प्रत्येक सामान्य अपूर्णांक परिमेय संख्या आहे का? परिमेय संख्यांची व्याख्या आणि उदाहरणे

जुनी शाळकरी मुले आणि गणिताचे विद्यार्थी कदाचित या प्रश्नाचे उत्तर सहज देतील. परंतु जे व्यवसायाने यापासून दूर आहेत त्यांच्यासाठी ते अधिक कठीण होईल. खरंच काय आहे?

सार आणि पदनाम

परिमेय संख्या अशा आहेत ज्या सामान्य अपूर्णांक म्हणून दर्शवल्या जाऊ शकतात. या संचामध्ये सकारात्मक, नकारात्मक आणि शून्य देखील समाविष्ट आहेत. अपूर्णांकाचा अंश पूर्णांक असणे आवश्यक आहे आणि भाजक असणे आवश्यक आहे

गणितातील हा संच Q म्हणून दर्शविला जातो आणि त्याला “फील्ड” म्हणतात परिमेय संख्या". यात सर्व पूर्णांक आणि नैसर्गिक संख्यांचा समावेश आहे, जे अनुक्रमे Z आणि N म्हणून दर्शविले जातात. संच Q स्वतः R मध्ये समाविष्ट आहे. हे अक्षर आहे जे तथाकथित वास्तविक किंवा

कामगिरी

आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, परिमेय संख्या हा एक संच आहे ज्यामध्ये सर्व पूर्णांक आणि अपूर्णांक मूल्यांचा समावेश आहे. ते वेगवेगळ्या स्वरूपात येऊ शकतात. प्रथम, सामान्य अपूर्णांकाच्या रूपात: 5/7, 1/5, 11/15, इ. अर्थात, पूर्णांक देखील अशाच स्वरूपात लिहिले जाऊ शकतात: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, इ. दुसरे म्हणजे, प्रतिनिधित्वाचा दुसरा प्रकार म्हणजे अंतिम अपूर्णांक असलेला दशांश अपूर्णांक: 0.01, -15.001006, इ. हा कदाचित सर्वात सामान्य प्रकारांपैकी एक आहे.

परंतु तिसरा देखील आहे - एक नियतकालिक अपूर्णांक. हा प्रकार फारसा सामान्य नाही, परंतु तरीही वापरला जातो. उदाहरणार्थ, 10/3 अपूर्णांक 3.33333... किंवा 3,(3) असे लिहिता येईल. या प्रकरणात, भिन्न प्रतिनिधित्व समान संख्या मानले जाईल. अपूर्णांक जे एकमेकांच्या समान आहेत त्यांना देखील समान म्हटले जाईल, उदाहरणार्थ 3/5 आणि 6/10. परिमेय संख्या म्हणजे काय हे स्पष्ट झाले आहे असे दिसते. पण त्यांच्यासाठी हा शब्द का वापरला जातो?

नावाचे मूळ

आधुनिक रशियन भाषेतील "तर्कसंगत" या शब्दाचा सामान्यतः थोडा वेगळा अर्थ असतो. हे अधिक "वाजवी", "विचारपूर्वक" सारखे आहे. परंतु गणितीय संज्ञा याच्या शाब्दिक अर्थाच्या जवळ आहेत, लॅटिनमध्ये "गुणोत्तर" म्हणजे "गुणोत्तर", "अपूर्णांक" किंवा "विभाग". अशा प्रकारे, परिमेय संख्या काय आहेत याचे सार हे नाव कॅप्चर करते. तथापि, दुसरा अर्थ

सत्यापासून दूर नाही.

त्यांच्यासह कृती

गणितीय समस्या सोडवताना, आपण सतत परिमेय संख्या आपल्या नकळत समोर येतात. आणि त्यांच्याकडे अनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत. ते सर्व एकतर संचाच्या व्याख्येवरून किंवा कृतींचे अनुसरण करतात.

प्रथम, परिमेय संख्यांचा क्रम संबंध गुणधर्म असतो. याचा अर्थ असा की दोन संख्यांमध्ये फक्त एकच संबंध असू शकतो - ते एकतर एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत किंवा एक दुसऱ्यापेक्षा मोठे किंवा कमी आहे. म्हणजे:

किंवा a = b ;किंवा अ > ब,किंवा a< b.

शिवाय, नात्याची संक्रमणशीलता देखील या मालमत्तेवरून येते. म्हणजे, जर aअधिक b, bअधिक c, ते aअधिक c. गणितीय भाषेत ते असे दिसते:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

दुसरे म्हणजे, परिमेय संख्यांसह अंकगणितीय क्रिया आहेत, म्हणजे, बेरीज, वजाबाकी, भागाकार आणि अर्थातच, गुणाकार. त्याच वेळी, परिवर्तनाच्या प्रक्रियेत, अनेक गुणधर्म देखील ओळखले जाऊ शकतात.

a + b = b + a (अटींची ठिकाणे बदलणे, कम्युटेटिव्हिटी);
0 + a = a + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (सहयोग);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (वितरण);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (या प्रकरणात a 0 च्या समान नाही);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

जेव्हा आपण पूर्णांक नसून सामान्य संख्यांबद्दल बोलत असतो, तेव्हा त्यांच्यासोबत काम केल्याने काही अडचणी येऊ शकतात. अशाप्रकारे, बेरीज आणि वजाबाकी केवळ भाजक समान असल्यासच शक्य आहेत. जर ते सुरुवातीला भिन्न असतील, तर तुम्ही संपूर्ण अपूर्णांकाचा विशिष्ट संख्येने गुणाकार करून सामान्य शोधा. ही अट पूर्ण झाली तरच तुलना करणे शक्य आहे.

सामान्य अपूर्णांकांचे भागाकार आणि गुणाकार पुरेसे प्रमाणानुसार केले जातात साधे नियम. सामान्य भाजक कमी करणे आवश्यक नाही. अंश आणि भाजकांचा स्वतंत्रपणे गुणाकार केला जातो आणि क्रिया करण्याच्या प्रक्रियेत, शक्य असल्यास, अपूर्णांक कमी केला पाहिजे आणि शक्य तितका सरलीकृत केला पाहिजे.

विभागणीसाठी, ही क्रिया थोड्या फरकाने पहिल्यासारखीच आहे. दुसऱ्या अपूर्णांकासाठी तुम्हाला व्युत्क्रम सापडला पाहिजे, म्हणजे

ते "वळवा" अशा प्रकारे, पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्याच्या भाजकाशी आणि त्याउलट गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

शेवटी, परिमेय संख्यांमध्ये अंतर्भूत असलेल्या आणखी एका गुणधर्माला आर्किमिडीजचे स्वयंसिद्ध असे म्हणतात. सहसा साहित्यात "तत्त्व" हे नाव देखील आढळते. हे वास्तविक संख्यांच्या संपूर्ण संचासाठी वैध आहे, परंतु सर्वत्र नाही. अशा प्रकारे, हे तत्त्व तर्कसंगत कार्यांच्या काही संचांना लागू होत नाही. मूलत:, या स्वयंसिद्धीचा अर्थ असा आहे की a आणि b या दोन परिमाणांचे अस्तित्व लक्षात घेता, तुम्ही b पेक्षा जास्त प्रमाणात a घेऊ शकता.

अर्जाची व्याप्ती

तर, ज्यांनी परिमेय संख्या काय आहेत हे शिकले किंवा लक्षात ठेवले त्यांच्यासाठी हे स्पष्ट होते की ते सर्वत्र वापरले जातात: लेखा, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र आणि इतर विज्ञानांमध्ये. साहजिकच त्यांना गणितातही स्थान आहे. आपण त्यांच्याशी व्यवहार करत आहोत हे माहित नसून, आपण सतत परिमेय संख्या वापरतो. अगदी लहान मुलं, वस्तू मोजायला शिकतात, सफरचंदाचे तुकडे करतात किंवा इतर साध्या कृती करतात. ते अक्षरशः आपल्याला घेरतात. आणि तरीही, ते काही समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पुरेसे नाहीत, उदाहरणार्थ, पायथागोरियन प्रमेय वापरून, संकल्पना सादर करण्याची आवश्यकता समजू शकते

परिमेय संख्यांचा संच

परिमेय संख्यांचा संच दर्शविला जातो आणि तो खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

असे दिसून आले की भिन्न नोटेशन्स समान अपूर्णांक दर्शवू शकतात, उदाहरणार्थ, आणि , (सर्व अपूर्णांक जे समान नैसर्गिक संख्येने गुणाकार किंवा भागाकार करून एकमेकांकडून मिळू शकतात ते समान परिमेय संख्या दर्शवतात). अंशाचा अंश आणि भाजक यांना त्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाने विभाजित केल्यामुळे आपण परिमेय संख्येचे एकच अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व मिळवू शकतो, आपण त्यांच्या संचाला संच म्हणून बोलू शकतो. अपरिवर्तनीयपरस्पर अविभाज्य पूर्णांक अंश आणि नैसर्गिक भाजक असलेले अपूर्णांक:

येथे संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे आणि .

परिमेय संख्यांचा संच पूर्णांकांच्या संचाचे नैसर्गिक सामान्यीकरण आहे. हे पाहणे सोपे आहे की जर परिमेय संख्येचा भाजक असेल तर तो पूर्णांक आहे. परिमेय संख्यांचा संच संख्येच्या अक्षावर सर्वत्र घनतेने स्थित असतो: कोणत्याही दोन भिन्न परिमेय संख्यांमध्ये किमान एक परिमेय संख्या असते (आणि म्हणून परिमेय संख्यांचा अनंत संच). तथापि, असे दिसून आले की परिमेय संख्यांच्या संचामध्ये मोजण्यायोग्य कार्डिनॅलिटी आहे (म्हणजे, त्याचे सर्व घटक पुन्हा क्रमांकित केले जाऊ शकतात). आपण हे लक्षात घेऊया की, प्राचीन ग्रीक लोकांना अपूर्णांक म्हणून दर्शविल्या जाऊ शकत नाहीत अशा संख्येच्या अस्तित्वाची खात्री होती (उदाहरणार्थ, त्यांनी सिद्ध केले की कोणतीही परिमेय संख्या नाही ज्याचा वर्ग 2 आहे).

शब्दावली

औपचारिक व्याख्या

औपचारिकपणे, परिमेय संख्या ही समतुल्यता संबंधाच्या संदर्भात जोड्यांच्या समतुल्य वर्गांचा संच म्हणून परिभाषित केली जाते जर. या प्रकरणात, बेरीज आणि गुणाकाराची क्रिया खालीलप्रमाणे परिभाषित केली आहे:

टिप्पणी द्या

मुदत अपूर्णांक संख्या(अपूर्णांक)कधी कधी [ निर्दिष्ट करा] या संज्ञेसाठी समानार्थी शब्द म्हणून वापरला जातो परिमेय संख्या, आणि काहीवेळा कोणत्याही पूर्णांक नसलेल्या संख्येसाठी समानार्थी शब्द. नंतरच्या बाबतीत, अपूर्णांक आणि परिमेय संख्या या भिन्न गोष्टी आहेत, तेव्हापासून पूर्णांक नसलेल्या परिमेय संख्या ही अपूर्णांकांची एक विशेष बाब आहे.

गुणधर्म

मूलभूत गुणधर्म

परिमेय संख्यांचा संच सोळा मूलभूत गुणधर्म पूर्ण करतो, जे पूर्णांकांच्या गुणधर्मांवरून सहज काढता येतात.

सुव्यवस्था.कोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी, एक नियम आहे जो तुम्हाला त्यांच्यामधील तीन संबंधांपैकी एक आणि फक्त एक ओळखण्याची परवानगी देतो: “”, “” किंवा “”. या नियमाला म्हणतात ऑर्डर करण्याचा नियमआणि खालीलप्रमाणे तयार केले आहे: दोन सकारात्मक संख्या आणि दोन पूर्णांक आणि ; दोन नॉन-पॉझिटिव्ह संख्या आणि दोन गैर-ऋणात्मक संख्यांच्या समान संबंधाने संबंधित आहेत आणि ; जर अचानक ते नकारात्मक नसेल तर - नकारात्मक असेल तर .
अपूर्णांक जोडणे
अतिरिक्त ऑपरेशन. बेरीज नियम रक्कमसंख्या आणि आणि द्वारे दर्शविले जाते, आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेस म्हणतात बेरीज. बेरीज नियम आहे पुढील दृश्य: .
गुणाकार ऑपरेशन.कोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी तथाकथित आहे गुणाकार नियम, जे त्यांना काही परिमेय संख्येसह पत्रव्यवहारात ठेवते. या प्रकरणात, नंबर स्वतःच कॉल केला जातो कामसंख्या आणि आणि द्वारे दर्शविले जाते, आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेला देखील म्हणतात गुणाकार. गुणाकार नियमाचे खालील स्वरूप आहे: .
ऑर्डर संबंधाची संक्रमणशीलता.परिमेय संख्यांच्या कोणत्याही तिहेरीसाठी, आणि जर कमी आणि कमी, तर कमी, आणि जर समान आणि समान असेल तर समान.
जोडणीची कम्युटेटिव्हिटी.तर्कसंगत पदांची ठिकाणे बदलल्याने बेरीज बदलत नाही.
जोडण्याची सहवास.ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्या जोडल्या जातात त्याचा परिणाम परिणामावर होत नाही.
शून्याची उपस्थिती.एक परिमेय संख्या 0 आहे जी जोडल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.
विरुद्ध संख्यांची उपस्थिती.कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये विरुद्ध परिमेय संख्या असते, जी जोडल्यास 0 मिळते.
गुणाकाराची कम्युटेटिव्हिटी.तर्कसंगत घटकांची ठिकाणे बदलल्याने उत्पादन बदलत नाही.
गुणाकाराची संगती ।ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्यांचा गुणाकार केला जातो त्याचा परिणामावर परिणाम होत नाही.
युनिटची उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 आहे जी गुणाकार केल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.
परस्पर संख्यांची उपस्थिती.शून्य नसलेल्या कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये व्यस्त परिमेय संख्या असते, ज्याचा गुणाकार केल्यावर 1 मिळते.
बेरीज सापेक्ष गुणाकाराची वितरणक्षमता.गुणाकार ऑपरेशन वितरण कायद्याद्वारे बेरीज ऑपरेशनसह समन्वित केले जाते:
जोडणीच्या ऑपरेशनशी ऑर्डरचा संबंध.डावीकडे आणि उजवी बाजूपरिमेय असमानतेसाठी, तुम्ही समान परिमेय संख्या जोडू शकता.
ऑर्डर संबंध आणि गुणाकार ऑपरेशन दरम्यान कनेक्शन.परिमेय असमानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू समान सकारात्मक परिमेय संख्येने गुणाकार केल्या जाऊ शकतात.
आर्किमिडीजचे स्वयंसिद्ध.परिमेय संख्या काहीही असो, तुम्ही इतकी एकके घेऊ शकता की त्यांची बेरीज जास्त होईल.

अतिरिक्त गुणधर्म

परिमेय संख्यांमध्ये अंतर्निहित इतर सर्व गुणधर्म मूलभूत म्हणून ओळखले जात नाहीत, कारण, सामान्यतः, ते यापुढे पूर्णांकांच्या गुणधर्मांवर आधारित नाहीत, परंतु दिलेल्या मूलभूत गुणधर्मांवर आधारित किंवा थेट काही गणितीय वस्तूंच्या व्याख्येनुसार सिद्ध केले जाऊ शकतात. . असे बरेच अतिरिक्त गुणधर्म आहेत. त्यापैकी फक्त काहींची येथे यादी करण्यात अर्थ आहे.

संचाची मोजणी

परिमेय संख्यांच्या संख्येचा अंदाज लावण्यासाठी, आपल्याला त्यांच्या संचाची मुख्यत्वे शोधण्याची आवश्यकता आहे. परिमेय संख्यांचा संच मोजण्यायोग्य आहे हे सिद्ध करणे सोपे आहे. हे करण्यासाठी, परिमेय संख्यांची गणना करणारे अल्गोरिदम देणे पुरेसे आहे, म्हणजेच परिमेय आणि परिमेय यांच्या संचामध्ये द्विभाजन स्थापित करते. नैसर्गिक संख्या. अशा बांधकामाचे उदाहरण खालील साधे अल्गोरिदम आहे. सामान्य अपूर्णांकांची एक अंतहीन सारणी संकलित केली आहे, प्रत्येक स्तंभातील प्रत्येक पंक्तीवर ज्यामध्ये एक अपूर्णांक स्थित आहे. निश्चिततेसाठी, असे गृहीत धरले जाते की या सारणीच्या पंक्ती आणि स्तंभ एका पासून क्रमांकित आहेत. टेबल सेल नियुक्त केले आहेत , ज्या टेबल पंक्तीमध्ये सेल स्थित आहे त्याची संख्या कोठे आहे आणि स्तंभ क्रमांक आहे.

परिणामी सारणी खालील औपचारिक अल्गोरिदमनुसार "साप" वापरून ट्रॅव्हर्स केली जाते.

हे नियम वरपासून खालपर्यंत शोधले जातात आणि पहिल्या सामन्याच्या आधारे पुढील स्थान निवडले जाते.

अशा ट्रॅव्हर्सल प्रक्रियेत, प्रत्येक नवीन परिमेय संख्या दुसर्या नैसर्गिक संख्येशी संबंधित आहे. म्हणजेच, अपूर्णांकांना क्रमांक 1 नियुक्त केला आहे, अपूर्णांकांना क्रमांक 2 नियुक्त केला आहे, इत्यादी. हे लक्षात घेतले पाहिजे की केवळ अपरिवर्तनीय अपूर्णांकांना क्रमांक दिले आहेत. अपरिवर्तनीयतेचे औपचारिक चिन्ह म्हणजे अंशाचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि अपूर्णांकाचा भाजक एक समान असतो.

या अल्गोरिदमचे अनुसरण करून, आपण सर्व सकारात्मक परिमेय संख्यांची गणना करू शकतो. याचा अर्थ धन परिमेय संख्यांचा संच मोजण्यायोग्य आहे. सकारात्मक आणि ऋण परिमेय संख्यांच्या संचामध्ये द्विभाजन स्थापित करणे सोपे आहे, फक्त प्रत्येक परिमेय संख्येला त्याच्या विरुद्धार्थी संख्या देऊन. ते. ऋण परिमेय संख्यांचा संच देखील मोजण्यायोग्य आहे. त्यांचे संघटन देखील मोजता येण्याजोग्या संचांच्या मालमत्तेद्वारे मोजण्यायोग्य आहे. परिमेय संख्यांचा संच मोजता येण्याजोग्या संचाचा एक परिमित असलेल्या संचाप्रमाणे मोजण्यायोग्य आहे.

अर्थात, परिमेय संख्या मोजण्याचे इतर मार्ग आहेत. उदाहरणार्थ, यासाठी तुम्ही काल्किन-विल्फ ट्री, स्टर्न-ब्रोको ट्री किंवा फॅरे मालिका यासारख्या रचना वापरू शकता.

परिमेय संख्यांच्या संचाच्या मोजणीयोग्यतेबद्दलच्या विधानामुळे काही गोंधळ होऊ शकतो, कारण पहिल्या दृष्टीक्षेपात असे दिसते की ते नैसर्गिक संख्यांच्या संचापेक्षा बरेच विस्तृत आहे. खरं तर, असे नाही आणि सर्व परिमेय संख्या मोजण्यासाठी पुरेशा नैसर्गिक संख्या आहेत.

परिमेय संख्यांचा अभाव

हे देखील पहा


	पूर्णांक

परिमेय संख्या

वास्तविक संख्या जटिल संख्या चतुर्थांश

नोट्स

साहित्य

I. कुष्णीर. शाळकरी मुलांसाठी गणिताची हँडबुक. - कीव: ASTARTA, 1998. - 520 पी.
पी.एस. अलेक्झांड्रोव्ह. सेट सिद्धांत आणि सामान्य टोपोलॉजीचा परिचय. - एम.: धडा. एड भौतिकशास्त्र आणि गणित प्रकाश एड "विज्ञान", 1977
आय.एल. खमेलनित्स्की. बीजगणित प्रणालीच्या सिद्धांताचा परिचय

परिमेय संख्यांची व्याख्या:

परिमेय संख्या ही एक संख्या आहे जी अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. अशा अपूर्णांकाचा अंश पूर्णांकांच्या संचाचा असतो आणि भाजक हा नैसर्गिक संख्यांच्या संचाचा असतो.

संख्यांना परिमेय का म्हणतात?

लॅटिनमध्ये, गुणोत्तर म्हणजे गुणोत्तर. परिमेय संख्या गुणोत्तर म्हणून दर्शवल्या जाऊ शकतात, म्हणजे. दुसऱ्या शब्दांत, एक अपूर्णांक म्हणून.

परिमेय संख्या उदाहरण

संख्या 2/3 ही परिमेय संख्या आहे. का? ही संख्या अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाते, ज्याचा अंश पूर्णांकांच्या संचाशी संबंधित आहे आणि भाजक नैसर्गिक संख्यांच्या संचाचा आहे.

परिमेय संख्यांच्या अधिक उदाहरणांसाठी, लेख पहा.

समान परिमेय संख्या

भिन्न अपूर्णांक समान परिमेय संख्या दर्शवू शकतात.

परिमेय क्रमांक 3/5 विचारात घ्या. ही परिमेय संख्या समान आहे

2 च्या सामान्य घटकाने अंश आणि भाजक कमी करा:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

आम्हाला अपूर्णांक 3/5 मिळाला, याचा अर्थ असा

परिमेय संख्या

क्वार्टर

सुव्यवस्था. aआणि bअसा एक नियम आहे जो एखाद्याला अनन्यपणे ओळखू देतो आणि त्यांच्यातील तीन संबंधांपैकी फक्त एक: “< », « >" किंवा " = ". या नियमाला म्हणतात ऑर्डर करण्याचा नियमआणि खालीलप्रमाणे तयार केले आहे: दोन गैर-ऋणात्मक संख्या आणि दोन पूर्णांक आणि ; दोन नॉन-पॉझिटिव्ह संख्या aआणि bदोन गैर-ऋणात्मक संख्या आणि ; जर अचानक aगैर-नकारात्मक, परंतु b- नकारात्मक, मग a > b.
अपूर्णांक जोडणे
अतिरिक्त ऑपरेशन. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> aआणि bकोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी बेरीज नियम cएक तथाकथित आहे c. शिवाय, संख्या स्वतः रक्कमम्हणतात aआणि bसंख्या बेरीजआणि द्वारे दर्शविले जाते, आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेस म्हणतात .
गुणाकार ऑपरेशन. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> aआणि bकोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी गुणाकार नियम. बेरीज नियमात खालील फॉर्म आहे: cएक तथाकथित आहे c. शिवाय, संख्या स्वतः कामम्हणतात aआणि b, जे त्यांना काही परिमेय संख्या नियुक्त करते गुणाकारआणि द्वारे दर्शविले जाते, आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेला देखील म्हणतात .
ऑर्डर संबंधाची संक्रमणशीलता.. गुणाकार नियम असे दिसते: a , bआणि cपरिमेय संख्यांच्या कोणत्याही तिप्पट साठी aजर bआणि bजर cकमी aजर c, ते a, आणि जर bआणि b, आणि जर cकमी a, आणि जर cसमान
जोडण्याची सहवास.ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्या जोडल्या जातात त्याचा परिणाम परिणामावर होत नाही.
शून्याची उपस्थिती.एक परिमेय संख्या 0 आहे जी जोडल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.
विरुद्ध संख्यांची उपस्थिती.कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये विरुद्ध परिमेय संख्या असते, जी जोडल्यास 0 मिळते.
गुणाकाराची कम्युटेटिव्हिटी.तर्कसंगत घटकांची ठिकाणे बदलल्याने उत्पादन बदलत नाही.
गुणाकाराची संगती ।ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्यांचा गुणाकार केला जातो त्याचा परिणामावर परिणाम होत नाही.
युनिटची उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 आहे जी गुणाकार केल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.
परस्पर संख्यांची उपस्थिती..
बेरीज सापेक्ष गुणाकाराची वितरणक्षमता.गुणाकार ऑपरेशन वितरण कायद्याद्वारे बेरीज ऑपरेशनसह समन्वित केले जाते:
जोडणीच्या ऑपरेशनशी ऑर्डरचा संबंध. 6435">जोडण्याची कम्युटेटिव्हिटी. तर्कसंगत संज्ञांची ठिकाणे बदलल्याने बेरीज बदलत नाही.
आर्किमिडीजचे स्वयंसिद्ध.कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये व्यस्त परिमेय संख्या असते, ज्याचा गुणाकार केल्यावर 1 मिळते. aपरिमेय असमानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस समान परिमेय संख्या जोडली जाऊ शकते. a/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">

अतिरिक्त गुणधर्म

परिमेय संख्या काहीही असो

संचाची मोजणी

, तुम्ही इतकी एकके घेऊ शकता की त्यांची बेरीज जास्त होईल

या अल्गोरिदमपैकी सर्वात सोपा असे दिसते. प्रत्येकावर, सामान्य अपूर्णांकांची अंतहीन सारणी संकलित केली आहे i-प्रत्येक मध्ये वी ओळ jज्या स्तंभात अपूर्णांक स्थित आहे. निश्चिततेसाठी, असे गृहीत धरले जाते की या सारणीच्या पंक्ती आणि स्तंभ एका पासून क्रमांकित आहेत. टेबल सेल द्वारे दर्शविले जातात, कुठे i- टेबल पंक्तीची संख्या ज्यामध्ये सेल स्थित आहे आणि j- स्तंभ क्रमांक.

अशा ट्रॅव्हर्सल प्रक्रियेत, प्रत्येक नवीन परिमेय संख्या दुसर्या नैसर्गिक संख्येशी संबंधित आहे. म्हणजेच, अपूर्णांक 1/1 क्रमांक 1 ला, अपूर्णांक 2/1 क्रमांक 2, इत्यादींना दिलेला आहे. हे लक्षात घेतले पाहिजे की केवळ अपरिवर्तनीय अपूर्णांकांना क्रमांक दिले आहेत. अपरिवर्तनीयतेचे औपचारिक चिन्ह म्हणजे अंशाचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि अपूर्णांकाचा भाजक एक समान असतो.

परिमेय संख्यांचा अभाव

अशा त्रिकोणाचे कर्ण कोणत्याही परिमेय संख्येने व्यक्त करता येत नाही

फॉर्मच्या परिमेय संख्या 1 / nमोठ्या प्रमाणावर nअनियंत्रितपणे लहान प्रमाणात मोजले जाऊ शकते. ही वस्तुस्थिती अशी भ्रामक छाप निर्माण करते की परिमेय संख्या कोणत्याही भौमितिक अंतर मोजण्यासाठी वापरल्या जाऊ शकतात. हे खरे नाही हे दाखवणे सोपे आहे.

नोट्स

साहित्य

I. कुष्णीर. शाळकरी मुलांसाठी गणिताची हँडबुक. - कीव: ASTARTA, 1998. - 520 पी.
पी.एस. अलेक्झांड्रोव्ह. सेट सिद्धांत आणि सामान्य टोपोलॉजीचा परिचय. - एम.: धडा. एड भौतिकशास्त्र आणि गणित प्रकाश एड "विज्ञान", 1977
आय.एल. खमेलनित्स्की. बीजगणित प्रणालीच्या सिद्धांताचा परिचय

दुवे

विकिमीडिया फाउंडेशन.

2010.

परिमेय संख्यांचा विषय खूप विस्तृत आहे. आपण त्याबद्दल अविरतपणे बोलू शकता आणि प्रत्येक वेळी नवीन वैशिष्ट्यांद्वारे आश्चर्यचकित होऊन संपूर्ण कामे लिहू शकता. भविष्यात चुका टाळण्यासाठी,हा धडा

परिमेय संख्यांच्या विषयात आपण थोडे खोलवर जाऊ, त्यातून आवश्यक माहिती गोळा करू आणि पुढे जाऊ.

धडा सामग्री

परिमेय संख्या म्हणजे काय परिमेय संख्या ही एक संख्या आहे जी अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, जेथेएक- bहा अपूर्णांकाचा अंश आहे, bअपूर्णांकाचा भाजक आहे. शिवाय

शून्य नसावे कारण शून्याने भागाकार करण्याची परवानगी नाही.

परिमेय संख्यांमध्ये संख्यांच्या खालील श्रेणींचा समावेश होतो:

पूर्णांक (उदाहरणार्थ −2, −1, 0 1, 2, इ.)

दशांश अपूर्णांक (उदाहरणार्थ ०.२, इ.)

अनंत नियतकालिक अपूर्णांक (उदाहरणार्थ 0, (3), इ.)

या श्रेणीतील प्रत्येक संख्या अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.उदाहरण १.

पूर्णांक 2 हा अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. याचा अर्थ असा की संख्या 2 केवळ पूर्णांकांनाच लागू होत नाही तर परिमेय वर देखील लागू होते.उदाहरण २.

याचा अर्थ मिश्र संख्या ही परिमेय संख्या आहे.

उदाहरण ३.दशांश 0.2 हा अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. दशांश अपूर्णांक 0.2 चे सामान्य अपूर्णांकात रूपांतर करून हा अपूर्णांक प्राप्त झाला. तुम्हाला या टप्प्यावर अडचण येत असल्यास, विषयाची पुनरावृत्ती करा.

दशांश अपूर्णांक 0.2 हा अपूर्णांक म्हणून दर्शवला जाऊ शकतो, याचा अर्थ तो परिमेय संख्यांचा देखील आहे.

उदाहरण ४.अनंत नियतकालिक अपूर्णांक 0, (3) हा अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. शुद्ध नियतकालिक अपूर्णांकाचे सामान्य अपूर्णांकात रूपांतर करून हा अपूर्णांक प्राप्त होतो. तुम्हाला या टप्प्यावर अडचण येत असल्यास, विषयाची पुनरावृत्ती करा.

अनंत नियतकालिक अपूर्णांक 0, (3) हा अपूर्णांक म्हणून दर्शवला जाऊ शकतो, याचा अर्थ असा होतो की तो परिमेय संख्यांचा देखील आहे.

भविष्यात, आम्ही एका वाक्यांशाद्वारे अपूर्णांक म्हणून दर्शविल्या जाऊ शकतील अशा सर्व संख्यांना कॉल करू - परिमेय संख्या.

समन्वय रेषेवरील परिमेय संख्या

जेव्हा आम्ही ऋण संख्यांचा अभ्यास केला तेव्हा आम्ही समन्वय रेषा पाहिली. लक्षात ठेवा की ही एक सरळ रेषा आहे ज्यावर बरेच बिंदू आहेत. असे दिसते:

ही आकृती −5 ते 5 पर्यंतच्या समन्वय रेषेचा एक छोटा तुकडा दर्शवते.

समन्वय रेषेवर फॉर्म 2, 0, −3 चे पूर्णांक चिन्हांकित करणे कठीण नाही.

इतर संख्यांसह गोष्टी अधिक मनोरंजक आहेत: सामान्य अपूर्णांक, मिश्र संख्या, दशांश इ. या संख्या पूर्णांकांमध्ये असतात आणि यापैकी अनेक संख्या असीम आहेत.

उदाहरणार्थ, समन्वय रेषेवर परिमेय संख्या चिन्हांकित करू. ही संख्या अगदी शून्य आणि एक दरम्यान स्थित आहे

अपूर्णांक अचानक शून्य आणि एक दरम्यान का आला आहे हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया.

वर नमूद केल्याप्रमाणे, पूर्णांकांमध्ये इतर संख्या असतात - सामान्य अपूर्णांक, दशांश, मिश्र संख्या इ. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही समन्वय रेषेचा विभाग 0 ते 1 पर्यंत वाढवला तर तुम्ही खालील चित्र पाहू शकता

हे पाहिले जाऊ शकते की पूर्णांक 0 आणि 1 दरम्यान इतर परिमेय संख्या आहेत, जे परिचित दशांश अपूर्णांक आहेत. येथे तुम्ही आमचा अपूर्णांक पाहू शकता, जो दशांश अपूर्णांक 0.5 प्रमाणेच आहे. या आकृतीचे काळजीपूर्वक परीक्षण केल्याने अपूर्णांक नेमका तिथे का आहे या प्रश्नाचे उत्तर मिळते.

अपूर्णांक म्हणजे 1 ला 2 ने भागणे. आणि जर आपण 1 ला 2 ने भागले तर आपल्याला 0.5 मिळेल.

दशांश अपूर्णांक 0.5 हे इतर अपूर्णांकांसारखे वेषीत केले जाऊ शकते. अपूर्णांकाच्या मूळ गुणधर्मावरून, आपल्याला माहित आहे की जर अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक एकाच संख्येने गुणाकार किंवा भागले तर अपूर्णांकाचे मूल्य बदलत नाही.

जर अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक कोणत्याही संख्येने गुणाकार केला असेल, उदाहरणार्थ 4 ने, तर आपल्याला एक नवीन अपूर्णांक मिळेल आणि हा अपूर्णांक देखील 0.5 च्या बरोबरीचा आहे.

याचा अर्थ असा की समन्वय रेषेवर अपूर्णांक त्याच ठिकाणी ठेवला जाऊ शकतो जिथे अपूर्णांक स्थित होता.

पूर्णांक 2 हा अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. याचा अर्थ असा की संख्या 2 केवळ पूर्णांकांनाच लागू होत नाही तर परिमेय वर देखील लागू होते.चला समन्वयावर परिमेय संख्या चिन्हांकित करण्याचा प्रयत्न करूया. ही संख्या 1 आणि 2 च्या दरम्यान आहे

अपूर्णांक मूल्य 1.5 आहे

जर आपण समन्वय रेषेचा विभाग 1 ते 2 पर्यंत वाढवला तर आपल्याला खालील चित्र दिसेल:

हे पाहिले जाऊ शकते की पूर्णांक 1 आणि 2 मध्ये इतर परिमेय संख्या आहेत, जे परिचित दशांश अपूर्णांक आहेत. येथे तुम्ही आमचा अपूर्णांक पाहू शकता, जो दशांश अपूर्णांक 1.5 प्रमाणेच आहे.

या खंडावरील उर्वरित संख्या पाहण्यासाठी आम्ही समन्वय रेषेवरील काही विभाग मोठे केले. परिणामी, आम्हाला दशांश बिंदू नंतर एक अंक असलेले दशांश अपूर्णांक सापडले.

पण ते नव्हते एकवचनी संख्या, या खंडांवर पडलेला. समन्वय रेषेवर असीम असंख्य संख्या आहेत.

दशांश बिंदूच्या नंतर एक अंक असलेल्या दशांश अपूर्णांकांमध्ये, दशांश बिंदूनंतर दोन अंक असलेले इतर दशांश अपूर्णांक आहेत याचा अंदाज लावणे कठीण नाही. दुसऱ्या शब्दांत, एका विभागाचा शंभरावा भाग.

उदाहरणार्थ, ०.१ आणि ०.२ या दशांश अपूर्णांकांमधील संख्या पाहण्याचा प्रयत्न करूया.

दुसरे उदाहरण. दशांश बिंदू नंतर दोन अंक असलेले आणि शून्य आणि परिमेय संख्या 0.1 च्या दरम्यान असलेले दशांश अपूर्णांक असे दिसतात:

उदाहरण ३.समन्वय रेषेवर परिमेय संख्या चिन्हांकित करू. ही परिमेय संख्या शून्याच्या अगदी जवळ असेल

अपूर्णांकाचे मूल्य 0.02 आहे

जर आपण विभाग 0 वरून 0.1 पर्यंत वाढवला तर परिमेय संख्या नेमकी कुठे आहे ते आपण पाहू.

हे पाहिले जाऊ शकते की आपली परिमेय संख्या दशांश अपूर्णांक 0.02 प्रमाणेच आहे.

उदाहरण ४.समन्वय रेषेवर परिमेय संख्या 0 चिन्हांकित करू, (3)

परिमेय संख्या 0, (3) हा अनंत नियतकालिक अपूर्णांक आहे. त्याचा अपूर्णांक कधीही संपत नाही, तो अनंत आहे

आणि संख्या 0,(3) मध्ये अनंत अपूर्णांक असलेला भाग असल्याने, याचा अर्थ असा आहे की ही संख्या जिथे आहे त्या समन्वय रेषेवर आपल्याला अचूक स्थान सापडणार नाही. आम्ही फक्त हे ठिकाण अंदाजे सूचित करू शकतो.

परिमेय संख्या 0.33333... सामान्य दशांश अपूर्णांक 0.3 च्या अगदी जवळ स्थित असेल

ही आकृती क्रमांक 0,(3) चे अचूक स्थान दर्शवत नाही. नियतकालिक अपूर्णांक 0.(3) नियमित दशांश अपूर्णांक 0.3 च्या किती जवळ असू शकतो हे दाखवण्यासाठी हे फक्त एक उदाहरण आहे.

उदाहरण ५.समन्वय रेषेवर परिमेय संख्या चिन्हांकित करू. ही परिमेय संख्या 2 आणि 3 च्या मध्यभागी स्थित असेल

हे 2 (दोन पूर्णांक) आणि (एक सेकंद) आहे. अपूर्णांकाला "अर्धा" असेही म्हणतात. म्हणून, आम्ही समन्वय रेषेवर दोन संपूर्ण विभाग आणि दुसरा अर्धा विभाग चिन्हांकित केला.

जर आपण मिश्र संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर केले तर आपल्याला एक सामान्य अपूर्णांक मिळेल. समन्वय रेषेवरील हा अपूर्णांक अपूर्णांकाच्या त्याच ठिकाणी असेल

अपूर्णांकाचे मूल्य 2.5 आहे

जर आपण समन्वय रेषेचा विभाग 2 ते 3 पर्यंत वाढवला तर आपल्याला खालील चित्र दिसेल:

हे पाहिले जाऊ शकते की आपली परिमेय संख्या दशांश अपूर्णांक 2.5 प्रमाणेच आहे.

परिमेय संख्येच्या आधी उणे

मागील धड्यात, ज्याला कॉल केला होता, आपण पूर्णांकांना कसे विभाजित करायचे ते शिकलो. दोन्ही सकारात्मक आणि ऋण संख्या लाभांश आणि भाजक म्हणून काम करू शकतात.

चला सर्वात सोप्या अभिव्यक्तीचा विचार करूया

(−6) : 2 = −3

या अभिव्यक्तीमध्ये, लाभांश (−6) ही ऋण संख्या आहे.

आता दुसऱ्या अभिव्यक्तीचा विचार करा

6: (−2) = −3

येथे विभाजक (−2) ही आधीच ऋण संख्या आहे. पण दोन्ही बाबतीत एकच उत्तर मिळते -3.

कोणताही भागाकार अपूर्णांक म्हणून लिहिला जाऊ शकतो हे लक्षात घेऊन, आपण वर चर्चा केलेली उदाहरणे देखील अपूर्णांक म्हणून लिहू शकतो:

आणि दोन्ही प्रकरणांमध्ये अपूर्णांकाचे मूल्य सारखेच असल्याने, अंश किंवा भाजक यातील वजा अपूर्णांकासमोर ठेवून सामान्य केले जाऊ शकते.

म्हणून, आपण अभिव्यक्तींमध्ये समान चिन्ह लावू शकता आणि आणि कारण त्यांचा अर्थ समान आहे

भविष्यात, अपूर्णांकांसोबत काम करताना, जर आपल्याला अंश किंवा भाजकामध्ये वजा आढळला, तर आपण अपूर्णांकाच्या समोर ठेवून हा वजा सामान्य करू.

विरुद्ध परिमेय संख्या

पूर्णांकाप्रमाणे परिमेय संख्येची विरुद्ध संख्या असते.

उदाहरणार्थ, परिमेय संख्येसाठी, विरुद्ध संख्या आहे. हे निर्देशांकांच्या उत्पत्तीशी संबंधित स्थानाशी सममितीयपणे समन्वय रेषेवर स्थित आहे. दुसऱ्या शब्दांत, या दोन्ही संख्या मूळपासून समान अंतरावर आहेत

मिश्र संख्यांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करणे

आपल्याला माहित आहे की मिश्र संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर करण्यासाठी, आपल्याला पूर्ण भागाचा अपूर्णांक भागाच्या भाजकाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि त्यास अपूर्णांक भागाच्या अंशामध्ये जोडणे आवश्यक आहे. परिणामी संख्या नवीन अपूर्णांकाचा अंश असेल, परंतु भाजक तोच राहील.

उदाहरणार्थ, मिश्र संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर करू

अपूर्णांक भागाच्या भाजकाने संपूर्ण भागाचा गुणाकार करा आणि अपूर्णांक भागाचा अंश जोडा:

चला या अभिव्यक्तीची गणना करूया:

(२ × २) + १ = ४ + १ = ५

परिणामी संख्या 5 हा नवीन अपूर्णांकाचा अंश असेल, परंतु भाजक तोच राहील:

ही प्रक्रिया खालीलप्रमाणे पूर्ण लिहिली आहे:

मूळ मिश्रित संख्या परत करण्यासाठी, अपूर्णांकातील संपूर्ण भाग निवडणे पुरेसे आहे

परंतु मिश्र संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर करण्याची ही पद्धत केवळ मिश्र संख्या सकारात्मक असल्यासच लागू होते. ही पद्धत नकारात्मक संख्येसाठी कार्य करणार नाही.

चला अपूर्णांकाचा विचार करूया. चला या अपूर्णांकाचा संपूर्ण भाग निवडू या. आम्हाला मिळते

मूळ अपूर्णांक परत करण्यासाठी, तुम्हाला मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. परंतु जर आपण जुना नियम वापरला, म्हणजे, पूर्ण भागाचा अपूर्णांक भागाच्या भाजकाने गुणाकार केला आणि परिणामी संख्येमध्ये अपूर्णांक भागाचा अंश जोडला तर आपल्याला खालील विरोधाभास मिळेल:

आम्हाला एक अंश मिळाला आहे, परंतु आम्हाला एक अंश मिळाला पाहिजे.

आम्ही निष्कर्ष काढतो की मिश्र संख्या चुकीच्या पद्धतीने अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतरित केली गेली आहे:

नकारात्मक मिश्रित संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात योग्यरित्या रूपांतर करण्यासाठी, तुम्हाला संपूर्ण भागाचा अपूर्णांक भागाच्या भाजकाने आणि परिणामी संख्येपासून गुणाकार करणे आवश्यक आहे. वजा कराअपूर्णांक भागाचा अंश. या प्रकरणात, सर्वकाही आपल्यासाठी योग्य होईल

नकारात्मक मिश्र संख्या ही मिश्र संख्येच्या विरुद्ध असते. जर सकारात्मक मिश्र संख्या उजव्या बाजूला स्थित असेल आणि ती अशी दिसते

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते