंक्शन नकारात्मक नसलेल्यांसाठी परिभाषित केले आहे.
.
ऋणासाठी, पॉवर फंक्शन सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

म्हणून, ते बिंदूवर परिभाषित केलेले नाही.
,
घातांक p च्या अपरिमेय मूल्यांसाठी, पॉवर फंक्शन सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:
जेथे a ही अनियंत्रित धन संख्या एकाच्या बरोबरीची नसते: .
केव्हा , ते यासाठी परिभाषित केले आहे.

जेव्हा , पॉवर फंक्शन साठी परिभाषित केले जाते.सातत्य

. पॉवर फंक्शन हे त्याच्या परिभाषेत सतत असते.

x ≥ 0 साठी पॉवर फंक्शन्सचे गुणधर्म आणि सूत्रे

येथे आपण x या वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी पॉवर फंक्शनच्या गुणधर्मांचा विचार करू.
(1.1) वर सांगितल्याप्रमाणे, घातांक p च्या काही मूल्यांसाठी, पॉवर फंक्शन x च्या नकारात्मक मूल्यांसाठी देखील परिभाषित केले आहे.
या प्रकरणात, त्याचे गुणधर्म सम किंवा विषम वापरून, च्या गुणधर्मांवरून मिळू शकतात. या प्रकरणांवर "" पृष्ठावर चर्चा आणि तपशीलवार वर्णन केले आहे.
पॉवर फंक्शन, y = x p, घातांक p सह खालील गुणधर्म आहेत:
(1.2) सेटवर परिभाषित आणि सतत
या प्रकरणात, त्याचे गुणधर्म सम किंवा विषम वापरून, च्या गुणधर्मांवरून मिळू शकतात. या प्रकरणांवर "" पृष्ठावर चर्चा आणि तपशीलवार वर्णन केले आहे.
पॉवर फंक्शन, y = x p, घातांक p सह खालील गुणधर्म आहेत:
(1.3) येथे,
येथे;
(1.4) पॉवर फंक्शन, y = x p, घातांक p सह खालील गुणधर्म आहेत:
पॉवर फंक्शन, y = x p, घातांक p सह खालील गुणधर्म आहेत:
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

अनेक अर्थ आहेत

सह काटेकोरपणे वाढते,

पॉवर फंक्शनचे मूलभूत गुणधर्म दिले आहेत, ज्यामध्ये सूत्रे आणि मुळांच्या गुणधर्मांचा समावेश आहे. पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न, अविभाज्य, पॉवर मालिका विस्तार आणि जटिल संख्येचे प्रतिनिधित्व सादर केले आहे.
म्हणून काटेकोरपणे कमी होते;गुणधर्मांचा पुरावा "पॉवर फंक्शन (सातत्य आणि गुणधर्मांचा पुरावा)" या पृष्ठावर दिलेला आहे.
.
मुळे - व्याख्या, सूत्रे, गुणधर्म 2, 3, 4, ... - अंश n च्या x संख्येचे मूळही संख्या आहे जी n पॉवर वर वाढवल्यावर x देते:

येथे n =
.
नैसर्गिक संख्या

, एकापेक्षा जास्त.तुम्ही असेही म्हणू शकता की x डिग्री n च्या संख्येचे मूळ हे समीकरणाचे मूळ (म्हणजे समाधान) आहे.

लक्षात घ्या की फंक्शन फंक्शनचा व्यस्त आहे. x चे वर्गमूळ

डिग्री 2 चे मूळ आहे: .

x चे घनमूळ डिग्री 3 चे मूळ आहे: .अगदी पदवी 0 सम शक्तींसाठी n =
.
2 मी
.

, रूट x ≥ साठी परिभाषित केले आहे

.

एक सूत्र जे सहसा वापरले जाते ते सकारात्मक आणि नकारात्मक x दोन्हीसाठी वैध आहे:
;
.

वर्गमूळासाठी:

ऑपरेशन्स ज्या क्रमाने केल्या जातात तो येथे महत्त्वाचा आहे - म्हणजे, प्रथम वर्ग केला जातो, परिणामी एक नॉन-ऋणात्मक संख्या येते आणि नंतर त्यातून मूळ घेतले जाते (वर्गमूळ गैर-ऋणात्मक संख्येवरून घेतले जाऊ शकते. ). जर आपण क्रम बदलला: , तर ऋण x साठी मूळ अपरिभाषित असेल आणि त्यासह संपूर्ण अभिव्यक्ती अपरिभाषित असेल.
.
विषम पदवी 0 विषम शक्तींसाठी, सर्व x साठी रूट परिभाषित केले आहे:
;
;
, ;
.

हे सूत्र चलांच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी देखील लागू केले जाऊ शकतात.

सम शक्तींची मूलगामी अभिव्यक्ती नकारात्मक नाही हे सुनिश्चित करणे आवश्यक आहे.

खाजगी मूल्ये
0 चे मूळ 0 आहे: .
रूट 1 बरोबर 1: .
0 चे वर्गमूळ 0 आहे: .

1 चे वर्गमूळ 1: .

उदाहरण. मुळे च्या मूळ
.
मुळांच्या वर्गमूळाचे उदाहरण पाहू:
.
वरील सूत्रांचा वापर करून आतील वर्गमूळाचे रूपांतर करूया:
.
आता मूळ रूटचे रूपांतर करूया:
.

तर,

घातांक p च्या भिन्न मूल्यांसाठी y = x p.

येथे वितर्क x च्या नकारात्मक नसलेल्या मूल्यांसाठी फंक्शनचे आलेख आहेत.

x च्या नकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केलेल्या पॉवर फंक्शनचे आलेख "पॉवर फंक्शन, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" या पृष्ठावर दिले आहेत.

व्यस्त कार्य

घातांक p सह पॉवर फंक्शनचे व्यस्त हे घातांक 1/p असलेले पॉवर फंक्शन आहे.

जर, तर.
;

पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न

nव्या ऑर्डरचे व्युत्पन्न:

सूत्रे प्राप्त करणे >>> 1 ;
.

पॉवर फंक्शनचे इंटिग्रल

P ≠ - 1 < x < 1 पॉवर मालिका विस्तार

येथे -

खालील विघटन होते:
जटिल संख्या वापरून अभिव्यक्ती जटिल व्हेरिएबल z चे कार्य विचारात घ्या:.
f
(z) = z t
मोड्यूलस r आणि वितर्क φ (r = |z|) च्या दृष्टीने जटिल चल z व्यक्त करू या:
z = r e i φ .
आम्ही वास्तविक आणि काल्पनिक भागांच्या स्वरूपात t जटिल संख्या दर्शवतो:

t = p + i q .
,

आमच्याकडे आहे: 0 पुढे, आम्ही हे लक्षात घेतो की युक्तिवाद φ अद्वितीयपणे परिभाषित केलेला नाही:
.

q = तेव्हा केस विचारात घेऊ
.
, म्हणजे, घातांक एक वास्तविक संख्या आहे, t = p.

मग जर p पूर्णांक असेल, तर kp पूर्णांक असेल. मग, त्रिकोणमितीय कार्यांच्या नियतकालिकतेमुळे:म्हणजेच, दिलेल्या z साठी पूर्णांक घातांकासह घातांकीय फंक्शनचे फक्त एक मूल्य असते आणि त्यामुळे ते अस्पष्ट असते. जर p अपरिमेय असेल, तर कोणत्याही k साठी उत्पादने kp पूर्णांक तयार करत नाहीत. k मूल्यांच्या अनंत मालिकेतून चालते k = 0, 1, 2, 3, ...

, नंतर फंक्शन z p मध्ये अमर्यादपणे अनेक मूल्ये आहेत. जेव्हाही वितर्क z वाढवले जाते
2π (एक वळण), आपण फंक्शनच्या नवीन शाखेत जाऊ.जर p तर्कसंगत असेल, तर ते असे दर्शविले जाऊ शकते:
.
, कुठे m, n- पूर्णांक ज्यामध्ये सामान्य विभाजक नसतात. मग प्रथम n मूल्ये, k = k सह 0 = 0, 1, 2, ... n-1
.
, एन द्या भिन्न अर्थ kp:
.
तथापि, त्यानंतरची मूल्ये पूर्णांकानुसार मागील मूल्यांपेक्षा भिन्न असलेली मूल्ये देतात. उदाहरणार्थ, जेव्हा k = k 0+n आमच्याकडे आहे:, समान मूल्ये आहेत. म्हणून, k मध्ये आणखी वाढ करून, आम्हाला k = k साठी z p ची समान मूल्ये मिळतात m, n.

अशा प्रकारे, परिमेय घातांकासह घातांकीय कार्य बहुमूल्य आहे आणि त्याला n मूल्ये (शाखा) आहेत. जेव्हाही वितर्क z वाढवले जाते आमच्याकडे आहे:(एक वळण), आपण फंक्शनच्या नवीन शाखेत जाऊ. अशा क्रांतीनंतर आपण पहिल्या शाखेकडे परत येऊ जिथून काउंटडाउन सुरू झाले.

विशेषतः, डिग्री n च्या रूटमध्ये n मूल्ये आहेत. उदाहरण म्हणून, वास्तविक धन संख्या z = x च्या nव्या मूळचा विचार करा. या प्रकरणात φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
तर, वर्गमूळासाठी, n = अगदी k साठी,(- 1 ) k = 1 ..
विषम k साठी,

(- 1 ) k = - 1
म्हणजेच, वर्गमूळाचे दोन अर्थ आहेत: + आणि -.

वापरलेले साहित्य: I.N. ब्रॉनस्टीन, के.ए. सेमेंड्येव, अभियंते आणि महाविद्यालयीन विद्यार्थ्यांसाठी गणिताचे हँडबुक, "लॅन", 2009.विषय "पदवीचे मूळ" n"हे दोन धड्यांमध्ये विभागणे उचित आहे. पहिल्या धड्यात, घनमूळ विचारात घ्या, त्याच्या गुणधर्मांची अंकगणिताशी तुलना करा. I.N. ब्रॉनस्टीन, के.ए. सेमेंड्येव, अभियंते आणि महाविद्यालयीन विद्यार्थ्यांसाठी गणिताचे हँडबुक, "लॅन", 2009.वर्गमूळ

आणि या क्यूब रूट फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या. त्यानंतर दुसऱ्या धड्यात विद्यार्थ्यांना ताजची संकल्पना अधिक चांगल्या प्रकारे समजेल
-वी पदवी. दोन प्रकारच्या मुळांची तुलना केल्याने तुम्हाला मूळ चिन्हाखाली नकारात्मक अभिव्यक्तींमधील मूल्यांच्या उपस्थितीत "नमुनेदार" त्रुटी टाळण्यास मदत होईल.

दस्तऐवज सामग्री पहा

"क्यूबिक रूट"

धड्याचा विषय: घनमूळ

झिखारेव सेर्गेई अलेक्सेविच, गणिताचे शिक्षक, MKOU “पोझिलिंस्काया माध्यमिक शाळा क्रमांक 13”
धड्याची उद्दिष्टे:
घनमूळ संकल्पना सादर करा;
घनमुळांची गणना करण्याचे कौशल्य विकसित करा;

अंकगणित वर्गमूळाचे ज्ञान पुन्हा करा आणि सामान्यीकरण करा;

राज्य परीक्षेची तयारी सुरू ठेवा. d.z तपासत आहे.खालीलपैकी एक संख्या समन्वय रेषेवर बिंदूसह चिन्हांकित केली आहे

ए

. हा नंबर टाका. शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? ?

संख्येचे वर्गमूळ किती आहे? शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? ?

ए

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ काय आहे?

वर्गमूळ कोणती मूल्ये घेऊ शकतात? मूलगामी अभिव्यक्ती ही ऋण संख्या असू शकते का?डेटा हेही

भौमितिक संस्था

घनाचे नाव द्या

क्यूबमध्ये कोणते गुणधर्म असतात?

घनाची मात्रा कशी शोधायची?

घनाची बाजू समान असल्यास त्याचे आकारमान शोधा:

चला समस्या सोडवू घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.घनाची धार असू द्या घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.एक्स घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.सेमी, तर घनाची मात्रा आहे

³ सेमी³. अटीनुसार घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.³ = 125.

त्यामुळे, घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.= 5 सेमी. घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.क्रमांक = 5 हे समीकरणाचे मूळ आहे³ = 125. या क्रमांकाला म्हणतात घनमूळकिंवा

तिसरे मूळ

125 क्रमांकावरून. शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत?या क्रमांकावर कॉल केला जातो b, ज्याची तिसरी शक्ती समान आहे शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? .

पदनाम.

घनमूळ संकल्पना सादर करण्याचा आणखी एक दृष्टीकोन

निर्दिष्ट मूल्यानुसार घन कार्य शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत?, तुम्ही या बिंदूवर क्यूबिक फंक्शनच्या वितर्काचे मूल्य शोधू शकता. ते समान असेल, कारण मूळ काढणे ही शक्ती वाढवण्याची व्यस्त क्रिया आहे.

चौरस मुळे.

व्याख्या. a चे वर्गमूळ ज्या संख्येचा वर्ग समान आहे त्याला नाव द्या शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? .

व्याख्या. a चे अंकगणित वर्गमूळ एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? .

पदनाम वापरा:

येथे शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत?

घन मुळे.

व्याख्या. घनमूळ क्रमांक a पासून ज्या संख्येचा घन समान आहे त्याला नाव द्या शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? .

पदनाम वापरा:

"चे घनमूळ शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत?", किंवा

"चे 3रे मूळ शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? »

अभिव्यक्ती कोणत्याही साठी अर्थ प्राप्त होतो शेवटची तीन कार्ये कोणत्या संकल्पनेशी संबंधित आहेत? .

MyTestStudent प्रोग्राम लाँच करा.

"9वी वर्ग धडा" चाचणी उघडा.

एक मिनिट विश्रांती

कोणत्या धड्यात किंवा

तू आयुष्यात भेटलास

रूट संकल्पनेसह?

"समीकरण"

जेव्हा तू समीकरण सोडवशील तेव्हा मित्रा,

आपण त्याला शोधले पाहिजे पाठीचा कणा

पत्राचा अर्थ तपासणे सोपे आहे,

समीकरणात काळजीपूर्वक ठेवा.

जर तुम्ही खरी समानता मिळवाल,

ते रूट अर्थाला लगेच कॉल करा.

कोझमा प्रुत्कोव्हचे "मूळाकडे पहा" हे विधान तुम्हाला कसे समजते?

ही अभिव्यक्ती कधी वापरली जाते?

साहित्य आणि तत्त्वज्ञानात "दुष्टाचे मूळ" ही संकल्पना आहे.

तुम्हाला ही अभिव्यक्ती कशी समजते?

ही अभिव्यक्ती कोणत्या अर्थाने वापरली जाते?

याचा विचार करा, घनमूळ काढणे नेहमीच सोपे आणि अचूक असते का?

तुम्ही अंदाजे घनमूळ मूल्ये कशी शोधू शकता?

फंक्शनचा आलेख वापरणे येथे = घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.³, तुम्ही काही संख्यांच्या घनमूळांची अंदाजे गणना करू शकता.

फंक्शनचा आलेख वापरणे

येथे = घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.³ मौखिकपणे मुळांचा अंदाजे अर्थ शोधा.

फंक्शन्स ग्राफशी संबंधित आहेत का?

ठिपके: A(8;2); (२१६;–६) मध्ये?

घनमूळाची मूलगामी अभिव्यक्ती नकारात्मक असू शकते का?

घनमूळ आणि वर्गमूळ यात काय फरक आहे?

घनमूळ ऋण असू शकते का?

थर्ड डिग्रीचे रूट परिभाषित करा.

मुख्य उद्दिष्टे:

1) y= संबंधाशी संबंधित परिमाणांचे उदाहरण वापरून वास्तविक प्रमाणांच्या अवलंबनांच्या सामान्यीकृत अभ्यासाच्या व्यवहार्यतेची कल्पना तयार करा

२) आलेख y= आणि त्याचे गुणधर्म तयार करण्याची क्षमता विकसित करणे;

3) तोंडी आणि लेखी गणना, वर्गीकरण, वर्गमूळ काढणे या तंत्रांची पुनरावृत्ती करा आणि एकत्रित करा.

उपकरणे, प्रात्यक्षिक साहित्य: हँडआउट्स.

1. अल्गोरिदम:

2. गटांमध्ये कार्य पूर्ण करण्यासाठी नमुना:

3. स्वतंत्र कामाच्या स्वयं-चाचणीसाठी नमुना:

4. परावर्तन टप्प्यासाठी कार्ड:

1) y= फंक्शनचा आलेख कसा काढायचा हे मला समजले.

२) मी आलेख वापरून त्याचे गुणधर्म सूचीबद्ध करू शकतो.

3) मी स्वतंत्र कामात चुका केल्या नाहीत.

4) मी माझ्या स्वतंत्र कामात चुका केल्या (या चुका सूचीबद्ध करा आणि त्यांचे कारण सूचित करा).

धडा प्रगती

1. शैक्षणिक क्रियाकलापांसाठी आत्मनिर्णय

स्टेजचा उद्देश:

1) विद्यार्थ्यांना शैक्षणिक क्रियाकलापांमध्ये समाविष्ट करा;

२) धड्याची सामग्री निश्चित करा: आम्ही वास्तविक संख्येसह कार्य करणे सुरू ठेवतो.

स्टेज 1 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

- शेवटच्या धड्यात आपण काय अभ्यास केला? (आम्ही वास्तविक संख्यांचा संच, त्यांच्यासह ऑपरेशन्सचा अभ्यास केला, फंक्शनच्या गुणधर्मांचे वर्णन करण्यासाठी एक अल्गोरिदम तयार केला, 7 व्या वर्गात पुनरावृत्ती केलेल्या फंक्शन्सचा अभ्यास केला).

- आज आपण वास्तविक संख्यांच्या संचासह, फंक्शनसह कार्य करणे सुरू ठेवू.

2. ज्ञान अद्यतनित करणे आणि क्रियाकलापांमधील अडचणी रेकॉर्ड करणे

स्टेजचा उद्देश:

1) शैक्षणिक सामग्री अद्यतनित करा जी नवीन सामग्रीच्या आकलनासाठी आवश्यक आणि पुरेशी आहे: कार्य, स्वतंत्र चल, अवलंबून चल, आलेख

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) नवीन सामग्रीच्या आकलनासाठी आवश्यक आणि पुरेशी मानसिक ऑपरेशन्स अद्यतनित करा: तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण;

3) सर्व पुनरावृत्ती संकल्पना आणि अल्गोरिदम आकृती आणि चिन्हांच्या स्वरूपात रेकॉर्ड करा;

4) क्रियाकलापातील वैयक्तिक अडचण रेकॉर्ड करा, वैयक्तिकरित्या महत्त्वपूर्ण स्तरावर विद्यमान ज्ञानाची अपुरीता दर्शवा.

स्टेज 2 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

1. आपण प्रमाणांमधील अवलंबित्व कसे सेट करू शकता हे लक्षात ठेवूया? (मजकूर, सूत्र, सारणी, आलेख वापरणे)

2. फंक्शनला काय म्हणतात? (दोन प्रमाणांमधील संबंध, जिथे एका व्हेरिएबलचे प्रत्येक मूल्य दुसऱ्या व्हेरिएबलच्या एका मूल्याशी संबंधित असते y = f(x)).

x चे नाव काय आहे? (स्वतंत्र चल - युक्तिवाद)

y चे नाव काय आहे? (अवलंबित चल).

3. 7 व्या वर्गात आम्ही फंक्शन्सचा अभ्यास केला? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

वैयक्तिक कार्य:

y = kx + m, y =x 2, y = फंक्शन्सचा आलेख किती आहे?

3. अडचणींची कारणे ओळखणे आणि क्रियाकलापांसाठी लक्ष्य निश्चित करणे

स्टेजचा उद्देश:

1) संप्रेषणात्मक परस्परसंवाद आयोजित करा, ज्या दरम्यान शिकण्याच्या क्रियाकलापांमध्ये अडचण निर्माण करणाऱ्या कार्याची विशिष्ट मालमत्ता ओळखली जाते आणि रेकॉर्ड केली जाते;

२) धड्याचा उद्देश आणि विषयावर सहमत.

स्टेज 3 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

- या टास्कमध्ये विशेष काय आहे? (अवलंबन हे सूत्र y = द्वारे दिले जाते जे आपण अद्याप अनुभवले नाही.)

- धड्याचा उद्देश काय आहे? (फंक्शन y =, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख यांच्याशी परिचित व्हा. अवलंबित्वाचा प्रकार निश्चित करण्यासाठी, सूत्र आणि आलेख तयार करण्यासाठी टेबलमधील फंक्शन वापरा.)

- तुम्ही धड्याचा विषय तयार करू शकता का? (फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख).

- तुमच्या वहीत विषय लिहा.

4. अडचणीतून बाहेर पडण्यासाठी प्रकल्पाचे बांधकाम

स्टेजचा उद्देश:

1) कृतीची एक नवीन पद्धत तयार करण्यासाठी संप्रेषणात्मक परस्परसंवाद आयोजित करा ज्यामुळे ओळखलेल्या अडचणीचे कारण दूर होईल;

2) निराकरण नवीन मार्गप्रतिकात्मक, शाब्दिक स्वरूपात आणि मानक वापरून क्रिया.

चौथ्या टप्प्यावर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

या टप्प्यावरील कार्य गटांमध्ये आयोजित केले जाऊ शकते, गटांना y = आलेख तयार करण्यास सांगून, नंतर परिणामांचे विश्लेषण करा. अल्गोरिदम वापरून दिलेल्या फंक्शनच्या गुणधर्मांचे वर्णन करण्यासाठी गटांना देखील सांगितले जाऊ शकते.

5. बाह्य भाषणात प्राथमिक एकत्रीकरण

स्टेजचा उद्देश: अभ्यास केलेली शैक्षणिक सामग्री बाह्य भाषणात रेकॉर्ड करणे.

स्टेज 5 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

y= - चा आलेख तयार करा आणि त्याचे गुणधर्म वर्णन करा.

गुणधर्म y= - .

1. फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन.

2. फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी.

3. y = 0, y > 0, y<0.

y =0 जर x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.फंक्शन्स वाढवणे, कमी करणे.

फंक्शन x म्हणून कमी होते.

चला y= चा आलेख बनवू.

त्याचा भाग विभागावर निवडा. आमच्याकडे आहे याची नोंद घ्या x = 1 साठी = 1 आणि y कमाल. x = 9 वर =3.

उत्तरः आमच्या नावावर. = 1, y कमाल. =3

6. मानकानुसार स्व-चाचणीसह स्वतंत्र कार्य

स्टेजचा उद्देश: स्वयं-चाचणीच्या मानकाशी तुमच्या सोल्यूशनची तुलना करून मानक परिस्थितीत नवीन शैक्षणिक सामग्री लागू करण्याच्या तुमच्या क्षमतेची चाचणी करणे.

स्टेज 6 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

विद्यार्थी स्वतंत्रपणे कार्य पूर्ण करतात, मानकांविरुद्ध स्व-चाचणी घेतात, विश्लेषण करतात आणि चुका सुधारतात.

चला y= चा आलेख बनवू.

आलेख वापरून, विभागावरील फंक्शनची सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये शोधा.

7. ज्ञान प्रणाली आणि पुनरावृत्ती मध्ये समावेश

स्टेजचा उद्देश: पूर्वी अभ्यासलेल्यासह नवीन सामग्री वापरण्याचे कौशल्य प्रशिक्षित करणे: 2) पुढील धड्यांमध्ये आवश्यक असलेल्या शैक्षणिक सामग्रीची पुनरावृत्ती करा.

स्टेज 7 वर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

समीकरण ग्राफिक पद्धतीने सोडवा: = x – 6.

एक विद्यार्थी ब्लॅकबोर्डवर आहे, बाकीचे नोटबुकमध्ये आहेत.

8. क्रियाकलापांचे प्रतिबिंब

स्टेजचा उद्देश:

1) धड्यात शिकलेली नवीन सामग्री रेकॉर्ड करा;

2) धड्यातील आपल्या स्वतःच्या क्रियाकलापांचे मूल्यांकन करा;

3) धड्याचा निकाल मिळविण्यात मदत करणाऱ्या वर्गमित्रांचे आभार;

4) भविष्यातील शैक्षणिक क्रियाकलापांसाठी दिशानिर्देश म्हणून निराकरण न झालेल्या अडचणी नोंदवा;

५) तुमचा गृहपाठ चर्चा करा आणि लिहा.

आठव्या टप्प्यावर शैक्षणिक प्रक्रियेचे आयोजन:

- मित्रांनो, आज आमचे ध्येय काय होते? (फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख अभ्यासा).

- कोणत्या ज्ञानाने आम्हाला आमचे ध्येय साध्य करण्यात मदत केली? (नमुने शोधण्याची क्षमता, आलेख वाचण्याची क्षमता.)

- वर्गातील तुमच्या क्रियाकलापांचे विश्लेषण करा. (प्रतिबिंब असलेली कार्डे)

गृहपाठ

परिच्छेद १३ (उदाहरण २ च्या आधी) № 13.3, 13.4

समीकरण ग्राफिक पद्धतीने सोडवा:

फंक्शनचा आलेख तयार करा आणि त्याच्या गुणधर्मांचे वर्णन करा.

मित्रांनो, आम्ही पॉवर फंक्शन्सचा अभ्यास सुरू ठेवतो. आजच्या धड्याचा विषय फंक्शन असेल - x चे घनमूळ. घनमूळ म्हणजे काय? समानता समाधानी असल्यास y या संख्येला x चे घनमूळ (तृतीय अंशाचे मूळ) असे म्हणतात: दर्शवा: जेथे x ही मूलगामी संख्या आहे, 3 हा घातांक आहे.

जसे आपण पाहू शकतो, घनमूळ ऋण संख्यांमधून देखील काढता येते. असे दिसून आले की आपले मूळ सर्व संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे. ऋण संख्येचे तिसरे मूळ ऋण संख्येइतके असते. जेव्हा विषम पॉवरवर वाढवले जाते तेव्हा चिन्ह जतन केले जाते, तिसरी शक्ती विषम असते. चला समानता तपासूया: चला. आपण दोन्ही अभिव्यक्ती तिसऱ्या बळावर वाढवू या नंतर किंवा मुळांच्या नोटेशनमध्ये आपल्याला इच्छित ओळख प्राप्त होईल.

मित्रांनो, आता आपल्या फंक्शनचा आलेख बनवू. 1) व्याख्येचे क्षेत्र वास्तविक संख्यांचा संच आहे. 2) फंक्शन विषम आहे, कारण पुढे आपण x 0 वर आपले फंक्शन विचारात घेऊ, त्यानंतर आपण मूळच्या सापेक्ष आलेख प्रदर्शित करू. 3) फंक्शन x 0 प्रमाणे वाढते. आमच्या फंक्शनसाठी, वितर्काचे मोठे मूल्य फंक्शनच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित आहे, म्हणजे वाढ. 4) फंक्शन वरून मर्यादित नाही. किंबहुना, अनियंत्रितपणे मोठ्या संख्येवरून आपण तिसरे मूळ काढू शकतो, आणि वितर्काची कधीही मोठी मूल्ये शोधून आपण अनिश्चित काळासाठी वर जाऊ शकतो. 5) जेव्हा x 0 हे सर्वात लहान मूल्य 0 असते. हा गुणधर्म स्पष्ट आहे.

व्याख्याच्या संपूर्ण डोमेनवर फंक्शनचा आपला आलेख तयार करू. लक्षात ठेवा की आमचे कार्य विषम आहे. फंक्शनचे गुणधर्म: 1) D(y)=(-;+) 2) विषम फंक्शन. 3) (-;+) ने वाढते 4) अमर्यादित. 5) कोणतेही किमान किंवा कमाल मूल्य नाही. 6) फंक्शन संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत चालू असते. ७) E(y)= (-;+). 8) उत्तल खाली (-;0) ने, उत्तल वरच्या दिशेने (0;+).

उदाहरण. फंक्शनचा आलेख काढा आणि तो वाचा. उपाय. आपल्या परिस्थिती लक्षात घेऊन एकाच समन्वय समतलावर फंक्शन्सचे दोन आलेख बनवू. x-1 साठी आपण क्यूबिक रूटचा आलेख तयार करतो आणि x-1 साठी आपण रेखीय कार्याचा आलेख तयार करतो. 1) D(y)=(-;+) 2) फंक्शन सम किंवा विषम नाही. 3) (-;-1) ने कमी होते, (-1;+) ने वाढते 4) वरून अमर्यादित, खालून मर्यादित. 5) कोणतेही मोठे मूल्य नाही. सर्वात लहान मूल्य वजा एक आहे. 6) फंक्शन संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत चालू असते. ७) E(y)= (-1;+)