Числовые последовательности. Способы их задания. Числовая последовательность и способы ее задания
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
2. Определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака * вставить пропущенное число: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0,8
3. Учащиеся решали задание, в котором требуется найти пропущенные числа. У них получились разные ответы. Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки. Задание Ответ 1Ответ
Определение числовой последовательности Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности). В общем виде указанное соответствие можно изобразить так: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Число n есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают (y n).
Аналитический способ задания числовых последовательностей Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена. Например, 1) y n= n 2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – постоянная (стационарная) последовательность 2) y n= 2 n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, … Решить 585
Рекуррентный способ задания числовых последовательностей Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены 1) арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) геометрическая прогрессия – b 1 =b, b n+1 =b n * q
Закрепление 591, 592 (a, б) 594, – 614 (a)
Ограниченность сверху Последовательность (y n) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число M что для любого n выполняется неравенство y n M. M – верхняя граница последовательности Например, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …
Ограниченность снизу Последовательность (y n) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число m что для любого n выполняется неравенство y n m. m – нижняя граница последовательности Например, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …
Ограниченность последовательности Последовательность (y n) называют ограниченной, если можно указать такие два числа A и B, между которыми лежат все члены последовательности. Выполняется неравенство Ay n B A – нижняя граница, B – верхняя граница Например, 1 – верхняя граница, 0 – нижняя граница
Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,
y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,">
y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,">
y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например," title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,">
title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,">
23
Проверочная работа Вариант 1Вариант 2 1. Числовая последовательность задана формулой а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности б) Является ли членом последовательности число? б) Является ли членом последовательности число 12,25? 2. Составьте формулу -ого члена последовательности 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…
На этом уроке мы начнем изучение прогрессий. Здесь мы познакомимся с числовой последовательностью и способами ее задания.
Вначале напомним определение и свойства функций числовых аргументов и рассмотрим частный случай функции, когда х принадлежит множеству натуральных чисел. Дадим определение числовой последовательности и приведем несколько примеров. Покажем аналитический способ задания последовательности через формулу ее n-го члена и рассмотрим несколько примеров на задание и определение последовательности. Далее рассмотрим словесное и рекуррентное задание последовательности.
Тема: Прогрессии
Урок: Числовая последовательность и способы ее задания
1. Повторение
Числовая последовательность , как мы увидим, это частный случай функции, поэтому вспомним определение функции.
Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Вот примеры известных функций.
Рис. 1. График функции
Допустимы все значения, кроме 0. Графиком этой функции является гипербола (см. Рис.1).
2.. Допустимы все значения, .
Рис. 2. График функции
График квадратичной функции - парабола, характерные точки тоже отмечены (см. Рис.2).
3..
Рис. 3. График функции
Допустимы все значения х. График линейной функции - прямая (см. Рис.3).
2. Определение числовой последовательности
Если х принимает только натуральные значения (), то имеем частный случай, а именно числовую последовательность.
Напомним, что натуральными являются числа 1, 2, 3, …, n, …
Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают следующим образом: или , или .
Поясним, что обозначает, например, запись .
Это значение функции, когда n=1, т. е. .
Это значение функции, когда n=2, т. е. и т. д. …
Это значение функции, когда аргумент равен n, т. е. .
3. Примеры последовательностей
1. - это формула общего члена. Задаем различные значения n, получаем различные значения у - членов последовательности.
Когда n=1; , когда n=2 и т. д., .
Числа являются членами заданной последовательности, а точки 
лежат на гиперболе - графике функции (см. Рис.4).
Рис. 4. График функции
Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.
Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на параболе - графике функции (см. Рис.5).
Рис. 5. График функции
Рис. 6. График функции
Если n=1, то ; если n=2, то 
; если n=3, то 
и т. д.
Числа 
являются членами заданной последовательности, а точки лежат на прямой - графике функции (см. Рис.6).
4. Аналитический способ задания последовательности
Существует три способа задания последовательностей: аналитический, словесный и рекуррентный. Рассмотрим каждый из них подробно.
Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена .
Рассмотрим несколько примеров.
1. Найти несколько членов последовательности, которая задана формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).
Решение. Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то 
и т. д.
Для заданной последовательности найдем и .
.
.
2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).
Найдем несколько членов этой последовательности.
Если n=1, то ; если n=2, то 
; если n=3, то 
и т. д.
Вообще нетрудно понять, что членами этой последовательности являются те числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1.
а. Для заданной последовательности найти .
Решение: 
. Ответ: .
б. Даны два числа: 821, 1282. Являются ли эти числа членами заданной последовательности?
Для того чтобы число 821 было членом последовательности, необходимо, чтобы выполнялось равенство: или . Последнее равенство является уравнением относительно n. Если решением данного уравнения является натуральное число, то ответ положительный.
В данном случае это так. 
.
Ответ: да, 821 - член заданной последовательности, .
Переходим ко второму числу. Аналогичные рассуждения приводят нас к решению уравнения: .
Ответ: поскольку n не является натуральным числом, то число 1282 не является членом заданной последовательности.
Формулы, которые аналитически задают последовательность, могут быть самыми разными: простыми, сложными и т. д. Требование к ним одно: каждому значению n должно соответствовать единственное число.
3. Дано: последовательность задана следующей формулой .
Найти три первых члена последовательности.
, 
, 
.
Ответ: , , .
4. Являются ли числа членами последовательности ?
а. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.
Ответ: первое заданное число является членом данной последовательности, а именно пятым ее членом.
б. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.
Ответ: второе заданное число тоже является членом данной последовательности, а именно девяносто девятым ее членом.
5. Словесный способ задания последовательности
Мы рассмотрели аналитический способ задания числовой последовательности. Он удобный, распространенный, но не единственный.
Следующий способ - это словесное задание последовательности.
Последовательность, каждый ее член, возможность вычисления каждого ее члена можно задать словами, не обязательно формулами.
Пример 1. Последовательность простых чисел.
Напомним, что простое число - это такое натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само это число. Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т. д.
Их бесчисленное множество. Еще Евклид доказал, что последовательность этих чисел бесконечна, т. е. не существует самого большого простого числа. Последовательность задана, каждый член можно вычислить, утомительно, но можно вычислить. Эта последовательность задана словесно. Формулы, увы, не удается подобрать.
Пример 2. Рассмотрим число =1,41421…
Это иррациональное число, десятичная его запись предусматривает бесконечное число цифр. Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; и т. д.
Членов этой последовательности бесконечное множество, каждое из них можно вычислить. Задать эту последовательность формулой нельзя, поэтому описываем ее словесно.
6. Рекуррентный способ задания последовательности
Мы рассмотрели два способа задания числовой последовательности:
1. Аналитический способ, когда задается формула n-го члена.
2. Словесное задание последовательности.
И, наконец, существует рекуррентное задание последовательности, когда задаются правила вычисления n-го члена по предыдущим членам.
Рассмотрим
Пример 1. Последовательность Фибоначчи (13 век).
Историческая справка:
Леона́рдо Пиза́нский (около 1170 года, Пиза — около 1250 года) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи (Fibonacci).
Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. «Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения. По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.
Задаются первые два члена и каждый последующий член - это сумма двух предыдущих
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; … - первые несколько членов последовательности Фибоначчи.
Это последовательность задана рекуррентно, n-й член зависит от двух предыдущих.
Пример 2.
В этой последовательности каждый последующий член больше предыдущего на 2. Такая последовательность называется арифметической прогрессией.
Числа 1, 3, 5, 7 …- первые несколько членов этой последовательности.
Приведем еще один пример рекуррентного задания последовательности.
Пример 3.
Последовательность задается следующим образом:
Каждый последующий член этой последовательности получается умножением предыдущего члена на одно и то же число q. Такая последовательность имеет специальное название - геометрическая прогрессия. Арифметическая и геометрическая прогрессии будут объектами нашего изучения на следующих уроках.
Найдем несколько членов указанной последовательности при b=2 и q=3.
Числа 2; 6; 18; 54; 162 … - первые несколько членов этой последовательности.
Интересно, что эту последовательность можно задать и аналитическим способом, т. е. можно подобрать формулу. В данном случае формула будет таковой .
Действительно: если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то 
и т. д.
Таким образом, мы констатируем: одна и та же последовательность может быть задана и аналитически и рекуррентно.
7. Итог урока
Итак, мы рассмотрели, что такое числовая последовательность и способы её задания.
На следующем уроке мы познакомимся со свойствами числовых последовательностей.
1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. - М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. - М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
1. Раздел College. ru по математике.
2. Портал Естественных Наук.
3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт.
1. № 331, 335, 338 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 12.4 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
| Урок № 32 АЛГЕБРА | Учитель математики, первой категории Гаун Ольга Викторовна. Восточно-Казахстанская область Глубоковский район КГУ «Черемшанская средняя школа» |
| Тема: Числовая последовательность и способы ее задания |
|
| Основные цели и задачи урока | Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности. Развивающа я: развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие культуры устной речи, развитие коммуникативности и сотрудничества. Воспитательная : воспитание наблюдательности, привитие любви и интереса к предмету. |
| Ожидаемые результаты освоения темы | В ходе урока приобретут новые знания о числовых последовательностях и способах ее задания. Научатся находить верное решение, составлять алгоритм решения и пользоваться им при решении заданий. Путем исследования обнаружат их некоторые свойства. Вся работа сопровождается слайдами. Применение ИКТ даст возможность провести урок оживленно, выполнить большой объем работы, со стороны ребят будет искренний интерес и эмоциональное восприятие. Одарённые ученики выступят с сообщением о числах Фибоначчи и о золотом сечении. Универсальные учебные действия, на формирование которых направлен образовательный процесс: умение работать в паре, развивать логическое мышление, умение анализировать, исследовать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Обучить навыкам общения и сотрудничества. Использование данных технологий способствует развитию у обучающихся универсальных способов деятельности, опыта творческой деятельности, компетентности, коммуникабельности. |
| Ключевые идеи урока | Новые подходы в преподавании и обучении Диалоговое обучение Обучение тому, как обучаться Обучение критическому мышлению Обучение талантливых и одарённых детей |
| Тип урока | Изучение новой темы |
| Методы обучения | Наглядный (презентация), словесный (беседа, объяснение, диалог), практический. |
| Формы организации учебной деятельности уч-ся | фронтальная; парная; индивидуальная. |
ХОД УРОКА
Организационный момент
(Приветствие учащихся, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания).
Мотивация урока.
«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые. «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.
Введение в тему, изучение нового материала.
Давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:
–понедельник, вторник,…..
– январь, февраль, март…;
– Алиев, Гордеева, Грибачева… (список класса);
–10,11,12,…99;
Вывод: Это последовательности, то есть некоторый упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте. Итак, тема урока – последовательность.
Сегодня мы будем говорить о видах и составляющих числовых последовательностей, а также о способах их задания. Последовательности будем обозначать так: (аn), (bn), (сn) и т.д.
А сейчас я предлагаю вам первое задание: перед вами некоторые числовые последовательности и словестное описание этих последовательностей. Вам необходимо найти закономерность каждого ряда и соотнести с описанием. (показать с помощью стрелки) (Взаимопроверка)
Рассмотренные нами ряды и есть примеры числовых последовательностей .
Элементы, образующие последовательность, называются
членами последовательности
и
называются соответственно первым, вторым, третьим,…
n
- ным членами последовательности.
Обозначают члены последовательности так
а
1
; а
2
; а
3
; а
4
; … а
n
; где
n
– номер
, под которым данное число находится в последовательности.
На экране записаны последовательности:
(
На перечисленных последовательностях отрабатываются форма записи члена последовательности a
n
, и понятия предыдущего и последующего членов
)
.
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16
,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
Назовите а 1 для каждой последовательности, а 3 и т.д. А смогли бы вы продолжить каждый из этих рядов? Что для этого необходимо знать?
Давайте разберем с вами еще такие понятия как последующий и предыдущий .
(например, для а 5…, а для а n ?) - запись на слайде a n +1, a n -1
Виды последовательностей
(
на перечисленных выше последовательностях отрабатывается навык определять виды последовательностей
)
1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е.
a
n
<
a
n
+1.
2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е.
a
n
>
a
n
+1
.
3) Бесконечная
4) Конечная
5) Знакочередующаяся
6) Постоянная (стационарная)
Попробуйте дать определение каждому виду и охарактеризуйте каждую из предложенных последовательностей.
Задания для устной работы
Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а 1 ; а 4 ; а 10 ; а n ;
Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)
Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)
Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)
Физпауза (тоже связана с темой сегодняшнего урока: звездное небо, планеты солнечной системы…в чем связь?)
Способы задания последовательностей
1) словесный – задание последовательности описанием;
2) аналитический – формулой
n
-го члена;
3) графический – с помощью графика;
4) рекуррентный – любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие
Сегодня на уроке мы разберем первых два способа. Итак,
словестный
способ. Может быть кто-нибудь из вас попробует задать какую-либо последовательность?
(Например:
Составьте последовательность нечетных натуральных чисел
. Охарактеризуйте эту последовательность: возрастающая, бесконечная)
Аналитический
способ: с помощью формулы n-ого члена последовательности.
Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х n =3n+2, то
х 1 =3*1+2=5;
х 2 =3*2+2=8
х 5 =3 . 5+2=17;
х 45 =3 . 45+2=137 и т.д. Так каково преимущество аналитического способа перед словестным ?
А я вам предлагаю следующее задание: даны формулы задания некоторых последовательностей и сами последовательности, образованных по этим формулам. В этих последовательностях пропущены некоторые члены. Ваша задача, работая в парах , заполнить пропуски.
Самопроверка (на слайде появляется правильный ответ)
Представление творческого проекта «Числа Фибоначчи» (опережающее задание )
Сегодня мы познакомимся со знаменитой последовательностью:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Слайд) Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота. Леонардо Фибоначчи (1180-1240). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).
Просмотр видеофильма.
Наверное, вы не совсем поняли какова связь между спиралью и рядом Фибоначчи. Поэтому я покажу, как она получается .
Если мы построим рядом два квадрата со стороной 1,затем набольшей стороне равной 2 другой, затем на большей стороне, равной 3 еще квадрат так до бесконечности…Потом в каждом квадрате, начиная с меньшего, построим четверть дуги, то получим спираль, о которой идет речь в фильме.
На самом деле практическое применение знаний, полученных на этом уроке в реальной жизни достаточно велико. Перед вами несколько задач из разных научных областей.
Задача 1.
16, 15, 18, … (17, 20, 19)
1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)
33, 31, 32, … (30, 31, 29)
Задача 2.
(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 3.
Задача 4. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).
Задача 5
. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6
. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
(
10)
Задача 7 . При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.
Задача 8 . Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни? (45000)
Быстро и без ошибок решать такие задачи нам позволит изучение следующих тем этой главы «Прогрессии».
Домашнее задание: стр.66 №151, 156, 157
Творческое задание: сообщение о треугольнике Паскаля
Подведение итого. Рефлексия. (оценка «приращения» знаний и достижения целей)
Какова была цель сегодняшнего урока?
Цель достигнута?
Продолжи высказывание
Я не знал….
Теперь я знаю…
Задачи на практическое применение свойств последовательностей (прогрессий)
Задача 1. Продолжи последовательности чисел:
16, 15, 18, …
1, 2, 2, 4, 8, …
33, 31, 32, …
Задача 2. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
Задача 3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 1 м/с за каждую последующую секунду изменял свою скорость на 0,6 м/с. Какую скорость он будет иметь спустя 10 секунд?
Задача 4 . Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)?
Задача 5. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
Задача 7. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.
Задача 8. Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни?
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
