सामान्य विमान समीकरण सामान्य स्वरूपात कमी करणे. सामान्य विमान समीकरण. अंतराळातील रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे
सामान्य विमान समीकरण.
फॉर्मच्या प्लेनचे सामान्य समीकरण म्हणतात सामान्य विमान समीकरण, जर सदिश लांबी 
एकाच्या बरोबरीने, म्हणजे, 
, आणि .
आपण अनेकदा पाहू शकता की विमानाचे सामान्य समीकरण असे लिहिलेले आहे. एकक लांबीच्या दिलेल्या विमानाच्या सामान्य वेक्टरच्या दिशा कोसाइन आहेत, म्हणजे आणि p- उत्पत्तीपासून विमानापर्यंतच्या अंतराच्या बरोबरीची नॉन-ऋणात्मक संख्या.
आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये विमानाचे सामान्य समीकरण Oxyzअंतराने उत्पत्तीपासून दूर केलेले विमान परिभाषित करते pया विमानाच्या सामान्य वेक्टरच्या सकारात्मक दिशेने 
. जर p=0, नंतर विमान उगमस्थानातून जाते.
सामान्य समीकरणाचे उदाहरण देऊ.
विमानाला आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये निर्दिष्ट करू द्या Oxyzफॉर्मचे सामान्य समीकरण 
. विमानाचे हे सामान्य समीकरण विमानाचे सामान्य समीकरण आहे. खरंच, या विमानाचा सामान्य वेक्टर आहे 
एक लांबी समान आहे, पासून 
.
सामान्य स्वरूपातील विमानाचे समीकरण तुम्हाला एका बिंदूपासून विमानापर्यंतचे अंतर शोधू देते.
एका बिंदूपासून विमानापर्यंतचे अंतर.
एका बिंदूपासून विमानापर्यंतचे अंतर हे बिंदू आणि विमानाच्या बिंदूंमधील अंतरांपैकी सर्वात लहान आहे. अशी माहिती आहे अंतरएका बिंदूपासून समतलापर्यंत या बिंदूपासून समतलापर्यंत काढलेल्या लंबाच्या लांबीच्या समान आहे.
जर आणि निर्देशांकांची उत्पत्ती विमानाच्या वेगवेगळ्या बाजूंवर असेल तर, उलट स्थितीत. एका बिंदूपासून विमानापर्यंतचे अंतर आहे
विमानांची परस्पर व्यवस्था. समांतरता आणि विमानांच्या लंबतेसाठी अटी.
समांतर विमानांमधील अंतर
संबंधित संकल्पना
विमाने समांतर आहेत , जर
किंवा 
(वेक्टर उत्पादन)
विमाने लंब आहेत, जर
किंवा 
. (डॉट उत्पादन)
सरळ जागेत. सरळ रेषेतील समीकरणांचे विविध प्रकार.
अंतराळातील सरळ रेषेची समीकरणे - प्रारंभिक माहिती.
विमानावरील सरळ रेषेचे समीकरण ऑक्सीदोन चलांमधील एक रेखीय समीकरण आहे xआणि y, जे एका रेषेवरील कोणत्याही बिंदूच्या समन्वयाने समाधानी आहे आणि इतर कोणत्याही बिंदूंच्या समन्वयाने समाधानी नाही. त्रिमितीय जागेत सरळ रेषेसह परिस्थिती थोडी वेगळी आहे - तीन व्हेरिएबल्ससह कोणतेही रेखीय समीकरण नाही x, yआणि z, जे आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या रेषेवरील बिंदूंच्या समन्वयानेच समाधानी असेल Oxyz. खरंच, फॉर्मचे समीकरण , कुठे x, yआणि zचल आहेत, आणि ए, बी, सीआणि डी- काही वास्तविक संख्या आणि ए, INआणि सहएकाच वेळी शून्य समान नसतात, प्रतिनिधित्व करतात सामान्य विमान समीकरण. मग प्रश्न उद्भवतो: “आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये सरळ रेषेचे वर्णन कसे केले जाऊ शकते? Oxyz»?
याचे उत्तर लेखाच्या पुढील परिच्छेदांमध्ये आहे.
अंतराळातील सरळ रेषेची समीकरणे ही दोन छेदणाऱ्या विमानांची समीकरणे आहेत.
आपण एक स्वयंसिद्ध लक्षात ठेवूया: जर अंतराळातील दोन विमानांचा समान बिंदू असेल, तर त्यांच्याकडे एक समान सरळ रेषा आहे ज्यावर या विमानांचे सर्व सामायिक बिंदू स्थित आहेत. अशा प्रकारे, या सरळ रेषेला छेदणारी दोन विमाने निर्दिष्ट करून अंतराळातील सरळ रेषा परिभाषित केली जाऊ शकते.
शेवटच्या विधानाचे बीजगणिताच्या भाषेत भाषांतर करू.
त्रिमितीय जागेत आयताकृती समन्वय प्रणाली निश्चित करू द्या Oxyzआणि हे ज्ञात आहे की सरळ रेषा aदोन समतलांच्या छेदनबिंदूची रेषा आहे आणि, जी फॉर्मच्या प्लेनच्या सामान्य समीकरणांशी संबंधित आहे आणि अनुक्रमे. ते सरळ असल्याने aहा समतलांच्या सर्व सामाईक बिंदूंचा संच आहे आणि नंतर a रेषेवरील कोणत्याही बिंदूचे समन्वय समीकरण आणि समीकरण दोन्ही एकाच वेळी पूर्ण करतील, इतर कोणत्याही बिंदूंचे निर्देशांक एकाच वेळी विमानांच्या दोन्ही समीकरणांची पूर्तता करतील. म्हणून, रेषेवरील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशांक aआयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये Oxyzप्रतिनिधित्व करा प्रणालीचे विशिष्ट समाधान रेखीय समीकरणे
दयाळू 
, ए सामान्य उपायसमीकरण प्रणाली 
रेषेवरील प्रत्येक बिंदूचे निर्देशांक निर्धारित करते a, म्हणजे, सरळ रेषा परिभाषित करते a.
तर, आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये अंतराळातील एक सरळ रेषा Oxyzदोन छेदणाऱ्या विमानांच्या समीकरणांच्या प्रणालीद्वारे दिले जाऊ शकते 
.
दोन समीकरणांची प्रणाली वापरून अंतराळातील सरळ रेषा परिभाषित करण्याचे एक उदाहरण येथे आहे - 
.
दोन छेदणाऱ्या विमानांच्या समीकरणासह सरळ रेषेचे वर्णन करणे उत्तम आहे रेषा आणि विमानाच्या छेदनबिंदूचे निर्देशांक शोधणे, आणि कधी अंतराळातील दोन रेषांच्या छेदनबिंदूचे निर्देशांक शोधणे.
आम्ही लेखाचा संदर्भ देऊन या विषयाचा अधिक अभ्यास करण्याची शिफारस करतो अंतराळातील रेषेची समीकरणे - दोन छेदणाऱ्या विमानांची समीकरणे. हे अधिक तपशीलवार माहिती प्रदान करते, विशिष्ट उदाहरणे आणि समस्यांच्या निराकरणाचे तपशीलवार विश्लेषण करते आणि वेगळ्या प्रकारच्या जागेत सरळ रेषेच्या समीकरणांवर जाण्याचा मार्ग देखील दर्शवते.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की भिन्न आहेत अंतराळातील रेषा परिभाषित करण्याचे मार्ग, आणि व्यवहारात, एक सरळ रेषा सहसा दोन छेदणाऱ्या समतलांनी नाही तर सरळ रेषेच्या डायरेक्टिंग वेक्टरद्वारे आणि या सरळ रेषेवर असलेल्या एका बिंदूद्वारे परिभाषित केली जाते. या प्रकरणांमध्ये, अंतराळातील रेषेचे प्रमाणिक आणि पॅरामेट्रिक समीकरण प्राप्त करणे सोपे आहे. आम्ही त्यांच्याबद्दल पुढील परिच्छेदांमध्ये बोलू.
अंतराळातील रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे.
अंतराळातील रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणेसारखे दिसते 
,
कुठे x 1 ,y 1 आणि z 1 - रेषेवरील काही बिंदूचे निर्देशांक, a x , a yआणि a z (a x , a yआणि a zएकाच वेळी शून्याच्या समान नाहीत) - संबंधित सरळ रेषेच्या डायरेक्टिंग वेक्टरचे निर्देशांक, a हे काही पॅरामीटर आहे जे कोणतेही वास्तविक मूल्य घेऊ शकते.
पॅरामीटरच्या कोणत्याही मूल्यासाठी, अंतराळातील रेषेची पॅरामीट्रिक समीकरणे वापरून, आपण संख्यांच्या तिप्पट काढू शकतो,
ते रेषेवरील काही बिंदूशी सुसंगत असेल (म्हणून या प्रकारच्या रेषेच्या समीकरणाचे नाव). उदाहरणार्थ, जेव्हा
अंतराळातील एका सरळ रेषेच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांवरून आपल्याला निर्देशांक मिळतात x 1
, y 1
आणि z 1
: 
.
उदाहरण म्हणून, फॉर्मच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांद्वारे परिभाषित केलेल्या सरळ रेषेचा विचार करा 
. ही रेषा एका बिंदूतून जाते आणि या रेषेच्या दिशा वेक्टरमध्ये समन्वय असतात.
आम्ही लेखाचा संदर्भ देऊन विषयाचा अभ्यास सुरू ठेवण्याची शिफारस करतो अंतराळातील रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे. हे अंतराळातील रेषेच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांची व्युत्पत्ती दर्शविते, स्पेसमधील रेषेच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांची विशेष प्रकरणे तपासते, ग्राफिक चित्रे प्रदान करते, वैशिष्ट्यपूर्ण समस्यांचे तपशीलवार निराकरण प्रदान करते आणि रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे आणि इतर प्रकारांमधील संबंध सूचित करते. रेषेची समीकरणे.
अंतराळातील सरळ रेषेची विहित समीकरणे.
फॉर्मचे प्रत्येक पॅरामेट्रिक सरळ रेषेचे समीकरण सोडवून 
पॅरामीटरच्या संदर्भात, त्यावर जाणे सोपे आहे अंतराळातील एका सरळ रेषेची प्रामाणिक समीकरणेदयाळू 
.
अंतराळातील रेषेची प्रमाणिक समीकरणे बिंदूमधून जाणारी रेषा ठरवतात 
, आणि सरळ रेषेची दिशा वेक्टर आहे 
. उदाहरणार्थ, कॅनॉनिकल स्वरूपात सरळ रेषेची समीकरणे 
अंतराळातील एका बिंदूमधून निर्देशांकांसह जाणाऱ्या रेषेशी संबंधित आहे, या रेषेच्या दिशा वेक्टरमध्ये समन्वय आहेत.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की एका रेषेच्या कॅनोनिकल समीकरणांमधील एक किंवा दोन संख्या शून्याच्या समान असू शकतात (तीन्ही संख्या एकाच वेळी शून्याच्या समान असू शकत नाहीत, कारण रेषेची दिशा वेक्टर शून्य असू शकत नाही). मग फॉर्मची नोटेशन 
औपचारिक मानले जाते (एक किंवा दोन अपूर्णांकांच्या भाजकांमध्ये शून्य असेल) आणि म्हणून समजले पाहिजे 
, कुठे.
जर रेषेच्या प्रामाणिक समीकरणांमधील एक संख्या शून्य असेल, तर ती रेषा एका समांतर समतलामध्ये किंवा समांतर समतलामध्ये असते. जर दोन संख्या शून्य असतील, तर रेषा एकतर समन्वय अक्षांपैकी एकाशी जुळते किंवा त्यास समांतर असते. उदाहरणार्थ, फॉर्मच्या स्पेसमधील रेषेच्या कॅनोनिकल समीकरणांशी संबंधित रेखा 
, विमानात आहे z=-2, जे समन्वय समतल आहे ऑक्सी, आणि समन्वय अक्ष ओयप्रमाणिक समीकरणांद्वारे निर्धारित केले जाते.
या प्रकरणांच्या ग्राफिक उदाहरणांसाठी, अंतराळातील एका रेषेच्या प्रामाणिक समीकरणांची व्युत्पत्ती, ठराविक उदाहरणे आणि समस्यांचे तपशीलवार निराकरण, तसेच एका रेषेच्या प्रामाणिक समीकरणांपासून अंतराळातील रेषेच्या इतर समीकरणांमध्ये होणारे संक्रमण पहा. लेख अंतराळातील एका रेषेची प्रामाणिक समीकरणे.
सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण. सामान्य पासून प्रमाणिक समीकरणात संक्रमण.
| " |
या पाठात आपण निर्धारकाचा वापर कसा करायचा ते पाहू विमान समीकरण. तुम्हाला निर्धारक काय आहे हे माहित नसल्यास, धड्याच्या पहिल्या भागावर जा - "मॅट्रिसेस आणि निर्धारक". अन्यथा, तुम्हाला आजच्या साहित्यात काहीही न समजण्याचा धोका आहे.
तीन बिंदू वापरून विमानाचे समीकरण
आम्हाला विमान समीकरणाची अजिबात गरज का आहे? हे सोपे आहे: हे जाणून घेतल्याने, आम्ही C2 समस्येतील कोन, अंतर आणि इतर बकवास सहजपणे मोजू शकतो. सर्वसाधारणपणे, आपण या समीकरणाशिवाय करू शकत नाही. म्हणून, आम्ही समस्या तयार करतो:
कार्य. एकाच रेषेवर नसलेल्या जागेत तीन बिंदू दिले आहेत. त्यांचे समन्वयक:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
के = (x 3, y 3, z 3);या तीन बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानासाठी तुम्हाला एक समीकरण तयार करणे आवश्यक आहे. शिवाय, समीकरण असे दिसले पाहिजे:
Ax + By + Cz + D = 0
जेथे संख्या A, B, C आणि D हे गुणांक आहेत जे खरेतर शोधणे आवश्यक आहे.
बरं, फक्त बिंदूंचे निर्देशांक माहित असल्यास विमानाचे समीकरण कसे मिळवायचे? Ax + By + Cz + D = 0 या समीकरणामध्ये निर्देशांक बदलणे हा सर्वात सोपा मार्ग आहे. तुम्हाला तीन समीकरणांची एक प्रणाली मिळेल जी सहजपणे सोडवता येते.
अनेक विद्यार्थ्यांना हा उपाय अत्यंत कंटाळवाणा आणि अविश्वसनीय वाटतो. गणितातील गेल्या वर्षीच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षेत असे दिसून आले की संगणकीय त्रुटी होण्याची शक्यता खरोखरच जास्त आहे.
म्हणून, सर्वात प्रगत शिक्षकांनी सोपे आणि अधिक मोहक उपाय शोधण्यास सुरुवात केली. आणि त्यांना ते सापडले! खरे आहे, प्राप्त केलेले तंत्र उच्च गणिताशी संबंधित आहे. व्यक्तिशः, मला कोणत्याही औचित्याशिवाय किंवा पुराव्याशिवाय हे तंत्र वापरण्याचा अधिकार आहे याची खात्री करण्यासाठी मला संपूर्ण फेडरल लिस्ट ऑफ टेक्स्टबुक्सचा अभ्यास करावा लागला.
निर्धारकाद्वारे विमानाचे समीकरण
गाण्याचे बोल पुरेसे आहेत, चला व्यवसायावर उतरूया. सुरुवातीला, मॅट्रिक्सचे निर्धारक आणि समतल समीकरण कसे संबंधित आहेत याबद्दल एक प्रमेय.
प्रमेय. तीन बिंदूंचे निर्देशांक द्या ज्याद्वारे विमान काढले पाहिजे: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). मग या विमानाचे समीकरण निर्धारकाद्वारे लिहिले जाऊ शकते:
उदाहरण म्हणून, C2 समस्यांमध्ये प्रत्यक्षात येणाऱ्या विमानांची जोडी शोधण्याचा प्रयत्न करूया. प्रत्येक गोष्ट किती लवकर मोजली जाते ते पहा:
अ 1 = (0, 0, 1);
ब = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
आम्ही निर्धारक तयार करतो आणि त्यास शून्याशी समतुल्य करतो:
आम्ही निर्धारक विस्तृत करतो:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 −y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x −y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
तुम्ही बघू शकता, d ची संख्या मोजताना, मी समीकरण थोडेसे "कंम्बेड" केले जेणेकरून x, y आणि z व्हेरिएबल्स मध्ये गेले. योग्य क्रम. बस्स! विमान समीकरण तयार आहे!
कार्य. बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण लिहा:
अ = (0, 0, 0);
बी 1 = (1, 0, 1);
डी 1 = (0, 1, 1);
आम्ही बिंदूंचे निर्देशांक ताबडतोब निर्धारकामध्ये बदलतो:
आम्ही निर्धारक पुन्हा विस्तृत करतो:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x −y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
तर, विमानाचे समीकरण पुन्हा प्राप्त झाले! पुन्हा, शेवटच्या टप्प्यावर आम्हाला अधिक "सुंदर" सूत्र मिळविण्यासाठी त्यातील चिन्हे बदलावी लागली. या सोल्यूशनमध्ये हे करणे अजिबात आवश्यक नाही, परंतु तरीही शिफारस केली जाते - समस्येचे पुढील निराकरण सुलभ करण्यासाठी.
तुम्ही बघू शकता, विमानाचे समीकरण तयार करणे आता खूप सोपे झाले आहे. आम्ही गुण मॅट्रिक्समध्ये बदलतो, निर्धारकाची गणना करतो - आणि तेच, समीकरण तयार आहे.
यामुळे धडा संपू शकतो. तथापि, बरेच विद्यार्थी सतत निर्धारकाच्या आत काय आहे हे विसरतात. उदाहरणार्थ, कोणत्या ओळीत x 2 किंवा x 3 आहे आणि कोणत्या ओळीत फक्त x आहे. हे खरोखर बाहेर काढण्यासाठी, प्रत्येक संख्या कुठून येते ते पाहूया.
निर्धारकासह सूत्र कोठून येते?
तर, निर्धारकासह असे कठोर समीकरण कोठून आले ते शोधूया. हे तुम्हाला ते लक्षात ठेवण्यास आणि यशस्वीरित्या लागू करण्यात मदत करेल.
समस्या C2 मध्ये दिसणारी सर्व विमाने तीन बिंदूंनी परिभाषित केली आहेत. हे बिंदू नेहमी रेखांकनावर चिन्हांकित केले जातात किंवा अगदी समस्येच्या मजकुरात थेट सूचित केले जातात. कोणत्याही परिस्थितीत, समीकरण तयार करण्यासाठी आम्हाला त्यांचे निर्देशांक लिहावे लागतील:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
चला आपल्या विमानावरील अनियंत्रित समन्वयांसह आणखी एक मुद्दा विचारात घेऊया:
T = (x, y, z)
पहिल्या तीन मधून कोणताही बिंदू घ्या (उदाहरणार्थ, बिंदू M) आणि त्यातून प्रत्येक तीन उर्वरित बिंदूंवर वेक्टर काढा. आम्हाला तीन वेक्टर मिळतात:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
आता या सदिशांमधून एक चौरस मॅट्रिक्स बनवू आणि त्याचा निर्धारक शून्याशी बरोबरी करू. व्हेक्टरचे निर्देशांक मॅट्रिक्सच्या पंक्ती बनतील - आणि आपल्याला प्रमेयामध्ये दर्शविलेले अगदी निर्धारक मिळेल:
या सूत्राचा अर्थ असा आहे की MN, MK आणि MT या वेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपचे आकारमान शून्य आहे. म्हणून, तिन्ही वेक्टर एकाच विमानात आहेत. विशेषतः, एक अनियंत्रित बिंदू T = (x, y, z) आपण जे शोधत होतो तेच आहे.
निर्धारकाचे बिंदू आणि रेषा बदलणे
निर्धारकांमध्ये अनेक उत्कृष्ट गुणधर्म आहेत जे ते आणखी सोपे करतात C2 समस्येचे निराकरण. उदाहरणार्थ, आपण कोणत्या बिंदूपासून सदिश काढतो याने आपल्यासाठी फरक पडत नाही. म्हणून, खालील निर्धारक वरील समीकरणाप्रमाणे समान समीकरण देतात:
तुम्ही निर्धारकाच्या ओळी देखील बदलू शकता. समीकरण अपरिवर्तित राहील. उदाहरणार्थ, बऱ्याच लोकांना अगदी शीर्षस्थानी T = (x; y; z) बिंदूच्या समन्वयांसह एक ओळ लिहायला आवडते. कृपया, ते आपल्यासाठी सोयीचे असल्यास:
काही लोक गोंधळात पडले आहेत की एका ओळीत x, y आणि z हे चल आहेत, जे बिंदू बदलताना अदृश्य होत नाहीत. पण ते अदृश्य होऊ नयेत! निर्धारकामध्ये संख्या बदलून, तुम्हाला हे बांधकाम मिळाले पाहिजे:
नंतर पाठाच्या सुरुवातीला दिलेल्या आकृतीनुसार निर्धारकाचा विस्तार केला जातो आणि विमानाचे मानक समीकरण प्राप्त होते:
Ax + By + Cz + D = 0
एक उदाहरण पहा. आजच्या धड्यातील हा शेवटचा आहे. उत्तर विमानाचे समान समीकरण देईल याची खात्री करण्यासाठी मी मुद्दाम ओळींची अदलाबदल करेन.
कार्य. बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण लिहा:
बी 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
तर, आम्ही 4 गुणांचा विचार करतो:
बी 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
डी 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
प्रथम, एक मानक निर्धारक तयार करू आणि त्यास शून्याशी समतुल्य करू:
आम्ही निर्धारक विस्तृत करतो:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
एवढेच, आम्हाला उत्तर मिळाले: x + y + z − 2 = 0.
आता निर्धारकामध्ये दोन ओळींची पुनर्रचना करू आणि काय होते ते पाहू. उदाहरणार्थ, x, y, z या व्हेरिएबल्ससह तळाशी नाही तर वरच्या बाजूला एक ओळ लिहू.
आम्ही परिणामी निर्धारक पुन्हा विस्तृत करतो:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
आम्हाला अगदी समान समीकरण मिळाले: x + y + z − 2 = 0. याचा अर्थ ते पंक्तींच्या क्रमावर अवलंबून नाही. बाकी फक्त उत्तर लिहायचे आहे.
तर, आम्हाला खात्री आहे की विमानाचे समीकरण रेषांच्या अनुक्रमावर अवलंबून नाही. आपण समान गणना करू शकतो आणि हे सिद्ध करू शकतो की विमानाचे समीकरण आपण इतर बिंदूंमधून ज्याचे समन्वय वजा करतो त्यावर अवलंबून नाही.
वर विचारात घेतलेल्या समस्येमध्ये, आम्ही बिंदू B 1 = (1, 0, 1) वापरला, परंतु C = (1, 1, 0) किंवा D 1 = (0, 1, 1) घेणे शक्य होते. सर्वसाधारणपणे, ज्ञात निर्देशांकांसह कोणताही बिंदू इच्छित विमानात पडलेला असतो.
तुम्ही सेट करू शकता वेगवेगळ्या प्रकारे(एक बिंदू आणि एक सदिश, दोन बिंदू आणि एक वेक्टर, तीन बिंदू इ.). हे लक्षात घेऊनच विमानाचे समीकरण होऊ शकते विविध प्रकार. तसेच, काही अटींच्या अधीन, विमाने समांतर, लंब, छेदक, इत्यादी असू शकतात. आम्ही या लेखात याबद्दल बोलू. विमानाचे सामान्य समीकरण कसे तयार करायचे ते आपण शिकू.
समीकरणाचे सामान्य स्वरूप
समजा एक स्पेस R 3 आहे ज्यामध्ये आयताकृती XYZ समन्वय प्रणाली आहे. व्हेक्टर α परिभाषित करू या, जो प्रारंभिक बिंदू O पासून सोडला जाईल. वेक्टर α च्या शेवटी आपण एक विमान P काढू, जो त्यास लंब असेल.
P वर एक अनियंत्रित बिंदू Q = (x, y, z) म्हणून दर्शवू. बिंदू Q च्या त्रिज्या वेक्टरवर p अक्षराने सही करू. या प्रकरणात, वेक्टर α ची लांबी р=IαI आणि Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) च्या समान आहे.
हा एक युनिट वेक्टर आहे जो वेक्टर α प्रमाणे बाजूला निर्देशित केला जातो. α, β आणि γ हे कोन आहेत जे अनुक्रमे x, y, z, अंतराळ अक्षांच्या सदिश Ʋ आणि सकारात्मक दिशांच्या दरम्यान तयार होतात. कोणत्याही बिंदूचा QϵП सदिशावरील प्रक्षेपण Ʋ आहे स्थिर मूल्य, जे p च्या समान आहे: (p,Ʋ) = p(p≥0).
वरील समीकरणाला अर्थ प्राप्त होतो जेव्हा p=0. एकमात्र गोष्ट अशी आहे की या प्रकरणात P समतल O (α = 0) बिंदूला छेदेल, जो निर्देशांकांचा उगम आहे आणि O बिंदूपासून सोडलेला एकक वेक्टर Ʋ त्याची दिशा असूनही P ला लंब असेल. म्हणजे सदिश Ʋ हे चिन्हाच्या अचूकतेने निश्चित केले जाते. पूर्वीचे समीकरण हे आपल्या विमान P चे समीकरण आहे, जे वेक्टर स्वरूपात व्यक्त केले आहे. परंतु समन्वयांमध्ये ते असे दिसेल:
येथे P हे 0 पेक्षा मोठे किंवा समान आहे. आम्हाला अवकाशातील विमानाचे समीकरण सामान्य स्वरूपात आढळले आहे.
सामान्य समीकरण
जर आपण समीकरणातील समीकरण शून्याच्या समान नसलेल्या कोणत्याही संख्येने गुणाकार केला, तर आपल्याला या समतुल्य समीकरण मिळते, ते अगदी समांतर परिभाषित करते. हे असे दिसेल:
येथे A, B, C अशा संख्या आहेत ज्या एकाच वेळी शून्यापेक्षा भिन्न आहेत. या समीकरणाला सामान्य समीकरण म्हणतात.
विमानांची समीकरणे. विशेष प्रकरणे
मध्ये समीकरण सामान्य दृश्यअतिरिक्त अटींच्या अधीन राहून सुधारित केले जाऊ शकते. त्यापैकी काही पाहू.
गुणांक A 0 आहे असे गृहीत धरू. याचा अर्थ हे विमान दिलेल्या Ox अक्षाच्या समांतर आहे. या प्रकरणात, समीकरणाचे स्वरूप बदलेल: Ву+Cz+D=0.
त्याचप्रमाणे, समीकरणाचे स्वरूप खालील परिस्थितीत बदलेल:
- प्रथम, जर B = 0 असेल, तर समीकरण Ax + Cz + D = 0 मध्ये बदलेल, जे Oy अक्षाला समांतर दर्शवेल.
- दुसरे म्हणजे, जर C=0 असेल, तर समीकरणाचे Ax+By+D=0 मध्ये रूपांतर होईल, जे दिलेल्या Oz अक्षाला समांतर दर्शवेल.
- तिसरे म्हणजे, जर D=0, समीकरण Ax+By+Cz=0 सारखे दिसेल, ज्याचा अर्थ असा होईल की विमान O (मूळ) ला छेदते.
- चौथे, A=B=0 असल्यास, समीकरण Cz+D=0 मध्ये बदलेल, जे Oxy ला समांतर सिद्ध होईल.
- पाचवे, जर B=C=0 असेल, तर समीकरण Ax+D=0 होईल, याचा अर्थ Oyz ला समांतर आहे.
- सहावा, जर A=C=0 असेल, तर समीकरण Ву+D=0 फॉर्म घेईल, म्हणजेच ते Oxz ला समांतरता नोंदवेल.
विभागांमधील समीकरणाचा प्रकार
A, B, C, D या अंक शून्यापेक्षा भिन्न असल्यास, समीकरण (0) चे स्वरूप खालीलप्रमाणे असू शकते:
x/a + y/b + z/c = 1,
ज्यामध्ये a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
परिणामी आम्हाला हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की हे विमान ऑक्स अक्षाला निर्देशांक (a,0,0), Oy - (0,b,0), आणि Oz - (0,0,c) सह छेदेल. ).
x/a + y/b + z/c = 1 हे समीकरण विचारात घेतल्यास, दिलेल्या निर्देशांक प्रणालीशी संबंधित विमानाच्या स्थानाची कल्पना करणे अवघड नाही.
सामान्य वेक्टर समन्वय
सामान्य वेक्टर n ते समतल P मध्ये निर्देशांक असतात जे या विमानाच्या सामान्य समीकरणाचे गुणांक असतात, म्हणजेच n (A, B, C).
सामान्य n चे निर्देशांक निश्चित करण्यासाठी, दिलेल्या विमानाचे सामान्य समीकरण जाणून घेणे पुरेसे आहे.
x/a + y/b + z/c = 1 असे फॉर्म असलेल्या खंडांमध्ये समीकरण वापरताना, सामान्य समीकरण वापरताना, आपण दिलेल्या समतलाच्या कोणत्याही सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक लिहू शकता: (1/a + 1/b + 1/ सह).
हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की सामान्य वेक्टर विविध समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत करते. सर्वात सामान्य समस्यांमध्ये विमानांची लंब किंवा समांतरता सिद्ध करणे, विमानांमधील कोन किंवा विमाने आणि सरळ रेषांमधील कोन शोधण्यात समस्या समाविष्ट आहेत.
बिंदू आणि सामान्य वेक्टरच्या समन्वयानुसार समतल समीकरणाचा प्रकार
दिलेल्या समतलाला लंब नसलेला सदिश n दिलेल्या विमानाला सामान्य म्हणतात.
आपण असे गृहीत धरू की समन्वय जागेत (आयताकृती समन्वय प्रणाली) Oxyz दिले आहेत:
- निर्देशांकांसह बिंदू Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ);
- शून्य सदिश n=A*i+B*j+C*k.
सामान्य n बिंदू Mₒ लंबातून जाणाऱ्या विमानासाठी समीकरण तयार करणे आवश्यक आहे.
आम्ही अंतराळातील कोणताही अनियंत्रित बिंदू निवडतो आणि तो M (x y, z) दर्शवतो. M (x,y,z) कोणत्याही बिंदूचा त्रिज्या सदिश r=x*i+y*j+z*k असू द्या आणि Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) बिंदूचा त्रिज्या सदिश - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM वेक्टर n ला लंब असल्यास पॉइंट M दिलेल्या समतलाशी संबंधित असेल. स्केलर उत्पादन वापरून ऑर्थोगोनॅलिटी स्थिती लिहूया:
[MₒM, n] = 0.
MₒM = r-rₒ असल्याने, विमानाचे वेक्टर समीकरण असे दिसेल:
या समीकरणाचे दुसरे रूप असू शकते. हे करण्यासाठी, स्केलर उत्पादनाचे गुणधर्म वापरले जातात आणि समीकरणाची डावी बाजू बदलली जाते.
= -. जर आपण ते c म्हणून दर्शविले, तर आपल्याला खालील समीकरण मिळेल: - c = 0 किंवा = c, जे समतलाशी संबंधित दिलेल्या बिंदूंच्या त्रिज्या वेक्टरच्या सामान्य वेक्टरवर प्रक्षेपणांची स्थिरता व्यक्त करते.
आता आपण आपल्या समतल = 0 चे सदिश समीकरण लिहिण्याचे समन्वय फॉर्म मिळवू शकतो. कारण r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, आणि n = A*i+B *j+С*k, आमच्याकडे आहे:
असे दिसून आले की सामान्य n च्या लंब बिंदूमधून जाणारे विमानाचे समीकरण आपल्याकडे आहे:
दोन बिंदूंच्या समन्वयानुसार समतल समीकरणाचा प्रकार आणि समतलाला वेक्टर समरेख
दोन अनियंत्रित बिंदू M′ (x′,y′,z′) आणि M″ (x″,y″,z″), तसेच वेक्टर a (a′,a″,a‴) परिभाषित करू.
आता आपण दिलेल्या विमानासाठी एक समीकरण तयार करू शकतो जे विद्यमान बिंदू M′ आणि M″ मधून जाईल, तसेच दिलेल्या वेक्टर a च्या समांतर समन्वय (x, y, z) असलेला कोणताही बिंदू M.
या प्रकरणात, M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) आणि M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) सदिश सह समतल असणे आवश्यक आहे. a=(a′,a″,a‴), म्हणजे (M′M, M″M, a)=0.
तर, अवकाशातील आपले विमान समीकरण असे दिसेल:
तीन बिंदूंना छेदणाऱ्या विमानाच्या समीकरणाचा प्रकार
समजा आपल्याकडे तीन गुण आहेत: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), जे एकाच रेषेशी संबंधित नाहीत. दिलेल्या तीन बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण लिहिणे आवश्यक आहे. भूमितीचा सिद्धांत असा दावा करतो की या प्रकारचे विमान खरोखरच अस्तित्वात आहे, परंतु ते एकमेव आणि अद्वितीय आहे. हे विमान बिंदू (x′,y′,z′) ला छेदत असल्याने, त्याच्या समीकरणाचे स्वरूप खालीलप्रमाणे असेल:
येथे A, B, C एकाच वेळी शून्यापेक्षा भिन्न आहेत. तसेच, दिलेले विमान आणखी दोन बिंदूंना छेदते: (x″,y″,z″) आणि (x‴,y‴,z‴). या संदर्भात, खालील अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत:
आता आपण अज्ञात u, v, w सह एकसंध प्रणाली तयार करू शकतो:
आमच्या मध्ये केस x,yकिंवा z एक अनियंत्रित बिंदू म्हणून कार्य करते जे समीकरण (1) पूर्ण करते. समीकरण (1) आणि समीकरणांची प्रणाली (2) आणि (3) दिल्यास, वरील आकृतीमध्ये दर्शविलेली समीकरणांची प्रणाली सदिश N (A,B,C) द्वारे समाधानी आहे, जी क्षुल्लक नाही. म्हणूनच या प्रणालीचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा आहे.
आपल्याला मिळालेले समीकरण (1) हे विमानाचे समीकरण आहे. हे अगदी 3 गुणांमधून जाते आणि हे तपासणे सोपे आहे. हे करण्यासाठी, आम्हाला पहिल्या रांगेतील घटकांमध्ये आमचे निर्धारक विस्तृत करणे आवश्यक आहे. निर्धारकाच्या विद्यमान गुणधर्मांवरून असे दिसून येते की आपले विमान एकाच वेळी सुरुवातीला दिलेल्या तीन बिंदूंना छेदते (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . म्हणजेच आमच्यावर सोपवलेले काम आम्ही सोडवले आहे.
विमानांमधील डिहेड्रल कोन
एक डायहेड्रल कोन एक अवकाशीय प्रतिनिधित्व करतो भौमितिक आकृती, एका सरळ रेषेतून बाहेर पडणाऱ्या दोन अर्ध-विमानांनी बनवलेले. दुसऱ्या शब्दांत, हा अंतराळाचा भाग आहे जो या अर्ध-विमानांद्वारे मर्यादित आहे.
समजा आमच्याकडे खालील समीकरणे असलेली दोन विमाने आहेत:
आपल्याला माहित आहे की दिलेल्या प्लॅन्सनुसार N=(A,B,C) आणि N¹=(A¹,B¹,C¹) सदिश लंब आहेत. या संदर्भात, व्हेक्टर N आणि N¹ मधील कोन φ हा या समतलांमध्ये असलेल्या कोनाच्या (डायहेड्रल) बरोबरीचा आहे. डॉट उत्पादनाचे स्वरूप आहे:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
तंतोतंत कारण
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
0≤φ≤π हे लक्षात घेणे पुरेसे आहे.
खरेतर, दोन विमाने जे एकमेकांना छेदतात ते दोन कोन (डायहेड्रल): φ 1 आणि φ 2. त्यांची बेरीज π (φ 1 + φ 2 = π) इतकी आहे. त्यांच्या कोसाइनसाठी, त्यांची परिपूर्ण मूल्ये समान आहेत, परंतु ते चिन्हात भिन्न आहेत, म्हणजेच cos φ 1 = -cos φ 2. जर समीकरण (0) मध्ये आपण A, B आणि C ची जागा अनुक्रमे -A, -B आणि -C या संख्यांनी घेतली, तर आपल्याला मिळणारे समीकरण समान समीकरण, एकच, कोन φ समीकरण cos मध्ये निश्चित करेल. φ= NN 1 /| N||N 1 | π-φ ने बदलले जाईल.
लंब समतल समीकरण
90 अंशांचा कोन असलेल्या विमानांना लंब म्हणतात. वर सादर केलेल्या सामग्रीचा वापर करून, आपण एका विमानाचे समीकरण दुसऱ्याला लंबवत शोधू शकतो. समजा आपल्याकडे दोन विमाने आहेत: Ax+By+Cz+D=0 आणि A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 असल्यास ते लंब असतील असे आपण म्हणू शकतो. याचा अर्थ NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
समांतर समतल समीकरण
ज्या दोन समतलांमध्ये समान बिंदू नसतात त्यांना समांतर म्हणतात.
स्थिती (त्यांची समीकरणे मागील परिच्छेदाप्रमाणेच आहेत) म्हणजे N आणि N¹ हे वेक्टर, जे त्यांना लंब आहेत, समरेषीय आहेत. याचा अर्थ खालील आनुपातिकता अटी पूर्ण केल्या आहेत:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
आनुपातिकतेची परिस्थिती वाढवल्यास - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
हे सूचित करते की ही विमाने एकसारखी आहेत. याचा अर्थ Ax+By+Cz+D=0 आणि A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ही समीकरणे एका विमानाचे वर्णन करतात.
बिंदूपासून विमानाचे अंतर
समजा आपल्याकडे एक विमान P आहे, जे समीकरण (0) द्वारे दिलेले आहे. निर्देशांक (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ सह बिंदूपासून ते अंतर शोधणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला विमान P चे समीकरण सामान्य स्वरूपात आणण्याची आवश्यकता आहे:
(ρ,v)=р (р≥0).
या प्रकरणात, ρ (x, y, z) हा P वर स्थित असलेल्या आपल्या बिंदू Q चा त्रिज्या वेक्टर आहे, p ही शून्य बिंदूपासून मुक्त झालेल्या लंब P ची लांबी आहे, v हा एकक सदिश आहे, जो येथे स्थित आहे. दिशा a.
काही बिंदूचा फरक ρ-ρº त्रिज्या सदिश Q = (x, y, z), P शी संबंधित आहे, तसेच दिलेल्या बिंदूचा त्रिज्या सदिश Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) असा सदिश आहे. प्रक्षेपणाचे निरपेक्ष मूल्य ज्याचे v वरील अंतर d च्या बरोबरीचे आहे जे Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) पासून P पर्यंत शोधणे आवश्यक आहे:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, पण
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)
तर ते बाहेर वळते
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
अशा प्रकारे, आपण परिणामी अभिव्यक्तीचे परिपूर्ण मूल्य शोधू, म्हणजेच इच्छित d.
पॅरामीटर भाषा वापरून, आम्हाला स्पष्ट मिळते:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
जर सेट पॉइंटक्यू 0 हे समतल P च्या दुसऱ्या बाजूला आहे, निर्देशांकांच्या उत्पत्तीप्रमाणे, नंतर व्हेक्टर ρ-ρ 0 आणि v दरम्यान स्थित आहे:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
जेव्हा बिंदू Q 0, निर्देशांकांच्या उत्पत्तीसह, P च्या एकाच बाजूला स्थित असतो, तेव्हा तयार केलेला कोन तीव्र असतो, म्हणजे:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
परिणामी, असे दिसून आले की पहिल्या प्रकरणात (ρ 0 ,v)>р, दुसऱ्यामध्ये (ρ 0 ,v)<р.
स्पर्शिका विमान आणि त्याचे समीकरण
Mº संपर्क बिंदूवर पृष्ठभागावर स्पर्शिका समतल हे एक समतल आहे ज्यामध्ये पृष्ठभागावरील या बिंदूद्वारे काढलेल्या वक्रांना सर्व संभाव्य स्पर्शिका असतात.
या प्रकारच्या पृष्ठभागाच्या समीकरणासह F(x,y,z)=0, स्पर्शिका बिंदू Mº(xº,yº,zº) वर स्पर्शिकेचे समीकरण असे दिसेल:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
जर तुम्ही पृष्ठभाग स्पष्टपणे z=f (x,y) मध्ये निर्दिष्ट केले, तर स्पर्शिकेचे समीकरण समीकरणाद्वारे वर्णन केले जाईल:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
दोन विमानांचे छेदनबिंदू
समन्वय प्रणालीमध्ये (आयताकृती) Oxyz स्थित आहे, दोन विमाने П′ आणि П″ दिली आहेत, जी एकमेकांना छेदतात आणि एकरूप होत नाहीत. आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये असलेले कोणतेही विमान सामान्य समीकरणाद्वारे निर्धारित केले जात असल्याने, आम्ही असे गृहीत धरू की P′ आणि P″ हे समीकरण A′x+B′y+C′z+D′=0 आणि A″x द्वारे दिलेले आहेत. +B″y+ С″z+D″=0. या प्रकरणात, आमच्याकडे विमान P′ चे सामान्य n′ (A′,B′,C′) आणि P′ विमानाचे सामान्य n″ (A″,B″,C″) आहे. आपली विमाने समांतर नसल्यामुळे आणि एकमेकांशी जुळत नसल्यामुळे, हे वेक्टर समरेख नसतात. गणिताच्या भाषेचा वापर करून, आपण ही स्थिती खालीलप्रमाणे लिहू शकतो: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ आणि P″ च्या छेदनबिंदूवर असलेली सरळ रेषा a अक्षराने दर्शवू द्या, या प्रकरणात a = P′ ∩ P″.
a ही (सामान्य) विमाने P′ आणि P″ च्या सर्व बिंदूंचा संच असलेली एक सरळ रेषा आहे. याचा अर्थ असा की रेषेशी संबंधित कोणत्याही बिंदूचे समन्वय एकाच वेळी A′x+B′y+C′z+D′=0 आणि A″x+B″y+C″z+D″=0 समीकरणे पूर्ण करतात. . याचा अर्थ बिंदूचे निर्देशांक हे खालील समीकरण प्रणालीचे आंशिक समाधान असेल:
परिणामी, असे दिसून आले की या समीकरण प्रणालीचे (सामान्य) समाधान रेषेच्या प्रत्येक बिंदूचे समन्वय निर्धारित करेल, जे P′ आणि P″ च्या छेदनबिंदू म्हणून कार्य करेल आणि सरळ रेषा निश्चित करेल. a अंतराळातील Oxyz (आयताकृती) समन्वय प्रणालीमध्ये.
आपण अंतराळातील Q विमानाचा विचार करू या. जर आपण A, B आणि C द्वारे सामान्य वेक्टर N चे प्रक्षेपण दर्शवले तर
दिलेल्या बिंदूतून जाणारे आणि दिलेला सामान्य सदिश असलेल्या Q विमानाचे समीकरण काढू. हे करण्यासाठी, क्यू प्लेन (चित्र 81) वर अनियंत्रित बिंदूसह बिंदू जोडणारा वेक्टर विचारात घ्या.
समतल Q वरील M बिंदूच्या कोणत्याही स्थानासाठी, MHM हा सदिश विमान Q च्या सामान्य सदिश N ला लंब असतो. म्हणून, स्केलर उत्पादन प्रक्षेपणांच्या दृष्टीने स्केलर उत्पादन लिहू. तेव्हापासून, आणि सदिश आहे
आणि म्हणून
आम्ही दाखवले आहे की Q समतलातील कोणत्याही बिंदूचे समन्वय समीकरण (4) पूर्ण करतात. हे पाहणे सोपे आहे की क्यू प्लेनवर नसलेल्या बिंदूंचे निर्देशांक हे समीकरण पूर्ण करत नाहीत (नंतरच्या बाबतीत). परिणामी, आम्ही विमान Q साठी आवश्यक समीकरण प्राप्त केले आहे. समीकरण (4) याला दिलेल्या बिंदूतून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण म्हणतात. हे वर्तमान निर्देशांकांच्या तुलनेत प्रथम श्रेणीचे आहे
म्हणून, आम्ही दाखवले आहे की प्रत्येक विमान वर्तमान निर्देशांकांच्या संदर्भात प्रथम अंशाच्या समीकरणाशी संबंधित आहे.
उदाहरण 1. व्हेक्टरला लंब असलेल्या बिंदूमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण लिहा.
उपाय. येथे . सूत्र (4) च्या आधारे आम्ही प्राप्त करतो
किंवा, सरलीकरणानंतर,
समीकरणाचे गुणांक A, B आणि C (4) भिन्न मूल्ये देऊन, आपण बिंदूमधून जाणाऱ्या कोणत्याही विमानाचे समीकरण मिळवू शकतो. दिलेल्या बिंदूतून जाणाऱ्या विमानांच्या संचाला विमानांचा बंडल म्हणतात. समीकरण (4), ज्यामध्ये गुणांक A, B आणि C कोणतीही मूल्ये घेऊ शकतात, याला समीकरण म्हणतात.
उदाहरण 2. तीन बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानासाठी समीकरण तयार करा (चित्र 82).
उपाय. बिंदूमधून जाणाऱ्या विमानांच्या गुच्छाचे समीकरण लिहू
1. सामान्य विमान समीकरण
व्याख्या. समतल एक पृष्ठभाग आहे ज्याचे सर्व बिंदू सामान्य समीकरण पूर्ण करतात: Ax + By + Cz + D = 0, जेथे A, B, C हे वेक्टरचे समन्वय आहेत
N = Ai + Bj + Ck हा विमानाचा सामान्य सदिश आहे. खालील विशेष प्रकरणे शक्य आहेत:
A = 0 - ऑक्स अक्षाच्या समांतर समतल
B = 0 - समतल Oy अक्षाच्या समांतर आहे C = 0 - विमान Oz अक्षाच्या समांतर आहे
D = 0 - विमान उगमस्थानातून जाते
A = B = 0 – विमान xOy विमानाच्या समांतर आहे A = C = 0 – विमान xOz विमानाच्या समांतर आहे B = C = 0 – विमान yOz विमानाच्या समांतर आहे A = D = 0 – विमान ऑक्स अक्षातून जातो
B = D = 0 - विमान Oy अक्षातून जाते C = D = 0 - विमान Oz अक्षातून जाते
A = B = D = 0 – विमान xОу विमानाशी एकरूप होते A = C = D = 0 – विमान xOz विमानाशी एकरूप होते B = C = D = 0 – विमान yOz विमानाशी एकरूप होते
2. अंतराळातील पृष्ठभाग समीकरण
व्याख्या. पृष्ठभागावरील कोणत्याही बिंदूच्या x, y, z समन्वयांशी संबंधित असलेले कोणतेही समीकरण हे त्या पृष्ठभागाचे समीकरण असते.
3. तीन बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण
अंतराळातील कोणत्याही तीन बिंदूंमधून एकच विमान काढण्यासाठी, हे बिंदू एकाच सरळ रेषेत नसणे आवश्यक आहे.
सामान्य कार्टेशियन प्रणालीमध्ये बिंदू M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) विचारात घ्या
समन्वय |
||||||
अनियंत्रित बिंदू M (x, y, z) साठी |
पॉइंट्ससह समान विमानात घालणे |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 हे व्हेक्टर M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M हे कॉप्लॅनर असणे आवश्यक आहे, म्हणजे. |
||||||
M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
||||||
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. अशा प्रकारे, M 1 M 2 |
= ( x 2 − x 1; y 2 |
− y 1; z 2 − z 1) |
||||
M1 M 3 |
= ( x 3 − x 1 ; y 3 − y 1; z 3 − z 1) |
|||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||
तीन बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
x 3 − x 1 |
y 3 − y 1 |
z 3 − z 1 |
||||
4. दोन बिंदू वापरून विमानाचे समीकरण आणि समतलाला वेक्टर समरेख
बिंदू M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) आणि सदिश = (a 1, a 2, a 3) देऊ.
M1 आणि M2 या बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानासाठी एक समीकरण तयार करू आणि एक अनियंत्रित
बिंदू M(x, y, z) वेक्टर a ला समांतर. |
||||||||||
वेक्टर M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
आणि सदिश a = (a, a |
असणे आवश्यक आहे |
||||||||
M 1M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1) |
||||||||||
x−x1 |
y−y1 |
z − z1 |
||||||||
coplanar, i.e. (M 1 M, M 1 M 2, a) = 0. समतल समीकरण: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||||||
5. एक बिंदू वापरून विमानाचे समीकरण आणि समतलाला दोन वेक्टर
दोन सदिश a = (a 1, a 2, a 3) आणि b = (b 1, b 2, b 3), समरेखीय समतल देऊ. नंतर विमानाशी संबंधित M(x, y, z) या अनियंत्रित बिंदूसाठी, a, b, MM 1 हे व्हेक्टर कॉप्लनर असणे आवश्यक आहे.
6. बिंदू आणि सामान्य वेक्टरद्वारे विमानाचे समीकरण
प्रमेय. जर अंतराळात बिंदू M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) दिलेला असेल, तर बिंदू M 0 मधून सामान्य सदिश N (A , B , C ) मधून जाणाऱ्या समीकरणाचे स्वरूप आहे: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. विभागांमध्ये विमानाचे समीकरण
जर सामान्य समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 मध्ये आपण दोन्ही बाजूंना (-D) ने विभाजित करतो.
x− |
y - |
z − 1 = 0 , − बदलत आहे |
C , आम्हाला विमानाचे समीकरण मिळते |
|||||||||||||||||||
विभागांमध्ये: |
१. a, b, c या संख्या अनुक्रमे विमानाचे छेदनबिंदू आहेत |
|||||||||||||||||||||
अक्ष x, y, z सह.
8. वेक्टर स्वरूपात विमानाचे समीकरण
r n = p, जेथे r = xi + yj + zk हा वर्तमान बिंदू M (x, y, z) चा त्रिज्या सदिश आहे,
n = i cosα + j cos β + k cosγ - एकक वेक्टर ज्याची दिशा लंब आहे,
मूळ पासून विमान वर खाली. α, β आणि γ हे x, y, z अक्षांसह या सदिशाने तयार केलेले कोन आहेत. p ही या लंबाची लांबी आहे. निर्देशांकांमध्ये, हे समीकरण असे दिसते:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. बिंदूपासून विमानापर्यंतचे अंतर
अनियंत्रित बिंदू M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ते विमान Ax + By + Cz + D = 0 पर्यंतचे अंतर आहे:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
उदाहरण. A(2,-1,4) आणि B(3,2,-1) बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाचे समीकरण x + y + 2z − 3 = 0 या समतलाला लंब शोधा.
आवश्यक विमान समीकरणाचे स्वरूप आहे: Ax + By + Cz + D = 0, या विमानाचा सामान्य सदिश n 1 (A, B, C). वेक्टर AB (1,3,-5) विमानाशी संबंधित आहे. आम्हाला दिलेले विमान,
इच्छेला लंब एक सामान्य वेक्टर n 2 (1,1,2) आहे. कारण बिंदू A आणि B दोन्ही समतलांचे आहेत आणि विमाने परस्पर लंब आहेत
n = AB × n |
− 5 |
− जे |
− 5 |
11 i − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
अशा प्रकारे, सामान्य वेक्टर n 1 (11,-7,-2) आहे. कारण बिंदू A इच्छित विमानाशी संबंधित आहे, नंतर त्याचे निर्देशांक या विमानाचे समीकरण पूर्ण करणे आवश्यक आहे, उदा.
11.2 + 7.1− 2.4 + D = 0; D = − 21. एकूण, आम्हाला विमानाचे समीकरण मिळते: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. अंतराळातील रेषेचे समीकरण
विमानात आणि अंतराळात, कोणत्याही रेषेला बिंदूंचा संच म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्यांचे निर्देशांक अवकाशात निवडलेल्या काही समन्वय प्रणालीतील समीकरण पूर्ण करतात:
F(x, y, z) = 0. या समीकरणाला अवकाशातील रेषेचे समीकरण म्हणतात.
याव्यतिरिक्त, अंतराळातील रेषा वेगळ्या प्रकारे परिभाषित केली जाऊ शकते. हे दोन पृष्ठभागांच्या छेदनबिंदूची रेषा मानली जाऊ शकते, ज्यापैकी प्रत्येक समीकरणाने निर्दिष्ट केला आहे.
F (x, y, z) = 0 आणि Ф (x, y, z) = 0 - L रेषेला छेदणाऱ्या पृष्ठभागांची समीकरणे समजा.
F(x, y, z) = 0
नंतर Ф (x, y, z) = 0 या समीकरणांच्या जोडीला अवकाशातील रेषेचे समीकरण म्हटले जाईल.
11. अंतराळातील सरळ रेषेचे समीकरण बिंदू आणि दिशा वेक्टर 0 = M 0 M दिले आहे.
कारण व्हेक्टर М 0 М आणि S समरेखीय आहेत, नंतर संबंध М 0 М = St सत्य आहे, जेथे t एक विशिष्ट पॅरामीटर आहे. एकूण, आम्ही लिहू शकतो: r = r 0 + St.
कारण हे समीकरण रेषेवरील कोणत्याही बिंदूच्या समन्वयाने समाधानी असल्यास, परिणामी समीकरण हे रेषेचे पॅरामेट्रिक समीकरण असते.
x = x0 + mt
हे सदिश समीकरण समन्वय स्वरूपात दर्शविले जाऊ शकते: y = y 0 + nt
z = z0 + pt
या प्रणालीचे रूपांतर करून आणि पॅरामीटर t च्या मूल्यांची बरोबरी करून, आम्ही कॅनॉनिकल प्राप्त करतो
अंतराळातील सरळ रेषेची समीकरणे: |
x−x0 |
y−y0 |
z − z0 |
|||
व्याख्या. सरळ रेषेचे दिशा कोसाइन हे वेक्टर S चे दिशा कोसाइन आहेत, ज्याची सूत्रे वापरून गणना केली जाऊ शकते:
cosα = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N2+p2 |
m 2 + n 2 + p 2 |
|||||||
येथून आपल्याला मिळते: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.
m, n, p या संख्यांना रेषेचा उतार म्हणतात. कारण S हा शून्य नसलेला सदिश आहे, नंतर m, n आणि p एकाच वेळी शून्याच्या समान असू शकत नाही, परंतु यापैकी एक किंवा दोन संख्या शून्याच्या समान असू शकतात. या प्रकरणात, रेषेच्या समीकरणामध्ये, संबंधित अंक शून्याच्या बरोबरीने सेट केले पाहिजेत.
12. दोन बिंदूंमधून जाणाऱ्या अंतराळातील रेषेचे समीकरण
जर अंतराळातील सरळ रेषेवर आपण दोन अनियंत्रित बिंदू M 1 (x 1, y 1, z 1) आणि
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), नंतर या बिंदूंच्या निर्देशांकांनी वर प्राप्त केलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण पूर्ण करणे आवश्यक आहे:
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
