Как вычислить пределы последовательностей? Определение конечного предела последовательности
Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность
:
Нетрудно уловить, что подпоследовательность
бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами 
– к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .
Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного
количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности 
половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную
-окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно
. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все)
некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля
: .
Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Закрепим материал практикой:
Пример 1
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение
: рассмотрим произвольную
найдётся ли
номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства
и Область определения функции
. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод
: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
. Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать
.
К слову, из полученного результата 
хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное
число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Пример 2
Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .
Рассмотрим произвольную
-окрестность точки и проверим, существует ли
натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Перетасовка:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим
неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.
Извлекаем корень:
И округляем результат:
Вывод
: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
, такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство 
. Таким образом, 
по определению. Что и требовалось доказать
.
Советую особо
разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство 
ни в коем случае нельзя ослаблять
, вычитая, скажем, единицу:
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Используя определение последовательности, доказать, что 
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика
, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого
числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»
:
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
Дежурный пример:
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не
определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность 
точек (на чертеже отсутствуют)
, принадлежащих промежутку
и отличных от
, которая сходится
к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне
для любой
последовательности точек 
(принадлежащих
и отличных от )
, которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:
Пример 4
Используя определение предела, доказать, что 
Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную
-окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли
-окрестность, ТАКАЯ
, что из неравенства 
следует неравенство 
.
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен
)
Члена последовательности.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется |xn-a |
Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))=)=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.
Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.
Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.
Совет 2: В какой последовательности смотреть фильмы Марвел про мстителей?
Вселенная «Марвел» основана на комиксах издательства Marvel, но далеко не все экранизации комиксов – часть киновселенной. В нее входит только снятое Marvel Studios или совместно с ней. Киновселенная «Марвел» разделена на фазы, каждый фильм в ней имеет свое место. Однако сериалы и короткометражки, являясь частью вселенной, в хронологии могут быть между фазами. Т.е. могут не принадлежать к конкретным частям киновселенной.
Сериалы Netflix и канала abc отличаются от вселенной «Марвел». У киновселенной есть две особенности:
- каждый фильм наделен собственной историей;
- глобальный сюжет переходит из одного фильма в другой, в итоге каждый из них двигает этот сюжет вперед.
Сериалы канала abc связаны с глобальным сюжетом киновселенной, но не продвигают, а только дополняют его. Сериалы Netflix - это и вовсе самостоятельные истории, со своим сюжетом и своим глобальным миром.
За годы существования вселенная «Марвел» разрослась, и продолжает расширяться. Поэтому разобраться с хронологией ее фильмов неподготовленному человеку сложно, ведь не каждому понятно, что нельзя смотреть «Железного человека 3» сразу после «Железного человека 2». А чтобы разобраться, надо изучить хронологию, которая включает три фазы.
Первая фаза:
- Фильм «Железный человек», 2008 года. Эта картина закладывает фундамент и общий тон следующим экранизациям, ее действие происходит в 2010 году.
- Фильм «Невероятный Халк», 2008 года. В этой экранизации зрители понимают, что истории двух разных героев случаются в одной вселенной, поскольку и в «Железном человеке», и в «Невероятном Халке» упомянут Щ.И.Т., программа «суперсолдат», встречается логотип StarkIndusries и т.д. Действие фильма разворачивается в 2011 году. Картина не продолжает историю фильма «Халк» 2003 года.
- Фильм «Железный человек 2», 2010 года. Эта история - нечто вроде затравки к Мстителям, она вводит в сюжет Черную Вдову, дает много предпосылок к будущим проектам и рассказывает о новых проблемах Тони Старка, с которыми он столкнулся через год после первой части «Железного человека».
- Фильм «Тор», 2011 года. Это тоже подготовка к Мстителям, и главная цель картины - познакомить зрителя с Тором и Локи. Действие сюжета происходит параллельно с историей «Невероятного Халка» и «Железного человека 2».
- Фильм «Первый мститель», 2011 года. В нем рассказывают о Капитане Америка - первом супергерое Земли, который, как и Халк, появился из-за сыворотки «суперсолдат». Первая и последняя сцены фильма происходят в 2011 году, а основные действия - в период с 1943 по 1945 годы. В фильме появляется Тессеракт, один из шести Камней Бесконечности, и выясняется, что «отцом» Щ.И.Т.а была организация СНР (Стратегический Научный Резерв).
- Короткометражка «Консультант», 2011 года. Здесь разъясняется финальная сцена фильма «Невероятный Халк».
- Короткометражка «Забавный случай по пути к молоту Тора», 2011 года.
- Фильм «Мстители», 2012 года. Действие сюжета разворачивается в 2012 году, когда Щ.И.Т. ради спасения мира объявляет «общий сбор».
Вторая фаза:
- Фильм «Железный человек 3», 2013 года. Действие происходит зимой 2012 года, когда Тони Старк возвращается домой после «Битвы за Нью-Йорк», но его мучают кошмары. Спать он не может, и посвящает свое время созданию новых костюмов.
- Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», 2013 года.
- Фильм «Тор 2: Царство Тьмы», 2013 года. В картине рассказывают, как Тор вернулся домой и обнаружил, что все девять миров погружены в хаос. И о том, как Тор наводил порядок.
- Короткометражка «Да здравствует король», 2014 год. Это история о Треворе Слеттери, которая происходит после событий фильма «Железный человек 3».
- Фильм «Первый мститель: Другая Война», 2014 года. Это история о Капитане Америка, который не может вернуться домой, потому ищет себе новое дело и становится агентом Щ.И.Т.а, работая в команде с Черной Вдовой. Фильм лучше смотреть между 16 и 17 сериями «Агентов Щ.И.Т.а».
- Фильм «Стражи Галактики», 2014 год. Смотреть надо после 1 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а». Это история о преступниках вне Земли, которые создали команду, чтобы остановить более опасного преступника Ронана, и не дать ему получить Камень Бесконечности.
- Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», второй сезон, 2014 год.
- Сериал «Агент Картер», 2016 год. Это история о том, как Пегги Картер и дворецкий Эдвин Джарвис помогают Говарду Старку вернуть его доброе имя.
- Фильм «Мстители: Эра Альтрона», 2015 года. В этой картине Мстители снова собрались, чтобы спасти мир, но этот раз они стали полноценной командой. Смотреть лучше между 19 и 20 сериями второго сезона «Агентов Щ.И.Т.а».
- Фильм «Человек-Муравей», 2015 года. Смотреть после 2 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а».
Третья фаза:
- Фильм «Первый Мститель: Противостояние», 2016 года. После «Заковийского договора» Мстители обязаны подчиняться правительству, но это разбивает их на два лагеря: тех, кто за регистрацию, и тех, кто против нее.
Это все фильмы, которые уже вышли в прокат. Но не вся история. В третьей фазе планируется еще 14 фильмов, а потом - четвертая фаза.
Связанная статья
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a| < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x n < a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, 
;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x
→ a и при этом x > a, то пишут x
→a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→
a и при этом x
и называются соответственно предел справа
и предел слева
функции
f(x) в точке
а
. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→
a необходимо и достаточно, чтобы 
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке x o, если предел
.
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100
×
1,5 = 150, а еще через полгода - в 150
×
1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100
×
(1 +1/3)
3
»
237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.
Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3
.2
. Найти предел последовательности, заданной общим членом 
.
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3
. 
. Найти .
Решение.
.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3
.4
. Найти (
).
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел 
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Виджет для вычисления пределов on-line
В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $ |
| Решение |
|
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ |
Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
| Пример 3 |
| Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
| Пример 5 |
| Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0
x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1
В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при
том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f"(x)=nx^(n-1)
