संख्या क्रम. त्यांना सेट करण्याच्या पद्धती. संख्या क्रम आणि ते निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती

विडा y= f(x), xबद्दल एन, कुठे एन- नैसर्गिक संख्यांचा संच (किंवा नैसर्गिक युक्तिवादाचे कार्य), सूचित केले जाते y=f(n) किंवा y 1 ,y 2 ,…, y n,…. मूल्ये y 1 ,y 2 ,y 3 ,… अनुक्रमे प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... असे म्हणतात.

उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी y= n 2 लिहिले जाऊ शकते:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती.अनुक्रम निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात विविध प्रकारे, त्यापैकी तीन विशेषतः महत्वाचे आहेत: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक आणि आवर्ती.

1. जर त्याचे सूत्र दिले असेल तर क्रम विश्लेषणात्मकपणे दिला जातो nवा सदस्य:

y n=f(n).

उदाहरण. y n= 2n - 1 – विषम संख्यांचा क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. वर्णनात्मक संख्यात्मक क्रम निर्दिष्ट करण्याचा मार्ग म्हणजे अनुक्रम कोणत्या घटकांपासून तयार केला जातो हे स्पष्ट करणे.

उदाहरण 1. "क्रमातील सर्व संज्ञा 1 च्या समान आहेत." याचा अर्थ आपण स्थिर क्रम 1, 1, 1, …, 1, …. बद्दल बोलत आहोत.

उदाहरण 2. “एक क्रम सर्वांचा समावेश होतो मूळ संख्याचढत्या क्रमाने." अशा प्रकारे, दिलेला क्रम 2, 3, 5, 7, 11, …. या उदाहरणात अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याच्या या पद्धतीसह, अनुक्रमाचा 1000 वा घटक काय आहे याचे उत्तर देणे कठीण आहे.

3. क्रम निर्दिष्ट करण्याची आवर्ती पद्धत म्हणजे एक नियम निर्दिष्ट करणे जो आपल्याला गणना करण्यास अनुमती देतो nअनुक्रमाचा -वा सदस्य जर त्याचे मागील सदस्य ज्ञात असतील. आवर्ती पद्धत हे नाव लॅटिन शब्दावरून आले आहे वारंवार- परत या. बर्याचदा, अशा प्रकरणांमध्ये, एक सूत्र सूचित केले जाते जे व्यक्त करण्यास अनुमती देते nमागील सदस्यांद्वारे अनुक्रमाचा वा सदस्य, आणि अनुक्रमाचे 1-2 प्रारंभिक सदस्य निर्दिष्ट करा.

उदाहरण १. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 जर n = 2, 3, 4,….

येथे y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

आपण पाहू शकता की या उदाहरणामध्ये प्राप्त केलेला क्रम विश्लेषणात्मकपणे देखील निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो: y n= 4n - 1.

उदाहरण २. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 जर n = 3, 4,….

येथे: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

या उदाहरणातील क्रम विशेषतः गणितामध्ये अभ्यासला जातो कारण त्यात अनेक मनोरंजक गुणधर्म आणि अनुप्रयोग आहेत. तेराव्या शतकातील इटालियन गणितज्ञांच्या नावावरून याला फिबोनाची अनुक्रम म्हणतात. फिबोनाची क्रम वारंवार परिभाषित करणे खूप सोपे आहे, परंतु विश्लेषणात्मकदृष्ट्या खूप कठीण आहे. nफिबोनाची क्रमांक खालील सूत्राद्वारे त्याच्या अनुक्रमांकाद्वारे व्यक्त केला जातो.

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, साठी सूत्र nफिबोनाची संख्या अकल्पनीय वाटते, कारण केवळ नैसर्गिक संख्यांचा क्रम निर्दिष्ट करणाऱ्या सूत्रामध्ये चौरस मुळे, परंतु तुम्ही पहिल्या काहींसाठी या सूत्राची वैधता "मॅन्युअली" तपासू शकता n.

संख्या अनुक्रमांचे गुणधर्म.

संख्यात्मक अनुक्रम ही संख्यात्मक कार्याची एक विशेष बाब आहे, म्हणून अनुक्रमांसाठी अनेक फंक्शन्सचे गुणधर्म देखील विचारात घेतले जातात.

व्याख्या . त्यानंतरचा ( y n} जर त्यातील प्रत्येक अटी (पहिली वगळता) मागील एकापेक्षा मोठी असेल तर त्याला वाढ म्हणतात:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

व्याख्या. क्रम ( y n} जर त्यातील प्रत्येक संज्ञा (पहिली वगळता) मागील एकापेक्षा कमी असेल तर त्याला कमी होणे म्हणतात:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

वाढणारे आणि कमी होणारे अनुक्रम सामान्य संज्ञा अंतर्गत एकत्र केले जातात - मोनोटोनिक अनुक्रम.

उदाहरण १. y 1 = 1; y n= n 2 - वाढता क्रम.

अशा प्रकारे, खालील प्रमेय सत्य आहे (अंकगणिताच्या प्रगतीचा एक वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म). संख्या क्रम अंकगणित आहे जर आणि फक्त जर त्यातील पहिली (आणि केसमध्ये शेवटची) वगळता प्रत्येक पद असेल तर मर्यादित क्रम), आधीच्या आणि त्यानंतरच्या संज्ञांच्या अंकगणितीय मध्याशी समान आहे.

उदाहरण. कोणत्या मूल्यावर xसंख्या 3 x + 2, 5x- 4 आणि 11 x+ 12 एक मर्यादित अंकगणित प्रगती बनवते?

वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्मानुसार, दिलेल्या अभिव्यक्तींनी संबंध पूर्ण करणे आवश्यक आहे

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

हे समीकरण सोडवल्याने मिळते x= –5,5. या मूल्यावर xदिलेली अभिव्यक्ती 3 x + 2, 5x- 4 आणि 11 x+ 12 घ्या, अनुक्रमे, मूल्ये -14.5, –31,5, –48,5. हे - अंकगणित प्रगती, त्याचा फरक -17 आहे.

भौमितिक प्रगती.

एक संख्यात्मक क्रम, ज्याच्या सर्व संज्ञा शून्य नसलेल्या आहेत आणि ज्यांचे प्रत्येक पद, दुसऱ्यापासून सुरू होत आहे, त्याच संख्येने गुणाकार करून मागील पदावरून प्राप्त केले जाते. q, याला भौमितिक प्रगती आणि संख्या म्हणतात q- भौमितिक प्रगतीचा भाजक.

अशा प्रकारे, भौमितिक प्रगती हा एक संख्या क्रम आहे ( b n), संबंधांद्वारे वारंवार परिभाषित केले जाते

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bआणि q -दिलेले नंबर, b ≠ 0, q ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... – भौमितिक प्रगती वाढवणे b = 2, q = 3.

उदाहरण २. २, –२, २, –२, … – भौमितिक प्रगती b= 2,q= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8, … – भौमितिक प्रगती b= 8, q= 1.

भौमितिक प्रगती हा एक वाढणारा क्रम आहे जर b 1 > 0, q> 1, आणि कमी होत असल्यास b 1 > 0, 0 क्वि

भौमितिक प्रगतीचा एक स्पष्ट गुणधर्म असा आहे की जर क्रम ही भौमितिक प्रगती असेल, तर चौरसांचा क्रम असेल, म्हणजे.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... ही एक भौमितिक प्रगती आहे ज्याची पहिली संज्ञा समान आहे b 1 2 , आणि भाजक आहे q 2 .

सूत्र n-भौमितिक प्रगतीच्या व्या पदाचे स्वरूप आहे

b n= b 1 qn- 1 .

तुम्ही मर्यादित भूमितीय प्रगतीच्या अटींच्या बेरजेसाठी एक सूत्र मिळवू शकता.

एक मर्यादित भौमितिक प्रगती दिली जाऊ द्या

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

द्या एस एन -त्याच्या सदस्यांची बेरीज, म्हणजे

एस एन= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

हे मान्य आहे qक्रमांक 1. निश्चित करणे एस एनएक कृत्रिम तंत्र वापरले जाते: अभिव्यक्तीचे काही भौमितिक परिवर्तन केले जातात S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = एस एन+ b n q– b 1 .

अशा प्रकारे, S n q= एस एन +b n q – b 1 आणि म्हणून

सह हे सूत्र आहे umma n भूमितीय प्रगतीच्या अटीतेव्हा केस साठी q≠ 1.

येथे q= 1 या प्रकरणात सूत्र वेगळे काढण्याची गरज नाही; एस एन= a 1 n.

प्रगतीला भौमितीय असे म्हणतात कारण त्यातील प्रत्येक पद, प्रथम वगळता, मागील आणि त्यानंतरच्या संज्ञांच्या भौमितीय माध्याइतके आहे. खरंच, पासून

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

म्हणून, b n 2=bn- 1 bn+ 1 आणि खालील प्रमेय सत्य आहे (भौमितिक प्रगतीचा एक वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म):

संख्या क्रम ही भौमितीय प्रगती आहे जर आणि फक्त जर आणि फक्त जर त्याच्या प्रत्येक पदाचा वर्ग, पहिला वगळता (आणि मर्यादित क्रमाच्या बाबतीत शेवटचा) उत्पादनाच्या समानमागील आणि त्यानंतरचे सदस्य.

सुसंगतता मर्यादा.

एक क्रम असू द्या ( c n} = {1/n}. या क्रमाला हार्मोनिक म्हणतात, कारण त्यातील प्रत्येक पद, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील आणि त्यानंतरच्या संज्ञांमधील हार्मोनिक मध्य आहे. संख्यांचा भौमितिक माध्य aआणि bएक संख्या आहे

अन्यथा क्रमाला विपरित म्हणतात.

या व्याख्येच्या आधारे, एखादी व्यक्ती, उदाहरणार्थ, मर्यादेचे अस्तित्व सिद्ध करू शकते A=0हार्मोनिक क्रमासाठी ( c n} = {1/n). ε ही अनियंत्रितपणे लहान धन संख्या असू द्या. फरक मानला जातो

अशी गोष्ट अस्तित्वात आहे का? एनते प्रत्येकासाठी आहे n ≥ एनअसमानता 1 धारण करते /N? म्हणून घेतलं तर एनकोणतेही नैसर्गिक संख्या, ओलांडत आहे 1/ε , नंतर प्रत्येकासाठी n ≥ Nअसमानता 1 धारण करते /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

एखाद्या विशिष्ट क्रमासाठी मर्यादेची उपस्थिती सिद्ध करणे कधीकधी खूप कठीण असते. सर्वाधिक वारंवार येणारे अनुक्रम चांगले अभ्यासले जातात आणि संदर्भ पुस्तकांमध्ये सूचीबद्ध केले जातात. काही महत्त्वाची प्रमेये आहेत जी तुम्हाला आधीपासून अभ्यासलेल्या अनुक्रमांवर आधारित दिलेल्या क्रमाला मर्यादा आहे (आणि त्याची गणना देखील करा) असा निष्कर्ष काढू देतात.

प्रमेय 1. जर अनुक्रमाला मर्यादा असेल, तर ती बद्ध असते.

प्रमेय 2. जर एखादा क्रम मोनोटोनिक आणि बाउंडेड असेल तर त्याला मर्यादा असते.

प्रमेय 3. जर अनुक्रम ( एक एन} मर्यादा आहे ए, नंतर अनुक्रम ( ca n}, {एक एन+ क) आणि (| एक एन|} मर्यादा आहेत ca, ए +c, |ए| त्यानुसार (येथे c- अनियंत्रित संख्या).

प्रमेय 4. जर अनुक्रम ( एक एन} आणि ( b n) च्या समान मर्यादा आहेत एआणि बी pa n + qbn) ची मर्यादा आहे पीए+ qB.

प्रमेय 5. जर अनुक्रम ( एक एन) आणि ( b n) च्या समान मर्यादा आहेत एआणि बीत्यानुसार, नंतर क्रम ( a n b n) ची मर्यादा आहे एबी.

प्रमेय 6. जर अनुक्रम ( एक एन} आणि ( b n) च्या समान मर्यादा आहेत एआणि बीत्यानुसार, आणि, याव्यतिरिक्त, b n ≠ 0 आणि B≠ 0, नंतर क्रम ( a n / b n) ची मर्यादा आहे A/B.

अण्णा चुगेनोवा

2. अंकगणितीय क्रिया ठरवा ज्याद्वारे सरासरी दोन आत्यंतिक संख्यांमधून मिळते आणि * चिन्हाऐवजी, गहाळ संख्या घाला: 3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0, 8

3. विद्यार्थ्यांनी एक कार्य सोडवले ज्यामध्ये त्यांना गहाळ संख्या शोधणे आवश्यक होते. त्यांना वेगवेगळी उत्तरे मिळाली. अगं सेलमध्ये भरलेले नियम शोधा. कार्य उत्तर 1उत्तर

संख्यात्मक क्रमाची व्याख्या ते म्हणतात की जर काही नियमानुसार, प्रत्येक नैसर्गिक संख्या (स्थान क्रमांक) विशिष्ट संख्येशी (अनुक्रमाचा सदस्य) अनन्यपणे संबंधित असेल तर एक संख्यात्मक अनुक्रम दिला जातो. IN सामान्य दृश्यसूचित पत्रव्यवहार खालीलप्रमाणे चित्रित केला जाऊ शकतो: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... संख्या n ही अनुक्रमाची nवी संज्ञा आहे . संपूर्ण क्रम सामान्यतः (y n) दर्शविला जातो.

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत जर nव्या पदाचे सूत्र निर्दिष्ट केले असेल तर एक अनुक्रम विश्लेषणात्मकपणे निर्दिष्ट केला जातो. उदाहरणार्थ, 1) y n= n 2 – अनुक्रम 1, 4, 9, 16, … 2) y n = С – स्थिर (स्थिर) अनुक्रम 2) y n = 2 n – अनुक्रम 2, 4 चे विश्लेषणात्मक कार्य , 8, 16, ... 585 सोडवा

संख्यात्मक क्रम निर्दिष्ट करण्याची आवर्ती पद्धत अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची आवर्ती पद्धत म्हणजे एक नियम सूचित करणे जो तुम्हाला n व्या पदाची गणना करण्यास अनुमती देतो जर त्याचे मागील सदस्य ज्ञात असतील 1) एक अंकगणित प्रगती आवर्ती संबंधांद्वारे दिली जाते a =a, a n+ 1 =a n + d 2 ) भौमितिक प्रगती – b 1 =b, b n+1 =b n * q

फास्टनिंग ५९१, ५९२ (अ, ब) ५९४, – ६१४ (अ)

वरून बाऊंड केलेला A क्रम (y n) वरील सर्व संज्ञा एका विशिष्ट संख्येपेक्षा जास्त नसल्यास त्याला वरून बाउंडेड म्हणतात. दुसऱ्या शब्दांत, अनुक्रम (y n) ही संख्या M असेल तर ती वरची सीमा असते की कोणत्याही n साठी असमानता y n M ही अनुक्रमाची वरची सीमा असते उदाहरणार्थ, -1, -4, -9, - 16, ..., -n 2, ...

खालून बाऊंड केलेला क्रम (y n) जर त्याच्या सर्व संज्ञा एका विशिष्ट संख्येपेक्षा कमी नसतील तर त्याला खालून बाउंडेड म्हणतात. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे तर, कोणत्याही n साठी असमानता y n m धारण करणारी m अशी संख्या असल्यास अनुक्रम (y n) वरून बांधला जातो. m – अनुक्रमाची खालची मर्यादा उदाहरणार्थ, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

अनुक्रमाचे सर्व सदस्य ज्यांच्या दरम्यान दोन संख्या A आणि B निर्दिष्ट करणे शक्य असेल तर A अनुक्रम (y n) ची सीमारेषा बाउंडेड असे म्हणतात. असमानता Ay n B A ही खालची सीमा आहे, B ही वरची सीमा आहे, उदाहरणार्थ, 1 ही वरची सीमा आहे, 0 ही खालची सीमा आहे

अनुक्रम कमी करणे प्रत्येक सदस्य मागील सदस्यापेक्षा कमी असल्यास अनुक्रमास कमी होणे म्हणतात: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … उदाहरणार्थ, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … उदाहरणार्थ,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … उदाहरणार्थ,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … उदाहरणार्थ," title="(! LANG: क्रम कमी करणे प्रत्येक सदस्य मागील सदस्यापेक्षा कमी असल्यास क्रमाला कमी होणे म्हणतात: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...उदाहरणार्थ,"> title="अनुक्रम कमी करणे प्रत्येक सदस्य मागील सदस्यापेक्षा कमी असल्यास अनुक्रमास कमी होणे म्हणतात: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … उदाहरणार्थ,"> !} 23

चाचणी कार्यपर्याय 1पर्याय 2 1. संख्या क्रम सूत्रानुसार दिलेला आहे अ) या क्रमाच्या पहिल्या चार पदांची गणना करा ब) संख्या ही अनुक्रमाची सदस्य आहे का? b) 12.25 हा क्रमांक अनुक्रमाचा सदस्य आहे का? 2. 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,… या क्रमाच्या व्या पदासाठी एक सूत्र तयार करा.

या धड्यात आपण प्रगतीचा अभ्यास करण्यास सुरुवात करू. येथे आपण संख्या क्रम आणि ते कसे सेट करावे याबद्दल परिचित होऊ.

प्रथम, संख्यात्मक आर्ग्युमेंट्सच्या फंक्शन्सची व्याख्या आणि गुणधर्म आठवू या आणि जेव्हा x नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित असेल तेव्हा फंक्शनच्या विशेष केसचा विचार करूया. चला संख्या क्रम परिभाषित करू आणि काही उदाहरणे देऊ. आम्ही त्याच्या न्या टर्मच्या सूत्राद्वारे अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याचा विश्लेषणात्मक मार्ग दाखवू आणि त्याचा क्रम निर्दिष्ट करण्याची आणि निर्धारित करण्याची अनेक उदाहरणे विचारात घेऊ. पुढे, आपण शाब्दिक आणि आवर्ती अनुक्रम कार्याचा विचार करू.

विषय: प्रगती

धडा: संख्या क्रम आणि तो कसा सेट करायचा

1. पुनरावृत्ती

संख्या क्रम, जसे आपण पाहणार आहोत, हे फंक्शनचे एक विशेष प्रकरण आहे, म्हणून फंक्शनची व्याख्या आठवूया.

फंक्शन हा एक कायदा आहे ज्यानुसार प्रत्येक वैध वितर्क मूल्य एका फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे.

येथे ज्ञात फंक्शन्सची उदाहरणे आहेत.

तांदूळ. 1. फंक्शनचा आलेख

0 वगळता सर्व मूल्ये वैध आहेत. या फंक्शनचा आलेख हायपरबोला आहे (चित्र 1 पहा).

2.. सर्व मूल्यांना अनुमती आहे, .

तांदूळ. 2. फंक्शनचा आलेख

चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे, वैशिष्ट्यपूर्ण बिंदू देखील चिन्हांकित आहेत (चित्र 2 पहा).

3..

तांदूळ. 3. फंक्शनचा आलेख

x ची सर्व मूल्ये वैध आहेत. रेखीय कार्याचा आलेख सरळ रेषा आहे (चित्र 3 पहा).

2. संख्या क्रम निश्चित करणे

जर x फक्त नैसर्गिक मूल्ये (), तर आपल्याकडे एक विशेष केस आहे, म्हणजे संख्यात्मक क्रम.

लक्षात ठेवा की नैसर्गिक संख्या 1, 2, 3, …, n, …

फंक्शन , जेथे , नैसर्गिक वितर्क किंवा संख्यात्मक क्रमाचे कार्य म्हटले जाते आणि खालीलप्रमाणे दर्शवले जाते: किंवा , किंवा .

उदाहरणार्थ, एंट्री म्हणजे काय ते स्पष्ट करू.

हे फंक्शनचे मूल्य आहे जेव्हा n=1, म्हणजे .

हे फंक्शनचे मूल्य आहे जेव्हा n=2, म्हणजे...

जेव्हा वितर्क n असेल तेव्हा हे फंक्शनचे मूल्य आहे, म्हणजे .

3. अनुक्रमांची उदाहरणे

1. सामान्य शब्द सूत्र आहे. आम्ही सेट भिन्न अर्थ n, आम्ही अनुक्रमाच्या y-अटींची भिन्न मूल्ये प्राप्त करतो.

जेव्हा n=1; , जेव्हा n=2, इ., .

संख्या दिलेल्या क्रमाचे सदस्य आहेत आणि बिंदू आहेत हायपरबोलावर झोपा - फंक्शनचा आलेख (चित्र 4 पहा).

तांदूळ. 4. कार्य आलेख

जर n=1, तर; जर n=2, तर; जर n=3, तर इ.

संख्या दिलेल्या अनुक्रमाचे सदस्य आहेत आणि बिंदू पॅराबोलावर आहेत - फंक्शनचा आलेख (चित्र 5 पहा).

तांदूळ. 5. फंक्शनचा आलेख

तांदूळ. 6. फंक्शनचा आलेख

जर n=1, तर; जर n=2 तर ; जर n=3 तर इ.

संख्या दिलेल्या अनुक्रमाचे सदस्य आहेत आणि बिंदू सरळ रेषेवर आहेत - कार्याचा आलेख (चित्र 6 पहा).

4. अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत

अनुक्रमांची व्याख्या करण्याचे तीन मार्ग आहेत: विश्लेषणात्मक, मौखिक आणि आवर्ती. चला त्या प्रत्येकाकडे तपशीलवार पाहू या.

जर त्याच्या nव्या पदाचे सूत्र निर्दिष्ट केले असेल तर अनुक्रम विश्लेषणात्मकपणे निर्दिष्ट केला जातो.

चला काही उदाहरणे पाहू.

1. अनुक्रमाच्या अनेक संज्ञा शोधा, जे nव्या पदाच्या सूत्राद्वारे दिलेले आहे: (अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत).

उपाय. जर n=1, तर; जर n=2, तर; जर n=3 तर इ.

दिलेल्या अनुक्रमासाठी, आम्ही शोधतो आणि .

2. nव्या पदाच्या सूत्राने दिलेल्या अनुक्रमाचा विचार करा: (अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत).

चला या क्रमाच्या अनेक संज्ञा शोधू या.

जर n=1, तर; जर n=2 तर ; जर n=3 तर इ.

सर्वसाधारणपणे, हे समजणे कठीण नाही की या क्रमाचे सदस्य त्या संख्या आहेत ज्यांना 4 ने भागल्यावर 1 उरतो.

ए. दिलेल्या अनुक्रमासाठी, शोधा.

उपाय: . उत्तर:.

b दोन संख्या दिल्या आहेत: 821, 1282. या संख्या दिलेल्या अनुक्रमाचे सदस्य आहेत का?

क्रमांक 821 क्रमाचा सदस्य होण्यासाठी, समानतेचे समाधान करणे आवश्यक आहे: किंवा . शेवटची समानता n साठी एक समीकरण आहे. जर या समीकरणाचे निराकरण नैसर्गिक संख्या असेल तर त्याचे उत्तर होय आहे.

या प्रकरणात ते खरे आहे. .

उत्तर: होय, ८२१ हा दिलेल्या अनुक्रमाचा सदस्य आहे.

चला दुसऱ्या क्रमांकावर जाऊ. तत्सम तर्क आपल्याला समीकरण सोडवण्यास प्रवृत्त करतात: .

उत्तर: n ही नैसर्गिक संख्या नसल्यामुळे, 1282 दिलेल्या अनुक्रमाचा सदस्य नाही.

विश्लेषणात्मकपणे अनुक्रम परिभाषित करणारी सूत्रे खूप भिन्न असू शकतात: साधे, जटिल, इ. त्यांच्यासाठी फक्त एक आवश्यकता आहे: n चे प्रत्येक मूल्य एकाच संख्येशी संबंधित असणे आवश्यक आहे.

3. दिलेला: क्रम खालील सूत्राने दिलेला आहे.

अनुक्रमातील पहिल्या तीन संज्ञा शोधा.

, , .

उत्तर: , , .

4. संख्या अनुक्रमाचे सदस्य आहेत का?

ए. , म्हणजे. हे समीकरण सोडवताना आपल्याला ते सापडते. ही एक नैसर्गिक संख्या आहे.

उत्तर: पहिली दिलेली संख्या या क्रमाचा सदस्य आहे, म्हणजे त्याचा पाचवा सदस्य.

b , म्हणजे. हे समीकरण सोडवताना आपल्याला ते सापडते. ही एक नैसर्गिक संख्या आहे.

उत्तर: दिलेली दुसरी संख्या देखील या क्रमाचा सदस्य आहे, म्हणजे तिचा नव्वद सदस्य.

5. अनुक्रम सेट करण्याची मौखिक पद्धत

आम्ही संख्यात्मक क्रम निर्दिष्ट करण्याच्या विश्लेषणात्मक पद्धतीकडे पाहिले. हे सोयीस्कर, सामान्य आहे, परंतु एकमेव नाही.

पुढील पद्धत एक मौखिक क्रम कार्य आहे.

अनुक्रम, त्याचे प्रत्येक सदस्य, त्याच्या प्रत्येक सदस्याची गणना करण्याची शक्यता शब्दांमध्ये निर्दिष्ट केली जाऊ शकते, सूत्रांमध्ये आवश्यक नाही.

उदाहरण १.मूळ संख्यांचा क्रम.

लक्षात ठेवा की अविभाज्य संख्या ही एक नैसर्गिक संख्या आहे ज्याचे दोन भिन्न विभाजक आहेत: 1 आणि स्वतः संख्या. मूळ संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, इ.

त्यापैकी असंख्य आहेत. युक्लिडने हे देखील सिद्ध केले की या संख्यांचा क्रम अनंत आहे, म्हणजेच सर्वात मोठी मूळ संख्या नाही. क्रम दिलेला आहे, प्रत्येक पद मोजले जाऊ शकते, कंटाळवाणे, परंतु गणना केली जाऊ शकते. हा क्रम तोंडी दिलेला आहे. दुर्दैवाने, सूत्रे सापडत नाहीत.

उदाहरण २.संख्या विचारात घ्या = 1.41421…

ही एक अपरिमेय संख्या आहे; त्याचे दशांश अंक अनंत संख्या प्रदान करते. गैरसोयीनुसार संख्येच्या दशांश अंदाजे क्रम विचारात घ्या: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; इ.

या क्रमाच्या सदस्यांची संख्या असीम आहे, त्यापैकी प्रत्येकाची गणना केली जाऊ शकते. हा क्रम सूत्राने परिभाषित करणे अशक्य आहे, म्हणून आम्ही त्याचे मौखिक वर्णन करतो.

6. क्रम निर्दिष्ट करण्याची आवर्ती पद्धत

आम्ही संख्या क्रम निर्दिष्ट करण्याचे दोन मार्ग पाहिले:

1. विश्लेषणात्मक पद्धत, जेव्हा nव्या पदाचे सूत्र निर्दिष्ट केले जाते.

2. मौखिक क्रम कार्य.

आणि शेवटी, एक आवर्ती अनुक्रम असाइनमेंट आहे, जेव्हा मागील अटींवर आधारित n व्या पदाची गणना करण्याचे नियम निर्दिष्ट केले जातात.

चला विचार करूया

उदाहरण १.फिबोनाची क्रम (१३वे शतक).

ऐतिहासिक माहिती:

पिसाचा लिओनार्डो (सुमारे 1170, पिसा - सुमारे 1250) मध्ययुगीन युरोपमधील पहिला प्रमुख गणितज्ञ होता. तो त्याच्या टोपणनावाने फिबोनाचीने ओळखला जातो.

त्याने मिळवलेल्या ज्ञानाचा एक महत्त्वपूर्ण भाग त्याने त्याच्या उत्कृष्ट "बुक ऑफ अबॅकस" मध्ये (लिबर ॲबॅकी, 1202; फक्त 1228 ची पूरक हस्तलिखित आजपर्यंत टिकून आहे) मध्ये मांडली आहे. या पुस्तकात त्या काळातील जवळजवळ सर्व अंकगणित आणि बीजगणितीय माहिती आहे, जी अपवादात्मक पूर्णता आणि खोलीसह सादर केली गेली आहे. 12व्या-14व्या शतकातील युरोपीय अंकगणित-बीजगणितीय साहित्यापेक्षा “ॲबॅकसचे पुस्तक” झपाट्याने वर येते. पद्धतींची विविधता आणि सामर्थ्य, कार्यांची समृद्धता, सादरीकरणाचा पुरावा. त्यानंतरच्या गणितज्ञांनी त्यातून समस्या आणि त्या सोडवण्याच्या पद्धती या दोन्ही गोष्टी मोठ्या प्रमाणावर काढल्या. पहिल्या पुस्तकावर आधारित, युरोपियन गणितज्ञांच्या अनेक पिढ्यांनी भारतीय गणिताचा अभ्यास केला. स्थिती प्रणालीहिशेब.

पहिल्या दोन संज्ञा निर्दिष्ट केल्या आहेत आणि प्रत्येक त्यानंतरची संज्ञा मागील दोनची बेरीज आहे

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ५५; ... फिबोनाची क्रमाच्या पहिल्या काही संज्ञा आहेत.

हा क्रम वारंवार दिला जातो, nवी टर्ममागील दोन वर अवलंबून आहे.

उदाहरण २.

या क्रमामध्ये, प्रत्येक त्यानंतरची संज्ञा मागील 2 बाय पेक्षा मोठी आहे. या क्रमाला अंकगणितीय प्रगती म्हणतात.

संख्या 1, 3, 5, 7... या क्रमाच्या पहिल्या काही संज्ञा आहेत.

आवर्ती क्रम असाइनमेंटचे दुसरे उदाहरण देऊ.

उदाहरण ३.

खालीलप्रमाणे क्रम दिलेला आहे:

या क्रमाची प्रत्येक पुढील संज्ञा मागील पदाला त्याच संख्येने q ने गुणाकारून प्राप्त होते. या क्रमाला एक विशेष नाव आहे - भौमितिक प्रगती. अंकगणित आणि भूमितीय प्रगती पुढील धड्यांमधील आमच्या अभ्यासाचा विषय असेल.

b=2 आणि q=3 साठी निर्दिष्ट केलेल्या क्रमाच्या अनेक संज्ञा शोधू.

संख्या 2; 6; 18; 54; 162 ... या क्रमाच्या पहिल्या काही संज्ञा आहेत.

हे मनोरंजक आहे की हा क्रम विश्लेषणात्मकपणे देखील निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो, म्हणजे, आपण एक सूत्र निवडू शकता. या प्रकरणात, सूत्र खालीलप्रमाणे असेल.

खरंच: जर n=1 असेल, तर ; जर n=2, तर; जर n=3 तर इ.

अशा प्रकारे, आम्ही सांगतो: समान क्रम विश्लेषणात्मक आणि वारंवार दोन्ही निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो.

7. धडा सारांश

म्हणून, आम्ही संख्या क्रम काय आहे आणि तो कसा सेट करायचा ते पाहिले.

पुढील धड्यात आपण संख्या क्रमांच्या गुणधर्मांशी परिचित होऊ.

1. मकारीचेव्ह यू. एट अल. बीजगणित (हायस्कूलसाठी पाठ्यपुस्तक), 1992

2. मकरीचेव्ह यू एन., मिंड्युक एन. जी., नेशकोव्ह, के. आय. प्रगत वर्गासाठी बीजगणित. अभ्यास केला गणित.-एम.: नेमोसिन, 2003.

3. मकारीचेव यू., मिंड्युक एन. जी. 9व्या वर्गाच्या बीजगणित शाळेच्या पाठ्यपुस्तकासाठी अतिरिक्त अध्याय - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 2002.

4. गॅलित्स्की M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ग्रेड 8-9 साठी बीजगणित समस्यांचे संकलन ( प्रशिक्षण पुस्तिकाशाळा आणि प्रगत वर्गातील विद्यार्थ्यांसाठी. अभ्यास केला गणित).-एम.: शिक्षण, 1996.

5. मॉर्डकोविच ए.जी. बीजगणित 9 वी इयत्ता, सामान्य शिक्षण संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक. - एम.: निमोसिन, 2002.

6. मॉर्डकोविच ए.जी., मिशुटिना टी. एन., तुलचिन्स्काया ई. ई. बीजगणित 9वी श्रेणी, शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक. - एम.: निमोसिन, 2002.

7. शाळेत गणिताचा इतिहास G.I. ग्रेड 7-8 (शिक्षक पुस्तिका) - एम.: शिक्षण, 1983.

1. कॉलेज विभाग. ru गणितात.

2. नैसर्गिक विज्ञान पोर्टल.

3. एक्सपोनेन्टा. ru शैक्षणिक गणितीय साइट.

1. क्रमांक 331, 335, 338 (मकर्यचेव्ह यू. एन. एट अल. बीजगणित 9 वी श्रेणी).

2. क्रमांक 12.4 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. ग्रेड 8-9 साठी बीजगणित समस्यांचे संकलन).

धडा क्रमांक 32 बीजगणित	गणित शिक्षक, प्रथम श्रेणी ओल्गा विक्टोरोव्हना गॉन. पूर्व कझाकस्तान प्रदेश ग्लुबोकोव्स्की जिल्हा KSU "चेरेमशान्स्काया" हायस्कूल»
विषय: संख्या क्रम आणि ते निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती
धड्याची मुख्य उद्दिष्टे आणि उद्दिष्टे	शैक्षणिक: विद्यार्थ्यांना “अनुक्रम”, “अनुक्रमाचा नववा सदस्य” या संकल्पनांचा अर्थ समजावून सांगा; अनुक्रम सेट करण्याच्या पद्धती सादर करा. विकासात्मक मी: तार्किक विचार कौशल्यांचा विकास; संगणकीय कौशल्यांचा विकास; मौखिक भाषण संस्कृतीचा विकास, संवाद आणि सहकार्याचा विकास.शैक्षणिक : निरीक्षणाचे शिक्षण, विषयात प्रेम आणि स्वारस्य निर्माण करणे.
विषयात प्राविण्य मिळवण्याचे अपेक्षित परिणाम	धड्यादरम्यान, ते संख्या क्रम आणि ते कसे नियुक्त करायचे याबद्दल नवीन ज्ञान प्राप्त करतील. ते योग्य उपाय शोधायला शिकतील, सोल्यूशन अल्गोरिदम तयार करतील आणि समस्या सोडवताना त्याचा वापर करतील. संशोधनातून त्यांच्या काही गुणधर्मांचा शोध घेतला जाईल. सर्व काम स्लाइड्ससह आहे. आयसीटीच्या वापरामुळे जीवंत धडा घेणे, मोठ्या प्रमाणात काम पूर्ण करणे शक्य होईल आणि मुले प्रामाणिक स्वारस्यआणि भावनिक समज. हुशार विद्यार्थी फिबोनाची संख्या आणि सुवर्ण गुणोत्तर यावर सादरीकरण करतील. सार्वत्रिक शैक्षणिक क्रियाकलाप, ज्याची निर्मिती उद्दीष्ट आहे शैक्षणिक प्रक्रिया: जोड्यांमध्ये काम करण्याची क्षमता, विकसित तार्किक विचार, विश्लेषण करण्याची, संशोधन करण्याची, निष्कर्ष काढण्याची, एखाद्याच्या दृष्टिकोनाचे रक्षण करण्याची क्षमता. संप्रेषण आणि सहयोग कौशल्ये शिकवा. या तंत्रज्ञानाचा वापर विद्यार्थ्यांच्या विकासाला हातभार लावतो सार्वत्रिक पद्धतीक्रियाकलाप, सर्जनशील अनुभव, क्षमता, संप्रेषण कौशल्ये.
धडा मुख्य कल्पना	शिकवण्याच्या आणि शिकण्याच्या नवीन पद्धती संवाद प्रशिक्षण कसे शिकायचे ते शिकत आहे क्रिटिकल थिंकिंग शिकवणे हुशार आणि हुशार मुलांचे शिक्षण
धडा प्रकार	अभ्यास करत आहे नवीन विषय
शिकवण्याच्या पद्धती	व्हिज्युअल (सादरीकरण), शाब्दिक (संभाषण, स्पष्टीकरण, संवाद), व्यावहारिक.
संस्थेचे स्वरूप शैक्षणिक क्रियाकलापअभ्यास करत आहे	पुढचा; स्टीम रूम; वैयक्तिक

धड्याची प्रगती

संघटनात्मक क्षण

(विद्यार्थ्यांचे स्वागत करणे, गैरहजर ओळखणे, धड्यासाठी विद्यार्थ्यांची तयारी तपासणे, लक्ष आयोजित करणे).

धडा प्रेरणा.

“संख्या जगावर राज्य करते,” असे प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ म्हणाले. "सर्व काही एक संख्या आहे." त्यांच्या मते तात्विक जागतिक दृष्टीकोन, संख्या केवळ मोजमाप आणि वजन नियंत्रित करत नाही तर निसर्गात घडणाऱ्या घटना देखील नियंत्रित करतात आणि जगात राज्य करणाऱ्या सुसंवादाचे सार आहेत. आज वर्गात आम्ही अंकांसह काम करत राहू.

विषयाचा परिचय, नवीन साहित्य शिकणे.

चला तुमच्या तार्किक क्षमतेची चाचणी घेऊ. मी काही शब्द सांगतो, आणि तुम्ही पुढे चालू ठेवा:

–सोमवार, मंगळवार,....

– जानेवारी, फेब्रुवारी, मार्च...;

– अलीव, गोर्डीवा, ग्रिबाचेवा... (वर्ग यादी);

–10,11,12,…99;

निष्कर्ष: हे अनुक्रम आहेत, म्हणजे, संख्या किंवा संकल्पनांची काही क्रमबद्ध मालिका, जेव्हा प्रत्येक संख्या किंवा संकल्पना त्याच्या जागी काटेकोरपणे उभी असते. तर, धड्याचा विषय सुसंगतता आहे.

आज आपण करूसंख्या क्रमांचे प्रकार आणि घटक, तसेच त्यांना नियुक्त करण्याच्या पद्धतींबद्दल बोला.आम्ही खालीलप्रमाणे क्रम दर्शवू: (аn), (bn), (сn), इ.

आणि आता मी तुम्हाला पहिले कार्य ऑफर करतो: तुमच्या समोर काही संख्यात्मक अनुक्रम आणि या अनुक्रमांचे मौखिक वर्णन आहे. आपल्याला प्रत्येक पंक्तीचा नमुना शोधणे आवश्यक आहे आणि ते वर्णनाशी संबंधित आहे. (बाणाने दाखवा)(परस्पर तपासणी)

आम्ही विचारात घेतलेल्या मालिका ही उदाहरणे आहेतसंख्या क्रम .

जे घटक अनुक्रम तयार करतात त्यांना म्हणतातक्रमाचे सदस्य आणिअनुक्रमे प्रथम, द्वितीय, तृतीय, असे म्हणतात ...n- क्रमाचे संख्यात्मक सदस्य. अनुक्रमाचे सदस्य खालीलप्रमाणे नियुक्त केले आहेत:ए 1 ; ए 2 ; ए 3 ; ए 4 ; … ए n ; कुठे n - संख्या , ज्या अंतर्गत दिलेली संख्या अनुक्रमात स्थित आहे.
खालील क्रम स्क्रीनवर रेकॉर्ड केले आहेत:
( सूचीबद्ध अनुक्रमांचा वापर करून, अनुक्रम सदस्य a चे नोटेशन फॉर्म तयार केले आहे n , आणि मागील आणि त्यानंतरच्या संज्ञांच्या संकल्पना ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

नाव ए 1 प्रत्येक क्रमासाठी, आणि 3 इ. तुम्ही यातील प्रत्येक पंक्ती सुरू ठेवू शकता का? यासाठी तुम्हाला काय माहित असणे आवश्यक आहे?

यांसारख्या आणखी काही संकल्पना पाहूत्यानंतरचे आणि मागील .

(उदाहरणार्थ, ए 5…, आणि a साठी n ?) - स्लाइडवर रेकॉर्डिंगa n +1, a n -1

अनुक्रमांचे प्रकार
( वर सूचीबद्ध केलेल्या अनुक्रमांचा वापर करून, अनुक्रमांचे प्रकार ओळखण्याचे कौशल्य विकसित केले जाते. )
1) वाढणे - जर प्रत्येक पद पुढील पदापेक्षा कमी असेल, म्हणजे.a n < a n +1.
२) कमी होत आहे - जर प्रत्येक पद पुढील पदापेक्षा मोठे असेल, म्हणजेa n > a n +1 .
3) अनंत
4) अंतिम
5) पर्यायी
६) स्थिर (स्थिर)

व्याख्या करण्याचा प्रयत्न कराप्रत्येक प्रजाती आणि प्रत्येक प्रस्तावित अनुक्रमांचे वैशिष्ट्य.

तोंडी कार्ये

अनुक्रम 1 मध्ये नाव; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) अटी अ 1 ; ए 4 ; ए 10 ; ए n ;

चार अंकी संख्यांचा क्रम मर्यादित आहे का? (होय)

त्याच्या पहिल्या आणि शेवटच्या सदस्यांची नावे सांगा. (उत्तर: १०००; ९९९९)

संख्या 2 लिहिण्याचा क्रम आहे; 4; 7; 1; -21; -15; ...? (नाही, कारण पहिल्या सहा संज्ञांमधून कोणताही नमुना शोधणे अशक्य आहे)

शारीरिक विराम (आजच्या धड्याच्या विषयाशी देखील संबंधित आहे: तारांकित आकाश, सौर मंडळाचे ग्रह... काय संबंध आहे?)

अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती
1) मौखिक - वर्णनानुसार एक क्रम सेट करणे;
2) विश्लेषणात्मक - सूत्रn -वा सदस्य;
3) ग्राफिक - आलेख वापरून;
4) आवर्ती - क्रमाचा कोणताही सदस्य, एका विशिष्ट बिंदूपासून सुरू होणारा, मागील संदर्भात व्यक्त केला जातो
आज धड्यात आपण पहिल्या दोन पद्धती पाहू. तर,शाब्दिक मार्ग कदाचित तुमच्यापैकी कोणी काही क्रम सेट करण्याचा प्रयत्न करेल?

(उदाहरणार्थ:विषम नैसर्गिक संख्यांचा क्रम तयार करा . या क्रमाचे वर्णन करा: वाढती, अनंत)
विश्लेषणात्मक पद्धत: क्रमाच्या nव्या पदासाठी सूत्र वापरणे.

सामान्य टर्म फॉर्म्युला तुम्हाला कोणत्याही दिलेल्या संख्येसह अनुक्रमाची संज्ञा मोजण्याची परवानगी देतो. उदाहरणार्थ, जर x n =3n+2, नंतर

एक्स 1 =3*1+2=5;

एक्स 2 =3*2+2=8

एक्स 5 =3 . 5+2=17;

एक्स 45 =3 . ४५+२=१३७, इ. मग फायदा कायविश्लेषणात्मक मार्ग आधीशाब्दिक ?

आणि मी तुम्हाला पुढील कार्य ऑफर करतो: काही अनुक्रम निर्दिष्ट करण्यासाठी सूत्रे आणि या सूत्रांनुसार स्वतः तयार केलेले अनुक्रम दिले आहेत. या क्रमांमध्ये काही संज्ञा गहाळ आहेत. आपले कार्यजोड्यांमध्ये काम करणे , रिक्त जागा भरा.

स्वत: ची चाचणी (योग्य उत्तर स्लाइडवर दिसेल)

कामगिरी सर्जनशील प्रकल्प"फिबोनाची संख्या" (आगाऊ कार्य )

आज आपण प्रसिद्ध अनुक्रमांशी परिचित होऊ:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (स्लाइड) प्रत्येक संख्या, तिसऱ्यापासून सुरू होणारी, मागील दोन संख्यांच्या बेरजेइतकी आहे. नैसर्गिक संख्यांची ही मालिका, ज्याचे स्वतःचे ऐतिहासिक नाव आहे - फिबोनाची मालिका, त्याचे स्वतःचे तर्कशास्त्र आणि सौंदर्य आहे. लिओनार्डो फिबोनाची (1180-1240). प्रख्यात इटालियन गणितज्ञ, द बुक ऑफ अबॅकसचे लेखक. हे पुस्तक अनेक शतके अंकगणित आणि बीजगणितावरील माहितीचे मुख्य भांडार राहिले. एल. फिबोनाचीच्या कार्यातूनच संपूर्ण युरोपने प्रभुत्व मिळवले अरबी अंक, मोजणी प्रणाली, तसेच व्यावहारिक भूमिती. डेकार्टेसच्या युगापर्यंत ते डेस्कटॉप पाठ्यपुस्तके राहिले (आणि हे आधीच 17 वे शतक आहे!).

व्हिडिओ पाहत आहे.

सर्पिल आणि फिबोनाची मालिका यांच्यात काय संबंध आहे हे तुम्हाला कदाचित समजले नाही. तर ते कसे होते ते मी तुम्हाला दाखवतो .

जर आपण बाजू 1 च्या शेजारी शेजारी दोन चौरस बांधले, तर मोठ्या बाजूला 2 च्या बरोबरीने, नंतर मोठ्या बाजूला 3 च्या बरोबरीने आणखी एक चौरस जाहिरात अनंत... नंतर प्रत्येक चौकोनात, लहान चौरसापासून सुरुवात करून, आपण एक चतुर्थांश चाप तयार करा, आम्ही चित्रपटातील भाषणाबद्दल बोलत आहोत ते सर्पिल मिळेल.

खरं तर, या धड्यात मिळालेल्या ज्ञानाचा व्यावहारिक उपयोग वास्तविक जीवनपुरेसे मोठे. तुमच्या आधी विविध वैज्ञानिक क्षेत्रातील अनेक कामे आहेत.

(वैयक्तिक काम)

कार्य १.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

कार्य 2.

(विद्यार्थ्यांची उत्तरे बोर्डवर लिहिली आहेत: 500, 530, 560, 590, 620).

कार्य 3.

कार्य 4. दररोज, फ्लूची प्रत्येक व्यक्ती त्यांच्या आसपासच्या 4 लोकांना संक्रमित करू शकते. आमच्या शाळेतील सर्व विद्यार्थी (३०० लोक) किती दिवसात आजारी पडतील? (4 दिवसांनंतर).

समस्या 5 . जर एक जीवाणू दर अर्ध्या तासाने विभाजित झाला तर 10 तासांत किती चिकन कॉलरा जीवाणू दिसून येतील?
समस्या 6 . विहीर एअर बाथपहिल्या दिवशी 15 मिनिटांनी सुरुवात करा आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक दिवशी या प्रक्रियेची वेळ 10 मिनिटांनी वाढवा. किती दिवस घ्यावे एअर बाथ 1 तास 45 मिनिटांचा जास्तीत जास्त कालावधी साध्य करण्यासाठी निर्दिष्ट मोडमध्ये? ( 10)

समस्या 7 . येथे मुक्त पडणेशरीर पहिल्या सेकंदात 4.8 मीटर आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक सेकंदात 9.8 मीटर अधिक प्रवास करते. पडणे सुरू झाल्यानंतर मुक्तपणे घसरणारे शरीर त्याच्या तळाशी 5 सेकंदांपर्यंत पोहोचल्यास शाफ्टची खोली शोधा.

समस्या 8 . मृत्युपत्र सोडताना नागरिक के. त्याने पहिल्या महिन्यात $1,000 खर्च केले आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक महिन्यात त्याने $500 अधिक खर्च केले. 1 वर्षाच्या आरामदायी आयुष्यासाठी पुरेसा असल्यास किती पैसे नागरिक K ला दिले होते? (४५०००)

"प्रगती" च्या या अध्यायातील खालील विषयांचा अभ्यास केल्याने आम्हाला अशा समस्या लवकरात लवकर आणि त्रुटीशिवाय सोडवता येतील.

गृहपाठ: पृष्ठ 66 क्रमांक 151, 156, 157

सर्जनशील कार्य: पास्कलच्या त्रिकोणाबद्दल संदेश

सारांश. प्रतिबिंब. (ज्ञानाच्या "वाढीचे" मूल्यांकन आणि उद्दिष्टे साध्य करणे)

आजच्या धड्याचा उद्देश काय होता?

ध्येय साध्य झाले आहे का?

विधान चालू ठेवा

मला माहित नव्हते...

आता मला माहित आहे ...

अनुक्रमांच्या गुणधर्मांच्या व्यावहारिक वापरावरील समस्या (प्रगती)

कार्य १. संख्यांचा क्रम सुरू ठेवा:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

कार्य २. गोदामात 500 टन कोळसा आहे, दररोज 30 टन कोळसा 1 दिवसात किती असेल? दिवस 2? दिवस 3? दिवस 4? दिवस 5?

कार्य 3. 1 m/s वेगाने चालणारी कार, प्रत्येक त्यानंतरच्या सेकंदासाठी तिचा वेग 0.6 m/s ने बदलते. 10 सेकंदांनंतर त्याचा वेग किती असेल?

समस्या 4 . दररोज, फ्लूची प्रत्येक व्यक्ती त्यांच्या आसपासच्या 4 लोकांना संक्रमित करू शकते. आमच्या शाळेतील सर्व विद्यार्थी (३०० लोक) किती दिवसात आजारी पडतील?

कार्य 5. जर एक जीवाणू दर अर्ध्या तासाने विभाजित झाला तर 10 तासांत किती कोंबडी कॉलरा जीवाणू दिसून येतील?

कार्य 6. एअर बाथचा कोर्स पहिल्या दिवशी 15 मिनिटांनी सुरू होतो आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक दिवशी या प्रक्रियेचा कालावधी 10 मिनिटांनी वाढतो. 1 तास 45 मिनिटांचा जास्तीत जास्त कालावधी साध्य करण्यासाठी तुम्ही सूचित मोडमध्ये किती दिवस एअर बाथ घ्यावे?

कार्य 7. फ्री फॉलमध्ये, शरीर पहिल्या सेकंदात 4.8 मीटर आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक सेकंदात 9.8 मीटर अधिक प्रवास करते. पडणे सुरू झाल्यानंतर मुक्तपणे घसरणारे शरीर त्याच्या तळाशी 5 सेकंदांपर्यंत पोहोचल्यास शाफ्टची खोली शोधा.

कार्य 8. मृत्युपत्र सोडले नागरिक के. त्याने पहिल्या महिन्यात $1,000 खर्च केले आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक महिन्यात त्याने $500 अधिक खर्च केले. 1 वर्षाच्या आरामदायी आयुष्यासाठी पुरेसा असल्यास किती पैसे नागरिक K ला दिले होते?

उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी y= n 2 लिहिले जाऊ शकते:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती.अनुक्रम विविध प्रकारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात, त्यापैकी तीन विशेषतः महत्वाचे आहेत: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक आणि आवर्ती.

1. जर त्याचे सूत्र दिले असेल तर क्रम विश्लेषणात्मकपणे दिला जातो nवा सदस्य:

y n=f(n).

उदाहरण. y n= 2n - 1 – विषम संख्यांचा क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, …

उदाहरण 2: "क्रमामध्ये सर्व मूळ संख्या चढत्या क्रमाने असतात." अशा प्रकारे, दिलेला क्रम 2, 3, 5, 7, 11, …. या उदाहरणात अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याच्या या पद्धतीसह, अनुक्रमाचा 1000 वा घटक काय आहे याचे उत्तर देणे कठीण आहे.

उदाहरण १. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 जर n = 2, 3, 4,….

येथे y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

उदाहरण २. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 जर n = 3, 4,….

येथे: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, साठी सूत्र nफिबोनाची संख्या अकल्पनीय दिसते, कारण नैसर्गिक संख्यांचा क्रम निर्दिष्ट करणाऱ्या सूत्रामध्ये फक्त वर्गमूळ असतात, परंतु तुम्ही पहिल्या काहींसाठी या सूत्राची वैधता “मॅन्युअली” तपासू शकता. n.

संख्या अनुक्रमांचे गुणधर्म.

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

उदाहरण १. y 1 = 1; y n= n 2 - वाढता क्रम.

अशा प्रकारे, खालील प्रमेय सत्य आहे (अंकगणिताच्या प्रगतीचा एक वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म). प्रथम (आणि मर्यादित क्रमाच्या बाबतीत शेवटचा) वगळता त्यातील प्रत्येक सदस्य आधीच्या आणि त्यानंतरच्या सदस्यांच्या अंकगणितीय सरासरीएवढा असेल तरच आणि जर संख्यांचा क्रम अंकगणित असेल.

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

हे समीकरण सोडवल्याने मिळते x= –5,5. या मूल्यावर xदिलेली अभिव्यक्ती 3 x + 2, 5x- 4 आणि 11 x+ 12 घ्या, अनुक्रमे, मूल्ये -14.5, –31,5, –48,5. ही एक अंकगणित प्रगती आहे, त्याचा फरक -17 आहे.

भौमितिक प्रगती.

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bआणि q -दिलेले नंबर, b ≠ 0, q ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... – भौमितिक प्रगती वाढवणे b = 2, q = 3.

उदाहरण २. २, –२, २, –२, … – भौमितिक प्रगती b= 2,q= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8, … – भौमितिक प्रगती b= 8, q= 1.

भौमितिक प्रगती हा एक वाढणारा क्रम आहे जर b 1 > 0, q> 1, आणि कमी होत असल्यास b 1 > 0, 0 क्वि

सूत्र n-भौमितिक प्रगतीच्या व्या पदाचे स्वरूप आहे

b n= b 1 qn- 1 .

एक मर्यादित भौमितिक प्रगती दिली जाऊ द्या

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

द्या एस एन -त्याच्या सदस्यांची बेरीज, म्हणजे

एस एन= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = एस एन+ b n q– b 1 .

अशा प्रकारे, S n q= एस एन +b n q – b 1 आणि म्हणून

सह हे सूत्र आहे umma n भूमितीय प्रगतीच्या अटीतेव्हा केस साठी q≠ 1.

येथे q= 1 या प्रकरणात सूत्र वेगळे काढण्याची गरज नाही; एस एन= a 1 n.

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

संख्या क्रम ही भौमितीय प्रगती आहे जर आणि फक्त जर आणि फक्त जर त्याच्या प्रत्येक पदाचा वर्ग, प्रथम वगळता (आणि मर्यादित क्रमाच्या बाबतीत शेवटचा) मागील आणि त्यानंतरच्या संज्ञांच्या गुणाकाराच्या समान असेल.

सुसंगतता मर्यादा.

अन्यथा क्रमाला विपरित म्हणतात.

अशी गोष्ट अस्तित्वात आहे का? एनते प्रत्येकासाठी आहे n ≥ एनअसमानता 1 धारण करते /N? म्हणून घेतलं तर एनपेक्षा मोठी कोणतीही नैसर्गिक संख्या 1/ε , नंतर प्रत्येकासाठी n ≥ Nअसमानता 1 धारण करते /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.