Что такое двоичная запись. Системы счисления. Позиционная система счисления двоичная. Недостатки двоичной системы счисления
Имеющей основание 2. Она непосредственно реализована в цифровой электронике, используется в большинстве современных вычислительных устройств, включая компьютеры, мобильные телефоны и разного рода датчики. Можно сказать, что все технологии нашего времени построены на бинарных числах.
Запись чисел
Любое число, сколь бы большим оно ни было, в двоичной системе записывается посредством двух символов: 0 и 1. Например цифра 5 из всем знакомой десятичной системы в двоичной будет представлено как 101. Бинарные числа могут быть обозначены префиксом 0b или амперсандом (&), например: &101.
Во всех системах счисления, исключая десятичную, символы читаются по одиночке, то есть взятое в пример 101 читается как "один ноль один".
Перевод из одной системы в другую
Программисты, постоянно работающие с двоичной системой счисления, на ходу могут перевести бинарное число в десятичное. Это действительно можно сделать и без всяких формул, особенно если человек имеет представление о том, как работает самая малая часть компьютерного "мозга" - бит.
Цифра ноль так же обозначает 0, а цифра один в двоичной системе тоже будет единицей, но что делать дальше, когда цифры закончились? Десятичная система "предложила" бы в таком случае ввести термин "десяток", а в бинарной системе это будет называться "двойка".
Если 0 это &0 (амперсанд - обозначение двоичной системы), 1 = &1, то 2 будет обозначаться как &10. Тройку тоже можно записать в двух разрядах, она будет иметь вид &11, то есть одна двойка и одна единица. Возможные комбинации исчерпаны, и в десятичной системе на этом этапе вводятся сотни, а в двоичной - "четверки". Четыре - это &100, пять - &101, шесть - &110, семь - &111. Следующая, более крупная единица счета - это восьмерка.
Можно заметить особенность: если в десятичной системе разряды умножаются на десять (1, 10, 100, 1000 и так далее), то в двоичной, соответственно, на два: 2, 4, 8, 16, 32. Это соответствует размеру флеш-карт и прочих накопителей, использующихся в компьютерах и других устройствах.
Что такое бинарный код
Числа, представленные в двоичной системе счисления, называются бинарными, однако в таком виде можно представить и не числовые значения (буквы и символы). Таким образом, в цифрах можно закодировать слова и тексты, правда вид они будут иметь не столь лаконичный, ведь для записи всего одной буквы потребуется несколько нолей и единиц.
Но каким образом компьютерам удается считывать такое количество информации? На самом деле все проще, чем кажется. Люди, привыкшие к десятичной системе счисления, сначала переводят двоичные числа в более привычные, и только потом производят с ними какие-либо манипуляции, а в основе компьютерной логики изначально лежит бинарная система чисел. Единице в технике соответствует высокое напряжение, а нулю - низкое, либо для единицы напряжение есть, а для ноля вообще отсутствует.
Бинарные числа в культуре
Ошибкой будет считать, что - это заслуга современных математиков. Хотя бинарные числа и являются основополагающими в технологиях нашего времени, использовались они уже очень давно, причем в разных уголках планеты. Используются длинная линия (единица) и прерывистая (ноль), кодирующие восемь символов, означающих восемь стихий: небо, землю, гром, воду, горы, ветер, огонь и водоем (массу воды). Этот аналог 3-битных цифр описывался в классическом тексте книги Перемен. Триграммы составляли 64 гексаграммы (6-битные цифры), порядок которых в книге Перемен был расположен в соответствии с двоичными цифрами от 0 до 63.
Этот порядок был составлен в одиннадцатом веке китайским ученым Шао Юном, хотя нет доказательств того, что он действительно понимал двоичную систему счисления в целом.
В Индии еще до нашей эры тоже применялись бинарные числа в математической основе для описания поэзии, составленные математиком Пингалой.
Узелковая письменность инков (кипу) считается прообразом современных баз данных. Именно они впервые применили не только бинарный код числа, но и не числовые записи в двоичной системе. кипу характерно не только первичными и дополнительными ключами, но и использованием позиционных чисел, кодированием с помощью цвета и сериями повторений данных (циклами). Инки впервые применили способ ведения бухгалтерского учета, называемый двойной записью.
Первый из программистов
Двоичную систему счисления, основанную на цифрах 0 и 1, описал и знаменитый ученый, физик и математик, Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он увлекался древней китайской культурой и, изучая традиционные тексты книги Перемен, заметил соответствие гексаграмм бинарным числам от 0 до 111111. Он восхитился свидетельствам подобных достижений в философии и математике для того времени. Лейбница можно назвать первым из программистов и информационных теоретиков. Именно он обнаружил, что если записать группы двоичных чисел вертикально (одно под другим), то в получившихся вертикальных столбцах чисел будут регулярно повторяться ноли и единицы. Это позвонило ему предположить, что возможно существование совершенно новых математических законов.
Лейбниц понял и то, что бинарные числа оптимальны для применения в механике, основой которой должна быть смена пассивных и активных циклов. На дворе был 17 век, а этот великий ученый изобрел на бумаге вычислительную машину, работавшую на основе его новых открытий, однако быстро понял, что цивилизация еще не достигла такого технологического развития, и в его время создание такой машины будет невозможным.
Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число, равное количеству знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.
Происхождение наиболее распространенной десятичной системы связано с пальцевым счетом. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут – на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма).
Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2, ..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями ("арабские цифры"). Двоичная система использует две цифры: 0 и 1. Шестнадцатиричная система использует 16 символов: 0, 1, 2, ..., 29, А, В, С, D, E, F. Эти системы счисления называются позиционными , так как значение каждой цифры числа определяется по ее месту (позиции, разряду) в ряду чисел, составляющих данное число. Позиция отсчитывается справа налево; так, в десятичной системе: нулевой разряд – разряд единиц, первый разряд – разряд десятков, второй разряд – разряд сотен, потом тысячи и т.д.
В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.
Например, 1 – I, 2 – II, 5 – IIIII.
Римская система счисления (I, II, III, IV, V) является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Например, IV – это 4 = 5-1, а VI – это 6 = 5 + 1.
В десятичной системе каждый разряд может показать одно из 10 значений (цифру 0, 1, 2, ..., 9). Чтобы в десятичной системе записать следующее за девяткой число, добавляют слева новый разряд и ставят в его позицию цифру 1, после нее ноль и получается 10, т.е. десять. Два разряда в десятичной системе позволяют записать сто чисел: от 0 до 99, потом придется дописывать новый разряд для числа 100.
Цифры десятичного числа определяют число по основанию системы счисления и по нумерации разрядов с помощью, например, такой формулы: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, где значение цифры умножается на 10 в степени "разряд цифры". В числе 256 цифра 2 стоит во втором разряде и означает две сотни, поэтому умножается на 102; цифра 5 стоит в первом разряде, означает 5 десятков и умножается на 101; цифра 6 стоит в нулевом разряде и умножается на 1, т.е. на 100.
Двоичная система счисления
В двоичной системе числом в один разряд можно записать только два значения: 0 или 1, и все – возможности разряда кончились. Два разряда в двоичном числе позволяют записать четыре разных числа, а три разряда – восемь чисел. Увеличивая разрядность цифр в числе до N разрядов, можно в двоичной системе описать 2 х разных чисел, сосчитать 2 х объектов.
Пусть в системе счисления с основанием р записано четырехзначное число х , цифры в котором обозначим знаками с индексом внизу α 3α 2α 1α 0. Здесь а 0 – знак (цифра) для нулевого разряда, a 1 – для первого разряда и т.д.
Число можно представить выражением
х = а 3 р 3 + а 2 р 2 + а 1 р 1 + а 0 р 0.
Сравним запись десятичного числа 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 и двоичного 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Показатель степени, в которую необходимо возвести основание р исходной системы счисления, совпадает с номером соответствующей позиции.
Так как компьютер использует двоичную систему счисления, в нем важную роль играют и часто упоминаются числа, служащие степенью числа 2, например: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Самое большое 8-разрядное число с восемью двоичными единицами 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 равно десятичному числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Вместе с нулем получается как раз 256 целых чисел, что равно 28.
Шестнадцатиричная система – система чисел по основанию 16, использующая цифры от 0 до 9 и прописные или строчные буквы латинского алфавита от А (эквивалент десятичного числа 10) до F (эквивалент десятичного числа 15). То есть в шестнадцатиричной системе счисления знаки-цифры – 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двоичной системе разбивается на группы по четыре двоичных знака. Одна группа дает 24 = 16 комбинаций. Десятичное число 396 в двоичной системе обозначается как 110001100, а в шестнадцатиричной системе как 18С. Соответствие десятичных, двоичных и шестнадцатиричных чисел показано в табл. 1.1.
Шестнадцатиричная система счисления применяется для обозначений адресов ячеек оперативной памяти компьютера, оттенков цвета и дает не такие длинные ряды цифр,
Таблица 1.1
Соответствие чисел: десятичные, двоичные, шестнадцатиричные
|
Десятичное число |
Двоичное |
Шестнадцатиричное число |
Десятичное число |
Двоичное |
Шестнадцатиричное число |
как давала бы двоичная система. Иногда после шестнадцатиричного числа пишут букву h (hexamal). Например, 321 /г соответствует десятичному 801 = 3 162 + 2 161 + 1 160, a FCh – это десятичное число 252 = 15 161 + 12 160.
Инструкция
Для в двоичную систему счисления необходимо каждую его цифру представить в виде тетрады двоичных цифр. Например, шестнадцатиричное число 967 раскладывается на тетрады следующим образом: 9 = 1001, 6 = 0110, 7 = 0111. В итоге получается двоичное число 100101100111.
Чтобы десятичное число перевести в двоичную систему счисления, необходимо последовательно делить его на два, каждый раз записывая результат в виде целого числа и остатка. Деление нужно продолжать до тех пор, пока не останется число равное единице. Итоговое число получается путём последовательной записи результата последнего деления и остатков всех делений в обратном порядке. В качестве примера на рисунке показана процедура перевода десятичного числа 25 в двоичную систему счисления. Последовательное деление на два даёт следующую последовательность остатков: 10011. Развернув её наоборот, получим искомое число.
Обратите внимание
Поэтому, получив в результате серии умножений на 2 справа от вертикали одни нули, мы заканчиваем процесс перевода десятичного дробного числа меньше единицы в двоичную систему счисления и записываем ответ: Понятно, что гораздо чаще мы встретим такую исходную десятичную дробь, когда умножение на 2 чисел, стоящих справа от вертикали, не приведет к появлению там одних лишь нулей.
Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную. Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой.
Источники:
- двоичная система счисления перевод
У компонентов электронных машин, к которым относятся и компьютеры, есть только два различимых состояния: есть ток и нет тока. Их обозначают "1" и "0" соответственно. Поскольку таких состояний только два, многие процессы и операции в электронике можно описать с помощью двоичных чисел.
Инструкция
Делим десятичное число на два до тех пор, пока не получим неделимый на два остаток. На шаге получим остаток 1 (если делимое число было нечетным) или 0 (если делимое делится на два без остатка). Все эти остатки обязательно должны быть учтены. Последнее частное, полученное в результате такого пошагового деления, всегда будет единицей.
Записываем последнюю единицу в старший разряд искомого двоичного числа, а полученные в процессе остатки записываем за этой единицей в обратном порядке. Здесь надо быть внимательным и не пропускать нули.
Таким образом, числу 235 в двоичном коде будет соответствовать число 11101011.
Теперь переведем в двоичную систему счисления дробную часть десятичного числа. Для этого последовательно умножаем дробную часть числа на 2 и фиксируем целые части полученных чисел. Эти целые части дописываем к полученному в предыдущем шаге числу после двоичной точки в прямом порядке.
Тогда десятичному дробному числу 235.62 соответствует двоичное дробное 11101011.100111.
Видео по теме
Обратите внимание
Двоичная дробная часть числа будет конечной, только если дробная часть исходного числа конечна и заканчивается на 5. Простейший случай: 0.5 х 2 = 1, следовательно 0.5 в десятичной системе - это 0.1 в двоичной.
Источники:
- Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления
Существует несколько систем счисления чисел. Так, привычное десятичное число можно представить, например, в виде перебора двоичных символов – это будет двоичная кодировка числа. В восьмеричной системе с основанием 8 число записывается набором цифр от 0 до 7. Но наибольшее распространение имеет шестнадцатеричная система счисления, или система с основанием 16. Для записи числа здесь берутся цифры от 0 до 9 и буквы латиницы от A до F. Перевести десятичное число в его шестнадцатеричную форму можно с помощью таблицы соответствия. А число больше 15 переводится простым разложением по степеням, повтором операции деления на основание 16.
Инструкция
Запишите исходное десятичное число. Если число меньше или 15, то для его записи в шестнадцатеричной форме воспользуйтесь таблицей соответствия. Цифры старше 9 заменяются буквенным обозначением, так 10 букве A с основанием 16, а 15 – букве F.
Проверьте полученное частное, не меньше ли оно 16. Если частное больше или равно 16, поделите частное также на 16. Выделите остаток деления. Делите получаемые результаты на 16 столько раз, это будет необходимо для частного меньше 16. Если частное получилось меньше 16, выделите его тоже, как остаток.
Запишите полученные остатки, начиная с последнего числа. Остаток с числом свыше 9 замените по таблице соответствия на букву шестнадцатеричной системы. Полученная запись является шестнадцатеричным представлением исходного десятичного числа.
Полезный совет
Аналогичным образом с помощью деления на основание 8 или 2 можно любое число в десятичном представлении записать в восьмеричной и двоичной системе счисления.
Двоичная система счисления чисел была изобретена еще до нашей эры. Однако в наши дни, благодаря повсеместному распространению компьютеров и программного двоичного кода, эта система получила второе возрождение. Бинарное представление чисел с помощью всего двух цифр 0 и 1 изучают школьники на уроке информатики. Именно двоичное представление числа «понимают» все компьютеры. Перевод в двоичную систему из любой другой подробно расписан с помощью разных методов. Самым простым считается способ разложения по степеням на основание 2.
Инструкция
Если исходное число представлено , для его перевода воспользуйтесь методом деления на основание 2. Для этого поделите число на 2 и запишите образовавшийся остаток при нацело. Если деления полученное оказалось больше двух, снова поделите его на 2 и также сохраните полученный остаток.
Продолжайте итерации деления до тех пор, пока частное окажется меньше 2. После этого запишите ряд полученных в остатках цифр и заключительное частное, начиная с последней итерации. Данная запись из 0 и 1 и будет являться двоичным представлением исходного числа.
Если заданное число представлено в шестнадцатеричной системе, для его перевода в бинарный вид воспользуйтесь таблицей переходов. В ней каждому числу от 0 до F шестнадцатеричной системы противопоставляется четырехзначный набор цифр в бинарном коде.
Так, если вы имеете запись вида: 4ВЕ2, то для ее перевода следует каждый символ заменить на соответствующий набор цифр из таблицы перехода. Порядок записи числа при этом строго сохраняется. Таким образом, цифра 4 из шестнадцатеричной системы заменится на 0100, В – 1011, Е – 1110 и 2 – 0010. И исходное число 4ВЕ2 в бинарной записи будет иметь вид: 0100101111100010.
Видео по теме
Источники:
- Как число 1000 в троичной системе перевести в двоичную
Перевод числа вручную из десятичной системы в двоичную требует наличия навыка деления столбиком. Обратный перевод - из двоичной системы в десятичную - требует использования лишь умножения сложения, и то на калькуляторе.
Инструкция
Рядом с младшим разрядом двоичного числа напишите десятичное число 1, рядом со следующим по старшинству - десятичное число 2.
Нажмите на калькуляторе клавишу со знаком равенства еще раз - получится 4. Это число напишите рядом с третьим по старшинству разрядом. Еще раз нажмите клавишу со знаком равенства - получится 8. Напишите восьмерку рядом с четвертым по старшинству разрядом двоичного числа. Повторяйте операцию до тех пор, пока не будут написаны рядом со всеми разрядами двоичного.
Попробуйте запомнить эти числа хотя бы до 131072. Поверьте выучить наизусть степени числа 2 в этом объеме значительно проще, чем, например, таблицу умножения. В этом случае, при переводе систему небольших чисел вы сможете обходиться на этом этапе без калькулятора.
А вот на следующем этапе калькулятор все равно понадобится. Впрочем, при желании (или если того требует преподаватель основ информатики) это вычисление можно осуществить и столбиком. Сложите между собой только те десятичные числа, которые написаны рядом с разрядами двоичного числа, значение которых . Результатом такого сложения будет искомое десятичное число.
Для закрепления навыков ручного перевода чисел из двоичной системы в десятичную сыграйте в предлагаемую дидактическую игру. Для нее вам понадобится научный калькулятор, который можно переключать в двоичную систему. Подойдет и виртуальный калькулятор, который есть как в Linux, так и в Windows, если переключить его в инженерный режим. Пусть один игрок загадает и наберет на калькуляторе десятичное число, запишет его, а затем переключит калькулятор в двоичный режим. Второй игрок, пользуясь только обычным (не инженерным) калькулятором, или же вообще считая только столбиком, должен перевести это число в десятичную систему. Если он осуществил перевод правильно, игроки меняются ролями. Если же он ошибся, то пусть попробует еще раз.
Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы, в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Вам понадобится
- - листок бумаги;
- - карандаш или ручка;
- - калькулятор.
Инструкция
Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа, начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.
Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Обратная задача - десятичного числа систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не создавать новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числам от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.
План урока
Здесь вы узнаете:
♦ как работает с числами;
♦ что такое электронная таблица;
♦ как решаются вычислительные задачи;
♦ с помощью электронных таблиц;
♦ как можно использовать электронные таблицы
для информационного моделирования.
Двоичная система счисления
Основные темы параграфа:
♦ десятичная и двоичная системы счисления;
♦ развернутая форма записи числа;
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему;
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему;
♦ арифметика двоичных чисел.
В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере . Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.
Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.
Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.
Десятичная и двоичная системы счисления
Системой счисления или в сокращенном варианте СС называют такую систему записи чисел, которая имеет определенный набор цифр.
Об истории различных систем счисления вы узнали, когда изучали 7 главу учебника. А сегодня мы с вами обратим наше внимание на такие системы счисления, как двоичная и десятичная СС.
Как вам уже известно из изученного ранее материала, что одной из наиболее часто применяемых систем счисления является десятичная СС. А называется эта система так потому, что в основе этого словообразования есть число 10. Вот поэтому и система счисления называется десятичной.
Вы уже знаете, что в этой системе используют такие десять цифр, как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А вот числу десять отведена исключительная роль, так как на наших руках насчитывается десять пальцев. То есть, десять цифр являются основанием данной системы счисления.
А вот в двоичной системе счисления, задействованные только две цифры, такие, как 0 и 1 и основанием этой системы является число 2.
Теперь давайте попробуем разобраться, как с помощью всего лишь двух цифр представить какую-то величину.
Развернутая форма записи числа
Давайте обратимся к своей памяти и вспомним, какой в десятичной СС существует принцип записи чисел. То есть, для вас уже не будет секретом, что в такой СС запись числа зависит от места расположения цифры, то есть, от ее позиции.
Так, например, цифра, которая является крайней справа, говорит нам о количестве единиц этого числа, следующая за этой цифрой, как правило, указывает на количество двоек и т.д.
Если мы с вами, например, возьмем такое число, как 333, то увидим, что крайняя правая цифра обозначает три единицы, потом три десятка и за ней – три сотни.
Теперь это изобразим в виде такого равенства:
Здесь мы видим равенство, в котором выражение, расположенное с правой стороны от знака равно, предоставлено в виде развернутой формы записи этого многозначного числа.
Рассмотрим еще один пример многозначного десятичного числа, который также представлен в развернутой форме:
Перевод двоичных чисел в десятичную систему
Теперь давайте для примера возьмем такое многозначительное двоичное число, как:
В этом многозначительном числе мы видим с правой стороны внизу двойку, которая нам указывает на основание системы счисления. То есть, нам понятно, что перед нами двоичное число и перепутать его с десятичным, мы уже не можем.
И значение каждой следующей цифры в двоичном числе возрастает в 2 раза при каждом шаге справа налево. Теперь давайте посмотрим, как будет выглядеть развернутая форма записи этого двоичного числа:
На этом примере мы видим, как можно перевести перевели двоичное число в десятичную систему.
Теперь давайте еще приведем несколько примеров перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:
Это пример нам показывает то, что двузначному десятичному числу, в данном случае, соответствует шестизначное двоичное. Для двоичной системы характерно такое возрастание количества цифр при увеличении значения числа.
А теперь давайте посмотрим, как будет выглядеть начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) СС:
Перевод десятичных чисел в двоичную систему
Рассмотрев приведенные примеры выше, надеюсь вам теперь понятно, как происходит перевод двоичного числа в равное десятичное число. Ну, а теперь давайте попробуем сделать обратный перевод. Смотрим, что нам для этого необходимо сделать. Нам для такого перевода необходимо попробовать разложить десятичное число на слагаемые, которые представляют собой степени двойки. Приведем такой пример:
Как видим, это сделать не так уж и просто. Давайте попробуем рассмотреть другой, более простой метод перевода из десятичной СС в двоичную. Такой метод состоит в том, что известное десятичное число, как правило, делиться на два, а его полученный остаток и будет выступать младшим разрядом искомого числа. Это, вновь полученное число мы снова делим на два и получаем следующий разряд искомого числа. Такой процесс деления мы будем продолжать до тех пор, пока частное не станет меньше основания двоичной системы, то есть, меньше двойки. Вот такое полученное частное и будет старшей цифрой числа, которое мы искали.
Давайте теперь рассмотрим методы записи деления на число два. Для примера возьмем число 37 и попробуем его перевести в двоичную систему.
На данных примерах мы видим, что а5, а4, а3, а2, а1, а0 являются обозначением цифр в записи двоичного числа, которые осуществляются по порядку слева направо. В итоге мы с вами получим:
Арифметика двоичных чисел
Если исходить из правил в арифметике, то легко заметить, что в двоичной системе счислений, они намного проще, чем в десятичной.
Теперь давайте вспомним варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.
Благодаря такой простоте, которая легко согласовывается с битовой структурой компьютерной памяти, двоичная система счисления привлекла внимание создателей компьютера.
Обратите внимание на то, как выполняется пример сложения двух многозначных двоичных чисел при помощи столбика:
А вот перед вами пример умножения многозначных двоичных чисел в столбик:
Вы заметили, как легко и просто выполнять такие примеры.
Коротко о главном
Система счисления - определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.
Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.
Двоичные числа - числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.
Развернутая форма записи двоичного числа - это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.
Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.
Достоинства двоичной системы счисления
А теперь давайте рассмотрим, какими достоинствами обладает двоичная система исчисления:
Во-первых, достоинством двоичной системы счисления является то, что с ее помощью довольно таки просто осуществлять процессы хранения, передачи и обработки информации на компьютере.
Во-вторых, для ее выполнения достаточно не десять элементов, а лишь два;
В-третьих, отображение информации с помощью лишь двух состояний, это надежнее и более устойчиво к различным помехам;
В-четвертых, есть возможность использования алгебры логики для осуществления логических преобразований;
В-пятых, двоичная арифметика все же проще десятичной, поэтому является более удобной.
Недостатки двоичной системы счисления
Двоичная система счисления менее удобна, так как человек привык больше пользоваться десятичной системой, которая намного короче. А вот, в двоичной системе большие числа имеет довольно таки большое число разрядов, что и является ее существенным недостатком.
Почему двоичная система счисления так распространена?
Популярной двоичная система счисления является потому, что это язык вычислительной техники, где каждая цифра должна быть каким-то образом представлена на физическом носителе.
Ведь проще иметь два состояния при изготовлении физического элемента, чем придумывать устройство, в котором должно присутствовать десять различных состояний. Согласитесь, что это было бы намного сложней.
По сути, это и есть одной из основных причин популярности двоичной системы счисления.
История возникновения двоичной системы счисления
История создания двоичной системы счисления в арифметике, довольно таки яркая и стремительная. Основателем этой системы считают известного немецкого ученого и математика Г. В. Лейбница. Им была опубликована статья, в которой он описал правила, по которым можно было выполнить всевозможные арифметические операции над двоичными числами.
К сожалению, до начала двадцатого века двоичная система счисления была малозаметна в прикладной математике. А после того, как начали появляться простые счетные механические приборы, то ученые стали более активно обращать внимание на двоичную систему счисления и начали ее активно изучать, так как для вычислительных устройств она была удобна и незаменима. Она является той минимальной системой, с помощью которой можно полностью реализовать принцип позиционности в цифровой форме записи чисел.
Вопросы и задания
1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.
И. Семакин, Л. Залогова, С. Русаков, Л. Шестакова, Информатика, 9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов
Части статьи мы с вами разбирали двоичную систему счисления. Ну что же, думаю продолжим;-). Что же такое все таки бит? Что же он из себя представляет? Как Вы поняли, бит – это один знак в двоичной системе счисления. С помощью одного бита мы можем зашифровать две информации: ДА или НЕТ . Помните нашего человечка из первой статьи с варежками из мамонта? Его одна рука – это один бит. С помощью этой руки он может показать две информации: ДА или НЕТ. Рука поднята вверх – ДА, рука опущена – НЕТ. Еще раз повторюсь, в электронике за слово “ДА” принимают единичку, за слово “НЕТ” – нолик, то есть ДА=1, НЕТ=0, сигнал есть – 1, сигнала нет – 0.
А сколько же информации можно показать с помощью двух бит? Два бита – это два знака вместе в двоичной системе счисления. Пусть у нашего человечка обе руки свободны. Какие комбинации рук он может применить?
1)Подняты сразу две руки
2) Поднята правая рука, левая опущена
3) Поднята левая рука, правая опущена
4) Опущены обе руки
Кто придумает еще комбинацию, сразу же сделаю админом “Практической электроники” пожизненно:-). Больше комбинаций НЕТ! Это значит, что с помощью двух рук (двух битов) мы можем закодить 4 информации. Помните еще пример с первой статьи?
бар – это 1, дом – 0, пиво – 1, водка – 0.
1) Сидим в баре, пьем пиво (11)
2) Сидим в баре, пьем водку (10)
3) Сидим дома, пьем пиво (01)
4) Сидим дома, пьем водку (00)
В этом примере с помощью двух битов мы закодировали 4 информации. 11 или 10 и тд. – это двух битная запись информации.
А сколько информации можно закодировать, используя три бита? Можно получить 8 информаций. Опять же пример из первой части:
1) Сидим в баре, пьем пиво без Вована (110)
2) Сидим в баре, пьем водку без Вована (100)
3) Сидим дома, пьем пиво без Вована (010)
4) Сидим дома, пьем водку без Вована (000)
5) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом (111)
6) Сидим в баре, пьем водку с Вованом (101)
7) Сидим дома, пьем пиво с Вованом (011)
8) Сидим дома, пьем водку с Вованом (001)
111, 011, 010 и тд – это трех битная запись информации.
А если использовать 4 бита информации? Получаем из примера прошлой же статьи:
1) Сидим в баре, пьем пиво без Вована, смотрим хоккей (1101)
2) Сидим в баре, пьем водку без Вована, смотрим хоккей (1001)
3) Сидим дома, пьем пиво без Вована, смотрим хоккей (0101)
4) Сидим дома, пьем водку без Вована, смотрим хоккей (0001)
5) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом, смотрим хоккей (1111)
6) Сидим в баре, пьем водку с Вованом, смотрим хоккей (1011)
7) Сидим дома, пьем пиво с Вованом, смотрим хоккей (0111)
8) Сидим дома, пьем водку с Вованом, смотрим хоккей (0011)
9) Сидим в баре, пьем пиво без Вована, смотрим футбол (1100)
10) Сидим в баре, пьем водку без Вована, смотрим футбол (1000)
11) Сидим дома, пьем пиво без Вована, смотрим футбол (0100)
12) Сидим дома, пьем водку без Вована, смотрим футбол (0000)
13) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом, смотрим футбол (1110)
14) Сидим в баре, пьем водку с Вованом, смотрим футбол (1010)
15) Сидим дома, пьем пиво с Вованом, смотрим футбол (0110)
16) Сидим дома, пьем водку с Вованом, смотрим футбол (0010)
Формула возможных вариантов
В этом примере с помощью четырех бит мы смогли закодировать 16 информаций. А что будет если использовать пять бит? Сколько информации мы можем закодировать? Неужели нам придется опять перебирать варианты? Ну уж нет! Для этого есть простая формула.
Возможные варианты информаций= 2 N , где N – количество битов
Предположим, мы используем два бита, следовательно, мы можем закодировать 2 2 =2х2=4 информаций, то есть 4 возможных варианта, если же используем три бита, то 2 3 =2х2х2=8, значит 8 информаций мы можем закодировать с помощью трех битов и тд. Нетрудно посчитать, что с помощью пяти битов можно закодировать 2 5 =2х2х2х2х2=32. Все просто, не правда ли? А сколько информаций мы можем закодировать, если использовать 8 бит? Итак, 2 8 =2х2х2х2х2х2х2х2=256 информаций! Неплохо! Короче говоря, если наш воин, который носит варежки из мамонта, имел бы восемь рук, он смог бы показать с помощью них 256 всех комбинаций, и если бы они договорились, что какая-то комбинация – это столько то убитых человечков. :-). Жесть))) Кстати, как Вы прочитали из прошлой статьи, 8 бит = 1 Байт. Например, информация с кодом 1011 0111 (пробел между группами из 4 битов ставится для удобства) – это восемь бит или просто Байт .
Перевод из одной системы в другую с помощью калькулятора
Давайте вернемся к нашей десятичной системе счисления. Если Вы помните, к десятичной системе мы относим циферки от 0 и до 9. А Вы знаете, что с помощью нехитрых вычислений, мы можем переводить информацию из одной системы счисления в другую? В вашей Винде есть одна нехитрая программка, на которую вы почти не обращаете внимание – это калькулятор;-), с помощью которого можно легко переводить числа из десятичной в двоичную систему и наоборот.
Нажимаем в меню панели “Вид” —->”Программист” и у нас получается вот такой прикольный калькулятор.
Теперь самое простое, нажимаем маркер на “Dec” и для аккуратного вида на “1 байт”. Пишем число в калькуляторе и смотрим на его двоичный код.
В данном примере я посмотрел, как запишется число “8” в двоичной системе счисления. Вуаля! А вот снизу под восьмеркой сразу и результат: 1000. Именно так запишется число “8” из десятичной системы счисления в двоичную.
Также калькулятор может переводить даже отрицательные числа из десятичной в двоичную систему. А вот число “-5” из десятичной системы в двоичной запишется, как 1111 1011 .
Кто-то из Вас может похвастаться: “Да я сам могу переводить числа из десятичной в двоичную на листочке бумаги”. Но, Вам это надо, когда есть такой замечательный калькулятор? ;-)
Двоично-десятичная система счисления
Трудно все это, не правда ли? Чтобы облегчить жизнь, была придумана двоично-десятичная система счисления . Эта система, думаю, проще некуда! Например, число “123” из десятичной системы нам надо представить в двоично-десятичную. Каждую цифру пишем в двоичном четырехбитном коде. Используем калькулятор. Число 1 в десятичной системе – это 0001, число 2 – 0010, а 3 – 0011. Итак, число “123”, записанное в двоично-десятичной системе счисления запишется, как 0001 0010 0011. Ну реально, проще некуда!
