अनुक्रमांची मर्यादा कशी मोजायची? अनुक्रमाची अंतिम मर्यादा निश्चित करणे

आज वर्गात आपण बघू कठोर अनुक्रमआणि फंक्शनच्या मर्यादेची कठोर व्याख्या, आणि सैद्धांतिक स्वरूपाच्या संबंधित समस्यांचे निराकरण करण्यास देखील शिका. हा लेख प्रामुख्याने नैसर्गिक विज्ञान आणि अभियांत्रिकी वैशिष्ट्यांच्या प्रथम वर्षाच्या विद्यार्थ्यांसाठी आहे ज्यांनी गणितीय विश्लेषणाच्या सिद्धांताचा अभ्यास करण्यास सुरुवात केली आणि उच्च गणिताचा हा विभाग समजून घेण्यात अडचणी आल्या. याव्यतिरिक्त, सामग्री हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी अगदी प्रवेशयोग्य आहे.

साइटच्या अस्तित्वाच्या वर्षांमध्ये, मला अंदाजे खालील सामग्रीसह डझनभर पत्रे मिळाली आहेत: “मला गणितीय विश्लेषण चांगले समजत नाही, मी काय करावे?”, “मला गणित अजिबात समजत नाही, मी आहे माझा अभ्यास सोडण्याचा विचार आहे," इ. आणि खरंच, हे मतनच आहे जे बहुतेक वेळा पहिल्या सत्रानंतर विद्यार्थी गटाला कमी करतात. हे प्रकरण का आहे? कारण विषय अकल्पनीय गुंतागुंतीचा आहे? मुळीच नाही! गणितीय विश्लेषणाचा सिद्धांत इतका अवघड नाही कारण तो विलक्षण आहे. आणि ती कोण आहे यासाठी आपण तिला स्वीकारणे आणि प्रेम करणे आवश्यक आहे =)

चला सर्वात कठीण प्रकरणासह प्रारंभ करूया. पहिली आणि सर्वात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे तुम्हाला तुमचा अभ्यास सोडावा लागणार नाही. योग्यरित्या समजून घ्या, सोडणे, हे नेहमीच वेळेत केले जाईल ;-) अर्थात, जर एक किंवा दोन वर्षांमध्ये तुम्हाला तुमच्या निवडलेल्या वैशिष्ट्यामुळे आजारी वाटत असेल तर होय, तुम्ही त्याबद्दल विचार केला पाहिजे. (आणि रागावू नका!)क्रियाकलाप बदल बद्दल. पण सध्या ते सुरू ठेवण्यासारखे आहे. आणि कृपया "मला काहीही समजत नाही" हे वाक्य विसरा - असे होत नाही की तुम्हाला काहीही समजत नाही.

सिद्धांत खराब असल्यास काय करावे? हे, तसे, केवळ गणितीय विश्लेषणावर लागू होत नाही. जर सिद्धांत वाईट असेल तर प्रथम तुम्हाला सरावावर गंभीरपणे लक्ष केंद्रित करणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, दोन धोरणात्मक कार्ये एकाच वेळी सोडविली जातात:

- प्रथमतः, सैद्धांतिक ज्ञानाचा महत्त्वपूर्ण वाटा सरावातून उदयास आला. आणि म्हणूनच बरेच लोक सिद्धांत समजून घेतात... - ते बरोबर आहे! नाही, नाही, तुम्ही त्याबद्दल विचार करत नाही आहात =)

- आणि, दुसरे म्हणजे, व्यावहारिक कौशल्ये बहुधा तुम्हाला परीक्षेत "खेचून" घेतील, भलेही... पण म्हणून उत्साही होऊ नका! सर्व काही वास्तविक आहे आणि सर्वकाही पुरेसे "वाढवले" जाऊ शकते लहान अटी. गणितीय विश्लेषण हा उच्च गणिताचा माझा आवडता विभाग आहे, आणि म्हणूनच मी तुम्हाला मदत करू शकलो नाही पण मदत करू शकलो:

1ल्या सेमिस्टरच्या सुरुवातीला, अनुक्रम मर्यादा आणि कार्य मर्यादा सहसा समाविष्ट केल्या जातात. हे काय आहेत हे समजत नाही आणि ते कसे सोडवायचे हे माहित नाही? लेखापासून सुरुवात करा कार्य मर्यादा, ज्यामध्ये संकल्पना स्वतःच "बोटांवर" तपासली जाते आणि सर्वात सोप्या उदाहरणांचे विश्लेषण केले जाते. पुढे, विषयावरील धड्यांसह इतर धड्यांद्वारे कार्य करा अनुक्रमांमध्ये, ज्यावर मी आधीच कठोर व्याख्या तयार केली आहे.

असमानता चिन्हे आणि मॉड्यूलस व्यतिरिक्त तुम्हाला कोणती चिन्हे माहित आहेत?

- एक लांब उभी काठी असे वाचते: "असे ते", "असे ते", "असे ते" किंवा "असे ते", आमच्या बाबतीत, स्पष्टपणे, आम्ही एका संख्येबद्दल बोलत आहोत - म्हणून "असे";

– पेक्षा मोठ्या सर्व “en” साठी;

– मॉड्यूलस चिन्हाचा अर्थ अंतर आहे, म्हणजे ही नोंद आम्हाला सांगते की मूल्यांमधील अंतर एप्सिलॉनपेक्षा कमी आहे.

बरं, ते प्राणघातक कठीण आहे का? =)

सरावात प्रभुत्व मिळवल्यानंतर, मी तुम्हाला पुढील परिच्छेदात भेटण्यास उत्सुक आहे:

आणि खरं तर, चला थोडा विचार करूया - क्रमाची कठोर व्याख्या कशी तयार करावी? ...जगात पहिली गोष्ट जी मनात येते व्यावहारिक धडा: "अनुक्रमाची मर्यादा ही ती संख्या आहे ज्याला अनुक्रमाचे सदस्य अपरिमितपणे जवळ येतात."

ठीक आहे, ते लिहूया त्यानंतरचा :

हे समजणे अवघड नाही त्यानंतरचा संख्या -1 आणि सम-संख्येच्या अटींच्या अगदी जवळ जा - "एक" ला.

किंवा कदाचित दोन मर्यादा आहेत? पण मग कोणत्याही अनुक्रमात दहा किंवा वीस का असू शकत नाहीत? या मार्गाने तुम्ही खूप दूर जाऊ शकता. या संदर्भात, असे गृहीत धरणे तर्कसंगत आहे जर अनुक्रमाला मर्यादा असेल, तर ते अद्वितीय आहे.

नोंद : अनुक्रमाला मर्यादा नाही, परंतु त्यापासून दोन अनुवर्ती वेगळे केले जाऊ शकतात (वर पहा), ज्या प्रत्येकाची स्वतःची मर्यादा आहे.

अशा प्रकारे, वरील व्याख्या असमर्थनीय असल्याचे दिसून येते. होय, हे अशा प्रकरणांसाठी कार्य करते (जे मी व्यावहारिक उदाहरणांच्या सरलीकृत स्पष्टीकरणांमध्ये अगदी योग्यरित्या वापरले नाही), परंतु आता आपल्याला कठोर व्याख्या शोधण्याची आवश्यकता आहे.

प्रयत्न दोन: “क्रमाची मर्यादा ही संख्या आहे ज्याकडे अनुक्रमाचे सर्व सदस्य, कदाचित त्यांचे वगळता अंतिमप्रमाण." हे सत्याच्या जवळ आहे, परंतु तरीही पूर्णपणे अचूक नाही. तर, उदाहरणार्थ, अनुक्रम अर्ध्या अटी शून्यापर्यंत पोहोचत नाहीत - ते फक्त त्याच्या समान आहेत =) तसे, "फ्लॅशिंग लाइट" साधारणपणे दोन निश्चित मूल्ये घेते.

सूत्रीकरण स्पष्ट करणे कठीण नाही, परंतु नंतर दुसरा प्रश्न उद्भवतो: गणितीय चिन्हांमध्ये व्याख्या कशी लिहायची? परिस्थितीचे निराकरण होईपर्यंत वैज्ञानिक जगाने या समस्येशी बराच काळ संघर्ष केला प्रसिद्ध उस्ताद, ज्याने, थोडक्यात, शास्त्रीय गणितीय विश्लेषणास त्याच्या सर्व कठोरतेने औपचारिक केले. कॉचीने शस्त्रक्रिया सुचवली परिसर , ज्याने सिद्धांतात लक्षणीय प्रगती केली.

काही मुद्दे आणि त्याचा विचार करा अनियंत्रित- परिसर:

"एप्सिलॉन" चे मूल्य नेहमीच सकारात्मक असते आणि शिवाय, आम्हाला ते स्वतः निवडण्याचा अधिकार आहे. या शेजारी अनेक सदस्य आहेत असे गृहीत धरू (सर्वच आवश्यक नाही)काही क्रम. उदाहरणार्थ, दहावी पद शेजारी आहे हे तथ्य कसे लिहायचे? त्याच्या उजव्या बाजूला असू द्या. मग बिंदूंमधील अंतर आणि "एप्सिलॉन" पेक्षा कमी असावे: . तथापि, जर "x दहावा" बिंदू "a" च्या डावीकडे स्थित असेल, तर फरक नकारात्मक असेल आणि म्हणून चिन्ह त्यात जोडले जाणे आवश्यक आहे. मॉड्यूल: .

व्याख्या: एखाद्या संख्येला जर क्रमाची मर्यादा म्हणतात कोणत्याही साठीत्याचा परिसर (पूर्व-निवडलेले)अशी एक नैसर्गिक संख्या आहे सर्वजास्त संख्या असलेले अनुक्रमाचे सदस्य अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये असतील:

किंवा थोडक्यात: जर

दुसऱ्या शब्दांत, आपण कितीही लहान “एप्सिलॉन” मूल्य घेतले तरीही, लवकरच किंवा नंतर अनुक्रमाची “अनंत शेपटी” पूर्णपणे या परिसरात असेल.

उदाहरणार्थ, अनुक्रमाची “अनंत शेपटी” बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये पूर्णपणे प्रवेश करेल. म्हणून हे मूल्य व्याख्येनुसार अनुक्रमाची मर्यादा आहे. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की ज्या क्रमाची मर्यादा शून्य आहे त्याला म्हणतात अमर्याद.

हे लक्षात घ्यावे की एका क्रमासाठी "अंतहीन शेपटी" म्हणणे यापुढे शक्य नाही. आत येईल“- विषम संख्या असलेले सदस्य खरेतर शून्यासारखे असतात आणि “कुठेही जाऊ नका” =) म्हणूनच व्याख्येमध्ये “दिसेल” हे क्रियापद वापरले जाते. आणि, अर्थातच, यासारख्या क्रमाचे सदस्य देखील "कोठेही जात नाहीत." तसे, संख्या त्याची मर्यादा आहे का ते तपासा.

आता आपण दाखवू की अनुक्रमाला मर्यादा नाही. उदाहरणार्थ, बिंदूच्या शेजारचा विचार करा. हे पूर्णपणे स्पष्ट आहे की अशी कोणतीही संख्या नाही ज्यानंतर सर्व अटी दिलेल्या शेजारच्या भागात संपतील - विषम संज्ञा नेहमी "उणे एक" वर "जंप आउट" होतील. तत्सम कारणास्तव, बिंदूवर कोणतीही मर्यादा नाही.

चला सरावाने सामग्री एकत्रित करूया:

उदाहरण १

अनुक्रमाची मर्यादा शून्य आहे हे सिद्ध करा. बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान शेजारच्या आत असण्याची हमी अनुक्रमातील सर्व सदस्यांना दिलेली संख्या निर्दिष्ट करा.

नोंद : अनेक अनुक्रमांसाठी, आवश्यक नैसर्गिक संख्या मूल्यावर अवलंबून असते - म्हणून नोटेशन.

उपाय: विचार करा अनियंत्रित आहे का?संख्या – जास्त संख्या असलेले सर्व सदस्य या अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये असतील:

आवश्यक संख्येचे अस्तित्व दर्शविण्यासाठी, आम्ही ते द्वारे व्यक्त करतो.

"en" च्या कोणत्याही मूल्यासाठी, मॉड्यूलस चिन्ह काढले जाऊ शकते:

आम्ही वर्गात पुनरावृत्ती केलेल्या असमानतेसह "शाळा" क्रिया वापरतो रेखीय असमानताआणि फंक्शन डोमेन. या प्रकरणात, एक महत्त्वाची परिस्थिती अशी आहे की "एप्सिलॉन" आणि "एन" सकारात्मक आहेत:

डावीकडे आम्ही नैसर्गिक संख्यांबद्दल बोलत आहोत आणि उजवी बाजूसामान्य बाबतीत अंशात्मक आहे, नंतर ते गोलाकार करणे आवश्यक आहे:

नोंद : काहीवेळा एक युनिट सुरक्षित बाजूला राहण्यासाठी उजवीकडे जोडले जाते, परंतु प्रत्यक्षात हे ओव्हरकिल आहे. तुलनेने बोलायचे झाले तर, जर आपण गोल करून परिणाम कमकुवत केला, तर सर्वात जवळची योग्य संख्या (“तीन”) तरीही मूळ असमानता पूर्ण करेल.

आता आपण असमानतेकडे पाहतो आणि सुरुवातीला आपण काय विचार केला ते लक्षात ठेवतो अनियंत्रित-परिसर, i.e. "एप्सिलॉन" च्या बरोबरीचे असू शकते कोणीहीएक सकारात्मक संख्या.

निष्कर्ष: एखाद्या बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान-शेजारसाठी, मूल्य आढळले . अशा प्रकारे, संख्या ही व्याख्येनुसार अनुक्रमाची मर्यादा आहे. Q.E.D.

तसे, प्राप्त परिणाम पासून एक नैसर्गिक नमुना स्पष्टपणे दृश्यमान आहे: शेजार जितका लहान असेल तितकी संख्या मोठी असेल, त्यानंतर अनुक्रमातील सर्व सदस्य या शेजारच्या भागात असतील. परंतु "एप्सिलॉन" कितीही लहान असले तरीही, आत आणि बाहेर नेहमीच एक "अनंत शेपटी" असेल - जरी ती मोठी असली तरीही अंतिमसदस्यांची संख्या.

तुमचे इंप्रेशन कसे आहेत? =) मी सहमत आहे की हे थोडे विचित्र आहे. पण काटेकोरपणे!कृपया पुन्हा वाचा आणि सर्व गोष्टींचा पुन्हा विचार करा.

चला एक समान उदाहरण पाहू आणि इतर तांत्रिक तंत्रांशी परिचित होऊ:

उदाहरण २

उपाय: क्रमाच्या व्याख्येनुसार ते सिद्ध करणे आवश्यक आहे (मोठ्याने म्हणा!!!).

चला विचार करूया अनियंत्रित- पॉइंट आणि चेकचा शेजारी, ते अस्तित्वात आहे का?नैसर्गिक संख्या - जसे की सर्व मोठ्या संख्येसाठी खालील असमानता असते:

असे अस्तित्व दर्शविण्यासाठी, आपल्याला "एप्सिलॉन" द्वारे "en" व्यक्त करणे आवश्यक आहे. आम्ही मॉड्यूलस चिन्हाखाली अभिव्यक्ती सुलभ करतो:

मॉड्यूल वजा चिन्ह नष्ट करते:

कोणत्याही "en" साठी भाजक सकारात्मक आहे, म्हणून, काठ्या काढल्या जाऊ शकतात:

शफल:

आता आपल्याला काढण्याची गरज आहे वर्गमूळ, परंतु पकड अशी आहे की काही “एप्सिलॉन” साठी उजवीकडील बाजू नकारात्मक असेल. हा त्रास टाळण्यासाठी चला मजबूत करूयामॉड्यूलस द्वारे असमानता:

हे का करता येईल? जर, तुलनेने बोलणे, असे दिसून आले की , नंतर स्थिती देखील समाधानी होईल. मॉड्यूल करू शकते फक्त वाढवानंबर हवा होता, आणि तो आम्हालाही शोभेल! ढोबळमानाने बोलायचे झाले तर शंभरावा योग्य असेल तर दोनशेवाही योग्य! व्याख्येनुसार, आपल्याला दर्शविणे आवश्यक आहे संख्येच्या अस्तित्वाची वस्तुस्थिती(किमान काही), ज्यानंतर अनुक्रमातील सर्व सदस्य -परिसरात असतील. तसे, आम्ही उजव्या बाजूच्या वरच्या बाजूच्या अंतिम फेरीला घाबरत नाही.

मूळ काढणे:

आणि परिणाम गोलाकार:

निष्कर्ष: कारण "एप्सिलॉन" मूल्य अनियंत्रितपणे निवडले गेले, नंतर बिंदूच्या कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान शेजारसाठी मूल्य आढळले , जसे की सर्व मोठ्या संख्येसाठी असमानता असते . अशा प्रकारे, व्याख्येनुसार. Q.E.D.

मी सल्ला देतो विशेषतःअसमानता मजबूत करणे आणि कमकुवत करणे हे समजणे हे गणितीय विश्लेषणातील एक सामान्य आणि सामान्य तंत्र आहे. या किंवा त्या कृतीची शुद्धता ही आपल्याला निरीक्षण करण्याची आवश्यकता आहे. तर, उदाहरणार्थ, असमानता कोणत्याही परिस्थितीत ते शक्य नाही सोडविणे, वजा करणे, म्हणा, एक:

पुन्हा, सशर्त: जर संख्या तंतोतंत बसत असेल, तर मागील एक यापुढे फिट होणार नाही.

साठी खालील उदाहरण आहे स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण ३

अनुक्रमाची व्याख्या वापरून, ते सिद्ध करा

धड्याच्या शेवटी एक लहान उपाय आणि उत्तर.

जर क्रम अमर्यादपणे मोठे, नंतर मर्यादेची व्याख्या अशाच प्रकारे तयार केली जाते: बिंदूला अनुक्रमाची मर्यादा असे म्हटले जाते, जर काही असेल तर, तुम्हाला आवडेल तितके मोठेसंख्या, अशी संख्या आहे की सर्व मोठ्या संख्येसाठी, असमानता पूर्ण केली जाईल. क्रमांकावर कॉल केला जातो बिंदू "प्लस अनंत" च्या जवळपास:

दुसऱ्या शब्दांत, जे काही महान मूल्यकाहीही असले तरी, क्रमाची "अनंत शेपटी" निश्चितपणे बिंदूच्या शेजारच्या भागात जाईल, डावीकडे केवळ मर्यादित संख्या सोडेल.

मानक उदाहरण:

आणि संक्षिप्त नोटेशन: , जर

केससाठी, व्याख्या स्वतः लिहा. योग्य आवृत्ती धड्याच्या शेवटी आहे.

आपण आपले हात मिळविल्यानंतर व्यावहारिक उदाहरणेआणि क्रमाच्या मर्यादेची व्याख्या शोधून काढली आहे, तुम्ही गणितीय विश्लेषण आणि/किंवा तुमच्या व्याख्यानाच्या नोटबुकवरील साहित्याकडे वळू शकता. मी बोहानचा खंड १ डाउनलोड करण्याची शिफारस करतो (सोपे - पत्रव्यवहार विद्यार्थ्यांसाठी)आणि फिकटेनहोल्ट्झ (अधिक तपशीलवार आणि तपशीलवार). इतर लेखकांपैकी, मी पिस्कुनोव्हची शिफारस करतो, ज्याचा अभ्यासक्रम तांत्रिक विद्यापीठांसाठी आहे.

क्रमाची मर्यादा, त्यांचे पुरावे, परिणाम यांच्याशी संबंधित प्रमेयांचा प्रामाणिकपणे अभ्यास करण्याचा प्रयत्न करा. सुरुवातीला, सिद्धांत "ढगाळ" वाटू शकतो, परंतु हे सामान्य आहे - आपल्याला फक्त त्याची सवय करणे आवश्यक आहे. आणि अनेकांना त्याची चवही चाखायला मिळेल!

फंक्शनच्या मर्यादेची कठोर व्याख्या

चला त्याच गोष्टीपासून सुरुवात करूया - कसे तयार करावे ही संकल्पना? फंक्शनच्या मर्यादेची मौखिक व्याख्या खूप सोपी बनवली आहे: “x” सोबत असल्यास संख्या ही फंक्शनची मर्यादा असते. (डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्ही), संबंधित फंक्शन मूल्यांचा कल » (रेखाचित्र पहा). सर्व काही सामान्य असल्याचे दिसते, परंतु शब्द हे शब्द आहेत, अर्थ अर्थ आहे, चिन्ह एक चिन्ह आहे आणि पुरेसे कठोर गणितीय नोटेशन नाहीत. आणि दुसऱ्या परिच्छेदात आपण या समस्येचे निराकरण करण्याच्या दोन पद्धतींशी परिचित होऊ.

बिंदूच्या संभाव्य अपवादासह, फंक्शनला ठराविक अंतराने परिभाषित करू द्या. IN शैक्षणिक साहित्यफंक्शन आहे हे सामान्यतः स्वीकारले जाते नाहीपरिभाषित:

या निवडीवर भर दिला जातो फंक्शनच्या मर्यादेचे सार: "x" असीम बंददृष्टिकोन , आणि फंक्शनची संबंधित मूल्ये आहेत असीम बंदते . दुसऱ्या शब्दांत, मर्यादेची संकल्पना बिंदूंकडे “अचूक दृष्टीकोन” दर्शवत नाही, परंतु बहुदा असीम जवळचा अंदाज, फंक्शन बिंदूवर परिभाषित केले आहे की नाही हे महत्त्वाचे नाही.

फंक्शनच्या मर्यादेची पहिली व्याख्या, आश्चर्याची गोष्ट नाही, दोन अनुक्रम वापरून तयार केली जाते. प्रथम, संकल्पना संबंधित आहेत, आणि दुसरे म्हणजे, फंक्शन्सच्या मर्यादांचा सहसा अनुक्रमांच्या मर्यादेनंतर अभ्यास केला जातो.

क्रम विचारात घ्या गुण (रेखांकनावर नाही), मध्यांतर आणि पेक्षा वेगळे, जे अभिसरणते . मग संबंधित फंक्शन व्हॅल्यू देखील तयार होतात संख्या क्रम, ज्याच्या अटी ऑर्डिनेट अक्षावर स्थित आहेत.

Heine नुसार फंक्शनची मर्यादा कोणत्याही साठीगुणांचा क्रम (याच्या मालकीचे आणि वेगळे), जे बिंदूवर एकत्रित होते, फंक्शन व्हॅल्यूजचा संबंधित क्रम बिंदूवर एकत्रित होतो.

एडवर्ड हेन हा जर्मन गणितज्ञ आहे. ...आणि असे काहीही विचार करण्याची गरज नाही, युरोपमध्ये एकच समलिंगी आहे - गे-लुसाक =)

मर्यादेची दुसरी व्याख्या तयार झाली... होय, होय, तुमचे म्हणणे बरोबर आहे. पण प्रथम, त्याची रचना समजून घेऊ. बिंदूच्या अनियंत्रित - शेजारचा विचार करा ("काळा" अतिपरिचित). मागील परिच्छेदावर आधारित, नोंदीचा अर्थ असा आहे काही मूल्यफंक्शन "एप्सिलॉन" शेजारच्या आत स्थित आहे.

आता आपण दिलेल्या शेजारशी संबंधित -परिसर शोधतो (मानसिकरित्या डावीकडून उजवीकडे आणि नंतर वरपासून खालपर्यंत काळ्या ठिपके असलेल्या रेषा काढा). लक्षात ठेवा की मूल्य निवडले आहे लहान विभागाच्या लांबीसह, या प्रकरणात - लहान डाव्या विभागाच्या लांबीसह. शिवाय, “रास्पबेरी” -बिंदूचा शेजारही कमी केला जाऊ शकतो, कारण खालील व्याख्येनुसार अस्तित्वाची वस्तुस्थिती महत्त्वाची आहेहे अतिपरिचित क्षेत्र. आणि, त्याचप्रमाणे, नोटेशनचा अर्थ असा आहे की काही मूल्य "डेल्टा" शेजारच्या आत आहे.

कॉची कार्य मर्यादा: एखाद्या संख्येला एखाद्या बिंदूवरील फंक्शनची मर्यादा म्हणतात if कोणत्याही साठी पूर्व-निवडलेलेअतिपरिचित (तुम्हाला आवडेल तितके लहान), अस्तित्वात आहे-बिंदूच्या शेजारी, अशा, ते: केवळ मूल्ये म्हणून (याच्या मालकीचे)या क्षेत्रात समाविष्ट आहे: (लाल बाण)- त्यामुळे ताबडतोब संबंधित फंक्शन व्हॅल्यूज -नेबरहुडमध्ये प्रवेश करण्याची हमी दिली जाते: (निळे बाण).

मी तुम्हाला चेतावणी दिली पाहिजे की स्पष्टतेसाठी, मी थोडे सुधारित केले आहे, म्हणून अतिवापर करू नका =)

लहान नोंद: , जर

व्याख्येचे सार काय आहे? लाक्षणिकरित्या बोलायचे झाले तर, -परिसर असीमपणे कमी करून, आम्ही फंक्शन व्हॅल्यूजला त्यांच्या मर्यादेपर्यंत "सोबत" ठेवतो, त्यांना कोठेतरी जाण्याचा पर्याय सोडत नाही. अगदी असामान्य, पण पुन्हा कडक! कल्पना पूर्णपणे समजून घेण्यासाठी, शब्दरचना पुन्हा वाचा.

! लक्ष द्या: जर तुम्हाला फक्त तयार करण्याची गरज असेल हेनची व्याख्याकिंवा फक्त कॉची व्याख्याकृपया विसरू नका लक्षणीयप्राथमिक टिप्पण्या: "बिंदूच्या संभाव्य अपवादासह, ठराविक अंतराने परिभाषित केलेल्या कार्याचा विचार करा". मी हे अगदी सुरुवातीला एकदाच सांगितले होते आणि प्रत्येक वेळी त्याची पुनरावृत्ती केली नाही.

गणितीय विश्लेषणाच्या संबंधित प्रमेयानुसार, Heine आणि Cauchy व्याख्या समतुल्य आहेत, परंतु दुसरा पर्याय सर्वात प्रसिद्ध आहे (अर्थातच!), ज्याला "भाषा मर्यादा" देखील म्हणतात:

उदाहरण ४

मर्यादेची व्याख्या वापरून ते सिद्ध करा

उपाय: फंक्शन बिंदू वगळता संपूर्ण संख्या रेषेवर परिभाषित केले आहे. व्याख्या वापरून, आम्ही दिलेल्या बिंदूवर मर्यादेचे अस्तित्व सिद्ध करतो.

नोंद : "डेल्टा" शेजारचे मूल्य "एप्सिलॉन" वर अवलंबून असते, म्हणून पदनाम

चला विचार करूया अनियंत्रित- परिसर. हे मूल्य तपासण्यासाठी वापरणे हे कार्य आहे ते अस्तित्वात आहे का?- परिसर, अशा, जे असमानता पासून असमानता खालीलप्रमाणे आहे .

असे गृहीत धरून, आम्ही शेवटची असमानता बदलतो:
(चतुर्भुज त्रिपदाचा विस्तार केला)

अनुक्रम सदस्य.

जर कोणत्याही ε>0 साठी n=n(ε) संख्या असेल, ज्यापासून |xn-a | सुरू होणारी संख्या असेल तर a ला अनुक्रमाची मर्यादा (xn) म्हणतात.

उदाहरण 2. उदाहरण 1 मध्ये a=1 ही संख्या मागील उदाहरणाच्या अनुक्रमाची मर्यादा नाही हे सिद्ध करा. उपाय. अनुक्रमाची सामान्य संज्ञा पुन्हा सरलीकृत करा. ε=1 घ्या (ही कोणतीही संख्या आहे >

कार्ये थेट गणनामर्यादा क्रम जोरदार नीरस आहेत. त्या सर्वांमध्ये n च्या संदर्भात बहुपदांचे संबंध किंवा या बहुपदींच्या संदर्भात अभिव्यक्ती असतात. सोडवायला सुरुवात करताना, अग्रभागी असलेला घटक कंसातून (मूलभूत चिन्ह) काढा. यामुळे मूळ अभिव्यक्तीच्या अंशासाठी a^p आणि भाजकासाठी b^q असा गुणक दिसू द्या. साहजिकच, उर्वरित सर्व संज्ञांना C/(n-k) असे स्वरूप आहे आणि n> म्हणून शून्याकडे कल आहे.

अनुक्रमाची मर्यादा मोजण्याचा पहिला मार्ग त्याच्या व्याख्येवर आधारित आहे. तथापि, हे लक्षात ठेवावे की ते थेट मर्यादा शोधण्याचे मार्ग प्रदान करत नाही, परंतु कोणतीही संख्या a ही मर्यादा आहे (किंवा नाही) हे सिद्ध करण्याची परवानगी देते उदाहरण 1. हे सिद्ध करा की अनुक्रम (xn)=(. (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) ला मर्यादा आहे a=3.समाधान. उलट क्रमाने व्याख्या लागू करून पुढे जा. म्हणजे उजवीकडून डावीकडे. xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(((3n+1) साठी सूत्र सोपे करणे शक्य आहे का हे पाहण्यासाठी प्रथम तपासा. n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) असमानता विचारात घ्या |(3n+1)/(n+2)-3|0 तुम्हाला कोणतीही सापडेल नैसर्गिक संख्या nε -2+5/ε पेक्षा जास्त.

उदाहरण 2. उदाहरण 1 मध्ये a=1 ही संख्या मागील उदाहरणाच्या अनुक्रमाची मर्यादा नाही हे सिद्ध करा. उपाय. अनुक्रमाची सामान्य संज्ञा पुन्हा सरलीकृत करा. ε=1 घ्या (ही कोणतीही संख्या >0 आहे) समारोपाची असमानता लिहा सामान्य व्याख्या|(3n+1)/(n+2)-1|

अनुक्रमाची मर्यादा थेट मोजण्याच्या समस्या अगदी नीरस आहेत. त्या सर्वांमध्ये n च्या संदर्भात बहुपदांचे संबंध किंवा या बहुपदींच्या संदर्भात अभिव्यक्ती असतात. सोडवणे सुरू करताना, अग्रभागी असलेला घटक कंसातून (मूलभूत चिन्ह) काढा. यामुळे मूळ अभिव्यक्तीच्या अंशासाठी a^p आणि भाजकासाठी b^q असा गुणक दिसू द्या. साहजिकच, उर्वरित सर्व संज्ञांना C/(n-k) असे स्वरूप आहे आणि n>k (n अनंताकडे झुकते) म्हणून शून्याकडे कल आहे. यानंतर, उत्तर लिहा: 0 असल्यास pq.

आम्ही सूचित करणार नाही पारंपारिक मार्गअनुक्रमांची मर्यादा आणि अनंत बेरीज शोधणे. आम्ही फंक्शनल सीक्वेन्स (त्यांच्या फंक्शन टर्म्स काही इंटरव्हल (a,b) वर परिभाषित) वापरू. फॉर्म 1+1/2 ची बेरीज शोधा. +1/3! +…+1/n! +…=s .उपाय. कोणतीही संख्या a^0=1. 1=exp(0) सेट करा आणि कार्यात्मक क्रम (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n) विचारात घ्या, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

टीप २: मी ॲव्हेंजर्सबद्दलचे मार्वल चित्रपट कोणत्या क्रमाने पाहावे?

मार्वल युनिव्हर्स हे मार्वलच्या कॉमिक पुस्तकांवर आधारित आहे, परंतु सर्व कॉमिक बुक रुपांतरे सिनेमॅटिक विश्वाचा भाग नाहीत. फक्त Marvel Studios द्वारे किंवा त्यांच्या सहकार्याने निर्मित चित्रपटांचा समावेश आहे. मार्वल सिनेमॅटिक युनिव्हर्स टप्प्याटप्प्याने विभागले गेले आहे, प्रत्येक चित्रपटात स्वतःचे स्थान आहे. तथापि, मालिका आणि लघुपट, विश्वाचा भाग असल्याने, कालक्रमानुसार टप्प्याटप्प्याने असू शकतात. त्या. सिनेमॅटिक विश्वाच्या विशिष्ट भागांशी संबंधित नसू शकतात.

Netflix आणि ABC मालिका मार्वल विश्वापेक्षा वेगळ्या आहेत. सिनेमॅटिक विश्वाची दोन वैशिष्ट्ये आहेत:

प्रत्येक चित्रपटाची स्वतःची कथा असते;
जागतिक कथानक एका चित्रपटातून दुस-या चित्रपटाकडे सरकते आणि शेवटी प्रत्येकजण हा कथानक पुढे सरकवतो.

एबीसी चॅनल मालिका सिनेमॅटिक विश्वाच्या जागतिक कथानकाशी संबंधित आहेत, परंतु त्याचा प्रचार करत नाहीत, तर केवळ पूरक आहेत. नेटफ्लिक्स मालिका पूर्णपणे स्वतंत्र कथा आहेत, त्यांचे स्वतःचे कथानक आणि त्यांचे स्वतःचे जागतिक जग.

वर्षानुवर्षे, मार्वल विश्व वाढले आहे आणि विस्तारत आहे. त्यामुळे, अप्रस्तुत व्यक्तीला तिच्या चित्रपटांचा कालक्रम समजणे कठीण आहे, कारण प्रत्येकाला हे समजत नाही की तुम्ही “आयर्न मॅन 2” नंतर लगेच “आयर्न मॅन 3” पाहू शकत नाही. आणि समजून घेण्यासाठी, तुम्हाला कालगणनेचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे, ज्यामध्ये तीन टप्प्यांचा समावेश आहे.

पहिला टप्पा:

चित्रपट " लोखंडी माणूस", 2008. हे चित्र 2010 मध्ये पुढील चित्रपट रूपांतरांसाठी पाया आणि सामान्य टोन घालते;
द इनक्रेडिबल हल्क चित्रपट, 2008. या चित्रपटाच्या रूपांतरामध्ये, दर्शकांना हे समजते की दोन भिन्न नायकांच्या कथा एकाच विश्वात घडतात, कारण “आयर्न मॅन” आणि “द इनक्रेडिबल हल्क” या दोन्हींमध्ये S.H.I.E.L.D., “सुपर-सोल्जर” कार्यक्रमाचा उल्लेख आहे, StarkIndusries लोगो आढळतो, इ. . हा चित्रपट 2011 मध्ये घडतो. हा चित्रपट 2003 च्या हल्क चित्रपटाची कथा पुढे चालू ठेवत नाही.
"आयर्न मॅन 2", 2010 हा चित्रपट. ही कथा ॲव्हेंजर्ससाठी एक बीज आहे, कथानकात ब्लॅक विडोची ओळख करून देते, भविष्यातील प्रकल्पांना बरीच पार्श्वभूमी देते आणि आयर्न मॅनच्या पहिल्या भागानंतर एक वर्षानंतर टोनी स्टार्कला आलेल्या नवीन समस्यांबद्दल बोलतात.
चित्रपट "थोर", 2011. ही ॲव्हेंजर्सची तयारी देखील आहे आणि चित्रपटाचे मुख्य ध्येय दर्शकांना थोर आणि लोकीची ओळख करून देणे हे आहे. द इनक्रेडिबल हल्क आणि आयर्न मॅन 2 च्या कथेच्या समांतर कथानक घडते.
चित्रपट "द फर्स्ट ॲव्हेंजर", 2011. हे पृथ्वीवरील पहिल्या सुपरहिरो कॅप्टन अमेरिकेची कथा सांगते, जो हल्कप्रमाणेच “सुपर सोल्जर” सीरममुळे दिसला. चित्रपटाचे पहिले आणि शेवटचे दृश्य 2011 मध्ये घडले आणि मुख्य क्रिया 1943 ते 1945 दरम्यान घडल्या. टेसरॅक्ट, सहा इन्फिनिटी स्टोन्सपैकी एक, चित्रपटात दिसते आणि असे दिसून आले की S.H.I.E.L.D. चे "वडील" SSR (स्ट्रॅटेजिक सायंटिफिक रिझर्व्ह) संस्था होते.
लघुपट "सल्लागार", 2011. द इनक्रेडिबल हल्कचे अंतिम दृश्य येथे स्पष्ट केले आहे.
लघुपट "थोरच्या हॅमरच्या मार्गावर एक मजेदार घटना", 2011.
चित्रपट "द ॲव्हेंजर्स", 2012. कथा 2012 मध्ये घडते, जेव्हा S.H.I.E.L.D. जगाला वाचवण्याच्या फायद्यासाठी, तो "सर्वसाधारण मेळावा" जाहीर करतो.

दुसरा टप्पा:

चित्रपट "आयर्न मॅन 3", 2013. 2012 च्या हिवाळ्यात ही कृती घडली, जेव्हा टोनी स्टार्क न्यूयॉर्कच्या लढाईनंतर घरी परतला, परंतु त्याला भयानक स्वप्नांनी त्रास दिला. तो झोपू शकत नाही आणि नवीन पोशाख तयार करण्यासाठी आपला वेळ घालवतो.
"S.H.I.E.L.D. चे एजंट," 2013 ही मालिका.
चित्रपट "थोर 2: द डार्क वर्ल्ड", 2013. थोर कसा घरी परतला आणि सर्व नऊ जग अराजकतेत बुडाले आहेत हे या चित्रपटात सांगितले आहे. आणि थोरने ऑर्डर कशी पुनर्संचयित केली याबद्दल.
"लाँग लिव्ह द किंग", 2014 हा लघुपट. आयर्न मॅन 3 च्या घटनांनंतर घडणारी ट्रेव्हर स्लॅटरीची ही कथा आहे.
चित्रपट "कॅप्टन अमेरिका: द विंटर सोल्जर", 2014. ही कथा आहे कॅप्टन अमेरिकेची, जो घरी परत येऊ शकत नाही, म्हणून तो नवीन नोकरी शोधतो आणि S.H.I.E.L.D.चा एजंट बनतो, ब्लॅक विधवासोबत एका टीममध्ये काम करतो. S.H.I.E.L.D. च्या एजंट्सच्या 16 आणि 17 भागांदरम्यान हा चित्रपट सर्वोत्तम पाहिला जातो.
चित्रपट "गार्डियन्स ऑफ द गॅलेक्सी", 2014. S.H.I.E.L.D. च्या एजंट्सच्या सीझन 1 नंतर पाहणे आवश्यक आहे. ही कथा आहे ऑफ-अर्थ गुन्हेगारांची जी अधिक धोकादायक गुन्हेगार रोननला इन्फिनिटी स्टोन मिळवण्यापासून रोखण्यासाठी एक संघ तयार करते.
मालिका "एजंट्स ऑफ S.H.I.E.L.D.," दुसरा सीझन, 2014.
टीव्ही मालिका "एजंट कार्टर", 2016. पेगी कार्टर आणि बटलर एडविन जार्विस यांनी हॉवर्ड स्टार्कला त्याचे चांगले नाव परत मिळविण्यात कशी मदत केली याची ही कथा आहे.
चित्रपट "ॲव्हेंजर्स: एज ऑफ अल्ट्रॉन", 2015. या चित्रपटात, ॲव्हेंजर्स जगाला वाचवण्यासाठी पुन्हा एकत्र आले, परंतु यावेळी ते एक पूर्ण टीम बनले. S.H.I.E.L.D. च्या एजंट्सच्या दुसऱ्या सीझनचे भाग 19 आणि 20 च्या दरम्यान पाहणे उत्तम.
चित्रपट "एंट-मॅन", 2015. S.H.I.E.L.D. च्या एजंट्सच्या सीझन 2 नंतर पहा

तिसरा टप्पा:

चित्रपट "कॅप्टन अमेरिका: सिव्हिल वॉर", 2016. सोकोव्हिया करारानंतर, ॲव्हेंजर्सना सरकारचे पालन करणे बंधनकारक आहे, परंतु हे त्यांना दोन शिबिरांमध्ये विभाजित करते: जे नोंदणीसाठी आहेत आणि जे त्याच्या विरोधात आहेत.

हे सर्व चित्रपट यापूर्वीच प्रदर्शित झाले आहेत. पण ती संपूर्ण कथा नाही. तिसऱ्या टप्प्यात आणखी 14 चित्रपट नियोजित आहेत, त्यानंतर चौथ्या टप्प्यात.

संबंधित लेख

स्थिर संख्या एम्हणतात मर्यादा क्रम(x n ), कोणत्याही अनियंत्रितपणे लहान धनात्मक संख्येसाठी असल्यासε > 0 एक संख्या N आहे ज्यामध्ये सर्व मूल्ये आहेत x n, ज्यासाठी n>N, असमानता पूर्ण करते

|x n - a|< ε. (6.1)

ते खालीलप्रमाणे लिहा: किंवा x n → a

असमानता (6.1) दुहेरी असमानतेच्या बरोबरीची आहे

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

म्हणजे गुण x n, काही संख्या n>N पासून सुरू होऊन, मध्यांतराच्या आत (a-ε, a+ ε ), म्हणजे कोणत्याही लहान मध्ये पडणेε -एका बिंदूचा शेजारी ए.

मर्यादा असलेला क्रम म्हणतात अभिसरण, अन्यथा - भिन्न.

फंक्शन मर्यादेची संकल्पना ही अनुक्रम मर्यादेच्या संकल्पनेचे सामान्यीकरण आहे, कारण अनुक्रमाची मर्यादा पूर्णांक वितर्काच्या x n = f(n) फंक्शनची मर्यादा मानली जाऊ शकते. n.

फंक्शन f(x) द्या आणि द्या a - मर्यादा बिंदूया फंक्शन D(f) च्या व्याख्येचे डोमेन, i.e. असा बिंदू, ज्याच्या कोणत्याही अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये D(f) संच व्यतिरिक्त इतर बिंदू आहेत a. डॉट a D(f) संचाशी संबंधित असू शकते किंवा नाही.

व्याख्या १.स्थिर संख्या A म्हणतात मर्यादा कार्ये f(x) येथे x→a, वितर्क मूल्यांच्या कोणत्याही अनुक्रमासाठी (x n ) प्रवृत्ती असल्यास ए, संबंधित अनुक्रमांची (f(x n)) समान मर्यादा A आहे.

ही व्याख्या म्हणतात Heine नुसार फंक्शनची मर्यादा परिभाषित करून,किंवा " क्रमिक भाषेत”.

व्याख्या २. स्थिर संख्या A म्हणतात मर्यादा कार्ये f(x) येथे x→a, जर, अनियंत्रित अनियंत्रितपणे लहान धनात्मक संख्या ε निर्दिष्ट करून, एखादा असा δ शोधू शकतो>0 (ε वर अवलंबून), जे प्रत्येकासाठी आहे x, मध्ये पडून आहेε-संख्येचे अतिपरिचित क्षेत्र ए, म्हणजे साठी x, असमानता समाधानकारक
0 < x-a< ε , फंक्शनची मूल्ये f(x) मध्ये असतीलε-संख्या A चे शेजारी, i.e.|f(x)-A|< ε.

ही व्याख्या म्हणतात कॉचीनुसार फंक्शनची मर्यादा परिभाषित करून,किंवा "भाषेत ε - δ “.

व्याख्या १ आणि २ समतुल्य आहेत. फंक्शन f(x) x → म्हणून असल्यासa आहे मर्यादा, A च्या समान, हे फॉर्ममध्ये लिहिलेले आहे

. (6.3)

अनुक्रम (f(x n)) कोणत्याही अंदाजे पद्धतीच्या मर्यादेशिवाय वाढतो (किंवा कमी होतो) xआपल्या मर्यादेपर्यंत ए, नंतर आपण म्हणू की फंक्शन f(x) आहे अमर्याद मर्यादा,आणि फॉर्ममध्ये लिहा:

व्हेरिएबल (म्हणजे एक अनुक्रम किंवा कार्य) ज्याची मर्यादा शून्य आहे त्याला म्हणतात असीम लहान.

ज्या व्हेरिएबलची मर्यादा अनंताच्या समान आहे त्याला म्हणतात अमर्यादपणे मोठे.

व्यवहारात मर्यादा शोधण्यासाठी, खालील प्रमेये वापरली जातात.

प्रमेय १ . जर प्रत्येक मर्यादा अस्तित्वात असेल

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी द्या. 0/0 सारखे अभिव्यक्ती, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - अनिश्चित आहेत, उदाहरणार्थ, दोन अमर्याद लहान किंवा अमर्याद मोठ्या प्रमाणांचे गुणोत्तर, आणि या प्रकारची मर्यादा शोधणे "अनिश्चितता उघड करणे" असे म्हणतात.

प्रमेय 2. (6.7)

त्या स्थिर घातांकासह शक्तीच्या आधारे कोणीही मर्यादेपर्यंत जाऊ शकतो, विशेषतः, ;

(6.8)

(6.9)

प्रमेय 3.

(6.10)

(6.11)

कुठे e » 2.7 - नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार. सूत्र (6.10) आणि (6.11) यांना प्रथम म्हणतात अद्भुत मर्यादाआणि दुसरी उल्लेखनीय मर्यादा.

सूत्र (6.11) चे परिणाम सराव मध्ये देखील वापरले जातात:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेषतः मर्यादा,

जर x → a आणि त्याच वेळी x > a, नंतर x लिहा→a + 0. जर, विशेषतः, a = 0, तर 0+0 च्या ऐवजी +0 लिहा. त्याचप्रमाणे जर x→a आणि त्याच वेळी x a-0. संख्या आणि त्यानुसार बोलावले जाते योग्य मर्यादाआणि डावी मर्यादा कार्ये f(x) बिंदूवर ए. f(x) फंक्शनची मर्यादा x→ म्हणून असावीa आवश्यक आणि पुरेसे आहे जेणेकरून . फंक्शन f(x) म्हणतात सतत बिंदूवर x 0 मर्यादा असल्यास

. (6.15)

अट (6.15) पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:

म्हणजेच, फंक्शनच्या चिन्हाखाली मर्यादेपर्यंत जाणे शक्य आहे जर ते दिलेल्या बिंदूवर सतत असेल.

जर समानतेचे (6.15) उल्लंघन होत असेल तर आम्ही असे म्हणतो येथे x = xo कार्य f(x) आहे अंतरफंक्शन y = 1/x विचारात घ्या. या फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन सेट आहे आर, x = 0 वगळता. बिंदू x = 0 हा सेट D(f) चा मर्यादा बिंदू आहे, कारण त्याच्या कोणत्याही शेजारी, उदा. बिंदू 0 असलेल्या कोणत्याही खुल्या मध्यांतरामध्ये, D(f) वरून बिंदू आहेत, परंतु ते स्वतः या संचाशी संबंधित नाही. f(x o)= f(0) हे मूल्य परिभाषित केलेले नाही, म्हणून x o = 0 या बिंदूवर फंक्शनमध्ये खंड आहे.

फंक्शन f(x) म्हणतात बिंदूवर उजवीकडे सतत x o मर्यादा असल्यास

आणि बिंदूवर डावीकडे सतत x o, मर्यादा असल्यास

एका बिंदूवर फंक्शनची सातत्य x oउजवीकडे आणि डावीकडे या टप्प्यावर त्याच्या सातत्य समतुल्य आहे.

बिंदूवर फंक्शन सतत राहण्यासाठी x o, उदाहरणार्थ, उजवीकडे, प्रथम, मर्यादित मर्यादा असणे आवश्यक आहे, आणि दुसरे म्हणजे, ही मर्यादा f(x o) च्या समान असणे आवश्यक आहे. म्हणून, या दोनपैकी किमान एक अटी पूर्ण न झाल्यास, कार्य खंडित होईल.

1. जर मर्यादा अस्तित्त्वात असेल आणि ती f(x o) च्या समान नसेल, तर ते म्हणतात कार्य f(x) बिंदूवर x o आहे पहिल्या प्रकारचे फुटणे,किंवा झेप.

2. मर्यादा असल्यास+∞ किंवा -∞ किंवा अस्तित्वात नाही, नंतर ते म्हणतात की मध्ये बिंदू xo फंक्शनमध्ये खंड आहे दुसरा प्रकार.

उदाहरणार्थ, फंक्शन y = cot x at x→ +0 ला +∞ समान मर्यादा आहे, याचा अर्थ x=0 बिंदूवर ते दुसऱ्या प्रकारचे खंडित आहे. फंक्शन y = E(x) (चा पूर्णांक भाग x) संपूर्ण abscissas असलेल्या बिंदूंवर पहिल्या प्रकारची खंडितता किंवा उडी असतात.

मध्यांतरातील प्रत्येक बिंदूवर सतत असणाऱ्या फंक्शनला म्हणतात सततव्ही. एक सतत कार्य घन वक्र द्वारे दर्शविले जाते.

काही प्रमाणाच्या सतत वाढीशी संबंधित अनेक समस्या दुसऱ्या उल्लेखनीय मर्यादेकडे नेतात. अशा कार्यांमध्ये, उदाहरणार्थ, समाविष्ट आहे: चक्रवाढ व्याजाच्या कायद्यानुसार ठेवींची वाढ, देशाच्या लोकसंख्येची वाढ, किरणोत्सर्गी पदार्थांचा क्षय, जीवाणूंचा प्रसार इ.

चला विचार करूया Ya I. Perelman चे उदाहरण, संख्येचा अर्थ सांगणे eचक्रवाढ व्याज समस्येत. क्रमांक eएक मर्यादा आहे . बचत बँकांमध्ये, व्याजाचे पैसे दरवर्षी स्थिर भांडवलात जोडले जातात. जर प्रवेश अधिक वेळा केला गेला तर भांडवल वेगाने वाढते, कारण व्याज निर्मितीमध्ये मोठी रक्कम गुंतलेली असते. चला एक पूर्णपणे सैद्धांतिक, अतिशय सोपी उदाहरण घेऊ. 100 नकार बँकेत जमा करू द्या. युनिट्स वार्षिक 100% वर आधारित. जर व्याजाचे पैसे एका वर्षानंतर स्थिर भांडवलात जोडले गेले तर या कालावधीत 100 डेन. युनिट्स 200 मौद्रिक युनिट्समध्ये बदलेल. आता 100 नकार कशात बदलतात ते पाहू. युनिट्स, जर व्याजाचे पैसे दर सहा महिन्यांनी स्थिर भांडवलात जोडले गेले. सहा महिन्यांनंतर, 100 डेन. युनिट्स 100 पर्यंत वाढेल× 1.5 = 150, आणि आणखी सहा महिन्यांनंतर - 150 वर× 1.5 = 225 (डेन. युनिट्स). जर पदग्रहण वर्षाच्या प्रत्येक 1/3 नंतर केले जाते, तर एक वर्षानंतर 100 डेन. युनिट्स 100 मध्ये बदलेल× (1 +1/3) 3 " 237 (डेन. युनिट्स). व्याजाचे पैसे जोडण्यासाठी आम्ही 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष, इत्यादी अटी वाढवू. मग 100 डेन पैकी. युनिट्स एक वर्षानंतर ते होईल:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (डेन. युनिट्स),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (डेन. युनिट्स),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (डेन. युनिट्स).

व्याज जोडण्याच्या अटींमध्ये अमर्यादित कपात करून, जमा केलेले भांडवल अनिश्चित काळासाठी वाढत नाही, परंतु अंदाजे 271 च्या बरोबरीच्या एका विशिष्ट मर्यादेपर्यंत पोहोचते. जमा केलेले व्याज जरी 100% दराने जमा केलेले भांडवल 2.71 पटीने वाढू शकत नाही. प्रत्येक सेकंदाला कॅपिटलमध्ये जोडले गेले कारण मर्यादा

उदाहरण 3.1.संख्येच्या क्रमाच्या मर्यादेची व्याख्या वापरून, अनुक्रम x n =(n-1)/n ची मर्यादा 1 इतकी आहे हे सिद्ध करा.

उपाय.आपल्याला ते सिद्ध करावे लागेल, काहीही असोε > 0, आपण काय घेतो हे महत्त्वाचे नाही, त्यासाठी एक नैसर्गिक संख्या N आहे जी सर्व n N साठी असमानता ठेवते.|x n -1|< ε.

कोणतेही e > 0 घेऊ. पासून ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, नंतर N शोधण्यासाठी असमानता 1/n सोडवण्यासाठी पुरेसे आहे< e म्हणून n>1/ e आणि म्हणून, N हा 1/ चा पूर्णांक भाग म्हणून घेतला जाऊ शकतो e , N = E(1/ e ). आम्ही त्याद्वारे सिद्ध केले आहे की मर्यादा.

उदाहरण ३.2 . सामान्य पदाद्वारे दिलेल्या अनुक्रमाची मर्यादा शोधा .

उपाय.बेरीज प्रमेयाची मर्यादा लागू करू आणि प्रत्येक पदाची मर्यादा शोधू. जेव्हा एन→ ∞ प्रत्येक पदाचा अंश आणि भाजक अनंताकडे झुकतात आणि आपण थेट भाग मर्यादा प्रमेय लागू करू शकत नाही. म्हणून, प्रथम आपण परिवर्तन करतो x n, पहिल्या पदाचा अंश आणि भाजक भागाकार n 2, आणि दुसरा वर n. नंतर, भागाची मर्यादा आणि बेरीज प्रमेयाची मर्यादा लागू करून, आम्हाला आढळते:

उदाहरण 3.3. . शोधा.

उपाय. .

येथे आपण पदवी प्रमेयाची मर्यादा वापरली आहे: पदवीची मर्यादा बेसच्या मर्यादेइतकी आहे.

उदाहरण ३.4 . शोधा ( ).

उपाय.फरक प्रमेयाची मर्यादा लागू करणे अशक्य आहे, कारण आम्हाला फॉर्मची अनिश्चितता आहे ∞-∞ . चला सामान्य शब्द सूत्र बदलू:

उदाहरण ३.5 . फंक्शन f(x)=2 1/x दिले आहे. कोणतीही मर्यादा नाही हे सिद्ध करा.

उपाय.क्रमाक्रमाद्वारे फंक्शनच्या मर्यादेची व्याख्या 1 वापरू. चला ( x n ) 0 ला अभिसरण करणारा एक क्रम घेऊ, म्हणजे. f(x n)= हे मूल्य वेगवेगळ्या अनुक्रमांसाठी वेगळ्या पद्धतीने वागते हे दाखवू. x n = 1/n समजा. साहजिकच मग मर्यादा आता म्हणून निवडू या x nसामान्य संज्ञा x n = -1/n असलेला अनुक्रम, शून्याकडेही झुकतो. त्यामुळे मर्यादा नाही.

उदाहरण ३.6 . कोणतीही मर्यादा नाही हे सिद्ध करा.

उपाय.x 1 , x 2 ,..., x n ,... हा एक क्रम असू द्या
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n) वेगवेगळ्या x n → ∞ साठी कसा वागतो

जर x n = p n, तर sin x n = sin p n = 0 सर्वांसाठी nआणि मर्यादा जर
x n = 2 p n+ p /2, नंतर sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 सर्वांसाठी nआणि म्हणून मर्यादा. त्यामुळे ते अस्तित्वात नाही.

ऑनलाइन मर्यादा मोजण्यासाठी विजेट

वरच्या विंडोमध्ये, sin(x)/x ऐवजी, फंक्शन प्रविष्ट करा ज्याची मर्यादा तुम्हाला शोधायची आहे. खालच्या विंडोमध्ये, x ज्याकडे झुकतो तो क्रमांक प्रविष्ट करा आणि कॅल्क्युलर बटणावर क्लिक करा, इच्छित मर्यादा मिळवा. आणि रिझल्ट विंडोमध्ये तुम्ही वरच्या उजव्या कोपर्यात स्टेप्स दाखवा वर क्लिक केल्यास, तुम्हाला तपशीलवार उपाय मिळेल.

कार्ये प्रविष्ट करण्याचे नियम: sqrt(x) - वर्गमूळ, cbrt(x) - घनमूळ, exp(x) - घातांक, ln(x) - नैसर्गिक लॉगरिदम, sin(x) - sine, cos(x) - कोसाइन, tan (x) - स्पर्शिका, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. चिन्हे: * गुणाकार, / भागाकार, ^ घातांक, त्याऐवजी अनंतअनंत. उदाहरण: फंक्शन sqrt(tan(x/2)) म्हणून प्रविष्ट केले आहे.

ज्यांना मर्यादा कशी शोधायची ते शिकायचे आहे, या लेखात आम्ही याबद्दल बोलू. आम्ही सिद्धांताचा अभ्यास करणार नाही; शिक्षक सहसा व्याख्याने देतात. त्यामुळे "कंटाळवाणे सिद्धांत" तुमच्या नोटबुकमध्ये लिहून ठेवले पाहिजे. असे नसल्यास, आपण शैक्षणिक संस्थेच्या ग्रंथालयातून किंवा इतर इंटरनेट संसाधनांमधून घेतलेली पाठ्यपुस्तके वाचू शकता.

म्हणून, उच्च गणित अभ्यासक्रमाचा अभ्यास करताना मर्यादेची संकल्पना खूप महत्त्वाची आहे, विशेषत: जेव्हा तुम्ही अविभाज्य कॅल्क्युलस पाहता आणि मर्यादा आणि अविभाज्य यांच्यातील संबंध समजून घेता. सध्याची सामग्री साधी उदाहरणे, तसेच त्यांचे निराकरण करण्याचे मार्ग पाहतील.

उपायांची उदाहरणे

उदाहरण १
गणना करा a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
उपाय
अ) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ लोक सहसा या मर्यादा सोडविण्यास मदत करण्याच्या विनंतीसह आम्हाला पाठवतात. आम्ही त्यांना एक वेगळे उदाहरण म्हणून हायलाइट करण्याचे ठरवले आणि हे स्पष्ट केले की या मर्यादा नियम म्हणून लक्षात ठेवल्या पाहिजेत. तुम्ही तुमची समस्या सोडवू शकत नसाल तर आम्हाला पाठवा. आम्ही पुरवू तपशीलवार उपाय. तुम्ही गणनेची प्रगती पाहण्यास आणि माहिती मिळवण्यास सक्षम असाल. हे तुम्हाला तुमच्या शिक्षकाकडून वेळेवर ग्रेड मिळविण्यात मदत करेल!
उत्तर द्या
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

फॉर्मच्या अनिश्चिततेचे काय करावे: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

उदाहरण ३
सोडवा $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
उपाय
नेहमीप्रमाणे, आम्ही मर्यादा चिन्हाखालील अभिव्यक्तीमध्ये $ x $ मूल्य बदलून सुरुवात करतो. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ आता पुढे काय? शेवटी काय व्हायला हवे? ही अनिश्चितता असल्याने, हे अद्याप उत्तर नाही आणि आम्ही गणना सुरू ठेवतो. आमच्याकडे अंकांमध्ये बहुपद असल्यामुळे, आम्ही $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ या शाळेतील प्रत्येकाला परिचित असलेल्या सूत्राचा वापर करून त्याचे गुणांकन करू. आठवतंय का? छान! आता पुढे जा आणि ते गाण्यासोबत वापरा :) आम्हाला असे आढळले की $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ आम्ही वरील परिवर्तन लक्षात घेऊन निराकरण करणे सुरू ठेवतो: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
उत्तर द्या
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

शेवटच्या दोन उदाहरणांमधील मर्यादा अनंताकडे ढकलू आणि अनिश्चिततेचा विचार करू: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

उदाहरण ५
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ मोजा
उपाय
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ काय करावे? मी काय करावे? घाबरू नका, कारण अशक्य गोष्ट शक्य आहे. अंश आणि भाजक या दोन्हीमधील x काढणे आवश्यक आहे आणि नंतर ते कमी करणे आवश्यक आहे. यानंतर, मर्यादा मोजण्याचा प्रयत्न करा. चला प्रयत्न करूया... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))(1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 मधील व्याख्या वापरणे आणि x साठी अनंत बदलणे, आम्हाला मिळते: $$ = frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))(1+\frac(1)(\infty))) = frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
उत्तर द्या
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

मर्यादा मोजण्यासाठी अल्गोरिदम

तर, उदाहरणे थोडक्यात सांगा आणि मर्यादा सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम तयार करू:

मर्यादा चिन्हानंतर अभिव्यक्तीमध्ये बिंदू x बदला. जर एखादी विशिष्ट संख्या किंवा अनंतता प्राप्त झाली तर मर्यादा पूर्णपणे सोडविली जाते. अन्यथा, आमच्याकडे अनिश्चितता आहे: “शून्य भागिले शून्य” किंवा “अनंत भागाकार अनंत” आणि सूचनांच्या पुढील मुद्द्यांकडे जा.
"शून्य भागिले शून्य" ची अनिश्चितता दूर करण्यासाठी, तुम्हाला अंश आणि भाजक घटक काढणे आवश्यक आहे. समान कमी करा. मर्यादेच्या चिन्हाखालील अभिव्यक्तीमध्ये बिंदू x बदला.
जर अनिश्चितता "अनंत भागिले अनंत" असेल, तर आपण अंश आणि भाजक x दोन्ही सर्वात मोठ्या प्रमाणात काढू. आम्ही एक्स लहान करतो. आपण x ची मूल्ये मर्यादेच्या खाली उर्वरित अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो.

या लेखात तुम्ही मर्यादा सोडवण्याच्या मूलभूत गोष्टी शिकलात, ज्याचा वापर कॅल्क्युलस कोर्समध्ये केला जातो. अर्थात, परीक्षकांद्वारे ऑफर केलेल्या या सर्व प्रकारच्या समस्या नाहीत, परंतु फक्त सोप्या मर्यादा आहेत. आम्ही भविष्यातील लेखांमध्ये इतर प्रकारच्या असाइनमेंटबद्दल बोलू, परंतु पुढे जाण्यासाठी प्रथम तुम्हाला हा धडा शिकण्याची आवश्यकता आहे. मुळे, अंश असल्यास काय करावे यावर चर्चा करूया, अमर्याद समतुल्य कार्ये, उल्लेखनीय मर्यादा, L'Hopital च्या नियमाचा अभ्यास करूया.

तुम्ही स्वतः मर्यादा ओळखू शकत नसल्यास, घाबरू नका. आम्हाला मदत करण्यात नेहमीच आनंद होतो!

अनुक्रम आणि कार्यांच्या मर्यादांच्या संकल्पना. जेव्हा अनुक्रमाची मर्यादा शोधणे आवश्यक असते तेव्हा ते खालीलप्रमाणे लिहिले जाते: lim xn=a. अशा क्रमाच्या क्रमात, xn a कडे झुकतो आणि n अनंताकडे झुकतो. एक क्रम सहसा मालिका म्हणून दर्शविला जातो, उदाहरणार्थ:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
अनुक्रम वाढणे आणि कमी करणे मध्ये विभागलेले आहेत. उदाहरणार्थ:
xn=n^2 - वाढता क्रम
yn=1/n - क्रम
तर, उदाहरणार्थ, अनुक्रमाची मर्यादा xn=1/n^ :
लिम 1/n^2=0

x→∞
ही मर्यादा शून्याच्या बरोबरीची आहे, कारण n→∞, आणि अनुक्रम 1/n^2 शून्याकडे झुकतो.

सहसा परिवर्तनीय प्रमाण x हे एका मर्यादित मर्यादेकडे झुकते, आणि x सतत a जवळ येत आहे आणि a चे मूल्य स्थिर आहे. हे खालील प्रमाणे लिहिले आहे: limx =a, तर n देखील शून्य किंवा अनंत कडे कल करू शकतो. अनंत कार्ये आहेत, ज्यासाठी मर्यादा अनंताकडे झुकते. इतर प्रकरणांमध्ये, जेव्हा, उदाहरणार्थ, फंक्शन ट्रेनचा वेग कमी करत असेल, तेव्हा हे शक्य आहे की मर्यादा शून्याकडे झुकते.
मर्यादांमध्ये अनेक गुणधर्म असतात. सामान्यतः, कोणत्याही फंक्शनला फक्त एक मर्यादा असते. ही मर्यादेची मुख्य मालमत्ता आहे. इतर खाली सूचीबद्ध आहेत:
* रक्कम मर्यादा मर्यादेच्या बेरजेइतकी आहे:
lim(x+y)=lim x+lim y
* उत्पादन मर्यादा उत्पादनाच्या समानमर्यादा:
lim(xy)=lim x*lim y
* भागाची मर्यादा मर्यादेच्या भागाच्या बरोबरीची आहे:
lim(x/y)=lim x/lim y
* स्थिर घटक मर्यादा चिन्हाच्या बाहेर घेतला जातो:
lim(Cx)=C लिम x
फंक्शन 1 /x दिल्यास ज्यामध्ये x →∞, त्याची मर्यादा शून्य आहे. x→0 असल्यास, अशा फंक्शनची मर्यादा ∞ आहे.
साठी त्रिकोणमितीय कार्येया नियमांमधून आहेत. sin x हे फंक्शन शून्याजवळ आल्यावर नेहमी एकतेकडे झुकत असल्याने, ओळख त्याच्यासाठी आहे:
lim sin x/x=1

अनेक फंक्शन्समध्ये फंक्शन्स असतात, ज्याच्या मर्यादेची गणना करताना अनिश्चितता उद्भवते - अशी परिस्थिती ज्यामध्ये मर्यादा मोजली जाऊ शकत नाही. या परिस्थितीतून बाहेर पडण्याचा एकमेव मार्ग म्हणजे L'Hopital. दोन प्रकारच्या अनिश्चितता आहेत:
* फॉर्म 0/0 ची अनिश्चितता
* फॉर्मची अनिश्चितता ∞/∞
उदाहरणार्थ, मर्यादा दिली खालील प्रकार: लिम f(x)/l(x), आणि f(x0)=l(x0)=0. या प्रकरणात, 0/0 फॉर्मची अनिश्चितता उद्भवते. अशा समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, दोन्ही फंक्शन्स वेगळे केले जातात, त्यानंतर निकालाची मर्यादा आढळते. प्रकार 0/0 च्या अनिश्चिततेसाठी, मर्यादा आहे:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 वर)
हाच नियम ∞/∞ प्रकाराच्या अनिश्चिततेसाठी देखील सत्य आहे. परंतु या प्रकरणात खालील समानता सत्य आहे: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital च्या नियमाचा वापर करून, आपण कोणत्याही मर्यादेची मूल्ये शोधू शकता ज्यामध्ये अनिश्चितता दिसून येते. साठी एक पूर्व शर्त

व्हॉल्यूम - डेरिव्हेटिव्ह शोधताना कोणतीही त्रुटी नाही. तर, उदाहरणार्थ, फंक्शनचे व्युत्पन्न (x^2)" 2x च्या बरोबरीचे आहे. येथून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की:
f"(x)=nx^(n-1)

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते