परिमाणांची अचूक आणि अंदाजे मूल्ये. अंदाजे मूल्ये
1. संख्या अचूक आणि अंदाजे आहेत. व्यवहारात आपल्याला आढळणाऱ्या संख्या दोन प्रकारच्या असतात. काही प्रमाणाचे खरे मूल्य देतात, इतर फक्त अंदाजे. प्रथम तंतोतंत म्हणतात, दुसरा - अंदाजे. बऱ्याचदा अचूक संख्याऐवजी अंदाजे संख्या वापरणे सोयीचे असते, विशेषत: बऱ्याच प्रकरणांमध्ये अचूक संख्या शोधणे अशक्य असते.
संख्यांसह ऑपरेशन्सचे परिणाम देतात: अंदाजे संख्यांसह, अंदाजे संख्या. उदाहरणार्थ. महामारी दरम्यान, सेंट पीटर्सबर्गमधील 60% रहिवासी फ्लूने ग्रस्त आहेत. हे अंदाजे 3 दशलक्ष लोक आहे. अचूक संख्या सह अचूक संख्या उदाहरणार्थ. गणित विषयावरील व्याख्यान कक्षात 65 लोक आहेत. अंदाजे संख्या उदाहरणार्थ. दिवसभरात रुग्णाच्या शरीराचे सरासरी तापमान 37.3 आहे: सकाळी: 37.2; दिवस: 36.8; संध्याकाळ 38.
अंदाजे गणनेचा सिद्धांत अनुमती देतो: 1) डेटाच्या अचूकतेची डिग्री जाणून घेणे, परिणामांच्या अचूकतेच्या डिग्रीचे मूल्यांकन करणे; 2) निकालाची आवश्यक अचूकता सुनिश्चित करण्यासाठी योग्य प्रमाणात अचूकतेसह डेटा घ्या; 3) गणना प्रक्रियेला तर्कसंगत बनवा, त्या गणनांपासून मुक्त करा ज्यामुळे निकालाच्या अचूकतेवर परिणाम होणार नाही.
1) जर टाकून दिलेल्या अंकांपैकी पहिला (डावीकडील) 5 पेक्षा कमी असेल, तर शेवटचा उर्वरित अंक बदलला जाणार नाही (खाली गोलाकार); 2) टाकून दिलेला पहिला अंक 5 पेक्षा मोठा किंवा 5 च्या बरोबरीचा असेल, तर शेवटचा अंक डावीकडे एक ने वाढवला जाईल (अतिरिक्त गोलाकार). गोलाकार: अ) दहावी 12.34 12.3; b) शतांश पर्यंत 3.2465 3.25; १०३८.७९. c) हजारव्या ते 3.4335 3.434. ड) हजारो पर्यंत; खालील गोष्टी विचारात घेतल्या आहेत:
औषधामध्ये बहुतेक वेळा मोजले जाणारे प्रमाण आहेत: वस्तुमान m, लांबी l, प्रक्रियेचा वेग v, वेळ t, तापमान t, खंड V इ. भौतिक प्रमाण मोजणे म्हणजे त्याची तुलना एकक म्हणून घेतलेल्या एकसंध प्रमाणाशी करणे. मापनाची 9 एकके भौतिक प्रमाण: मूलभूत लांबी - 1 मीटर - (मीटर) वेळ - 1 से - (सेकंद) वस्तुमान - 1 किलो - (किलोग्राम) डेरिव्हेटिव्ह व्हॉल्यूम - 1 m³ - (घन मीटर) गती - 1 m/s - (मीटर प्रति सेकंद)
एककांच्या नावांचे उपसर्ग: एकाधिक उपसर्ग - 10, 100, 1000, इ. ने वाढवा. गुणा g - हेक्टो (×100) k – किलो (× 1000) M – मेगा (×) 1 किमी (किलोमीटर) 1 किलो (किलोग्राम) 1 किमी = 1000 मी = 10³ मी 1 किलो = 1000 ग्रॅम = 10³ ग्राम उपविभाग - 10, 100, 1000, इ. ने कमी करा. वेळा d – deci (×0.1) s – सेंटी (× 0.01) m – मिली (× 0.001) 1 dm (डेसिमीटर) 1 dm = 0.1 m 1 सेमी (सेंटीमीटर) 1 सेमी = 0.01 मीटर 1 मिमी (मिलीमीटर) 1 मिमी = 0.001 मी मोठे अंतर, वस्तुमान, आकारमान, वेग इत्यादी मोजताना एकाधिक संलग्नकांचा वापर केला जातो. लहान अंतर, वेग, वस्तुमान, खंड इ. मोजताना एकाधिक संलग्नकांचा वापर केला जातो.
औषधांमध्ये रोगांचे निदान, उपचार आणि प्रतिबंध यासाठी, विविध वैद्यकीय मापन उपकरणे वापरली जातात.
थर्मामीटर. प्रथम, आपल्याला मोजमापांच्या वरच्या आणि खालच्या मर्यादा विचारात घेणे आवश्यक आहे. खालची मर्यादा किमान आहे आणि वरची मर्यादा कमाल मोजलेले मूल्य आहे. मोजलेल्या मूल्याचे अपेक्षित मूल्य अज्ञात असल्यास, "रिझर्व्ह" असलेले डिव्हाइस घेणे चांगले आहे. उदाहरणार्थ, तापमान मोजमाप गरम पाणीतुम्ही रस्त्यावर किंवा खोलीतील थर्मामीटर वापरू नये. सह डिव्हाइस शोधणे चांगले आहे वरची मर्यादा 100°C दुसरे म्हणजे, आपण मूल्य किती अचूकपणे मोजले पाहिजे हे समजून घेणे आवश्यक आहे. मापन त्रुटी भागाकार मूल्यावर अवलंबून असल्याने, अधिक अचूक मापनासाठी कमी विभाजन मूल्य असलेले उपकरण निवडले आहे.
मापन त्रुटी. विविध डायग्नोस्टिक पॅरामीटर्स मोजण्यासाठी, तुम्हाला तुमच्या स्वतःच्या डिव्हाइसची आवश्यकता आहे. उदाहरणार्थ, लांबी शासकाने मोजली जाते आणि तापमान थर्मामीटरने मोजले जाते. परंतु शासक, थर्मामीटर, टोनोमीटर आणि इतर साधने भिन्न आहेत, म्हणून कोणतेही भौतिक प्रमाण मोजण्यासाठी, आपल्याला या मोजमापासाठी योग्य असलेले डिव्हाइस निवडण्याची आवश्यकता आहे.
साधन विभागणी किंमत. एखाद्या व्यक्तीच्या शरीराचे तापमान अचूकपणे निर्धारित केले जाणे आवश्यक आहे, औषधे काटेकोरपणे परिभाषित प्रमाणात प्रशासित करणे आवश्यक आहे, म्हणून मोजमाप यंत्राच्या स्केल विभागांचे मूल्य आहे. महत्वाचे वैशिष्ट्यप्रत्येक साधन. इन्स्ट्रुमेंट विभागांचे मूल्य मोजण्यासाठी नियम स्केल विभागांचे मूल्य मोजण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे: अ) स्केलवरील दोन जवळच्या डिजीटाइज्ड रेषा निवडा; ब) त्यांच्यामधील विभागांची संख्या मोजा; c) निवडलेल्या स्ट्रोकच्या आजूबाजूच्या मूल्यांमधील फरक विभाजनांच्या संख्येने विभाजित करा.
साधन विभागणी किंमत. भागाकार मूल्य (५०-३०)/४=५ (मिली) भागाकार मूल्य: (४०-२०)/१०=२ किमी/ता, (२०-१०)/१०= १ ग्रॅम, (३९-१९)/१०=२ लीटर , (8-4)/10=0.4 psi, (90-50)/10= 4 तापमान, (4-2)/10=0.2 से
उपकरणांच्या विभाजनाची किंमत निश्चित करा: 16
परिपूर्ण मापन त्रुटी. कोणतेही मोजमाप करताना, चुका अपरिहार्यपणे होतात. या त्रुटी विविध कारणांमुळे होतात. सर्व घटक तीन भागांमध्ये विभागले जाऊ शकतात: अपूर्ण साधनांमुळे झालेल्या त्रुटी; अपूर्ण मापन पद्धतींमुळे झालेल्या त्रुटी; यादृच्छिक घटकांच्या प्रभावामुळे झालेल्या त्रुटी ज्या दूर केल्या जाऊ शकत नाहीत. कोणतेही प्रमाण मोजताना केवळ त्याचे मूल्यच नाही तर या मूल्यावर किती विश्वास ठेवता येईल, किती अचूक आहे हेही जाणून घ्यायचे असते. हे करण्यासाठी, आपल्याला हे माहित असणे आवश्यक आहे की प्रमाणाचे खरे मूल्य मोजलेल्या प्रमाणापेक्षा किती वेगळे असू शकते. या हेतूंसाठी, परिपूर्ण आणि सापेक्ष त्रुटींची संकल्पना सादर केली गेली आहे.
निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. परिपूर्ण त्रुटी दर्शवते की भौतिक प्रमाणाचे वास्तविक मूल्य मोजलेल्या प्रमाणापेक्षा किती वेगळे आहे. ते स्वतः उपकरणावर (इंस्ट्रुमेंटल एरर) आणि मापन प्रक्रियेवर (स्केल एरर) अवलंबून असते. इन्स्ट्रुमेंटल एरर इन्स्ट्रुमेंट पासपोर्टमध्ये दर्शविले जाणे आवश्यक आहे (नियमानुसार, ते इन्स्ट्रुमेंट डिव्हिजन मूल्याच्या समान आहे). मोजणी त्रुटी सहसा अर्ध्या भाग मूल्याच्या बरोबरीने घेतली जाते. अंदाजे मूल्याची परिपूर्ण त्रुटी म्हणजे फरक Δ x = |x – x 0 |, जेथे x 0 हे अंदाजे मूल्य आहे आणि x आहे अचूक मूल्यमोजलेले प्रमाण किंवा कधी कधी x ऐवजी ते A ΔA = |A – A 0 | वापरतात.
निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. उदाहरण. हे ज्ञात आहे की -0.333 हे -1/3 चे अंदाजे मूल्य आहे. नंतर, परिपूर्ण त्रुटीच्या व्याख्येनुसार Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0.333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. बऱ्याच व्यावहारिकदृष्ट्या महत्त्वाच्या प्रकरणांमध्ये, परिमाणाचे अचूक मूल्य अज्ञात असल्यामुळे अंदाजे अचूक त्रुटी शोधणे अशक्य आहे. तथापि, आपण एक सकारात्मक संख्या निर्दिष्ट करू शकता ज्याच्या पलीकडे ही परिपूर्ण त्रुटी असू शकत नाही. ही असमानता पूर्ण करणारी h ही कोणतीही संख्या आहे | Δ x | h याला परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा म्हणतात.
या प्रकरणात, ते म्हणतात की x चे मूल्य अंदाजे, h पर्यंत, x 0 च्या बरोबरीचे आहे. x = x 0 ± h किंवा x 0 - h x x 0 + h
मोजमाप यंत्रांच्या परिपूर्ण इंस्ट्रुमेंटल त्रुटी
मोजलेल्या परिमाणांच्या साधन त्रुटींचा अंदाज. बहुतेक मोजमाप यंत्रांसाठी, इन्स्ट्रुमेंट त्रुटी त्याच्या विभागणीच्या मूल्याप्रमाणे असते. अपवाद म्हणजे डिजिटल उपकरणे आणि डायल गेज. डिजिटल साधनांसाठी, त्रुटी त्यांच्या पासपोर्टमध्ये दर्शविली जाते आणि सहसा इन्स्ट्रुमेंटच्या विभाजन मूल्यापेक्षा कित्येक पटीने जास्त असते. पॉइंटर मापन यंत्रांसाठी, त्रुटी त्यांच्या अचूकतेच्या वर्गाद्वारे निर्धारित केली जाते, जी डिव्हाइसच्या स्केलवर दर्शविली जाते आणि मोजमाप मर्यादा. अचूकता वर्ग इन्स्ट्रुमेंट स्केलवर कोणत्याही फ्रेम्सने वेढलेला नसलेली संख्या म्हणून दर्शविला जातो. उदाहरणार्थ, दर्शविलेल्या आकृतीमध्ये, दाब मापकाचा अचूकता वर्ग 1.5 आहे. अचूकता वर्ग दर्शवितो की इन्स्ट्रुमेंटची त्रुटी त्याच्या मोजमाप मर्यादेपासून किती टक्के आहे. डायल प्रेशर गेजसाठी, मापन मर्यादा अनुक्रमे 3 एटीएम आहे, दाब मोजण्यात त्रुटी 3 एटीएमच्या 1.5% आहे, म्हणजेच 0.045 एटीएम. हे लक्षात घ्यावे की बहुतेक पॉइंटर उपकरणांसाठी त्यांची त्रुटी इन्स्ट्रुमेंट विभागाच्या मूल्याप्रमाणे असते. आमच्या उदाहरणाप्रमाणे, जेथे बॅरोमीटर विभागाची किंमत 0.05 एटीएम आहे.
निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. खरे मूल्य कोणत्या श्रेणीमध्ये कमी होऊ शकते हे निर्धारित करण्यासाठी परिपूर्ण त्रुटी आवश्यक आहे, परंतु संपूर्ण परिणामाच्या अचूकतेचे मूल्यांकन करण्यासाठी ते फारसे सूचक नाही. शेवटी, 1 मिमीच्या त्रुटीसह 10 मीटर लांबी मोजणे निश्चितपणे खूप अचूक आहे, तर 1 मिमीच्या त्रुटीसह 2 मिमी लांबीचे मोजमाप करणे अत्यंत चुकीचे आहे. निरपेक्ष मापन त्रुटी सामान्यतः एका महत्त्वपूर्ण आकृती ΔA 0.17 0.2 पर्यंत पूर्ण केली जाते. मापन परिणामाचे संख्यात्मक मूल्य गोलाकार केले जाते जेणेकरून त्याचा शेवटचा अंक त्रुटी अंक A = 10.332 10.3 सारख्याच अंकात असेल
निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. निरपेक्ष त्रुटीबरोबरच, सापेक्ष त्रुटी विचारात घेण्याची प्रथा आहे, जी परिमाणाच्या मूल्याच्या परिपूर्ण त्रुटीच्या गुणोत्तराइतकी आहे. अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी ही अंदाजे संख्येच्या निरपेक्ष त्रुटीचे गुणोत्तर आहे: E = Δx. 100% x 0 सापेक्ष त्रुटी दर्शवते की मूल्याच्या किती टक्के त्रुटी येऊ शकते आणि प्रायोगिक परिणामांच्या गुणवत्तेचे मूल्यांकन करण्याचे सूचक आहे.
उदाहरण. केशिकाची लांबी आणि व्यास मोजताना, आम्हाला l = (10.0 ± 0.1) सेमी, d = (2.5 ± 0.1) मिमी मिळाले. यापैकी कोणते मोजमाप अधिक अचूक आहे? केशिकाची लांबी मोजताना, 10 मिमी प्रति 100 मिमीची परिपूर्ण त्रुटी अनुमत आहे, म्हणून परिपूर्ण त्रुटी 10/100 = 0.1 = 10% आहे. केशिका व्यास मोजताना, अनुज्ञेय परिपूर्ण त्रुटी 0.1/2.5=0.04=4% आहे म्हणून, केशिका व्यासाचे मोजमाप अधिक अचूक आहे.
बर्याच प्रकरणांमध्ये, परिपूर्ण त्रुटी आढळू शकत नाही. त्यामुळे सापेक्ष त्रुटी. परंतु आपण संबंधित त्रुटीची मर्यादा शोधू शकता. कोणतीही संख्या δ असमानतेचे समाधान करणारी | Δ x | / | x o | δ ही सापेक्ष त्रुटी मर्यादा आहे. विशेषतः, जर h ही परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा असेल, तर संख्या δ= h/| x o |, अंदाजे x o च्या सापेक्ष त्रुटीची मर्यादा आहे. येथून. सीमा सापेक्ष p-i जाणून घेणे. δ तुम्ही अचूक त्रुटी मर्यादा h शोधू शकता. h = δ | x o |
उदाहरण. हे ज्ञात आहे की 2=1.41... अंदाजे समानतेची सापेक्ष अचूकता किंवा अंदाजे समानतेची सापेक्ष त्रुटी मर्यादा शोधा 2 1.41. येथे x = 2, x o = 1.41, Δ x = 2-1.41. स्पष्टपणे 0 Δ x 1.42-1.41=0.01 Δ x/ x o 0.01/1.41=1/141, परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा 0.01 आहे, सापेक्ष त्रुटी मर्यादा 1/141 आहे
उदाहरण. स्केलवरून वाचन वाचताना, हे महत्वाचे आहे की तुमची नजर डिव्हाइसच्या स्केलवर लंब असेल, या प्रकरणात त्रुटी कमी असेल. थर्मामीटर वाचन निश्चित करण्यासाठी: 1. भागांची संख्या निश्चित करा, 2. भागाकार किमतीने त्यांना गुणा 3. त्रुटी लक्षात घ्या 4. अंतिम निकाल लिहा. t = 20 °C ± 1.5 °C याचा अर्थ तापमान 18.5° ते 21.5° पर्यंत असते. म्हणजेच, ते असू शकते, उदाहरणार्थ, 19, 20 किंवा 21 अंश सेल्सिअस. मोजमापांची अचूकता वाढवण्यासाठी, त्यांची किमान तीन वेळा पुनरावृत्ती करण्याची आणि मोजलेल्या मूल्याच्या सरासरी मूल्याची गणना करण्याची प्रथा आहे.
सरासरी मूल्य मापन परिणाम शोधणे C 1 = 34.5 C 2 = 33.8 C 3 = 33.9 C 4 = 33 .5 C 5 = 54.2 a) av = (c 1 + c 2 + c 3 + c सह चार प्रमाणांचे सरासरी मूल्य शोधा. 4): 4 c av = (34.5 + 33.8 + 33.9 + 33 ,5):4 = 33.925 33.9 b) सरासरी मूल्यापासून मूल्याचे विचलन शोधा Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | ३४.५ – ३३.९ | = 0.6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | ३३.८ - ३३.९ | = 0.1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | ३३.९ – ३३.९ | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | ३३.५ – ३३.९ | = ०.४
C) Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc = (0.6 + 0.4) :4 = 0.275 0.3 g) आपण सापेक्ष त्रुटी शोधू या δ = Δс: s CP δ = (0.3: 33.9) 100% = 0.9% e) अंतिम उत्तर लिहा c = 33.9 ± 0.3 δ = 0.9%
गृहपाठ व्याख्यान सामग्रीवर आधारित व्यावहारिक धड्याची तयारी करा. एखादे कार्य करा. सरासरी मूल्य आणि त्रुटी शोधा: a 1 = 3.685 a 2 = 3.247 a 3 = 3.410 a 4 = 3.309 a 5 = 3.392. या विषयांवर सादरीकरणे तयार करा: “औषधातील प्रमाणांचे प्रमाण”, “मापन त्रुटी”, “वैद्यकीय मोजमाप उपकरणे”
परिमाणांची अचूक आणि अंदाजे मूल्ये
बहुतेक प्रकरणांमध्ये, समस्यांमधील संख्यात्मक डेटा अंदाजे असतो. कार्य स्थितींमध्ये, अचूक मूल्ये देखील येऊ शकतात, उदाहरणार्थ, थोड्या संख्येने वस्तू मोजण्याचे परिणाम, काही स्थिरांक इ.
संख्येचे अंदाजे मूल्य दर्शविण्यासाठी, अंदाजे समानता चिन्ह वापरा; याप्रमाणे वाचा: “अंदाजे समान” (वाचू नये: “अंदाजे समान”).
संख्यात्मक डेटाचे स्वरूप समजून घेणे महत्वाचे आहे तयारीचा टप्पाकोणतीही समस्या सोडवताना.
खालील मार्गदर्शक तत्त्वे तुम्हाला अचूक आणि अंदाजे संख्या ओळखण्यात मदत करू शकतात:
| अचूक मूल्ये | अंदाजे मूल्ये |
| 1. मापनाच्या एका युनिटमधून दुसऱ्या युनिटमध्ये संक्रमणासाठी अनेक रूपांतरण घटकांची मूल्ये (1m = 1000 मिमी; 1h = 3600 s) अनेक रूपांतरण घटक मोजले गेले आहेत आणि त्यांची गणना अशा उच्च (मेट्रोलॉजिकल) अचूकतेसह केली गेली आहे. आता व्यावहारिकदृष्ट्या अचूक मानले जाते. | 1. टेबल्समध्ये दिलेली गणितीय प्रमाणांची बहुतेक मूल्ये (मूळ, लॉगरिदम, मूल्ये त्रिकोणमितीय कार्ये, तसेच नैसर्गिक लॉगरिदमची संख्या आणि बेसची व्यावहारिक मूल्ये (संख्या e)) |
| 2. स्केल घटक. जर, उदाहरणार्थ, हे ज्ञात असेल की स्केल 1:10000 आहे, तर 1 आणि 10000 संख्या अचूक मानल्या जातात. 1 सेमी 4 मीटर आहे असे दर्शविल्यास, 1 आणि 4 ही अचूक लांबीची मूल्ये आहेत. | 2. मापन परिणाम. (काही मूलभूत स्थिरांक: व्हॅक्यूममधील प्रकाशाचा वेग, गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, इलेक्ट्रॉनचे चार्ज आणि वस्तुमान इ.) भौतिक प्रमाणांची सारणीबद्ध मूल्ये (पदार्थाची घनता, वितळणे आणि उकळणारे बिंदू इ.) |
| 3. दर आणि किमती. (1 kWh विजेची किंमत - अचूक किंमत) | 3. डिझाइन डेटा देखील अंदाजे आहेत, कारण ते काही विचलनांसह निर्दिष्ट केले आहेत, जे GOSTs द्वारे प्रमाणित आहेत. (उदाहरणार्थ, मानकानुसार, विटाची परिमाणे आहेत: लांबी 250 6 मिमी, रुंदी 120 4 मिमी, जाडी 65 3 मिमी) अंदाजे संख्यांच्या समान गटामध्ये रेखाचित्रातून घेतलेल्या परिमाणांचा समावेश होतो |
| 4. परिमाणांची सशर्त मूल्ये (उदाहरणे: संपूर्ण शून्य तापमान -273.15 C, सामान्य वातावरणाचा दाब 101325 Pa) | |
| 5. गुणांक आणि घातांक भौतिक आणि गणितीय सूत्रांमध्ये आढळतात (; %; इ.). | |
| 6. वस्तू मोजण्याचे परिणाम (बॅटरीमधील बॅटरीची संख्या; प्लांटने उत्पादित केलेल्या दुधाच्या डब्यांची संख्या आणि फोटोइलेक्ट्रिक मीटरने मोजली जाते) | |
| 7. परिमाणांची दिलेली मूल्ये (उदाहरणार्थ, “1 आणि 4 मीटर लांबीच्या पेंडुलमचे दोलन कालावधी शोधा” या समस्येमध्ये 1 आणि 4 ही संख्या पेंडुलमच्या लांबीची अचूक मूल्ये मानली जाऊ शकते) |
अंमलात आणा खालील कार्ये, तुमचे उत्तर टेबलच्या स्वरूपात फॉरमॅट करा:
1. दिलेल्या मूल्यांपैकी कोणती मूल्ये अचूक आहेत आणि कोणती अंदाजे आहेत ते दर्शवा:
1) पाण्याची घनता (4 C)……………………………………………………………… 1000kg/m3
2) ध्वनीचा वेग (0 C)………………………………………….332 मी/से
3) विशिष्ट उष्णताहवा ………………………………1.0 kJ/(kg∙K)
४) पाण्याचा उत्कलन बिंदू ……………………………………………….१०० से
5) ॲव्होगॅड्रोचा स्थिरांक ………………………………………………..6.02∙10 23 mol -1
6) ऑक्सिजनचे सापेक्ष अणू वस्तुमान…………………………………..१६
2. खालील समस्यांमध्ये अचूक आणि अंदाजे मूल्ये शोधा:
1) यू वाफेचे इंजिनएक कांस्य स्पूल, ज्याची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे 200 आणि 120 मिमी आहे, 12 एमपीएचा दाब अनुभवतो. सिलेंडरच्या कास्ट आयर्न पृष्ठभागावर स्पूल हलविण्यासाठी आवश्यक असलेले बल शोधा. घर्षण गुणांक 0.10 आहे.
2) खालील खुणा वापरून विद्युत दिव्याच्या फिलामेंटचा प्रतिकार निश्चित करा: “220V, 60 W.”
3. खालील समस्या सोडवताना आम्हाला कोणती उत्तरे - अचूक किंवा अंदाजे - मिळतील?
1) 15 व्या सेकंदाच्या शेवटी मुक्तपणे पडणाऱ्या शरीराचा वेग किती आहे, हे गृहीत धरून वेळ मध्यांतर अचूकपणे निर्दिष्ट केले आहे?
2) जर पुलीचा व्यास 300 मिमी असेल आणि फिरण्याचा वेग 10 आरपीएस असेल तर त्याचा वेग किती असेल? डेटा अचूक असल्याचे विचारात घ्या.
3) शक्तीचे मापांक निश्चित करा. स्केल 1 सेमी - 50N.
4) झुकलेल्या विमानावर स्थित असलेल्या शरीरासाठी स्थिर घर्षण गुणांक निश्चित करा जर शरीर उताराच्या बाजूने = 0.675 वर सरकण्यास सुरुवात झाली, तर विमानाचा झुकण्याचा कोन कुठे आहे.
जर हे माहित असेल की ए< А, то а называют गैरसोयीसह A चे अंदाजे मूल्य.जर a > A असेल तर a म्हणतात जादा सह A चे अंदाजे मूल्य.
प्रमाणाच्या अचूक आणि अंदाजे मूल्यांमधील फरक म्हणतात अंदाजे त्रुटीआणि डी द्वारे दर्शविले जाते, म्हणजे
D = A – a (1)
अंदाजे त्रुटी D ही एकतर सकारात्मक किंवा ऋण संख्या असू शकते.
प्रमाणाचे अंदाजे मूल्य आणि अचूक मूल्य यांच्यातील फरक वैशिष्ट्यीकृत करण्यासाठी, अचूक आणि अंदाजे मूल्यांमधील फरकाचे परिपूर्ण मूल्य दर्शविण्यास बरेचदा पुरेसे असते.
अंदाजे मधील फरकाचे परिपूर्ण मूल्य एआणि अचूक एसंख्येची मूल्ये म्हणतात अंदाजे अचूक त्रुटी (त्रुटी).आणि डी द्वारे दर्शविले गेले ए:
डी ए = ½ ए – ए½ (2)
उदाहरण १.सेगमेंट मोजताना lएक शासक वापरला, ज्याचा स्केल डिव्हिजन 0.5 सेमी आहे. आम्हाला विभागाच्या लांबीचे अंदाजे मूल्य मिळाले ए= 204 सेमी.
हे स्पष्ट आहे की मापन दरम्यान 0.5 सेमीपेक्षा जास्त त्रुटी असू शकत नाही, म्हणजे. परिपूर्ण मापन त्रुटी 0.5 सेमी पेक्षा जास्त नाही.
सामान्यतः परिपूर्ण त्रुटी अज्ञात आहे, कारण A क्रमांकाचे अचूक मूल्य अज्ञात आहे मूल्यांकनपूर्ण त्रुटी:
डी ए <= Dए आधी. (3)
जिथे डी आणि आधी. - कमाल त्रुटी (संख्या, अधिकशून्य), विश्वासार्हता लक्षात घेऊन निर्दिष्ट केले आहे ज्यासह क्रमांक a ज्ञात आहे.
कमाल निरपेक्ष त्रुटी देखील म्हणतात त्रुटी मर्यादा. तर, दिलेल्या उदाहरणात,
डी आणि आधी. = 0.5 सेमी.
(3) कडून आम्हाला मिळते:
डी ए = ½ ए – ए½<= Dए आधी. .
ए-डी ए आधी. ≤ ए≤ ए+डी ए आधी. . (4)
अ - डी ए आधी. अंदाजे मूल्य असेल एएक गैरसोय सह
a + D ए आधी – अंदाजे मूल्य एविपुल प्रमाणात. लहान नोटेशन देखील वापरले जाते:
ए= ए± डी ए आधी (5)
कमाल निरपेक्ष त्रुटीच्या व्याख्येवरून असे आढळते की संख्या डी ए आधी, समाधानकारक असमानता (3), एक अनंत संच असेल. सराव मध्ये, ते निवडण्याचा प्रयत्न करतात शक्यतो कमीक्रमांक D पासून आणि आधी, असमानता समाधानकारक डी ए <= Dए आधी.
उदाहरण २.संख्येची कमाल निरपेक्ष त्रुटी निश्चित करू a=3.14, संख्या π चे अंदाजे मूल्य म्हणून घेतले.
अशी माहिती आहे 3,14<π<3,15. ते त्याचे पालन करते
|ए – π |< 0,01.
कमाल निरपेक्ष त्रुटी ही संख्या D म्हणून घेतली जाऊ शकते ए = 0,01.
जर आपण ते लक्षात घेतले तर 3,14<π<3,142 , नंतर आम्हाला अधिक चांगले रेटिंग मिळेल: डी ए= ०.००२, नंतर π ≈3.14 ±0.002.
4. सापेक्ष त्रुटी (त्रुटी).मोजमापाच्या गुणवत्तेचे वर्णन करण्यासाठी केवळ परिपूर्ण त्रुटी जाणून घेणे पुरेसे नाही.
उदाहरणार्थ, दोन शरीरांचे वजन करताना खालील परिणाम प्राप्त होतात:
पी 1 = 240.3 ±0.1 ग्रॅम.
पी 2 = 3.8 ±0.1 ग्रॅम.
दोन्ही परिणामांच्या परिपूर्ण मापन त्रुटी समान असल्या तरी, पहिल्या प्रकरणात मापन गुणवत्ता दुसऱ्यापेक्षा चांगली असेल. हे सापेक्ष त्रुटी द्वारे दर्शविले जाते.
सापेक्ष त्रुटी (त्रुटी)जवळ येणारा क्रमांक एपरिपूर्ण त्रुटी गुणोत्तर म्हणतात डी असंख्या A च्या निरपेक्ष मूल्यापर्यंत पोहोचणे:
प्रमाणाचे अचूक मूल्य सहसा अज्ञात असल्याने, ते अंदाजे मूल्याने बदलले जाते आणि नंतर:
(7)
कमाल सापेक्ष त्रुटीकिंवा सापेक्ष अंदाजे त्रुटीची सीमा, d क्रमांकावर कॉल केला आणि आधी>0, जसे की:
d ए<= d आणि आधी(8)
कमाल सापेक्ष त्रुटी स्पष्टपणे अंदाजे मूल्याच्या परिपूर्ण मूल्याच्या कमाल निरपेक्ष त्रुटीचे गुणोत्तर म्हणून घेतली जाऊ शकते:
(9)
(9) पासून खालील महत्वाचे संबंध सहज प्राप्त होतात:
∆आणि आधी = |a| d आणि आधी(10)
कमाल सापेक्ष त्रुटी सहसा टक्केवारी म्हणून व्यक्त केली जाते:
उदाहरण.गणनेसाठी नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार समान आहे असे गृहीत धरले जाते e=2.72. आम्ही अचूक मूल्य म्हणून घेतले e t = 2.7183. अंदाजे संख्येच्या निरपेक्ष आणि संबंधित त्रुटी शोधा.
डी e = ½ e – e t ½=0.0017;
.
सापेक्ष त्रुटीचे परिमाण सर्वात अंदाजे संख्येमधील आनुपातिक बदल आणि त्याच्या संपूर्ण त्रुटीसह अपरिवर्तित राहते. अशा प्रकारे, संख्या 634.7 साठी, D = 1.3 च्या परिपूर्ण त्रुटीसह गणना केली जाते आणि D = 13 च्या त्रुटीसह 6347 क्रमांकासाठी, संबंधित त्रुटी समान आहेत: d= 0,2.
सापेक्ष त्रुटीचे परिमाण अंदाजे संख्येद्वारे मोजले जाऊ शकते खरे सूचकसंख्यांचे अंक.
व्यावहारिक क्रियाकलापांमध्ये, एखाद्या व्यक्तीला विविध परिमाण मोजावे लागतात, सामग्री आणि श्रम उत्पादने विचारात घ्यावी लागतात आणि विविध गणना कराव्या लागतात. विविध मोजमाप, आकडेमोड आणि गणनेचे परिणाम म्हणजे संख्या. मोजमापांच्या परिणामी प्राप्त झालेल्या संख्या केवळ अंदाजे, काही प्रमाणात अचूकतेसह, इच्छित प्रमाणांचे वैशिष्ट्य दर्शवितात. मोजमाप यंत्रांच्या अयोग्यतेमुळे, आपल्या दृष्टीच्या अवयवांच्या अपूर्णतेमुळे अचूक मोजमाप अशक्य आहे आणि स्वतः मोजलेल्या वस्तू कधीकधी आपल्याला कोणत्याही अचूकतेने त्यांचा आकार निर्धारित करू देत नाहीत.
उदाहरणार्थ, हे ज्ञात आहे की सुएझ कालव्याची लांबी 160 किमी आहे, मॉस्को ते लेनिनग्राडपर्यंतचे रेल्वेचे अंतर 651 किमी आहे. येथे आमच्याकडे एक किलोमीटर पर्यंत अचूकतेसह केलेल्या मोजमापांचे परिणाम आहेत. जर, उदाहरणार्थ, आयताकृती विभागाची लांबी 29 मीटर आहे, रुंदी 12 मीटर आहे, तर मोजमाप बहुधा जवळच्या मीटरवर केले गेले होते आणि मीटरच्या अंशांकडे दुर्लक्ष केले गेले होते,
कोणतेही मोजमाप करण्यापूर्वी, ते कोणत्या अचूकतेसह करणे आवश्यक आहे हे ठरविणे आवश्यक आहे, म्हणजे. मोजमापाच्या युनिटचे कोणते अपूर्णांक विचारात घेतले पाहिजेत आणि कोणते दुर्लक्षित केले पाहिजे.
ठराविक प्रमाणात असल्यास अ,ज्याचे खरे मूल्य अज्ञात आहे, आणि या प्रमाणाचे अंदाजे मूल्य (अंदाजे) समान आहे X,मग ते लिहितात एक x.
एकाच प्रमाणाच्या वेगवेगळ्या मोजमापांसह आम्ही भिन्न अंदाजे प्राप्त करू. यापैकी प्रत्येक अंदाजे मोजलेल्या प्रमाणाच्या खऱ्या मूल्यापेक्षा भिन्न असतील, उदाहरणार्थ, अ,एका विशिष्ट रकमेद्वारे, ज्याला आम्ही कॉल करू त्रुटीव्याख्या. जर x ही संख्या काही प्रमाणाचे अंदाजे (अंदाजे) असेल ज्याचे खरे मूल्य संख्येच्या बरोबरीचे असेल अ,नंतर संख्यांच्या फरकाचे मॉड्यूलस, एआणि एक्सम्हणतात परिपूर्ण त्रुटीया अंदाजे आणि दर्शविले जाते a x: किंवा फक्त a. अशा प्रकारे, व्याख्येनुसार,
a x = a-x (1)
या व्याख्येवरून ते पुढे येते
a = x a x (2)
जर आपण कोणत्या प्रमाणाबद्दल बोलत आहोत हे माहित असेल तर नोटेशनमध्ये a xनिर्देशांक एवगळले आहे आणि समानता (2) खालीलप्रमाणे लिहिली आहे:
a = x x (3)
इच्छित परिमाणाचे खरे मूल्य बहुतेक वेळा अज्ञात असल्याने, या परिमाणाच्या अंदाजात अचूक त्रुटी शोधणे अशक्य आहे. आपण प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात केवळ एक सकारात्मक संख्या दर्शवू शकता, ज्यापेक्षा ही परिपूर्ण त्रुटी असू शकत नाही. या संख्येला मूल्याच्या अंदाजे अचूक त्रुटीची मर्यादा म्हणतात aआणि नियुक्त केले आहे h a. अशा प्रकारे, जर x-- अंदाजे प्राप्त करण्यासाठी दिलेल्या प्रक्रियेसाठी मूल्य a चा अनियंत्रित अंदाजे, नंतर
a x = a-x h a (4)
वरील पासून ते खालील की जर h aअंदाजे मूल्याची परिपूर्ण त्रुटीची मर्यादा आहे ए, नंतर कितीही मोठी संख्या h a, अंदाजे मूल्यामध्ये परिपूर्ण त्रुटीची मर्यादा देखील असेल ए.
व्यवहारात, असमानता पूर्ण करणाऱ्या शक्य तितक्या लहान संख्येची मर्यादा निरपेक्ष त्रुटी म्हणून निवडण्याची प्रथा आहे (4).
विषमता सोडवणे a-x h aआम्हाला ते मिळते एसीमांमध्ये समाविष्ट आहे
x - h a a x + h a (5)
निरपेक्ष त्रुटी मर्यादेची अधिक कठोर संकल्पना खालीलप्रमाणे दिली जाऊ शकते.
द्या एक्स- अनेक भिन्न अंदाजे एक्सप्रमाण एअंदाजे प्राप्त करण्यासाठी दिलेल्या प्रक्रियेसाठी. मग कोणतीही संख्या h, स्थिती समाधानकारक a-x h aकोणत्याही वेळी xX, याला संचातील अंदाजे अचूक त्रुटीची मर्यादा म्हणतात एक्स. द्वारे सूचित करूया h aसर्वात लहान ज्ञात संख्या h. हा क्रमांक h aआणि सराव मध्ये परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा म्हणून निवडले जाते.
अचूक अंदाजे त्रुटी मोजमापांची गुणवत्ता दर्शवत नाही. खरंच, जर आपण 1 सेमीच्या अचूकतेने कोणतीही लांबी मोजली, तर जेव्हा पेन्सिलची लांबी निश्चित केली जाते तेव्हा ही अचूकता कमी असेल. जर तुम्ही 1 सेमी अचूकतेसह व्हॉलीबॉल कोर्टची लांबी किंवा रुंदी निर्धारित केली तर हे अत्यंत अचूक असेल.
मापन अचूकतेचे वैशिष्ट्य करण्यासाठी, सापेक्ष त्रुटीची संकल्पना सादर केली जाते.
व्याख्या. तर a x: एक परिपूर्ण अंदाजे त्रुटी आहे एक्सकाही प्रमाण ज्याचे खरे मूल्य संख्येच्या बरोबरीचे आहे ए, नंतर संबंध a xसंख्येच्या मापांकापर्यंत एक्ससापेक्ष अंदाजे त्रुटी असे म्हणतात आणि दर्शविले जाते a xकिंवा x.
अशा प्रकारे, व्याख्येनुसार,
संबंधित त्रुटी सहसा टक्केवारी म्हणून व्यक्त केली जाते.
निरपेक्ष त्रुटीच्या विपरीत, जे बहुतेक वेळा एक मितीय प्रमाण असते, सापेक्ष त्रुटी ही परिमाणहीन परिमाण असते.
व्यवहारात, ही सापेक्ष त्रुटी मानली जात नाही, तर तथाकथित सापेक्ष त्रुटी मर्यादा: अशी संख्या इ a, ज्यापेक्षा जास्त अपेक्षित मूल्य अंदाजे करण्यात सापेक्ष त्रुटी असू शकत नाही.
अशा प्रकारे, a x इ a .
तर h a-- मूल्याच्या अंदाजे अचूक त्रुटीची मर्यादा ए, ते a x ह aआणि म्हणून
अर्थात, कोणतीही संख्या इ, अट पूर्ण करणे, सापेक्ष त्रुटी सीमा असेल. सराव मध्ये, काही अंदाजे सहसा ओळखले जातात एक्सप्रमाण एआणि परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा. मग सापेक्ष त्रुटी मर्यादा संख्या म्हणून घेतली जाते
परिचय
पूर्ण त्रुटी- परिपूर्ण मापन त्रुटीचा अंदाज आहे. वेगवेगळ्या प्रकारे गणना केली जाते. गणना पद्धत यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या वितरणाद्वारे निर्धारित केली जाते. त्यानुसार, यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या वितरणावर अवलंबून निरपेक्ष त्रुटीची परिमाण भिन्न असू शकते. जर मोजलेले मूल्य असेल आणि ते खरे मूल्य असेल, तर असमानता 1 च्या जवळ असलेल्या एका विशिष्ट संभाव्यतेसह समाधानी असणे आवश्यक आहे. जर यादृच्छिक चल सामान्य कायद्यानुसार वितरीत केले गेले, तर त्याचे मानक विचलन सामान्यतः परिपूर्ण त्रुटी म्हणून घेतले जाते. परिमाण प्रमाणेच एककांमध्ये परिपूर्ण त्रुटी मोजली जाते.
परिमाण लिहिण्याचे अनेक मार्ग आहेत ज्यात त्याच्या परिपूर्ण त्रुटी आहेत.
· सहसा ± चिन्हासह नोटेशन वापरले जाते. उदाहरणार्थ, 1983 मध्ये सेट केलेला 100 मीटर रेकॉर्ड आहे ९.९३०±०.००५ से.
· उच्च अचूकतेने मोजलेले प्रमाण रेकॉर्ड करण्यासाठी, आणखी एक नोटेशन वापरला जातो: मॅन्टिसाच्या शेवटच्या अंकांच्या त्रुटीशी संबंधित संख्या कंसात जोडल्या जातात. उदाहरणार्थ, बोल्टझमनच्या स्थिरांकाचे मोजलेले मूल्य आहे 1.380 6488 (13)?10 ?23 J/K, जे म्हणून खूप लांब लिहिले जाऊ शकते 1.380 6488?10 ?23 ±0.000 0013?10 ?23 J/K.
सापेक्ष त्रुटी- मोजमाप त्रुटी, मोजलेल्या मूल्याच्या वास्तविक किंवा सरासरी मूल्याशी परिपूर्ण मापन त्रुटीचे गुणोत्तर म्हणून व्यक्त केले जाते (RMG 29-99):.
सापेक्ष त्रुटी ही परिमाण नसलेली मात्रा आहे किंवा टक्केवारी म्हणून मोजली जाते.
अंदाजे
जादा आणि अपुरा सह? गणनेच्या प्रक्रियेत, एखाद्याला अनेकदा अंदाजे संख्यांचा सामना करावा लागतो. द्या ए- एका विशिष्ट प्रमाणाचे अचूक मूल्य, यापुढे म्हणतात अचूक संख्या A.अंदाजे मूल्य अंतर्गत अ,किंवा अंदाजे संख्यानंबर म्हणतात ए, प्रमाणाचे अचूक मूल्य बदलणे ए.तर ए< अ,ते एसंख्याचे अंदाजे मूल्य म्हणतात आणि अभावासाठी.तर ए> अ,- ते जास्त करून.उदाहरणार्थ, 3.14 ही संख्या अंदाजे आहे आरकमतरतेने, आणि 3.15 जादा. या अंदाजे अचूकतेची डिग्री दर्शवण्यासाठी, संकल्पना वापरली जाते चुकाकिंवा चुका
अचूकता डी एअंदाजे संख्या एफॉर्मचा फरक म्हणतात
डी a = अ-अ,
कुठे ए- संबंधित अचूक संख्या.
आकृतीवरून असे दिसून येते की खंड AB ची लांबी 6 सेमी आणि 7 सेमी दरम्यान आहे.
याचा अर्थ असा की 6 हे AB (सेंटीमीटरमध्ये) विभागाच्या लांबीचे अंदाजे मूल्य आहे > कमतरतेसह आणि 7 हे जास्तीचे आहे.
y अक्षराने सेगमेंटची लांबी दर्शविल्यास, आम्हाला मिळते: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина विभाग AB (चित्र 149 पहा) 7 सेमी पेक्षा 6 सेमी जवळ आहे ते म्हणतात की 6 ही संख्या पूर्ण संख्यांमध्ये पूर्ण केली आहे.
